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PROJET DE MASTER 2011-2012

CONCEPTION DES TRANSFORMATEURS DE PUISSANCE MOYENNE

FREQUENCE

Professeurs : Philippe Viarouge (LEEPCI), Yves Perriard (LAI)

Etudiant : Sylvain Candolfi

LEEPCI : Laboratoire d'Électrotechnique, Électronique de Puissance et Commande

Industrielle, Université de Laval, Canada

LAI : Laboratoire d’actionneurs intégrés, école polytechnique fédérale de

Lausanne, Suisse

Québec, le 19 janvier 2012

Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence

1

1. Introduction ............................................................................................................... 4

2. Méthodologie de dimensionnement ........................................................................... 5

a. Topologie de transformateur étudiée ........................................................................................ 5

b. Modèle de dimensionnement analytique .................................................................................. 7

c. Expérimentation simulée .......................................................................................................... 8

d. Optimisation .............................................................................................................................. 8

3. Modèle de dimensionnement analytique .................................................................... 9

a. Modélisation électromagnétique ............................................................................................... 9

i. Découplage magnétostatique électrostatique .........................................................9

ii. Modèle réparti ........................................................................................................9

b. Schéma équivalent du transformateur ..................................................................................... 10

i. Modèle inductif .....................................................................................................11

ii. Modèle capacitif....................................................................................................11

iii. Modèle adopté .......................................................................................................15

c. Puissance de dimensionnement ............................................................................................... 15

i. Tension aux bornes des enroulements ..................................................................15

ii. Courants ................................................................................................................15

iii. Formulation de la puissance de dimensionnement ...............................................16

d. Dimensionnement des éléments du circuit équivalent ............................................................ 17

i. Inductance magnétisante ......................................................................................17

ii. Inductance de fuites ..............................................................................................18

iii. Capacités...............................................................................................................21

iv. Résistances ............................................................................................................27

e. Calcul des pertes et du rendement........................................................................................... 27

i. Pertes Joule ...........................................................................................................27

ii. Pertes Magnétiques ...............................................................................................27

iii. Rendement .............................................................................................................28


2

f. Modèle thermique ................................................................................................................... 28

g. Modèle mécanique .................................................................................................................. 31

4. Expérimentation simulée par calcul des champs........................................................ 31

a. Expérimentation simulée en magnétostatique : calcul des inductances .................................. 31

i. Inductance magnétisante ......................................................................................33

ii. Inductances de fuites .............................................................................................34

b. Expérimentation simulée en électrostatique : calcul des capacités ......................................... 34

i. Taille de la maille .................................................................................................34

ii. Représentation des enroulements .........................................................................37

iii. Essais d’identification ...........................................................................................44

iv. Détermination des capacités .................................................................................44

5. Analyse des performances et des limites du modèle analytique ................................ 47

c. Magnétostatique ...................................................................................................................... 47

i. Inductance mutuelle ..............................................................................................47

ii. Inductance de fuite ................................................................................................48

d. Electrostatique......................................................................................................................... 50

i. Précision du modèle analytique ............................................................................50

ii. Influence de la cuve ..............................................................................................58

6. Mise en œuvre de l’environnement .......................................................................... 60

a. Implantation du modèle analytique dans Excel ...................................................................... 60

b. Implantation de l’outil d’optimisation .................................................................................... 61

c. Implantation du calcul des champs ......................................................................................... 63

7. Applications ............................................................................................................. 64

a. Analyse de compromis masse vs. rendement .......................................................................... 64

b. Conception d’un prototype de validation du modèle de dimensionnement

électromagnétique .............................................................................................................................. 66

c. Dimensionnement d’un transformateur pour une alimentation modulaire à résonance .......... 68

i. Cahier des charges du transformateur .................................................................68


3

ii. Dimensionnement analytique ................................................................................68

iii. Étude de la sensibilité et de scénarios ..................................................................69

iv. Validation par calcul des champs .........................................................................70

8. Conclusion ................................................................................................................ 71

9. Annexes ................................................................................................................... 72

a. Equations du modèle de dimensionnement analytique ........................................................... 72

b. Caractéristiques du transformateur standard. .......................................................................... 78

c. Nomenclature .......................................................................................................................... 80

d. Bibliographie........................................................................................................................... 83


4

1. Introduction

La conversion de puissance électrique à moyenne et haute fréquence est une technologie

établie en basse puissance. Elle fait aujourd’hui l’objet de recherches et développements

dans un domaine de puissance plus élevée pour des applications où les contraintes de

puissance massique ou volumique sont importantes. De telles chaînes de traitement de

l’énergie électrique utilisent des convertisseurs statiques avec un transformateur de

puissance moyenne-fréquence (Figure 1). Un des plus grands défis dans la conception de

tels dispositifs à puissance élevée concerne le dimensionnement optimal du

transformateur en termes de compacité, de rendement, d’isolation, de tenue mécanique et

de coût.

Cette technologie offre de nouvelles perspectives dans de nombreux domaines tels que la

traction ferroviaire ou la production d’énergie éolienne offshore.

Dans le domaine ferroviaire un transformateur plus petit (Figure 2) peut être placé

directement sur le toit du train, éliminant le besoin d’une locomotive de traction, ce qui

augmente l’espace disponible pour les passagers.

Figure 1 : Composition d'un transformateur de moyenne fréquence (a) remplaçant un

transformateur classique fonctionnant à la fréquence du réseau (b).

f1

AC / DC DC / AC AC / DC

DC / AC

f2 >> f1

(a)

(b)

f2 f1


5

Figure 2 : Transformateur de traction ferroviaire de 5.2 MVA d'ABB.

Dans le cadre de l’expérience de physique du CERN à Genève, une alimentation

électrique à très haute tension continue est nécessaire pour alimenter un amplificateur de

signaux à haute fréquence appelé klystron. Il pourrait être avantageux de la réaliser avec

un transformateur moyenne fréquence car l’espace disponible pour son installation est

restreint.

2. Méthodologie de dimensionnement

a. Topologie de transformateur étudiée

Le transformateur modélisé est monophasé. Il est constitué de deux enroulements

primaires en parallèle et de deux enroulements secondaires en série (Figure 3). Les

enroulements primaires et secondaires sont placés de chaque côté du circuit magnétique

appelé noyau qui est connecté à la masse (Figure 4). L’enroulement primaire est celui qui

se situe le plus proche du noyau car dans le cas d’un transformateur élévateur de tension

c’est l’enroulement qui a le potentiel électrique le plus bas. Cette configuration est celle

qui est adoptée par l’industrie.

Les dimensions du noyau, des enroulements et l’épaisseur des isolations sont les

paramètres qui décrivent la taille du transformateur. Toutes les enroulements ont la même

hauteur et le transformateur est symétrique. Les épaisseurs d’isolation sont les mêmes à

gauche et à droite, en haut et en bas. La forme du transformateur est fixée mais pas ses

dimensions.


6

Figure 3: Connexion des enroulements.

(a) 0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25

Limite de domaine

Noyau ext.

Noyau int.

Bobine prim 1

Bobine prim 2

Bobine sec 1

Bobine sec 2

Bobine prim 3

Bobine prim 4

Bobine sec 3

Bobine sec 4

bb_

ispc_ isps_ es_ ep_

a_

b_

ec_

ec_

l_

ae_

lmn_

isph_ isss_

Fenêtre

Primaire

Secondaire


7

(b)

Figure 4 : Définition des variables géométriques. Les bobines du primaire sont en vert et

celles du secondaire en orange. Vue de face du transformateur (a) et vue de dessus d’un

enroulement (b).

b. Modèle de dimensionnement analytique

Le modèle de dimensionnement analytique prédit à l’aide de relations mathématiques

simples les performances du transformateur (Figure 5). Les entrées sont les dimensions

du transformateur, les caractéristiques des matériaux utilisés, la densité de courant j dans

les bobines ainsi que le champ d’induction magnétique maximal Bmax à l’intérieur du

noyau. Il est ainsi possible de construire virtuellement le transformateur. En sortie on

obtient la puissance du transformateur, ses pertes et son modèle électrique (Modèle

adopté p. 15). Il est divisé en un modèle électromagnétique, un modèle thermique et un

modèle mécanique.

Ce modèle de dimensionnement ne tient pas compte de la saturation dans le fer.

l

ispc

ep es

isps

ec

mltp

mlts


8

Figure 5 : Méthodologie de dimensionnement représentée schématiquement.

c. Expérimentation simulée

L’expérimentation permet à partir des mêmes entrés que le modèle analytique de prédire

les performances du transformateur à l’aide de simulation des champs par éléments finis

(Figure 5). On utilise à ce dessein le logiciel FEMM. Les prédictions faites par

expérimentation simulées sont plus précises que celles issues du modèle analytique par

contre leur calcul prend plus de temps et l’influence des entrées sur les performances ne

sont pas directement visibles.

d. Optimisation

L’optimisation permet de dimensionner le transformateur afin de répondre à un cahier des

charges. L’optimisation prend en entrée les performances du transformateur calculées à

l’aide du modèle analytique qui sont validées ou corrigées par l’expérimentation simulée

(Figure 5). L’optimisation cherche à optimiser sous contraintes une valeur dépendante

des entrées: c’est la fonction objective. A partir de l’évaluation de la fonction objective,

différentes entrées du modèle analytique sont essayées afin de correspondre au cahier des

charges. Afin d’éviter de tester toutes les entrées possible, l’optimisation est réalisée avec

la méthode du gradient réduit généralisé1. C’est une méthode itérative qui fonctionne

aussi dans les problèmes d’optimisation non linéaire. Un set de valeurs d’entrée est

choisi. A chaque itération la dérivée partielle est évaluée pour chaque variable d’entrée

par la méthode des différences finies centrées en faisant varier les paramètres un à un

dans les deux directions. L’effet des entrées sur la fonction objective est déduit. Les

paramètres sont ainsi ajustés jusqu’à trouver un extremum. L’extremum trouvé peut être

dépendant du point de départ. Pour diminuer ce risque plusieurs points de départ sont

1 http://www.solver.com/excel2010/solverhelp.htm

Dimensions

Densités B&J

Matériaux

Procédure ONL

Circuit

équivalent

Modèle de dimensionnement analytique

Modèle

électromagnétique

Modèle thermique

Modèle mécanique

2D FEMM

Expérimentation simulée

Fonction

objectif de

performances à

maximiser

&

Fonctions

contraintes

à respecter

Modèle éléments finis


9

répartis aléatoirement dans le domaine de définition des entrées sont choisis. Lorsque des

contraintes sont ajoutées, la méthode des multiplicateurs de Lagrange est utilisée.

3. Modèle de dimensionnement analytique

a. Modélisation électromagnétique

i. Découplage magnétostatique électrostatique

Par hypothèse, les modèles magnétiques et électriques sont découplés. Ceci permet

d’utiliser les équations de la magnétostatique et de l’électrostatique ce qui simplifie les

calculs et simulations. Ceci correspond à considérer que le champ magnétique

n’influence pas le champ électrique et vice-versa. Ceci permet de considérer séparément

les modèles électriques et magnétiques.

ii. Modèle réparti

Dans le modèle adopté la vitesse de propagation de l’onde électromagnétique est

considérée comme infinie. Si la vitesse de propagation est considérée comme finie, le

transformateur doit être considéré comme une ligne de transmission. Le modèle réparti

est constitué d’une infinité d’éléments (Figure 6). Chaque partie infinitésimale de spire

est constituée d’une inductance, d’une capacité avec le sol, d’une capacité avec

l’enroulement secondaire placé en face et d’une tension induite. La tension induite

dépend du courant de chaque élément infinitésimal du primaire et du secondaire. C’est ce

que l’on appelle le modèle de ligne.

La location des capacités est encore simplifiée sur le modèle répartit présenté ici. En

réalité, les capacités se trouvent entre tous les points à des tensions différentes.


10

Figure 6: Modélisation approximative du transformateur avec des éléments infinitésimaux.

Les capacités inter-spires et entre les enroulements ne sont pas représentés.

b. Schéma équivalent du transformateur

Le schéma équivalent permet de simuler plus facilement le comportement du

transformateur lorsque celui-ci est placé dans un circuit électrique. Tous les éléments qui

le composent sont définis à partir d’essais sur le transformateur.


11

i. Modèle inductif

Le modèle inductif est composé de deux inductances de fuite Ls1 et Ls2 et d’une

inductance magnétisante Lm (Figure 7). Par hypothèse les inductances de fuite à gauche et

à droite de l’inductance magnétisante sont égales. Le secondaire est rapporté au primaire.

Les valeurs des inductances sont définies en égalisant l’énergie magnétique contenue

dans le transformateur et dans le modèle équivalent lorsque le secondaire est ouvert et

court-circuité et qu’un courant entre au primaire.

Figure 7: modèle inductif du transformateur.

ii. Modèle capacitif

Le transformateur peut être considéré comme un quadripôle élévateur de tension. Trois

capacités peuvent alors être définies. Ce sont les capacités entre le primaire et le sol C12,

le secondaire et le sol Cs2 et entre le primaire et le secondaire C12.

La valeur des capacités du circuit équivalent s’obtient en égalisant l’énergie

électrostatique contenue dans le transformateur avec l’énergie électrostatique contenue

dans le circuit équivalent pour toute tension continue au primaire et secondaire (Figure

8). La capacité entre le primaire et le sol ne varie pas puisqu’elle est soumise à la même

tension sur le transformateur réel et sur les modèles équivalents. Il faut par contre

introduire la capacité équivalente entre le primaire et le secondaire C12eq et la capacité

équivalente entre le secondaire et le sol C2seq. Sur le modèle équivalent le secondaire est

rapporté au primaire. La tension du modèle équivalent dépend du rapport de

transformation u.

