1

Le calcul mental au cycle 3

2

Définition■ Le calcul mental est un calcul numérique qui ne

fait pas appel aux intermédiaires écrits: aucun support n’intervient entre l’énoncé et la production du résultat.

■ De plus, l’énoncé est une situation numérique pure, non habillée sous la forme d’un énoncé de problème.

3

CALCUL MENTAL

Calcul automatisé ?

Calcul réfléchi ?

Calcul approché ?

Calcul instrumenté ?

Le travail sur le calcul approché commence au cycle 3.

Le calcul instrumenté doit faire l’objet d’une utilisation raisonnée et ne doit pas masquer des situations pouvant être résolues par le calcul mental.

Les compétences en calcul mental (résultats mémorisés,calcul réfléchi exact ou approché) sont à développer en priorité.

4

Modalités de présentation

Énoncé Calcul Résultat

Écrit

Oral

Calcul mentalAvec ou non un support

visuel (bande numérique, graduation, tableau de nombres,…)

Avec ou non l’écriture de résultats

intermédiaires

Écrit

Frappé au clavier

Oral

5

Plan

- Raisons pour lesquelles le calcul mental est une priorité.

- Distinction entre le calcul automatisé, automatisme et le calcul réfléchi.

- Une progression

- Pistes de travail pour ces deux types de calcul.

6

Les objectifs du calcul mental et du calcul réfléchi (1)

7

Les objectifs du calcul mental et du calcul réfléchi (2)

8

Distinction entre 2 procédures de calcul

- Procédure automatisée → faible adaptabilité

- Automatisme → procédure productrice d’apprentissage

9

2 formes de calcul mental

► Le calcul automatisé

► Le calcul réfléchi

10

Un exemple de calculPour effectuer 45+17

Les procédures possibles

- Simulation mentale de l’algorithme écrit (l’élève pose dans sa tête l’opération en colonne)

- Utilisation de la décomposition additive canonique de l’un ou des deux termes

45+17= 45+10+7=55+7= 62

45+17= 40+5+10+7= 50+12= 62

- Utilisation d’une décomposition additive de l’un des deux termes s’appuyant sur un passage à une dizaine supérieure

45+17= 45+5+12=50+12=62 ou 45+15+2=60+2=62

ou 2+43+17= 2+60

- Utilisation d’une décomposition soustractive de l’un des deux termes

45+20-3= 65-3= 62

- Etc…..

11

Objectifs Durée Dispositif Commentaires

Calcul automatisé : entretenir ou contrôler la mémorisation de résultats et l ’automatisation de procédures.

5 à 10

minutes

Classe entière

Consigne orale

Réponse écrite ou choisie parmi des propositions

Débuter par une activité facile, rituelle pour focaliser l’attention.

Procédé Lamartinière avec correction immédiate ou différée

Dans ce type de séance, la rapidité est de mise car, l’objectif est de maîtriser un répertoire avec sûreté.

Calcul réfléchi : concevoir des méthodes et comparer leur efficacité.

15 à 30

minutes

Classe entière ou par petits groupes

Pour chaque question, laisser un temps de recherche aux élèves

Exposé des procédures, discussion, justification

Liberté est laissée à l’élève de choisir sa procédure

Des situations de jeux, stratégiques ou non, utilisant des dés, dominos, cartes et mettant en jeu des décompositions numériques ou des calculs simples fournissent des occasions de rappel des résultats arithmétiques ou matière à calculs.

Dans tous les cas les questions peuvent porter directement sur les nombres ou être situées dans la résolution de « petits problèmes ».

Une pratique régulière de calcul mental permet de familiariser les élèves avec les nombres et d’approcher certaines propriétés des opérations et aussi d’amener l’élèveà mettre en œuvre des procédures économiques.

12

Automatisé ou réfléchi,

le calcul mental doit occuper la place principale à l’école

élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière dès le cycle 2.

Au cycle 3 : les compétences en calcul mental résultats

mémorisés, calcul réfléchi exact ou approché sont à

développer en priorité.

13

Une pratique régulière de calcul mental : un moyen pour améliorer les performances des élèves dans la résolution de problèmes

► Amélioration des habiletés calculatoires: plus de rapidité dans la reconnaissance de

l’opération en jeu dans des problèmes familiers (additifs ou multiplicatifs simples)

Exemples: le problème de l’autobus

• L ’énoncé :

Dans un autobus, il y a n (28)voyageurs, à un arrêt, a (15) voyageurs montent et b (17) descendent. Combien y-a-t-il de voyageurs dans l ’autobus quand il repart ?

