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Calcul des pertes d'énergie dans un estuaire à marée (Gironde)

Principe et exécution du calcul à l'aide d'une machine mathématique

Calculation of energy losses in a tidal estuary (Gironde) Theory and accomplishment of calculation

by means of an electronic calculator

P A I I M. F A Ü R E , I N l i K . M E C K A C L A l l O R A T O I H E N A T I O N A L O'dl V O l l A C I. I Q C E ( C H A T O D )

Les équations aux dérivées partielles (équation de continuité et équation dynamique) sont réso­lues numériquement en remplaçant tes dérivées par des différences finies. La division de l'es­tuaire de la Gironde en vingt tronçons et du cycle des marées en cinquante intervalles, conduit à 90.000 opérations exécutées mécaniquement en quelques dizaines d'heures, avec une précision qui, en général, ne dépend que de la précision des données et du découpage en tronçons et en intervalles. La machine donne, d'ailleurs, un certain nombre de résultats intermédiaires inté­ressants (cubature, vitesses, accélérations, etc.). La perte locale d'énergie croit lorsque l'estuaire se rétrécit.

Partial differential equations (equation of con­tinuity and dynamic equation) are solved numerically by substituting finite differences for the differentials. Division of the Gironde es­tuary into 20 sections, and division of the tide cycle into intervals, involves 90,000 mecha­nical operations in about thirty hoars; the accuracy obtained generally depends only on the accuracy of the data and of ihe division into sections and intervals. In addition, the machine gives a certain number of interesting inter­mediary results (cubahtre, velocities, accelera­tion, etc.). The local loss of energy increases when the estuary narrows.

I. — INTRODUCTION

Oh admet généralement que les équations du mouvement non permanent régissent la propa­gation de l'onde de marée dans un estuaire. Con­naissant sa géométrie et les paramètres qui fixent les pertes de charge, il est possible de traiter le problème numériquement, ce que firent des in­génieurs belges ou néerlandais [1] . Dans leurs calculs, les paramètres fournissant les valeurs des pertes de charge étaient supposés constants ou à peu près. Cette hypothèse était admissible puisque leurs calculs ont été confirmés par l'ex­périence.

Notre but est identique : déterminer la propa­

gation de l'onde de marée résultant de modifica­tions de la géométrie de l'estuaire. Un calcul pré­liminaire nous a montré que les coefficients de perle de charge ne conservaient pas une valeur constante pendant la marée; le calcul était donc impossible sans connaître leur variation le long de l'estuaire au cours du temps. La connaissance de ces coefficients devrait nous permettre égale­ment de procéder plus facilement au réglage des lignes d'eau et des courbes de marées de ce môme estuaire dont l'élude est effectué»' sur modèle réduit.

Le volume des calculs à efl'ecluer ne per-

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1953009

748 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° SPÉCIAL B / 1 9 5 3

nietlail pas d'obtenir des résultats dans un délai compatible avec le programme d'étude sur mo­dèle réduit par les procédés classiques de calcul numérique. Aussi avons-nous utilisé les possi­bilités des nouvelles machines automatiques.

Nous allons présenter dans la suite quelques indications très sommaires uniquement sur le calcul des pertes d'énergie (principe, exécution, résultats), cet exposé n'étant qu'un résumé du rapport complet sur le calcul.

II. — PRINCIPE DU CALCUL

1 " R A P P E L DES ÉQUATIONS :

Les équations aux dérivées partielles (établies dans le cas d'un canal de pente et de prolil cons­tants) régissant la propagation d'une intumes­cence à laquelle nous assimilons l'onde de marée, sont les suivantes :

avec

a) Equation de continuité :

0 (1) dimension L 2 ! ' - 1 9Q_ + b .3H dt

b) Equation de la dynamique

dx 1

u-311 dt + g ir = «

(2) dimension L T~~

où les notations sont classiques et où :

U = vitesse moyenne spatiale dans la section S,

S.U = ffu.dS

(u vitesse au centre de l'élément d S).

== pente due à la résistance, à la turbulence et, d'une façon générale, à tous les phéno­mènes qui peuvent entraîner des écarts par rapport aux équations théoriques :

8 R

g U -

C - R

Dans ces équations, la pente de fond n'inter­vient pas.

G . - H . KEULEGAN [2] , tenant compte de la répar­tition verticale des vitesses, obtient la forme sui­vante de l'équation de la dynamique :

dV dt

(3)

* coefficient de répartition verticale des vites­ses défini par :

U a S .rfS

L'établissement de ces équations impose certai­nes conditions classiques aux dérivées de S, U, à la pente du profil et à la courbure de l'onde.

Les coefficients * ont été calculés le long de l'estuaire à partir des résultats d'une campagne de mesures de la Division des Essais Extérieurs du Service des Etudes et Recherches Hydrauli­ques de l'Electricité de France, portant sur 4.000 mesures; a varie entre 1 et 1,1, les valeurs les plus fortes se trouvant à l'aval de l'estuaire où le terme U/S.dS/dt est faible. (%V-/2 est toujours un terme correctif.)

Au total, nous pouvons, compie tenu de la pré­cision des autres mesures, prendre a — 1 .

c) Equation de l'énergie :

M. A L L A I W indique [3] une combinaison des deux équations précédentes qui permet de cal­culer les perles d'énergie globale. Nous n'avons pas appliqué sa méthode générale, car nous ne possédions que peu de relevés de courants. (Un calcul de cubature nous a fourni les vitesses moyennes suivant la direction moyenne de l'écoulement.)

En multipliant l'équation de continuité par ? ( # H + 1/2 U2) et l'équation de la dynamique par ? Q, et en effectuant la somme, on obtient :

dx Q g H +

1

-U- + p i>{ g H

A U

dt 3

+ ? Q g /,.

4

I d t

( 4 )

chaque terme a la dimension M L T - de la déri­vée d'une énergie par rapport à / et à x, ce qui conduit à intégrer par rapport à x pour obtenir des puissances, puis par rapport à t pour obtenir des énergies.

