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Calcul et résolution
de problèmes multiplicatifs
au Cycle 3
Déroulement de la formation
6H de formation dont:
3H en présentiel
Mise en œuvre en classe
3H de travail en autonomie en cycle
Sur la période 4
SOMMAIRE
1. Résolution de problèmes : cadre de réflexion
2. Le rôle du calcul mental
3. Construire son enseignement
4. Conclusion et perspectives
Résolution de problèmesCadre de réflexion
Quelques définitions
Il y a problème, lorsqu’on peut apporter des réponses par des raisonnements. Il faut
qu’il y ait quelque chose à chercher et qu’il ne soit pas possible d’utiliser la
mémoire seule ». (G. Brousseau)
« Nous appellerons problème scolaire toute activité proposée à l’élève, constituée de
données qui renvoient à un contexte, de contraintes, éventuelles, et d’un but à
atteindre. Pour atteindre ce but, l’élève doit mettre en place une suite d’opérations
ou d’actions (qu’on appellera « procédures ») qui ne sont pas immédiatement
disponibles pour lui. » (R. Charnay)
"Un problème se caractérise par:
1 - Une situation initiale et un but à atteindre.
2 - Une suite d’actions ou d’opérations nécessaire pour atteindre ce but.
3 - Un rapport sujet/situation: la solution n’est pas disponible d’emblée mais
possible à construire.« (Jean Brun)
La résolution de problème est à la fois :
Un but : les notions enseignées sont des outils pour résoudre des
problèmes
Un moyen : de s’approprier les connaissances
Un objet : quand elle est travaillée pour elle-même, pour développer
un comportement de recherche et des compétences méthodologiques
La résolution de problème dans les programmes :
« Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activitémathématique des élèves… »
Cycle 3 : « La résolution de problèmes constitue le critère principal de lamaitrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques,mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriation qui engarantit le sens… La résolution de problèmes permet de montrer commentdes notions mathématiques peuvent être des outils pertinents pourrésoudre certaines situations. »
Cycle 4 : « La mise en œuvre des programmes doit permettre dedévelopper les six compétences majeures de l’activité mathématiques : …Pour ce faire, une place importante doit être accordée à la résolution deproblèmes… »
Les compétences essentielles
Les six compétences
mathématiques travaillées
Chercher
Modéliser
Communiquer
Calculer
Raisonner
Représenter
Cycle 3 :
Introduction du thème « nombres et calcul » :
Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent
d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en
étudier de nouvelles.
Les procédures de traitement de ces problèmes peuvent évoluer en
fonction des nombres en jeu et de leur structure. Le calcul
contribuant aussi à la représentation des problèmes, il s’agit de
développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et
de résolution de problèmes arithmétiques (le travail sur la technique
et sur le sens devant se nourrir l’un l’autre).
Repères progressivité cycle 3
La progressivité sur la résolution de problèmes, outre la structure mathématique du problème,
repose notamment sur :
- les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux ;
- le nombre d’étapes de calcul et la détermination ou non de ces étapes par les élèves :
selon les cas, à tous les niveaux du cycle 3, on passe de problèmes dont la solution engage une
démarche à une ou plusieurs étapes indiquées dans l’énoncé à des problèmes, en 6ème, nécessitant
l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche ;
- les supports envisagés pour la prise d’informations : la collecte des informations utiles peut
se faire à partir d’un support unique en CM1 (texte ou tableau ou représentation graphique) puis à
partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs
supports en 6ème.
-La communication de la démarche et des résultats prend différentes formes et s’enrichit au
cours du cycle.
Dès le début du cycle, les problèmes proposés relèvent des quatre opérations, l’objectif est
d’automatiser la reconnaissance de l’opération en fin de cycle 3.
Compétences cycle 3 : lien avec la résolution de problèmes
Chercher
Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de
supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc.
S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des
hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en
élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle. Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.
Modéliser
Utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie
quotidienne.
Reconnaitre et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, deproportionnalité.
Représenter
Utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques,
écritures avec parenthèses, …
Compétences cycle 3 : lien avec la résolution de problèmes
Raisonner
Résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche
qui combine des étapes de raisonnement.
Progresser collectivement dans une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui.
Justifier ses affirmations et rechercher la validité des informations dont on dispose.
Calculer
Calculer avec des nombres décimaux, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des
techniques appropriées (mentalement, en ligne, ou en posant les opérations).
