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Examen de calcul des ouvrages complexes

15 janvier 2013

2 heures, Notes de cours et calculatrice autorisés

1ère

partie : Calcul des armatures dans une plaque mince simplement fléchie

Un plancher en béton armé, carré de 5 m de côté, de 12 cm d’épaisseur, est articulé sur un

mur AB et simplement posé sur des poteaux en C et D, comme indiqué sur la figure ci-

dessous :

Figure 1 : Vues de dessus du maillage (gauche) déformée calculée (droite)

Ce plancher est modélisé par des éléments finis triangulaires à 3 nœuds (figure 1 à gauche) ; il

chargé uniformément par une charge de 500daN/m2 dirigé vers le bas et conduisant au champ

de déplacement visualisé sur la figure 1 (à droite). Les directions principales et les moments

exprimés dans la base xy sont donnés sur les figures suivantes. On s’intéresse au point E

(situé sur l’isovaleur Mxx=-8603N sur la figure 2).

Figure 2 : Directions principales des contraintes dans la plaque à gauche, moment de flexion Mxx à droite

A

B C

D

x

y

z

E

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Figure 3: Myy à gauche et Mxy à droite

Le système de notation du logiciel est différent de celui du cours ; dans ce logiciel les

moments sont indicés non pas par le nom de l’axe qui les porte mais par le non de la

contrainte qui a servi à les évaluer, de plus, la convention de signe sur les moments est telle

que :

Ainsi, pour ce logiciel, un moment négatif correspond à une compression de la fibre

supérieure. Es relations précédentes, combinées à l’hypothèse de Navier et à la linéarité du

comportement conduisent à la relation classique :

1- Calculer l’inertie d’un mètre linéaire de dalle sachant que son épaisseur est de 12cm,

en déduire les contraintes sur la fibre inférieure de la plaque et sur la

fibre supérieure de la plaque au point E (les moments sont ceux entourés sur les

figures 2 et 3). Dessiner les diagrammes de contraintes et

sur un élément de plaque tridimensionnel. Vous dirigerez les flèches symbolisant les

contraintes vers le béton de l’élément si la facette est orientée par x positif et que la

contrainte est négative.

2- Calculer les contraintes principales et les directions principales du tenseur des

contraintes sur la fibre inférieure de la plaque au point E. Comparer ces directions

principales à celles données sur la figure 1. Dessiner les diagrammes sur

un élément de plaque tridimensionnel centré sur E.

3- Démontrer, qu’en un point donné de la plaque, les directions principales des

contraintes sont les mêmes quel que soit la hauteur z et que par conséquent les

directions principales des moments et des contraintes sont les mêmes.

4- Calculer les moments principaux de flexion en E ainsi que les directions principales du

tenseur des moments. Comparer ces directions principales à celles données sur la

figure 1.

5- Supposons maintenant que l’on mette en partie inférieure de la dalle des armatures

( ) qui reprennent exactement les moments principaux de flexion,

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quelles seraient les sections d’armature ( à mettre en place dans les directions

principales (effectuer un schéma correspondant à un élément de plaque de 1m2, en vue

de dessus, précisant les espacements et les directions des armatures par rapport aux

directions x et y).

6- Supposons maintenant que les armatures n’aient pas été positionnées suivant les

directions principales mais suivant les directions x et y, comme indiqué sur la figure

suivante, on note ( ces sections d’armatures Si la fissuration survient elle

aura tout de même lieu dans les directions principales de traction comme shématisé ci-

dessous :

Figure 4 : Fissuration de la dalle dans les directions principales de traction (I et II), et armatures inférieurs dans les

directions x et y , ( )

Montrer, en écrivant l’équilibre d’un élément de dalle triangulaire tel que représenté

sur la figure 4, que si la contrainte dans les aciers est la même dans les différentes

armatures et que le bras de levier de ces armatures par rapport au centre de gravité du

béton comprimé est égale à alors la projection des efforts dans le

treillis d’armature sur la normale à la fissure induite par le premier moment principal

de flexion doit vérifier la condition :

Montrer que l’on doit alors également vérifier pour l’autre direction principale :

7- Déduire des relations précédentes les quantités d’armature à mettre en place dans les

directions x et y au point E, montrer que ces quantités peuvent se mettre sous la

forme :

8- Montrer qu’avec les hypothèses adoptées ici la section totale d’armature à mettre en

place est indépendante de .

9- expliquer comment pourrait-on automatiser le calcul des armatures dans les directions

x et y en fonction des moments présentés sur les figures 2 et 3. Expliquer en

particulier, comment vous feriez cela dans le logiciel Comsol Multiphysics.

x

y

I

x

y

II

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Rappel : Le calcul des aciers dans une section de béton armé fléchie, en faisant l’hypothèse

du diagramme rectangle pour le béton comprimé, conduit pour une direction principale

donnée à définir le moment réduit :

On en déduit et

2ème

partie : formulation variationnelle d’un problème de treillis plans

On se propose d’étudier le modèle élément finis de l’une des barres du treillis présenté sur la

figure suivante :

Figure 5 : Treillis plan chargé aux nœuds

Les barres d’un treillis plan sont soumises à des efforts axiaux uniquement, de plus seuls les

nœuds du treillis sont chargés. Leur équation d’équilibre est par conséquent très simple : en

notant « s » l’abscisse de la barre dans son repère local, et « u » son déplacement axial en

repère local, il vient :

On utilise pour modéliser ce treillis des segments à deux nœuds. On note la coordonnée

réduite sur l’élément de référence.

10- Exprimer « s » en fonction de , (on note s1 et s2 les abscisses des nœuds en repère

local)

11- Exprimer le déplacement axial u en fonction des déplacements axiaux d’extrémité de

barre en repère local (u1 et u2).

12- Proposer une forme variationnelle simple pour l’équation d’équilibre (en repère

local) ; dans cette forme nommer « u* » la fonction quelconque : expliquer pourquoi il

est nécessaire de procéder à une intégration par partie pour cette forme variationnelle.

Réaliser cette intégration, montrer que l’équation obtenue correspond au théorème des

travaux virtuels appliqué à la barre considérée.

13- On note les valeurs de la fonction quelconque aux nœuds 1 et 2, exprimer u*

en fonction de et de .

14- En remarquant s2-s1=l12 (longueur de la barre 12), calculer la matrice de rigidité

élémentaire de la barre 12 en repère local.