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Chapitre 8 Calculabilité Ce chapitre présente les principaux résultats de la calculabilité. En d’autres termes, nous cherchons à comprendre la puissance des programmes informatiques. On y prouve que certains problèmes peuvent se résoudre informatiquement et que certains pro- blèmes ne peuvent pas l’être. L’objectif est d’explorer les limites de la programmation informatique. En pratique, on peut se dire qu’en informatique on s’intéresse à résoudre des pro- blèmes, en les programmant, par des algorithmes, et que s’intéresser aux problèmes que l’on ne sait pas programmer ne présente que peu d’intérêt. Tout d’abord il convient de comprendre que les problèmes auquels nous allons nous intéresser ne sont pas vrai- ment des problèmes pour lesquels on ne connaît pas de solution, mais, et c’est en encore beaucoup plus fort, des problèmes pour lesquels on sait qu’il est impossible de produire une solution algorithmique. Pourquoi s’intéresser à comprendre les problèmes qui ne peuvent pas être résolus ? Premièrement, parce que comprendre qu’un problème ne peut pas être résolu est utile. Cela signifie que le problème doit être simplifié ou modifié pour pouvoir être résolu. Deuxièmement, parce que tous ces résultats sont culturellement très intéressants et per- mettent de bien mettre en perspective la programmation, et les limites des dispositifs de calculs, ou de l’automatisation de certaines tâches, comme par exemple la vérification. 8.1 Machines universelles 8.1.1 Interpréteurs Un certain nombre de ces résultats est la conséquence d’un fait simple, mais qui mène à de nombreuses conséquences : on peut programmer des interpréteurs, c’est-à- dire des programmes qui prennent en entrée la description d’un autre programme et qui simulent ce programme. Exemple 8.1 Un langage comme JAVA est interprèté : un programme JAVA est com- pilé en une description dans un codage que l’on appelle bytecode. Lorsqu’on cherche à 1

Calculabilité - polytechnique

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Page 1: Calculabilité - polytechnique

Chapitre 8

Calculabilité

Ce chapitre présente les principaux résultats de la calculabilité. En d’autres termes,nous cherchons à comprendre la puissance des programmes informatiques. On y prouveque certains problèmes peuvent se résoudre informatiquement et que certains pro-blèmes ne peuvent pas l’être. L’objectif est d’explorer les limites de la programmationinformatique.

En pratique, on peut se dire qu’en informatique on s’intéresse à résoudre des pro-blèmes, en les programmant, par des algorithmes, et que s’intéresser aux problèmesque l’on ne sait pas programmer ne présente que peu d’intérêt. Tout d’abord il convientde comprendre que les problèmes auquels nous allons nous intéresser ne sont pas vrai-ment des problèmes pour lesquels on ne connaît pas de solution, mais, et c’est en encorebeaucoup plus fort, des problèmes pour lesquels on sait qu’il est impossible de produireune solution algorithmique.

Pourquoi s’intéresser à comprendre les problèmes qui ne peuvent pas être résolus ?Premièrement, parce que comprendre qu’un problème ne peut pas être résolu est utile.Cela signifie que le problème doit être simplifié ou modifié pour pouvoir être résolu.Deuxièmement, parce que tous ces résultats sont culturellement très intéressants et per-mettent de bien mettre en perspective la programmation, et les limites des dispositifs decalculs, ou de l’automatisation de certaines tâches, comme par exemple la vérification.

8.1 Machines universelles

8.1.1 Interpréteurs

Un certain nombre de ces résultats est la conséquence d’un fait simple, mais quimène à de nombreuses conséquences : on peut programmer des interpréteurs, c’est-à-dire des programmes qui prennent en entrée la description d’un autre programme et quisimulent ce programme.

Exemple 8.1 Un langage comme JAVA est interprèté : un programme JAVA est com-pilé en une description dans un codage que l’on appelle bytecode. Lorsqu’on cherche à

1

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2 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

lancer ce programme, l’interpréteur JAVA simule ce bytecode. Ce principe d’interpré-tation permet à un programme JAVA de fonctionner sur de nombreuses plates-formeset machines directement : seulement l’interpréteur dépend de la machine sur laquelleon exécute le programme. Le même bytecode peut être lancé sur toutes les machines.C’est en partie ce qui a fait le succès de JAVA : sa portabilité.

La possibilité de programmer des interpréteurs est donc quelque chose d’extrême-ment positif.

Cependant, cela mène aussi à de nombreux résultats négatifs ou paradoxaux à pro-pos de l’impossibilité de résoudre informatiquement certains problèmes, même trèssimples, comme nous allons le voir dans la suite.

Programmer des interpréteurs est possible dans tous les langages de programma-tion usuels, en particulier même pour les langages aussi rudimentaires que ceux desmachines de Turing.

Remarque 8.1 Nous n’allons pas parler de JAVA dans ce qui suit, mais plutôt de pro-grammes de machines de Turing. Raisonner sur JAVA (ou tout autre langage) ne feraitque compliquer la discussion, sans changer le fond des arguments.

Commençons par nous persuader que l’on peut réaliser des interpréteurs pour lesmachines de Turing : dans ce contexte, on appelle cela des machines de Turing univer-selles.

8.1.2 Codage d’une machine de TuringIl nous faut fixer une représentation des programmes des machines de Turing. Le

codage qui suit n’est qu’une convention. Tout autre codage qui garantit la possibilitéde décoder (par exemple dans l’esprit du lemme 8.1) ferait l’affaire.

Définition 8.1 (Codage d’une machine de Turing) Soit M une machine de Turingsur l’alphabet Σ = {0, 1}.

Selon la définition 7.1Machine de Turingdefinition.7.1, M correspond à un 8-uplet

M = (Q,Σ,Γ, B, δ, q0, qa, qr) :

– Q est un ensemble fini, dont on peut renommer les états Q = {q1, q2, · · · , qz},avec la convention que q1 = q0, q2 = qa, q3 = qr ;

– Γ est un ensemble fini, dont on peut renommer les états Γ = {X1, X2, · · · , Xs},avec la convention que Xs est le symbole B, et que X1 est le symbole 0 de Σ, etque X2 est le symbole 1 de Σ.

Pour m ∈ {←, |,→}, définissons 〈m〉 de la façon suivante : 〈←〉 = 1, 〈|〉 = 2,〈→〉 = 3.

On peut alors coder la fonction de transition δ de la façon suivante : supposonsque l’une des règles de transition soit δ(qi, Xj) = (qk, Xl,m) : le codage de cetterègle est le mot 0i10j10k10l1〈m〉 sur l’alphabet {0, 1}. Observons que puisque tousles entiers i, j, k, l sont non nuls, il n’y pas de 1 consécutif dans ce mot.

Page 3: Calculabilité - polytechnique

8.1. MACHINES UNIVERSELLES 3

Un codage, noté 〈M〉, de la machine de Turing M est un mot sur l’alphabet {0, 1}de la forme

C111C211C3 · · ·Cn−111Cn,

où chaque Ci est le codage d’une des règles de transition de δ.

Remarque 8.2 A une machine de Turing peuvent correspondre plusieurs codages : onpeut en particulier permuter les (Ci)i, ou les états, etc. . . .

Le seul intérêt de ce codage est qu’il est décodable : on peut retrouver chacun desingrédients de la description d’une machine de Turing à partir du codage de la machine.

Par exemple, si l’on veut retrouver le déplacement m pour une transition donnée :

Lemme 8.1 (Décodage du codage) On peut construire une machine de Turing M àquatre rubans, telle que si l’on met un codage 〈M ′〉 d’une machineM ′ sur son premierruban, 0i sur son second, et 0j sur son troisième, M produit sur son quatrième rubanle codage 〈m〉 du déplacement m ∈ {←, |,→} tel que δ(qi, Xj) = (qk, Xl,m) où δest la fonction de transition de la machine de Turing M ′.