• Les variables :

– Les termes « montent » et « descendent » peuvent être permutés

– a peut être supérieur à b

– etc.

► Prise de sens lors de la résolution de problèmes: allègement des tâches de calcul

► Installation d’automatismes de calcul (schémas de problèmes en mémoire et procédures de résolution associées)

Mémoire organisée grâce à une certaine catégorisation et à un recours de problèmes prototypiques représentatifs de chaque catégorie. Mobilisation à bon escient du modèle le plus adapté pour résoudre le problème.

14

Des situations d’accompagnement de la pratique

du calcul mental au cycle 3

□ avec des nombres purs□ avec un support

15

Exemples d’activités avec des nombres purs

Calcul automatisé

16

Un exemple de progression

Domaine de l’addition et de la soustraction

• Maîtriser le répertoire additif (tables d’addition: somme de deux nombres entiers inférieurs à 10, compléments, différences et décompositions associées).

• Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines, des centaines, des milliers…

• Calculer les compléments correspondants.Exemples :

8000-5000 à rapprocher de 8-5

1500-700 à rapprocher de 15 centaines moins 7 centaines

17

• Calculer avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type:

Exemples :

200 + 70

270 – 70

200 pour aller à 270

2000 + 37

2037 – 37

2000 pour aller à 2037

18

• Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur à 10) d’unités, de dizaines, de centaines…à un nombre quelconque (avec et sans retenue).

Exemples :

86 + 3

386 + 50

3689 + 600

…

• Calculer les compléments d’un nombre à la dizaine supérieure.

• Calculer les compléments à 100 et à la centaine supérieure

pour des nombres entiers dont le chiffre des unités est 0.

Exemples :

de 430 à 500

de 2430 à 2500…

19

• Connaître les relations additives entre multiples de 25 inférieurs à 100 ou de multiples de 250 inférieurs à 1000.

Exemples :

Savoir que 75 = 50 + 25 ou 1000 – 750 = 250

• Calculer certaines sommes de deux décimaux (avec un chiffre après la virgule), en particulier ajouter un entier et un décimal.

Exemples :

14 + 3,7 ou 0,3 + 0,5 ou 0,8 – 0,2

2,5 + 0,5…3,7 + 0,6 fin de cycle

20

• Décomposer un nombre décimal en utilisant l’entier immédiatement inférieur.

• Calculer les compléments à l’unité supérieure de nombres ayant un chiffre après la virgule.

• Connaître quelques relations entre certains nombres entiers et décimaux.

Exemple :

2,5 = 2 + 0,5

2,5 + 2,5 = 5

1,5 + 1,5 = 3…

21

• Ajouter ou soustraire des nombres entiers ronds.

Exemple :

Utiliser la proximité avec les dizaines ou les centaines entières,

proposer des calculs avec 9, 19, 11, 21, 8, 18, 12, 22, 99, 101,

198…

• Calculer des sommes de plusieurs entiers en regroupant des

termes « qui vont bien ensemble ».

Exemple :

43 + 280 + 60 + 57 + 20

• Calculer des sommes et des différences de nombres décimaux

simples.

Conforter la compréhension de la valeur des chiffres en fonction de leur position.

22

• Calculer le complément d’un nombre décimal ayant deux chiffres après la virgule au nombre entier immédiatement supérieur.

Compétence liée à la connaissance des compléments à 100 des nombres entiers à deux chiffres

• Évaluer un ordre de grandeur en utilisant un calcul approché:

sommes de deux ou plusieurs nombres entiers ou décimaux,

différences de deux nombres entiers ou décimaux.

Repérer le nombre « rond » le plus proche.

23

Domaine de la multiplication et de la division

• Maîtriser le répertoire multiplicatif (tables): produits de deux nombres inférieurs à 10, recherche d’un facteur, quotients et décompositions associés.

Essentiel: répertoire à stabiliser, éviter la répétition mécanique des tables (obstacle à la mobilisation rapide d’un résultat), repérer des régularités ou des particularités sur la table de Pythagore…

8 X 6 =….

Combien de fois 8 dans 48 ?

Diviser 48 par 6

48 = …x…

24

• Utiliser la connaissance des tables pour répondre à des

questions du type:

- Combien de fois 8 dans 50 ?

- Diviser 50 par 8.

Donner une réponse approchée.

• Situer un nombre entre deux résultats d’une table de

multiplication.

Exemple :

Encadrer 29 entre 2 multiples de 7

4 x 7 et 5 x 7

25

• Multiplier et diviser par 10, 100, 1000, les nombres entiers.