Primaire Secondaire


12

(a) (b)

Figure 8: Définition des capacités parasites. Schéma du transformateur (a) et schéma

équivalent (b). Dans le modèle équivalent, la tension du secondaire est rapportée au

primaire.

L’Energie emmagasinée dans les capacités du transformateur et du modèle équivalent

sont égales :

Ceci doit être valide pour toutes tensions V1 et V2. Tous les coefficients devant les

tensions doivent être égaux. On obtient un système de trois équations et de deux

inconnues.

Ce système d’équation est indéterminé. La 2ème

et 3ème

équations sont incompatibles.

Si on se réfère aux équations on remarque :

Ceci est juste que si le rapport de transformation est très petit. Cela est justifié si on

s’intéresse au schéma équivalent vu depuis le côté basse tension. Dans le cas contraire il

faut utiliser une autre approximation.

.

La deuxième équation du système peut être négligée. Lorsque V1 et V2 sont des tensions

alternatives, il faut en plus que les tensions aient un faible déphasage entre elles.

Si on résout les équations restantes on obtient pour les capacités équivalentes :

V1 V2 V1 uV2


13

Pour valider l’hypothèse, une simulation pour un transformateur «standard » (Annexe

p. 78) est réalisée à l’aide de MatLab-Simulink. Le modèle du transformateur et son

modèle équivalent sont rentrés dans Simulink (Figure 9) et la réponse en fréquence pour

les deux cas est tracée pour un rapport de transformation de 1 et 1 / 10.

(a)

(b)

Figure 9 : Schéma du transformateur (a) et de son modèle équivalent (b) construits sous

Simulink avec une source de tension comme entrée et un bloc de mesure du voltage en

sortie.

La fréquence de résonnance est bien déterminée par le modèle équivalent dans les deux

cas (Graphique 1). Cependant l’amplitude de la résonnance est déterminée plus

précisément lorsque le facteur u est petit. Le modèle équivalent est donc fidèle au modèle

réel pour des rapports de transformations inférieurs à 1.


14

(a)

(b)

Graphique 1: Comparaison de la réponse en fréquence du transformateur (courbe rouge) et

du schéma équivalent (courbe bleu) pour un rapport de transformation de u = 1 (a) et u = 1

/ 10 (b)

105

106

107

0

2

4

6

8

10

12

frequence [Hz]

tensio

n a

u s

econdaire [

V]

104

105

0

50

100

150

200

250

frequence [Hz]

tensio

n a

u s

econdaire [

V]


15

iii. Modèle adopté

Le modèle adopté est composé des modèles inductifs et capacitifs superposés. Les

résistances des enroulements primaires et secondaires ont été rajoutées ainsi que la

résistance équivalente du fer afin de tenir compte des pertes fer (Figure 10).

Figure 10: Modèle équivalent du transformateur adopté.

c. Puissance de dimensionnement

i. Tension aux bornes des enroulements

A vide la tension aux bornes des enroulements est égale à la tension induite qui

dépend du champ magnétique par la loi de Faraday.

Loi de Faraday :

Supposons un flux φ sinusoïdal de valeur crête Bmax uniforme sur une surface ae et de

fréquence f : La valeur efficace de la tension induite vi d’une bobine de n spires est donnée par

l’expression :

√

ii. Courants

Le courant à vide crête I0 est la superposition du courant de magnétisation et du courant

de pertes fer. Le courant des pertes fer est négligé par rapport au courant de

magnétisation.

Le courant de magnétisation est calculé à l’aide de l’inductance magnétisante.

En ne prenant que les normes des phaseurs, on obtient : .


16

La tension à vide a déjà été calculée. L’inductance magnétisante est calculée à la page 17.

Le courant efficace à vide i0 est :

√

μ0 est la perméabilité du vide et μr la perméabilité relative du noyau.

La racine de 2 au diviseur provient du fait que l’on calcule la valeur efficace du courant

et que l’on donne la valeur crête du champ magnétique.

Le courant en charge au primaire est déterminé par la surface de cuivre du primaire Scup,

le nombre de spires n et la densité de courant que l’on a choisi.

Le courant d’une bobine du primaire spire est:

.

L’enroulement du primaire est composé de deux enroulements en parallèle, le courant

total est donc le double du courant d’un enroulement.

iii. Formulation de la puissance de dimensionnement

La puissance de dimensionnement S1 est définie comme la somme de la puissance de tous

les enroulements au nominal. La densité de courant des bobines primaires et secondaires

sont égales pour éviter la formation de points chauds. Les surfaces de cuivre au primaire

et secondaire sont donc égales.

∑

√

√

Avec

Les facteurs 2 tiennent compte de la présence de deux bobines au primaire et au

secondaire.

Il est à remarquer que les pertes fer sont négligées dans cette définition.


17

d. Dimensionnement des éléments du circuit équivalent

i. Inductance magnétisante

Dans ce premier modèle, on peut évaluer l’inductance magnétisante Lm grâce au circuit

magnétique équivalent.

La réluctance magnétique équivalente Rmagn de ce circuit est approximativement :

lmn étant le chemin magnétique du noyau.

Le flux principal φ se trouve par la loi d’ohm sur le circuit magnétique équivalent (Figure

11).

La définition de l’inductance est le flux totalisé à travers la bobine divisé par le courant

parcourant la bobine. Les deux bobines en parallèle sont traversées par le même flux. Le

flux totalisé est le double du flux passant par une bobine.

Figure 11 : Schéma magnétique équivalent du noyau avec les deux bobines du primaire.

Rmagn

𝑛

𝐼

𝑛

𝐼


18

ii. Inductance de fuites

L’inductance de fuite totale est calculée en évaluant les champs magnétiques du

transformateur dont le secondaire est court-circuité. Dans ce cas de fonctionnement on

remarque sur le modèle inductif que seulement un courant négligeable passe à travers

l’inductance mutuelle, celle-ci étant plus importante que l’inductance de fuite. L’énergie

emmagasinée dans le champ magnétique créé par le courant est l’énergie contenue dans

les inductances de fuite. C’est cette énergie que l’on va estimer.

Le courant est imposé au primaire. Le secondaire étant court-circuité, un courant y est

induit. Les deux bobines du primaire créent un champ qui tourne dans le même sens (

Figure 12) dans le noyau et les bobines du secondaire un champ qui tourne dans le sens

contraire selon la loi de Lenz.

Figure 12 : Calcul de l’énergie magnétostatique pour l’inductance de fuite. Sens du champ

magnétique et des courants dans les bobines.

Au centre du noyau, le champ des bobines du secondaire de gauche et de droite

s’annulent. Le champ sans cet espace est donc négligeable. Il reste le champ entre les

bobines primaires et secondaires qui se renforce (

Figure 12).

On néglige l’énergie qui est contenue dans le fer car cette énergie varie comme l’inverse

de la perméabilité. La perméabilité est beaucoup plus élevée dans l’air et le cuivre que

dans le fer et, de plus les flux dans le fer s’annulent.

Si on examine le modèle inductif, le courant dans le secondaire est égal au courant au

primaire rapporté au secondaire et l’énergie magnétique Wm est égale à :

Γ


19

Par hypothèse on posera que l’inductance de fuite du primaire ramenée au primaire est

égale à l’inductance de fuite du secondaire ramenée au primaire.

Ls1 = Ls2

L’énergie contenue dans l’air est d’abord calculée par la loi d’ampère appliquée sur le

chemin Γ (Figure 13).

Loi d’ampère : ∮ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∯

A l’intérieur du fer le champ magnétique H est négligé car la permittivité du fer est très

faible. La loi d’ampère devient :

Le champ magnétique dans l’air entre les bobines est donc :

et ceci

indépendamment du noyau.

L’énergie contenue dans l’air est :

Le volume d’air entre les deux bobines est estimé à partir de la moyenne de la longueur

moyenne des spires au primaire et secondaire et de l’épaisseur de l’isolation.

(

)

Le champ à l’extérieure de la bobine est négligé car il est annulé par les autres bobines.

L’énergie contenue dans les bobines est aussi calculée par la loi d’ampère. Afin de

connaître le champ à l’intérieur de la bobine, on fait varier le chemin d’intégration Г avec

le paramètre x (Figure 13). A l’extérieur de la bobine le champ est annulé par le courant

circulant dans la bobine adjacente.

Le champ magnétique variant en fonction de la position, l’énergie contenue dans la

bobine se calcule alors avec une intégrale. Ici le cas de la bobine primaire.

∫

∫

Dans le cas de la bobine secondaire, il faut remplacer ep par es et mltp par mlts. Le

secondaire est en court-circuit pour la mesure de l’inductance de fuite.


20

La densité de courant au secondaire j2c-c dépend de la densité de courant au primaire ainsi

des surfaces de cuivre des enroulements primaire et secondaire Scup et Scus.

Comme il y a deux bobines au primaire et au secondaire, cette énergie doit être multipliée

par 2.

L’énergie totale est ainsi :

(

)

( )

Figure 13 : Vue en coupe de la bobine (vert), chemin d’intégration Γ en trait tillé noir et

lignes de flux supposées en trait-tillé bleu.

x

0 ep

H

Γ


21

iii. Capacités

Les capacités parasites sont calculées de manière analogue aux inductances parasites.

L’énergie contenue dans les champs électriques lorsque les enroulements sont à des

tensions données est calculée puis les capacités déduites. Le noyau est toujours connecté

à la masse.

La valeur de trois capacités devant être déterminées, trois cas sont donc nécessaires. Les

trois cas suivants sont analysés :

- Tension nominale au primaire, secondaire relié à la terre.

- Tension nominale au secondaire, primaire relié à la terre

- Tension nominale au primaire et au secondaire.

Chacun de ces trois cas détermine la valeur de plusieurs capacités combinées du circuit

équivalent. La valeur de chacune des capacités est déterminée en résolvant un système de

trois équations.

Lorsqu’un enroulement est à tension nominale, la tension augmente linéairement le long

de cet enroulement (

Figure 14). Les effets de bord sont négligés, le champ électrique est présent seulement

lorsque des surfaces à des potentiels différents sont parallèle et sont une en face de

l’autre. Le champ électrique est uniforme et égal au potentiel divisé par la distance

d’isolation.

Figure 14 : Mesure de l’énergie électrostatique entre un enroulement et le sol.

Enro

ule

men

t

x

0

bb

0 V

E

0

1

0 1

Ten

sio

n d

e l'

en

rou

lem

en

t [V

]

Hauteur [m]

Vmax

x bb


22

Le transformateur est divisé en 6 parties (Figure 15) pour le calcul de l’énergie. La

troisième dimension est prise en compte dès le calcul initial.

Energie primaire-noyau (1 bobine) :

Primaire au nominal

∫| |

∫ (

)

(

)

Energie primaire-secondaire, côté gauche

Primaire à la masse, secondaire au nominal

∫| |

∫ (

)

(

)

Energie primaire-secondaire, côté droite

Primaire à la masse, secondaire au nominal

∫| |

∫ (

)

(

)

(

)

(

)

Sachant que (

)


23

Energie primaire-secondaire, côté gauche

Primaire au nominal, secondaire au nominal.

∫| |

∫ (

)

(

)

(

)

(

)

Energie primaire-secondaire, côté droit

Primaire au nominal, secondaire au nominal.

∫| |

∫

(

(

))

((

)

(

)

(

)

)|

((

)

(

)

(

)

)

(

)

Sachant que : (

(

))

(

)

(

) (

)

(

)

Et : (

)

(

)

(

)

(

(

)) (

)


24

Energie primaire-noyau au sommet des deux bobines (dans isph)

Primaire au nominal

∫| | (

)

Energie secondaire-noyau les deux bobines (dans isph)

Secondaire au nominal. La tension au sommet de la bobine du secondaire gauche ainsi

qu’à la base du secondaire droit est la moitié de la tension nominale et le sommet de la

bobine du secondaire droit est au nominal.

∫| |

[ (

)

(

)

]

Energie primaire-secondaire

Primaire au nominale, secondaire au sol.

∫| |

∫ (

)

(

)

Energie secondaire-secondaire

Secondaire au nominal.

∫| |

∫

((

)

)

(

)

|


25

(a)

(b)

Figure 15 : Définition des zones de calcul de l’énergie électrostatique et nomenclature de ces

zones. Les tensions sont exprimées en valeur binaire. 0 Signifie que la tension est nulle, 1

que c’est la tension nominale. Vue de face (a) et de dessus (b).

Wpsg1 (v1=0 ; v2=1)

Wpsg2 (v1=1 ; v2=1)

Wps3 (v1=1 ; v2=0)

Wpc (v1=1)

Wpsd1 (v1=0 ; v2=1)

Wpsd2 (v1=1 ; v2=1)

Wps3 (v1=1 ; v2=0)

Wpch (v1=1)

Wsch (v2=1)

Wss (v1=0 ; v2=1)


26

Dans chacun des trois cas l’énergie totale Wei contenue dans le champ électrique est une

combinaison de plusieurs des énergies entre les enroulements précédemment calculées.

We1 : v1=1, v2=0

We2 : v1=0, v2=1

We3 : v1=1, v2=1

0 signifie tension nulle, 1 tension nominale.

Voici la combinaison des énergies pour chaque cas.

{

L’énergie électrostatique dans le modèle capacitif dans les trois cas constitue un système

de trois équations.