Contrôler la vraisemblance de ses résultats.
Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.
Communiquer
Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une situation,
exposer une argumentation.
Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter dans
l’échange.
Les problèmes basiques : résolution «automatisée »
Enjeu élève : les mémoriser
Les problèmes complexes : agrégats de problèmes basiques ou la
construction et la connexion des informations, nécessaires pour la résolution,
est a la charge de l’ eleve
Enjeu élève : construire des sous-problèmes basiques calculables en connectant
des informations et qualifiant les résultats
Les problèmes atypiques : ne sont pas des agrégats de problèmes basiques,
dont la résolution demande la construction d’une stratégie, a défaut d’une
ressemblance que percevrait le sujet avec un problème déjà résolu.
Enjeu élève : inventivité stratégique et flexibilité de raisonnement, persévérance et confiance en soi
Catherine HOUDEMENT
Du point de vue des chercheurs
Deux processus cognitifs et simultanés en jeu
Processus représentationnels
Le sujet construit une représentation cognitive (mentale) du problème. Le
problème peut lui évoquer un problème autre, déjà résolu.
Processus opératoires
Le sujet déclenche un traitement:
- Ce problème ressemble à un problème connu mémoire procédurale
- Ce problème ne me rappelle rien il faut construire une nouvelle stratégie
Comment réussit-on à résoudre des problèmes ? Le point de vue des cognitivistes - Jean Julo 2002
Du point de vue des chercheurs
1. Enrichir la mémoire des élèves sur les problèmes:
- Donner des occasions aux élèves de résoudre des problèmes et de les
réussir seuls
- Définir pour les enseignants des types de problèmes dont on attend
qu’ils soient résolus « automatiquement » par les élèves
2. Permettre l’invention de procédures
Du point de vue des chercheurs
Conséquences sur les enjeux
de l’enseignement de la résolution de problèmes
Typologie de Vergnaud
Du point de vue des chercheurs
La résolution de problèmes nécessite
de passer du texte de l’énoncé à l’écriture du traitement mathématique, c’est-à-dire de retrouver dans l’énoncé toutes les informations nécessaires à la résolution du problème et de les classer, de manière à poser et à écrire correctement le calcul à effectuer.
Duval (2001) considère que la difficulté de la résolution réside dans ce passage du texte à l’écriture du calcul à effectuer .
Duval nomme « conversion » ce type de transformation qui consiste à changer de registre.
Des obstacles possibles pour les élèves
RECOMMANDATIONS DU JURY (CONFÉRENCE DU CONSENSUS)
R21- 1
Les situations relevant de l'addition et de la soustraction sont travaillées de
manière quasi simultanée ; il en est de même des situations relevant de
la multiplication et de la division.
R21.2 -
Les problèmes proposés appartiennent aux différentes catégories de situations
d’addition/soustraction et de multiplication/division afin de permettre à l'élève
de reconnaître les différents modèles.
La recherche montre par exemple que les problèmes soustractifs
proposés aux élèves correspondent trop souvent à des situations de
retrait. Il convient en conséquence de travailler aussi les situations d'écart. Il
est nécessaire de varier les problèmes rencontrés et d’en expliciter les points
communs afin de construire des catégories générales de problèmes.
DES PRATIQUES A RENFORCER, D’AUTRES A ABANDONNER
Faut il les entrainer à repérer les mots clés ?
I. Deux classes A et B. Dans la classe A
il y a 19 élèves, ce qui fait 7 élèves de
moins que dans la classe B. Combien
d’élèves dans la classe B ?
19 + 7 = 26
II. Aujourd’hui Marie a 20 marrons
maintenant. Elle a 12 marrons de plus
qu’hier. Combien en avait elle hier?
20 – 12 = 8
DES PRATIQUES A RENFORCER, D’AUTRES A ABANDONNER
Repérage de « mots-clés », des « indices »…
Surlignage des données
Chercher: « Quelle opération faut-il faire ? »
La compréhension de l’énoncé
DES PRATIQUES A RENFORCER, D’AUTRES A ABANDONNER
DES PRATIQUES A RENFORCER, D’AUTRES A ABANDONNER
Les problèmes multiplicatifsLes problèmes qui font appel à l’addition réitérée
3
3
3
3
?
Configuration rectangulaire
Les problèmes multiplicatifs
? ?
Problèmes de division quotition
Les problèmes multiplicatifs
?
C’est à vous!
