Notes sur l'origine physique de la marée

Notes sur l’origine physique de la marée

J. Leroy Octobre 2004

version – V2.4 – octobre 2004 – J. Leroy 1

Introduction

Il existe évidemment de nombreux livres et articles consacrés à la théorie desmarées. Parmi ces documents, les plus simples satisfont rarement ceux quiconnaissent les lois fondamentales de la physique et souhaitent relier la théorie desmarées à ces lois fondamentales. Les plus compliqués sont surtout destinés à ceuxqui connaissent déjà la théorie des marées et sont peu adaptés à une première ap-proche du problème. Les documents de niveau intermédiaire font presque toujoursappel aux forces centrifuges associées aux mouvements de rotation de la terre.L’introduction de forces fictives comme les forces centrifuges est due à l’utilisation(souvent non précisée) d’un système de référence non-galiléen.

En mécanique classique, les explications basées sur des forces fictives ou pseudoforces permettent rarement d’acquérir une vue claire et profonde des phénomènes.Par exemple, à la question traditionnelle « Pourquoi la lune ne tombe-t-elle pas surla terre sous l’effet de la force de gravitation ? », la réponse habituelle est que la« force centrifuge » équilibre la force de gravitation.Qui se satisfait de cette explication ? Dans son célèbre cours de physique, RichardFeynman1 nous livre une explication bien plus enrichissante : en réalité la lune tom-be sur la terre mais à cause de la forme sphérique de la terre, la lune manque con-stamment sa cible ; elle tombe toujours « à côté » de la terre et son mouvement dechute n’est pas près de s’arrêter.

L’objectif de ces notes est de transposer la théorie statique classique des marées etd’expliquer les phénomènes à partir de la loi de la gravitation et de la loifondamentale de la dynamique, sans faire appel aux forces fictives. Les disciples ded’Alembert, qui préfèrent la statique à la dynamique et les référentiels non-galiléens,trouveront dans la littérature des explications qui les enchanteront.

Hypothèses

Les astres sont supposés sphériques et décrivant des trajectoires circulaires. Dans lesystème à trois corps que constituent le soleil, la terre et la lune, les mouvementssont complexes. Pour la clarté, il est préférable d’éliminer les mouvements quin’interviennent pas directement dans la génération des marées.

Dans l’étude des marées, il est possible de séparer les effets de la lune et du soleil.Nous choisirons le couple terre-lune, un rien plus compliqué à étudier que le coupleterre-soleil. Nous placerons donc le système terre-lune loin de tout autre astre. Le

1 Prix Nobel de physique en 1965, auteur de « The Feynman Lectures on Physics ».


barycentre du système est donc animé d’un mouvement rectiligne uniforme et seral’origine de notre référentiel galiléen.

Nous supposerons d’abord que la terre et la lune ne tournent pas autour d’un deleurs axes et, paradoxalement, qu’il n’y a pas d’eau sur la terre.

Nous utiliserons les constantes astronomiques suivantes.

Constantes astronomiques

Masse de la terre MT 5,974·1024 kgMasse de la lune ML 7,347·1022 kgMasse du soleil MS 1,991·1030 kgDistance moyenne terre-lune d 3,844·108 mDistance moyenne terre-soleil r 1,496·1011 mRayon de la terre R 6,370·106 mConstante de gravitation 6,670·10-11 N·m2·kg-2

La force d’attraction gravitationnelle entre deux masses ponctuelles M1 et M2, sépa-

rées par une distance d, est égale à M1M2

d2.

Trois problèmes « académiques »

Plaçons deux masses de test unitaires m et m’ (m = m’ = 1 kg) à la surface de la terre,sur un diamètre. Ces masses sont rigidement fixées à la terre ; toutefois, pour mieuxvisualiser les forces qui agissent sur ces masses, nous supposerons qu’elles sontreliées à la terre par un ressort.Calculons la force appliquée par le ressort sur les masses m et m’dans les trois cassuivants.

1. La terre est seule (pas de lune) et fixe dans le référentiel.2. La terre et la lune sont fixes dans le référentiel et maintenues dans leur position.3. La terre et la lune sont abandonnées sans vitesse initiale.

1. A l’équilibre, les deux ressorts sont comprimés de façon telle que

FR = FR'= mg = m'g (1)

g est l’accélération de la pesanteur à la surface de la terre et mg =mMT

R2 .

FR (FR' ) est la force exercée par le ressort sur m (m’).