{

En soustrayant la première et la deuxième équation à la troisième, nous obtenons la

valeur de la capacité entre le primaire et le secondaire.

[

]

Puis en prenant la première et la deuxième équation, on obtient la valeur des capacités

entre les enroulements et le sol.

Ce sont les capacités réelles, pas celles du circuit équivalent.


27

iv. Résistances

La résistance du cuivre est reliée à la conductivité γ du cuivre et à la géométrie de

l’enroulement.

La résistivité du primaire Rcup, en tenant compte que nous avons deux enroulements en

parallèle, est :

La section de fil S peut être calculée à partir de la surface de la bobine au primaire. Il est

tenu compte que le volume de cuivre du primaire est celui d’une bobine.

En remplaçant S dans l’expression de Rcup on obtient :

La résistance du secondaire Rcus s’obtient de manière analogue à l’exception que les

résistances des deux enroulements sont en série et non par parallèles.

e. Calcul des pertes et du rendement

i. Pertes Joule

Les pertes joules Pj dépendent de la conductivité σcu, de la densité de courant efficace j et

du volume de cuivre Vcu. La formule est démontrée à partir de la formule de calcul d’une

résistance. Le volume de cuivre l ∙S apparaît.

ii. Pertes Magnétiques

Une formule empirique permet d’évaluer les pertes dues à l’hystérésis et aux courants de

Foucault.

(

)

Les coefficients ku, kcf et x dépendent du matériau utilisé.

Les pertes par hystérésis sont dues aux changements d’orientation des domaines

magnétiques à chaque cycle donc elles sont représentée dans la formule par le terme

dépendant de la fréquence.


28

Les pertes par courant de Foucault sont Ri2=v

2/R

et par la loi de Faraday la tension v est

proportionnel à f donc une ces pertes sont représentées dans la formule par le terme en f2.

Dans le modèle adopté ces pertes sont modélisées par la résistance fer Rfer placée en

parallèle avec l’inductance magnétisante.

La puissance dissipée dans le fer est connue ainsi que la tension aux bornes de la

résistance qui est la tension induite au primaire. La puissance dissipée dans la résistance

est donc égale à:

La résistance fer équivalente est ainsi :

iii. Rendement

Par définition le rendement est la puissance utile sur la puissance totale. La puissance

utile est la puissance apparente à laquelle on soustrait les pertes joules et fer.

f. Modèle thermique

Le modèle thermique prévoit l’élévation de température dû aux pertes du transformateur

lorsqu’il fonctionne en régime permanent et transitoire. La température ne doit pas

excéder un seuil pour ne pas dégrader l’isolant et limiter la résistivité des enroulements.

L’échauffement est une contrainte. Le modèle thermique développé dans ce projet est

simplifié, il sert à s’assurer que les températures sont bien en-dessous des contraintes.

Le transformateur est considéré comme une source de chaleur homogène de forme

parallélépipède baignée dans de l’huile contenue dans une cuve entourée d’air à 40°C. La

température du transformateur est supposée homogène car le transformateur est constitué

de matériaux conducteurs et les pertes sont réparties dans les enroulements et dans le

noyau.

On considère un régime de fonctionnement permanent, le circuit équivalent est donc

constitué d’une source de courant modélisant les pertes, de résistances thermique

modélisant la conduction thermique des matériaux et d’une source de tension modélisant

la température ambiante.

Dans ce modèle simplifié, nous supposons que l’échange de chaleur se fait entre les

surfaces parallèles et les faces du transformateur et celles de la cuve qui sont à

température homogène. La chaleur passe à travers la cuve. A la surface de la cuve, la

convection de l’air, le rayonnement sont approximés par un seul coefficient de

conduction entre la surface de la cuve et l’environnement extérieur. De même la

convection et la conduction de l’huile est approximée par un seul coefficient de

conductivité thermique.

La surface de conduction Scond entre le transformateur et la cuve est formée des six faces

du transformateur.


29

Avec :

lonht : longueur hors-tout du transformateur, larht : largeur hors-tout du transformateur

hht : hauteur hors-tout du transformateur

lmhuile Trajet moyen dans l’huile. C’est la distance entre le transformateur et la cuve,

pondérée par la surface de conduction de la face du transformateur sur la surface de

conduction totale.

Résistance thermique de la cuve d’épaisseur ecuve.

Figure 16 : Modèle thermique simplifié. La puissance thermique Pth crée un flux qui passe

dans la résistance thermique de l'huile Rhuile et de la cuve Rcuve. La température extérieure

est Tamb et la capacité thermique de l’huile Cthhuile.

La température au niveau des enroulements du transformateur Ttrans en régime permanent

est approximée en résolvant le circuit thermique équivalent (Figure 16).


30

Noyau ext.

Noyau int.

Bobine prim 1

Bobine prim 2

Bobine sec 1

Figure 17 : Parallélépipède approximant le transformateur pour le modèle thermique.

Lorsque le transformateur travaille par impulsions, il devient intéressant de connaître sa

constante de temps thermique. Ainsi on peut tolérer une dissipation d’énergie plus élevée

pour un temps limité. L’échauffement est supposé adiabatique, ce qui nous place du côté

de la sécurité, l’augmentation de la température en fonction du temps va être linéaire.

Dans ce cas l’augmentation de la température est tellement rapide que la quantité de

chaleur transmise à l’environnement est négligeable. On va tenir compte seulement de

l’échauffement de l’huile de la cuve qui représente la plus grande capacité thermique. La

température de l’huile est considérée comme homogène. Ainsi l’énergie W emmagasinée

dans l’huile d’une chaleur spécifique c pour une augmentation de la température de Δθ au

niveau du transformateur est : .

Le gradient de température en fonction de l’intervalle de temps Δt lorsque le

transformateur dégage des pertes Pth est:

.

Dans l’inter-cycle la situation est différente. Il n’y a plus de pertes, la source de courant

du circuit équivalent peut être remplacée par un circuit ouvert. La capacité thermique

équivalente de l’huile Cthhuile est : Cthhuile=c Mhuile.

c : chaleur spécifique, Mhuile : masse d’huile

La constante de temps τ est donc:

(

)

lonht larht

hht

l1

l2

l3


31

g. Modèle mécanique

Le modèle mécanique donne les dimensions déduites des dimensions données en entrée

comme les longueurs hors-tout du transformateur. Il donne également la masse du

transformateur.

La longueur hors-tout dépend uniquement des dimensions du noyau, des isolations et des

bobines : lonht = l + 2(ep + es + ispc + isps)

Ce sont des relations très simples mais essentielles pour connaître les caractéristiques de

base du transformateur.

La masse de fer Mfer dépend du volume du noyau Vfer et de la masse volumique du fer

ρfer : Mfer = ρfer Vfer = ρfer (a + ec) (b + ec) - a b

Toutes ces relations sont détaillées en annexe.

4. Expérimentation simulée par calcul des champs

a. Expérimentation simulée en magnétostatique : calcul des inductances

La mesure de l’inductance se fait en mesurant l’énergie magnétique contenue dans tout

l’espace. Le calcul des champs par éléments finis est en réalisé en deux dimensions.

Des mesures supplémentaires sont réalisées pour prendre en compte la troisième

dimension (l’avant et l’arrière du transformateur).

Une mesure de l’énergie est prise à l’intérieur de la demi-bobine du primaire à l’extérieur

de la fenêtre. Nous avons donc une mesure de l’énergie par mètre de longueur de la

bobine, côté extérieur à la fenêtre. Par hypothèse, on étend cette énergie à toutes les

parties de la bobine qui ne sont pas prises en compte dans la simulation 2D soit

principalement sur l’avant et l’arrière du transformateur (Figure 18). Le même processus

est réalisé pour la bobine du secondaire.

Le champ magnétique est semblable dans ces différentes parties de la bobine car la

distance entre le noyau et l’enroulement est constante. Le noyau étant de perméabilité très

élevée, le fait qu’il n’est pas la même longueur sur le plan de la coupe et sur un plan

perpendiculaire à la coupe n’a pas une grande importance.

L’énergie contenue dans l’air de la partie extérieur de la fenêtre est aussi mesuré et cette

énergie est étendue aux parties avant et arrière du transformateur.


32

(a)

Partie arrière du transformateur

Partie avant du transformateur

(b)

Wmbobp Wmbobs Wmair Wml

Figure 18 : Surfaces prise en compte dans la correction 3D de l’énergie. Vue en coupe des

zones de mesure (a) de la simulation et vue de dessus (b).

Noyau ext.

Noyau int.

Bobine prim 1

Bobine prim 2

Bobine sec 1

Bobine sec 2

Bobine prim 3

Bobine prim 4

Bobine sec 3

Bobine sec 4

Coupe

l


33

D’une manière mathématique, voici comment sont calculées les énergies additionnelles.

Wmbobpl, Wmbobsl, Wmairl sont les énergies relevées dans la simulation respectivement pour

la bobine du primaire, du secondaire et l’air. Ce sont les énergies qui sont contenues dans

une longueur l.

Les énergies à rajouter à l’énergie Wml contenue dans le volume de largeur l sont :

L’énergie magnétique totale en tenant compte de la troisième dimension est :

Wm = Wml + Wmbobp + Wmbobs + Wmair

Deux essais sont simulés pour déduire les inductances magnétisantes et de fuite. Un

courant est imposé au primaire et le secondaire est en circuit ouvert ou court-circuité.

i. Inductance magnétisante

Les courants dans les bobines sont imposés pour simuler le secondaire du transformateur

en circuit ouvert ou fermé. Pour mesurer les inductances on cherche à connaître l’énergie

magnétique contenue dans l’espace. La simulation est réalisée en courant continu, les

courants d’induit sont simulés en imposant un courant continu égal au courant d’induit

dans les bobines.

Le courant continu est choisi au primaire afin que la valeur du champ magnétique à

l’intérieur du noyau soit égale au champ maximal imposé en fonctionnement. Dans les

matériaux sans saturation comme dans l’air la valeur de l’inductance est indépendante du

courant mais dans les matériaux ferromagnétiques l’inductance dépend du courant. Le

courant d’essai est donc choisi avec précaution.

Pour avoir une mesure de l’inductance mutuelle, on se reporte au schéma équivalent.

Quand le secondaire est en circuit ouvert, le courant passe par l’inductance de fuite du

primaire et l’inductance mutuelle. L’inductance mutuelle étant plus grande que

l’inductance de fuite, cette dernière est négligée. On impose alors le courant minimal au

primaire et un courant nul au secondaire. Le cas de fonctionnement est simulé et on

mesure l’énergie emmagasinée dans tout l’espace. La valeur de l’inductance est déduite à

l’aide de l’énergie totale et de la relation démontrée dans la section consacrée au calcul

de l’inductance d’une manière analytique.

, Secondaire ouvert.


34

ii. Inductances de fuites

La mesure de la somme des inductances de fuite du primaire et du secondaire se réalise

en simulant le fonctionnement du transformateur avec le courant nominal au primaire et

le secondaire court-circuité. Pour simuler le secondaire court-circuité on impose dans le

secondaire le courant du primaire rapporté au secondaire dans le sens tel que le flux

produit par le secondaire s’oppose au flux du primaire comme cela a été dans le modèle

analytique de l’inductance de fuite.

, Secondaire court-circuité.

Dans tous ces essais, on considère que l’inductance mutuelle est nettement plus élevée

que les inductances de fuites. Cette hypothèse qui se base sur l’expérience et le calcul

théorique peut être justifiée à posteriori. Prenons l’hypothèse contraire, considérons que

l’inductance mutuelle est plus petite que l’inductance de fuite. Dans l’essai avec le

secondaire ouvert, nous mesurerions principalement l’inductance de fuite et dans l’essai

avec le secondaire court-circuité l’inductance de fuite du secondaire serait négligée face à

l’inductance mutuelle. Nous aurions alors une inductance élevée dans les deux essais.

Avoir des valeurs d’inductances plus élevée à secondaire ouvert qu’à secondaire court-

circuité est donc une preuve que l’inductance de fuite peut être négligée par rapport à

l’inductance mutuelle.

b. Expérimentation simulée en électrostatique : calcul des capacités

i. Taille de la maille

La taille de la maille optimale va être déterminée en premier.

Une maille de taille trop grande donnera une mauvaise précision au calcul. Si la taille est

trop petite le temps de calcul sera exagérément long. Pour déterminer la taille des mailles

optimale, le champ autour d’une spire à un potentiel entourée d’une cuve à la terre est

simulé avec plusieurs tailles de maille puis les résultats sur l’énergie totale analysés

(Graphique 2).


35

Graphique 2: Energie totale en fonction de la taille des mailles pour une spire, échelle semi-

logarithmique.

Une taille de maille de 1 cm est adoptée comme compromis entre vitesse de calcul et

précision du résultat.

L’influence de la maille est aussi analysée sur la simulation du transformateur entier.

La taille de la maille est imposée au niveau des enroulements par le nombre de segments

de l’enroulement, chaque segment étant le bord d’une maille (Figure 19). Aux endroits où

est concentré le champ magnétique, la taille de la maille maximale est donc déterminée

par le nombre de segment et ne varie pas lorsque la taille de la maille est supérieure à

2 mm. L’énergie électrique stockée ne dépend pas significativement de la taille des

mailles. Ceci est dû au processus du mailleur de FEMM.