- Quelles sont les caractéristiques de ce problème ?
- Quelles sont les compétences mobilisées dans sa résolution ?
- Quelles difficultés peut-on anticiper ?
- Quelles pistes d’étayage peut-on proposer ?
- Comment gérer l’hétérogénéité ?
Lise a 10 €. Le paquet de gâteaux qu’elle aime coûte 3,49 €. Une bouteille de soda coûte 1,29 €.
Combien lui manque-t-il pour acheter deux paquets de gâteaux et trois bouteilles de soda ?
Mise en commun et synthèse Quelles sont les caractéristiques de ce problème ?
- Problème complexe, à étapes
- Plusieurs calculs en jeu (addition, multiplication, soustraction)
- Nombres décimaux
Quelles sont les compétences mobilisées dans sa résolution ?
- Compréhension d’un texte écrit
- traitement et organisation des données
- Calcul de décimaux
- Techniques opératoires (X, +, -)
Quelles difficultés peut-on anticiper ?
- Fausses pistes liées aux mots-inducteurs (« manque », « le paquet qu’elle aime », « une bouteille »), à
la place de la donnée initiale (10 euros)
- Difficultés liées aux données numériques (décimaux)
- La perte du sens de la recherche due au nombre d’étapes
Mise en commun et synthèse- Etayage et gestion de l’hétérogénéité
Compréhension du problème
- Formuler les étapes dans l’énoncé (questions intermédiaires)
- Réécrire l’énoncé avec les élèves en le simplifiant:
- Supprimer « qu’elle aime », changer la place de la donnée initiale, éviter les données dans la
question de recherche
- Schématiser
- Préparer la phrase-réponse
Alléger la charge liée au calcul
- Nombres entiers, calculatrice, tables à disposition
Prioriser sa présence sur un groupe d’élèves ciblés, en adaptant la tâche:
- Favoriser le travail en binôme, ou groupe de besoin
- Supprimer des étapes, réécriture, changer les données numériques, accompagner le raisonnement
et la verbalisation pendant la phase de recherche
Analysez les productions des élèves, identifiez leurs erreurs, les
aides à apporter en situation et les compétences à renforcer.
Productions des
élèves Les réussites des
élèves
Proposition de
classification des
erreurs
Proposition d’aides
pendant la résolution du
problème
Compétences à
renforcer
Production n°3
Production n°4
Production n° 5
Production n° 9
C’est à vous!
Production 3
Production 4
Production 5
Production 9
Point de vigilance:
Le développement de l’adaptabilité des élèves (manifestée lors
des calculs) peut être réinvesti lors de la résolution de
problèmes numériques
une pratique régulière de calcul mental accélère le processus
d’automatisation de la reconnaissance des opérations
intervenant dans la résolution des problèmes
Le rôle du calcul mental
1/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 4 billes.
Combiende billes reste-t-il à Nicolas ?
2/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 27 billes.
Combiende billes reste-t-il à Nicolas ?
Impact des nombres sur les procédures
Brissiaud & Sander,2010
3/ Nicolas va en récréation avec 4 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et
maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ?
4/ Nicolas va en récréation avec 27 billes. Pendant la récréation, il gagne des
billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées?
Numération et procédures de résolution
Affirmations Vrai ou Faux
1. Le calcul mental s'appuie uniquement sur la mémoire.
2. Lors de séances de calcul mental, seul le résultat peut être écrit.
3. Le calcul mental, par exemple de 15 x 4 ou 75 : 5, permet également
de travailler les propriétés des opérations.
4. Le calcul mental permet de préparer la résolution de problèmes.
5. La répétition fréquente des tables suffit a en assurer la
mémorisation.
6. Les compétences en calcul mental se préparent dès les premières
années de maternelle.
7. Il faut imposer aux élèves des procédures de calcul réfléchi.
Faux
Faux
Faux
Faux
Vrai
Vrai
Vrai
Accompagner les difficultés de résolution en lien avec le calcul
Plusieurs possibilités en fonction de l’objectif :
Nombres plus petits
Alléger l’étape du calcul (calculatrice, donner la solution…)
Outiller l’élève : tables, calcul automatisé, calcul mental, technique opératoire,
connaissances sur les nombres…
Cf. Rapport Torossian p.10 :
« Développer les automatismes de calcul par des pratiques
rituelles (répétition, calcul mental…) pour favoriser la
mémorisation et libérer l’esprit des élèves en vue de la
résolution de problèmes motivants. »
Le calcul mental dans les textes
Enseignement du calcul : un enjeu majeur pour la maîtrise des principaux éléments de mathématiques à l'école primaire
note de service n° 2018-051 du 25-4-2018, BO spécial n°3 du 26 avril 2018
■La mémorisation de faits numériques
[…] une programmation structurée, […].
