Calcul de La Fréquence Propre d'Un Plancher Mixte

7/25/2019 Calcul de La Frquence Propre d'Un Plancher Mixte

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Revue

Construction

Mtallique

EXEMPLE DE CALCUL DE LA FRQUENCE PROPREDUN PLANCHER MIXTE A BAC COLLABORANT

par D. Bitar

Rfrence

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1. INTRODUCTION

La vrification du comportement vibratoire dun plancher sous laction des usagers peutse faire, soit par calcul de la rponse au chargement dynamique induit par les usagers,soit de faon forfaitaire en imposant une frquence propre minimale de la structure.

Dans le premier cas, il sagit deffectuer une analyse dynamique avec une dfinition de lacharge et de la frquence dexcitation. Ce sujet est bien entendu trs vaste. Retenonspour principe que le critre limite ne pas dpasser pour maintenir un certain confort dupublic serait lacclration. titre dexemple la rfrence [4] indique que dans le domaine

de frquence infrieure 8 ou 10 Hz lacclration maximale ne doit pas dpasser : 0,125 m/s2 pour des mouvements perceptibles;

0,40 m/s2 pour des mouvements gnants.

partir de 1 m/s2 le mouvement devient intolrable. Il faut noter que ces seuils deperception augmentent avec la frquence.

Dans le deuxime cas, on peut dfinir des frquences limites afin de garantir uneacclration maximale infrieure 0,1 ou 0,15 m/s2.

Le but de cet article est de prsenter le calcul de la frquence propre dun planchermixte bac collaborant et de comparer la rponse globale obtenue avec la pratiquecourante des projeteurs qui repose sur une modlisation trs simplifie du plancher par

une poutre mixte seule.

2. SITUATION DE LEC4 1.1 [1]

Dans le chapitre 5 de lEC4 1.1 tats limites de service ltat limite concernant lavibration est cit sans donner de rgles dapplication. Afin de donner des limites, leDocument dApplication Nationale a propos lamendement 5.1 (1) A o la frquencepropre fondamentale doit tre suprieure 3 Hz pour les planchers de bureaux,dhabitation et parking, et 5 Hz pour les salles de danse et gymnases.

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CENTRE TECHNIQUE INDUSTRIEL

DE LA CONSTRUCTION MTALLIQUE

Domaine de Saint-Paul, 78470 Saint-Rmy-ls-ChevreuseTl.: 01-30-85-25-00 - Tlcopieur 01-30-52-75-38

Construction Mtallique, n 1-2001

D. BITAR Ingnieur CTICM


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32 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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Pour ltude du comportement vibratoire des planchers mixtes (ceci est particulier auxplanchers mixtes), il est admis dutiliser les caractristiques des sections mixtes nonfissures, avec le module scant dlasticit Ecmpour le chargement court terme.

Concernant les charges considrer, lamendement 5.1 (1) A indique quil faut prendreen compte uniquement le poids propre et les charges permanentes sur le plancher. Bienentendu, on peut ajouter ou non une fraction de 10% 20% de la charge dexploitationselon lapprciation que lon a du mode dexploitation des locaux (par exemple, pour lesbtiments de stockage il est courant dutiliser 20% de la charge dexploitation).

3. CALCUL DE LA FRQUENCE PROPRE

DUN PLANCHER MIXTE BAC COLLABORANT

Nous proposons de calculer dans ce paragraphe la frquence propre dun plancher mixte bac collaborant. On se limite ici deux trames rgulires de 7,5 m 10 m, ce quipermet de se placer en scurit en ngligeant leffet de la continuit au-del de 2 traves.

3,1. Caractristiques du plancher

Fig. 1 Vue en plan du plancher

BAC

COFRASTRA

10 m

10 m

3 2,5 m

SOLIVES

POUTRES PRINCIPALES


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Les diffrents lments sont :

Poutres principales

Porte : 7,5 mtresSection PRSSemelle sup. 190 15Semelle inf. 190 25me 10 500

Solives

Porte : 10 mtresProfil HEB 280

Dalle

Dalle mixte bac collaborant Cofrastra 40 + recouvrement de 60 mm de bton

Connexion

La connexion est complte par rfrence au chapitre 6 de lEC4

3,2. Matriaux

Acier PRS : S355

Acier HEB : S235

Bton : normal B25

Coefficient dquivalence court terme ni= 6,89

ni= Ea/Ecm= 210000/30470

3,3. Charges

Les charges caractristiques sont :

Poids propre : 2,4 kN/m2

Charges permanentes complmentaires : 1,5 kN/m2

Charges dexploitation : 5 kN/m2

3,4. Modlisation

Le plancher est modlis par un rseau de poutres croises; comme nous lavonsindiqu au dbut de ce paragraphe, on se limite ici deux trames de 7,5 m 10 m. Lesappuis reprsentent les poteaux et les autres lments sont nots la figure 2.