Exemples :

Compétence à mettre en relation avec le système de numération chiffrée:

Multiplier 34 par 10 revient à chercher une autre écriture de 34 dizaines

Diviser 340 par 10 revient à chercher combien il y a de dizaines dans 340

26

• Calculer des produits du type 30 X 4, 400 X 8, 20 X 30… et les quotients correspondants.

• Connaître et utiliser les relations entre des nombres «repères »:

100, 1000, 60 et leurs diviseurs.

Exemple :

Mémoriser que 25 est le quart de 100, la moitié de 50, le tiers de 75

Ces relations sont liées à l’utilisation des expressions «moitié, double, quart, quadruple, tiers, triple»

• Multiplier et diviser par 10, 100 dans l’ensemble des nombres décimaux.

27

• Connaître les relations entre certains nombres décimaux

comme 0,25-0,5-0,75 et 1 ou 2,5-5-7,5 et 10.

• Calculer les doubles, moitiés des nombres entiers inférieurs à100 (résultats entiers) ou de nombres plus grands lorsque le calcul reste simple.

• Calculer les quadruples, quarts des nombres entiers inférieurs à 100

(résultats entiers) ou de nombres plus grands lorsque le calcul reste simple.

Exemples :

Moitié de 240, 360, 900

Quart de 120 ou 600

En fin de C3: moitié des nombres impairs (2 chiffres) et double de

nombres comme 7,5…45,5

28

• Multiplier et diviser par 5, par 20, par 50.

Il peut être intéressant de considérer dans certains calculs 5 comme la moitié de 10…

• Multiplier un nombre par des nombres comme 11, 19, 9, 19, 21, 15, 25…

multiples procédures

• Décomposer un nombre sous forme de produits de 2 ou plusieurs facteurs.

Connaissance des tables et plus

64 = 8 x 8 mais aussi 32 x 2, 16 x 4…

• Calculer mentalement un quotient et un reste entiers dans des

cas de division d’un nombre entier par un nombre entier.

Exemple :

Les élèves doivent, par exemple, être capables d’effectuer mentalement la division de 230 par 7, en décomposant 230 en

210 + 20 ou en 140 + 70 + 14 + 6

29

Exemples d’activités avec support

Calcul automatisé

(avec traces écrites)

30

Numération et calculLes grilles de loto. Les nombres sont choisis en fonction du niveau.

Les nombres sont dictés par le maître ou un élève.

28 398 73

95

114 50

270 425 96

Plusieurs activités sont envisageables avec les grilles de lotoLotos additifs et multiplicatifsNombres donnés sous la forme de décompositions (ex : 14 + 10 + 4) (300 + 90 + 8 )Écritures équivalentes (50 = 25x2 = 100/2 = 10x5 = …)Variantes: compléter avec le prédécesseur ou successeur des nombres inscrits (les cases seront blanches et non plus grisées)

31

Connaître les nombresJeu : qui a ?

Doubles et moitiés

J’ai 16. J’ai 14 J’ai 10. J’ai 60. J’ai 20. J’ai 15. J’ai 150.

  J’ai 4. J’ai 7.  J’ai 24.  J’ai 40. J’ai 3. J’ai 50. J’ai 25. J’ai 300.

J’ai 30. J’ai 2. J’ai 8. J’ai 22. J’ai 9. J’ai 200. J’ai 600. J’ai 400.

Qui a le double de

7 ?

Qui a le double de

8 ?

Qui a le double de 150 ?

Qui a la moitié de 800 ?

Qui a le double de 3 ?

Qui a la moitié de 400 ?

Qui a le double de

10 ? Qui a le double

de 15 ?

Qui a la moitié de

14 ?

Qui a le double de

5 ?

Qui a la moitié de

12 ?

Qui a le double de

2 ?

Qui a le double de

11 ?

Qui a le double de

20 ? Qui a le double de

300 ?

Qui a le double de

12 ?

Qui a la moitié de

4 ?

Qui a la moitié de

16 ?

Qui a la moitié de

18 ?

Qui a le double de

30 ?

Qui a la moitié de

6 ? Qui a le double de

100 ?

Qui a le double de

25 ?

Qui a la moitié de 600 ?

Qui a la moitié de

50 ?

Qui a la moitié de 800 ?

Qui a la moitié de

300 ?

Qui a la moitié de

30 ?