L'apprentissage des faits numériques ne peut être simplement renvoyé aux familles dans le cadre des « leçons » ; il doit faire l'objet d'un travail en classe. […]
■Le calcul mental
la pratique du calcul mental s'appuie […] sur une bonne compréhension et une bonne connaissance de propriétés des nombres et des opérations qui doivent être enseignées et formalisées […].
■Le calcul en ligne
[…] le support de l'écrit permet d'alléger la mémoire de travail en notant des résultats intermédiaires et d'aborder ainsi des calculs sur des nombres un peu plus grands ou sur des nombres plus nombreux. […]. Par exemple, le produit 6x48 peut être proposé dès la fin du cycle 2 comme calcul en ligne et au cours du cycle 3 comme calcul mental.
Le rôle du calcul mental dans la résolution de problèmes
Calcul de 32 x 25
Séquence type à partir d’un exemple
1. On donne le calcul et on repère toutes les
procédures des élèves par une mise en commun.
2. On retient les procédures suivant des critères
explicités aux élèves :
- efficacité
- coût minimal en mise en mémoire de résultats ou
de nombres issus de décomposition
- déconstruction des procédures de « calculs posés
dans sa tête »
C’est à vous!
Calcul de 32 x 25
Calcul de la multiplication « posée dans la tête »
Procédure canonique : utilisant la distributivité « simple »
32 x 25 = (32 x 20) + (32 x 5) = 640 + 160 = 800
32 x 25 = (30 x 25) + (2 x 25) = 750 + 50 = 800
Calcul utilisant la distributivité complexe
32 x 25 = (30 x 20) + (30 x 5) + (2 x 20) + (2 x 5)
= 600 + 150 + 40 +10 = 800
Calcul utilisant des décompositions multiplicatives :
32 x 25 = 8 x (4 x 25) = 8 x 100 = 800
32 x 25 = (32 x 100) : 4 = 3200 : 4 = 800
Première séance de découverte
Calcul de produit, évolution des procédures
On élabore une trace écrite explicite des procédures que
l’on va s’approprier : elles seront nommées par les élèves.
Addition réitérée
algorithme posé dans la tête
distributivité simple
mobilisation de décompositions soustractives
mobilisation de décompositions multiplicatives
Une hiérarchie des procédures
Séances suivantes
Séances d’appropriation des procédures : (séances 2, 3, 4 …)
Pendant une semaine complète (ou plus selon la difficulté) on propose aux
élèves de calculer en imposant une seule des procédures.
On recommence les semaines suivantes avec les autres procédures.
Séance de réinvestissement par choix de procédure :
Cette phase est essentielle pour que l’élève construise des procédures
personnelles. Les élèves doivent choisir la procédure.
Les nombres seront choisis pour favoriser l’une ou l’autre des
procédures….
Élaborer la liste des
différentes procédures
possibles
Séance 1 (30’)
Choisir les procédures efficientes
Séance 2 (15’)
S'entrainer à utiliser chacune des
procédures efficientes
(une procédure par séance ou
groupe de séances)
Séances 3, 4, … (15’)
Evaluation
Dernière Séance
Savoir calculer de manière efficace, c’est être capable de choisir parmi les
procédures apprises celle qui est la plus adaptée aux singularités des
nombres en présence.
Des séances de calcul mental de deux types
Des séances courtes et quotidiennes ayant deux objectifs :
entraîner au calcul (mémorisation, automatisation)
accroître les performances
Des séances plus longues visant à enrichir l ’espace des
procédures
explicitation de procédures
comparaison de procédures
institutionnalisations « souples »
Types de séances
Découverte
Résoudre des calculs de
différentes manières
Echanger sur les procédures
Choisir les procédures les plus
efficaces
Entraînement
Optimiser les procédures
efficaces en les manipulant
systématiquement
Varier les calculs: nombre /
petits problèmes
Des séances courtes quotidienne pour l’entraînement.
Des séances longues pour l’enseignement des procédures de calcul.
