cas.ensmp.frcas.ensmp.fr/Theses/Theses_PDF/1992_Alaoui.pdf · THÈSE présentée à L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES MINES DE PARIS par Abdelkamel ALAOUI EL AZHER pour obtenir le

THÈSE

présentée à

L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES MINES DE PARIS

par

Abdelkamel ALAOUI EL AZHER

pour obtenir le ti tre de

DOCTEUR DE L'ÉCOLE DES MINES DE PARIS

Spécialité:

MATHÉMATIQUES ET AUTOMATIQUE

Sujet de la thèse:

, ,IDENTIFICATION DES SYSTEMES A DEUX

,ECHELLES DE TEMPS

ET APPLICATION AU CHAUFFAGE

OPTIMAL DE BÂTIMENTS

soutenue le 27 novembre 1992 devant le jury composé de :

MM. Jean-Paul MARMORAT

Alain BARRAUDJean-Pierre QUADRAT

François CHAPLAISGuy COHENPierre-Gilles LEMARIÉAlain MARTI

Président

RapporteurRapporteur

ExaminateurExaminateurExaminateurExaminateur

à mes parents

Remerciements

Je tiens à remercier Monsieur Guy Cohen pour la chance qu'il m'a donnée en m'accueillantau centre Automatique et Systèmes, voilà quatre ans.

Je remercie Monsieur Jean Paul Marmorat de me faire l'honneur de présider le jury.

Je remercie Messieurs Jean Pierre Quadrat et Alain Barraud d'avoir accepté d'être rappOl"teurs de cette thèse.

Je remercie Monsieur Pierre Gilles Lemarié de participer au jury.

Je remercie Electricité de France qui a financé une partie importante de ce travail et toutparticulièrement Messieurs Jacky Pichot et Alain Marti qui m'ont appOl"té, au début et toutau long de cette préparation, leurs connaissance en thermique et les informations concernantl'évolution des modèles mis au point notamment avec Jean Paul Rignac que je remercie également. Je remercie aussi Monsieur Bernard Clemençon pour ses remarques sur le manuscrit.

Je remercie Monsieur François Chaplais, mon directeur de thèse, qui m'a beaucoup appriset qui, par les nombreuses et fructueuses discussions que l'on a eues ensemble, m'a permis deconstruire les fondements de ce travail.

Je remercie Madame Christine Sneed-Colard pour l'aide precieuse qu'elle m'a apportéepour l'évaluation des performances numériques de la commande optimale calculée à l'aide desmodèles identifiés.

Je remercie Monsieur Pierre Carpentier pour ses riches et pratiques conseils en informatiqueet pour sa grande disponibilité.

Je remercie Messieurs Jean Christophe Culioli et Jean Lévine pour leurs papiers dans laLettre de l'Automatique et pour leur bonne humeur communicative.

A tous les autres collègues du centre Automatique et Systèmes, je dis, pour de nombreusesraisons qu'ils sauront deviner, un grand Merci.

Résumé

Ce travail a pour but de proposer une nouvelle approche pour l'identification des systèmesà deux échelles de temps, dite par décomposition lent rapide.

Nous commençons par montrer que le problème d'identification des systèmes à deux échellesde temps par la méthode des moindres carrés est mal conditionné.

La nouvelle approche consiste, après filtrage, à identifier par la méthode des moindres carrésles dynamiques lentes et rapides dans leurs échelles de temps respectives, sous une contraintede continuité dans les fréquences intermédiaires.

Deux résultats importants sont donnés :

• le premier concerne la convergence des paramètres donnés par la nouvelle approche versles paramètres exacts, sous des hypothèses simples sur les filtres utilisés pour la décomposition;

• le second concerne la continui té en zéro de la solution donnée par la nouvelle approche,par rapport à une perturbation de l'équation du système.

Quelques essais numériques donnés dans la suite mettent en évidence la supériorité de cettenouvelle approche par rapport à la méthode des moindres carrés, du point de vue des précisionssur les estimés des paramètres, quand les deux échelles, de temps sont bien distinctes et que lesdonnées d'entrée sortie sont tronquées.

La dernière partie est consacrée à l'étude en simulation du tandem identification et commande optimale du chauffage de bâtiments. Deux résultats importants en ressortent:

• les performances de la commande calculée à l'aide des paramètres estimés par décomposition lent rapide sont supérieures à celles de la commande calculée à l'aide de paramètresestimés par la méthode des moindres carrés;

• la perte d'optimalité dÙe à l'utilisation de paramètres estimés par la méthode par décomposition lent rapide (au lieu des paramètres exacts) est marginale.

Abstract

The aim of this thesis is to propose a new approach to two time scale system identification,called slow fast decomposition.

In the first part, we show that the least squares identification method applied to two timescale systems leads to an iII-conditionned problem.

In the second part, we describe the new approach. It consists in identifying, after filtering,the slow and fast dyna.mics in their own time scale with the least squares method, under acontinuity constraint in intermediary frequencies.

With this approach, we get two important results:

• the estimated parameters converge to the true values, under simple hypothesis on thefilters used for decomposition,

• the solution is continuous at zero in perturbations on the system equation.

Sorne numerical experiments given in the third part emphazise the superiority of the newapproach on the least squares method from the point of view of the precision on the estimatedparameters, when the two time scales are distinct enough and the input and output data aretruncated.

The last part treats, in simulation, of the combination of identification and optimal controlof heating systems. We put in evidence two inportant facts:

• the optimal control based on the estimated parameters given by the slow fast decomposition identification approach gives better results than the one based on the least squaresparameters estimates,

• the optimality 108S due to the use of the estimatecl parameters given by slow fast c1ecomposition identification approach (instead of the true values) is marginal.

Table des matières

Introduction 1

1

II

III

Cadre de l'étude et rappels1.1 Introduction .1. 2 Systèmes à deux échelles de temps1.3 Présentation du système thermique1.4 Gestion optimale du chauffage.1.5 Problème d'identification

1.5.1 Rappels .1.5.2 Le problème . . . . .

1.6 Couplage Commande-Identification.

Conditionnelilent du problème de départILl Introduction.......11.2 Présentation du système.II. 3 Type d'entrées nécessaires11.4 Conditionnement .....

II.4.1 Résultats préliminairesII.4.2 Conditionnement du critère d'identification

11.5 Conclusion....................

Nouvelle approche d'identification et propriétésIII.1 Introduction .III. 2 Exposé heuristique du problème.III.3 Procédure d'identification . . . .

III.3.1 Paramétrisation ....III.3.2 Filtrage et calcul du critèreIII.3.3 Problème d'optimisation.

IIIA Convergence des paramètres .HIA.1 Introduction .III.4.2 Rappels..........III.4.3 Convergence de la partie rapide.III.4.4 Convergence de la partie lenteIII.4.5 L'écart IIx#(c) - x#1I .III.4.6 Conclusion .

III. 5 Sensibilité de la solution donnée par la nouvelle approche.

1

5556

1012121212

1313131516171922

232324252527293030313237414445

Il

III.5.1 Introduction .III.5.2 Écriture du critère . . .III.5.3 Résultats préliminairesIII.5.4 Majoration de l'écart Ilx#(Iô,O) - x#(Iô,cp)11

III.6 Conclusion .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Table des matières

4545464751

IV

V

Essais numériques liés à l'identificationIV.1 Introduction .IV.2 Conditions d'expérimentation .IV.3 Méthode des moindres carrés .

IV.3.1 Bonne précision sur les données.IV.3.2 Troncature de la sortie .

IV.3.2.1 Opérateur retard .IV.3.2.2 Opérateur aux différences

IV.3.3 Conclusion .IV A Méthode par décomposition lent rapide. .

IV.4.1 Exemple de la fonction de transfert fuIVA.l.1 Décomposition avec un filtre rationne!IVA.l.2 Décomposition à l'aide de passe bandes idéaux

IVA.2 Exemple de la fonction de transfert fhIV04.3 Conclusions....

IV.5 Conclusions et perspectives . . . . .

Couplage avec la commande optimaleV.1 Présentation .V.2 Principe des tests de couplage .V.3 Réflexions sur l'initialisation du processus en pratique

V.3.1 Identification libre .....V.3.2 Identification en occupation

V.4 Essais numériques .V.4.1 Introduction .VA.2 Sensibilité de la commande vis-à-vis des paramètresVA.3 Sensibilité de la commande vis-à-vis de l'horizon

d'identification .VAA Cas d'une identification classique .

VA.4.1 Résultats de l'identification .VA.4.2 Commandes optimales correspondantes.V0404.3 Conclusions................

VA.5 Validation numérique du tandem identification commandeVA.5.1 Introduction .VA.5.2 Signaux choisis et préfiltrage .VA.5.3 Filtrage pour la décomposition lent-rapideVA.5A Résultats de l'identification .VA.5.5 Calcul de la nouvelle commande et comparaison des

performancesVA.6 Conclusions .

53535454545556585960616162636465

676770707172727273

74777778798282828383

8486

Table des matières ]JI

V.5 Conclusions 87

Conclusions

Annexes

88

91

A

B

C

D

E

F

Cas de plusieurs sous-systèmes rapidesA.1 Présentation .A.2 Écriture du problème .

Note: Historique de l'identification d'une enceinte à E.D.F.B.1 Début des études sur l'identification à El1

B.1.1 Présentation...........B.1.2 Résultats des essais .

B.1.2.1 Cas d'un modèle d'ordre 1B.1.2.2 Cas d'un modèle d'ordre 2

B.1.3 Que remettre en cause?B.2 Préétude .

B.2.1 Présentation .B.2.2 Exploitation et Résultats des essais.

B.2.2.1 Étude du transfert Pur.~:~ce .B.2.2.2 Étude du système global : (pur.~:~ce' ~;~:, I~i~~/)

B.2.3 Conclusions' .

Rappels sur les filtres utilisésC.1 Introduction et motivationsC.2 Moyennes .C.3 Filtres rationnels .CA Filtres issus de la TDF : Cas simpleC.5 Filtres issus de la TDF : Cas généralC.6 Conclusions .

Rappels: Cas des moindres carrés non-déterministe

Résolution par décomposition coordinationE.1 Rappels: principe du problème auxiliaireE.2 Cas d'un critère additif .

E.2.1 La prédiction . .E.2.2 Les prix (Uzawa)E.2.3 Remarques ....

E.3 Identification du système thermiqueEA Conclusion sur la mise eil œuvre . .

Quelques remarques sur l'étude du conditionnementF.1 Introduction .F.2 Principe . . . . . . . . . . . .F.3 Précisions absolue et relative

919192

95959596969696979798989898

101101101102103103105

107

111111112112113113114115

117117117118

IV

FAF.5

Minoration de l'erreur absolue.Conclusions . . .. . . . . . . .

Table des matières

119121

G Signaux Utilisés pour le couplage Identification Commande

Bibliographie

123

138

Introduction

Motivations

À l'origine de ce travail, se trouve l'étude du contrôle optimal du chauffage de bâtimentspar des convecteurs électriques. Le comportement thermique de ces bâtiments, qu'ila fallu identifier pour la mise en œuvre d'une commande optimale de type indirecte,présente la spécificité suivante : il met en jeu deux types de dynamiques, la première,lente, correspond à l'inertie des murs et la seconde, rapide -par rapport à la premièrecorrespond à l'inertie de l'air et du mobilier léger.

Ce type de spécificité correspond à une propriété des systèmes à deux échelles de .temps. Généralement, pour le contrôle de ce type de systèmes on fait appel à la méthodedes perturbations singulières, comme on peut le voir dans [23] et [8].

Le problème de la commande optimale est construit autour d'un modèle d'étatd'ordre 2 (voir [46] et [13]) qui représente l'ensemble de la dynamique du système: c'estune commande multi-échelles de temps. Cette optimisation tend à fournir une commanderespectant des contraintes de fonctionnement (tarif de l'électricité, puissances souscrites)aux coûts et inconforts minimaux. L'inconfort porte sur la température de l'air (elle doitrester supérieure àune température de consigne).

L'application du principe des perturbations singulières dans le présent cas, rend impossible la maîtrise de la contrainte de confort sur la température de l'air. De plus, lespremières simulations effectuées sur le logiciel qui calcule la commande optimale ont montré une très grande sensibilité de performances de la commande vis-à-vis de ceux de laméthode d'identification utilisée pour estimer les paramètres du système ~et plus précisément vis-à-vis des précisions sur les paramètres propres à chacune des deux dynamiques(principalement les pôles et les zéros). De plus, dans certaines plages fixées principalement par les paramètres locaux du convecteur, la nature de l'inertie du bâtiment et par lapériodicité du fonctionnement, la commande optimale est très sensible aux constantes detemps du bâtiment. Par conséquent la mise en œuvre de cette commande nécessite unebonne estimation des paramètres associés à chacune des deux dynamiques en présence.

