Mathmatiques Devoir surveill n6 (4H) 1re S

La calculatrice est autorise selon la lgislation en vigueur.La clart du raisonnement, des explications, de la qualit de la rdaction ainsi que d'un soucis de recherche seront valoriss lors de la correction. Bon travail!

Exercice 1: (7 points)

Soit f une fonction rationnelle dfinie par f x = 2 x33 x2

x22 x3et C f est sa courbe reprsentative dans un

repre orthogonal.1. Dterminer l'ensemble de dfinition D f de la fonction f .2. Montrer qu'il existe quatre rels a ,b , c et d tels que, pour tout xD f , on a

f x =a xb c xdx22 x3

.

3. Montrer que C f admet une asymptote oblique et tudier sa position relative par rapport C f .4. Dterminer les limites de f aux bornes de D f et en dduire l'existence d'asymptotes verticales ou

horizontales la courbe C f .

5. Montrer que la drive de la fonction f admet comme expression f ' x=2 x x1 x23 x9

x22 x32.

6. tudier le signe de f ' x et en dduire le tableau de variations de f .

Exercice 2: (3 points)

On considre la suite un dfinie par u0=0 et un1=2un3un4

pour tout entier naturel n et la suite vn ,

dfinie pour tout entier n par vn=un1un3

.

1. Donner la nature de la suite vn et prciser son premier terme ainsi que sa raison.2. Exprimer vn en fonction de n .3. En dduire un en fonction de n .

Exercice 3: (3 points)On considre les deux suites un et vn suivantes, dfinies pour tout n par:

un=32n4n3

2et vn=

32n4n32

1. Soit wn la suite dfinie par wn=unvn . Dmontrer que wn est gomtrique.2. Soit t n la suite dfinie par t n=unvn . Dmontrer que t n est arithmtique.

3. Dmontrer que un=12wnt n .

4. Exprimer la somme suivante en fonction de n : Sn=unu1...un .

Exercice 4: (4,5 points)Soit ABC un triangle quelconque. A tout rel m , on associe le point Gm barycentre de A ,2 ; B ,m et C ,m .On appelle O le milieu de [BC].

1. Dmontrer que lorsque m dcrit , le lieu de Gm est une droite que vous prciserez.2. a) Construire G2 et G2 .

b) On suppose que m est diffrent de 2 et de -2. Soit Gm un point distinct de A, G2 et G2 . Dmontrer que BGm coupe AC en un point I et que CGm coupe AB en un point J.

3. Dans le repre A ,AB ,AC , calculer en fonction de m les coordonnes de I et de J.4. En dduire l'alignement des points O, I et J.

T.Pautrel - Devoir surveill n6 - niveau 1re S

Exercice 5: (3,5 points)

Dans le cube ABCDEFGH d'arte a , on considre les points I et J tels

que FI=23FE et FJ=23

FG , O centre du cube et Q centre du

carr EFGH. (IJ) coupe (FH) en un point K.

1. Montrer que FK=13FH .

2. Montrer que (DF) est scante au plan (BIJ) en un point T.3. a) Tracer en vraie grandeur la section du cube par le plan (DBF)

et y placer les points O et K. Construire les points L et M tels

que KL=13FH et BM =13

BD .

b) Montrer que FT= 14FD .

Exercice 6: (3,5 points)En informatique, on appelle octet une suite de huit chiffre, pris dans l'ensemble {0;1}.Par exemple, 01001110 et 10000110 sont des octets.

1. Combien peut-on former d'octets diffrents?2. On crit au hasard un octet.

a) Calculer la probabilit des vnements A et B suivants:A: l'octet contient 1 aux deux premires places B: l'octet se termine par 0 .

b) Calculer la probabilit de l'vnement A ou B.

Exercice 7: (2,5 points)Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant sur la copie.La loi de probabilit d'une variable alatoire X est dfinie par le tableau suivant:x i 0 1 2 3 4p i 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,06251. p 0X3=0,9375 .2. p X2=p X2 .3. L'esprance de X est gale 2.4. La variance de X est gale 1.5. L'cart-type de X est gal 0,5.

Exercice 8: (3 points)Soit O; i ;j un repre orthonorm direct du plan. Pour tout rel t , on considre A, B et C de coordonnes

polaires A[1 ; t ] , B [1 ; t 23] et C [1 ; t 43

] par rapport l'axe polaire O; i .

1. Dterminer les coordonnes cartsiennes de A, B et C en fonction de cos t et de sin t .2. Montrer que O est le centre de gravit du triangle ABC.3. Dterminer la nature du triangle ABC.

BONUS (1 pt):Rsoudre dans l'quation suivante:

2cos x3cos x3=0

T.Pautrel - Devoir surveill n6 - niveau 1re S