Démonstration (principe) : On construit une machine qui parcourt le codage deM ′ jusqu’à trouver le codage de la transition correspondante, et qui lit dans le codagede cette transition la valeur de m désirée. �

Nous aurons aussi besoin de coder des couples constitués du codage d’une machinede Turing M et d’un mot w sur l’alphabet {0, 1}. Une façon de faire est de définir lecodage de ce couple, noté 〈〈M〉, w〉 par

〈〈M〉, w〉 = 〈M〉111w,

c’est-à-dire comme le mot obtenu en concaténant le codage de la machine de TuringM ,trois fois le symbole 1, puis le mot w. Notre choix de codage d’une machine de Turingne produisant jamais trois 1 consécutifs, l’idée est qu’on peut alors bien retrouver àpartir du mot 〈M, 1〉11w ce qui correspond à M et ce qui correspond à w : bref, onpeut bien décoder.

8.1.3 Coder des paires, des triplets, etc. . .Nous venons de fixer un codage qui fonctionne pour une machine de Turing et un

mot, mais on peut faire la remarque suivante : on peut de façon très générale fixer unefaçon de coder deux motsw1 etw2 en un unique motw, c’est-à-dire de coder un couplede mots, i.e. un élément Σ∗ × Σ∗, par un mot, c’est-à-dire un unique élément de Σ∗,que l’on notera 〈w1, w2〉.

Comment faire cela ?Une première façon est de coder deux mots sur Σ par un unique mot sur un alphabet

plus grand, de telle sorte que l’on soit capable de retrouver ces mots.Par exemple, on peut décider de coder les mots w1 ∈ Σ∗ et w2 ∈ Σ∗ par le mot

w1#w2 sur l’alphabet Σ ∪ {#}. Une machine de Turing peut alors retrouver à partirde ce mot à la fois w1 et w2.

Page 4: Calculabilité - polytechnique

4 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

On peut même recoder le mot obtenu en binaire lettre par lettre pour obtenir unefaçon de coder deux mots sur Σ = {0, 1} par un unique mot sur Σ = {0, 1} : parexemple, si w1#w2 s’écrit lettre à lettre a1a2 · · · an sur l’alphabet Σ∪ {#}, on définit〈w1, w2〉 comme le mot e(a1)e(a2) . . . e(an) où e(0) = 00, e(1) = 01 et e(#) = 10.Ce codage est encore décodable : à partir de 〈w1, w2〉, une machine de Turing peutreconstruire w1 et w2.

Par la suite, nous noterons 〈w1, w2〉 le codage de la paire constituée du mot w1 etdu mot w2.

On observera que les résultats qui suivent ne dépendent pas vraiment du codageutilisé pour les paires : on peut donc coder une paire constitué d’une machine de Tu-ring et d’un mot comme dans la section précédente, ou le considérer comme 〈〈M〉, w〉,c’est-à-dire le codage du couple constitué du codage de la machine et du mot, indiffé-remment.

8.1.4 Existence d’une machine de Turing universelleCes discussions préliminaires étant faites, on peut se convaincre que l’on peut réa-

liser un interpréteur, c’est-à-dire ce que l’on appelle une machine de Turing universelledans le contexte des machines de Turing.

Cela donne le théorème suivant :

Théorème 8.1 (Existence d’une machine de Turing universelle) Il existe une machinede Turing Muniv telle, que sur l’entrée 〈〈A〉, w〉 où :

1. 〈A〉 est le codage d’une machine de Turing A ;

2. w ∈ {0, 1}∗ ;

Muniv simule la machine de Turing A sur l’entrée w.

Démonstration : On peut facilement se convaincre qu’il existe une machine deTuring Muniv à trois rubans telle que si l’on place :

– le codage 〈A〉 d’une machine de Turing A sur le premier ruban ;– un mot w sur l’alphabet Σ = {0, 1} sur le second ;

alors Muniv simule la machine de Turing A sur l’entrée w en utilisant son troisièmeruban.

En effet, la machine Muniv simule transition par transition la machine A sur l’en-trée w sur son second ruban : Muniv utilise le troisième ruban pour y stocker 0q où qcode l’état de la machineA à la transition que l’on est en train de simuler : initialement,ce ruban contient 0, le codage de q0.

Pour simuler chaque transition de A, Muniv lit la lettre Xj en face de sa tête delecture sur le second ruban, va lire dans le codage 〈A〉 sur le premier ruban la valeur deqk, Xl et m, pour la transition δ(qi, Xj) = (qk, Xl,m) de A, où 0i est le contenu dutroisième ruban. Muniv écrit alors Xl sur son second ruban, écrit qk sur son troisièmeruban, et déplace la tête de lecture selon le déplacement m sur le second ruban.

Pour prouver le résultat, il suffit alors d’utiliser une machine de Turing avec ununique ruban qui simule la machine à plusieurs rubans précédente, après avoir décodé〈A〉 et w à partir de son entrée. �

Page 5: Calculabilité - polytechnique

8.2. LANGAGES ET PROBLÈMES DÉCIDABLES 5

8.1.5 Premières conséquencesVoici une première utilisation de l’existence d’interpréteurs : la preuve de la propo-

sition 7.3Machines de Turing non-déterministesproposition.7.3, c’est-à-dire la preuvequ’une machine de Turing non déterministe M peut être simulée par une machine deTuring déterministe.

La preuve est la suivante : la relation de transition de la machine non déterministeM est nécessairement de degré de non determinisme borné : c’est-à-dire, le nombre

r = maxq∈Q,a∈Γ|{((q, a), (q′, a′,m)) ∈ δ}|

est fini (|.| désigne le cardinal).Supposons que pour chaque paire (q, a) on numérote les choix parmi la relation de

transition de la machine non déterministe M de 1 à (au plus) r. A ce moment-là, pourdécrire les choix non déterministes effectués dans un calcul jusqu’au temps t, il suffitde donner une suite de t nombres entre 1 et (au plus) r.

On peut alors construire une machine de Turing (déterministe) qui simule la ma-chine M de la façon suivante : pour t = 1, 2, · · · , elle énumère toutes les suites delongueur t d’entiers entre 1 et r. Pour chacune de ces suites, elle simule t étapes de lamachine M en utilisant les choix donnés par la suite pour résoudre chaque choix nondéterministe de M . La machine s’arrête dès qu’elle trouve t et une suite telle que Matteint une configuration acceptante.

8.2 Langages et problèmes décidablesUne fois ces résultats établis sur l’existence de machines universelles (interpré-

teurs), nous allons dans cette section essentiellement présenter quelques définitions.Tout d’abord, il nous faut préciser que l’on s’intéresse dorénavant dans ce chapitre

uniquement aux problèmes dont la réponse est soit vraie soit fausse, et ce, essentielle-ment pour simplifier la discussion : voir la figure 8.1.

8.2.1 Problèmes de décisionDéfinition 8.2 Un problème de décision P est la donnée d’un ensemble E, que l’onappelle l’ensemble des instances, et d’un sous-ensemble E+ de E, que l’on appellel’ensemble des instances positives.

La question à laquelle on s’intéresse est de construire (si cela est possible) un al-gorithme qui décide si une instance donnée est positive ou non. On va formuler lesproblèmes de décision systématiquement sous la forme :

Définition 8.3 (Nom du problème)Donnée: Une instance (i.e. un élément de E).Réponse: Décider une certaine propriété (i.e. si cet élément est dans E+).

On peut par exemple considérer les problèmes suivants :

Page 6: Calculabilité - polytechnique

6 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

V RAI

FAUX

FIGURE 8.1 – Problèmes de décision : dans un problème de décision, on a une pro-priété qui est soit vraie soit fausse pour chaque instance. L’objectif est de distinguer lesinstances positives E+ (où la propriété est vraie) des instances négatives E\E+ (où lapropriété est fausse).

Exemple 8.2 Définition 8.4 (NOMBRE PREMIER)Donnée: Un entier naturel n.Réponse: Décider si n est premier.

Exemple 8.3 Définition 8.5 (CODAGE)Donnée: Un mot w.Réponse: Décider si w correspond au codage 〈M〉 d’une certaine machine de

Turing M .

Exemple 8.4 Définition 8.6 (REACH)Donnée: Un triplet constitué d’un graphe G, d’un sommet u et d’un sommet v du

graphe.Réponse: Décider s’il existe un chemin entre u et v dans le graphe G.

8.2.2 Problèmes versus LangagesOn utilise indifféremment la terminologie problème ou langage dans tout ce qui

suit.

Remarque 8.3 (Problèmes vs langages) Cela découle des considérations suivantes :à un problème (de décision) est associé un langage et réciproquement.