N" SPÉCIAL B/1953 LA HOUILLE BLANCHE 7-19

1. L'intégration par rapport à x entre ;r0 et xt

des termes 1, 2, 3, 4 fournit des termes V, 2', 3', 4' qui ont la dimension M L- T~'J d'une puissance et représentent :

V la différence des puissances transmises à tra­vers les sections ,r0 et xt;

2' la variation, d'énergie potentielle de la masse d'eau comprise entre les sections x0 et x, pendant l'unité de temps;

3' la variation d'énergie cinétique correspon­dante;

4' la puissance dissipée (par frottement, turbu­lence) :

4' = P (t)

2. L'intégration entre f0 et /, des termes V, 2', 3', 4'" fournit des termes 1", 2", 3", 4" qui ont la dimension M L- T ~ 2 d'un travail et repré­sentent les analogues des quantités V, 2', 3', 4' pour l'énergie entre les instants t0 et t1.

En particulier :

— 1) Si tr — /(, + T, T période de la marée. les différents termes représentent :

1" la différence des puissances transmises à tra­vers les sections x 0 et pendant une marée;

2" la variation d'énergie potentielle, nulle si l'on admet qu'au bout d'une période, les condi­tions de forme, et de vitesse de l'onde de marée sont identiques;

3" la variation d'énergie cinétique, nulle poul­ies mêmes raisons;

4" le travail dépensé par frottement pendant une marée.

— 2) Si l'on intègre entre étales successives, le calcul permet de séparer, énergies dissipées au Ilot et au jusant .

P (t) représente la puissance dissipée sur l'aire A comprise entre les sections d'abscisses .r„ et x,, soit P (t)/A par unité de surface. En ad­mettant que cette puissance dissipée provienne uniquement du frottement et que la force de frot­tement moyenne par une unité de surface, F, soit proportionnelle à p (U 2 /2) (écoulement turbu­lent), la puissance dissipée serait égale à :

I P

d'où :

P(t) 11" P(t) A o.lP 2

d'où un procédé de calcul du coefficient universel de perle de charge.

2° P R I N C I P E DU CALCUL

E T TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS.

Le but du calcul est de déterminer, à partir des lignes d'eau et de la géométrie du bassin, les va­leurs de g ir (d'où À ou C) et de P ( f ) ;

— L'équation de continuité fournit le débit Q cl la vitesse moyenne U;

— L'équation de la dynamique fournit g ir (d'où À et C ) .

— L'équation de l'énergie fournit P (t) (d'où X).

Les équations aux dérivées partielles sont ré­solues numériquement en remplaçant les déri­vées par des différences finies A/Af, A/A.x- qui se calculent en considérant des accroissements des fonctions à x ou t constant (suivant des droites parallèles aux axes des t ou des x) ; les différen­ces finies représentent des valeurs moyennes des dérivées sur un intervalle A.r ou A/. Il faut donc envisager, non pas la valeur des quantités U, H , b, Q en un point donné, mais la valeur moyenne dans un intervalle A.r ou M ou les deux suivant les cas.

Si l'on considère dans le plan .r, t, le quadril­lage formé par les droites de coordonnées res­pectives, A.i\. A.r, -f- A.r._.. + . . . A/, 2 A/, 3 AL . . ., les valeurs des différentes variables H, S, b . ..

P - 2 p _ 1 P p * 1 p f 2

2

P /

Fie . 1. — R é s e a u d ' i n t é g r a t i o n .

sont connues, par exemple, aux nœuds des qua­drillages. Le calcul consiste à déterminer les in­connues au centre d'un rectangle, par exemple, en fonction des données aux quatre sommets cor­respondants, ou en un nœud en fonction des don­nées aux sommets du losange dont le nœud est le centre (tig. 1).

7 5 0 LA HOUILLE BLANCHE N" SPÉCIAL B/1953

323IÌ Calcul de cubature

- A Q _ i } )

A H == 0 au point / i 4 - 1/2, p + 1/2 AH A / 1

(2) A P JL. A + i . A l l + 1 /2 A „ + ) ; 2

A —»

(3) 1/2 (AÏ + 1 / 3 4 - A ï t } / a ) = A U i / l 1/2 (2) A L L + l / 2

(4) H , ? + 1 — H* H - »

(5) 1/AT (H J + 1 — B|>) ! " 1/AT (4)

(6) « r i 2 4 < i , À , 2 - 2 altYà (5) -»

(7) 1/2 (2 oî + j«) 1/2 (6) / A H y + 1 / 2

A / /

(8) „ + A K - M / 2 1 n f + W

" « + 1 / 2 - / l « + 1 /2 -* S ! IL + 1 / 2 (3).(7)

(9) I A Q ^ i ; i = A Q S t f ê 4 Q t t i l - Qttm n

(8) -» f ) /1 + 1 / 2 N5 » + 1 ' 2

(10) s

(H) i / 4 ( 4 s ; t i ; i ) = F T F I A 1/4 (10) e / H - 1 / 2 ° « + 1 / 2

(12) / - W I + I / 2 / t j / I + 1 / 2 _ T T / I + 1 / 2 S ! N + 1 / 2 / " 1 + 1 / 2 ' ^ » + 1 /2 (9) / (H) IT + 1-"->

*-> N + 1 ' 2

Fir.. 2. — Plani f icat ion du calcul de cubature .

Les calculs de cubature et de coefficient de perte de charge ont été effectués au centre d'un rectangle (d'où valeur moyenne dans un tron­çon).

Le calcul effectué en un nœud fournit des ré­sultats dans une section déterminée (calcul de l'énergie qui traverse une section déterminée).

3 " PLANIFICATION nu CALCUL

(Exemple : cubature fig. 2).

La planification du calcul consiste à décompo­ser la suite des opérations en opérations élémen­taires que la machine est capable d'effectuer

(addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racines, sommation, sin x/x, s hx/x, cos x/x, ch x, ex).

Connaissant les valeurs de h, H, S, u, A en fonction de x et t, les trois calculs se décompo­sent en 90 opérations élémentaires.

Une difficulté s'est présentée au confluent de deux rivières car le calcul dans un tronçon né­cessite la connaissance de résultats dans îe t ron­çon amont, nous avons été amenés à considérer une section fictive formée par la réunion des deux sections adjacentes à l 'embouchure et à calculer dans cette section des valeurs fictives de certains résultats. L'introduction des conditions aux limi­tes a pu s'effectuer simplement.