De plus, les tentatives qui ont été menées au groupe tertiaire et projet du départementApplication de l'électricité d'Électricité de France, pour estimer les constantes de tempsdu bâtiment et qui étaient basées principalement sur la méthode des moindres carrés,n'ont pas permis d'obtenir de bons résultats.

1

2

Objectifs

Le but de ce travail est de proposer une nouvelle méthode d'identification pour répondreaux deux objectifs suivants:

• Montrer que dans les conditions idéales (concernant l'excitation, l'échantillonnagedes données, durée de l'horizon, etc), on obtient de bonnes estimations des paramètres associés aux dynamiques lente et rapide du système (zéros, pôles). Deuxréférences numériques seront considérées:

les performances de la méthode des moindres carrés appliquée à l'identificationde systèmes à deux échelles de temps,

les performances de la même méthode lorsque le système à identifier est à uneéchelle de temps.

• Montrer que dans les conditions de fonctionnement optimales (puissance de chauffeoptimale et météo telle qu'elle est donnée par les services de Météo France), les résultats donnés par cette nouvelle méthode n'entraînent qu'une détérioration marginaledes performances de la commande optimale par rapport à celle calculée à partir desparamètres (supposés connus) du modèle exact.

Plan

Dans le chapitre l, nous présenterons le système thermique qui est à l'origine de cetteétude, et nous en donnerons un modèle qui sera utilisé tout au long de ce mémoire. Nousprésenterons aussi le problème d'optimisation de la commande et nous expliquerons, defaçon sommaire, pourquoi il est nécessaire d'effectuer une bonne estimation de certainsparamètres du modèle représentant le comportement thermique du bâtiment.Les études faites sur l'identification au groupe tertiaire et projet du département Application de l'électricité d'Électricité de France sont rappelées dans l'annexe B.

Dans le chapitre II, nous allons montrer que dans le cas de systèmes à deux échellesde temps, le problème d'identification des moindres carrés est mal conditionné -du faitde la structure de sa dynamique- indépendamment du choix de l'excitation et des filtres.Ce mauvais conditionnement rend insuffisante la minimisation du critère des moindrescarrés (somme quadratique de l'erreur de prédiction sur un horizon donné) pour donnerde bonnes précisions relatives sur les paramètres du modèle à identifier.

Dans le chapitre III, nous présenterons une nouvelle approche pour estimer les paramètres d'un système à deux échelles de temps en effectuant au préalable une séparation desdeux échelles de temps à l'aide de deux filtres (passe-bas et passe-haut) et en formantdeux critères, chacun associé à l'une des deux dynamiques en présence. On montrera laconvergence des paramètres obtenus par cette méthode vers ceux du système de départquand le rapport d'échelle entre dynamique lente et rapide tend vers zéro.Par la suite, nous allons voir que si l'on introduit une perturbation dans le modèle àidentifier, alors la solution donnée par la méthode par décomposition lent rapide variecontinuement en fonction de la perturbation au voisinage de zéro.

3

Dans le chapitre IV, nous donnerons quelques résultats numériques obtenus en simulation pour illustrer sur des cas précis de systèmes mono-entrée mono-sortie les mauvaisesestimations obtenues à l'aide de la méthode des moindres carrés d'une part, et d'autrepart l'amélioration constatée avec la nouvelle approche définie dans le chapitre III. On ytrouvera en particulier un tableau de résultats comparatifs. On verra aussi que les performances numériques de la méthode par décomposition lent rapide pOUl' l'identification dessystèmes à deux échelles de temps sont comparables à ceux qui sont obtenus à l'aide dela méthode des moindres carrés lorsque le système à identifier est à une échelle de temps.

Dans le chapitre V, nous donnerons des résultats numériques sur le tandem identification commande optimale dans les conditions normales de fonctionnement, c'est-à-direque les signaux utilisés pour l'identification du système sont issus d'une commande optimale (puissance de chauffage) et d'une météo (température extérieure et ensoleillement)donnée par Méteo France.. Nous allons aussi effectuer une comparaison entre les commandes optimales calculées à l'aide d'estimations des paramètres issues, d'une part, de laméthode des moindres carrés classique et d'autre part, de la méthode par décompositionlent rapjde.De plus,on a donné quelques pistes pour l'initialisation du processus en pratique dans lecas de bâtiments occupés ou libres.Dans l'annexe E, nous avons donné quelques éléments sUl' les méthodes de résolution(par décomposition coordination) utilisées, et pour la mise en équation dans le cas multientrées.

Chapitre 1

Cadre de l'étude et rappels

1.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons définir ce que l'on entend par système linéaire à deuxéchelles de temps. Ensuite nous présenterons le système thermique qui est à l'origine detoute cette étude. Nous expliquerons en particulier, de façon sommaire, pourquoi il estnécessaire d'effectuer une bonne estimation de certains paramètres du modèle représentantle comportement thermique du bâtiment.Nous rappelerons aussi les études faites sur l'identification au groupe tertiaire et projet dudépartement Application de l'électricité d'Électricité de France. Enfin nous présenterons,dans la section lA, le problème d'optimisation de la commande.

1.2 Systèmes à deux échelles de temps

Définition 1.1 (Système à deux échelles de temps) Soit (S) un système linéaire donné par sa fonction de transfert continue f(s). (S) sera dit à deux échelles de temps si, etseulement si, f(s) peut s'écrire sous la forme d'un produit de deux fonctions de transfert

f,(!-) et fr( s) où c, qui est appelé rapport d'échelles, est un réel positif très faible devantc

l'unité. fr (s) et fl( a) opérent dans la même bande fréquentielle.

Remarque 1.1 Si l'on prend une fréquence s d'ordre 1 alors, pour c tendant vers zéro,on a f(s) "':J ft(oo)fr(s); si l'on prend une fréquence (faible) s sous forme ca, où a estd'ordre 1, alors pour c tendant vers zéro, on a f(s) "':J fl(a)fr(O).fl( 00) et fr(O) sont respectivement les gains hautes fréquences du système lent donnépar la fonction de transfert ft( a), et basses fréquences du système rapide, donné par lafonction de transfert fr(s).

Exemple 1.1 (Cas d'un système d'ordre 2) Dans ce cas, cela se traduit par le faitque les deux pôles du système sont très différents: leur rapport est d'ordre c. On peutainsi écrire la fonction de transfert d'un tel système sous la forme:

fs- as+bc() - (s+SJl(S+S2 c)

5

6 Chap. 1. Cadre de l'étude et rappels

en considérant le cas d'un "zéro lent". Le pôle S2ê sera dit pôle lent et correspondra à ladynamique lente et le pôle S) sera dit pôle rapide et correspondra à la dynamique rapide.

De plus, on a : /r(S) =~ et ft(êS) = KI as +bê. K étant un réel positif quelconque.S + S) S +S2ê

Remarque 1.2 Sur cet exemple d'ordre deux, on peut voir que si l'on décompose lafonction de transfert /(s) en élément simple, ir se produit une "dispersion" des informations concernant le gain statique 9 et le zéro êSo. Le premier, qui ne doit a prioriconcerner que la composante lente du système, devient la somme des gains statiques desdeux éléments simples. Le second, qui ne doit, lui non plus, concerner que la composantelente du système, devient une relation qui dépend des paramètres des deux fractions rationnelles. On ne peut alors pas parler de fonction de transfert associée à la composantelente, respectivement rapide, du système.

/(S) = A(ê) + .B(ê)S + S) ; + S2

A(ê) B(ê)9=-+--

S) S2

A(ê)S2 +B(ê)S)

êSo = ê A(ê) +êB(ê)

Cette dispersion dé l'information concernant le numérateur de /(s) reste valable si l'onconsidère des système d'ordres plus élevés.

1.3 Présentation du système thermique

Dans cette étude, il s'agit de mettre en place un processus de chauffage optimal d'une cellule isolée, un bureau ou une pièce par exemple, dont le comportementthermique est assimilé à un système linéaire d'ordre 2, ayant 3 entrées (la commande (lapuissance de chauffage) et deux entrées non commandées: la température extérieure etl'ensoleillement), et une sortie (la température de l'air).Cette représentation en modèle linéaire d'ordre deux provient d'un modèle "analogique"donné par la figure 1.1. Il découle, par de nombreuses simplifications, du système d'équationsaux dérivées partielles exprimant les lois de la physique qui régissent les phénomènes dediffusion et de convection de la chaleur dans une enceinte soumise à l'action de la température extérieure, de l'ensoleillement et de la puissance de chauffe délivrée par un convecteurélectrique. On peut se référer à [27J pour plus de détails.

1.3. Présentation du système thermique

Rf

7

Tex L...-....J

(1-a)lrCs

1

Ci

aJr

Figure 1.1: Modèle analogique décrivant le comportement thermique d'un bâtiment

cr est le coefficient de renouvellement d'air, Rf, f4J, et sont des résistances thermiqueset C, et C; sont des capacités. T,x, T,t, T"" IT> q étant repectivement la températureextérieure, la température de structure, la température résultante, l'ensolei11ement et lapuissance de chauffe.

La commande est faite de façon indirecte, elle comporte deux étapes:

• Estimation des paramètres d'un modèle de comportement de la cellule;

• Calcul de la commande sur un horizon donné dans le respect d'un certain nombrede contraintes de confort et de fonctionnement.

Le système thermique entre dans le cadre de la définition donnée ci-dessus : : lerapport des deux constantes de temps T, et T2, !J.. = ê où ê est petit par rapport à l.

"Cela se traduit en plus dans le cas présent par la possibilité d'écrire les trois fonctionsde transferts qui interviennent dans l'équation (1.1) sous la forme du produit de deuxtransferts d'ordre 1, le premier lent' et propre et le second rapide. L'écriture en fonctions

IOn parlera de transfert -ou de dynamique- lent quand il correspond à des pôles lents relativementaux autres J qui seront dits rapides et associés au transfert ou à la dynamique rapide.


de transfert continues suivante permet de le représenter simplement:

{

'Tl et 'T2 sont les constantes de tempsoù : 'Tex" 'Tq et 'T.ol sont les inverses des zéros

gext, gq et 9.01 sont les gains statiques des trois fonctions de transfert.

Remarque 1.3 On rencontre trois types de bâtiments:

• Les bâtiments légers;

• Les bâtiments moyens;

• Les bâtiments lourds.

(1.1)

Ils se distinguent principalement par les rapports é entre petite et grande constante detemps. Dans la figure 1.2, on a représenté les constantes de temps et les zéros correspondant à trois bâtiments (moyen, léger et lourd) issus du catalogue [19]. Tl, T2 , Ta, T4 , Tsétant respectivement 72, Tl) 7 q , Text, Tsol.

1.3. Présentation du système thermique

1000 secondes

9

10.

""r--r-----~----------t----~----r___o ""'13--

14---T5·.......·

TInO .. ·..11-'-'

....

---_/

5.00_

0.00_

1

_ nO _u _

_.--_.- ---'-

"-----._- ---._------

leger moyen lourd

Figure 1.2: Constantes de temps et zéros (en secondes) de trois bâtiments léger(CS4FAI25), moyen (CS4MüY25) et lourd (CS4FüR25)


lA Gestion optimale du chauffage

L'optimisation tend à fournir une commande respectant des contraintes de fonctionnement (tarif de l'électricité,- puissances souscrites) aux coût et inconfort minimaux.L'inconfort porte sur la température de l'air (elle doit rester supérieure à une températurede consigne).