En effet, à un problème est associé généralement implicitement une fonction decodage (par exemple pour les graphes, une façon de coder les graphes) qui permet decoder les instances, c’est-à-dire les éléments de E, par un mot sur un certain alphabetΣ. On peut donc voirE comme un sous-ensemble de Σ∗, où Σ est un certain alphabet :au problème de décision P , on associe le langage L(P) correspondant à l’ensembledes mots codant une instance de E, qui appartient à E+ :

L(P) = {w|w ∈ E+}.

Réciproquement, on peut voir tout langage L comme un problème de décision, enle formulant de cette façon :

Page 7: Calculabilité - polytechnique

8.3. INDÉCIDABILITÉ 7

Définition 8.7 (Problème associé au langage L)Donnée: Un mot w.Réponse: Décider si w ∈ L.

8.2.3 Langages décidables

On rappelle la notion de langage décidé, qui invite à introduire la notion de langagedécidable.

Définition 8.8 (Langage décidable) Un langage L ⊂ M∗ est dit décidable s’il estdécidé par une certaine machine de Turing.

Un langage ou un problème décidable est aussi dit récursif . Un langage qui n’estpas décidable est dit indécidable.

On note R pour la classe des langages et des problèmes décidables.Par exemple :

Proposition 8.1 Les problèmes de décision NOMBRE PREMIER, CODAGE et REACHsont décidables.

La preuve consiste à construire une machine de Turing qui reconnaît respective-ment si son entrée est un nombre premier, le codage d’une machine de Turing, oùune instance positive de REACH, ce que nous laissons en exercice de programmationélémentaire à notre lecteur.

Exercice 8.1. Soit A le langage constitué de la seule chaine s où

s =

{0 si Dieu n’existe pas1 si Dieu existe

Est-ce que A est décidable ? Pourquoi ? (la réponse ne dépend pas des convictionsreligieuses du lecteur).

8.3 Indécidabilité

Dans cette section, nous prouvons un des théorèmes les plus importants philoso-phiquement dans la théorie de la programmation : l’existence de problèmes qui ne sontpas décidables (i.e. indécidables).

8.3.1 Premières considérations

Observons tout d’abord, que cela peut s’établir simplement.

Théorème 8.2 Il existe des problèmes de décision qui ne sont pas décidables.

Page 8: Calculabilité - polytechnique

8 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

Démonstration : On a vu que l’on pouvait coder une machine de Turing par unmot fini sur l’alphabet Σ = {0, 1} : voir la définition 8.1. Il y a donc un nombredénombrable de machines de Turing.

Par contre, il y a un nombre non dénombrable de langages sur l’alphabet Σ ={0, 1} : cela peut se prouver en utilisant un argument de diagonalisation comme dansle premier chapitre.

Il y a donc des problèmes qui ne correspondent à aucune machine de Turing (et ily en a même un nombre non dénombrable). �

Le défaut d’une preuve comme celle-là est évidemment qu’elle ne dit rien sur lesproblèmes en question. Est-ce qu’ils sont ésotériques et d’aucun intérêt sauf pour lethéoricien ?

Malheureusement, même des problèmes simples et naturels s’avèrent ne pas pou-voir se résoudre par algorithme.

8.3.2 Est-ce grave ?Par exemple, dans l’un des problèmes indécidables, on se donne un programme

et une spécification de ce que le programme est censé faire (par exemple trier desnombres), et l’on souhaite vérifier que le programme satisfait sa spécification.

On pourrait espérer que le processus de la vérification puisse s’automatiser, c’est-à-dire que l’on puisse construire un algorithme qui vérifie si un programme satisfait saspécification. Malheureusement, cela est impossible : le problème général de la vérifi-cation ne peut pas se résoudre par ordinateur.

On rencontrera d’autres problèmes indécidables dans ce chapitre. Notre objectif estde faire sentir à notre lecteur le type de problèmes qui sont indécidables, et de com-prendre les techniques permettant de prouver qu’un problème ne peut pas être résoluinformatiquement.

8.3.3 Un premier problème indécidableOn va utiliser un argument de diagonalisation, c’est-à-dire un procédé analogue à

la diagonalisation de Cantor qui permet de montrer que l’ensemble des parties de Nn’est pas dénombrable : voir le premier chapitre.

Remarque 8.4 Derrière l’argument précédent sur le fait qu’il y a un nombre non dé-nombrable de langages sur l’alphabet Σ = {0, 1} se cachait déjà une diagonalisation.On fait ici une diagonalisation plus explicite, et constructive.

On appelle langage universel, appelé encore problème de l’arrêt des machines deTuring , le problème de décision suivant :

Définition 8.9 (HALTING-PROBLEM)Donnée: Le codage 〈M〉 d’une machine de Turing M et un mot w.Réponse: Décider si la machine M accepte le mot w.

Remarque 8.5 On peut aussi voir ce problème de la façon suivante : on se donne unepaire 〈〈M〉, w〉, où 〈M〉 est le codage d’une machine de Turing M , et w est un mot, etl’on souhaite décider si la machine M accepte le mot w.

Page 9: Calculabilité - polytechnique

8.3. INDÉCIDABILITÉ 9

Théorème 8.3 Le problème HALTING− PROBLEM n’est pas décidable.

Démonstration : On prouve le résultat par un raisonnement par l’absurde. Suppo-sons que HALTING− PROBLEM soit décidé par une machine de Turing A.

On construit alors une machine de Turing B qui fonctionne de la façon suivante :– B prend en entrée un mot 〈C〉 codant une machine de Turing C ;– B appelle la machine de Turing A sur la paire 〈〈C〉, 〈C〉〉 (c’est-à-dire sur l’en-

trée constituée du codage de la machine de Turing C, et du mot w correspondantaussi à ce même codage) ;

– Si la machine de Turing A :– accepte ce mot, B refuse ;– refuse ce mot, B accepte.

Par construction B termine sur toute entrée.On montre qu’il y a une contradiction, en appliquant la machine de Turing B sur le

mot 〈B〉, c’est-à-dire sur le mot codant la machine de Turing B.– SiB accepte 〈B〉, alors cela signifie, par définition de HALTING− PROBLEM

et deA, queA accepte 〈〈B〉, 〈B〉〉. Mais siA accepte ce mot,B est construit pourrefuser son entrée 〈B〉. Contradiction.

– Si B refuse 〈B〉, alors cela signifie, par définition de HALTING− PROBLEMet de A, que A refuse 〈〈B〉, 〈B〉〉. Mais si A refuse ce mot, B est construit pouraccepter son entrée 〈B〉. Contradiction.

8.3.4 Problèmes semi-décidables

Le problème HALTING− PROBLEM est toutefois semi-décidable dans le senssuivant :

Définition 8.10 (Langage semi-décidable) Un langageL ⊂M∗ est dit semi-décidables’il correspond à l’ensemble des mots acceptés par une machine de Turing M .

Corollaire 8.1 Le langage universel HALTING− PROBLEM est semi-décidable.

Démonstration : Pour savoir si on doit accepter une entrée qui correspond au co-dage 〈M〉 d’une machine de Turing M et au mot w, il suffit de simuler la machine deTuringM sur l’entrée w. On arrête la simulation et on accepte si l’on détecte dans cettesimulation que la machine de Turing M atteint un état accepteur. Sinon, on simule Mpour toujours. �

Un langage semi-décidable est aussi dit récursivement énumérable.On note RE la classe des langages et des problèmes semi-décidables : voir la figure

8.2.

Corollaire 8.2 R ( RE.

Démonstration : L’inclusion est par définition. Puisque HALTING− PROBLEM estdans RE et n’est pas dans R, l’inclusion est stricte. �

Page 10: Calculabilité - polytechnique

10 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

langages décidables

langages semi-décidables

langages quelconques

FIGURE 8.2 – Inclusions entre classes de langages.

w

M1Accepte

M2Accepte

Accepte

Refuse

FIGURE 8.3 – Illustration de la preuve du théorème 8.4.

8.3.5 Un problème qui n’est pas semi-décidableCommençons par établir le résultat fondamental suivant :

Théorème 8.4 Un langage est décidable si et seulement s’il est semi-décidable et soncomplémentaire aussi.

Remarque 8.6 Ce résultat justifie la terminologie de semi-décidable, puisqu’un lan-gage qui est semi-décidable et dont le complémentaire l’est aussi est décidable.