III. — EXÉCUTION DU TRAVAIL

Les calculs ont été exécutés au Bureau de Cal­cul numérique de la Cie I.B.M.; les indications qui suivent sont très sommaires, car nous ne pouvons entrer, ici, dans le détail du fonction­nement et de la codification.

1" G R O U P E CALCULATEUR I . B . M .

(cf organigramme fig. 3 ) .

Le groupe calculateur électronique I . B . M . est une machine arithmétique où le programme est

N " SPÉCIAL B / 1 9 5 3 L A H O U I L L E B L A N C H E 7 5 1

MEMOIRE TYPE 9 4 1

16 m é m o t i - E S D E IL CH.FFRES £

O R G A N I G R A M M E DE F O N C T I O N N E M E N T

DU G R O U P E CALCULATEUR ÉLECTRONIQUE I B M

(À P R O G R A M M E P A R CARTES PERFORÉES}

C A N A L C (¡1 E H . F F R . . . )

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F i o . 4 . — C a l c u l d e c u b a t u r e . C o d i f i c a t i o n .

752 LA HOUILLE BLANCHE N" SPÉCIAL B/1953

introduit par des cartes perforées. Il comprend quatre éléments : tabulatrice, mémoire, calcula­trice électronique, perforatrice.

— La tabulatrice a pour rôle de lire sur les cartes perforées les instructions du calcul et de les transmettre aux différents orga­nes du groupe. Elle peut imprimer des résultats.

— L'unité de mémoire permet de conserver de façon semi-permanente des résultats in­termédiaires, des constantes.

— La calculatrice effectue, sous le contrôle de chaque carte instruction, les différentes étapes du programme, codifiées sur la carte et les opérations élémentaires que nous avons énoncées.

— La perforatrice récapitulatrice permet de per­forer les résultats sur cartes.

— Dans le deuxième calcul Af = 30 m, nous avions 45.000 opérations.

— Les données introduites sont : tirants d'eau H„, sections mouillées S,„ largeurs en surface bn, surfaces des plans d'eau A„ (20 X 50 X 4 = 4.000 données), plus longueur des tronçons, les cotes des zéros des marégraphes (2 X 20 données) et des constantes S, T, y, o, soit un peu plus de 4.000 données.

Pour déterminer ces valeurs, nous avons tracé leurs variations en fonction du tirant d'eau, puis, connaissant la courbe de marée h (x, t), nous en avons déduit les valeurs des données en fonction de x et de t.

Dans chaque tronçon et pour chaque inter­valle, nous avons retenu 14 résultats, soit : 14.000 et 7.000 résultats respectivement dans le premier et le deuxième calcul.

2" CARTES P E R F O R É E S .

Les données sont introduites sous forme de cartes perforées et chaque opération est codifiée au moyen d'un code à trois adresses (adresse des deux facteurs de l'opération à effectuer et adresse du résultat).

3" CODIFICATION

(Exemple : calcul de cubature, fig. 4 ) .

La codification consiste à traduire en chiffres conventionnels de la machine tout le détail des opérations indiquées dans la planification.

4" T E M P S D 'EXÉCUTION.

Dans un calcul de ce genre, le travail de pla­nification et de codification est de beaucoup le plus long.

Nous avons effectué deux calculs, le premier en prenant A/ ==15 m, le deuxième en prenant A/ ~ 30 m. Nous avons choisi 20 sections dans le domaine fluvio-maritime.

Le calcul complet pour un tronçon et pour un intervalle déterminés comporte 90 opérations élé­mentaires :

— Dans le premier calcul, A/ - 15 m, le nom­bre d'intervalles At est de 50, d'où au total :

20 X 50 X 90 = 90.000 opérations,

5" AVANTAGES, INCONVÉNIENTS.

a) Avantages :

— Rapidité. Les travaux préliminaires de déter­mination des données ( à effectuer quel que soit le mode de calcul) et de codification étant effectués, le calcul nécessite quel­ques dizaines d'heures de fonctionnement de la machine. Un travail analogue pour des intervalles plus larges avait nécessité trois mois de travail, avec une machine à calculer ordinaire à clavier.

— Précision. Les résultats sont fournis avec le nombre de décimales désirées. La machine étant une machine arithmétique, la pré­cision des résultats ne dépend que de la précision des données des équations, du mode de calcul et du découpage en x et t.

b) Inconvénients (ils sont, en général, mi­neurs) :

— Erreurs. Dans les machines analogiques, l'er­reur principale est l 'erreur de lecture : dans les machines électroniques, l 'erreur vient des données ou est purement acci­dentelle. Des erreurs systématiques peu­vent s'introduire lorsqu'on modifie acci­dentellement l'ordre des cartes perforées.

— Dépouillement. Les résultats sont présentés sous forme de tableau de chiffres. Dans les machines analogiques, on obtient di­rectement des courbes de variations.

N ü SPÉCIAL B/1953 LA HOUILLE BLA N GII li 753

IV. RÉSULTATS

Le calcul dont nous présentons quelques ré­sultats a été effectué pour le domaine lluvio-marilime de la Gironde dans le cas d'une marée de coefficient 108 et de débits fluviaux amont moyens. Les résultats que nous avons obtenus sont au nombre de 14 pour chaque tronçon et chaque intervalle de temps considéré. Ce sont :

-— Calcul de cubature moyenne U

débit Q et vitesse (1) (2)

— Calcul de coefficient de perte de charge. — accélération due à la pente de la ligne

d eau g ——- (3) 3.T

— accélération due à la variation du carré

de la vitesse —- —— 2 dx

— accélération due à A U

tesse : __—. or

la variation de vi­

tó)

accélération due au frottement F (d'où À et C) (6) (.7) (S)

— nombre de REYNOLDS t'1

Calcul d'énergie.