Le problème de minimisation correspondant s'écrit de la façon suivante:

min foT c(t)u(t)dtu

dd~ = AX + BU(t)Um;n(t) =:; urt) =:; Umax(t)Y(t) = CX(t) +DU(t)

Y,,,;,,(t) =:; Y(t) =:; Y,,,aAt)

où

dXdt

Y(t)

=

=

AX + BU(t)

CX(t) +DU(t)

est une représentation d'état d'ordre deux du système et avec les notations suivantes:

U(t) = variables d'entrées

Y(t)

[O,T] =

c(t)Uma.(t)

X(t)

U,(t) = u(t) = puissance de fonctionnement (commande)

U,(t) = t.empérature extérieure

U3 (t) = ensoleillement

prix des puissances de fonctionnement

= puissances souscrites

vecteur d'état

XI (t) = températ.ure de st.ructure

X,(t) = température de l'air

variable de sortie (t.empérature résult.ante)

horizon de calcul de la commande

Le problème de la commande optimale a été construit autour d'un modèle d'étatd'ordre 2 (voir [46] et [13]) qui représente l'ensemble de la dynamique du système: c'estune commande multi-échelles de temps. De plus la contrainte de confort porte sur latempérature de l'air qui correspond à la dynamique rapide2

• Le bon calcul de cette commande nécessite par conséquent une bonne estimation des deux dynamiques en présence.Dans [3] où l'on fait d'une part une étude -non exhaustivede la sensibilité de la commande vis-à-vis des paramètres3 et l'analyse de l'effet d'une sous-estimation de la grandeconstante de temps sur les performances de la commande de l'autre, on voit que la

2Par opposition à la températ,ure de strudure qui correspond à la dynamique lente.3La commande opt.imale est calculée avec un modèle estimé issu de l'identification puis simulé sur le

modèle vrai ponr évaluer les performances de la dite commande.

1.4. Gestion optimale du chauffage 11

commande optimale sur un horizon significatif (de quelques jours) est effectivementtrès sensible à certains paramètres, dits physiques, et qui sont mis en évidence parl'écriture LI ci-dessus.

Remarque 1.4 (tarif) Le tarif de l'électricité utilisé pour la mise en œuvre de la commande optimale présentée ci-dessus est variable sur une journée d'hiver. La présence detrois postes tarifaires entraThe une plus grande différence entre les performances de lacommande optimale et une commande de type heuristique, en particulier parce que l'oncontinue à réguler en période de pointe (voir figure 1.3).

Prix

1.10

\.00

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0040

0.00 5.00

Tarif

-

10.00 15.00 heures

Figure 1.3: Prix en francs du kilowatt-heure sur un jour ouvré d'hiver


1.5 Problème d'identification

1.5.1 Rappels

Lors des premières tentatives d'identification de ce système thermique, qui ont eu lieuau groupe tertiaire du département Application de l'électricité Bâtiments d'Électricitéde France, les responsables du groupe ont pu s'apercevoir sur le plan expérimental dela difficulté d'estimer correctement par la méthode des moindres carrés les constantes detemps de la dynamique du système, même lorsqu'on identifiait un modèle réduit d'ordreun pour tenter d'estimer la petite constante de temps.Les éléments relatifs à ces essais sont résumés dans [1] et reproduits dans l'annexe B.

1.5.2 Le problème

À partir de la donnée d'une séquence d'entrées-sortie issus du système, le problèmeest de calculer les meilleurs estimés des paramètres des fonctions de transfert définissantle système.

1.6 Couplage Commande-Identification

Une fois l'identification effectuée, on se sert des paramètres estimés pour déterminerune forme d'état compagnon de type observateur qui sera utilisée pour l'optimisation dela commande. Cette forme observateur est donnée par l'équation (V.3) de la page 68.Cette actualisation des paramètres pouvant intervenir aussi fréquemment que nécessaire.

De plus, dès la mise en œuvre du premier logiciel de commande optimale, des tests desensibilité sur les paramètres faisaient apparaître une grande dépendance des performancesde la dite commande vis-à-vis des constantes de temps.

Chapitre II

Conditionnement du problème dedépart

ILl Introduction

L'identifiabilité d'une dynamique donnée nécessite qu'elle soit sollicitée par une excitation adéquate qui puisse la mettre en évidence. S'il est formellement et théoriquement([34], 362) vrai que deux sinusoïdes de fréquences distinctes suffisent pour identifier complètement les paramètres d'un système d'ordre 2 défini par la donnée de 4 paramètres, iln'empêche que la qualité de cette identification décroit assez vite quand l'une ou l'autredes fréquences choisies est très éloignée des pôles du système à identifier. On a alorsune détérioration du conditionnement du problème d'identification. Un autre cas où ceconditionnement est affecté est celui oÙ les deux fréquences sont prises très voisines l'unede l'autre puisque tout se passe en pratique comme si on avait qu'une unique sinusoïde.Très souvent ce genre de problème est éliminé en choisissant comme excitation des signaux suffisamment riches, persistants, par rapport à l'idée qu'on se fait de la dynamiqueà identifier. Cela revient, dans le cas des moindres carrés, à améliorer le conditionnementdu problème de minimisation associé au problème d'identification. Nous allons montrerque cela n'est pas possible l dans le cas des systèmes à deux échelles de temps à cause desexigences contradictoires des calculs d'erreurs en norme L 2 et norme infinie.

II.2 Présentation du système

(ILl )

Dans la suite, nous allons étudier ceux des systèmes dont la fonction de transfert en tempscontinu, pour un ordre 2 par exemple, peut s'écrire sous forme:

f as + bée(s) = (s +SI)(S +éS2)

où les a, b,SI,S2 sont du même ordre de grandeur et é est un réel très petit (é« 1).Pour un ordre quelconque, de façon générale:

(II.2)

1Non pas de choisir une excit.ation suffisamment riche, mais cl 'améliorer le condit.ionnement en agissantsur Pexcitatiol1.

13

14 Chap. II. Conditionnement du problème de départ

où Jr(s) est une fonction de transfert dans laquelle n'apparait pas le facteur d'échelle é,

elle correspondra à la dynamique dite normale, et ft(éS) est une fonction de transfert dontles pôles et zéros sont tous .de la forme éS. et correspondra à la dynamique dite lente.

On voit donc que les deux pôles sont très distincts, ce qui va nécessiter2 que le signalutilisé pour l'identification "couvre" les deux zones de fréquences concernées par la dynamique, à savoir en "1" et en 'le".Si u(t) est une telle excitation, elle pourra s'écrire sous la forme: u(t) = ul(d) +U2(t),le premier terme représentant la composante lente et le second, la composante normale.

Le problème d'identification de départ se pose de la façon suivante:

(11.3)

où z(t) est la sortie de l'équation de prédiction donnée par l'équation:

(HA)

où x le vecteur de paramètres à estimer et Z(t) le vecteur des observations (ou régressions)ayant pour composantes les dérivées successives de la sortie et des entrées.z(t) est la sortie issue du système à identifier. Elle est donné par l'équation:

z(t) = xTZ(t) +<pet) (11.5)

où <pet) est un bruit, de mesure par exemple.(On prendra une entrée u E HP et nulle aux bords.)Le problème donné en (IL3) devient, si on remplace z(t) par sa valeur donnée dansl'équation (HA) :

min fT (z(t) _ xTZ(t))2dt (11.6)x Jo

La présence de pôle et zéro petits pose un problème de précision relative:il faut en effet que les erreurs absolues sur certaines composantes du vecteurdes paramètres (celles où il y a un é en facteur) soient elles mêmes d'ordre é

pour permettre des erreurs relatives correctes.

Remarque 11.1 (Normes sup et L2) Appelons V2(t) = U2(t:t), alors on a les relationsévidentes suivantes liant les normes sup, respectivement P, de V2(t) et U2(t) :

II V21100 = lIu21100

1IIv211p = y'Ellu2l1LZ

2 Mais sera-ce suffisant?

II.3. Type d'entrées nécessaires 15

.II.3 Type cl 'entrées nécessaires

Pour pouvoir mettre en évidence la dynamique du système dans les deux échelles de temps(lente et rapide), il est nécessaire que l'entrée utilisée puisse "exciter" ces deux bandes defréquences. Ceci nous amène à considérer une entrée du type:

(11.7)

UI(t) et U2(tt) étant respectivement les entrées normale (rapide) et lente. En effet les

dérivées respectives de ces deux signaux sont: ~UI(t) et ~U2(tt) = ê d~tU2(tt). Donc

si l'on a supposé u2(r) comparable à UI(t) au sens de la transformée de Fourier, alorsla dérivée de U2(tt) est en ê, très faible, ce qui correspondant à des variations lentes deU2( tt) en t.

Remarque II. 2 Pour la mise en œuvre, a sera pris égal à O. Cela est fait pour quela composante lente et la composante rapide de l'entrée ne soient ni l'une ni l'autrenégligeable en nOrme sup, sans quoi l'un des deux est perdu lors du calcul d'integration.

Exemple 11.1 Considérons l'entrée suivante: u(t) = e-b,t sin(alt) + e-b,<t sin(a2tt),bI, b2, al et a2 étant des réels strictement positifs.

La norme carrée de u est donnée par: lIulll, = faoo u2(t)dt.et on a :

22 al

IIUlliu = 4bl (b~ + ai)'

De plus si on appelle V2(t) = U2(tt), alors:

2

II V211l, = 4êb2(:~2+ aD'

et

2100 d 2ala2ê(bl +êb2)UI (t)V2 (t) t = -,-,-----~_____;c;------'-~~--'------::!.._____;;:----;-;--__,__,=

o ((al - W2)2 + (bl + e:b2)2)((al + W2)2 + (bl + êb2)2)

et s'annule pour ê = O. Par conséquent, si les ai d'une part et les b; d'autre part sont dumême ordre de grandeur, alors au voisinage de ê = a la norme carrée de u est équivalente

à IIv2111, et est donc en ~.ê

On montre que la norme de la dérivée de U s'écrit sous la forme: lIüllu = Ilülllu+O(ê).Plus exactement on a : IIV211 est en ~ et 2(ÜI' V2) est en ê.

Définissons la matrice de covariances Q34 par :

Q _ (11ü1l1' (ü, u) )34 - (u, ü) lIulll,

alors


et on constate que les valeurs propres sont l'une d'ordre ~ et l'autre d'ordre l, ce quidonne un conditionnement de Q34 d'ordre c. En effet:

implique l'existence d'une valeur propre d'ordre l, et

1, . t d' l ' . • 1eXls ence une va eur propre supeneure a -.c

Remarque II.3 Si 0: = ~ alors lIulli2 ;::;; lIullli2 + Ilvzlli2, mais lIülli, - IIÜIIIL2 +cZ"éIlVzllL2 +éZc"O(l) et u(t) ;::;; Ul(t).

Remarque lIA Si 0 ::; 0: < ~ alors lIulli2 ;::;; cZ"-llIvzllh mais u(t) ;::;; UI(t). L'entrée estrapide, mais en norme c'est la partie lente é"vz(t) qui est prépondérante.

Remarque II.5 Si ~ ::::: 0: alors lIul1i2 ;::;; IIull1i2 et u(t) ;::;; é"Vz(t). L'entrée est rapide.

En conclusion, On voit sur cet exempleque quelque soit la puissance 0:

choisie, il y a toujours des problèmes de conditionnement (norme L Z) ou detroncature (ilorme s~p); cela est dû à la différence entre norme sup et normeinfinie quand é est très petit.

Dans ce qui suit, on prendra 0: = O. Les signaux lents et rapides serontalors d'amplitude comparables.

II.4 Conditionnement

Nous allons généraliser les résultats de l'exemple 11.1 pour des entrées quelconques enprenant 0: nul Le conditionnement du problème d'identification est celui de la matrice

de covariances: Q = ~ loT Z(t)Z(t)Tdt. Il est égal au rapport de la plus grande valeur

propre sur la plus petite.Plus ce condi tionnement est élevé, moins bonnes sont les précisions sur les arguments àl'optimum (Un grand écart sur les arguments implique une très petite variation du critèreau voisinage de l'optimum).Dans cette section, nous allons montrer que1e conditionnement de cette matrice est d'ordre

~ quand le système que l'on cherche à identifier est à deux échelles de temps.é .

II.4. Conditionnement

lIA.1 Résultats préliminaires

Lemme ILl Soient U,(w) et U2(w) deux éléments de L 2 tels que .'

17

IU,(w)1 :s wn ,

IU2 (w)1 :s w- n,

pour Iwl:S Wc

1pour Iwl <': -

Wc

(IL8)

(11.9)

où Wc = "jE, n, > 0 et n2 > ~ alors l'intégrale 1100

U, (-w)U2(~)dwl peut être majorée2 -00 E

de la manière suivante .'

(11.10)

100 w

Preuve 1 Appelons r le terme 1 -00 U,(-w)U2(;)dw/, alors:

Et si on remplace Wc par d, on obtient:

(11.13)

Ce qui montre le résultat donné par J'équation (ILlO).

