BTS Cours 3 Stats1var

7/22/2019 BTS Cours 3 Stats1var

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BTS DOMOTIQUE Statistiques une variable 2008-2010

STATISTIQUES UNE VARIABLE

Table des matires

I Mthodes de reprsentation 2

I.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.2 Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.3 Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Caractristiques de position 5II.1 Moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II.2 Mdiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.3 Quartiles, dciles .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

IIICaractristiques de dispersion 8III.1 tendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III.2 Intervalle interquartille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III.3 Variance dune srie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9III.4 cart-type dune srie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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Dans tout ce chapitre, on considrera les 3 sries statistiques suivantes :

Srie A :Notes obtenues un contrle dans une classe de 30 lves :

2

3

3

4

5

6

6

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

9

9

9

10

10

11

11

11

13

13

15

16

Srie B :Salaires en euros des employs dune entreprise :

Salaires [900; 1200] [1200;1400] [1400; 1600] [1600;1800] [1800; 2000] [2000;2400] TOTAL

Effectif 30 30 60 80 40 40 280

Srie C :Proportion dadhrents un club sportif dans diffrentes sections :

17% jouent au handball,

25% houent au rugby,

58% jouent au tennis.

I Mthodes de reprsentation

I.1 Vocabulaire

La populationest lensemble des individus sur lesquels portent ltude statistique. (Par exemple la classede BTS domotique, la popolation fminine, les fonctionnaires . . .)dont chaque lment est appel individu.

Un chantillonest une partie de la population considre.

Le caractre(ou variable) dune srie statistique est une proprit tudie sur chaque individu :

Lorsque le caractre ne prend que des valeurs (ou modalits) numriques, il est quantitatif : discretsil ne peut prendre que des valeurs isoles (notes, ge . . .) continu dans le cas contraire (poids, taille . . .). Dans ce cas on effectue souvent un regroupement

des valeurs par classes.

Sinon, on dit quil est qualitatif (couleur des yeux, sport pratiqu . . .): les modalits ne sont pas des

nombres.A chaque valeur (ou classe) est associe un effectif n: cest le nombre dindividus associs cette valeur.

Faire des statistiques, cest recueillir, organiser, synthtiser, reprsenter et exploiter des donnes, num-riques ou non, dans un but de comparaison, de prvision, de constat . . .

Les plus gros "consommateurs" de statistiques sont les assureurs (risques daccidents, de maladie des assurs),les mdecins (pidmiologie), les dmographes (populations et leur dynamique), les conomistes (emploi,conjoncture conomique), les mtorologues . . .



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Lorsque le caractre tudi estquantitatif et continu, et lorsque les modalits sont regroupes en classes,on peut reprsenter la srie par un histogramme : laire de chaque rectangle est alors proportionnelle leffectif (ou la frquence) associe chaque classe.Lorsque les classes ont la mme amplitude, cest la hauteur qui est proportionnelle leffectif.

Exemple 4Pour la srie B, on obtient par exemple lhistogramme suivant :

900 1200 1400 1600 1800 2000 2400

Lgende : 5 salaris

Enfin, lorsque le caractre est qualitatif, on peut reprsenter la srie par :

Un diagramme circulaire( camemberts ) :La mesure de chaque secteur angulaire est proportionnelle leffectif associ.

Un diagramme en tuyaux dorgue :Chaque classe est reprsente par un rectangle de mme largeur et de longueur proportionnelle leffectif,donc la frquence.

un diagramme en bandes :Chaque classe est reprsente par un rectangle de mme largeur et de longueur proportionnelle leffectif,donc la frquence.

Exemple 5Diagrammes de la srie C

Handball

Rugby

Tennis

Diagramme circulaireHandball

17%

Rugby

25%

Tennis

58%

Diagramme en tuyau dorgue

Tennis58%

Rugby

25%

Handball

17%

Diagramme en bandes



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II Caractristiques de position

Dans le premier paragraphe, on a commenc condenser les informations pour les rendre plus lisibles.Dans ce deuxime paragraphe, on va synthtiser encore davantage linformation pour les caractres quanti-tatifs en cherchant quelques nombres permettant de dcrire au mieux la population observe.

II.1 Moyenne

Dfinition 2Soit une srie statistique caractre quantitatif, dont lesp valeurs sont donnes parx1,x2, . . .,xpdeffectifsassocisn1, n2, . . ., np avecn1+ n2+ ...+ np= N.La moyenne pondre de cette srie est le nombre notx qui vaut

x=n1x1+ n2x2+ ...+ npxp

n1+ n2+ ...+ np=

1N

p

i=1

nixi.

Remarque 2Lorsque la srie est regroupe en classes, on calcule la moyenne en prenant pour valeurs xi le centre dechaque classe ; ce centre est obtenu en faisant la moyenne des deux extrmits de la classe.

Exemple 6 Dans la srie A, la moyenne du contrle est gale m =

25430 8, 47.

Dans la srie B, une estimation du salaire moyen est donn par : S=460500

280 1644, 64.

Remarque 3On peut aussi calculer une moyenne partir de la distribution de frquences :

x= f1x1+ f2x2+ + fpxp=p

i=1

fixi.

Proprit 1 (Linarit de la moyenne)

Si on ajoute (ou soustrait) un mme nombre k toutes les valeurs dune srie, alors la moyennede cette srie se trouve augmente (resp. diminue) de k.