Des résultats
Les élèves entraînés au calcul mental font moins d’erreurs dans
le choix de l ’opération quand le problème est un peu familier
mais pas trop
Le processus de reconnaissance de l’opération est accéléré
Sous certaines conditions (adaptabilité et automatisation), la
technique est « créatrice de sens »
Les enjeux du calcul mental
Produire des faits numériques (tables) par récupération en mémoire
ou reconstruction instantanée
Utiliser des procédures élémentaires : compléments à la dizaine, X
par 10, +9, -9…
Mettre en œuvre des procédures variées qui utilisent les propriétés
des nombres pour résoudre des problèmes oraux.
1. Développer des habiletés calculatoires et des
connaissances numériques
Le calcul mental
des faits numériques des procédures
Ils sont mémorisésRépertoire de techniques
mobilisables
- Résultats mémorisés, réponses
disponibles, automatisées
- Procédures automatisés, calcul
impersonnel
-Résultats construits, réponse à élaborer
- Procédures personnelles, explicitations
et confrontations
12 x 11 = 12x10 + 12x16 x 3 = 18
Faits ou procédures numériques?
5 X 2 = 10, table de 2 ou de 5 . Résultat mémorisé, fait numérique.
6 X 4 = 24. Résultat mémorisé, fait numérique.
12 X 11 = (12 X 10) + (12 X 1)
=120 + 12
= 132
Procédure numérique.
10 - 5 = 5. Complément à 10. Résultat mémorisé, fait numérique.
56 - 29= 56 – 30 + 1 + 26 + 1 + 27. Procédure numérique.
50 : 2 = 25, moitié de 50. Résultat mémorisé, fait numérique.
2. Développer des capacités de résolution de problèmes
Automatiser des calculs pour libérer de l’espace mental pour la
résolution de problèmes.
Connaitre une grande variété de procédures pour développer les
capacités d’initiative lors de la résolution de problèmes
Connaitre les nombres et les calculs élémentaires pour remplacer des
données par des nombres plus « familiers »
Les enjeux du calcul mental
Prévoir et contrôler la vraisemblance d’une réponse
Pour l’utiliser dans la vie courante
Les enjeux du calcul mental
3. Développer le calcul approché
Déroulement d’une séquence
1. Séance découverte : mise en situation et émergence
des procédures
2. Entraînement sur différentes procédures efficaces
3. Conduire vers le calcul automatisé
4. Résolution de problèmes simples
5. Evaluation
6. Remédiation
Déroulement d’une séance
D’après les travaux de Boule et Butlen.
A)La phase d’échauffement
- courte durée
- aucune difficulté
- tous les élèves doivent pouvoir participer
B) La phase d’entraînement
- calculs simples
- Procédures connues, rappelées collectivement en correction
C) La phase de renforcement ou de découverte
- calculs plus longs, plus complexes ou construction de nouvelles
procédures adaptées aux nouveaux calculs proposés.
Comment aider les élèves
à mémoriser les tables ?
Qu’est-ce que « Connaître ses tables »?
Dire instantanément n'importe quel résultat
Mais aussi (surtout) être capable d'exploiter rapidement
cette connaissance pour donner un résultat connexe:
Par exemple: pour « 7 x 6 »
- donner rapidement «7 x 6 = 42»
- savoir répondre à la question: « Dans 42, combien de fois 6?»
- connaître une décomposition multiplicative
Des repères pour l’enseignant (Roland Charnay)
1. « On mémorise mieux ce que l’on a compris. »
2. « Il est plus facile de mémoriser un ensemble de résultats qui
sont structurés, qui ont du lien entre eux, qu’un ensemble de
résultats isolés les uns des autres. »
Ex: commutativité: 6 x 7 = 7 x 6 économie de 50%
3. « Les conditions de la mémorisation influent sur les
conditions de la restitution. »
Ex: apprendre la comptine des tables ne permet pas d’isoler un
résultat.
4. « La mémorisation nécessite de l’entrainement. Pour mémoriser
il faut s’entrainer, répéter. »
- Connaître les résultats des tables de 2 et de 5
- Retrouver un résultat à partir d’un résultat connu
- Utiliser la commutativité
- Connaître les carrés (souvent bien maîtrisé)
- Connaitre les doubles et moitiés
- Multiplier par 4, c’est…; multiplier par 6, c’est…
- S’appuyer sur les particularités de certaines tables :
2 ; 5 ; 9; des régularités repérées dans la table de Pythagore
Points d’appui pour le répertoire multiplicatif
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Travail sur la table de Pythagore: Quelle programmation?