Les hypothèses faites sur n, et n2 servent à assurer J'exitence des intégrales r Iwnl l2dwJlwl~wo

et r In-n'1 2(tn. 0Jlol~~c

18 Chap. n. Conditionnement du problème de départ

Lemme n.2 Si de pins nI> ! et n2 > ~ alol's l'intégrale foo Ul(t)U2(Et)dt tend vers2 2 Jo

zéro quand 6 tend vers zéro :

(II.14)

Preuve 2 Le théorème de Parseval nous permet d'écrire:

fOO Ul(t)U2(6t)dt= ~joo U1 (-W)!U2t)dwJo 27f -00 6 6Donc, en utilisant le lemme précédant, on obtient:

faoo 1 (2J2;d(nd~) J2;d{n2 +t) )

J a ul(t)u2(E:t)dtl ::::: - lI u2(t)lIL' + 2 Il ul(t)lIL'627f v'2nl +1 v'2n2 - 1

2d(n,-t) d{2n2-3)

< J2; lI u2(t)lIL' +2J2; . lI ul(t) ilL'27fv'2nl +1 27fv'2n2 - 1

Le second membre de l'équation ci-dessus s'annule pour 6 = 0 pour nI > ~ et n2 > ~, ce

qui montre le résultat énoncé par l'équation (II.14). D

Remarque n.6 Pour bien voir la signification des hypothèses faites sur U1 (w) et U2(w),on peut considérer le cas extrème suivant:

• U1(w) = 0 pour IwJ ::::: Wc,

• U2(w) = 0 pour Iwl 2: wc;

Il correspond au cas où l'on a décomposé le signal u en Ul et U2 respectivement par unpasse-haut et un passe-bas idéaux.

Dans ce cas, on montre facilement que la quantité faoo Ul(t)U2(Et)dt est exactement égale

à zéro (en utilisant la relation (ILll)).Plus généralement, l'hypothèse 11.8 revient à dire que le signal rapide Ul est de moyenne

nulle, ce qui est normal pour un signal rapide. Et l'hypothèse II.9 revient à dire que lesignal U2 est suffisamment régulier, ce qui est normal pour un signal lent. On supposeraces hypothèses vérifiéees par la suite.

Remarque n.7 Si l'on veut passer du calcul asymptotique au calcul réel, on fait 6 = 1dans les hypothèses et résultats précédents.

Remarque n.s Dans la suite, toutes les quantités du type faoo xl(t)x2(Et)dt, où Xl et

X2 sont soit des entrées ou des dérivées d'entrées, soit des sorties ou des dérivées de sortie,seront notées invariablement 0(6), en sachant que la limite de 0(6) quand 6 tend vers 0vaut zéro.

lIA. Conditionnement

11.4.2 Conditionnement du critère d'identification

19

Toutes les notations qui seront utilisées dans cette partie sont identiques à celles duchapitre III, on peut donc s'y référer pour toutes précisions utiles.

Théorème 11.1 Si on prend une entrée u(t) sous la forme u(t) = UI(t) + U2(E:t) et siles transformées de Fourier de u, et de U2 vérifient les conditions du lemme 11.2, alors le

conditionnement de la matrice Q = ~ faT Z(t)Z(tfdt est d'ordre ~.

Preuve 3 Nous allons donner pour la matrice Q une décomposition sous la forme:

(II.15)

où les matrices R,.I et RI ont tous leurs termes d'ordre 1 (6°) en 6.Le terme générique de la matrice Q s'écrit:

1 !nTq;; = - Xi(t)Xj(t)dt = (Xl, Xj)T °

où Xi et Xj sont dans l'ensemble {u, y, Ù, y} (dans le cas d'un ordre supérieur à deux, onrajoute les dérivées suivantes pour l'entrée u et la sortie y jusqu'aux degrés adéquats).Les transformées de Fourier des signaux d'entrée et de sortie que l'on notera U(w) et Y(w)sont liées par la relation suivante:

Y(w) = F(w)U(w)

où F(w) décrit la dynamique du système et s'écrit:

(II.16)

w(II.17)F(w) = FI(-)Fr(w)

6

Avec

w ai"'- - b(II.1S)FI(-) e

6 "'- + iS2e

Fr(w)1

(II.19)= w + is,

où i est le complexe imaginaire pur W= -1).De plus, chacun cles signaux x/(t) peut être écrit sous la forme:

En effet, nous avons :

X;(t) = x)(t) + X~(6t) (11.20)

urt)d-urt)dt

u, +U2(E:t)

VI(t) +V2(E:t)

(11.21 )

(11.22)

20 Chap. n. Conditionnement du probleme de départ

{VI(t) = f,UI(t)

avec dv2(d) = é dot u2(d)

De plus, les équations (II.16) et (II.17) permettent d'écrire la transformée de Fourier dela sortie sous la forme:

avec:

1 WY(w) = W, (w) + -W2(-) +W3(é,W)

é é(II.23)

W,(W)1 W-W2(-)é é

W3 (é,W)

- FI(OO)FT(w)UI(w) (II.24)W 1 w

FT(O)FI( - )-U2(-) (II.25)é é é

w 1 w W(FT(w) - Fr (O))F,(-)-U2(-) + (F,(-) - F,(oo))FT(W)U,(W) (II.26)

é é é é

• FT(O) et F,(oo) sont des valeurs finies C~, et (l respectivement), comme on peut levoir sur les équations (II.1S) et (II.19).

• W, (w) est définie comme la transformée de Fourier d'une signal WI(t). De plus, ona les relations suivantes:

(II.27)

(II.2S)

(II.29)

ce qui montre que:

lw wl w 1IW3 (é,W)1 :s: é2"HIF,(- )-U2(-)1 +é(b - aS2)1-IIFT(w)U,(w) 1s, é é é é w

Le premier terme de cette dernière équation est négligeable devant la quantité

l~h(w)1 et le second est négligeable devant Ik(w)l. Ceci va nous permettre d'exclureé é

le terme W3(é, t) du calcul des éléments de la matrice R" pourvu que les autrestermes soient d'ordres prédominants en é.

• Le terme donné par l'équation (II.25) correspond, clairement, à un signal de typew2(d).

Donc y(t) et sa dérivée s'écrivent sous la forme donnée par l'équation (II.20).

L'écriture n.20, permet d'écrire le terme générique de la matrice Q sous laforlne :

% = (xHt), x}(t)) + (X~(ét), X;(ét)) + (xHt), x;(d)) + (X~(ét), x}(t)) (II.30)

En utilisant le lemme II.2 et les relations données par les équations (II.27) et (II.2S), onvérifie que :

• tous les termes de type (x~(ét),x;(d)) sont en Olé) (O(é) reste bornée quand éé

tend vers 0) si x; et Xj sont dans {'Il, y}.

lIA. Conditionnement

• tous les autres termes sont, au plus, d'ordre 0 en c.

21

Ce qui nous permet d'écrire la matrice Q, sous la forme donnée par l'équation (II.15),avec:

(11.31 )

ce qui donne encore après le changement de variable ct = r :

(11.32)

~RI est positive et a deux valeurs propres nulles et deux valeurs propres qui s'écriventc

/lI.2 '1· t t b' d t·1 '- ou es VI 2 l'es en ornes quan é elle vers zero.c '

Appelons v/, un vecteur propre de nonne unité de ~RI, et associé à la valeur proprec/lI

-, alorsc

ce qui implique

(II.33)

Le terme 1/R,.lvdl est d'ordre 1 ou d'ordre c, donc négligeable devant /lIl/vdl = /lI, auc c

voisinage de c = O. Ceci montre que I/Qvdl est minoré par une quantité d'ordre ~ et doncc

que la plus grande valeur propre de Q est, elle-même, au moins, d'ordre ~.c

Appelons kl , un vecteur de norme unité du noyau3 de ~RI, alors. c

IIQkdl1

< I/Rd kdl + II-Rlkdlc

< IIR",kdl

Le terme I/Rr /kdl est d'ordre 1 ou d'ordre c, donc la plus petite valeur propre de Q,qui minore I/Qk{311 pour tout k3 de norme 1, est au plus d'ordre L

En conclusion le rapport de la plus grande valeur propre de Q sur sa plus

petite valeur propre est d'ordre au moins ~, 0c

3k, s'écrit sous la forme (COS(Ii) 0 sin(K:) 0 )T, 011 t\. est lin réel quelconque.


Remarque 11.9 Nous n'avons pas effectué de traitement particulier sur les entrée-sortie(filtrage ou autre). En fait, même si c'était le cas, on aurait eu les mêmes problèmes deconditionnemment car l'estimation des paramètres conespondant aux deux échelles detemps aurait continué à se faire de façon globale et simultanée, par la minimisation d'ununique critère formé à l'aide des signaux filtrés. En particulier il n'aurait pas été possibled'effectuer la remise à échelle de l'une des deux dynamiques comme on le vena dans lechapitre suivant, à l'occasion de la présentation d'une nouvelle approche d'identificationdes systèmes à deux échelles de temps.

IL5 Conclusion

On vient de montrer que le conditionnement de la matrice des covariances associée auproblème d'identification par la méthode des moindres canés d'un système linéaire à deux

échelles de temps est d'ordre ~. Comme par ailleurs, c'est cette matrice des covariancesê

qui détermine la "qualité" des estimations des paramètres, on voit donc bien pourquoiles précisions relatives obtenues numériquement sur les paramètres sont d'autant plusmauvaises que le rapport des deux échelles de temps ê est voisin de zéro.

Dans le chapitre III, nous allons précisément nous occuper du cas ê petit et nousallons voir comment on peut, grâce à une nouvelle approche du problème d'identification,se ramener partiellement4 à l'idenfication de deux systèmes à une échelle de temps chacun,et éliminer ainsi le problème de conditionnement.

4Les deux problèmes d'identification à une échelle de temps associés à chacun des deux sous-systèmesseront liés par une contrainte de couplage.

Chapitre III

Nouvelle approche d'identificationet propriétés

III.1 Introduction

Nous avons vu au chapitre précédent que le problème d'identification des moindres carrésassocié à un système à deux échelles de temps était mal conditionné. Cela revient à direque la minimisation de la somme quadratique de l'erreur de prédiction sur un horizondonné (critère) ne permet pas d'estimer avec une bonne précision relative les paramètresdu modèle.

Nous verrons que la matrice des covariances Q étudiée dans le chapitre précédentn'aura plus le même rôle que dans la méthode des moindres carrés. Deux autres matrices,R et L, qui seront définies dans la section (III.4.5), associées à la dynamique rapide etla dynamique lente respectivement, définiront, en "association" avec une condition surl'écart entre les deux échelles de temps, la précision sur les paramètres de chacune desdeux échelles de temps (pôles et zéro).

Dans ce chapitre, nous allons présenter une nouvelle approche (par décomposition lentrapide) pour l'identification des systèmes linéaires à deux échelles de temps. Cette étudese fera dans le cas d'un système d'ordre deux.

Nous commencerons par un exposé heuristique visant à expliquer de manière simplel'idée de la nouvelle approche. Ensuite, on détaillera la procédure d'identification associéeà la méthode par décomposition lent rapide: paramétrisation, filtrage, calcul des critèreset problème d'optimisation.

Nous nous attaquerons ensuite à l'étude de la convergence des paramètres. Il s'agiraalors de montrer que la solution donnée par la méthode par décomposition lent rapidetend vers le vecteur des paramètres du système à identifier -qui sera supposé exact danstoute la section III.4- quand le facteur d'échelle (t:) tend vers zéro. Nous établirons enparticulier une majoration de l'écart entre ces deux valeurs.

Enfin, nous établirons dans la section III.5 un résultat de sensibilité de la solutiondonnée par la méthode d'identification par décomposition lent rapide vis-à-vis de certainesperturbations du système à identifier.

23

24

111.2

Chap. III. Nouvelle approche d'identification et propriétés

Exposé heuristique du problème

Le problème à résoudre est issu de l'étude du comportement du système dans troisdomaines particuliers de fréquences:

• basses fréquences coïncidant avec la dynamique lente du système j

• fréquences médianes: hautes par rapport à la dynamique lente et basses par rapportà la dynamique rapide j

• hautes fréquences coïncidant avec la dynamique rapide.