3.48E-11

3.49E-11

3.50E-11

3.51E-11

0.0001 0.001 0.01 0.1

En

erg

ie t

ota

le [

W]

Taille de la maille [m]


36

(a)

(b)

(c)

Figure 19 : Différences entre un maillage de 5 mm (a) et 5 cm (b) et détail du maillage entre

les enroulements (c)


37

ii. Représentation des enroulements

Nombre de segments pour les spires

Les spires dessinées par FEMM ne sont pas rondes mais constituées d’un nombre de

segments que l’utilisateur peut choisir. On va déterminer l’effet du nombre de segments

modélisant la spire sur l’énergie totale, paramètre nous permettant de déterminer les

capacités parasites.

Nous allons simuler le champ électrique d’une spire de 0.5 m de diamètre à un potentiel

de 1 V placé dans une cuve de 1 m de côté reliée à la terre. Le seul paramètre variable est

le nombre de segments modélisant la spire (Tableau 1).

La taille des mailles est choisie assez petite pour qu’elle n’ait pas d’influence.


38

Nombre

de

segments

pour les

cercles

Energie totale Image

4 2.945e-11

6 3.269e-11

12 3.521e-11


39

36 3.593e-11

Tableau 1 : Influence de la forme d’une spire sur l’énergie totale.

Graphique 3: Energie électrostatique dans le système en fonction du nombre de segments

composant les spires.

2.8E-11

3.0E-11

3.2E-11

3.4E-11

3.6E-11

3.8E-11

0 10 20 30 40 50 60 70

En

erg

ie t

ota

le [

W]

Nombre de segments


40

Le nombre de segments qui modélisent la spire a une influence sur le champ électrique à

proximité de la spire seulement. S’il y a peu de segments, le champ électrique se

concentre aux pointes et est plus faible le long des segments. L’énergie totale sera plus

faible. Pour les essais suivants, les spires rondes sont modélisées avec 30 segments

(Graphique 3).

La simulation d’une seule spire est représentative de la modélisation d’un enroulement

car les équations de l’électrostatique étant linéaires, la valeur du champ électrique est

proportionnelle au voltage, invariant à une homothétie du système donc le principe de

superposition peut s’appliquer.

Par contre l’énergie dépend du carré de l’intensité du champ, donc elle n’est pas

proportionnelle au voltage.

Forme des enroulements

On teste trois modélisations pour les enroulements constitués en réalité de spires rondes

pour les transformateurs de faible tension. Les modélisations testées sont les spires

rondes, carrées ou continues (Tableau 2). Les spires rondes ont un diamètre de 10 cm, les

spires carrées un côté de 10 cm et les spires continues une largeur de 10 cm. Des

enroulements à 2 ou 4 spires réparties sur la même hauteur sont modélisés pour tester

l’effet du coefficient de remplissage. La tension de l’enroulement est de 1 V répartie

entre les spires ou varie en un nombre de pas égal au nombre de spires dans le cas des

spires continues. L’enroulement a une hauteur totale de 0.5 m et se trouve à l’intérieure

d’une cuve de 1 m de côté reliée à la terre.


41

Nombre

de

spires

Modélisation

des

enroulements

Energie

totale

Différence

de valeur par

rapport aux

spires rondes

Image

2 Ronds 1.31e-11

0%

2 Carrés 1.43e-11

9%

2 Continus 2.53e-11

93%


42

4 Ronds 1.53e-11

0%

4 Carrés 1.81e-11

18%

4 Continus 1.59e-11

4%

Tableau 2 : Influence de la modélisation des enroulements sur l'énergie totale.


43

On peut tirer les conclusions suivantes de ces simulations.

Lorsque le nombre de spires est faible, leur modélisation comme spire ronde est

nécessaire afin d’avoir une bonne précision sur l’énergie totale. Une modélisation comme

spire carrée peut également convenir dans une moindre mesure.

Si le nombre de spires est grand la situation change. La modélisation des spires comme

continues devient aussi précise que la modélisation comme spire rondes alors que les

spires carrées donnent un résultat d’une précision inférieure.

La spire rectangulaire à l’avantage sur les spires rondes au niveau du maillage. Si les

spires rondes sont de faible diamètre, leur nombre de segments étant fixes, la taille de la

maille autour de celles-ci sera petite pour coller aux segments, le temps de calcul sera

augmenté.

La spire rectangulaire ne prend pas en compte le champ entre les spires mais la

modélisation de la tension par segments provoque des champs électriques élevés entre les

segments de potentiel différents compensant l’absence de champs entre les spires. Cet

effet devient négligeable à partir de 15 segments environ Quand le coefficient de

remplissage des spires devient élevé, le volume entre les spires diminue par conséquent,

l’énergie totale qui n’est pas prise en compte par modélisation continue diminue étant

donné que le champ électrique n’est pas plus élevé si la tension totale ne change pas. Le

champ électrique étant la tension divisé par la distance quand le nombre de spires

augmente la distance entre les spires diminue ainsi que la tension. Le champ électrique

n’augmente donc pas.

Les spires carrées ne sont pas une bonne modélisation quand l’écart entre les spires

diminue car le champ électrique inter-spire devient plus élevé sur une surface plus grande

à cause de la forme des spires. L’énergie contenue dans la bobine peut être calculée en

admettant que le champ électrique à l’intérieur de celle-ci est uniforme, c’est-à-dire que

la répartition de la tension est uniforme. Les spires sont enroulées de tel façon que chaque

spire est adjacente à la spire suivante. L’énergie contenue dans la bobine est alors :

(

)

Cette énergie est très faible si le coefficient de remplissage est élevé car aucune énergie

n’est stockée dans l’enroulement. Si la tension est élevée, l’énergie stockée est plus

grande mais c’est aussi le cas de l’énergie stockée en dehors de la bobine.

Nombre de segments pour les spires rectangulaires

Lorsque le nombre de spires est très élevé et le coefficient de remplissage proche de 1,

une modélisation de l’enroulement comme un rectangle donne une précision suffisante

(Graphique 4). Si le nombre de segments constituant le rectangle est trop faible, il

apparaît aux jointures des différences de tension très grandes créant un fort champ

électrique. En réalité le champ électrique serait infini en un point, la discrétisation du

problème évite une telle occurrence. La taille des mailles est finie, ainsi il y a toujours

une distance non-nulle entre deux point de potentiel différents adjacents.


44

Le nombre de segments a une influence sur la mesure de l’énergie totale. Au-delà de 15

segments l’énergie totale est stable.

Graphique 4: Energie en fonction du nombre de segments composant l'enroulement.

iii. Essais d’identification

Le calcul des capacités par éléments finis se fait de manière analogue au calcul

analytique.

Les trois essais suivants sont simulés :

- Tension nominale au primaire, secondaire relié à la terre.

- Tension nominale au secondaire, primaire relié à la terre

- Tension nominale au primaire et au secondaire.

A chaque essai l’énergie total stockée dans le champ électrique est mesurée.

iv. Détermination des capacités

Pour chacun de ces essais l’énergie totale est mesurée, en tenant compte de l’effet 3D. La

mesure est modifiée de façon analogue à ce qui a été fait pour la magnétostatique (Figure

20). Une mesure de l’énergie dans l’air est prise entre le milieu de la bobine primaire le

noyau. Par hypothèse on étend cette énergie aux parties avant et arrière du transformateur

mais seulement sur les parties ou les surfaces à potentiel différents sont en face l’une de

l’autre.

La même démarche est exécutée pour les zones situées entre le milieu de la bobine

primaire et secondaire à gauche et à droite du transformateur car les tensions de la bobine

secondaire gauche et droite diffèrent.

0.0E+00

5.0E-12

1.0E-11

1.5E-11

2.0E-11

0 5 10 15 20 25 30 35

En

erg

ie

Nombre de segments


45

Energie supplémentaire primaire-noyau Wepc:

Wepcl : énergie relevée sur la simulation entre le primaire et le noyau à l’extérieur de la

fenêtre.

Energie supplémentaire primaire-secondaire pour le côté gauche Wepsg :

Wepsg : énergie relevée sur la simulation

Energie supplémentaire primaire-secondaire pour le côté droit Wepsd :

Wepsd : énergie relevée sur la simulation

L’énergie totale We est l’énergie Wel contenue dans l’espace de longueur l plus les

énergies additionnelle en avant et arrière du transformateur.

We = Wel +Wepc + Wepsg + Wepsd

Par rapport à une simulation en 3D complète, on remarque que les champs dans les coins

des enroulements ne sont pas pris en compte et que la forme du champ sur un plan est

extrapolée à un volume.


46

(a)

(b)

Wepsg Wepc Wepsd

Figure 20 : Extension à la troisième dimension des calculs en 2 D. Vue en coupe (a) et de

dessus (b) du transformateur. Plans sur lesquels l’énergie est mesurée (a) et extension de

l’énergie sur ces plans dans la troisième dimension (b).

Plans de mesure


47

5. Analyse des performances et des limites du modèle analytique Le modèle analytique est comparé à l’expérimentation simulée afin de connaître sa

précision. A cette fin on considère un transformateur aux dimensions standards. Ce sont

les dimensions d’un transformateur existant (Annexe). Certaines dimensions sont ensuite

variées afin d’observer leur influence sur la précision du modèle.

c. Magnétostatique

i. Inductance mutuelle

Avec les dimensions standards, l’erreur sur l’inductance mutuelle est de 11%. Cette

différence est due au champ magnétique sur les coins du noyau. Si l’épaisseur du noyau

est réduite à 0.005 m, l’erreur diminue à 3%, car le flux magnétique est ainsi mieux

conduit, le champ magnétique maximal dans les coins intérieurs du noyau est réduit

(Figure 21). Le chemin magnétique théorique s’approche du chemin magnétique moyen

réel en particulier dans les coins.


48

Figure 21 : Effet des coins sur l'inductance mutuelle pour deux épaisseurs de noyaux.

ii. Inductance de fuite

L’incertitude sur l’inductance de fuite pour les dimensions standards est de 32% avec la

3ème

dimension prise en compte. Le champ à l’intérieur des bobines situées à l’extérieur

de la fenêtre est différent de ce qui a été analytiquement supposé. Les lignes de champ ne

sont pas verticales mais s’incurvent. Le champ magnétique n’est alors plus constant sur la

hauteur de la bobine et ne varie pas linéairement le long de l’axe x de la bobine. Pour

vérifier cette hypothèse des comparaisons entre le modèle analytique et par

expérimentation simulée sont réalisées sur un modèle en 2D.

Avec les dimensions standards l’énergie contenue dans les demi-bobines situées à

l’extérieur et à l’intérieur de la fenêtre est de 1.7e-3

Joules analytiquement. Les demi-

bobines situées à l’intérieur de la fenêtre contiennent une énergie plus élevée car le flux

Density Plot: |B|, Tesla

1.615e+003 : >1.700e+003

1.530e+003 : 1.615e+003

1.445e+003 : 1.530e+003

1.360e+003 : 1.445e+003

1.275e+003 : 1.360e+003

1.190e+003 : 1.275e+003

1.105e+003 : 1.190e+003

1.020e+003 : 1.105e+003

9.350e+002 : 1.020e+003

8.500e+002 : 9.350e+002

7.650e+002 : 8.500e+002

6.800e+002 : 7.650e+002

5.950e+002 : 6.800e+002

5.100e+002 : 5.950e+002

4.250e+002 : 5.100e+002

3.400e+002 : 4.250e+002

2.550e+002 : 3.400e+002

1.700e+002 : 2.550e+002

8.500e+001 : 1.700e+002

<0.000e+000 : 8.500e+001Density Plot: |B|, Tesla

1.615e+003 : >1.700e+003

1.530e+003 : 1.615e+003

1.445e+003 : 1.530e+003

1.360e+003 : 1.445e+003

1.275e+003 : 1.360e+003

1.190e+003 : 1.275e+003

1.105e+003 : 1.190e+003

1.020e+003 : 1.105e+003

9.350e+002 : 1.020e+003

8.500e+002 : 9.350e+002

7.650e+002 : 8.500e+002

6.800e+002 : 7.650e+002

5.950e+002 : 6.800e+002

5.100e+002 : 5.950e+002

4.250e+002 : 5.100e+002

3.400e+002 : 4.250e+002

2.550e+002 : 3.400e+002

1.700e+002 : 2.550e+002

8.500e+001 : 1.700e+002

<0.000e+000 : 8.500e+001


1.615e+003 : >1.700e+003

1.530e+003 : 1.615e+003

1.445e+003 : 1.530e+003

1.360e+003 : 1.445e+003

1.275e+003 : 1.360e+003

1.190e+003 : 1.275e+003

1.105e+003 : 1.190e+003

1.020e+003 : 1.105e+003

9.350e+002 : 1.020e+003

8.500e+002 : 9.350e+002

7.650e+002 : 8.500e+002

6.800e+002 : 7.650e+002

5.950e+002 : 6.800e+002

5.100e+002 : 5.950e+002

4.250e+002 : 5.100e+002

3.400e+002 : 4.250e+002

2.550e+002 : 3.400e+002

1.700e+002 : 2.550e+002

8.500e+001 : 1.700e+002

<0.000e+000 : 8.500e+001


49

est mieux dirigé en hauteur grâce au noyau (Figure 22), les conditions numériques se

rapprochent des conditions analytiques (Tableau 3).

Dans le modèle par expérimentation simulée les demi-bobines situées à l’extérieur de la

fenêtre la différence d’énergie entre la valeur numérique et analytique est de 101% et

167% respectivement pour les bobines primaires et secondaire. A l’intérieur de ces

bobines, les lignes de champ ne sont pas droites et verticales mais ellipsoïdes. L’erreur

vient principalement de cet endroit. Cette erreur devient encore plus importante si les

enroulements sont éloignés du noyau.