Démonstration : sens ⇐. Supposons que L soit semi-décidable et son complé-mentaire aussi. Il existe une machine de Turing M1 qui termine en acceptant sur L,et une machine de Turing M2 qui termine en acceptant sur son complémentaire. Onconstruit une machine de Turing M qui, sur une entrée w, simule en parallèle 1 M1 et

1. Une alternative est de considérer que M est une machine de Turing non-déterministe qui simule defaçon non-déterministe soit M1 soit M2.

Page 11: Calculabilité - polytechnique

8.3. INDÉCIDABILITÉ 11

w MAccepteRefuse Accepte

Refuse

FIGURE 8.4 – Construction d’une machine de Turing acceptant le complément d’unlangage décidable.

M2, (c’est-à-dire que l’on simule t étapes de M1 sur w, puis on simule t étapes de M2

sur w, pour t = 1, 2, · · · ,) jusqu’à ce que l’une des deux termine : voir la figure 8.3. SiM1 termine, la machine de Turing M accepte. Si c’est M2, la machine M refuse. Lamachine de Turing M que l’on vient de décrire décide L.

sens⇒. Par définition, un langage décidable est semi-décidable. En inversant dansla machine de Turing l’état d’acceptation et de refus, son complémentaire est aussidécidable (voir la figure 8.4) et donc aussi semi-décidable. �

On considère alors le complémentaire du problème HALTING− PROBLEM,que l’on va noter HALTING− PROBLEM.

Définition 8.11 (HALTING− PROBLEM)Donnée: Le codage 〈M〉 d’une machine de Turing M et un mot w.Réponse: Décider si la machine M n’accepte pas le mot w.

Corollaire 8.3 Le problème HALTING− PROBLEM n’est pas semi-décidable.

Démonstration : Sinon, par le théorème précédent, le problème de décision HALTING− PROBLEMserait décidable. �

8.3.6 Sur la terminologie utiliséeUn langage décidable est aussi appelé un langage récursif : la terminologie de

récursif fait référence à la notion de fonction récursive : voir par exemple le cours[Dowek, 2008] qui présente la calculabilité par l’intermédiaire des fonctions récursives.

La notion de énumérable dans récursivement énumérable s’explique par le résultatsuivant.

Théorème 8.5 Un langage L ⊂ M∗ est récursivement énumérable si et seulement sil’on peut produire une machine de Turing qui affiche un à un (énumère) tous les motsdu langage L.

Démonstration : sens ⇒. Supposons que L soit récursivement énumérable. Ilexiste une machine de Turing A qui termine en acceptant sur les mots de L.

L’ensemble des couples (t, w), où t est un entier, w est un mot, est dénombrable.On peut se convaincre assez facilement qu’il est en fait effectivement dénombrable : onpeut construire une machine de Turing qui produit le codage 〈t, w〉 de tous les couples(t, w). Par exemple, on considère une boucle qui pour t = 1, 2, · · · jusqu’à l’infini,

Page 12: Calculabilité - polytechnique

12 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

w

A1Accepte

A2Accepte

Accepte

Accepte

FIGURE 8.5 – Construction d’une machine de Turing acceptant L1 ∪ L2.

considère tous les mots w de longueur inférieure ou égale à t, et produit pour chacunle couple 〈t, w〉.

Considérons une machine de Turing B qui en plus, pour chaque couple produit(t, w), simule en outre t étapes de la machine A. Si la machine A termine et accepte enexactement t étapes, B affiche alors le mot w. Sinon B n’affiche rien pour ce couple.

Un mot du langage L, est accepté par A en un certain temps t. Il sera alors écrit parB lorsque celui-ci considérera le couple (t, w). Clairement, tout mot w affiché par Best accepté par A, et donc est un mot de L.

sens⇐. Réciproquement, si l’on a une machine de Turing B qui énumère tous lesmots du langage L, alors on peut construire une machine de Turing A, qui étant donnéun mot w, simule B, et à chaque fois que B produit un mot compare ce mot au mot w.S’ils sont égaux, alors A s’arrête et accepte. Sinon, A continue à jamais.

Par construction, sur une entrée w, A termine et accepte si w se trouve parmi lesmots énumérés par B, c’est-à-dire si w ∈ L. Si w ne se trouve pas parmi ces mots, parhypothèse, w 6∈ L, et donc par construction, A n’acceptera pas w. �

8.3.7 Propriétés de clôture

Théorème 8.6 L’ensemble des langages semi-décidables est clos par union et par in-tersection : autrement dit, si L1 et L2 sont semi-décidables, alors L1 ∪ L2 et L1 ∩ L2

le sont.

Démonstration : Supposons que L1 corresponde à L(A1) pour une machine deTuring A1 et L2 à L(A2) pour une machine de Turing A2. Alors L1 ∪L2 correspond àL(A) pour la machine de Turing A qui simule en parallèle A1 et A2 et qui termine etaccepte dès que l’une des deux machines de Turing A1 et A2 termine et accepte : voirla figure 8.5.

L1 ∩ L2 correspond à L(A) pour la machine de Turing A qui simule en parallèleA1 et A2 et qui termine dès que les deux machines de Turing A1 et A2 terminent etacceptent.

Page 13: Calculabilité - polytechnique

8.4. AUTRES PROBLÈMES INDÉCIDABLES 13

Théorème 8.7 L’ensemble des langages décidables est clos par union, intersection, etcomplément : autrement dit, si L1 et L2 sont décidables, alors L1 ∪L2, L1 ∩L2, et Lc

1

le sont.

Démonstration : On a déjà utilisé la clôture par complémentaire : en inversant dansla machine de Turing l’état d’acceptation et de refus, le complémentaire d’un langagedécidable est aussi décidable (voir la figure 8.4).

Il reste à montrer qu’avec les hypothèses, les langages L1 ∪ L2 et L1 ∩ L2 sontdécidables. Mais cela est clair par le théorème précédent et le fait qu’un ensemble estdécidable si et seulement si il est semi-décidable et son complémentaire aussi, en utili-sant les lois de Morgan (le complémentaire d’une union est l’intersection des complé-mentaires, et inversement) et la stabilité par complémentaire des langages décidables.�

8.4 Autres problèmes indécidablesUne fois que nous avons obtenu un premier problème indécidable, nous allons en

obtenir d’autres.

8.4.1 RéductionsNous connaissons deux langages indécidables, HALTING− PROBLEM et son

complémentaire. Notre but est maintenant d’en obtenir d’autres, et de savoir comparerles problèmes. Nous introduisons pour cela la notion de réduction.

Tout d’abord, nous pouvons généraliser la notion de calculable aux fonctions et passeulement aux langages et problèmes de décision.

Définition 8.12 (Fonction calculable) Soient Σ et Σ′ deux alphabets. Une fonctionf : Σ∗ → Σ′

∗ (totale) est calculable s’il existe une machine de Turing A, qui travaillesur l’alphabet Σ∪Σ′, telle que pour tout mot w,A avec l’entrée w, termine et accepte,avec f(w) écrit sur son ruban au moment où elle termine.

On peut se convaincre facilement que la composée de deux fonctions calculablesest calculable.

Cela nous permet d’introduire une notion de réduction entre problèmes : l’idée estque si A se réduit à B, alors le problème A est plus facile que le problème B, ou sil’on préfère, le problème B est plus difficile que le problème A : voir la figure 8.6 et lafigure 8.7.

Définition 8.13 (Réduction) Soient A et B deux problèmes d’alphabet respectifs MA

et MB . Une réduction de A vers B est une fonction f : M∗A → M∗B calculable telleque w ∈ A ssi f(w) ∈ B. On note A ≤m B lorsque A se réduit à B.

Cela se comporte comme on le souhaite : un problème est aussi facile (et difficile)que lui-même, et la relation “être plus facile que” est transitive. En d’autres termes :

Théorème 8.8 ≤m est un préordre :

Page 14: Calculabilité - polytechnique

14 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

Instance duproblème A

f Instance duproblème B

Algorithme oui

non

FIGURE 8.6 – Réduction du problème A vers le problème B. Si l’on peut résoudre leproblème B, alors on peut résoudre le problème A. Le problème A est donc plus facileque le problème B, noté A ≤m B.