Sur la figure II!.l ci-dessous, sont représentés les lieux de Bode de la fonction detransfert de départ d'ordre 2 et de celles des deux systèmes d'ordre 1 lent et rapide. Onpeut y voir les trois domaines de fréquences en question.

pôle lent zéro lent

lent

11

pôle rapide

fréquence (Log)

IlFigure IIU: Lieux de Bode

rapide

Sur l'axe vertical, on a le gain: 20Iog(lf«iw)l) en décibel, où w est l'abscisse, f«s)la fonction de transfert continue donnée par l'équation (II!.2) et i le complexe imaginaireW= -1).

La nouvelle approche qui sera dite "par décomposition lent rapide" est basée sur l'idéesuivante:

Faire coïncider le comportement global du système avec un systèmed'ordre 1 dans chacune des deux bandes' de fréquences, rapide etlente, chacune dans sa propre échelle de temps en respectant unecontinuité du comportement dans la bande intermédiaire.

111.3. Procédure d'identification

Cela se traduit, si on se place dans le domaine temporelle, par un problème du type:

25

mm JT(XT) + J/(XI)XI, X r

C(Xr, XI) = 0

(IIU)

• où Jr(xr) et J,(x,) sont les critères -quadratiques- associés respectivement aux soussystèmes l rapide et lent dans leurs échelles de temps respectives;

• et C(xr, XI) = 0 est la contrainte traduisant la continuité dans la bande intermédiaireet qui est explicitée ci-dessous.

Chaque sous-système vivant dans une échelle de temps, les problèmes de conditionnement ne se posent plus (en tout cas pas à ce niveau là). Commençons parpréciser la nature des paramètres Xr et XI qui interviennent dans l'équation (III.I) cidessus.

III.3 Procédure d'identification

III.3.1 Paramétrisation

Dans ce qui suit, nous allons préciser les éléments relatifs au cas d'ordre 2 c-qui intéressel'application au système thermique- pour éclairer en particulier la figure III.I précédente:

1. On part d'un système d'ordre 2 donné par son transfert ie(s) défini par:

(III.2)

qui correspond, si on a posé 1l l'entrée et y la sortie du système, à l'équation deprédiction2 suivante:

2S y = SV Xl +V X2 + su X3 +U X4 (III.3)

s étant l'opérateur dérivation. On peut donc aussi écrire l'équation (III.3) commesuit:

~ d ddt2V = dt Y x, +V X2 + dt U X3 +1l·'t4 (IlIA)

a, b, s" S2 ( et é) sont les paramètres d'origine du système. On en déduit lesparamètres x; du modèle linéaire de la façon suivante:

1:: : =::1~2éS2 (III.5).'L'3 = aX4 = éb

1D'ordre 1 si on considère le système t.hermique de départ.2Analogue à l'équatiou (lIA) dans le CaB n = 1.

26 Chap. III. Nouvelle approche d'identification et propriétés

2. On définit les deux modèles d'ordre 1 suivants:

(III.6)sy, =X

2

qui. correspond à Jr(s) = ' .s _ Xl'r

1 2 3' d' f () xfa + x7aYI = YI XI + aUI x, +Ul XI qUI correspon a JI a = l' (III. 7)

a - x,

Où s et a représentent les opérateurs de différentiation relatifs respectivement àl'échelle normale et lente.Les expressions J,(xr ) et J,(X,) qui interviennent dans l'équation IIL1 seront calculées à partir des modèles précédents en formant les sommes quadratiques deserreurs de prédiction associées à chacun des deux modèles. Nous donnerons leursexpressions dans la section IIL3.2 ci-dessous.

Remarque III.l La remise à échelle du modèle lent qui se traduit par l'utilisation del'opérateur a au lieu de s permet d'éliminer3 le facteur d'échelle ê des composantes duvecteur des paramètres XI = (x} xf x7 f.

La contrainte de couplage qui sera notée C(x" XI) = 0 exprimera l'égalité entre le gainstatique du sous-système rapide avec le gain haute fréquence du sous-système lent; elle apour expressIOn :

C(X,.,X,) = J,(O) - lim j,(a) = 0q~OO

ou encore:C(X" XI) = x; +xfx~ = 0 (III.8)

Une variante du second point ci-dessus est de considérer un modèle rapide équivalent aupremier donné par l'équation (III.6) de telle façon que la contrainte ne soit plus bilinéairecomme on le voit dans l'équation (III.8) mais linéaire. Le nouveau modèle correspondantà la dynamique rapide donne la sortie en fonction de sa dérivée et de l'entrée et s'écrit:

-2

qui correspond au transfert: Or( s) = 1 x, 1- XrS

(III. 9)

À ce nouveau modèle correspondra un nouveau critère: l(x,), et la contrainte de couplages'écrira:

(III. 10)C-(- ) -2 2 0X r ) Xl = XT - x, =

L'avantage de considérer cette paramétrisation de la dynamique rapide est de débouchersur un problème d'optimisation convexe car quadratique sous contrainte affine (on sereportera à [13J pour plus de détails). Ceci permet d'en faciliter la résolution. Les sectionssuivantes seront traitées dans le cadre de ce choix.

Remarque III.2 le couple (x" Xl) (respectivement (x" x,)) représente les paramètresbilinéaires à deux échelles de temps.

Remarque III.3 (Cas d'un ordre n = ni + n, quelconque) Dans ce cas, on peut établir des paramétrisations comparables à celles données par les équations (IIL7) et (III.9)ci-dessus dans le cas d'ordre 2, moyennant certaines hypothèses sur les caractéristiquesdes dynamiques lente et rapide.

30n peut s'en rendre compte en remplaçant CT par ~ dans la fonction de transfert fl(cr) donnée cidessus.

111.3. Procédure d'identification 27

III,3.2 Filtrage et calcul du critère

Les critères J,(x,) et J,(Xt) seront formés à partir des signaux issus du système de départ filtrés respectivement par un filtre passe-haut (u, et y,) et un filtre passe-bas (UI, YI)'Dans l'annexe C, nous avons présenté quelques uns des filtres qui ont été utilisés poureffectuer la décomposition du problème d'identification de départ en lent et rapide enformant les critères J,(x,) et J,(X,).

On considère que u(t) s'écrit toujours sous la forme UI(t) +U2(E:i). On pose:

U,(t)UI(7)

U(7)

(FHFU)(t)= (FBFU)(7)

7- U(-)

E

FHF et FBF sont les filtres passe-haut et, passe-bas qui servent à la décomposition dessignaux en signaux lents et signaux rapides.

On supposera que U E Hl, FHF propre et S2 HBF borné.

Tous les filtres utilisés dans la suite sont des filtres linéaires. Donc si l'entrée u et lasortie Y vérifient: y(s) = f(s )u(s) où f(s) est la fonction de transfert d'un système donné,alors les filtrés Ufat et Yfilt (Jilt E {r,I}) de U et Y vérifient aussi Yfilt(S) = f(s)ufilt(S).

Le critère J, (x,.) sera désormais noté J,(x,). Il est égal à la somme quadratique, sur unhorizon donné ([O,T]), de l'erreur de prédiction associée au modèle donneé par l'équation(JILl2) et s'écrit:

()l fT T 2

J, x, = T Jo (z,(t) - Z,.(t) x,) dt (JILlI)

avec:

{Z,.(t)z,(t)

(v,(t) Ù,(t) ty,(t)

etz,(t) = Z,(t)T x, (III.12)

Le critère lent J,(xt) est la somme quadratique de l'erreur de prédiction associé aumodèle donneé par l'équation (III.14). Il s'écrit:

(III.13)

AvecdUICr) ())TdT UI 7

etZI(7) = ZI(7)T XI

T' étant l'horizon compatible avec la variable 7 : T' = T.E

(III.14)


Remarque III.4 Pour chaque choix de filtres, on a un nouveau critère et donc unnouveau problème d'optimisation. Les filtres passe-bas et passe-haut étant choisis detelle sorte que la solution de cette minimisation sous contrainte permette de reconstruireasymptotiquement4 la solution exacte.

Dans la mise en œuvre des méthodes "classiques" de type moindres carrés, le filtragedes signaux (pour en éliminer les bruits de mesure, de calcul, ou autres) joue un rôle plus oumoins important dans la qualité des estimations des paramètres et dans les performancesglobales, même s'il ne permet pas de pallier les difficultés liées au conditionnement dansle cas de systèmes à plusieurs échelles de temps, en particulier dans la représentativité dumodèle dans des conditions de fonctionnement particulières. Dans [29J, [34} et [25], lesauteurs donnent des éléments sur l'effet du filtrage des signaux sur les performances del'identification.La méthode par décomposition lent rapide permet de retrouver des systèmes à une échellede temps unique avec la possibilité de choix des filtres passe-bas' et passe-haut pouraméliorer le conditionnement du problème d'optimisation donné par l'équation (IILl),tout en remplissant les conditions ci-dessus

UISous-système lent ~

YI.....

PiLSse- B.... PiLSSe- Bu

'1\ '1'U y

Système de départ,

1, 1

P~H.. I P~H••I

Ur ...Sous-système rapide ~ Yr

, ,

Figure III.2: Mise en œuvre du filtrage pour la décomposition du problème en lent etrapide

'Quand le rapport des deux échelles de temps c tend vers zéro.

III.3. Procédure d'identification 29

111.3.3 Problème d'optimisation

Le problème d'optimisation associé à la nouvelle méthode d'identification s'écrit comme la minimisation de la somme de deux critères sous une contrainte linéaire. Les critèrescorrespondent chacun à l'un des deux modèles (rapide et lent) qui représentent les dynamiques rapides et lentes respectivement. La contrainte de couplage permet de compenser la surdétermination introduite par l'augmentation du nombre des paramètres.Cette contrainte exprime l'égalité du gain haute fréquence du modèle lent avec le gainbasse fréquence du modèle rapide. L'expression de la contrainte peut varier selon les modèles que l'on choisit pour représenter les deux sous-systèmes, ce qui peut plus ou moinsfaciliter la résolution du problème de minimisation.

Remarque IIL5 Si on note n l'ordre du système à identifier et m la dimension duvecteur des paramètres correspondant et si m r et ml sont respectivement les dimensionsdes vecteurs des paramètres associés aux modèles rapide et lent, alors m r +ml = m + 1.

Exemple ilL! Dans le cas d'ordre 2 mono-entrée mono-sortie traité ci-dessus, on voitque m = 4,mr = 2,m, = 3.

Enfin, l'équation (IILI) donne une version générale du problème (indépendamment del'ordre du système, des filtres de décomposition utilisés, les écritures des modèles rapideet lent et de l'opérateur choisi) dont les termes seront calculés dans les sections suivantes.


IlIA Convergence des paramètres

III.4.1 Introduction

Dans cette section, nous allons considérer une entrée, notée u (supposée persistanteau sens classique) et un système du type donné par l'équation (III.2). La réponse de cesystème sera notée y et servira à l'identification par la nouvelle approche.Les paramètres .'l:r et XI seront calculés en résolvant le problème (IILl). On montrera, pardes arguments de continuité et de dérivabilité des critères5 en ê, que les résultats de cesdeux identifications permettent de reconstruire la solution du problème d'identificationdu système de départ avec lIne précision d'autant meilleure que ê est petit6

.

Les équations (III.6) et (III. 7) montrent ce que seront les deux modèles rapide et lent. Lefiltrage et la contrainte ne seront introduits, pour améliorer la résolution, que plus tardquand il s'agira de la mise'en Œuvre pratique de l'approche.

L'équation (III.3) s'écrit quand on remplace l'opérateur 8 par la dérivation7:

pour tout t compris entre 0 et T: jj(t) = y(t) Xl +y(t) X2+Ù(t) X3+u(t) X4

qui peut encore s'écrire avec les notations habituelles:

z(t) = Z(t)T X

Considèrons maintenant le système donné par l'équation:

z(t) = Z(tf X*

(IIU5)

(III.16)

et qui définira façon condensée le modèle vrai.La solution au problème d'identification posé à partir des équations (IIU5) et (IILI6) estunique et est égale à x*.

Dans le cas d'un système donné par la fonction de transfert continue donnée par

l'équation (IIL2), x* vaut ( -(81 + êS2) -êS281 a lOb) T. On pose:

(III.17)

Dans un premier temps, nous allons rappeler les définitions des critères Jr(xr) etJI(XI) qui interviennent dans le problème posé dans l'équation (IILIS) ci-dessous, et lesdévelopper.

Nous allons ensuite majorer les écarts entre la solution x#(e) = (xfF(e),xf(ê)) duproblèmé:

mmX Tl Xl

C(xr, XI) = 0

(IIUS)

511 s'agit des critères J,(x,) et. l,(x,) Correspondant. à chacun des deux problèmes d'ident.ificat.ionprécédents et. qui ont été définis à la page précédent.e.