— énergie traversant une section

1

3 U

énergie potentielle

? / ' " ' Q a dt

énergie cinétique

? / h ( g H -

dx -= 1)

U 2 9H 3/

f/.E

(IN

( 1 0 )

( 1 1 )

15

(12)

(13) puissance dissipée P (t)

- coefficient universel de perte de charge À (14)

1" CALCUL DE CUBATURK (fig. 5 et 6).

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F i e C a l c u l d e c u b a t u r e . P r é s e n t a t i o n b r u l é d e s r é s u l t a t s .

7 5 4 LA HOUILLE BLANCHE № SPÉCIAL B / 1 9 5 3

FIG. 6, — C a l c u l d e c u b a t u r e .

F i a . 7 . — C a l c u l de l a p e r t e d e c h a r g e ( 3 - 4 ) .

№ SPÉCIAL B/1953 L A H O I J I L L K B L A N C H E

Ce calcul, le plus simple, n'entraîne aucune remarque particulière. Nous avons obtenu des valeurs semblables aux valeurs calculées par d'autres procédés. A remarquer que les renver­ses de courants sont légèrement postérieures aux étales de niveau.

2" CALCUL DES C O E F F I C I E N T S DE P E R T E DE CHARGE.

a) Analyse des différents termes (fig. 7) (pente en 10- 5 ) :

— q - ^ -ce terme est proportionnel à la penle ox de la ligne d'eau dans la section considé­rée (au flot < 0, au jusant > 0).

3 U

dt ce terme représente l'accélération lon­gitudinale des particules d'eau. Ses va­leurs ne sont pas très continues, car son calcul fait intervenir les valeurs des vites­ses dans les deux intervalles adjacents.

1 73U 2

ce terme est faible comparé aux deux 2 dx

autres.

F représente la valeur absolue de la somme de ces trois termes.

b) Valeur du coefficient de perte de charge :

Les courbes représentatives présentent quel­ques anomalies, surtout au moment des éta­les de courant. En effet, à ces instants, les hypothèses d'établissement des équations ne sont plus vérifiées (lîg. 8).

1. La figure 8 fournit les variations de X en l'onction de t dans les tronçons 3-4, 7-8, 12-13, 17-18 avec comme valeur moyenne 0,009 dans 3-4, 0,026 dans 7-8. L'allure de la variation est nettement différente au Ilot (fortes variations) et au jusant (valeurs à peu près constantes).

A l'amont, les tronçons 12-13, 13-14 fournis­sent respectivement X = 0,025 et X — 0,017.

2. La figure 9 fournit les valeurs de X sur l'en­semble du domaine fluvio-maritime et permet les remarques suivantes :

— tronçon 0-1 Xm == 0,020 forte perle de charge due à l'étrangle­ment ;

— tronçon 5-6 X,„ = 0,012

présence d'île;

— tronçon 6-7 Xm = 0,012

— tronçon 7-8 X„, = 0,026 présence d'île — grande difficulté dans le réglage des lignes d'eau.

0 . 1 0

i S

j i

— —

\

\ TRONÇON 3.4

TRONÇON 7 -8

TRONÇON 12-13

H

i TRONÇON 3.4

TRONÇON 7 -8

TRONÇON 12-13

H

i

TRONÇON 3.4

TRONÇON 7 -8

TRONÇON 12-13

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0 . 0 7 5

X

0 . 0 5 0

0 . 0 2 5

lO 2 0 F m. 8. — V a l e u r s c o m p a r é e s d e À. INTERVALLES

LA HOUILLE BLANCHE N" S P É C I A L B/1953

0 0 20 1 2

0 008 0 6

Km 55 \

PAUILLAC '

0 009 11

0 009 1

0 011 1.7

0.012 1 1

0 016 2

0 027

1 3

0.014 1 1

LE MARQUIS 0 016 1 8

0 020

1 5

{CAVERNE „ 0 1 0

1 4

4" CALCUL DES PUISSANCES DISSIPÉES.

a) Analyse des différents termes : Nous avons calculé, dans chaque section et dans chaque in­tervalle : Y, D, B, P dont les variations sont in­diquées dans la figure 10 pour le tronçon 3-4.

— Y (indépendant du niveau de référence), re­présente le flux d'énergie qui traverse une section déterminée. Le signe de Y est im­posé par le signe de Q (Q > 0 au ilot, Q < 0 au jusant) . Ce flux d'énergie s'an­nule quatre fois : deux fois aux étales de courant (points 1 et 2), une fois à mi-ma­rée, une fois à mi-flot (points 3 et 4). Ce sont les variations de cette quantité qui interviennent dans le calcul de l'énergie des marées.

Dans la section 3 considérée, Y varie entre —1,4 et 4-1,7 mégakilowatt.

BORDEAUX ffiO 0 008

1 3

LIBOURNE Î17 0017 1.1

J 9 ,

PESSAC

PORTE TS 0 021 2 2

CADILLAC 0 025 1.1

LANGON I L A REOLE

Fu; . !). — V a l e u r s d u coefficient X et d e la p u i s s a n c e d i s s i p é e p a r lcniS

F i o . 1 0 . — C a l c u l d e p e r t e d ' é n e r g i e (3-4) .

№ SPÉCIAL B/1953 LA HOUILLE BLANCHE 7 5 7

— D représente les variations de s j Q - ~ dx

(énergie cinétique). Dans le tronçon 3-4, D varie entre — 0,05 et 0,09 mégakilowatt.

L'intégrale de D sur la marée doit être théoriquement nulle. Le calcul fournit une valeur moyenne de 1,4 mégawatt, soit 2 % de la valeur máxima de D pendant la marée.

— B représente des variations de :

9Jb(gH+± V2)M ,,,,

(énergie potentielle), indépendant du ni­veau de référence. Sur la marée com­plète, l'intégrale doit être nulle. Le plan de référence choisi étant le plan O du N.G.F. Dans le tronçon 3-4, B varie entre — 0,25 et + 0,25 mégakilowatt. L'inté­grale sur la marée est de — 9 mégawatts, soit 3,5 % de la valeur maximum de B.