V RAI

FAUX

V RAI

FAUX

Problème A Problème B

FIGURE 8.7 – Les réductions transforment des instances positives en instances posi-tives, et négatives en négatives.

Page 15: Calculabilité - polytechnique

8.4. AUTRES PROBLÈMES INDÉCIDABLES 15

1. L ≤m L ;

2. L1 ≤m L2, L2 ≤m L3 impliquent L1 ≤m L3.

Démonstration : Considérer la fonction identité comme fonction f pour le premierpoint.

Pour le second point, supposons L1 ≤m L2 via la réduction f , et L2 ≤m L3 via laréduction g. On a x ∈ L1 ssi g(f(x)) ∈ L2. Il suffit alors de voir que g ◦ f , en tempsque composée de deux fonctions calculables est calculable. �

Remarque 8.7 Il ne s’agit pas d’un ordre, puisque L1 ≤m L2, L2 ≤m L1 n’impliquepas L1 = L2. Il est en fait naturel d’introduire le concept suivant : deux problèmesL1 et L2 sont équivalents, noté L1 ≡ L2, si L1 ≤m L2 et si L2 ≤m L1. On a alorsL1 ≤m L2, L2 ≤m L1 impliquent L1 ≡ L2.

Intuitivement, si un problème est plus facile qu’un problème décidable, alors il estdécidable. Formellement :

Proposition 8.2 (Réduction) Si A ≤m B, et si B est décidable alors A est décidable.

Démonstration : A est décidé par la machine de Turing qui, sur une entrée w, cal-cule f(w), puis simule la machine de Turing qui décideB sur l’entrée f(w). Puisqu’ona w ∈ A si et seulement si f(w) ∈ B, la machine de Turing est correcte. �

Proposition 8.3 (Réduction) Si A ≤m B, et si A est indécidable, alors B est indéci-dable.

Démonstration : Il s’agit de la contraposée de la proposition précédente. �

8.4.2 Quelques autres problèmes indécidablesCette idée va nous permettre d’obtenir immédiatement la preuve de l’indécidabilité

de plein d’autres problèmes.Par exemple, le fait qu’il n’est pas possible de déterminer algorithmiquement si une

machine de Turing accepte au moins une entrée :

Définition 8.14 (Problème L∅)Donnée: Le codage 〈M〉 d’une machine de Turing M .Réponse: Décider si L(M) 6= ∅.

Proposition 8.4 Le problème Problème L∅ est indécidable.

Démonstration : On construit une réduction de HALTING− PROBLEM versL∅ : pour toute paire 〈〈A〉, w〉, on considère la machine de Turing Aw définie de lamanière suivante (voir la figure 8.8) :

– Aw prend en entrée un mot u ;– Aw simule A sur w ;– Si A accepte w, alors Aw accepte.

Page 16: Calculabilité - polytechnique

16 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

w AAccepte Accepte

u

Aw

FIGURE 8.8 – Illustration de la machine de Turing utilisée dans la preuve de la propo-sition 8.4.

La fonction f qui à 〈〈A〉, w〉 associe 〈Aw〉 est bien calculable. De plus on a 〈〈A〉, w〉 ∈HALTING− PROBLEM si et seulement si L(Aw) 6= ∅, c’est-à-dire 〈Aw〉 ∈ L∅ : eneffet, Aw accepte soit tous les mots (et donc le langage correspondant n’est pas vide)si A accepte w, soit n’accepte aucun mot (et donc le langage correspondant est vide)sinon. �

Définition 8.15 (Problème L6=)Donnée: Le codage 〈A〉 d’une machine de Turing A et le codage 〈A′〉 d’une ma-

chine de Turing A′.Réponse: Déterminer si L(A) 6= L(A′).

Proposition 8.5 Le problème Problème L6= est indécidable.

Démonstration : On construit une réduction de L∅ vers L6=. On considère une ma-chine de Turing fixe B qui accepte le langage vide : prendre par exemple une machinede Turing B qui rentre immédiatement dans une boucle sans fin. La fonction f qui à〈A〉 associe la paire 〈A,B〉 est bien calculable. De plus on a 〈A〉 ∈ L∅ si et seulementsi L(A) 6= ∅ si et seulement si 〈A,B〉 ∈ L6=. �

8.4.3 Théorème de Rice

Les deux résultats précédents peuvent être vus comme les conséquences d’un ré-sultat très général qui affirme que toute propriété non triviale des algorithmes est indé-cidable.

Théorème 8.9 (Théorème de Rice) Toute propriété non triviale des langages semi-décidables est indécidable.

Autrement dit, soit une propriété P des langages semi-décidables non triviale,c’est-à-dire telle qu’il y a au moins une machine de Turing M telle que L(M) satisfaitP et une machine de Turing M telle que L(M) ne satisfait pas P .

Alors le problème de décision LP :Donnée: Le codage 〈M〉 d’une machine de Turing M ;Réponse: Décider si L(M) vérifie la propriété P ;

est indécidable.

Page 17: Calculabilité - polytechnique

8.4. AUTRES PROBLÈMES INDÉCIDABLES 17

w AAccepte

BAccepte Accepteu

Démarre

Aw

FIGURE 8.9 – Illustration de la machine de Turing utilisée dans la preuve du théorèmede Rice.

Remarque 8.8 Remarquons que si une propriété P est triviale, LP est décidable tri-vialement : construire une machine de Turing qui ne lit même pas son entrée et quiaccepte (respectivement : refuse).

Démonstration : Il nous faut démontrer que le problème de décision LP est indé-cidable.

Quitte à remplacer P par sa négation, on peut supposer que le langage vide nevérifie pas la propriété P (prouver l’indécidabilité de Lp est équivalent à prouver l’in-décidabilité de son complémentaire). Puisque P est non triviale, il existe au moins unemachine de Turing B avec L(B) qui vérifie P .

On construit une réduction de HALTING− PROBLEM vers le langageLP . Étantdonnée une paire 〈〈A〉, w〉, on considère la machine de Turing Aw définie de la façonsuivante (voir la figure 8.9) :

– Aw prend en entrée un mot u ;– Sur le mot u, Aw simule A sur le mot w ;– Si A accepte w, alors Aw simule B sur le mot u : Aw accepte si seulement si B

accepte u.Autrement dit, Aw accepte, si et seulement si A accepte w et si B accepte u. Si w

est accepté par A, alors L(Aw) vaut L(B), et donc vérifie la propriété P . Si w n’estpas accepté par A, alors L(Aw) = ∅, et donc ne vérifie pas la propriété P .

La fonction f qui à 〈〈A〉, w〉 associe 〈Aw〉 est bien calculable. �

Exercice 8.2. Montrer que l’ensemble des codages des machines de Turing qui ac-ceptent tous les mots qui sont des palindromes (en acceptant possiblement d’autresentrées) est indécidable.

8.4.4 Le drame de la vérificationAutrement dit :

Corollaire 8.4 Il n’est pas possible de construire un algorithme qui prendrait en en-trée un programme, et sa spécification, et qui déterminerait si le programme satisfait

Page 18: Calculabilité - polytechnique

18 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

sa spécification.

Et cela, en fait, même si l’on fixe la spécification à une propriété P (dès que lapropriété P n’est pas triviale), par le théorème de Rice.

Par les discussions du chapitre précédent, cela s’avère vrai même pour des systèmesextrêmements rudimentaires. Par exemple :

Corollaire 8.5 Il n’est pas possible de construire un algorithme qui prendrait en en-trée la description d’un système, et sa spécification, et qui déterminerait si le systèmesatisfait sa spécification.

Et cela, en fait, même si l’on fixe la spécification à une propriété P (dès que lapropriété P n’est pas triviale), et même pour des systèmes aussi simples que les ma-chines à 2-compteurs, par le théorème de Rice, et les résultats de simulation du chapitreprécédent.

8.4.5 Notion de complétude

Notons que l’on peut aussi introduire une notion de complétude.

Définition 8.16 (RE-complétude) Un problème A est dit RE-complet, si :

1. il est récursivement énumérable ;

2. tout autre problème récursivement énumérable B est tel que B ≤m A.

Autrement dit, un problème RE-complet est maximal pour ≤m parmi les pro-blèmes de la classe RE.

Théorème 8.10 Le problème HALTING− PROBLEM est RE-complet.