6Donc d'autant meilleure que l'écart entre échelles de temps est important.7.2(t) = f,z(t).811 s'agit. d'une réécrit.ure du problème donné en (HU).

111.4. Convergence des paramètres 31

et le couple (x'f/', xf) défini par l'équation (III.17) ci-dessus. En fait cette étape consisteraà majorer Jr(x'f/') et J,(4). .Pour finir nous allons montrer que la limite quand é tend vers 0 de la solution du problèmeprécédent tend vers la concaténation de x'f/' et xf :

(lIl.19)

III.4.2 Rappels

11 est à noter que x# = (x'f/',xf) est indépendant de é. 11 correspond aux paramètres dusystème après remise à échelle. De plus c'est un vecteur admissible du problème définipar l'équation (III.lS) et on peut écrire:

Posons:

Jr(X~(é))+ Ji(4(é))Jr(x~) + J,(4)

Donc

ou encore:

Dans ce qui suit, nous allons:

1. évaluer les quantités Jr(x'f/') dans la section III.4.3 et J,(xf) dans la section III.4.4qui serviront à majorer l'écart: IIx#(é) - X#lIj

2. calculer un majorant de IIx#(é) - x#11 en é dans la section III.4.5.


III.4.3 Convergence de la partie rapide

Le critère prédictif rapide associé au modèle donné par l'équation (III.21) s'écrit:

(III.20)

avec:

( YT(t)- YT(t)

etZT(t) = ZT(t)T XT (III.21)

Les signaux uT(t) = (FHFU)(t) et YT(t) = (FHFy)(t) sont les filtrés (rapides) de u et yet sont reliés par l'équation (IIU5).

Lemme IILl Avec les notations précédentes et celles ci-dessous on a le résultat suivant:

JT(X~):S \t:2trqllvTI12 (III.22)

Si

si on a posé v,. le vecteur (-S2 -SlS2 0 b) T, Q la matrice ~ ft Z(t)Z(tfdt obtenueà l'aide des signaux filtrés rapides et trQ la trace de la matrice Q.

Preuve 4 On a :

De plus, si on pose:

A=(lOOO)o 0 1 0

alors:

(III.23)

De plus:

(III.24)

et

Ilv,lIb < ÀollvT I1 2

Ào < trQ

avec:

111.4. Convergence des paramètres

• IIvrllb = v:Qv"

• IIv,II' = v:V r = la norme l, de V Tl

• Ào la plus grande valeur propre de Q.

Donc

o

33

(III.25)

Lemme 111.2 Si trQ3 est la matrice 3 X 3 obtenue en supprimant les troisièmes ligne etcolonne de Q et trQ3 sa trace alors:

(III.26)

Preuve 5 D'après l'équation (III.23) on a :

.# _ 1 TJr(x r ) - "2vr QVr

s,

ce qui donne immédiatemment du fait que la troisième composante de V r est nulle:

o

Remarque 111.6 Q3 dépend de la dynamique du système donc à priori de e. Il faut parconséquent montrer que À03 (plus grande valeur propre de Q3) peut être majorée par unterme en Ote) pour un choix particulier des filtres que l'on va utiliser pour obtenir lesfiltrés Ur et Yr de l'entrée u et la sortie y.

La trace trQ, a l'expression suivante:

trQ, = 2. fT Yr(t)'dt + 2. fT Yr(t)'dt + 2. fT ur(t)'dtT Jo T Jo T Jo

Lemme 111.3 (Bornitude du transfert en norme sup) Si

(III. 27)

(III.28)

avec So = ~ et a :S es, :S eso :S s" alO1's il existe un réel a, indépendant de e tel que:

pour tout s sur l'axe imaginaire iiR.


Preuve 6 pour s dans i~, il existe x dans ~ tel que: s = zx.Appelons k(x) = 1/,(s)12= 1/,(ixW, alors on a :

k(x) 1,(s)/,(-s)I,(ix)fe(-ix)

(ai x +b6)(-aix + b6)(ix + s])(ix +6S2)(-ix +sd( -i.'I: +6S2)

a2x2 _ b262

k(x) est paire et a pour dérivée en x :

1 (x 2+ si)(:c2+62sD - (a2x2 - b262)(S~ + 62S~ +2x2)k(x)=2x (22)2(222)2

X + s] x +6 S2

ou encore si on pose D(x2 ) le dénominateur de l'équation ci-dessus:

(III.29)

(III.30)

k'(x) est du même signe que celui du numérateur. Le discriminant de ce dernier vaut:

(III.31 )

soit encore:(III.32)

Donc t. ::; 0 grâce à l'hypothèse faite sur les pôles 6S2 et S] et el zéro 6S0'Le numérateur est donc du signe de son terme en X

O et il est donc négatif car 62a2(s2(s~s5) - 6 2s~sD est la somme de deux termes négatifs.

En conclusion k(x) est décroissante sur [0, 00]. De plus

2 ~

• k(O) vaut a2

(cané du gain statique de la dynamique rapide) si 6 = 0 et -,------;-;:-S] (S]S2)2

(calTé du gain statique de la fonction de transfert I,(s» si 6 # 0;

• Au voisinage de l'infini, k(x) est en ~~ et tend donc vers 0 quand x tend vers l'infini.

b2

donc en posant a le plus grand de ( )81 8 2 2

pour tout 6 positif:

2

et a2

, on a pour tout s de l'axe imaginaire etS]

o

IlIA. Convergence des paramètres 35

Lemme IlIA Si l'entrée u est H' et si le filtre rapide FRF est propre et stable alors:

(III.33)

Preuve 7 Nous allons majorer les trois termes qui intel'viennent dans l'expression detrQ3 donnée par l'équation (III.27).

1. Somme quadratique de la filtrée rapide de la sortie:

~ t Yr(t)'dt < ~ [0 Yr(t)'dt

1 1 jCt;OO< --. Yr(s)Yr(-s)ds

T 211"z c-;oo1 1 jCt;OO

< --. . f(s)ur(s)f(-s)u r( -s)dsT 2n c-.oo1 1 rot;oo

< T211"i Jc-'oo If(s)I'lur(s)I'ds

On a pris ci-dessus les mêmes notations pour les signaux temporels et leur transformées respectives de Laplace.Or d'après un lemme III.3, il existe a indépendant de é tel que If(sW ::; a pourtout s sur l'axe imaginaire i~, donc

(III.34)

1 T- { Yr(t)'dt <T Jo

2. Somme quadratique de la dérivée de la filtrée rapide de la sortie:

1 {OOT Jo Yr(t l'dt

1 1 l ct•oo< T-2' . sYr(S)(-S)Yr(-s)ds

7fZ C-tOO

1 1 jC+'oo< T-' . -s'f(s)ur(s)f(-s)ur(-s)ds21l"z C-lOO

1 1 rotioo< T 211"i Jc-'oo If(sWlsur(s)I'ds

ce qui donne encore:

3. De la même façon on a:

(III.35)

(III. 36)

De plus, l'hypothèse faite sur le filtre FRF permet d'assurer l'existence de ka, ki indépendants de é, au moins dans un voisinage de é = 0, tels que: 1IFHF Il 00 IlullL' ::; ka etIIFHFllooIIÜIlL' ::; kl , Ce qui donne le résultat suivant:

trQ3 ::; ~(llu,111,(1 +a) + Ilü,111,a)::; ~(ko(l +a) + kIa)

o


Remarque III.7 L'existence de ka et de kl peut être montrée simplement en écrivantur(t) = FHF(U)(t) = FHF(Utl(t) +FHF(U2)(et) et procédant comme pour le lemme ILlavec les hypothèses supplémentaires suivantes:

• IwFHF(W) 1 borné,

Théorème IIL1 Si on a une excitation persistante et si le filtre passe-haut (qui permetde générer les signaux Sr à partir de s) est prop"e, alors:

(III.37)

de plus, avec les hypothèses faites, le majorant de Jr(xn est en "/:2" et il sera noté:/:2J~.

Remarque IILS L'hypothèse d'excitation persistante qui intervenait déjà dans la méthode des moindres carrés classiques, comme on peut le voir en particulier dans [34], permetd'assurer la forte convexité du critère avant le filtrage et après celui-ci s'il n'a eliminé queles composantes lentes des différents signaux.

111.4. Convergence des paramètres

III.4.4 Convergence de la partie lente

Le critère prédictif lent J,(X' ) associé au modèle donné par l'équation (HI.39) s'écrit:

37

(III.38)

Avec

et

{ZI(T)ZI(T)

= (YI(T) UI(T) UI(T) tYI(T)

(III.39)

T' étant l 'horizon compatible avec la variable T : T' = Tc

Les signaux '''(T) = (FBFU)(T) et 1!l(T) = (FBFY)(T) sont les filtrés (lents) de U et yet sont reliés par l'équation (HU5).Le critère J,(X' ) correspondant au système lent donné par l'équation (HI.39) s'écrit:

(III.40)

T' étant l'horizon compatible avec la variable T : T' = ~. Voir plus loin rescaling.

Lelnme III. 5 Avec les notations précédentes et celles ci-dessous, on a le résultat suivant:

(III.41)

si on a posé

1 T'f 112()• Co = T' Jo Y, T dT,

1 T'• L la matrice T' fa ZI(T)Z,(TfdT,

• trL la trace de la matrice L.

Preuve 8 ZI(t) étant ici la dérivée première de la sortie y. Considérons l'équation (HU5)correspondant au modèle vrai située en page 30 et faisons un changement d'unité de temps(rescaling ). Il permettra d'éliminer le problème de précision relative dû à la structureparticulière de la dynamique du système.On considère une entrée Udont la filtrée lente et remise à échelle s'écrira sous forme Ul(ct),la sortie filtrée correspondante s'écrit aussi sous la même forme YI(ct) et on a alors:

(III.42)


ce qui donne l'expression suivante pour la dérivée9 première de la sortie si on pose r = et:

y'(r)

y;( r)

1 x* - . x*--(-ey"(r) + y(r).2 + u'(r)x; + u(r)--i)xr é' ê

e "()' l ()T •= ---;y/ r - ---;Z, r fxXl Xl

(

0 ! 0 0)où f = 0 Ô l 0 et xi sont les composantes du vecteur x'.

000 !<

Le critère J,(x') s'écrit alors:

l T'J,(XI) = T,l (zl(r)-Z,(r)T xl )2dr

= ..!- (T' C.~-y;'(r) _ ..!-Z,(rffx' - Zi(rfxl)2drTI Jo xi xi

= Tl, (T'( e.y;'(r) _ Z,(r)T(~fx' + xl))2drJo Xl Xl

T'étant l'horizon compatible avec la variable r : T' = 'I..<

On a donc:

avec (= ;;fx' +xf et V = i, Ji!' y;'(r)Z,(r)dr.Or

ce qui implique:

2( S2 )2 #TL .#- e x, x,SI + eS2

2 S2 - T #- 2e ( )2 V XISI + eS2

Remarque III.9 si >'& est pins grande valeur propre de L (positive), alors pour tont xdans ~3, on a :

911 s'agit ici de ;"y([t) qui sera noté d~y(T) on encore Y(T).

(III.44)

!II.4. Convergence des paramètres

Concernant les trois termes du second membre de l'équation III.43, on a :

1.

39

2.

3.

(III.45)

(III.46)

(III.47)

En utilisant les équations (III.45), (III.44), (III.46) et (III.47) avec (III.43), on obtient:

o

2 1 1

( # é ( - 1- # 1 )2JI X, ) :s: ( )2 cg + s2i!-c,'lI x l 1

S1 +éS2(III.48)

Remarque !II.ID trL et Co dépendent à priori de la dynamique du système, il convientdonc de choisir les filtres "lents" qui vont permettre de supprimer, dans le cas idéal, etd'atténuer la dépendance vis-à-vis du rapport entre échelles de temps é .