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Fig. 2 Modlisation plancher

Dalle

Du point de vue mcanique la dalle mixte bac collaborant transmet les charges dansune direction parallle aux ondes, ce qui justifie la modlisation de la dalle par deslments de poutre de largeur 1,25 m.

Comme nous lavons indiqu au paragraphe 2, les caractristiques utiliser sont cellesde la section non fissure. La dalle mixte est assimile une dalle pleine de 80 mmdpaisseur et de largeur 1,25 m; les caractristiques sont calcules en ngligeant lesarmatures et linertie propre du bac (XX et YY sont les axes globaux) :

Module dlasticit Ecm= 30470 N/mm2

Inertie/YY : 55 . 106 mm4

Aire : 200000 mm2

Poutres principales

Poutre mixte avec une largeur participante de 1,875 m selon lEC4-1.1 (Ch. 4)

Les caractristiques de la section mixte sont (homognisation par rapport lacier)

Inertie/YY : 1608,68 . 106 mm4

Aire : 28928 mm2

Solives

Poutre mixte avec largeur participante de 2,5 m

Inertie/XX : 560,06 . 106 mm4

Aire : 34890 mm2

3,5. Chargement et analyse

Comme nous lavons indiqu au paragraphe 2, on utilise les charges permanentes

caractristiques (poids propre et charges permanentes complmentaires) pour le calculde la frquence propre. En plus, nous avons choisi ici de tenir compte de 10% de lacharge dexploitation.

ELEMENTS POUTRE PRINCIPALE

ELEMENTS

SOLIVE

ELEMENTS

DALLE

161,25

3 2,5

X

Y


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La charge rpartie sur le plancher pour le calcul de la frquence est gale (cf.paragraphe 3.3) :

2,4 + 1,5 + 0,1 5 = 4,4 kN/m2

partir de cette charge rpartie on calcule des charges linaires sur chaque lmentdont laxe longitudinal est suivant XX. Ceci est bien valable car les ondes du baccollaborant sont parallles XX (voir explications paragraphe 3.4).

Charges linaires sur les lments de dalle : 4,4 1,25 = 5,5 kN/ml

Charges sur les poutres principales de rive : 4,4 1,25 0,5 = 2,75 kN/ml

Charges sur la poutre principale intermdiaire : 4,4 1,25 = 5,5 kN/ml

Par application des charges sur les lments de dalle il ny a rien appliquer sur lessolives ( part bien entendu le poids propre du profil).

Aprs lapplication du chargement, on effectue un calcul statique linaire et onsintresse plus particulirement la dforme du plancher.

La figure 3 donne le schma dapplication des charges et la figure 4 montre lallure de ladforme. Les flches sont donnes dans le tableau 1.

Fig. 3 Charge applique au plancher

Fig. 4 Allure de la dforme du plancher


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On va montrer maintenant comment utiliser ces flches pour calculer la frquencepropre du plancher; cest--dire quon se place volontairement dans la situation o lonne dispose pas dun logiciel de calcul dynamique.

On peut appliquer une des formules approches exposes par DESPEYROUX dans larfrence [3]. Ces formules approches sont dduites de considrations nergtiques(Rayleigh).

Pour un plancher sous charges concentres, la priode du mode fondamental estdonne par lexpression :

T= 2

Piest la charge applique au point i;

iest la flche sous la charge i;

gacclration de la pesanteur.

Nous attirons lattention sur le fait que dans cette expression les charges considres aunumrateur sont positives (prises en valeur absolue). Cette remarque est importantesurtout lorsquon calcule la priode du mode de la figure 6.

Dans notre cas, nous avons des lments de dalle espacs de 1,25 m et des solivesespaces de 2,5 mtres. Ceci nous permet de transformer la charge rpartie en chargesconcentres sur 24 surfaces de 2,5 m 2,5 m. La flche au centre de chaque surfacecarre 2,5 m 2,5 m est dj calcule partir du modle prcdent. Le tableau 1 donneles diffrentes flches obtenues.

Bien entendu, plus lon considrera un grand nombre de charges appliques dessurfaces petites, plus le rsultat obtenu sera prcis.

TABLEAU 1

Pii2gPii

Flches en mm (dforme figure 4)

Surface 2,5 m x 2,5 mcentre sur Y(m) 1,25 3,75 6,25 8,75 11,25

X(m)X = 1,25 3,9 6,8 6,6 4,3 4,3

X = 3,75 5.5 9,7 9,7 7,1 7,1

X = 6,25 3,9 6,8 6,6 4,3 4,3

La suitepar symtrie

Puisque les charges Pisur chaque surface sont gales, lexpression de la priode propredevient :

T= 2

i

2

gi


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Par application :

T= 2

= 0,1659

La frquence propre du plancher : 1/T = 1/0,1659 = 6,0 Hz

Un autre calcul est effectu afin dobtenir, cette fois, la frquence pour le mode dedformation de la figure 6. Pour ce cas, nous avons invers les charges sur lautremoiti du plancher comme cest indiqu la figure 5.