Elément
neutre
1 est l’élément neutre de la multiplication Procédure
Numération La connaissance de n x 10 ou 10 x s’appuie sur la maitrise de la numération décimale de
position
Procédure
Doubles La connaissance des doubles s’élabore depuis la maternelle Faits
numériques
Table de 5 Cycle 2 Faits
numériquesTable de 3 Cycle 2
Table de 6 6 est le double de 3. Construction et mémorisation en appui sur la table de 3 et la
connaissance des doubles Extension de
faits
numériques
connus
Table de 4 4 est le double de 2. Construction et mémorisation en appui sur la table de 2 et la
connaissance des doubles
Table de 8 8 est le double de 4. Construction et mémorisation en appui sur la table de 4 et la
connaissance des doubles
Table de 9 Faire remarquer aux élèves que:
• « Lorsque je récite la table : le chiffre des dizaines avance toujours de 1 , alors que le
chiffre des unités recule de 1:18,27,36,45, 54,63,72,81,90 »
• « Quand je dis 3 x 9, le résultat pour les dizaines c ’est 3 – 1, et pour les unités c’est le
complément à 9 »
• Quand je dois décomposer un nombre à deux chiffres dont la somme des chiffres est 9, je
suis dans la table de 9 »
Procédure
7 7 x 7 49 Fait
numérique
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Travail sur la table de Pythagore: autre proposition
Quadruples Les quadruples sont les doubles des
doubles
Faits
numériques
Proximité
additive
Fois 3, C’est fois 2 plus une fois
Fois 6, C’est fois 5 plus une fois
Procédure
Carrés 7 x 7
8 x 8
9 x 9
Faits
numériques
3 produits à
mémoriser
7 x 8
7 x 9
8 x 9
Faits
numériques
Source: Copirelem
Faisons l’hypothèse :
- de la connaissance, par les élèves, des tables de 2, 3 et 5
- de la maîtrise de l’écriture des dizaines entières
- ainsi que de la connaissance de l’élément neutre de la multiplication :
Point de vigilance: la commutativité
5 fois 44 + 4 + 4 + 4 + 4
5
+
5
+
5
+
5
+
5
4 fois 5
■ Comprendre pour mieux mémoriser
■ Construire le répertoire
■ Installer et structurer le répertoire (voir points d'appui)
- Commutativité
- Appui sur des résultats connus (carrés, voisins)
- Régularités
- Faire apparaitre à l’élève ce qu’il connait et ce qui lui reste à mémoriser
■ Entraîner
- Ne pas faire réciter les tables mains interroger (production de résultats mais
pas d’une comptine, produits et résultats des produits)
- Ex: 8 x 7, 7 x 8, dans 56 combien de fois 7, etc
Une démarche pour rendre disponibles les faits numériques
6 x 9 = 54
réponse orale ou par ecrit
question oralement ou par ecrit
a quoi est egal 6 multiplie par 9 ? ou 6 × 9 = ?
6 × ? = 54 ou ? × 9 = 54 ou ? × 9 = 54 ou 6 × ? = 54
54 = ? × ?
Consignes et exercices
Quel est le quotient de 54 par 6 ?
Quel est le quotient de 54 par 9 ?
54 divise par 6 egal = ? ou 54 ÷ 6 = ?
54 divise par 9 ? ou 54 ÷ 9 = ?
Faire le lien avec la division
Faire le lien avec la notion de multiple ou de diviseur :
54 est-il un multiple de 6 ? 54 est-il multiple de 9 ?
6 divise-t-il 54 ? 6 est-il un diviseur de 54 ?
9 divise-t-il 54 ? 9 est-il un diviseur de 54 ?
Quel est le reste de la division de 54 par 6 ?
Quel est le reste de la division de 54 par 9 ?
Faire le lien avec la notion de multiple ou de diviseur
60 × 9 = ? 540 ÷ 60 = ?
5 400 = 900 × ?
0,6 × 9 = ? 5,6 ÷ 9 = ?
Réinvestir ce fait numérique dans des calculs plus complexes
Les cartes recto-verso
Recto Verso
6 X 7 42
5 x . = 40 8
Des situations pour construire et solliciter des faits numériques
Le bâton des tables
Travail sur les nombres:
De 0 à 10: 1, 2, 3, …
De 0 à 100: 10, 20, 30, …(Qu’y-a-t-il exactement entre 50 et 65?)