. Lemme !II.6 Si u est H 2 et si S2 FBF est borné, alors Co peutquantité indépendante de é. Plus précisément, on a :

1 fT' "2()d 1 Il "112Co = T' Jo y T T:S: T,':l: "1 L'

Preuve 9

être majorer par une

(III.49)

40

donc

Table des matières

1Co :'S TIO'Ii:2I1ulli> (III.50)

si Is2FBF(S)/ :'S Ii:. Il est à noter que: Ilu(r)lIi, = ellul(r)lIi, + Ilu2(r)lIi, + ore). Oùle terme o(e) correspond aux tel'mes croisés dont on a donné une majoration en e par lelemme II.1 de la section II.4.1. 0

De même pour la majoration de la trace de L :

lT' lT lT'trL = T' fa YI( r )2dr + T' fa YI(r )2dr + T' fa UI(r )2dr

indépendemment de ej on a le lemme suivant:

Lemme III.7 Avec les notations précédentes, on a :

Preuve 10 la démonstration est analogue à celle du lemme III.4 en page 35.

(III.5l)

(III.52)

Théorème III.2 Avec les notation précédentes et si le filtre lent a été choisi de tellesorte que la norme H 2 de u, (filtré lente de l'entrée) puisse être majorée par un termeindépendant de e, alors:

(III.53)

de plus, avec les hypothèses faites, le majorant de J,(xf) est en (~2JJ et il sera noté: e2 J?

Preuve 11 D'après les lemmes lII.5, IlI.6 et lII.7 on obtient:

(lII.54)

De plus, l'hypothèse faite sur le filtre FBF permet d'assurer l'existence de k~, k;, k; indépendants de e, au moins dans un voisinage de e = 0, tels que:

Ce qui donne le résultat de l'équation (lII.53).o

HIo4. Convergence des paramètres 41

III.4.5

Dans cette partie, il s'agit de majorer leterme IIx#(e) - x#1I par une quantité en e pourprouver la convergence quand lO e tend vers zéro de la solution du problème décomposérappelé ci-dessous en (III.55), à savoir x#(e), vers la solution x# théorique issue de ladonnée des paramètres du modèle du système à identifier après remise à échelle.Mais auparavant, on va donner un résultat classique issu de l'optimisation convexe qu'onpourra retouver plus en détails dans [36J, [35] et [13J.

Lemme HIo8 Si

• Q' est la matrice bloc-diagonale ayant pour éléments R et L (définies ci-dessous)

• et À~ est la plus petite valwr propre de Q'.

alors:

Preuve 12 x,!(e) et xf(e) sont, par définition les composantes -orthogonales- de x#(e),donc on a;

Or les Hessiens respectifs des critères Jr(xr) et J,(x,) sont;

~ fT ( Yr(t)2 y(t)ur(t) ·)dtT Jo y(t)ur(t) ur(t)22 T'- TI10 Z,(r)Z,(rldr

ou encore;

J:'(xr) = 2R

J['(X[) 2L

R et L sont évidemment posi tives.Les deux sous-problèmes rapide et lent ne représentent qu'une échelle de temps chacun.

Par conséquent si on a correctement choisi:

• une entrée suffisamment riche, persistente,

• et des filtres rapide, pour former le critère rapide, et lent pour former le critère lent,

alors les matrices R et L seront bien conditiomiées l1, et le problème;

mmXl, X r

CCx", X,) = 0

(III. 55)

lOLes échelles de temps tendent à être suffisemment distinctes.11 Leur pins petites valeurs propres respectives seront nettelnent supérieures à 0 et le rapport des valeurs

propres extrèmes des deux matrices voisin de l'unité.


est convexe car la contrainte C est linéaire et le cri tère quadratique à Hessien strictementpositif. Par conséquent pour tout x on a :

(JI(x#(e),x - x#(e)) 2: o.

Or on a, par simple développement de J(x#) - J(x#(e)) :

J(x#) - J(x#*(e)) = IIx# - x#(e)lIb, + (J'(x*(e)),x# - x*(e))

Donc

(III.56)

o

Remarque III.ll Comme Q' est bloc-diagonale, À~ est exactement égale à :inf(inf(valeurs propres de p:'(x r )) , inf(valeurs propres de pf'(X[))).Si l'entrée choisie est persistente et si les filtres rapide et lent mettent bien en évidenceles dynamiques rapide et lente alors les matrices J:'(xr ) et Jf'(X[) sont bien conditionnées,en particulier À~ est strictement positive.

Théorème III.3 Si

• Q' est la. ma.trice bloc-diagonale ayant pOUl' éléments ~ et L etSI

• À~ est la pins petite vale"r p7'Opre de Q'.

alors:# # é À03 1 Co 1 À~ 1 #

Ilx - x (e)lI:::; -((,,)''Ilvrll + (ï/)' +S2(., )'lI x[ Il)SI AD A o /\0

avec les notations précédemment utilisées.

Preuve 13 À partir du lemme précédent, on a :

ce qui donne encore si on applique les résultats des lemmes IlL! et IIL5:

(III.57)

IlIA. Convergence des paramètres 43

en é.

Cette dernière inégalité utilise le lemme -évident- suivant pour tout couple de réelspositifs (0".02 ) on a :

o

Remarque I1I.12 En fai t en pratique, on utilisera dans les modèles rapide et lent donnés respectivement par les équations (III.21) et (III.39) aux pages 32 et 37- non pasles signaux d'entrées sortie tels qu'ils sont donnés au départ mais des signaux filtréspar des filtres différents pour les deux modèles. On comprend en effet aisément que lefait de supprimer ou filtrer la "partie rapide des signaux" va améliorer l'estimation desparamètres de la dynamique lente et vice versa12 . Cela se traduit par une amélioration-supplémentaire~du conditionnement des matrices R et L.

Remarque I1I.13 La matrice:

1 loTL = - ZI(t)ZI(tfdtT 0 •

devient après filtmge lent:

1 fT TLfiltré = T Jo Zlfiltré(t)Z'filtré(t) dt

où Z/filtré(t) est formé par les filtrés de la sortie, de l'entrée et de sa dérivée.

Remarque I1I.14 Le bon choix de ces filtres va contribuer à la bonne identification par

II h . 1 . , À03 Co À~ d' d 1cette nouve e approc e, notamment en mamtenant es quantJtes \/' :v et \1 or re"0 0 "0

Théorème IlIA (Convergence des paramètres) Si

• l'entrée u (E H') utilisée est persistente et

• les filtl'es mpide et lent sont bien choisis (FHF propre et S2 HBF borné)

alors la limite quand é tend vers zé1'O de x#(é) est x#.

Preuve 14 Les hypothèses faites permettent d'assurer (voir lemmes IlIA, III.6 et III. 7)que le terme :

12Filtrer la "partie lente des signaux" va améliorer l'estimation des paramètres de la dynamique rapide.


qui intervient dans le second membre de l'équation (III.57) ne tend pas vers l'infini quandE: tend vers O. ce qui donne:

ou encore:limx#(E:) = x#E~O

o

III.4.6 Conclusion

Partant d'un modèle linéaire unique donné par l'équation (III.16), on a vu qu'il étaitpossible d'estimer les paramètres en passant par deux modèles correspondant chacun àune des dynamiques en présence dans le système de départ.

La solution x#(E:) obtenue à l'issue de la résolution par la méthode d'identification pardécomposition lent rapide est asymptotiquement optimale vis-à-vis du problème d'identification global par la méthode des moindres carrés. Elle permet en effet de reconstruire,quand E: tend vers zéro, la solution X* du modèle donné par l'équation (III.16) (car x#(E:)tend vers x#(O) qui permet permet de former x*).

De plus, alors qu'en identification directe, on ne pouvait dissocier, d'aucune façon quece soit, les dépendances de chaque dynamique afin de mieux les traiter, on voit apparaîtredans la nouvelle approche les matrices R et L, Hessiens respectifs des sous-problèmesrapide et lent, et qui peuvent être "modifiées" par des filtrages indépendants -et enrespectant des conditions simples- pour améliorer le conditionnement du problème globaldécomposé donné par l'équation (IILl8). On a, en outre, une identifiabilité simultanéedes deux échelles de temps, l'une des deux ayant subie une remise à échelle.

111.5. Sensibilité de la solution donnée par la nouvelle approche 45

III.5 Sensibilité de la solution donnée par la nouvelle approche

III.5.1 Introduction

À présent que l'on a montré que quand c tend vers zéro, x# permet de recontruire lasolution du problème l'identification de départ sans aucun biais, nous allons montrer danscette partie que pour certains types de bruits c,o(t) E L2, la solution x# (c, c,o) du problème:

mmx

CCx) = 0

J(X,c,c,o) (III.58)

tend vers la solution du problème sans perturbation (c,o(t) = 0) quand c,o tend vers zéroen norme L 2

, c'est-iL-dire que:

(III. 59)

J (x, c, c,o) est la somme de Jr(xr, c, c,or) et JI(XI, c, c,o/) calculés iL partir des modèles lentet rapide donnés respectivement dans les sections III.4.3 et III.4.4 en partant du systèmedonné, avec les notations usuelles, par l'équation:

z(t) = Z(t)Tx· + c,o(t) (III.60)

c,o(t) supposé indépendant des entrées sortie et ses filtrés rapide et lent seront notés c,or etcc,o/(t). On supposera en effet que la composante lente de c,o(t) est en c.

Nous commencerons par établir deux résultats préliminaires qui permettront de donnerune majoration de l'écart IIx#(c,c,o) - x#(c,O)1I en fonction de la norme de c,o.

,III.5.2 Ecriture du critère

Avec les notations de la section III.4.3, on a immédiatement l'expression suivante pourJr(xr,c,c,or) :

~[ Ci (-y,.(t) + c,or(t) + x;Yr(t) + x;ür(t) + x:ur(t))

-(x;Yr(t) + x;Ùr(t))f dt

Et avec les notations de III.4.4, on obtient pour JI(XI, c, c,ol) :

( ) 1 fnT'( c fI( ) ()T( 1 • ) c,o/(T))2JI XI, C, c,ol = T' .YI T - ZI T .fx + XI - --.- dTo Xl Xl Xl

(III.6l)

c,or(t) et cc,o/(T) étant respectivement le filtré rapide et le filtré lent remis iL échelle de c,o(t).


III.5.3 Résultats préminaires

cJJ,Lemme III.9 Pour tout 0 non nul acp existe et pour tout couple (cpI, , CPI,) et tout couple

(Ch, XI 2 ), on a :

(III. 62)

et

où

II M )acp CPI,.'tl l

(III.63)

• xi est donné dnns III.4.2 en pnge 31 et vnut : -SI - oS2'

1 T'• >', est ln plus gmnde valeur propre de ln matrice L = TI10 ZI(r)Zf(r)dr.

Preuve 15 À partir de l'expression de J,(XI,o,cp) ci-dessus, on voit qu'il est quadratiqueen CPI pout tout 0 non nul. Ceci montre que J,(XI, 0, cp) est de classe C2 en cp. De plus la

d '" .' Il aJI ) ".envee partie e :-a s ecnt :cp cp

XI

ce qui donne imméditement le premier résultat recherché.De plus, si on appelle:

W(r) = aJI) _ M)acp CPI, acp CPI,

XII Xl2

alors:

111.5. Sensibilité de la solution donnée par la nouvelle approche

donc, si >'1 est la plus grande valeur propre de L, alors

o

47

(III.64)

Lemme 111.10 Pour tout E non nul aJracp

existe et pour tout couple (CPr" CPr,) et tout

et

oÛ

(III.65)

(III.66)

• xi est donné dans III.{2 en page 31 et vaut: -SI - ES2.

1 fT• >'r est la plus gronde valeur prop1'e de la matrice R = T Jo Zr(t)Z;(t)dt.

Preuve 16 Analogue à celle du lemme III.9 ci-dessus.

III.5.4 Majoration de l'écart IIx#(c, 0) - x#(c, <p)1IThéorème IlIA Si :J.À > 0 tel que : .À :::: min {valeurs propres de Q'}, oÛ Q' est lamatrice bloc-diagonale ayant pour éléments les ma.trices R et L, alors il existe Ji > 0 telque:

p. ~

"lé Ilx#(E, 0) - X#(E, cp) Il :::: XllcplIL'

aû X#(E, cp) est la solu.tion obtenue par décomposition lent ropide du problème:

(III.67)

mmx

C(x) = 0

J(X,E,cp) (III.68)

avec x = (x" xl) , J(x, E, cp) = Jr(x" E, cp,) +J1(XI, E, CPI) et C(x) est la contrainte linéairede couplage.