Fig. 5 Chargement

Fig. 6 Allure de la dforme du plancher

Les flches au centre de chaque surface 2,5 m 2,5 m sont donnes dans le tableau 2.

1030,37

9,83 150,303 1000


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Flches en mm (dforme figure 4)

Surface 2,5 m x 2,5 mcentre sur Y(m) 1,25 3,75 6,25 8,75 11,25 13,75 16,25 18,75

X(m)

X = 1,25 5,4 10,3 10,0 4,5 4,5 10,0 10,3 5,4

X = 3,75 7,4 13,5 12,9 5,5 5,5 12,9 13,5 7,4

X = 6,25 5,4 10,3 10,0 4,5 4,5 10,0 10,3 5,4

Avec un calcul similaire :

T= 2

Les iau dnominateur tant tous compts positifs pour tenir compte du fait que Piiesttoujours positif.

Par application :

T= 2

= 0,1951

La frquence propre du plancher : 1/T = 1/0,1951 = 5,1 Hz

Calcul de la frquence propre des diffrents lments.Dans les cas courants, poutre sur appuis simples inertie constante, le tableau, ci-aprs,donne directement la frquence propre en fonction de la flche. Le projeteur calcule laflche sous charges appropries et par rfrence ce tableau il peut dduire facilementla frquence fondamentale de la poutre en question.

1889,349,83 199,4 1000

i2

gi

TABLEAU 2

SYSTME STATIQUE FRQUENCE PROPRE (Hz)

Frquence (Hz) = 15,81/

est la flche maxi en mm

18,07/

17,77/

18,07/

19,4/

est la flche maxi en mm


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Solive mixte

Charge uniforme : 2,4 + 1,5 + 0,1 5 = 4,4 kN/m2

Charge linaire par poutre : 4,4 2,5 = 11 kN/ml

Porte : 10 m

Inertie de la section mixte : 560,06 . 106 mm4

Flche : (5/384) (11 100004)/(210000 560,06 . 106) = 12,2 mm

Frquence : 18,07/12,2 = 5,2 Hz

La vrification des flches lELS est mener selon lEC4 [1] et [2].

Poutre principale

Charges concentres

P = 11 10 = 110 kN

Inertie de la section mixte court terme : 1608,68 . 106 mm4

T= 2 = 2 = 0,13

Frquence : 1/0,13 = 7,7 Hz.La frquence relle de la poutre est lgrement infrieure cette valeur car nous avonsnglig la partie de la charge uniformment rpartie sur la poutre (7,3 Hz).

Dalle

Charge uniforme : 4,4 kN/m2

Charge linaire : 4,4 1,25 = 5,5 kN/ml

Inertie : 55 . 106 mm4

Module dlasticit Ecm= 30470 N/mm2

Flche en poutre isostatique de 2,5 m de porte

0,0043 9,83110 0,0043

2 2

9,83 110 0,0043 2

Flche au droit des charges

4,3 mm

Deux charges gales1/3 et 2/3 de la porte


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Flche : (5/384) (5,5 25004)/(30470 55 . 106) = 1,7 mm

Frquence : 18,071,7 = 13,9 Hz

4. COMPARAISON ET CONCLUSION

Nous avons expos dans cet article une mthode simple pour valuer la frquencepropre dun plancher mixte bac collaborant.

Nous avons adopt une modlisation statique par grille de poutres croises et uneapplication des charges sur les lments de la dalle mixte. Deux modes sont analyss :

le premier concerne une flexion positive de la totalitdu plancher;

le deuxime (mode fondamental) qui est tout fait susceptible dtre excitpar lesusagers.

La comparaison entre le calcul simple en poutre isostatique isole du reste de lastructure (7 Hz pour la poutre principale de 7,5 m de porte et 5 Hz pour les solives et lespoutres principales de 10 m de porte) et le calcul global du plancher, (frquence delordre de 5 6 Hz pour les deux calculs) montre bien que les errements habituels desprojeteurs permettent une bonne estimation.

Nanmoins, nous attirons lattention sur le fait que ceci est bien valable pour des tramesrgulires et que les rsultats peuvent tre trs diffrents dans le cas dune irrgularit

importante.

RFRENCES

[1] EC4-DAN Norme exprimentale franaise P22-391. Eurocode 4. Conception etdimensionnement des structures mixtes acier-bton et Document dApplicationNationale Partie 1.1 : Rgles gnrales et rgles pour les btiments.Septembre 1994

[2] D. BITAR Application de lEurocode 4 1.1 : Calcul des dformations des poutresmixtesRevue Construction Mtallique, n 3 1998.

[3] J. DESPEYROUX Notions lmentaires sur la dynamique des structures Dtermination des priodes propres doscillation Annexe C Rgles PS 69 DITION EYROLLES 1976.

[4] W. JALL Vibrations dues au public Stage de formation CTICM VIBRATIONSDES CONSTRUCTIONS MTALLIQUESoctobre 1996.

Documents

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