Autres activités possibles- Nombre suivant et précédentQui a le nombre après 799 3,9 - Multiplier ou diviser par10 100 1000 0,1 0,01 0,001- Nombre de dizaines, de centainesQui a 5 centaines, 20 dizaines …-Tables d’addition, demultiplication 6x8 7X9

32

La suite de nombresEn ligne En rouleaux

379 384

7,1 7,5

4,05 5

97

0,12

17,5

33

309

1240

32429

100000

35,3

4,39

Avant Après

34

Les furets individuels Chaque élève doit compléter dans un temps court le tableau qui lui

est proposé. (Variation des opérateurs: je compte de …en ….ou bien je multiplie par…..)

2,55

7,5 10 12, 15Début

Fin

Variante: Les furets individuels avec « chut »tenir compte des cases « chut » qu’il ne doit pas compléter (case cachée). Possibilité de jouer sur la difficulté en plaçant 2 ou 3 cases « chut » à suivre.

35

Les nombres à placer

36

Tables à compléter

x 3 2

18

10

12 16

54 36

x

25

24

24 9

1

37

Décompositions d’un nombreChoisir un nombre au tableau et demander de chercher toutes les

décompositions possibles

38

Exemples d’activités avec support

Calcul réfléchi

39

Les cascades

7 9 10

27

103

Additives, soustractives

2592

24

6

3

Multiplicatives

2592

24

6

3

2592

24

6

3

Remarque : le dernier produit peut être vérifié à la calculatrice

40

41

Suites et règlesAjouter 9

22 31 401385

Multiplier par 2 et retrancher 1

3 5 9 17513

Diviser par 2 et ajouter 3

260132 68 36 5

42

Les carrés magiques

AdditifsLes nombres de 1 à 16 ne sont utilisés qu’une

fois. La somme de chaque ligne, chaque colonne, chaque diagonale = 34

5 160

42

9 6 54

108 96 35

Multiplicatifs

Attention : le nombre utilisé doit être correct pour le produit vertical et horizontal.

43

Les carrés de nombres

Règle : former des carrés de somme 10 (avec des décimaux)

Règle : former des carrés de somme 100

44

Opérateurs

?

?

?

6+ ?

+ ?

?

360

? ?

20 5+ 5

+ 3

?

?

?

6

On se déplace sur le quadrillage selon les opérateurs indiqués. Trouver les nombres qui vont occuper les cases marquées [?]

45

Multiples et fractions

Exemples 12 16 60 9 25

Le double

Le triple

X 100

La moitié

Le tiers

Le centième

Principe : les élèves possèdent une grille avec la colonne de gauche remplie.Régulièrement, le maître propose de nouveaux nombres à chercher.On peut demander une écriture fractionnaire ou décimale.(Ex pour 9 : la moitié = 9/2 = 4,5)

46

Le compte est bonJeu de calcul mental par excellence associant les quatre

opérations

- Dans un premier temps, le maître choisit des nombres qui donneront le résultat juste.

Exemple: 100

- On peut ensuite fabriquer des cartes que l’on sort par tirage pour favoriser le caractère aléatoire des calculs.

Exemple de tirages

40 2 30

6 600 75 200 100 7

47

Le bon compteUtiliser les signes + - x : et les parenthèses pour obtenir le résultat.

Exemple : (5 + 5) – (5 : 5) = 9

5 5 5 5 = 115 5 5 5 = 24 5 5 5 5 = 30 5 5 5 5 = 35 5 5 5 5 = 120

Variantes : ▪ On donne le cadre et il faut trouver le résultat

Ex : [( ? - ? ) x ? ] + ? =  31Avec une série de nombres

1 2 3 4 2 7 8 159 13 14 20

▪ On donne le cadre et il faut trouver le plus grand nombre

On ne pose pas d’opération

48

Dictée de calculVoici un nombre : 307

A ce nombre ajoutez deux centaines, puis ajoutez mille, puis ajoutez cinq centaines.

Écrivez le nombre qui suit celui que vous avez obtenu.

Les élèves peuvent éventuellement noter les résultats intermédiaires, seul le résultat final est exigé.

Voici un nombre : 495

Enlevez à ce nombre trois dizaines, puis ajoutez quatre centaines, puis ajoutez trois milliers.

Écrivez le nombre qui précède celui que vous avez obtenu.

Mon nombre a

- Un dixième de plus que trois virgule huit.

- Un centième de moins que trois virgule soixante huit

49

Un résultat peut en cacher un autreLe maître affiche au tableau : 3 x 37 = 111

Comment trouver ?

6 x 37 ? 30 x 37 ?

3 x 370 ? 9 x 37 ?

12 x 37 ? 300 x 37 ?