Si on multiplie (ou divise) par un mme nombre non nul k toutes les valeurs dune srie, alors lamoyenne de cette srie se trouve multiplie (resp. divise) par k.

Exemple 7On considre la srie A:

Si on ajoute 1, 5points chaque note du contrle, alors la moyenne de classe devientm= 8, 47 + 1, 5 = 9, 97.

Si on augmente chaque note de 10%, cela revient multiplier chaque note par 1, 1, ce qui donnem= 8, 47 1, 1 = 9, 32.



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Dans le cas de rpartition par classes, la mdiane peut tre value soit graphiquement, soit par interpolationaffine laide dun polygne des effectifs cumuls.

Exemple 11On choisit la rpartition par classes de la srie A :

On commence par crer le tableau des frquences cumules croissantes :

(On en profite aussi pour indiquer les frquences cumules dcroissantes).

Notes [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 10 [ [ 10 ; 15 [ [ 15 ; 20 [

Frq. en % 13 57 23 7

F.c.c. 13 70 93 100

F.c.d. 87 43 7 0

Puis on place les points correpondants aux extrmits de chaque classe sur un graphique :

2

4

6

8

5 10 15

Effectif en %

Notes

0

0

0

0

0

100

Med.

F.c.c.F.c.d.

On dtermine le point du polygne dordonne50% et on trouver eniron 8, 2.

Pour trouver la mdiane, on peut aussi tracer le polygne des frquences cumules dcroissantes et lire labscissedu point de concours des deux polygnes. On trouve aussi 8, 2.

Enfin, par le calcul,50% se situe dans lintervalle [ 5 ; 10 [.On fait lhypothse que les longeurs des axes sont uniformment rparties dans cette classe.On peut alors procder une interpolation linaire daprs le thome de Thals :

M5 10

13

70

50

M 510 5=

50 1370 13

M 55

=3757M= 5 37

57+ 5 =

47057 8, 25.



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II.3 Quartiles, dciles ...

Dfinition 4Soit une srie statistique.

On appelle quartiles de la srie un triplet de rels( Q1; Q2; Q3) qui spare la srie en quatregroupes de mme effectif.

On appelle dciles de la srie un9-uplet de rels( D1; D2 ; ...; D9) qui spare la srie en dixgroupes de mme effectif.

Remarque 4Par dfinition, si Xest une srie statistique, Q2= D5= Med(X).

Le calcul des valeurs des quartiles ou des dciles se fait en gnral partir des graphiques des effectifs (oufrquences) cumuls croissants, par interpolation linaire.

La calculatrice donne les valeurs de Q1, Medet Q3.

Exemple 12 Pour la srie A, la calculatrice nous donne Q1= 7, Md= 8, 5 et Q3= 10.

Graphiquement, on trouve D1 3, 8et D9 14, 2. Pour la srie B, on trouve Q1= 1500,M ed= 1700et Q3= 1900.

III Caractristiques de dispersion

III.1 tendue

Il sagit de la premire mesure de la dispersion dune srie statistique. Son principal mrite a longtemps tdexister, et de fournir une information sur la dispersion trs simple obtenir.

Dfinition 5Soit Xune srie statistique discrte. On appelle tendue de la srie le rel, dfini par

Etd(X) = max(X) min(X).

Exemple 13Ltendue de la srie Aest de16 2 = 14.

III.2 Intervalle interquartille

Dfinition 6On appelle intervalle inter-quartiles lintervalle[ Q1; Q3 ].Lamplitude de cet intervalle est appele cart inter-quartiles.

Exemple 14 Dans la srie A, lintervalle interquartile est lintervalle [ 7 ; 10 ]dont lcart vaut10 7 = 3. Cet intervalle comprend donc la moiti des notes de la srie situe au centre de celle-ci.



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III.3 Variance dune srie statistique

Dfinition 7La variance dune srie statistique est le nombre notV(x) obtenu comme moyenne des carrs des cartsconstats par rapport la moyenne de la srie :

V(X) =n1(x1 x)2 + n2(x2 x)2 + ...+ np(xp x)2

n1+ n2+ ...+ np=

1N

pi=1

ni(xi x)2.

Remarque 5Cette formule sapplique bien sr au cas dune srie statistique sans coefficients : on est ramen une sriepour laquelle tous les coefficients valent 1.

Exemple 15

La variance de la srie B

vaut :V(X) =

30(1050 1645)2 + 30(1300 1645)2 + ...+ 40(2200 1645)2280

109346.

Proprit 3On utilise aussi la formule :

V(X) = 1N

pi=1

nix2i x2.

III.4 cart-type dune srie statistique

Dfinition 8Lcart-type dune srie statistiqueX, not(X), est la racine carre de la variance de cette srie :

(X) =V(X).

Exemple 16Lcart-type de la srie Bvaut : (X) =

109561 = 331.

Proprit 4La variance et lcart-type prsentent les proprits suivantes :

La variance et lcart-type sont des nombres positifs ou nuls,

Une variance nulle ou un cart-type nul signifient que toutes les valeurs de la srie son gales sa moyenne,

Plus la variance (ou lcart-type) dune srie est grande, plus cette srie est disperse autour desa moyenne,


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