[J] Extérieur de la fenêtre Intérieur de la fenêtre

Bobine primaire 8.44e-4

1.21e-3

Bobine secondaire 6.36e-4

1.21e-3

Tableau 3 : Energie [J] contenues dans les demi-bobines primaires et secondaires, à

l’intérieur et à l’extérieur de la fenêtre obtenue par expérimentation simulée. Selon le

modèle analytique la valeur de l’énergie est de 1.7e-3

J.

Figure 22 : Lignes de flux simulées numériquement sur les bobines à l’extérieure (côté

gauche) et à l’intérieur (côté droit) de la fenêtre.


3.800e-002 : >4.000e-002

3.600e-002 : 3.800e-002

3.400e-002 : 3.600e-002

3.200e-002 : 3.400e-002

3.000e-002 : 3.200e-002

2.800e-002 : 3.000e-002

2.600e-002 : 2.800e-002

2.400e-002 : 2.600e-002

2.200e-002 : 2.400e-002

2.000e-002 : 2.200e-002

1.800e-002 : 2.000e-002

1.600e-002 : 1.800e-002

1.400e-002 : 1.600e-002

1.200e-002 : 1.400e-002

1.000e-002 : 1.200e-002

8.000e-003 : 1.000e-002

6.000e-003 : 8.000e-003

4.000e-003 : 6.000e-003

2.000e-003 : 4.000e-003

<0.000e+000 : 2.000e-003


50

L’énergie stockée dans le fer est négligeable. Elle représente 0.09/10'000 de l’énergie

totale pour les dimensions standards et peut donc être négligée dans le modèle analytique

d. Electrostatique

i. Précision du modèle analytique

Pour pouvoir comparer des modèles équivalents, l’extension 3D est mise temporairement

de côté.

L’espace autour du transformateur est divisé en 16 parties et le pourcentage de l’énergie

électrostatique par rapport à l’énergie totale est mesuré (Figure 23).

L’énergie est essentiellement emmagasinée entre les enroulements et le noyau aux

endroits où ces éléments constituent des capacités planes. Le modèle analytique prend

seulement en compte l’énergie à ces emplacements. Néanmoins jusqu’à 6.4% de

l’énergie avec les dimensions standards peut être emmagasinée entre le haut et le bas des

bobines extérieures et le noyau. Ceci peut être la cause de la différence entre les

différents modèles.


51

v1=0, v2=1

v1=1, v2=0

22.9%

3.4% 0% 0% 3.9% 5.2% 28.2% 0% 0% 27.3%

0.3% 1.8%

3% 0.7%

3.1%

9% 9.2% 9.5% 9.5% 0% 8.8% 8.7% 9.5% 9.5%

0%

0% 3.2% 3.2%

0%

0%

20.1%

0%


52

v1=1, v2=1

Figure 23: Répartition de l'énergie électrostatique en 2D (sur la longueur l) pour les

différentes configurations permettant de mesurer les capacités (dimensions standards).

Valeurs en % de l’énergie totale du modèle numérique. Champ scalaire des tensions.

Le modèle analytique et l’expérimentation simulée sont directement comparés dans les

zones définies par le modèle analytique (Tableau 4). Sur le modèle analytique l’énergie

entre les bobinages ou entre un bobinage et le noyau ne dépend pas s’il se trouve à

l’intérieur ou l’extérieur de la fenêtre. Dans le modèle numérique, les conditions aux

limites changent, l’énergie est donc différente à l’intérieur et à l’extérieur de la fenêtre.

Pour comparer les modèles la moyenne de l’énergie entre les surfaces intérieures et

extérieures a été calculée dans l’expérimentation simulée.

1.4% 0.7% 0.8% 1.6% 6.7% 24.9% 0.8% 0.7% 24.4%

3.8%

0.1% 0.6% 2.8%

0.3%

2.2% 28.6%


53

Energie Expérimentation

simulée

Modèle

analytique Erreur

Wpsg1 1.63E-11 1.66E-11 -1.9%

Wpsg2 5.48E-12 5.97E-12 -8.3%

Wps3 2.70E-12 2.66E-12 1.7%

Wpc 2.70E-12 2.66E-12 1.7%

Wpsd1 1.22E-10 1.16E-10 4.9%

Wpsd2 8.98E-11 9.56E-11 -6.0%

Wpch 2.64E-12 2.66E-12 -0.8%

Wsch 5.00E-11 4.98E-11 0.4%

Wss 6.78E-12 1.24E-12 444.8%

Wpsg1 1.63E-11 1.66E-11 -1.9%

Energie

totale v1=1,

v2=0

1.57E-11 1.33E-11 18.1%

Energie

totale v1=0,

v2=1

2.19E-10 1.84E-10 19.1%

Energie

totale v1=1,

v2=1

1.82E-10 1.61E-10 13.6%

Tableau 4 : Comparaison énergie stockée dans les différentes parties entre le modèle

analytique et l’expérimentation simulé en 2 dimensions, transformateur aux dimensions

standards.

Lors du calcul de l’énergie électrostatique totale contenue dans le transformateur,

l’énergie contenue dans les différentes zones vont s’ajouter. Le paramètre important n’est

donc pas seulement l’erreur relative mais aussi la valeur de l’énergie. Une grande erreur

relative sur une petite valeur n’aura pas une influence important dans une sommation où

se trouvent de grandes valeurs. Une comparaison est réalisée entre le modèle analytique

et le modèle numérique dans les zones définies pour le modèle analytique. Dans tous les

cas où l’épaisseur d’isolation est de 1 mm, l’erreur est inférieur à 10%. L’erreur n’est pas

constante. Parfois elle’ est négatives, d’autres fois positive.

Entre les bobines secondaires, l’erreur est beaucoup plus élevée mais la différence

d’énergie ne représente que 3% de l’énergie totale. La différence réside dans le fait que

l’épaisseur d’isolation entre ces bobines est nettement plus grande que les autres

épaisseurs d’isolation.

La source de l’erreur a donc deux origines. L’approximation analytique du champ

électrique à l’intérieur des zones définies n’est pas exacte et de l’énergie est

emmagasinée à l’extérieure des zones prises définies pour le modèle analytique. Afin de

mettre en évidence le rôle de ces deux phénomènes, une série de transformateurs sont


54

simulés en faisant varier la hauteur et l’épaisseur des bobines. Dans ces expérimentations

toutes les épaisseurs d’isolation sont égales et constantes. On définit l’élongation comme

le rapport entre la hauteur des bobines et l’épaisseur de l’isolation.

En premier on démontre que le paramètre principal qui détermine l’erreur entre les

modèles est l’élongation soit le rapport entre l’épaisseur d’isolation et la hauteur des

bobines. L’erreur en fonction de l’élongation est calculée pour différentes épaisseur

d’isolation. Quel que soit l’élongation, l’erreur varie que de 3 points entre les différentes

épaisseurs d’isolation (Graphique 5). La seule exception est pour l’essai v1=1, v2=0

lorsque l’élongation est petite. Avec une faible épaisseur d’isolation, les bobines du

primaire se retrouvent plus proches du noyau connecté à la masse. Le champ au sommet

de ces bobines est donc plus fort.

v1=1, v2=0

v1=0, v2=1

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

0 20 40 60 80 100 120

Err

eu

r en

tre m

od

èle

s

Elongation (bb / is)

0.001

0.003

0.005

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

0 20 40 60 80 100 120

Err

eu

r en

tre m

od

èle

s


0.001

0.003

0.005


55

v1=1, v2=1

Graphique 5:Comparaison entre le modèle analytique et l'expérimentation simulée en

fonction de l’élongation pour des épaisseurs d'isolation de 1, 3 et 5 mm.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0 20 40 60 80 100 120

Err

eu

r en

tre m

od

èle

s


0.001

0.003

0.005


56

v1=1, v2=0

v1=0, v2=1

v1=1, v2=1

Graphique 6:erreur analytique-numérique en fonction de la hauteur des bobines, largeur

des bobines de 0.5, 0.1 et 1.5 cm, comparaisons en deux dimensions.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

0 20 40 60 80 100 120

Err

eu

r en

tre m

od

èle

s


0.005

0.010

0.015

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

0 20 40 60 80 100 120

Err

eu

r en

tre m

od

èle

s


0.005

0.010

0.015


57

L’erreur entre le model analytique et l’expérimentation simulée en fonction de

l’élongation est mesurée pour différentes épaisseur de bobines du primaire et du

secondaire. L’épaisseur des bobines du primaire sont toujours égales dans ces simulations

aux épaisseurs des bobines du secondaire.

Lorsque l’élongation augmente, l’erreur entre le modèle analytique et numérique diminue

pour les cas v1=1, v2=0 et v1=0, v2=1 (Graphique 6). L’énergie totale emmagasinée entre

les bobines augmente avec la hauteur de celle-ci alors que l’énergie emmagasinée à

l’extérieure des entrefers reste constante. L’erreur entre les modèles lorsque la hauteur de

la bobine tend vers l’infini est l’erreur sur l’énergie entre les entrefers puisque l’énergie

emmagasinée en dehors des entrefers devient négligeable par rapport à l’énergie totale.

Lorsque la hauteur des bobines est petite et plus les bobines sont étroites, plus l’erreur est

grande. Lorsque les bobines sont étroites les surfaces à des tensions différentes sont plus

proches, le champ électrique est plus fort (Tableau 5). Particulièrement la bobine du

secondaire se trouve plus proche du noyau (mis à la terre) lorsque la bobine du primaire

est étroite. La surface supérieure sur une bobine plus large n’a pas un effet aussi

important que le champ électrique plus important sur une bobine étroite car l’énergie

dépend du carré du champ électrique et est seulement proportionnelle au volume.

Lorsque le primaire et le secondaire sont à la tension nominale, l’écart de tension entre

les bobines devient plus faible. Le gradient de tension diminue ainsi que le champ

électrostatique. L’énergie contenue à l’extérieur des entrefers est plus faible que dans les

autres cas.


58

ep=es=0.005 m ep=es=0.015 m

v1=1

v2=0

v1=0

v2=1

v1=1

v2=1

Tableau 5 : Comparaison du champ de électrique et des équipotentielles pour des

enroulements de 0.005 m ou de 0.015 m de largeur pour les cas v1=1, v2=0 , v1=0, v2=1 et

v1=1, v2=1.

ii. Influence de la cuve

La cuve dans laquelle se trouve le transformateur est mise à la terre. Dans la simulation

numérique, cette cuve représente également les conditions aux limites. Entre cette cuve et

les enroulements de l’énergie électrostatique non prise en compte dans le modèle

analytique est contenue. L’influence de cette cuve sur l’erreur entre le modèle analytique

et l’expérimentation simulée ainsi que sur les capacités parasite est examinée. Une série

de simulations sont exécutées en faisant varier la largeur de la cuve et sa hauteur dans les

mêmes proportions. Seule la capacité entre le secondaire et le sol est affectée par la

présence de la cuve (Graphique 7). L’enroulement du secondaire est celui qui se situe la

plus près de la cuve, des deux côtés du transformateur. L’influence de la cuve diminue

très rapidement. La capacité entre le secondaire et la cuve diminue comme l’inverse de la