De 0,1 à 1: 0,1, 0,2, 0,3…(Qu’y-a-t-il exactement entre 0,3 et 0,4?)
De 0 à 1 kg: 100g, 200g, …
De 1/10 à 1
X 10
Ajouter
Soustraire
Doubles/moitiés
Le bâton des tables
Le calcul mental – préconisations (Olivier Hunault, IGEN)
①Renforcer le travail de mémorisation de faits
numériques (doubles, moitiés, tables – dans les
deux sens –, résultats avec des multiples de 25,
etc.)
- Construire des séances visant la mémorisation des
faits numériques ;
- Réinterroger régulièrement cette mémorisation.
Le calcul mental - préconisations
② Construire des séquences pour enseigner
explicitement les procédures : découverte,
institutionnalisation, renforcement et
évaluation.
Le calcul mental - préconisations
③Faire varier les outils utilisés en fonction des
objectifs de la séance dans la séquence :
- ardoise, feuille blanche, fiche à compléter, etc.
- questions posées oralement, écrites au tableau,
vidéo projetées une par une, vidéo projetées toutes
ensemble, etc.
- temps limités ou non, le plus de réponses possibles
en un temps fixé à l’avance, etc.
Construire son enseignement
Construire son enseignement
Pour ancrer l'apprentissage, deux activités ritualisées au
quotidien :
- le calcul mental
- les petits problèmes oraux
Développer, expliciter l'exploration de l'énoncé écrit d'un
problème
Amener les élèves à construire et utiliser des répertoires de
situations, qui, à terme, donneront du sens aux opérations et
rendront plus sûr le choix des procédures
Construire son enseignement
Un travail d’équipe
● Cohérence entre une année et la suivante concernant le type de problèmes proposés
partie-tout/comparaison,
nombre d’étapes,
nombres en jeu,
type d’opérations en jeu (addition, soustraction, etc.),
niveau des opérations en jeu (avec ou sans retenue, tables utilisées
● Harmonisation au sein de l’école concernant les schémas utilisés en classe dans les institutionnalisations et les mises en commun
Organiser une progression cohérente sur les deux cycles
Une démarche possible Maryvonne PRIOLET , 2014
1er principe : laisser les élèves trouver une réponse au problème
sans passer par des questions préalables perturbatrices
(informations utiles, inutiles..)
2ème principe : rapprocher le nouveau problème de problèmes plus
anciens déjà résolus
3ème principe : utiliser des représentations graphiques variées :
des opérations, des dessins, des schémas, du texte... et savoir passer
de l’une a l’autre
4ème principe : catégoriser, regrouper les problèmes relevant des
mêmes raisonnements
Construire son enseignement
Construire son enseignement
Projet : 10 problèmes /semaine : pratique intensive et différenciée
Lundi 1 ou 2 problèmes dits de référence
Jeudi : séance d’atelier –problème
Vendredi : 1 problème
Bien calibrer le niveau de difficulté des problèmes proposés aux élèves (chercher,
un peu, et trouver).
Gestion de classe
Plaisir de faire des mathématiques
Planifier
Construire son enseignement
Privilégier l’accompagnement des élèves pendant le temps de recherche individuelle à une longue présentation collective du problème en début de séance.
Accompagnement individuel
Prise en charge d’un petit groupe d’élèves pour un travail spécifique
● sur la compréhension (jouer le problème avec du matériel approprié, reformuler le problème, etc.)
● sur le contenu mathématique qui pose problème (numération, calcul, etc.)
Némo veut faire un collier pour sa maman.
Mila dit : « Il te faut 40 perles pour que le collier ait la bonne longueur ! »
Némo prend 10 perles roses, 10 perles bleues, 10 perles orange et 5 perles vertes.
Némo peut-il finir son collier ?
Source : Les mathématiques en classe de cycle 2, un travail d’équipe avec Stella Baruk
DGESCO-Canopé
Etayer, accompagner, à quel moment?
25 = la moitié de
= 5 x
200 = le double de
= 100 +
= 50 x
50 = 25 +
= 25 x
= la moitié de
= le double de
250 = la moitié de
= le double de
= 25 x
75 = 50 +
= 2 x
= 75 +
500 = la moitié de
= le double de
= 10 x
100 = la moitié de
= 50 x
= 100 +
1000 = le double de
= 10 x
= 500 +
Construire son enseignement
S’exercer : explorer les nombres et leurs relations
S’exercer : explorer les nombres et leurs relations
Tester le produit Recherche de
multiples et
diviseurs
Quotients
entiers
Avec reste
6 x 4 = ?