— P représente la puissance dissipée à chaque instant par les forces de frottement et par les autres causes de perte de charge tel­les que : rétrécissement, élargissement..., par suite de la substitution à l'estuaire d'une série de tronçons rectangulaires dont la section est égale à la section moyenne du tronçon réel. Tous les écarts par rap­port au mouvement théorique sont pris en compte par le terme de frottement; P est donc supérieure à la puissance dissipée par frottement pur. A partir de la valeur moyenne de P(t), nous avons calculé la valeur de X moyen que nous avons trou­vée égale dans 3-4 à 0,009 (dans le pre­mier calcul X = 0,009) Les valeurs instan­tanées de P (f) nous ont permis le calcul des valeurs instantanées de X; leur valeur moyenne dans 3-4 est 0,008 (au lieu de 0,009 par les deux autres procédés de cal­culs).

b) Résultats (flg. 9) :

1. Nous avons exprimé P en 10 ; 5 kW par km 2 . La puissance dissipée est de l'ordre de 1 à 2 mégawatts par km 2 .

La puissance dissipée varie entre 0,6 et 1,5 mégawatt par km 2 à l'aval de l'es­

tuaire (sauf à l'embouchure où elle est de 2,2 mégawatts par km 2 . L'embouchure présente, d'ailleurs, un rétrécissement très important).

Dans les zones très perturbées par la présence d'île, la puissance dissipée varie entre 1,5 et 2,2 mégawatts par km 2 . Les zones à forte valeur de P /A correspon­dent aux zones où, sur le modèle, nous avons été obligés de créer les pertes de charge très concentrées pour obtenir les lignes d'eau convenables.

2. Séparation des pertes d'énergie au flot et au jusant : Le calcul ne peut pas s'effectuer directement par la machine, car elle ne peut choisir les instants des étales de courant. Nous avons effectué ce calcul pour quelques sections, celles où la dis­sipation d'énergie est importante.

Les pertes d'énergie et les coefficients universels de perte de charge sont, en gé­néral, plus importants au jusant qu'au Ilot (géométrique de l'estuaire qui, par rapport à l'écoulement, est un convergent au flot et un divergent au jusant) , sauf dans la section aval qui présente la dis­position inverse.

Dans le tronçon 6-7 (km 41, Ile Verte), le calcul fournit pour X, 0,010 au flot, 0,020 au jusant, 0,010 sur toute la marée.

3) A partir des valeurs calculées de X, nous pouvons déterminer la propagation de l'onde de marée par diverses méthodes : H O L S T E H S , CHAYA, SCHOENFKLD. L'applica­tion de la méthode SCHOENFKLD nous a permis de déterminer le point (x, t) où apparaissait le mascaret en Garonne.

Nous avons également envisagé d'utiliser les machines électroniques pour ce calcul. Compte tenu des possibilités actuelles du groupe calcula­teur I.B.M. (qui est une machine arithmétique), nous n'avons pu déterminer un processus com­mode, la machine étant incapable d'effectuer, du moins de façon simple, les choix successifs qui s'imposent dans la suite du tracé des caractéris­tiques. Il nous semble que, dans cette voie, on doive s'orienter vers les machines analogiques qui ont déjà effectué des calculs d'oscillation en masse et de coup de bélier.

V. — UTILISATION DES MACHINES ARITHMÉTIQUES

Les calculs précédents n'ont pu être effectués théories d'analyse numérique ; l'exemple le plus que grâce à la rapidité des nouvelles machines simple est fourni par les calculs de quadrature, mathématiques dont les possibilités modifient les La méthode de calcul élémentaire des trapèzes

758 L A H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL B/1953

a été perfectionnée de façon à diminuer les nom­bres des opérations (GAUSS, W E E D L E . . . ) . Avec les machines mathématiques, le procédé le plus sim­ple consiste à appliquer brutalement la méthode des trapèzes; toutes les valeurs successives des côtés des trapèzes sont envoyées dans un comp­teur qui fournit ainsi le résultat.

Les machines mathématiques sont de deux ty­pes : arithmétique et analogique; les machines arithmétiques (groupe calculateur I.B.M.) opè­rent sur des quantités discrètes. Les machines analogiques opèrent, au contraire, sur des quan­tités physiques pouvant varier de façon con­tinue.

Les machines mathématiques peuvent résou­dre les problèmes suivants : systèmes d'équa­tions linéaires (jusqu'à 20 inconnues), équations différentielles et systèmes d'équations différen­tielles, équations aux dérivées partielles (difficul­tés pour l'introduction des conditions aux limi­tes). Les machines sont donc particulièrement bien adaptées aux problèmes linéaires (vibra­tions, élasticité, matrices, déterminants). Elles sont la base de tout calcul statistique.

Dans la littérature, on s'aperçoit que les ap­plications ont surtout été développées dans des domaines liés aux industries de guerre en par­ticulier : balistique (tables de tir américaines), mécanique (torsion), physique nucléaire (équa­tion de SCHRÔDINGER) et dans les calculs de table de fonctions.

En mécanique des fluides, les applications

principales ont été faites en aérodynamique qui a bénéficié, pendant la guerre, de l'essor de l'aviation. En hydrodynamique, les applications sont plus restreintes et pourtant de nombreuses études conduisent à des équations inintégrables dans la plupart des cas, mais dont les solutions pourraient être facilement tabulées. Ainsi, dans une communication sur le problème des « roll-waves », M. D R E S S L E R fournit une solution dé­pendant de fonctions dont la fabulation permet­trait de confronter théorie et expérience.

Dans le domaine de l 'hydraulique, on essaye de ne pas recourir aux calculs numériques, car les procédés classiques sont toujours longs et fastidieux. Les machines mathématiques permet­tent de pallier ces inconvénients. Un calcul nu­mérique, même très complexe, n'est plus un obs­tacle. La possession d'un outil aussi puissant que les machines mathématiques modernes permet d'envisager les problèmes sous un angle abso­lument nouveau.

B I B L I O G R A P H I E

f l ] D R O X K E H S J . . I . — De Ingénieur, 5 -10 -51 , n " 40 , 137.146. C a l c u l de m a r é e s .

¡2] K E I ' L E G A N G. H . — Research Paper, R P 1544. N a t i o n a l B u r e a u of S t a n d a r d s . Effects of t u r b u l e n c e a n d c b a n n e l s l o p e on t r a n s l a t i o n w a v e s .