Density Plot: |E|, V/m

6.650e+002 : >7.000e+002

6.300e+002 : 6.650e+002

5.950e+002 : 6.300e+002

5.600e+002 : 5.950e+002

5.250e+002 : 5.600e+002

4.900e+002 : 5.250e+002

4.550e+002 : 4.900e+002

4.200e+002 : 4.550e+002

3.850e+002 : 4.200e+002

3.500e+002 : 3.850e+002

3.150e+002 : 3.500e+002

2.800e+002 : 3.150e+002

2.450e+002 : 2.800e+002

2.100e+002 : 2.450e+002

1.750e+002 : 2.100e+002

1.400e+002 : 1.750e+002

1.050e+002 : 1.400e+002

7.000e+001 : 1.050e+002

3.500e+001 : 7.000e+001

<0.000e+000 : 3.500e+001


6.650e+002 : >7.000e+002

6.300e+002 : 6.650e+002

5.950e+002 : 6.300e+002

5.600e+002 : 5.950e+002

5.250e+002 : 5.600e+002

4.900e+002 : 5.250e+002

4.550e+002 : 4.900e+002

4.200e+002 : 4.550e+002

3.850e+002 : 4.200e+002

3.500e+002 : 3.850e+002

3.150e+002 : 3.500e+002

2.800e+002 : 3.150e+002

2.450e+002 : 2.800e+002

2.100e+002 : 2.450e+002

1.750e+002 : 2.100e+002

1.400e+002 : 1.750e+002

1.050e+002 : 1.400e+002

7.000e+001 : 1.050e+002

3.500e+001 : 7.000e+001

<0.000e+000 : 3.500e+001


1.900e+003 : >2.000e+003

1.800e+003 : 1.900e+003

1.700e+003 : 1.800e+003

1.600e+003 : 1.700e+003

1.500e+003 : 1.600e+003

1.400e+003 : 1.500e+003

1.300e+003 : 1.400e+003

1.200e+003 : 1.300e+003

1.100e+003 : 1.200e+003

1.000e+003 : 1.100e+003

9.000e+002 : 1.000e+003

8.000e+002 : 9.000e+002

7.000e+002 : 8.000e+002

6.000e+002 : 7.000e+002

5.000e+002 : 6.000e+002

4.000e+002 : 5.000e+002

3.000e+002 : 4.000e+002

2.000e+002 : 3.000e+002

1.000e+002 : 2.000e+002

<0.000e+000 : 1.000e+002


1.900e+003 : >2.000e+003

1.800e+003 : 1.900e+003

1.700e+003 : 1.800e+003

1.600e+003 : 1.700e+003

1.500e+003 : 1.600e+003

1.400e+003 : 1.500e+003

1.300e+003 : 1.400e+003

1.200e+003 : 1.300e+003

1.100e+003 : 1.200e+003

1.000e+003 : 1.100e+003

9.000e+002 : 1.000e+003

8.000e+002 : 9.000e+002

7.000e+002 : 8.000e+002

6.000e+002 : 7.000e+002

5.000e+002 : 6.000e+002

4.000e+002 : 5.000e+002

3.000e+002 : 4.000e+002

2.000e+002 : 3.000e+002

1.000e+002 : 2.000e+002

<0.000e+000 : 1.000e+002


1.900e+003 : >2.000e+003

1.800e+003 : 1.900e+003

1.700e+003 : 1.800e+003

1.600e+003 : 1.700e+003

1.500e+003 : 1.600e+003

1.400e+003 : 1.500e+003

1.300e+003 : 1.400e+003

1.200e+003 : 1.300e+003

1.100e+003 : 1.200e+003

1.000e+003 : 1.100e+003

9.000e+002 : 1.000e+003

8.000e+002 : 9.000e+002

7.000e+002 : 8.000e+002

6.000e+002 : 7.000e+002

5.000e+002 : 6.000e+002

4.000e+002 : 5.000e+002

3.000e+002 : 4.000e+002

2.000e+002 : 3.000e+002

1.000e+002 : 2.000e+002

<0.000e+000 : 1.000e+002


1.900e+003 : >2.000e+003

1.800e+003 : 1.900e+003

1.700e+003 : 1.800e+003

1.600e+003 : 1.700e+003

1.500e+003 : 1.600e+003

1.400e+003 : 1.500e+003

1.300e+003 : 1.400e+003

1.200e+003 : 1.300e+003

1.100e+003 : 1.200e+003

1.000e+003 : 1.100e+003

9.000e+002 : 1.000e+003

8.000e+002 : 9.000e+002

7.000e+002 : 8.000e+002

6.000e+002 : 7.000e+002

5.000e+002 : 6.000e+002

4.000e+002 : 5.000e+002

3.000e+002 : 4.000e+002

2.000e+002 : 3.000e+002

1.000e+002 : 2.000e+002

<0.000e+000 : 1.000e+002


59

distance. La capacité formée entre la cuve et le secondaire est placée en parallèle à la

capacité existante cette nouvelle capacité vient s’ajouter à la capacité existante.

Graphique 7 : Valeur des capacités parasites en fonction de la largeur de la cuve,

transformateur aux dimensions standards.

1.00E-11

1.50E-11

2.00E-11

2.50E-11

3.00E-11

3.50E-11

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

Cap

acit

é [

F]

Largeur de la cuve [m]

C1s

C2s

C12


60

6. Mise en œuvre de l’environnement L’environnement se compose d’une interface Excel et du logiciel FEMM.

a. Implantation du modèle analytique dans Excel

L’environnement d’optimisation utilisé est celui d’Excel pour la facilité qu’il offre à

entrer des données de manière structurée.

Les variables sont regroupées en catégories pour faciliter leur repérage. Elles ne sont pas

groupées en fonction du modèle auquel elles appartiennent mais plutôt selon leur

utilisation dans l’interface.

- La catégorie « géométrique » qui concentre les dimensions de base du

transformateur.

- La catégorie « valeurs techniques » qui regroupe des variables propres au

fonctionnement du transformateur, comme la densité de courant sur les

enroulements.

- La catégorie « constantes physiques » qui regroupe les variables propres aux

matériaux utilisés, comme leur densité ou leur perméabilité et les constantes

physiques.

- La catégorie « simulation » qui regroupe les variables d’entrée utilisées

uniquement pour les simulations par éléments finis

- Une catégorie « optimisation » qui regroupe les contraintes de l’optimisation qui

dépendent d’autres variables.

Deux autres catégories regroupent uniquement des valeurs calculées à l’aide

d’approximations et de lois physiques :

- La catégorie « performances » qui regroupe les valeurs calculées avec les modèles

analytique. et mécaniques.

- La catégorie « résultats simulation » qui regroupe les valeurs des inductances et

capacités calculées par calcul des champs et les compare aux résultats du modèle

analytique.


61

Figure 24: Interface de dimensionnement Excel. Colonnes de gauche à droite : Catégorie de

la variable, description de la variable, symbole, valeur et unité de la variable, équation si la

variable est déduite à partir des autres variable. A droite se situe un schéma du

transformateur permettant de visualiser ses proportions.

Chaque variable est présentée par sa description, son symbole, son unité dans le système

international, et son expression si elle est dépendante d’autres variables (Figure 24). Sa

case apparaît alors en couleur.

Certaines dimensions sont calculées à partir d’autres dimension mais ne peuvent pas être

négatives. C’est pour cela que les dimensions calculées sont choisies tel qu’elles sont le

résultat d’une addition de dimensions forcées à être positives ou nulles mais pas de

soustraction. Ainsi les dimensions de la fenêtre sont calculées à partir des dimensions des

isolations et des bobine et non pas le contraire (une dimension de l’isolation définie à

partir de la largeur de la fenêtre)

b. Implantation de l’outil d’optimisation

L’optimisation est réalisée grâce au solver implémenté dans Excel. Le solver demande de

spécifier l’objectif, si l’objectif est à minimiser ou maximiser, les cellules variables et les

contraintes à travers une fenêtre de dialogue (

Figure 25).


62

Figure 25: Fenêtre de dialogue pour le réglage du solver.

Le solver ne prenant pas en compte les équations du problème, nous devons conditionner

le problème pour qu’aucune erreur n’apparaisse lors de la résolution des équations.

L’erreur la plus fréquente est de diviser une valeur pas 0. Pour identifier ce problème

toutes les variables sont initialisées à une valeur quelconque supérieure à 0 puis forcées

les unes après les autres à 0. L’influence du passage à 0 d’une variable sur les valeurs

calculées est observée. Si une division par 0 intervient une variable supplémentaire est

introduite qui reprend le même nom de la variable suivit du mot « var ». Cette variable

sera la variable utilisée dans les calculs et sera liée à son image utilisée dans les calculs

par la relation non-linéaire suivante :

- Si la variable est plus petite que 10-9

son image sera 10-9

.

- Si la variable est plus grande que 10-9

son image est égale à la valeur de la

variable.


63

c. Implantation du calcul des champs

Le calcul des champs est lancé à partir d’une macro d’Excel qui s’exécute quand la

fonction qui lui est associée est appelée à l’intérieur de la feuille de calcul (Figure 26).

Les caractéristiques du transformateur sont écrites dans le fichier entree.txt puis le

logiciel FEMM est lancé ainsi que le script FEMM écrit avec le langage lua. Le script

FEMM va dessiner le transformateur, lancer la simulation et écrire le résultat dans le

fichier sortie.txt. La macro va ensuite récupérer le résultat et l’écrire dans la feuille de

calcul Excel.

Une valeur d’un paramètre nulle ou très petite peut créer une erreur dans FEMM. Une

distance nulle peut par exemple superposer deux conditions aux limites différentes,

générant une erreur. La même méthode que dans l’outil d’optimisation est appliquée en

insérant une variable image. La valeur minimale de la variable est de 10-5

pour rester au-

dessus de la résolution de FEMM.

Figure 26: Interface entre Excel et FEMM. Les étapes sont numérotées dans l'ordre

chronologique.

Excel Macro

Excel

Entee.txt

FEMM et

instruction .lua Sortie.txt

1. appel

de la fonction

7. écriture

du résultat

2. écriture des

variables

3. lancement de

FEMM

et du script

5. écriture du résultat

6. lecture du résultat

4. lecture des variables par FEMM


64

7. Applications

a. Analyse de compromis masse vs. rendement

Même le modèle analytique simple permet de cerner les principaux compromis qui seront

réalisés pour l’optimisation du transformateur.

On fixe une contrainte et on optimise un paramètre. On renouvèle ensuite l’optimisation

en faisant varier la contrainte. On obtient ainsi une courbe d’optimum en fonction de la

contrainte. La sensibilité de certains paramètres sur le design peut aussi être analysée de

cette manière.

Le compromis qui va être illustré est celui d’un poids minimal vis-à-vis du rendement.

Les variables sont constituées des dimensions géométriques du transformateur, de la

densité de courant j et du champ magnétique d’induction Bmax. La densité de courant est

limitée à un maximum pour ne pas atteindre un échauffement trop important et le champ

magnétique est limité pour rester dans la zone linéaire.

La fréquence de fonctionnement de 1 kHz et la puissance du transformateur de 1kW sont

imposés. Le rendement est aussi imposé pour chaque optimisation et on le fait varier

d’une optimisation à l’autre. Pour comprendre le travail de l’optimisation il est utile de

rappeler les formules de la puissance du transformateur et de la valeur des pertes joules et

fer.

√

(

)

Pour limiter la masse du transformateur, il faut réduire ses dimensions tout en gardant sa

puissance à une valeur donnée. Les seuls paramètres qui n’influencent pas directement la

masse dans l’équation de la puissance du transformateur sont la densité de courant, le

champ magnétique et la fréquence qui est fixée. Les deux autres paramètres sont portés à

leur maximum. Le compromis se joue ensuite entre la masse de fer influencée par la

section du noyau et la section de cuivre des enroulements. Un changement dans la surface

de la section du noyau influencera aussi la masse de cuivre puisque dans le périmètre de

la section du noyau donc la longueur moyenne des spires sera aussi affectée. Pour limiter

la longueur moyenne des spires donc leur poids, l’épaisseur d’isolation est fixée au

minimum. Une fois ces dimensions fixées, les pertes en découlent. Si le rendement doit

être augmenté les pertes doivent diminuer. La densité de courant et le champ magnétique

étant au carré dans les formules des pertes, ces paramètres doivent être diminués en

priorité. Pour conserver une puissance du transformateur constante il faudra alors

augmenter les dimensions donc les poids du transformateur. Il est encore possible de

diminuer les pertes en augmentant la masse de fer et diminuant la masse de cuivre pour

garder la puissance fixée.


65

Le résultat des optimisations (Graphique 8) montre que l’on peut facilement augmenter le

rendement jusqu’à environ 99.6% sans avoir un gros impact sur la masse. Pour obtenir un

rendement supérieur, l’impact sur l’augmentation de la masse sera nettement plus

important. Il semble très compliquer d’avoir un rendement excédent 99.8% en gardant les

paramètres que l’on a fixés comme la fréquence nominale ou la configuration du

transformateur. Pour parvenir à un rendement supérieur, la densité de courant et de

champ magnétique diminuent (Graphique 9).

Graphique 8 : Rendement du transformateur en fonction de la masse optimisée.

Graphique 9: Champ magnétique et densité de courant normalisée en fonction du

rendement.

98.4%

98.6%

98.8%

99.0%

99.2%

99.4%

99.6%

99.8%

100.0%

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

Re

nd

em

en

t [%

]

Masse du transformateur [Kg]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

98.5% 99.0% 99.5% 100.0%

Pa

ram

ètr

e n

orm

alis

é

Rendement [%]

B / 2

j / 1e7


66

b. Conception d’un prototype de validation du modèle de dimensionnement

électromagnétique

Afin de vérifier les prédictions de l’expérimentation simulée des champs, un prototype

est conçu. La valeur de ses inductances et capacités peuvent déterminée à l’aide d’une

identification paramétrique sur sa réponse en fréquence. La fréquence de résonnance doit

être aussi petite que possible afin de pouvoir la mesurer précisément à l’aide des appareils

conventionnels disponibles dans un laboratoire d’électronique de puissance. Le noyau

utilisé pour fabriquer le prototype est un noyau en ferrite qui a des dimensions fixée.

C’est le seul noyau en ferrite disponible au laboratoire. Pour simplifier la construction du

prototype, le transformateur sera constitué seulement de deux bobines concentriques.

Une optimisation avec la fréquence de résonnance comme fonction à minimiser et les

dimensions des bobines ainsi que le rapport de transformation comme variables d’entrés

est exécutée. Des contraintes sont ajoutées. Contrairement à l’optimisation d’un

transformateur les contraintes ne sont pas seulement géométriques mais aussi

constructives. L’expression de la fréquence de résonnance fres à partir du circuit

équivalent est trouvée à l’aide du logiciel de résolu de circuits Solve Elec 2.52.

√

( )

Il apparaît que pour minimiser la fréquence de résonnance il est nécessaire d’obtenir un

rapport de transformation et une distance entre les bobinages aussi petits que possible

afin d’augmenter les capacités équivalentes. Les dimensions du noyau sont imposées par

le stock disponible au laboratoire. Nous ne pouvons donc avoir aucune influence sur

l’inductance mutuelle.

Au vu de l’art que requière le bobinage d’un transformateur des contraintes constructives

s’imposent sur les dimensions des bobines et le rapport de transformation.

- Le rapport de transformation minimum est imposé à 1/50

- L’épaisseur minimale d’isolation de 3 mm, correspondant à l’épaisseur d’une

plaque en plexiglas.