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Fig. 1-3 Trois problèmes académique


2. Appelons FL la force2 d’attraction exercée par la lune sur m et F’L celle exercéesur m’. A l’équilibre, on doit avoir

mg+FR +FL = 0

m'g+FR'

+FL'

= 0

Par projection sur l’axe terre-lune, on obtient

FR = mg FL = mgMLm

(d R)2(2)

FR'= m'g+FL

'= m'g+

MLm'

(d + R)2(3)

Ce résultat est évidemment attendu ; à cause de l’attraction lunaire, le poids ap-parent de m diminue (le ressort se détend) et celui de m’ augmente (le ressort secomprime).

3. Si la terre et la lune sont abandonnées sans vitesse initiale, les deux astres sedéplacent l’un vers l’autre dans un mouvement linéaire d’accélération crois-sante ; le mouvement éventuel du barycentre n’est pas modifié.Recherchons l’accélération à l’instant initial. Lorsque deux corps célestes nesont pas ponctuels, mais qu’ils sont séparés par des distances beaucoup plusgrandes que leurs propres dimensions, on peut montrer [1] que l’ensemble desforces exercées par le corps I sur le corps II se réduit, avec une très bonneapproximation, à la force de gravitation exercée par deux points matériels situésaux centres d’inertie des corps I et II et affectés respectivement des massestotales M1 et M2 de ces corps. L’accélération de la terre à l’instant initial estdonc

aT =MTML

d21

MT

=ML

d2(4)

et celle de la lune est aL =MT

d2

Cette formule reste valable tant que la distance entre la terre et la lune restebeaucoup plus grande que le diamètre de la terre ; d représente alors la distanceterre-lune instantanée. Examinons plus en détail le mouvement de la terre et lesconséquences de ses dimensions finies. La terre étant un solide rigide, toutes les

2 Dans ce texte, les vecteurs seront notés en caractères gras. La longueur d’un vecteur V est notée

V ; V = V .


masses élémentaires qui la composent subissent la même accélération ; ellesdoivent donc être soumises à une force résultante bien déterminée imposée parla loi fondamentale de la dynamique. Des modifications des forces de tensioninternes vont donc apparaître au sein de la terre pour que cette condition soitsatisfaite.Ainsi, par exemple, pour la résultante des forces appliquées à la masse de test m,on doit avoir

F = ma = mML

d2dd

, avec a = aT (5)

d/d est un vecteur unitaire dirigé de la terre vers la lune.

Dans le cas des masses de test, les forces internes sont appliquées par les res-

sorts. La force de gravitation FL exercée par la lune sur m est égale à MLm

(d R)2.

Soit FR la force appliquée par le ressort à la masse m. Par projection sur l’axeterre-lune de l’équation du mouvement de m (5), on obtient

mg+FR +FL = ma (6)

mg+FR +MLm

(d R)2= m

ML

d2

FR = mg MLm1

(d R)21

d2

(7)

FR = mgMLm

d21

1 2R

d+R2

d2

1

Puisque R << d , on peut négliger R2 /d2 par rapport à 2R /d .

FR mgMLm

d21+2R

d1

FR mg 2RMLm

d3(8)

L’accélération de la masse m’est identique à celle de m (et à celle de la terre) ; laforce d’attraction due à la lune vaut


FL'=

MLm'

(d + R)2

Par un calcul identique, on obtient

FR' m'g 2R

MLm'

d3(9)

Des formules semblables peuvent être obtenues pour des masses élémentairessituées en dehors de l’axe terre-lune (Voir Fig. 6) ou situées à l’intérieur de laterre.Si la terre n’est pas rigide, les modifications des tensions internes vont provo-quer des déformations mesurables. C’est une manifestation du phénomène demarée terrestre (il s’agit ici d’une marée « académique »). Les relations (7) et (9)montrent que le poids apparent de m et m’ diminue. Les deux ressorts s’allon-gent et cet allongement correspond donc à l’application sur m et m’ d’une forcedirigée vers l’extérieur de la terre, suivant la direction terre-lune. Cette force estappelée force génératrice de la marée et elle vaut

FM 2RMLm

d 3(10)

L’expression (10) fournit une valeur simplifiée de la force génératrice de lamarée ; sa valeur exacte est obtenue à partir de (7), avant simplification

FM =MLm

(d R)2MLm

d2

En un point, la force génératrice de la marée est égale à la différence entre lesforces d’attraction lunaire en ce point et au centre de la terre3.

L’état des ressorts dans le problème n°3 s’explique facilement. L’accélération dela masse m libre serait plus grande que celle de la terre et le ressort « retient » m ;c’est le contraire pour m’ et le ressort « tire » m’.

