A. CONAN: Calcul de la conductivitb thermique du rbseau 217

phys. stat. sol. (b) 50,217 (1972)

Subject classification: 8 and 14.1; 6

Laboratoire de Physique du Mdtal, Institut de Physique de 1’Universitk de Nantes

Calcul de la conduetivit6 thermique du r6seau par la formule de Kubo

Par A. CONAN

A l’aide de la formule de Kubo et dans le cadre de l’approximation de Hartree-Fock, nous calculons, B partir d’un modirle hamiltonien simple, la conductivitb thermique du rbseau. Le temps de relaxation est calculi: B I’aide de la mbthode de la moyenne harmonique e t con- duit B une expression de la conductivitb thermique L basse tempbrature en bon accord avec celle obtenue par la mbthode variationnelle.

With the help of the correlation function given by Kubo, an expression for the lattice thermal conductivity is obtained within the Hartree-Fock R.P.A. approximations using the cubic harmonic momentum flux operator. I n the Debye approximations for phonons a simple expression for relaxation time and thermal conductivity is given and good agreement with the variational method is found.

1. Introduct,ion

Les equations de transport dans les solides ont Bt6 trhs utiles dans 1’8tude fondamentale des phenomknes irreversibles et on a montre [l] pour quelques modhles simples que la methode de la reponse lineaire due B Kubo [2] et Lax [3], est Bquivalente B l’utilisation de 1’6quation de Boltzmann. De plus, une demons- tration generale [4], necessitant toutefois l’approximation de Chapman-Enskog montre l’bquivalence de la theorie cinetique e t du formalisme des fonctions de correlation.

Le formalisme de Kubo permet de determiner les coefficients de transport B partir d’expressions qui peuvent &re considhrees comme exactes. Ceci explique que les travaux bases sur cette theorie soient fort nombreux. 11s portent en general sur la determination de la conductivite Blectrique [5]. Nous nous sommes proposes d’appliquer ce formalisme au calcul de la conductivitb thermique due au reseau en utilisant la methode des equations d’evolution des fonctions de Green proposee par Zubarev [6] et en faisant l’hypothhse de la phase aleatoire (R.P.A.) [7]. Notre calcul montre qu’il est possible d’obtenir une expression satisfaisante de la conductivite thermique du reseau bien que l’hamiltonien choisi ne contienne pas de terme d’interaction phonon-phonon.

2. Fonction de Green du phonon

L’hamiltonien qui correspond au mouvement des electrons dans un reseau peut Qtre decrit par

H = H , + U , (1)

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oh l’hamiltonien Ho du systBme non perturbb est donnh par:

aza et at, sont respectivement les ophrateurs de creation et d’annihilation de 1’6lectron de masse m, de charge e, de vecteur d’onde k et de spin (r et satisfont aux relations d’anticommutation des fermions ; b L j et b , j sont respectivement des operateurs de creation et d’annihilation qui satisfont aux relations de com- mutation des bosons de vecteur d’onde q et d’indice de polarisation i. Dans le modBle simplifii: du jellium SZ, est la frbquence du plasma ionique, M la masse de l’ion, 2 le nombre de charges de l’ion et N , le nombre total d’electrons par unite de volume.

En se limitant aux processus normaux (type N) pour lesquels il y a conser- vation des vecteurs d’onde, le terme d’interaction U s’bcrit [7]

expression dans laquelle V ( q ) est la transformhe de Fourier du potentiel d’inter- action coulombienne entre les electrons :

4 TC e2 V ( q ) = ___-

q2

posons

JV est l’operateur nombre total d’electrons du systbme et ,u 1’8nergie de Fermi en presence des interactions, determinee par {JV) = N,. 8 ( t - t ’ ) est la fonc- tion Bchelon unite d’Heaveside et [ A , B] designe le commutateur des opitrateurs A et B.

L’equation d’hvolution de la fonction de Green D , , , ( t , t ’ ) pour un systbme dbcrit par l’hamiltonien (1) fait intervenir de nouvelles fonctions de Green pour lesquelles on peut ecrire & nouveau des equations d’6volution. En coupant la chaine d’equations ainsi obtenues au second ordre et en exprimant les nouvelles fonctions de Green en fonction de D , , , ( t , t ’ ) (ce qui correspond& l’approximation de Hartree-Fock), nous avons montre (Annexe I) que la transformbe de Fourier

Calcul de la conductivitb thermique du r6seau par la formule de Kubo 219

de Dq,q,(t, t’) s’bcrit

oh f p est la fonction de distribution de Fermi-Dirac.

la forme En appliquant la R.P.A. (Pel --f Yoe~/( l - 9 0 e l ) ) cette expression se met sous

et possede deux pales simples en E = & wq.

la limite oh q --f 0, on obtient La constante diklectrique de l’blectron a k t b calculke par Lindhard [8]. Dans

4 e2 m 112 oh k, = (- k,) est la constante d’kcran de Thomas-Fermi et vF la vitesse

de Fermi.