[3] A L I . A H D P . — Annales de Géophysique, j a n v i e r - m a r s 1951 , p p . 9-44. F o r m e et é n e r g i e d e l ' o n d e d e m a r é e d e v i v e e a u e n t r e les H é a u x d e B r é h a t et le c a p d e la H a g u e .

D I S C U S S I O N

( P r é s i d e n t : M. H I - P N E T Ï )

M. le P r é s i d e n t r e m e r c i e M. F A C R E et s o u l i g n e le g r a n d i n t é r ê t à la l'ois t h é o r i q u e et p r a t i q u e d e sa c o m m u n i ­c a t i o n .

M . M E V E R s i g n a l e q u e les E t s N e y r p i c o n t c o n s t a t é q u e les c a l c u l s q u ' i l s o n t f a i t s a v e c la m a c h i n e à c a r t e p e r ­fo rée c o m p o r t a i e n t d e s e r r e u r s de l ' o r d r e de 20 à 25 % , d u e s p r i n c i p a l e m e n t a u r e m p l a c e m e n t d e s d é r i v é e s p a r d e s d i f f é rences f i n i e s ; il d e m a n d e à M . F A U H E q u e l l e s s o n t les d i s p o s i t i o n s a p r e n d r e p o u r é v i t e r ces e r r e u r s .

M. F Â C H E r é p o n d q u e les r é s u l t a t s o b t e n u s a u L a b o r a ­t o i r e N a t i o n a l d ' H y d r a u l i q u e a u m o y e n d e la m a c h i n e et a v e c le c a l c u l d i r e c t s o n t d u m ê m e o r d r e d e g r a n d e u r : en p a r t i c u l i e r , p o u r l e s d é b i t s e t l es v i t e s s e s m o y e n n e s , les v a l e u r s c a l c u l é e s à p a r t i r d e s r e l e v é s de la r é p a r t i t i o n v e r t i c a l e d e s v i t e s s e s , e f fec tués p a r la D i v i s i o n d e s E s s a i s E x t é r i e u r s d u S e r v i c e E . R . H . d ' E . D . F . , n e p r é s e n t e n t a u c u n e d i f f é rence a v e c les v a l e u r s d o n n é e s p a r la m a c h i n e à c a r t e p e r f o r é e .

M. M E Y E B d i t q u ' i l s ' es t t o u t e f o i s r e n d u c o m p t e q u e les r é s u l t a t s c h a n g e n t s u i v a n t q u e l 'on fa i t la s o m m a t i o n d e s d i f f é rences f inies s u i v a n t l ' axe d e s x ( d é p l a c e m e n t s ) et l ' a x e d e s t ( t e m p s ) , o u les d i r e c t i o n s de p r o p a g a t i o n d e s o n d e s . Ces d e r n i è r e s s e m b l e n t l e s m e i l l e u r e s ; m a l ­h e u r e u s e m e n t d a n s le ca s d e s c a n a u x il y a d e u x v i t e s s e s d i f f é r e n t e s p o u r les o n d e s et il f au t q u e la m a c h i n e

m a r c h e t o u j o u r s p l u s v i t e q u e l e s o n d e s , a u t r e m e n t l e s r é s u l t a i s d e v i e n n e n t c o m p l è t e m e n t f a u x .

U n e m e i l l e u r e a p p r o x i m a t i o n s e r a i t o b t e n u e e n p o u s ­s a n t j u s q u ' a u x d é r i v é e s d ' u n o r d r e s u p é r i e u r a u s e c o n d , v r a i s e m b l a b l e m e n t ; / , v o u yxl a u l i eu d e y". Ceci r e v i e n ­d r a i t p h y s i q u e m e n t à t e n i r c o m p t e d e 8 à 10 p o i n t s a u l i eu de 4 p a r r e c t a n g l e .

M. F A U H E r é p o n d q u e d a n s l ' e x e m p l e c i t é , l e s v i t e s s e s q u i s o n t i n t r o d u i t e s d a n s le c a l c u l s o n t d é t e r m i n é e s à p a r t i r de v a l e u r s q u i , p r a t i q u e m e n t , f o n t i n t e r v e n i r l e s q u a t r e o r d r e s d e d é r i v a t i o n .

S u r l a d e m a n d e de M. le P r é s i d e n t , M. M E Y E H p r é c i s e : 1" Q u e le L a b o r a t o i r e D a u p h i n o i s d ' H y d r a u l i q u e n ' a

p a s e n c o r e a p p l i q u é les p r o c é d é s d e c a l c u l m é c a n i q u e à d e s m o d è l e s en c o u r s d ' é t u d e s , m a i s a t e n u d ' a b o r d à vé r i f i e r s e s r é s u l t a t s s u r u n c a s s c h é m a t i q u e c o n s t i t u é p a r u n c a n a l r e c t a n g u l a i r e d a n s l e q u e l a é t é r é a l i s é u n é c o u l e m e n t d e c a r a c t é r i s t i q u e s c o n n u e s ; l a m i s e a u p o i n t d e l ' e m p l o i d e la m a c h i n e s e r a p o u r s u i v i e a v a n t s o n a p p l i c a t i o n a u x é t u d e s en c o u r s .

2" Q u e les m é t h o d e s g r a p h i q u e s ne p r ê t e n t p a s a u x m ê m e s c r i t i q u e s q u e ce l l e s q u ' i l s i g n a l e d a n s le c a l c u l p a r m a c h i n e b i e n q u e les u n e s e t l es a u t r e s f a s s e n t i n t e r ­v e n i r d e s d i f f é rences finies c a r l e s m é t h o d e s g r a p h i q u e s i n t è g r e n t s u i v a n t les o n d e s , a l o r s q u e l a m a c h i n e p r o -

N U SPÉCIAL B / 1 9 5 3 L A H O U I L L E B L A N C H I - ZOO

cède s u i v a n t les a x e s d e c o o r d o n n é e s , ce q u i i n t r o d u i t les e r r e u r s s i g n a l é e s p l u s h a u t .