Démonstration : HALTING− PROBLEM est semi-décidable. Maintenant, soitL un langage semi-décidable. Par définition, il existe une machine de Turing A quiaccepte L. Considérons la fonction f qui à w associe le mot 〈〈A〉, w〉. On a w ∈ L si etseulement si f(w) ∈ HALTING− PROBLEM, et doncL ≤m HALTING− PROBLEM.�

8.5 Problèmes indécidables naturels

On peut objecter que les problèmes précédents, relatifs aux algorithmes sont “arti-ficiels”, dans le sens où ils parlent de propriétés d’algorithmes, les algorithmes ayanteux-même été définis par la théorie de la calculabilité.

Il est difficile de définir formellement ce qu’est un problème naturel, mais on peutau moins dire qu’un problème qui a été discuté avant l’invention de la théorie de lacalculabilité est (plus) naturel.

Page 19: Calculabilité - polytechnique

8.5. PROBLÈMES INDÉCIDABLES NATURELS 19

8.5.1 Le dixième problème de Hilbert

C’est clairement le cas du dixième problème identifié par Hilbert parmi les pro-blèmes intéressants pour le 20ème siècle en 1900 : peut-on déterminer si une équationpolynomiale à coefficients entiers possède une solution entière.

Définition 8.17 (Dixième problème de Hilbert)Donnée: Un polynôme P ∈ N[X1, · · · , Xn] à coefficients entiers.Réponse: Décider s’il possède une racine entière.

Théorème 8.11 Le problème Dixième problème de Hilbert est indécidable.

La preuve de ce résultat, due à Matiyasevich [Matiyasevich, 1970] est hors de l’am-bition de ce document.

8.5.2 Le problème de la correspondance de Post

La preuve de l’indécidabilité du problème de la correspondance de Post est plusfacile, même si nous ne la donnerons pas ici. On peut considérer ce problème comme“naturel”, dans le sens où il ne fait pas référence directement à la notion d’algorithme,ou aux machines de Turing :

Définition 8.18 (Problème de la correspondance de Post)Donnée: Une suite (u1, v1), · · · , (un, vn) de paires de mots sur l’alphabet Σ.Réponse: Décider cette suite admet une solution, c’est-à-dire une suite d’indicesi1, i2, · · · , im de {1, 2, · · · , n} telle que

ui1ui2 · · ·uim = vi1vi2 · · · vim .

Théorème 8.12 Le problème Problème de la correspondance de Post est indécidable.

8.5.3 Décidabilité/Indécidabilité de théories logiques

Nous avons déjà présenté dans le chapitre 6Modèles. Complétudechapter.6, lesaxiomes de l’arithmétique de Robinson et les axiomes de Peano : on s’attend à ceque ces axiomes soient vérifiés sur les entiers, c’est-à-dire dans le modèle standard desentiers où l’ensemble de base est les entiers, et où l’on interprète + par l’addition, ∗par la multiplication, et s(x) par x+ 1.

Étant donnée une formule close sur une signature contenant les symboles, F estsoit vraie soit fausse sur les entiers (c’est-à-dire dans le modèle standard des entiers).Appelons théorie de l’arithmétique, l’ensemble Th(N) des formules closes F qui sontvraies sur les entiers.

Les constructions du chapitre suivant prouvent le résultat suivant :

Théorème 8.13 Th(N) n’est pas décidable.

Page 20: Calculabilité - polytechnique

20 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

Démonstration : Nous prouvons dans le chapitre qui suit que Th(N) n’est pasrécursivement énumérable. Il suffit d’observer qu’un ensemble décidable est récursive-ment énumérable, pour obtenir une contradiction à supposer Th(N) décidable. �

On peut prouver (ce que l’on ne fera pas) que si l’on considère des formules sansutiliser le symbole de multiplication, alors la théorie correspondante est décidable.

Théorème 8.14 On peut décider si une formule close F sur la signature (0, s,+,=)(i.e. celle de Peano sans la multiplication) est satisfaite sur les entiers standards.

On obtient aussi par ailleurs les résultats suivants :

Théorème 8.15 Soit F une formule close sur la signature des axiomes de Peano. Leproblème de décision consistant à déterminer si F peut se prouver à partir des axiomesde Peano est indécidable.

Démonstration : Étant donné 〈〈M〉, w〉, où M est une machine et w un mot, nousmontrons dans le chapitre qui suit comment produire une formule close γ sur la signa-ture de l’arithmétique telle que

〈〈M〉, w〉 ∈ HALTING− PROBLEM⇔ γ ∈ Th(N),

où HALTING− PROBLEM est le complémentaire du problème de l’arrêt des ma-chines de Turing.

Or, en fait, on peut se convaincre que le raisonnement que l’on utilise pour celapeut se formaliser avec Peano et se déduire des axiomes de Peano.

On a donc en fait 〈〈M〉, w〉 ∈ HALTING− PROBLEM si et seulement si γ seprouve à partir des axiomes de Peano.

Cela donne une réduction du complémentaire du problème de l’arrêt des machinesde Turing vers notre problème : la transformation qui à 〈〈M〉, w〉 associe γ se calculebien facilement. Notre problème est donc indécidable, puisque le premier l’est. �

On peut prouver :

Théorème 8.16 On peut décider si une formule close F sur la signature (0, s,+,=)(i.e. celle de Peano sans la multiplication) est prouvable à partir des axiomes de Peano.

8.6 Théorèmes du point fixeLes résultats de cette section sont très subtils, mais extrêmement puissants.Commençons par une version simple, qui nous aidera à comprendre les preuves.

Proposition 8.6 Il existe une machine de Turing A∗ qui écrit son propre algorithme :elle produit en sortie 〈A∗〉.

Autrement dit, il est possible d’écrire un programme qui affiche son propre code.C’est vrai dans tout langage de programmation qui est équivalent aux machines de

Turing :En shell UNIX par exemple, le programme suivant

Page 21: Calculabilité - polytechnique

8.6. THÉORÈMES DU POINT FIXE 21

x=’y=‘echo . | tr . "\47" ‘; echo "x=$y$x$y;$x"’; y=‘echo . | tr ."\47"‘; echo "x=$y$x$y;$x"

produit

x=’y=‘echo . | tr . "\47" ‘; echo "x=$y$x$y;$x"’; y=‘echo . | tr ."\47"‘; echo "x=$y$x$y;$x"

qui est une commande, qui exécutée, affiche son propre code.On appelle parfois de tels programme des quines, en l’honneur du philosophe

Willard van Orman Quine, qui a discuté l’existence de programmes autoreproducteurs.Démonstration : On considère des machines de Turing qui terminent sur toute

entrée. Pour deux telles machines A et A′, on note AA′ la machine de Turing qui estobtenue en composant de façon séquentielleA etA′. Formellement,AA′ est la machinede Turing qui effectue d’abord le programme de A, et puis lorsque A temine avec surson ruban w, effectue le programme de A′ sur l’entrée w.

On construit les machines suivantes :

1. Étant donné un mot w, la machine de Turing Printw termine avec le résultat w ;

2. Pour une entrée w de la forme w = 〈X〉, où X est une machine de Turing,la machine de Turing B produit en sortie le codage de la machine de TuringPrintwX , c’est-à-dire le codage de la machine de Turing obtenue en composantPrintw et X .

On considère alors la machine de Turing A∗ donnée par Print〈B〉B, c’est-à-direla composition séquentielle des machines Print〈B〉 et B.

Déroulons le résultat de cette machine : la machine de Turing Print〈B〉 produit ensortie 〈B〉. La composition par B produit alors le codage de Print〈B〉〈B〉, qui est bienle codage de la machine de Turing A∗. �

Le théorème de récursion permet des autoréférences dans un langage de program-mation. Sa démonstration consiste à étendre l’idée derrière la preuve du résultat précé-dent.

Théorème 8.17 (Théorème de récursion) Soit t : M∗ × M∗ → M∗ une fonctioncalculable. Alors il existe une machine de TuringR qui calcule une fonction r : M∗ →M∗ telle que pour tout mot w

r(w) = t(〈R〉, w).

Son énoncé peut paraître technique, mais son utilisation reste assez simple. Pourobtenir une machine de Turing qui obtient sa propre description et qui l’utilise pourcalculer, on a besoin simplement d’une machine de Turing T qui calcule une fonction tcomme dans l’énoncé, qui prend une entrée supplémentaire qui contient la descriptionde la machine de Turing. Alors le théorème de récursion produit une nouvelle machineR qui opère comme T mais avec la description de 〈R〉 gravée dans son code.