3. Conductivith thermique

La formule de Kubo pour la conductivith thermique K, s’kcrit

L’opkrateur flux d’knergie thermique au temps t a 6th calculk rigoureusement l’expression par Choquard [9]. Dans le cas d’un crystal cubique Qph(t) se rkduit

classique de Pierls : Qph(t) = (Vq ma) wq b:(t) bq( t )

9 et

cc B K, = kB /I 2 v0coq vq,oq, o,, wq’ exp ( --E t ) dt J Fqqqtq, ( t + in) dil .

9. 9‘ 0 0

Pour calculer la fonction de corrblation B deux particules introduite, on peut utiliser une mkthode de dkcouplage. Le probleme se rbduit alors au calcul de fonctions de corrblation & une part,icule [lo] :

<U b c d ) = (U b ) (C d ) + ( a C) ( b d ) + (U d ) ( b C) . De plus, si on ne tient pas compte des correlations entre deux opbrateurs de

m&me nom, les termes negliges sont petits (sauf en supra-conductibilitb oh leur contribution devient importante) et on peut bcrire

F,qq,q, ( t + iA) (b:(O) bq, ( t + iA)) (b , (O) b$ ( t + i A)).

220 8. CONAN

Les fonctions de correlation sont des intbgrales sur les fonctions de Green associhes e t les relations qui les lient ont B t B 6tudiBes par Zubarev [6] :

( b i ( 0 ) bq, ( t + i A)) = i [D,, , (W + i E ) - Dq,,, (W - i E ) ] x -m F

exp [-i w ( t + iA)] exp (Pa) - 1

d w 2 x -

+W

(b,(O) b$ ( t + ;A)) = i [D,,,, (u, + i E ) - D,,, (w - i E ) ] x s En tenant compte de ces relations e t de l’invariance par translation de la

fonction de Green du phonon, l’expression (4) se met, apres integration sur t et A, sous la forme

x [Dq,q(w + i E ) - D q , , ( w -;&)I,. ( 5 )

Nous devons donc &valuer la quantite D,, (a 6 i E ) obtenue en remplaqant E par (w i E ) dans l’expression (2). Ce calcul est effectui: en annexe (Annexe 11). I1 tient compte du fait que la partie reelle de la constante dielectrique de l’hlec- tron est une fonction paire de w tandis que sa partie imaginaire est une fonction impaire de w et conduit B

En reportant cette valeur dans l’expression (5) on obtient

-m

La fonction sous le signe 1 presente un maximum aigu au voisinage de w = w1 et vaut approximativement n/(2 w 2 ) . La correction entre wi et w: est d’ordre m / M . On peut donc ne pas en tenir compte dans les calculs et h i r e

t o o

-W

o t ~ N , est la fonction de distribution des phonons.

Calcul de la oonductivitb thermique du reseau par la formule de Kubo 221

Introduisons les quantiths b, = a(w, N,)/aT ((1/3) J gq dq = C, oh C, est la chaleur sphcifique de rhseau) et A, = c / ( 2 02) pour mettre K, sous la forme

En remplaqant w p par sa valeur tirhe de (3) il vient

Comme la chaleur specifique du reseau est, b basse temphrature, proportion- nelle b T3, la conductivith thermique sera proportionnelle b T2.

On peut remarquer qu’une inthgrale du type (7) diverge pour A,- qMn; n > 2 aussi est-on amenh, pour calculer des expressions de cette forme, L prendre pour valeur de A, soit celle qui correspond au mode dominant pour les phonons (coq x a)&,,,, x l , 6 k,T), soit une moyenne harmonique sur la distribution des phonons. Cette valeur sera toujours infhrieure L celle dbfinie par (7) qui est une moyenne arithmhtique sur la m6me quantith. Cette mbthode est surtout valable dans les cas oh l’on peut ignorer la limite suphrieure de la variable d’inthgration c’est h dire B basse temperature :

OD temphrature de Debye, qD rayon de la sphere de Debye. En adoptant cette dernihre mhthode, il vient

soit en posant

A, se met sous la forme

En reportant cette valeur dans l’expression (7) on

La chaleur sphcifique du rhseau s’kcrit

obtient

C, = (3 N kA) 3 - J 2? (3 4 M

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( N nombre d’atomes), done:

oh nous avons introduit le nombre na d’Blectrons libres par atome par substitution de Z1I3 k , a qD.