Connaissant 4 x 12 = 48

Calcule

40 x 12 = 16 x 12 =

12 x 12 = 24 x 12 =

400 x 12 = 4 x 1200 =

4 x 120 = 4 x 24 =

4 x 36 = 40 x 120 =

50

Les problèmes lus par le maîtreLe trésor est caché dans l'une des trois tours. A toi de trouver le bon chemin en

évaluant les opérations qui barrent le passage entre les salles : tu ne peux passer que si le résultat est juste.

51

Une consigne : on ne pose pas d’opération

Mais on peut éventuellement dessiner, schématiser…

Tu as 100 euros. Dans une vitrine, il y a un jean à 49 euros, des baskets à 38 euros et une casquette à 9 euros. Peux-tu acheter les trois ?

Tu veux acheter des tickets pour faire des tours de manège. Tu as 5 euros et les tickets coûtent : 1 euro le ticket, 2 euros les 3 tickets.Combien peux-tu acheter de tickets ?

Le périmètre d’un terrain rectangulaire mesure 100 m. Le plus petit côté de ce terrain mesure 15 m.Quelle est la longueur du grand côté ?

52

Problème de rechercheToutes les parcelles sont carrées.

Trouver la dimension des côtés, ainsi que la dimension du cadre extérieur.

53

8 + 0,4 2,4 x 3 5 – 0,2 4 + 8 0,4 x 8 8 x 0,6

2,4 x 2 1,2 x 4 5 – 1,2 0,8 x 5 4,2 + 0,6 4 x 8

Colorie tout ce qui fait 4,8

Ecritures

54

Valeurs approchéesCalcule le résultat le plus approché

55

Valeur approchée et calculatrice

1- Colorie

- En rouge lorsque le résultat a trop de chiffres

- En jaune lorsqu’il n’a pas assez de chiffres

- En bleu lorsque le dernier chiffre est impossible

2- Colorie en vert le bon résultat et vérifie avec ta calculatrice

3596 + 5769 10365 35955 8366 9364 9367

12430 - 2642 10758 9688 9782 8248 9787

15206-5260 10054 10156 9944 8266 9412

6738 + 3207 9045 10945 9954 9745 9946

23632 – 15543

10189 12889 8081 8275 8141

8367 + 1733 9100 9910 10000 10190 10100

16075 – 6059 9916 10124 11225 10127 10016

43836 + 56228

99604 98064 100165

100264

100064

2514 – 1627 87 967 884 937 887

14343 - 4248 9295 8945 10196 10295 10095

56

Pour résumer: les points d’appui pour la mémorisation

Addition : différents points d’appui que l’enseignant doit aider à mettre en place :

• utilisation de la suite numérique, par surcomptage (1en 1, …10 en 10…);

• appui sur les doubles connus : 5 + 4, c’est 1 de plus que 4 + 4 ;

• utilisation de la commutativité de l’addition : 2 + 9 c’est comme 9 + 2 ;

• utilisation du passage par la dizaine : pour calculer 8 + 5, on « complète à dix » on ajoute d’abord 2 à 8 puis 3 à 10 (ce qui suppose de connaître les compléments à 10 et les décompositions additives des nombres inférieurs à 10).

57

Multiplication :  viser, avant la fin du cycle 3, une mémorisation totale des produits des tables et leur utilisation pour répondre à des questions du type « combien de fois 7 dans 56 ? », « 56 divisé par 7 ? » ou « décomposer 56 sous forme de produits de 2 nombres inférieurs à 10 ». On peut citer l’appui :

• sur les résultats rapidement connus des tables de 2 et de 5

• sur le comptage de n en n pour retrouver un résultat à partir d’un résultat mémorisé

• sur la connaissance des carrés, souvent bien maîtrisés

• sur la commutativité de la multiplication

• sur le fait que multiplier par 4, c’est doubler deux fois ou que multiplier par 6 revient à tripler, puis doubler (7X6 c’est 7X3X2)

58

Réfléchir au moment du calcul mental dans l’emploi du temps……….

59

Références : bibliographie,sites

■ « Le calcul mental à l’école »: une programmation des activités Site de Jean-Luc Bregeon C2 et C3

■ Mission départementale « Mathématiques »

Dossier Calcul mental à l’école primaire Mars 2008

■ Fort en calcul mental ! Connaissances et stratégies pour réussir

Christophe Bolsius – Sceren – CRDP Lorraine (Août 2008)

■ Ermel (Apprentissages mathématiques à l’école élémentaire)

■ http://dpernoux.free.fr/mental/htm