Démonstration : Il s’agit de la même idée que précédemment. Soit T une machinede Turing calculant la fonction t : T prend en entrée une paire 〈u,w〉 et produit ensortie un mot t(u,w).

On considère les machines suivantes :

Page 22: Calculabilité - polytechnique

22 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

1. Étant donné un mot w, la machine de Turing Printw prend en entrée un mot uet termine avec le résultat 〈w, u〉 ;

2. Pour une entrée w′ de la forme 〈〈X〉, w〉, la machine de Turing B :

(a) calcule 〈〈Print〈X〉X〉, w〉, où Print〈X〉X désigne la machine de Turingqui compose Print〈X〉 avec X ;

(b) puis passe le contrôle à la machine de Turing T .

On considère alors la machine de Turing R donnée par Print〈B〉B, c’est-à-dire lamachine de Turing obtenue en composant Print〈B〉 avec B.

Déroulons le résultat r(w) de cette machine R sur une entrée w : sur une entréew, la machine de Turing Print〈B〉 produit en sortie 〈〈B〉, w〉. La composition parB produit alors le codage de 〈〈Print〈B〉B〉, w〉, et passe le contrôle à T . Ce dernierproduit alors t(〈Print〈B〉B〉, w) = t(〈R〉, w) = r(w). �

On obtient alors :

Théorème 8.18 (Théorème du point fixe de Kleene) Soit une fonction calculable quià chaque mot 〈A〉 codant une machine de Turing associe un mot 〈A′〉 codant une ma-chine de Turing. Notons A′ = f(A).

Alors il existe une machine de Turing A∗ tel que L(A∗) = L(f(A∗)).

Démonstration : Considérons une fonction t : M∗×M∗ →M∗ telle que t(〈A〉, x)soit le résultat de la simulation de la machine de Turing f(A) sur l’entrée x. Par lethéorème précédent, il existe une machine de Turing R qui calcule une fonction r telleque r(w) = t(〈R〉, w). Par construction A∗ = R et f(A∗) = f(R) ont donc mêmevaleur sur w pour tout w. �

Remarque 8.9 On peut interpréter les résultat précédents en lien avec les virus in-formatiques. En effet, un virus est un programme qui vise à se diffuser, c’est-à-dire às’autoreproduire, sans être détecté. Le principe de la preuve du théorème de récursionest un moyen de s’autoreproduire, en dupliquant son code.

8.7 Plusieurs remarques

8.7.1 Calculer sur d’autres domainesNous avons introduit la notion d’ensemble décidable, récursivement énumérable,

etc. pour les sous-ensembles de Σ∗, et la notion de fonction (totale) calculable f :Σ∗ → Σ∗.

On peut vouloir travailler sur d’autres domaines que les mots sur un alphabet donné,par exemple sur les entiers. Dans ce cas, il suffit de considérer que l’on code un entierpar son écriture en, disons, base 2 pour se ramener au cas d’un mot sur l’alphabet{0, 1}. On peut aussi coder un entier par exemple en unaire, i.e. n par an pour unelettre a sur un alphabet Σ avec a ∈ Σ.

Dans le cas général, pour travailler sur un domaine E, on fixe un codage des élé-ments de E sur un alphabet Σ : on dit par exemple qu’un sous-ensemble S ⊂ E est

Page 23: Calculabilité - polytechnique

8.7. PLUSIEURS REMARQUES 23

récursivement énumérable (respectivement décidable), si le sous-ensemble des codagesdes mots de E est récursivement énumérable (resp. décidable).

De même une fonction (totale) f : E → F est dit calculable si la fonction qui passedu codage de e ∈ E au codage de f ∈ F est calculable.

Exemple 8.5 On peut coder ~n = (n1, . . . , nk) ∈ Nk par

〈~n〉 = an1+1ban2+1b · · · ank+1

sur l’alphabet Σ = {a, b}. Une fonction f : Nk → N est dite calculable si elle estcalculable sur ce codage.

Les notions obtenues de fonction calculable, ensemble décidable, semi-décidable,etc... ne dépendent pas du codage, pour les codages usuels (en fait techniquement dèsque l’on passer d’un codage à un autre de façon calculable).

8.7.2 Vision algébrique de la calculabilitéLes notions de la calculabilité sont parfois introduites de façon algébrique, en par-

lant de fonctions sur les entiers.En particulier, on peut introduire la notion de fonction partielle calculable, qui étend

la notion de fonction calculable introduite au cas des fonctions non-totales.

Définition 8.19 (Fonction partielle calculable) Soit f : E → F une fonction, possi-blement partielle.

La fonction f : E → F est calculable s’il existe une machine de Turing A telle quepour tout mot codage w d’un élement e ∈ E dans le domaine de f , A avec l’entréew, termine et accepte, avec le codage de f(e) écrit sur son ruban au moment où elletermine.

Bien entendu, cette notion correspond à la notion précédente pour le cas d’unefonction f totale.

On peut caractériser de façon purement algébrique la notion de fonction calculable :

Définition 8.20 (Fonction récursive) Une fonction (possiblement partielle) f : Nn →N est récursive si elle est soit la constante 0, soit l’une des fonctions :

– Zero : x 7→ 0 la fonction 0 ;– Succ : x 7→ x+ 1 la fonction successeur ;– Projin : (x1, . . . , xn) 7→ xi les fonctions de projection, pour 1 ≤ i ≤ n ;– Compm(g, h1, . . . , hm) : (x1, . . . , xn) 7→ g(h1(x1, . . . , xn), . . . , hm(x1, . . . , xn))

la composition des fonctions récursives g, h1, . . . , hm ;– Rec(g, h) la fonction définie par récurrence comme{

f(0, x2, . . . , xn) = g(x2, . . . , xn),

f(x1 + 1, x2, . . . , xn) = h(f(x1, . . . , xn), x1, . . . , xn),

où g et h sont récursives.

Page 24: Calculabilité - polytechnique

24 CHAPITRE 8. CALCULABILITÉ

– Min(g) la fonction qui à (x2, . . . , xn) associe le plus petit y ∈ N tel que

g(y, x2, . . . , xn) = 1

s’il en existe (et qui n’est pas définie sinon) où g est récursive.Une fonction primitive récursive est une fonction qui se définit sans utiliser le

schéma Min.

On peut prouver le résultat suivant :

Théorème 8.19 Une fonction f : Nn → N est récursive si et seulement si elle estcalculable par une machine de Turing.

La notion d’ensemble décidable ou semi-décidable peut se définir aussi de façonalgébrique :

Théorème 8.20 Un sous-ensemble S ⊂ N est décidable si la fonction charactéristique

de S, i.e. la fonction (totale) χ : n 7→{

1 si n ∈ S0 si n 6∈ S est calculable

Théorème 8.21 Un sous-ensemble S ⊂ N est semi-décidable si la fonction (partielle)

n 7→{

1 si n ∈ Sindéfini si n 6∈ S est calculable.

Exercice 8.3. Prouver ces théorèmes.

*Exercice 8.4. [Problème de l’arrêt généralisé] Soit A un sous-ensemble décidablede l’ensemble des codages de machines de Turing, tel que toutes les machines de Aterminent toujours.

Alors A est incomplet : il existe une fonction (unaire) f : N→ N calculable totalequi n’est représentée par aucune machine de Turing de A.

Expliquer pourquoi ce résultat implique le problème de l’arrêt.

8.8 Exercices

Exercice 8.5. Soit E ⊂ N un ensemble récursivement énumérable, énuméré par unefonction calculable f strictement croissante. Montrer que E est décidable.

Exercice 8.6. En déduire que tout sous-ensemble récursivement énumérable infini deN contient un ensemble décidable infini.

Exercice 8.7. Soit E ⊂ N un ensemble décidable. Montrer qu’il est énuméré par unefonction calculable f strictement croissante.

Exercice 8.8. Soit A ⊂ N2 un ensemble décidable de couples d’entiers.On note ∃A pour la (première) projection de A, à savoir le sous-ensemble de N

défini par∃A = {x|∃y ∈ N tel que (x, y) ∈ A}.