M. F A U R E r a p p e l l e q u e le b u t d u c a l c u l q u ' i l a e x p o s é c o n s i s t a i t e n l a d é t e r m i n a t i o n d e s p e r t e s d e c h a r g e el q u e les r é s u l t a t s o b t e n u s s u r ce p o i n t s o n t s u f f i s a m m e n t p r é c i s , l es a u t r e s v a l e u r s n ' é t a n t i n d i q u é e s q u ' a c c e s s o i r e ­m e n t et c o m m e o r d r e s d e g r a n d e u r s .

M. le P r é s i d e n t r e m a r q u e l ' i n t é r ê t d e s o b s e r v a t i o n s d e M . M E Y E I I , d o n t l a c o n c l u s i o n s e r a i t la n é c e s s i t é d e c h o i s i r j u d i c i e u s e m e n t d a n s l e p l a n d u c a l c u l le s y s t è m e d e c o o r d o n n é e s e t , é v e n t u e l l e m e n t , l a d i r e c t i o n d e s a x e s .

M. F A U R E p r é c i s e q u e les e r r e u r s n e s o n t p a s d u e s à la m a c h i n e e l l e - m ê m e , m a i s a u p r o c é d é d ' i n t é g r a t i o n .

S u r la d e m a n d e d e M. l e P r é s i d e n t , M. F A U R E r a p p e l l e q u e p o u r le p r o b l è m e d e l a G i r o n d e : 1 " Les d o n n é e s é t a i e n t l e s c o u r b e s d e m a r é e e t l es p o i n t s

d e s o n d a g e ; l e s v i t e s s e s n ' é t a n t c o n n u e s q u ' e n u n n o m b r e r e s t r e i n t , d e p o i n t s , l ' é q u a t i o n d e c o n t i ­n u i t é a p e r m i s d e d é t e r m i n e r l ' e n s e m b l e d e s v a ­l e u r s d e ce t é l é m e n t d o n t o n a vér i f ié la c o n c o r ­d a n c e a v e c l e s q u e l q u e s v a l e u r s c o n n u e s (.débits a u b e c d ' A m b è s n o t a m m e n t .

2" Les q u a n t i t é s d ' é n e r g i e d i s s i p é e o n t é t é t r o u v é e s é g a l e s à :

a) P o u r l a m a r é e é t u d i é e (coeff ic ient 100) : 0,85 M W p a r km.2, 8,5 m i l l i o n s d e k W h p o u r l ' en ­s e m b l e d e l ' e s t u a i r e ( s u r f a c e 400 k m 2 ) ;

h) P e n d a n t u n e a n n é e c o m p r e n a n t 705 m a r é e s , en p r e n a n t l e coef f ic ien t 0,5 p o u r r a m e n e r à la m o y e n n e : 2,9 m i l l i a r d s d e k \ V h .

( A t i t r e d e c o m p a r a i s o n , M. A L L A H D a t r o u v é p o u r l a M a n c h e , e n t r e l a B r e t a g n e e t l e C o t e n t i n , s o i t p o u r 6.000 k m 2 d e s u r f a c e , 106 m i l l i a r d s d e k \ V h p a r a n . )

SI. A L L A H D f a i t l e s r e m a r q u e s s u i v a n t e s :

1° L a d i f f é r ence t r o u v é e e n t r e l ' é n e r g i e d i s s i p é e en G i r o n d e d ' a p r è s l e s c a l c u l s d e M. F A U R E e t ce l le q u ' i l a t r o u v é e l u i - m ê m e p o u r l e go l fe d e S a i n t - M a l o p r o v i e n t p a r t i c u l i è r e m e n t d u f a i t q u e l ' u n i t é d e h a u t e u r d a n s c e t t e p a r t i e d e l a M a n c h e a u n e v a l e u r a p p r o x i m a t i v e ­m e n t d o u b l e d e ce l l e q u ' e l l e a t t e i n t en m o y e n n e en G i r o n d e . L a n a t u r e d e s f o n d s a a u s s i u n e i n c i d e n c e : en G i r o n d e l e m o u v e m e n t l i q u i d e se p r o d u i t d a n s u n c a n a l d e s e c t i o n a s s e z i r r é g u l i è r e d o n t u n e p a r t i e es t e n t r e t e n u e a r t i f i c i e l l e m e n t p a r d e s d r a g a g e s . E n M a n c h e , il s ' a g i t d ' u n e r é g i o n a v e c r é c i f s , r o c h e r s , b a n c s d e s a b l e e t t o u t e s l e s i r r é g u l a r i t é s d e s f o n d s n a t u r e l s , d o n c u n e r é g i o n a u r e l i e f s o u s - m a r i n t r è s c o m p l e x e . Il e s t p a r s u i t e b i e n di f f ic i le d ' i n t e r p r é t e r a priori l es d i f f é rences e n t r e l e s ch i f f res o b t e n u s p o u r l e s é n e r g i e s d i s s i p é e s d a n s les d e u x d o m a i n e s e n c a u s e .

2" E n ce q u i c o n c e r n e les d o n n é e s r e l a t i v e s a u x v i t e s s e s , i l n ' y a p a s l i e u d e r e g r e t t e r q u e ce l les -c i n e s o i e n t p a s d o n n é e s p a r l ' e x p é r i e n c e , p a r m e s u r e d i r e c t e ; l ' é q u a t i o n d e c o n t i n u i t é a p p l i q u é e d a n s u n c a n a l p e r m e t d e c a l c u l e r l a v i t e s s e m o y e n n e d a n s u n e s e c t i o n q u i e s t p r é c i s é m e n t l a q u a n t i t é d o n t o n a b e s o i n e t q u i é c h a p ­p e r a i t à u n e m e s u r e d i r e c t e f a i t e e n u n p o i n t i s o l é . E n p l e i n e m e r o ù l e s d é b i t a l i q u i d e s n e s o n t p a s c a n a l i s é s , on e s t o b l i g é d ' u t i l i s e r d e s m e s u r e s d i r e c t e s d e c o u r a n t

f a i t e s en u n p o i n t o u p l u s i e u r s p o i n t s , f a u t e d ' u n r e n s e i ­g n e m e n t i n t é g r é q u i s e r a i t p r é f é r a b l e .