Plus le transformateur est grand, plus les surfaces entre les bobines seront grandes et la

quantité d’énergie magnétostatique emmagasinée à densité de courant constante sera

élevée. Ainsi les capacités et inductances de fuites seront grandes et la fréquence de

résonnance petite. La taille de notre transformateur est limitée par les dimensions du

noyau. Il est donc difficile d’obtenir une fréquence de résonnance basse. L’optimisation

sur la fréquence de résonnance a donc conduit à un transformateur dont les bobines sont

très grandes pour maximiser leur surface et les capacités de couplage.

La tension d’entrée au primaire est imposée par le générateur disponible et le champ

d’induction est choisi en fonction de la caractéristique B-H du noyau (Graphique 10). Il

est choisi dans le coude de saturation pour minimiser le nombre de spires nécessaires en

2 http://www.physicsbox.com/indexsolveelec2fr.html


67

évitant les effets non-linéaires dû à la saturation. Il sera de 200 mT. La fréquence

nominale est imposée par les caractéristiques du générateur. Elle est choisie aussi élevée

que possible afin de mettre en évidence les éléments parasites. Le nombre de spire au

primaire est déduit à l’aide de l’équation de la tension induite :

√ Le nombre de spires au secondaire est déterminé par le rapport de transformation choisis.

La surface de cuivre des bobines étant données, il est alors possible de déterminer le

diamètre des fils de cuivre. Le diamètre normalisé le plus proche du diamètre calculé et

choisis et les dimensions du prototype sont ajustées en conséquence. Ces nouvelles

dimensions seront adoptées pour la prédiction des caractéristiques.

Lors de l’optimisation plusieurs problèmes sont apparus.

- Le diamètre du fil du cuivre du primaire est de 8 mm. Il est très difficile de

réaliser une petite bobine avec un diamètre si gros.

- La fréquence de résonnance la plus basse obtenue était de l’ordre de 300 MHz. Il

est très difficile de mesurer une telle fréquence avec les appareils du laboratoire.

D’autres essais d’identification paramétriques pourraient être réalisés comme un

échelon unité mais les éléments parasites son si petits qu’ils sont difficiles à

mesurer précisément.

- Le nombre de spires au primaire devrait être de 9. Avec un rapport de

transformation de 1/50, cela donne 450 spires au secondaire. Au vu de la

fréquence de résonnance déjà élevée, il devient impossible de mettre des

contraintes de construction plus réalistes.

Pour ces raisons, le prototype n’a pas été construit.

Graphique 10: Caractéristique B-H de la ferrite composant le noyau à f=100 kHz et 25°C.


68

c. Dimensionnement d’un transformateur pour une alimentation modulaire à

résonance

L’interface développée est utilisée afin d’optimiser un transformateur d’impulsion qui

doit être utilisé pour une alimentation à klystron. Ces alimentations seront modulaires.

Elles seront composées de plusieurs transformateurs. Il est important qu’ils ne prennent

pas trop de place.

i. Cahier des charges du transformateur

Le transformateur doit répondre au cahier des charges suivant :

- Fréquence : 20 KHz

- Puissance de dimensionnement : 2.4 MVA

- Tension efficace au primaire : 2600 V

- Tension d’isolation primaire-secondaire : 127 kV

- Rapport de transformation : 0.1 -

- Champ électrique disruptif : 1.5e6 V/m

- Tension de court-circuit max.: 0.07 p.u. (per unit)

Cette dernière condition se traduit immédiatement par une contrainte sur l’inductance de

fuite. La valeur de la tension de court-circuit vc-c en p.u est :

La tension est imposée et le courant est imposé à travers la puissance de

dimensionnement.

Dans cette optimisation on minimise la masse.

ii. Dimensionnement analytique

Une optimisation est réalisée à partir de ce cahier des charges.

La densité de courant est fixée à 5 A / mm2. La densité de courant peut être élevée car

c’est un transformateur d’impulsions. Son échauffement n’est pas critique car le courant

est intermittent.

Les variables d’entrée sont :

- L’épaisseur et la hauteur des bobines primaire et secondaire. Toutes les bobines

ont les mêmes dimensions pour avoir une densité de courant identique.

- Les dimensions du noyau (largeur et profondeur)

- Le champ magnétique d’induction

- Le nombre de spire au primaire

Les épaisseurs d’isolation sont imposée afin qu’elles soient si fine que possible pour

limiter le poids du noyau mais que le champ électrique disruptifs ne soit pas excédé.


69

Les contraintes sont issues du cahier des charges :

- Une tension de court-circuit inférieure à 0.07 p.u.

- Une puissance de 2.6 MVA

- Une tension au primaire de 2600 V

- Un rendement supérieur à 95 %

- Un champ d’induction inférieur au champ de saturation.

Le rapport de transformation étant connu et le nombre de spire au primaire une variable

d’entrée, le nombre de spires au secondaire sera déduit. La fréquence est imposée mais

n’est pas une contrainte car elle ne dépend d’aucune variable. Le nombre de spires au

primaire dépend du champ d’induction et de la tension au primaire qui est imposée.

La masse sera optimisée dans plusieurs scénarios avec le modèle analytique et

l’optimisation sera validée par calcul des champs.

iii. Étude de la sensibilité et de scénarios

Les divers scénarios consistent à utiliser deux matériaux différents afin de construire le

noyau.

- Une tôle Fe Si de la société Arnold Magnetics. Ce matériau s’appelle le Arnon 5.

- Une ferrite douce de la société Ferroxcube. C’est plus précisément la ferrite 3C85.

Ces matériaux étant constitués principalement de fer, leur masse volumique est

équivalente à celle du fer pur. La différence réside en la formule des pertes qui les

caractérisent ainsi que le champ de saturation (

Tableau 6). La formule des pertes pour la tôle Arnon est spécifique à la fréquence choisie.

Matériau Formule des pertes [W] Champ de saturation [T]

Tôle Arnon 5 1.48

Ferrite 3C85 0.3

Tableau 6 : Caractéristiques des matériaux utilisés pour le noyau.

Matériaux Rendement

[%]

Champ

d’induction

[T]

Masse

totale

[Kg]

Longueur

hors-tout

[m]

Largeur

hors-tout

[m]

Hauteur

hors-

tout [m]

Tôle

Arnon 5 95 % 0.3 270 0.333 0.515 1.140

Ferrite

3C85 99.7 % 0.3 279 0.336 0.519 1.124

Tableau 7: Caractéristiques obtenus au terme de l'optimisation pour le noyau en tôle et en

ferrite


70

Les transformateurs optimisés ont sensiblement la même masse et les mêmes dimensions

par contre leur rendement varie. La puissance de dimensionnement imposée dans ce cas

ne dépend que des dimensions, de la densité de courant imposée dans les deux scénarios

et du champ d’induction. Pour minimiser la masse il faut maximiser le champ

d’induction. Dans la ferrite le champ est maximisé jusqu’à la saturation. Avec la tôle le

champ est beaucoup plus faible que le champ de saturation. Il a dû être diminué pour

satisfaire la contrainte de rendement car les pertes sont trop élevées avec le champ

magnétique égal au champ de saturation.

Finalement ces transformateurs ont des dimensions et des poids similaires mais leurs

pertes sont différentes. Si on impose un rendement minimum de 96 %, le poids du

transformateur construit avec la tôle augment alors à 463 Kg. En fonction de la fréquence

et du rendement minimal, l’utilisation de tôle ou de ferrite est plus avantageuse. Avec un

rendement minimum imposé de 95 % à 20 kHz, la tôle atteint sa limite face à la ferrite.

Les transformateurs obtenus sont très grands. Ceci est dû à la minimisation de

l’inductance de fuite. Les bobines étant étroites et les isolations très épaisses, la majorité

de l’énergie magnétostatique est emmagasinée dans l’air et vaut pour rappelle :

Le paramètre le plus efficace dans notre cas pour minimiser cette énergie est la hauteur

des bobines. C’est sur ce paramètre que l’optimisation agit pour satisfaire les contraintes

de tension de court-circuit.

Le calcul des capacités parasites est très utile afin de calculer la fréquence de résonnance.

Le transformateur fonctionnant à 20 kHz la fréquence de résonnance doit être à au moins

10x le fondamental pour éviter les résonnances. Dans les deux cas les capacités,

l’inductance de fuite et l’inductance magnétisante sont similaires car les dimensions sont

similaires. On obtient une fréquence de résonnance d’environ 12 MHz dans les deux cas,

ce qui nous fournit une bonne marge de sécurité.

iv. Validation par calcul des champs

Les dimensions des deux cas analysés étant similaires, la validation par expérimentation

simulée est effectuée une seule fois.

Le transformateur étant très allongé (Figure 27), les erreurs sur les éléments parasites sont

petites (Tableau 8). L’optimisation effectuée sur le modèle analytique est donc valide.

L’erreur sur l’inductance de fuite, donc la tension de court-circuit n’est que de 4 %.

L’erreur sur la capacité entre le primaire et le secondaire est plus grande car l’isolation

entre le primaire et le secondaire est plus épaisse à cause de la contrainte sur la tension

d’isolation.


71

Elément Erreur entre le modèle analytique et

l’expérimentation simulée. [%]

C1s 6 %

C2s 22 %

C12 28 %

Lsigma -4 %

Lm 6%

Tableau 8: Comparaison entre le modèle analytique et l'expérimentation simulée pour le

transformateur optimisé.

Figure 27: Géométrie du transformateur optimisé.

8. Conclusion

Une interface d’optimisation de transformateur a été conçue. Elle est composée d’un

modèle analytique qui se décompose en modèles électromagnétique, thermique et

mécanique et d’une expérimentation simulée. Le modèle analytique prend en compte les

capacités parasites et permet ainsi de prédire la fréquence de résonnance du

transformateur.

Les limites du modèle analytique ont été testées et démontrées. Sa fiabilité et son utilité

ont été prouvées sur quelques exemples.

Cette interface est maintenant prête à être utilisée afin de tester différents designs mettant

en jeu différentes contraintes et différents matériaux. Une évaluation de la meilleure

alternative pourra alors être exécutée.


72

9. Annexes

a. Equations du modèle de dimensionnement analytique

Variable Nom

variable Unité Equation

Entr

ée

s

Epaisseur de tôles du noyau

ept_ m

Largeur du noyau (niveau des enroulements)

ec_ m

Profondeur du noyau

l_ m

Hauteur des bobines

bb_ m

Epaisseur de la bobine du primaire

ep_ m

Epaisseur de la bobine du secondaire

es_ m

Epaisseur isolant en hauteur

isph_ m

Epaisseur isolation primaire

ispc_ m

Epaisseur isolation primaire-secondaire

isps_ m

Epaisseur isolation secondaire-secondaire

isss_ m

Perméabilité du vide

mu0_ Kgm/s2

A2

Perméabilité relative

mur_ -

Permittivité de l'isolant (air)

epsi0_ F/m

Conductivité du cuivre

sigma_ S/m

Coefficient de pertes par

ku_ UNITE


73

hysteresis

Coefficient de perte par hysteresis (indice)

x_ -

Cofficient de perte par courant de Foucault

kcf_ UNITE

Masse volumique Fer

roFer_ kg/m3

Masse volumique Cuivre

roCu_ kg/m3

Densité de courant (Valeur crête)

j_ A/m2

Nombre de spire du primaire

n1_ -

Nombre de spire du secondaire

n2_ -

Coefficient de remplissage du cuivre

alpha_ -

Frequence f_ Hz

Champs magnétique max.

bmax_ T

Tension nominale crête au primaire

v1nc_ V

Mo

dè

le é

lect

rom

agn

éti

qu

e

Courant total primaire (RMS)

I1_ A 2*Scup_*j_/n1_

Courant à vide total primaire RMS

i0_ A bmax_*lmn_/(mu0_*mur_*n1_*RACINE(2))

Tension induite au primaire (RMS)

v1_ V (n1_*Ae_*bmax_*2*PI()*f_)/RACINE(2)

Chute de tension, inductance de fuite

vsigma_ V I1_*2*PI()*f_*lsigma_

Rapport de transformation

u_ - n1_/n2_

Tension nominale crête au secondaire

v2nc_ V v1nc_/u_

Réluctance magnétique

rel_ A/Vs (1/(mu0_*mur_))*(lmn_/Ae_)


74

Energie magn de fuite dans l'air 3D

wmagair3d_

W mu0_*(j_*Scup_/bb_)^2*(1/2)*(mltp_+mlts_)*bb_*isps_

Energie magn de fuite dans les bobines prim 3D

wmagbobp3d_

W mu0_*mltp_*bb_*alpha_*j_^2*(1/3)*ep_^3

Energie magn de fuite dans les bobines sec 3D

wmagbobs3d_

W mu0_*mlts_*bb_*alpha_*j_^2*(1/3)*es_^3*(Scup_/Scus_)^2

Inductance mutuelle

lm_ H (n1_^2)/rel_

Inductance de fuite totale

lsigma_ H (2*(wmagair3d_+wmagbobp3d_+wmagbobs3d_))/I1_^2

Inductance de fuite totale

lsigmapu_ pu (lsigma_*2*PI()*f_*I1_)/v1_

Energie prim. core (v1=1, v2=0)

wpc_ W epsi0_*(ec_+l_)*(v1nc_^2/ispc_)*(1/3)*bb_

Energie prim. sec. (v1=1, v2=0)

wps3_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*(v1nc_^2/isps_)*(1/3)*bb_

Energie prim. sec. (v1=0, v2=1) gauche

wpsg1_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*(v2nc_^2/(4*isps_))*(1/3)*bb_

Energie prim. sec. (v1=0, v2=1) droit

wpsd1_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*(v2nc_^2/(4*isps_))*(7/3)*bb_

Energie prim. Sec. (v1=1, v2=1) gauche

wpsg2_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*((v2nc_/2)-v1nc_)^2*(bb_/(3*isps_))

Energie prim. Sec. (v1=1, v2=1) droit

wpsd2_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*(bb_/isps_)*((7/12)*v2nc_^2-(7/12)*v1nc_*v2nc_+(1/3)*v1nc_^2)

Energie prim. core (dans isph)

wpch_ W epsi0_*ep_*l_*(v1nc_^2)/isph_

Energie sec. Core (2 bobines) (dans isph)

wsch_ W 0.5*epsi0_*es_*l_*(3*v2nc_^2)/(2*isph_)

Energie sec. Sec. (v1=0, v2=1)

wss_ W 0.5*epsi0_*l_*bb_*(1/isss_)*v2_^2/4


75

Energie: Prim. nominal, sec. Sol (v1=1, v2=0)

enercap1_ W 2*wps3_+wpch_+2*wpc_

Energie: prim. sol sec. Nom. (v1=0, v2=1)

enercap2_ W wpsg1_+wpsd1_+wsch_+wss_

Energie: Prim. nominal, sec. Nom. (v1=1, v2=1)

enercap3_ W wpsg2_+wpsd2_+2*wpc_+wpch_+wsch_+wss_

Capacité primiare-secondaire

_c12a_ F -(enercap3_-enercap2_-enercap1_)/(v1nc_*v2nc_)

Capacité primaire-sol

_c1sa_ F (2*enercap1_)/(v1nc_^2)-_c12a_

Capacité secondaire-sol

_c2sa_ F (2*enercap2_)/(v2nc_^2)-_c12a_

Capacité primaire-secondaire circuit éq.