Page 25: Calculabilité - polytechnique

8.9. NOTES BIBLIOGRAPHIQUES 25

1. Montrer que la projection d’un ensemble décidable est récursivement énumé-rable.

2. Montrer que tout ensemble récursivement énumérable est la projection d’un en-semble décidable.

Exercice 8.9. Un nombre réel a est dit récursif s’il existe des fonctions calculablesF et G de N dans N telles que pour tout n > 0 on ait G(n) > 0 et

||a| − F (n)

G(n)| ≤ 1

n.

1. Montrer que tout nombre rationnel est récursif.2. Montrer que

√2, π, e sont récursifs.

3. Montrer que le nombre réel 0 < a < 1 est récursif si et seulement s’il existeun développement décimal récursif de a, c’est-à-dire une fonction calculableH : N→ N telle que pour tout n > 0 on ait 0 ≤ H(n) ≤ 9 et

|a| =∞∑

n=0

H(n)

10n.

4. Montrer que l’ensemble des réels récursifs forme un sous corps dénombrable deR, tel que tout polynôme de degré impair possède une racine.

5. Donner un exemple de réel non-récursif.

Exercice 8.10. Un état “inutile” d’une machine de Turing est un état q ∈ Q danslequel on ne rentre sur aucune entrée. Formuler la question de savoir si une machinede Turing possède un état inutile comme un problème de décision, et prouver qu’il estindécidable.

Exercice 8.11. Les problèmes suivants, où l’on se donne une machine de Turing A etl’on veut savoir

1. si L(A) (le langage accepté par A) contient au moins deux entrées distinctes2. si L(A) accepte aucune entrée

sont-ils décidables ? semi-décidables ?

8.9 Notes bibliographiquesLectures conseillées Pour aller plus loin sur les notions évoquées dans ce chapitre,nous suggérons la lecture de [Sipser, 1997] et de [Hopcroft et al., 2001] en anglais, oude [Wolper, 2001], [Stern, 1994] [Carton, 2008] en français.

Le livre [Sipser, 1997] est un excellent ouvrage très pédagogue.

Bibliographie Ce chapitre contient des résultats standards en calculabilité. Nousnous sommes inspirés ici essentiellement de leur présentation dans les livres [Wolper, 2001],[Carton, 2008], [Jones, 1997], [Kozen, 1997], [Hopcroft et al., 2001], ainsi que dans[Sipser, 1997].

Page 26: Calculabilité - polytechnique

Index

(Ag, r, Ad), voir arbre binaire(V,E), voir graphe(q, u, v), voir configuration d’une machine

de Turing., voir concaténationAc, voir complémentaireF (G/p), voir substitutionL(M), voir langage accepté par une ma-

chine de TuringL∅, 15L 6=, 16⇔, voir double implication⇒, voir définition inductive / différentes

notations d’une, voir implica-tion

Σ, voir alphabetΣ∗, voir ensemble des mots sur un alpha-

bet∩, voir intersection de deux ensembles∪, voir union de deux ensemblesε, voir mot vide≡, 15, voir équivalence entre formules,

voir équivalence entre problèmes∃, voir quantificateur∀, voir quantificateur≤m, 15, 18, voir réduction|w|, voir longueur d’un mot≤, voir réductionP(E), voir parties d’un ensemble|=, voir conséquence sémantique¬, voir négation6|=, voir conséquence sémantique⊂, voir partie d’un ensemble×, voir produit cartésien de deux ensembles`, voir démonstration, voir relation suc-

cesseur entre configurations d’unemachines de Turing

∨, voir disjonction∧, voir conjonctionuqv, voir configuration d’une machine de

Turing〈〈M〉, w〉, 3, voir codage d’une paire〈M〉, 3, voir codage d’une machine de

Turing〈m〉, 2, voir codage〈φ〉, voir codage d’une formule〈w1, w2〉, 3, 4, voir codage d’une paire

Arith, voir expressions arithmétiquesArith′, voir expressions arithmétiques pa-

renthéséesarithmétique, voir théorie

bytecode, 1

calculabilité, 1calculable, 13, 23

fonction, voir fonction calculableclôture, voir propriétéscodage

notation, voir 〈.〉d’une formule

notation, voir 〈φ〉d’une machine de Turing, 2

notation, voir 〈M〉d’une paire

notation, voir 〈〈M〉, w〉, voir 〈w1, w2〉complémentaire

notation, voir Ac

du problème de l’arrêt des machinesde Turing, 13

notation , voir HALTING− PROBLEMcomplétude, 18

RE-complétude, voir RE-complet

26

Page 27: Calculabilité - polytechnique

INDEX 27

concaténationnotation, voir .

configuration d’une machine de Turingnotation, voir (q, u, v), voir uqv

décidable, 7, 9, 15contraire : indécidable, voir indéci-

dabledegré de non déterminisme, 5diagonalisation, 8décidable, 7

équivalenceentre problèmes, 15

notation, voir ≡

fonctioncalculable, 13, 23primitive récursive, 23

graphenotation, voir (V,E)

HALTING− PROBLEM, 8, 9, 11, 13,18, voir problème de l’arrêt desmachines de Turing

HALTING− PROBLEM, 11, 20, voircomplémentaire du problème del’arrêt d’une machine de Turing

Hilbert, voir problème, 10ème problèmede Hilbert

indécidable, 7, 8, 15instance

d’un problème de décision, 5positive d’un problème de décision,

5interpréteur, 1, 2intersection de deux ensembles

notation, voir ∩

langageaccepté par une machine de Turing

notation, voir L(M)universel, voir problème de l’arrêt

des machines de Turinglongueur d’un mot

notation, voir |w|

machinesde Turing

codage, voir codage d’une machinede Turing

non-déterministes, 5universelles, 2, 4

modèlestandard des entiers, 19

motvide

notation, voir ε

naturel, voir problèmeNOMBRE PREMIER, 6

partied’un ensemble

notation, voir ⊂parties

d’un ensemblenotation, voir P(E)

problème, 110ème problème de Hilbert, 19de décision, 5de l’arrêt des machines de Turing, 8

notation, voir HALTING− PROBLEMde la correspondance de Post, 19naturel, 18

produit cartésiende deux ensembles

notation, voir ×propriétés

de clôture, 12, 13

quines, 21

R, 7, 9, voir décidableRE, 9, 18, voir récursivement énumérableRE-complet, 18REACH, 6récursif, 7, 11

contraire : indécidable, voir indéci-dable

synonyme : décidable, voir décidablerécusivement énumérable, 9, 11, 12

Page 28: Calculabilité - polytechnique

28 INDEX

notation, voir REréduction, 13, 15

notation, voir ≤, voir ≤m

relation successeur entre configurations d’unemachine de Turing

notation, voir `Rice, voir théorème de Ricerécursif, 25

semi-décidable, 9, 11synonyme : récursivement énumérable,

voir récursivement énumérablespécification, 8

théorèmede Rice, 16de récursion, 21du point fixe, 20–22

théoriede l’arithmétique, 19

union de deux ensemblesnotation, voir ∪

vérification, 8

Page 29: Calculabilité - polytechnique

Bibliographie

[Carton, 2008] Carton, O. (2008). Langages formels, calculabilité et complexité.

[Dowek, 2008] Dowek, G. (2008). Les démonstrations et les algorithmes. Polycopiédu cours de l’Ecole Polytechnique.

[Hopcroft et al., 2001] Hopcroft, J. E., Motwani, R., and Ullman, J. D. (2001). Intro-duction to Automata Theory, Languages, and Computation. Addison-Wesley, 2ndedition.

[Jones, 1997] Jones, N. (1997). Computability and complexity, from a programmingperspective. MIT press.

[Kozen, 1997] Kozen, D. (1997). Automata and computability. Springer Verlag.

[Matiyasevich, 1970] Matiyasevich, Y. (1970). Enumerable sets are diophantine. Dok-lady Akademii Nauk SSSR, 191(2) :279–282.

[Sipser, 1997] Sipser, M. (1997). Introduction to the Theory of Computation. PWSPublishing Company.

[Stern, 1994] Stern, J. (1994). Fondements mathématiques de l’informatique. Edis-cience International, Paris.

[Wolper, 2001] Wolper, P. (2001). Introduction à la calculabilité : cours et exercicescorrigés. Dunod.

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