3 " Ce q u i , e n t o u t é t a t d e c a u s e , r e s t e d é l i c a t d a n s ce g e n r e d e c a l c u l s e s t l ' é v a l u a t i o n d e s d é r i v é e s q u e l q u e s o i t le. p r o c é d é e m o l o y é p o u r y p a r v e n i r : q u ' i l so i t g r a ­p h i q u e o u m é c a n i q u e t e l q u e M . F A U R E le p r é c o n i s e . L ' a v a n t a g e du. p r o c é d é g r a p h i q u e es t d ' a m o r t i r l e s r é s u l ­t a t s d e s m e s u r e s en e n p r e n a n t la m o y e n n e , le p r o c é d é d e c a l c u l m é c a n i q u e r i s q u e p e u t - ê t r e d ' ê t r e p l u s b r u t a l , m a i s il p r é s e n t e i n c o n t e s t a b l e m e n t l ' a v a n t a g e d e la r a p i d i t é .

S u r l a d e m a n d e de M . le P r é s i d e n t , M . F A U R E p r é c i s e q u e l a s e u l e e r r e u r h u m a i n e d a n s l ' e m p l o i de la m a c h i n e c o n s i s t e en l ' i n v e r s i o n d e s c a r t e s , ce q u i d o n n e a l o r s d e s r é s u l t a t s t o u t à f a i t i n c o h é r e n t s .

M . M E Y E R e s t i m e t o u t e f o i s q u ' e n g é n é r a l les m a c h i n e s à c a l c u l e r p e u v e n t i n t r o d u i r e d e s e r r e u r s i n e x p l i c a b l e s , s a n s d o u t e p a r s u b s t i t u t i o n d ' u n chiffre à u n a u t r e a u c o u r s d e s o p é r a t i o n s , a i n s i q u ' i l a p u le c o n s t a t e r r é c e m ­m e n t d a n s u n t r è s s i m p l e c a l c u l d e p u i s s a n c e d e g r o u p e h y d r o - é l e c t r i q u e .

M . F A U R E i n d i q u e q u ' a v a n t le c a l c u l d ' i n t é g r a t i o n , t o u s les c a l c u l s i n t e r m é d i a i r e s a v a i e n t é t é f a i t s à la m a c h i n e à c a l c u l e r , vé r i f i és à l a r èg le à c a l c u l e t , é v e n t u e l l e m e n t , r ec t i f i és .

M . le P r é s i d e n t , p e n s a n t à la p o s s i b i l i t é d ' a p p l i q u e r c e l t e m é t h o d e de c a l c u l a u x p r o b l è m e s d ' é l a s t i c i t é q u i c o m p o r t e n t d e n o m b r e u s e s é q u a t i o n s a u x d é r i v é e s p a r ­t i e l l e s a v e c c o n d i t i o n s ! a u x l i m i t e s , d e m a n d e q u e l e s t le n o m b r e m a x i m u m d ' i n c o n n u e s d e s s y s t è m e s c a l c u l a b l e s a v e c ce g e n r e de m a c h i n e .

M . F A U R E r é p o n d q u e l a m a c h i n e e m p l o y é e p o u r le c a l c u l d e s p e r t e s d ' é n e r g i e d a n s les m a r é e s p e r m e t d e r é s o u d r e des s y s t è m e s d ' é q u a t i o n s à 15-20 i n c o n n u e s , m a i s q u ' i l e x i s t e d e s t y p e s p e r m e t t a n t la s o l u t i o n d e s y s t è m e s à 30 i n c o n n u e s .

C e t t e c a p a c i t é d e c a l c u l p a r a i s s a n t f a i b l e à M . l e P r é ­s i d e n t , p o u r les c a l c u l s d e b a r r a g e d i v i s é s en a n n e a u x h o r i z o n t a u x e t e n m u r s , M . M E Y E R s i g n a l e u n p r o c é d é d e s u b d i v i s i o n d e s i n c o n n u e s , q u i e s t a p p l i c a b l e p o u r la p l u p a r t d e s p r o b l è m e s a v e c c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s . Si on c h e r c h e p a r e x e m p l e <I> d a n s u n d o m a i n e d a n s l e q u e l A <IJ = 0 e t o ù <1> es t c o n n u s u r le c o n t o u r , on p e u t c h e r ­c h e r d ' a b o r d Z'P/dn s u r l e c o n t o u r , i l n ' y a a l o r s q u ' e n ­v i r o n 3 n i n c o n n u s a l o r s q u ' i l y a e n v i r o n n 2 si on c h e r ­che d i r e c t e m e n t <S> d a n s l e d o m a i n e — on en d é d u i t a l o r s <t> p a r t o u t p a r u n e f o r m u l e d e G r e e n .

M. M E Y E R s i g n a l e d ' a u t r e p a r t q u e les e r r e u r s f a i t e s s u r les p r o b l è m e s a v e c c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s s o n t p l u s p e t i t e s q u e ce l l e s q u i e n t a c h e n t les p r o b l è m e s a v e c c o n d i ­t i o n s i n i t i a l e s : d a n s les p r e m i e r s , en effet, p a r e x e m p l e a v e c l ' é q u a t i o n d e L A P L A C E , l e s p h é n o m è n e s o n t t e n d a n c e à s ' é g a l i s e r à l ' i n t é r i e u r d e s l i m i t e s , t a n d i s q u e d a n s les a u t r e s , l a m o i n d r e e r r e u r s ' amp l i f i e a u fu r e t à m e s u r e d e s o p é r a t i o n s . Il r é s u l t e de l ' e n s e m b l e d e ces r e m a r q u e s q u e l e s m a c h i n e s à c a r t e s p e r f o r é e s p a r a i s s e n t p o u v o i r r e n d r e b e a u c o u p d e s e r v i c e s e n h y d r a u l i q u e .

M. l e P r é s i d e n t r e m a r q u e q u ' e n é l a s t i c i t é , o ù l e s p r o ­b l è m e s p r é s e n t e n t d e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s , la c o n c l u ­s i o n d e M. M E Y E R e s t r a s s u r a n t e .

L a s é a n c e e s t l evée à 11 h 46 .

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