La force génératrice de la marée est nulle pour une masse élémentaire située aucentre de la terre, elle est maximale pour les masses m et m’. Elle est très faiblepar rapport à la force de pesanteur terrestre, ce qui s’explique par le fait qu’ellerésulte de la différence entre deux forces de gravitation. Dans le problème n°3,la force génératrice de la marée est environ 9.000.000 fois inférieure à la pesan-

3 La relation précédente, ainsi que les relations (10) et (11), ne sont valables que sur l’axe terre-lune.


teur terrestre4. On rencontre parfois l’expression « gravitation différentielle »pour caractériser l’origine de la force génératrice de la marée. Si on introduit la

valeur de g =MT

R2 dans la relation (10), la force génératrice de la marée peut

s’écrire

FM mg 2ML

MT

R

d

3

(11)

On va voir que l’existence d’une marée dans ce problème est due exactementaux mêmes causes que dans le cas réel : le mouvement libre d’un objet de dimensionfinie dans un champ gravitationnel engendre un phénomène de marée.

La marée lunaire

Mouvement de la terre dans le système terre-lune

La terre et la lune tournent autour du barycentre B du système. Il est situé à unedistance b du centre de la terre telle que

b =ML

ML +MT

d = 4,670 106m (12)

Il est donc à l’intérieur de la terre. Le mouvement de la terre autour de B est àl’origine de la marée lunaire. Il est donc nécessaire de bien l’étudier. Calculons lapériode de ce mouvement ; cela nous permettra en outre de vérifier la cohérencedes constantes astronomiques utilisées.

La terre, considérée comme une masse ponctuelle placée en son centre, décrit unecirconférence de rayon b sous l’action de la force d’attraction lunaire, qui est laforce centripète responsable du mouvement.

4 Dans le problème n°2, la force d’attraction lunaire est 30.000 fois inférieure à la pesanteurterrestre.


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��

ω��

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Fig. 4 Mouvement circulaire uniforme d’une masse ponctuelle.

On a doncMTML

d2= MT T

2b

T =ML

d2b= 2,6649 10 6 rad/s

La période TT = 27,29 jours. On retrouve évidemment la longueur du mois lunaire.

Selon nos hypothèses, la terre ne tourne pas sur elle-même et son mouvementautour du barycentre est un mouvement de translation circulaire. Tous les points dela terre décrivent des trajectoires identiques, qui sont des cercles de rayon b.

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�� !��

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Fig. 5 Mouvement de la terre autour du barycentre du système terre-lune.


La marée

Tous les raisonnements présentés lors de la résolution du problème 3 s’appliquentintégralement à ce cas. L’accélération centripète remplace l’accélération linéaire duproblème précédent. Les deux accélérations sont identiques (4) pour une mêmedistance terre-lune et tous les points de la terre subissent la même accélérationcentripète. Si on place des masses de test sur l’axe terre-lune, on obtient exactementles mêmes relations que celles qui sont données en (8), (9), (10) et (11).

Il est temps de remettre l’eau à la surface de la terre. La théorie classique supposeque cette eau est uniformément répartie sur tout le globe. Ce qui a été dit sur laforce génératrice de la marée suggère que l’eau va se déplacer et que sa surface va sedéformer. Pour déterminer la surface d’équilibre de l’eau, il est nécessaire de calcu-ler la force génératrice de la marée en tout point de la surface de la terre.

Expression générale de la force génératrice de la marée [2]

La relation (11) permet de calculer la force génératrice sur l’axe terre-lune.Calculons cette force en tout point P situé à la surface de la terre. P est repéré par levecteur R et la lune, par le vecteur d (Fig. 6).

R+ l = d (13)

��

�

��

�

�

��

��θ

�

Fig. 6. Calcul de la force génératrice en un point P à la surface de la terre.

La force de gravitation exercée par la lune sur la terre est

MTML

d2dd


Cette force communique au centre de la terre une accélération

aC =ML

d2dd

De la même façon, l’accélération au point P due à l’attraction de la lune est

aP =ML

l2ll

La différence entre ces deux accélérations est l’accélération tidale5 a

a = aP aC = ML

ll 3

dd 3

(14)

a correspond à une force génératrice de marée par unité de masse. Le vecteur a estmanifestement contenu dans le plan CPL. Dans le triangle CPL,

l2 = R2 + d2 2Rd cos l

l est la distance (angulaire) zénithale géocentrique de la lune.On a donc

l = d 1 2R

dcos l +

R2

d2avec

R

d<<1

En développant la racine en séries et en négligeant les termes de l’ordre de Rd( )2

l d 1R

dcos l

+O

R

d

2

En utilisant un deuxième développement en séries,

1

l 31

d 3 1R

dcos l

3

1+ 3Rdcos l

d 3

En utilisant cette relation ainsi que la relation (13), l’équation (14) devient

5 Le qualificatif tidal n’existe pas en français standard ; le français technique a adopté le motanglais tidal dérivé de tide=marée. TIDAL, E adj. Géol. Relatif à la marée (Larousse).