6 x 3 + ? = 6 x 4
3 x 2 x 4 = ?
3 x 2 x 2 x 2 = ?
6 x ? = 24
? x ? = 24
6 x 2 + 6 x 2 = ?
24 est-il
multiple de 4 ?
de 6 ?
De quels
nombres 24
est-il
multiple ?
Dans 24,
combien de
fois 6 ?
Dans 24,
combien de
fois 4 ?
Dans 25,
combien de fois
6 ?
Dans 25 combien
de fois 4 ?
Construire son enseignement
Différencier
Privilégier une différenciation par l’accompagnement pendant le temps de recherche, en apportant à chacun les coups de pouce dont il a besoin.
Jouer sur les variables :
les données numériques,
le contexte (la familiarité de l’environnement du problème pour l’élève),
la formulation, la nature du niveau de langue utilisée (lexique et syntaxe).
Proposer des problèmes:
quasiment identiques pour mettre l’élève en confiance,
de même type mais avec des habillages différents.
Proposer des stratégies « aidantes » :
mime de la situation (physique ou avec appui sur matériel)
utilisation d’outils
Construire son enseignement
Deux activités ritualisées au quotidien pour ancrer l’apprentissage
le calcul mental: 2 moments-clés de l’apprentissage
Avant de débuter une séquence, l’enseignant réactive et entraîne des connaissances en calcul mental. Elles vont permettre aux élèves de relever le défi que constitue un type nouveau de problèmes en facilitant la recherche de procédures adaptées.
Au cours de la résolution d’un problème, l’élève doit décider d’une procédure et la mener à son terme de façon autonome. Pour cela, il doit avoir assez d’aisance avec les nombres et les calculs pour opérer des choix stratégiques et les contrôler sans perdre le fil de son raisonnement. Le calcul mental est indispensable pour entraîner cette prise de distance.
les petits problèmes oraux
Des petits problèmes oraux sont résolus mentalement dans de brèves séances collectives quotidiennes.
Construire son enseignement: s’exercer
Favoriser les interactions entre pairs
Pendant les temps de recherche
● travaux de groupes
● ne rendre qu’une réponse pour deux
● échanges entre deux élèves ayant effectué le même calcul mais n’ayant pas trouvé la même réponse…
Pendant les temps de mise en commun/correction
● échanges à partir d’une proposition d’élève vidéo-projetée/ recopiée au tableau
Privilégier, le plus souvent possible, un temps de recherche individuelle en amont d’un travail collectif
Construire son enseignement
Conclusion et perspectives
Conclusion: 7 points de vigilance,
Olivier Hunault, IGEN
l
① S’assurer que les élèves résolvent des problèmes fréquemment (quotidiennement ou presque)
une dizaine de problèmes résolus chaque semaine
② S’assurer que les élèves résolvent des problèmes variés
③ Être vigilant quant au contexte des énoncés, au vocabulaire et à la difficulté mathématique des problèmes proposés
④ Veiller à ce qu’une différenciation soit bien mise en œuvre pendant les temps de résolution de problèmes
- (accompagnement pendant les temps de recherche: conseils individuels, prise en charge d’un petit groupe)
Conclusion: 7 points de vigilance,
Olivier Hunault, IGEN
⑤ S’assurer que les élèves disposent de temps de recherche
conséquents
⑥ Veiller à ce que la compétence « représenter » fasse l’objet
d’un enseignement construit
Proposer des schémas porteurs de sens utilisés de façon
récurrente tout au long du cycle
⑦ Encourager les échanges inter-élèves
Pendant les temps de recherche, en binôme ou en petit groupe
après un temps individuel, ou pendant les temps de mise en
commun avec toute la classe
Conclusion: 7 points de vigilance,
Olivier Hunault, IGEN
Perspectives Temps 2
Sur le temps 2 (3H en autonomie), en cycle, sur la période 4:
Travail au choix sur:
- La construction d’une séquence de calcul mental (champ multiplicatif) sur une
période
- La construction d’une séquence de résolution de problèmes multiplicatifs
- L’automatisation des calculs multiplicatifs (progression et construction d’outils
didactiques )
MERCI