_c12eq_ F _c12a_/u_

Capacité primaire-sol circuit éq.

_c2seq_ F _c2sa_+_c12a_*((1-u_)/u_^2)

Resistance du cuivre, primaire

rcup_ Ω (n1_^2*mltp_)/(2*sigma_*Scup_)

Resistance du cuivre, secondaire

rcus_ Ω (2*n2_^2*mlts_)/(sigma_*Scus_)

Résistance, pertes fer

rfe_ Ω v1_^2/pfe_

Puissance de dimmensionnement

S1_ VA (2*PI()/RACINE(2))*Ae_*bmax_*f_*j_*2*(Scup_+Scus_)

Pertes fer pfe_ W (ku_*bmax_^x_*f_+kcf_*bmax_^2*f_^2*ept_)*vfe_

Pertes Joule totales en charge

Pjtot_ W (1/sigma_)*(vcup_+vcus_)*j_^2

Pertes totales Ptot_ W Pjtot_+pfe_

rendement eta_ - (S1_-Ptot_)/S1_


76

frequence de résonnance

fres_ Hz RACINE((lm_+(lsigma_/2))/(2*lm_*(lsigma_/2)*(_c12eq_+_c2seq_)+2*(lsigma_/2)^2*(_c12eq_+_c2seq_)))

Mo

dè

le m

éca

niq

ue

Largeur de la fenêtre

a_ m 2*(ispc_+isps_+ep_+es_)+isss_

Hauteur de la fenêtre

b_ m bb_+2*isph_

Longeur moyenne d'une spire du primaire

mltp_ m 2*(l_+2*ispc_+ep_+ec_+2*ispc_+ep_)

Longeur moyenne d'une spire du secondaire

mlts_ m 2*(l_+2*ispc_+2*ep_+2*isps_+ec_+2*ispc_+2*ep_+2*isps_)

Section du noyau Ae_ m ec_*l_

Chemin magnétique du noyau

lmn_ m ((a_+ec_)+(b_+ec_))*2

Section Cuivre bobine primaire (1 bobine)

Scup_ m2 ep_*bb_*alpha_

Section Cuivre bobine secondaire (1 bobine)

Scus_ m3 es_*bb_*alpha_

Volume de cuivre, primaire (2 bobines)

vcup_ m3 2*alpha_*(mltp_*ep_*bb_)

Volume de cuivre, secondaire (2 bobines)

vcus_ m3 2*alpha_*(mlts_*es_*bb_)

Volume de cuivre, total

vcu_ m3 vcup_+vcus_

Volume de fer vfe_ m3 ((a_+2*ec_)*(b_+2*ec_)-a_*b_)*l_

Masse totale Cuivre

Mcu_ kg vcu_*roCu_

Masse noyau Mfer_ kg vfe_*roFer_

Masse totale transfo

Mtot_ kg Mcu_+Mfer_

Longeur hors tout lonht_ m l_+2*(ep_+es_+ispc_+isps_)


77

Largeur hors tout larht_ m a_+2*(ec_+ep_+es_+ispc_+isps_)

hauteur hors tout hht_ m b_+2*ec_


78

b. Caractéristiques du transformateur standard.

Variable Nom variable Valeur Unité

Géo

mét

rie

Epaisseur de tôles du noyau ept_ 0.011 m

Largeur du noyau (niveau des enroulements) ec_ 0.015 m

Profondeur du noyau l_ 0.030 m

Hauteur des bobines bb_ 0.030 m

Epaisseur de la bobine du primaire ep_ 0.010 m

Epaisseur de la bobine du secondaire es_ 0.010 m

Epaisseur isolant en hauteur isph_ 0.001 m

Epaisseur isolation primaire ispc_ 0.001 m

Epaisseur isolation primaire-secondaire isps_ 0.001 m

Epaisseur isolation secondaire-secondaire isss_ 0.020 m

Largeur de la fenêtre a_ 0.064 m

Hauteur de la fenêtre b_ 0.032 m

Longeur moyenne d'une spire du primaire mltp_ 0.138 m

Longeur moyenne d'une spire du secondaire mlts_ 0.186 m

Section du noyau Ae_ 0.000 m

Chemin magnétique du noyau lmn_ 0.252 m

Section Cuivre bobine primaire (1 bobine) Scup_ 2.7E-04 m2

Section Cuivre bobine secondaire (1 bobine) Scus_ 2.7E-04 m3

Volume de cuivre, primaire (2 bobines) vcup_ 7.5E-05 m3

Volume de cuivre, secondaire (2 bobines) vcus_ 1.0E-04 m3

Volume de cuivre, total vcu_ 1.7E-04 m3

Volume de fer vfe_ 1.1E-04 m3

Densité de courant (Valeur crête) j_ 30000 A/m2

Nombre de spire du primaire n1_ 100 -

Nombre de spire du secondaire n2_ 500 -

Coefficient de remplissage du cuivre alpha_ 0.9 -

Frequence f_ 1000 Hz

Champs magnétique max. bmax_ 2 T

Rapport de transformation u_ 0.2 -

cte

ph

ys

Perméabilité du vide mu0_ 1.26E-06 Kgm/s2A

2

Perméabilité relative mur_ 100000 -

Permittivité de l'isolant (air) epsi0_ 8.85E-12 F/m

Conductivité du cuivre sigma_ 6.00E+07 S/m

Coefficient de pertes par hystéresis ku_ 0.0 UNITE

Coefficient de perte par hystéresis (indice) x_ 2.5 -

Cofficient de perte par courant de Foucault kcf_ 11.0 UNITE


79

Masse volumique Fer roFer_ 7860 kg/m3

Masse volumique Cuivre roCu_ 8900 kg/m3

Schéma du transformateur aux dimensions standards


80

c. Nomenclature

Sur le rapport les indices sont utilisés pour éclaircir la notation. Dans l’interface Excel les

indices sont mis en lettre normale.

µ0 H/m Perméabilité du vide

µr - Perméabilité relative du fer

a m Largeur de la fenêtre

ae m Section du noyau

alpha, α - Coefficient de remplissage du cuivre

b m Hauteur de la fenêtre

bb m Hauteur des bobines

Bmax T Champ magnétique maximal dans le noyau

c J K-1

Kg-1

Chaleur spécifique de l’huile

C12 F Capacité entre le primaire et le secondaire

C12eq F Capacité équivalente entre le primaire et le secondaire

C1s F Capacité entre le primaire et le sol

C2s F Capacité entre le secondaire et le sol

C2seq F Capacité équivalente entre le secondaire et le sol

Cthhuile J / K Capacité thermique de l’huile

E V/m Champ électrostatique

ec m Epaisseur du noyau

ecuve m Epaisseur de la cuve

ep m Épaisseur de l’enroulement primaire

es m Épaisseur de l’enroulement du secondaire

f Hz Fréquence de la tension

fres Hz Fréquence de résonnance du transformateur

H A m2

Champ magnétique maximal dans le noyau

hht m Hauteur hors-tout

I0 A Courant à vide

I1 A Courant nominal du primaire

Ibobp A Courant d’une bobine du primaire

ispc m Epaisseur d’isolation entre l’enroulement primaire et le noyau

isph m Epaisseur d’isolation commune entre les enroulements et le

noyau

isps m Epaisseur d’isolation entre l’enroulement primaire et

secondaire

j A/m2 Densité de courant efficace dans les enroulements

j2c-c A/m2 Densité de courant efficace au secondaire en court-circuit

l m longueur

l1 m Distance entre le transformateur et la cuve 1




81

larht m Largeur hors-tout

Lm H Inductance mutuelle

lmhuile m Chemin moyen entre le transformateur et la cuve

lmn m Chemin moyen de magnétisation

lonht m Longueur hors-tout

Ls1, Lσ1 H Inductance de fuite du primaire

Ls2, Lσ2 H Inductance de fuite du secondaire ramenée au primaire

Mhuile Kg Masse de l’huile

mltp m Longueur moyenne d’une spore au primaire

mlts m Longueur moyenne d’une spire au secondaire

n1 - Nombre de spires au primaire

n2 - Nombre de spires au secondaire

Pcu W Pertes cuivre

Pfer W Pertes fer

Pth W Puissance dissipée par le transformateur

R Ω Résistance

R1 Ω Résistance de l’enroulement primaire

R2 Ω Résistance de l’enroulement secondaire ramené au primaire

Rcuve K / W Résistance thermique de la cuve

Rfer Ω Résistance équivalente du fer

Rhuile K / W Résistance thermique de l’huile

Rmagn A/Vs Inductance de magnétisation

S m2 Section d’un fil de cuivre

Scond m2 Surface du transformateur

Scup m2 Surface de cuivre d’une bobine primaire

Scus m2 Surface de cuivre d’une bobine secondaire

Tamb K Température ambiante

Ttrans K Température au niveau du transformateur

u - Rapport de transformation

V1 V Tension au primaire

V2 V Tension au secondaire

vc-c V Tension de court-circuit

Vcu m3 Volume des enroulements

Vcup m3 Volume de l’enroulement primaire

Vcus m3 Volume de l’enroulement secondaire

Vfe m3 Volume du noyau

W J Energie

We J Energie électrostatique totale

Wm J Energie magnétique

Wmair J Energie magnétique dans l’air

Wmairl J Energie magnétique dans l’air, modèle numérique 2D

Wmbobp J Energie magnétique dans la bobine primaire

Wmbobs J Energie magnétique dans la bobine secondaire

γ s Conductivité du cuivre

ε0 F/m Permittivité diélectrique

η - Rendement du transformateur


82

λcuve Jm-1

K-1

s-1

Conductivité thermique de la cuve

λhuile Jm-1

K-1

s-1

Conductivité thermique de l’huile

ρcu Ω m Résistivité du cuivre

φ T / m2

Flux magnétique

ω rad / s Pulsation

Wmbobpl J Energie magnétique dans la bobine primaire, modèle numérique 2D

Wmbobsl J Energie magnétique dans la bobine secondaire, modèle

numérique 2D

Wpc J Energie électrostatique entre le primaire et le noyau

Wpsg1 J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, côté

gauche, secondaire au nominal

Wpsd1 J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, côté droit,

secondaire au nominal

Wpsg2 J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, côté

gauche, primaire et secondaire au nominal.

Wpsd2 J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, côté droit,

primaire et secondaire au nominal

Wps3 J Energie électrostatique, entre le primaire et le secondaire, primaire

au nominal

Wss J Energie électrostatique entre les deux bobines secondaires

Wpch J Energie électrostatique entre le primaire et le noyau, sommets des

bobines

Wsch J Energie électrostatique entre le secondaire et le noyau, sommets et

base des bobines

We1 J Energie électrostatique, primaire au nominal

We2 J Energie électrostatique, secondaire au nominal

We3 J Energie électrostatique, primaire et secondaire au nominal

Wepc J Energie électrostatique entre le primaire et le noyau

Weps J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire

Wepcl J Energie électrostatique entre le primaire et le noyau, modèle

numérique 2D

Wepsl J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, modèle

numérique 2D


83

d. Bibliographie

Chatelain Jean, Traité d’électricité : Machines électriques, Lausanne : PPUR, 1989.

René Boite et Jacques Neirynck, Traité d’électricité : Théorie des réseaux de Kirchhoff,

Lausanne : PPUR, 1996.

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diagnostics, Trondheim: doctoral thesis, 2005.

Jan Havsager, Nysted Off-shore Windfarm, présentation power point, date inconnue.

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transformateurs de traction, présentation power point, 2001.

Stephan Meier, Tommy Kjellqvist, Staffan Norrga, Hans-Peter Nee, “Design

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European Conference on Power Electronics and Applications, 2009.

Sylvain Candolfi, le 19 janvier 2012, Québec.

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=5254890

Documents

Candolfi Rapport.pdf