8/6/2019 C4M Isom Complexes(cours)
1/2
Dplacements et antidplacements
Le plan P est muni d'un repre orthonorm direct (O, , ).
I. Ecriture complexe d'une isomtrie du plan
S o i t f une isomtrie qui au point M d ' a x e z associe le
point M d'affixe z .
L'expression de z en fonction de z est appele criture complexe
de f.
II-1. criture complexe d'un dplacement
Tout dplacement , d'angle , a une criture complexe de la forme z
= z + b o b est
Rciproquement : toute transformation f d'criture complexe z = z
+ b , o et b
un nombre complexe est un dplacement du plan d'angle un argument
de a.
z = e i(z )
S i a = 1 ,
f est la translation de vecteur u d'affixe b
S i | a | = 1 e t a = 1, alors :
f e s t l a rotation d e centre d'affixe tel que = a + b et
d'angle
= arg(a)
ei
= 2k , k entier relatif , alors :( )
+ 2k , k entier relatif , et on a :
II-2. Caractrisation complexe des dplacements.
II. Etude des dplacements.
4 MMr ABIDI Farid
Anne scolaire 2008-09 www.mathsecondaire.net page 1 - 2
a | a | = 1
nombre complexe.
8/6/2019 C4M Isom Complexes(cours)
2/2
III-1. Ecriture complexe d'un antidplacement
Tout antidplacment a une criture complexe sous la forme z = az +
b
a tant un nombre complexe tel que et b un nombre complexe
quelconque.| a | = 1
soit une symtrique orthogonale ;
soit une symtrie glmissante , pouvant s'crire comme la compose,
dans n'importe quel ordre,
d'une symtrie orthogonale d'axe ( ) et d'une translation dont le
vecteur dirige cette droite
Proprit :
Si f est un antidplacement alors f f est :
Soit l'identit et tous les points sont invariants par f f.
Soit une translation de vecteur non nul et alors aucun point
n'est invariant par f f.
III-2. Caractrisation complexe des antidplacements.
Soit f un antidplacement d'criture complexe z = az + b avec | a
| = 1, on note O l'image de
O par f et soit O = f(f(O)) , d'affixe ab+ b
S i
ab+ b = 0 alors O est invariant par f f et f f est l'identit du
plan.Il en rsulte que f est une symtrie orthogonale d'axe est
l'ensemble des points invariants
S i ab + b = 0 alors O n'est pas invariant par f f et f f est
une translation.
Il en rsulte que f est une symtrie glissante .
On dtermine l'criture complexe de la translation f f de vecteur
v .
La symtrie glissante aura pour vecteur u =1
2 v , et comme axe la droite passant par I
milieu de [O; O] et de vecteur directeur u.
par f.
( ) .
Rappelons qu'un antidplacement est :
III. Etude des antidplacements.
Dplacements et antidplacements
4 MMr ABIDI Farid
Anne scolaire 2008-09 www.mathsecondaire.net page 2 - 2