a =MLR

d 33cos l

dd

RR

3cos l

Rd

Si on néglige le troisième terme,

aMLR

d 33cos l

dd

RR

(15)

En introduisant l’accélération due à la gravité à la surface de la terre g =MT

R2, l’ex-

pression (15) peut être écrite

a = gML

MT

R

d

3

3cos l

dd

RR

(16)

L’accélération tidale est la somme d’une composante verticale toujours dirigée versle centre de la terre et d’une composante parallèle à l’axe terre-lune ; Cette dernière

est dirigée vers la lune si l <2

et dans le sens opposé si l >2

(Fig. 7).

a2

= gML

MT

R

d

3

2

9cos2 l +1 6cos2 l[ ]

a = gML

MT

R

d

3

3cos2 l +1 (17)

��

θ

Fig. 7. Direction de l’accélération tidale.

La relation (11) est un cas particulier de cette expression générale lorsque l = 0.


On peut décomposer (Fig. 6) le vecteur a suivant la direction verticale ar et ladirection horizontale ah . Cette dernière est tangente au grand cercle contenant A, Pet B.

ar = aRR

= gML

MT

R

d

3

3cos2 l 1[ ] (18)

ah = aRR

=3

2gML

MT

R

d

3

sin2 l (19)

Sous l’effet de la composante horizontale de la force génératrice, l’eau à la surfacede la terre se déplace. L’équilibre est atteint lorsque le gradient de pression résultantde la déformation de la surface de l’eau compense la composante horizontale de laforce génératrice. Si hl ( l ) est le déplacement vertical de l’eau au point P, lacondition d’équilibre est

hl

l

=3

2

ML

MT

RR

d

3

sin2 l

Par intégration, on obtient

hl ( l ) =3

4

ML

MT

RR

d

3

cos2 l (20)

La figure 8, redessinée à partir de [3], montre la surface d’équilibre de l’eau sousl’effet de la force génératrice de la marée. Les dimensions réelles ne sont pas res-pectées et les déformations sont exagérées.

Il y a de hautes eaux autour du point A sous la lune et aussi autour de B, du côtéopposé de la terre. Une zone de basses eaux s’étend partout ailleurs ; les plus basseseaux ont lieu pour l = ± / 2 .

La théorie classique de la marée suppose qu’il n’y a pas de continents et que lasurface de déformation de l’eau (appelée marée d’équilibre) suit le déplacement dela lune. Si on rétablit le mouvement de rotation de la terre autour de son axe nord-sud, on ne fait que modifier la fréquence des marées : en un point donné, il y amarée haute quand la lune passe au méridien du lieu et aussi, environ 12,4 heures(12 h 35 min 14 s) plus tard, quand la lune est du côté opposé de la terre (maréesemi-diurne). La figure 8 permet d’expliquer différents phénomènes observés :marées diurnes, dissymétrie entre deux marées successives, influence de la latitu-de,…


��

�

Fig. 8 Déformation d’une couche d’eau uniforme à la surface de la terre (marée statique).

La marée solaire

Il suffit d’adapter les résultats précédents.

Ainsi la relation (17) devient

a = gMS

MT

r

d

3

3cos2 s +1 (21)

La marée solaire semi-diurne a une période de 12 h exactement. L’action de la luneest approximativement égale, en moyenne, à 2,15 fois celle du soleil.La relation (20) devient

hs ( s ) =3

4

MS

MT

rr

d

3

cos2 s (22)

L’effet combiné de la lune et du soleil conduit, au maximum, à une hauteur totalepour la marée d’équilibre

h = hl + hs (23)

Le calcul donne les résultats suivants hl = 0,27m , hs = 0,12m et h = 0,39m .


Ces chiffres sont considérablement inférieurs à ceux qui sont relevés dans la plupartdes lieux. On atteint ici les limites de la théorie statique de la marée.

A suivre …


Bibliographie

[1] Delhez Eric et al. (2000). La gravitation et la mécanique des corps célestes, Universitéde Liège, 38pp.

[2] Gjevik B. (2002). Lectures on tides, University of Oslo, Department ofMathematics, 31pp.

[3] Simon Bernard, Lahaye-Collomb Annette (1997). La Marée, Les guides duSHOM, Service Hydrographique et Océanographique de la Marine (Brest),75pp.

Documents

Notes sur l'origine physique de la marée