I1 est commode d’Bcrire cette expression sous une forme li!g&rement diffBrente en faisant intervenir la ri!sistiviti! hlectrique du rBseau :

et

Cette expression nous montre qu’8 basse temperature la conductivitB thermi- T2 et est constante dans le domaine des

Remarque : Ce resultat peut se retrouver aisement [ l l ] . En effet l’expression

que du ri!seau est proportionnelle hautes tempkratures.

variationnelle de la conductiviti! thermique est

k’ expression dans laquelle P k , p est la probabiliti! de transition d’un Btat k vers un Btat k’ avec emission ou absorption d’un phonon de vecteur d’onde q. Si on suppose que seules ont lieu les transitions de type N on peut prendre

et le dhnominateur de l’expression (3) est alors exactement

De m6me l’expression variationnelle de la rhsistivith hlectrique est donnBe par

(10) 1 {Qk - @ k ’ } 2 P;:* dk dk‘ dq ~ - - ~ ~ -

@ -2E,T { :L djk 2 dk)L

Si nous prenons pour la distribution des Blectrons la forme classique Qrc = k U’ et si nous limitons le type d’excitation aux processus normaux, alors les numb- rateurs de ces deux expressions variationnelles sont Bgaux. Apr&s une intbgra- tion Blbmentaire e t Blimination des numbrateurs entre les Bquations (9) et (10) on obtient le rBsultat (8). I1 est cependant Bvident que l’expression (7) ne peut s’obtenir qu’aprhs calcul du numbrateur de l’une ou l’autre des expressions (9) ou (10).

Calcul de la conductivith thermique du reseau par la formule de Kubo 223

4. Conclusion

Ce travail montre que la formule de Kubo conduit B une expression de la conductivite thermique du rkseau en bon accord avec celle obtenue par la mB- thode variationnelle. Comme l’hamiltonien defini par (1) ne contient pas de terme d’interaction phonon-phonon, il est nhcessaire dans les calculs de tenir compte de la partie imaginaire de la constante dihlectrique de l’electron. Ce rksultat ne serait pas apparu si nous avions fait l’hypothbse d’un potentiel effec- tif pour les termes d’interaction electron-phonon et klectron-Blectron. De plus dans le domaine des temperatures intermediaires la mBthode de la moyenne harmonique pour le temps de relaxation permet d’exprimer les rksultats dans le cadre de l’approximation de Debye. Nos calculs ne tiennent pas compte des processus de type U et les termes correctifs d’ordre mlM < 1 ont B t B negliges.

Remerciement

L’auteur remercie vivement le Professeur G. Goureaux pour de nombreuses discussions et les conseih utiles prodiguBs au cours de ce travail.

Annexe I

L’equation d’kvolution de la fonction de Green D,,,,(t, t‘) s’itcrit

avec r p , q , p’(4 t’) = <<a,’- A t ) %( t ) ; b$ (t’))) -

En construisant une Bquation d’kvolution pour la nouvelle fonction de Green JTP,q, q, ( t , t’) introduite il vient

En prenant les transformkes de Fourier des Bquations ( A l ) et (A2) et en tenant compte de (A3) on obtient le systeme d’kquations

(A47 qui, aprBs integration de 1’6quation (A4‘) sur p conduit B l’expression ( 2 ) .

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Annexe I1

En remplagant E par w f i E dans l’expression de Dqq(E) on obtient

avec wq = w1 + i 02, w: = ol - i w2. Comme la fonction exp (p o)/[exp (p w ) - 112 est une fonction paire de w on peut changer w en -w dans le terme en l/[(o + w1)2 + w i ] pour obtenir l’expression (6).

Bibliographie [l] J. A. MCLENNAN et R. J. SWENSON, J. Math. Phys. 4, 1527 (1963). [a] R. KUBO, J. Phys. SOC. Japan 12, 570 (1957); 12, 1203 (1957). [3] M. LAX, Phys. Rev. 109, 1921 (1958). [4] P. RESIBOIS, J. chem. Phys. 41, 2979 (1964). [5] N. P. ARGYRES, Phys. Rev. 132, 1527 (1963).

T. HOLSTEIN, Ann. Phys. (U.S.A.) 29, 410 (1964). V. BORTOLANI, Nuovo Cimento 36, 866 (1965). R. KISHORE, phys. stat. sol. 26, 133 (1968).

[6] D. N. ZUBAREV, Soviet Phys. - Uspekhi 3, 320 (1960). [7] D. PINES, Elementary Excitations in Solids, W. A. Benjamin, Inc., New York/Amster-

[8] J. LINDHARD, Mat.-Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 28, No. 8 (1954). [9] PH. CHOQUARD, Helv. phys. Acta 36, 415 (1963).

dam 1964.

[lo] B. DEO et S. N. BEHERA, Phys. Rev. 141, 738 (1966). [ll] J. M. ZIMAN, Electrons and Phonons, Clarendon Press, Oxford 1963.

(Received November 10,1971)