Preuve 17 Posons:

- J(X#(é,O),<p) - J(X#(é,<P),<P)J(X#(é,<p),O) - J(X#(é,O),O)

alors pour tau 1. é on a :

.6>1(é,<p) - Ilx#(é,O) - x#(é,<p)llb, + (J'(X#(é,<p),<p),X#(é,O) - X#(é,<p))

.6>2(é, <p) = Ilx#(é, <p) - X#(é, O)llb; + (J'(X#(é, 0), 0), X#(é, <p) - X#(é, 0))

J'(X,<p) étant la différentieIIe partielle de J(X,é,<p) par rapport à x.Or le problème d'optimisation défini par J'équation (111.68) est convexe en x (car le critèreJ est quadratique et positif) pour tout <p et pour tout é, donc:

(J'(X#(é,<p),<p),X#(é,O) - X#(é,<p)) :2: 0

(J'(X#(é,O),O),X#(é,<p) - X#(é,O)) :2: 0

d'où:

6.1(0, <pl +6.2(0, <pl = (J(x#(o, 0), <pl - J(x#(o, 0), 0)) - (J(x#(o, <p), <pl - J(x#(o, <pl, 0))

~ II x#(o, 0) - x#(o, <p)IIÔ' +IIx#(o, <pl - x#(o, O)IIÔ;

ce qui donne en minorant le membre de droite:

(III.69)

De plus, pour tout couple (x = (x" XI) , <p), il existe deux réels 11,0 et Via compris entreoet 1 et un couple de L 2, (<p,o = V,o<P" 'PlO = VIO<PI), tels que:

J(X,<p) - J(x,O) = (J(x,,<p,) - J(X" 0)) + (J,(XI,<P') - J,(XI,O))ôJ, ôJ,

(ô<P) <p,o ,<p,)+ (ô<P) <PlO ,<PI)X r XI

donc il existe <p,o, <p,,,,, <POl, <pI", et, quatre réels v,o, VIO, v,'" et VI", compris entre 0 et 1, telsque:

.6>1(é,<p) + .6>2(0,<P) = (ôJ,) ,<PT) - (~JT) <p ,<PT)ô<p <p,o <p T'"Xr(é,O) Xr(é,<p)

ôJI ôJ,,<PI)+ ( ô<p) <Pla ' <PI) - (ô<P) <PI",

4(é,0) xt(é,<p)

(ôJT) _ ôJ,) ,<p,)ô<p <p,o ô<p <p,,,,Xr(é,O) Xr(é,O)

ôJ, ôJ,,<PI)+ ( ô<P) <Pla - ô<P) <PI",

xt(é,O) 4(é,<p)

111.5. Sensibilité de la solution donnée par la nouvelle approche

ce qui implique:

49

ce qui donne, si on utilise les résultats des deux lemmes précédents:

L'l1(C,c,o) +L'l2(C, 1")

< IIc,orllL' (2K 2 l1c,oro -c,or",lIL' +2[( (>:lIx~(c;0) - x~(c, c,or)lI) +IIc,otllL' (2K2

11c,010 - c,ol",lIL' + 2[(/\'1I4(c, 0) - 4(c, 1"1)11)

où K = -~ (1( > 0).Xl

Remplaçons par leurs valeurs (en fonction des v et 1"" c,oilles c,orO, c,or"" 1"01,1"1", et posons

. . { IIc,otllL' :::: Kdlc,ollL' .les relatIOns sUIvantes: IIc,or IlL' :::: Kr Ilc,ollL' ; on obtient:

L'l1(C,c,o) + L'l2(C, 1")

< Kr Il1" IlL' (2K 2 Kr1lira - IIr",lllc,ollL' +2[({>:lIx~(c,O) - x~(c,c,or)lI) +Kdlc,ollL'(2K2KdvlO - vl",llIc,ollL' + 2K /\'1I4(c, 0) - 4(c, 1"1)11)

De plus on a les relations (évidentes) suivantes:

IlIro - IIr",1 < 1

1//10 - VI", 1 < 1

IIx~(c,o) - x~(c,c,or)11 < Ilxf(c,O) - 4(c,c,ol)1I

114(c,0) - 4(c, 1"1)11 < IIxf(c,O) - xf(c, 1"/)11

ce qui donne:

L'l1(C, 1") +L'l2(c,c,o)

::::2[('(1(; + Kl)llc,olŒ, + 2K(1(r{>: + KI~)lIc,ollL'lIx#(c, 0) - :r#(c, 1"1)11

Appelons a = 2X, b = 2K2(K; + Kl) et c = 2[{(KrA + KI'/;;;) (tous positifs) etutilisons la minoration de L'l1(C, 1") + L'l2(C,c,o) donnée par l'équation III. 59; on obtientalors:

(III. 70)

Le polynôme F(z) = ILZ2

- bll'PIIL'Z - cllc,olli, admet une racine positive zp et une

racine négative Zn car leur produit (-~II'Plli,) est négatif. Donc si z est positif etIL

F(z) est négatif alors, forcémellt" 3 , z est inférieur à zp.

13I1 suffit d'écrire P(z) sons forme factorisée pour le voir.


Le calcul de la racine positive donne:

(III.71)

b+ ..jb2 +4caavec Il = 4 0

Remarque III.15 Kr et K/ peuvent être interprétés14 comme les gains des filtres passehaut et passe-bas qui servent à générer cpr et CPI à partir de la perturbation cp(t).

Remarque III. 16 L'hypothèse (existence de.x strictement positif) faite dans le théorèmeci-dessus signifie que les Hessiens de Jr et J/ restent définis positifs pour tout cp de L2 -ouau moins dans un compact de L 2 contenant l'origine.

Théorème III.6 (Robustesse) À pal"tir de l'équation (III.71), il vient directement:

(III. 72)

Ce dernier résultat montre que X#(6,cp) tend vers X#(E,O) quand IIcpllL' tendvers O.

140n peut les choisir positifs et inférieurs à 1.

III.6. Conclusion 51

111.6 Conclusion

On a vu dans ce chapitre que la solution (X~(é),Xr(é)) du problème décomposé définipar l'équation (IIU8) convergeait, quand é tend vers zéro, vers (xr, x~) qui permet dereconstruire le vecteur des paramètres x' donné au départ. Ceci étant vrai si on a bienchoisi les filtres passe-bas et passe-haut qui servent à décomposer le critère pour formerles critères rapide et lent (Jr(x r) et J[(x,)). Cette condition sur les filtres s'ajoutant, bienévidemment, aux conditions habituelles d'excitation persistante que l'on rencontre danstous les problèmes d'identification.

On a vu aussi que lorsque le modèle à identifier était perturbé par un bruit rp(i),la solution (X~(é,CPr), Xr(é, CPI)) du problème décomposé associé convergeait, quand lanorme L2 de cp(i) tend vers zéro, vers la solution correspondant à cp(i) = 0 : continuitéde la solution par rapport à 'l'.

52 Table des matières

!1

1

Chapitre IV

Essais numériques liés àl'identification

IV.I Introduction

Dans ce chapitre, nous allons mettre en évidence en IV.3 sur des exemples simples correspondant à des bâtiments moyens ou lourds le fait que, dès lors que le système à identifierest à deux échelles de temps, les précisions obtenues en précision finie (limitée par desconsidérations expérimentales) sur les paramètres! de la fonction de transfert (associéeau système à identifier) continue factorisée, estimés par la méthode d'identification desmoindres carrés directe -que ce soit avec l'opérateur retard ou aux différences, sont mauvaises.

Nous allons aussi rappeler qu'en précision suffisante, il n'y a aucun problème pour trèsbien estimer les paramètres physiques, même pour des rapports d'échelles de temps trèsélevés.

De plus, nous allons voir que les précisions se déteriorent moins vite pour des bâtimentsde type légers, pour lesquels le facteur d'échelle est moins élevé, que pour les bâtimentslourds (voir la fonction de transfert fh)'

Dans IVA, nous allons utiliser l'approche par décomposition lent rapide (dlr) pourestimer les paramètres physiques de deux des trois systèmes considérés dans la sectionIV.3. On utilisera pour le premier de ces deux systèmes deux types de filtres (rationnel etissu de la transformée de Fourier discrète) pour effectuer la décomposition du problèmed'identification de départ en lent et rapide. On verra en particulier que les résultats donnéspar cette nouvelle approche sont moins sensibles à la troncature : ils sont globalementmeilleurs à cinq chiffres significatifs

Tous les résultats donnés dans ce chapitre le sont à titre indicatif et non à titre dedémonstration.

lCes paramètres seront dits physiques

53

54

IV.2

Chap. IV. Essais numériques liés à l'identification

Conditions d'expérimentation

Daris un premier temps, nous allons adopter. une approche directe classique pouridentifier un système d'ordre 2 mono-entrée et mono-sortie. Par la suite, nous allonsproposer quelques cas utilisant la nouvelle approche basée sur la décomposition lentrapide. On montrera que le filtrage utilisé est très décisif et qu'un certain nombre deréglages préalables est nécessaire. Nous allons suivre la démarche suivante pour l'ensembledes simulations exposées ci-dessous :

1. Le système à identifier sera mono-entrée mono-sortie;

2. La même entrée u sera utilisée pour toutes les simulations;

3. La sortie servant à l'identification sera calculée à partir d'un modèle exact.

Et pour la méthode par décomposition, on aura, en plus des 3 points précédents:

1. On donnera des résultats utilisant les trois types de filtres indiqués à l'annexe (C);

2. Les deux opérateurs, retard et dérivation, seront étudiés, avec pour ce dernier lesdeux types de paramétrisations (linéaire et bilinéaire).

Pour que l'entrée puisse être la plus "riche" possible, nous avons pris une séquence binairepseudo-aléatoire à 10 bascules (voir [25]). Sa période d'horloge tH est égale à deux fois lapériode d'échantillonnage to et son horizon est de 3000 to.

Tous les calculs ont été faits en double précision.Pour la mise en œuvre pratique en simulation, les opérateurs dérivation s pour l'échelle

de temps rapide et <r pour l'échelle de temps lente ont été remplacés pal' les opérateurs bret b, définis par :

(IV.1)

(IV.2)

si les signaux rapides d'un côté et lents de l'autre sont donnés, après filtrage des signauxde départ, avec des pas de temps tr et t,.

IV.3 Méthode des moindres carrés

IV.3.! Bonne précision sur les données

Dans cette section, nous allons montrer que dans le cas de signaux simulés et acquis avecsuffisamment de chiffres (neuf) significatifs, il y a strictement aucun problème pour estimerles paramètres du modèle linéaire ou du modèle factorisé, en l'absence de bruit. Nous

IV.3. Méthode des moindres carrés 55

donnerons les résultats aussi bien en discret (opérateur retard) qu'en continu (opérateuraux différences) Les fonctions de transfert étudiées sont les suivants:

2 (100 s + 1)J,,(s) = (1 +8 s) (1 +220 s)

2 (500 s +1)J"(s) = (1 +10 s) (1 +1000 s)

2 (1000 s +1)Jh(S) = (1 +10 s) (1 +9000 s)

(IV.3)

(IV.4)

(IV.5)

Ils montrent des l'apports de constantes de temps allant de 27 pour le premier, à 900 pourle dernier.

Les résultats obtenus sont bons et permettent de retrouver exactement les paramètresde départ.

IV.3.2 Troncature de la sortie

On va montrer que l'effet de la troncature de la sortie sur les résultats sont d'autantplus importants que le facteur d'échelle (rapport entre les deux constantes de temps)est élevé. Nous allons aussi voir que l'utilisation d'opérateur aux différences permetd'obtenir de meilleurs résultats à degré de troncature identique. De plus, sachant que lebruit col'l'espondant à cette troncature est indépendant du vecteur des observations, cetteimprécision est dûe essentiellement au conditionnement de la matrice des covariances qui,même si il ne varie pas de manière importante par rapport à sa valeur issue de donnéeavec 9 chiffres significatifs, est dû non pas à un biais, mais à la conjugaison d'une valeurfinie du conditionnement de la matrice des covariances et du bruit dû à la troncature dela sortie.

L'étude de l'effet de la troncature SUl' les performances de la méthode des moindrescarrés en approche directe n'est pas dû au hasard. en effet si on se replace dans l'optiqued'un système thermique, on aura des grandeurs (température de l'air (sortie du système)et température extérieure (la première entrée)) qui seront déterminées avec au plus 2décimales, ce qui implique sur les grandeurs normalisées des precisions au plus d'ordre0.02 à 0.04 pour cent.

Pour chacun des trois exemples, on donnera la matrice Q, le vecteur B et le scalaireC. Le critère s'écrivant sous la forme J(x) = xTQx +BTx +C.

56 Chap. IV. Essais numériques liés à l'identification

IV.3.2.1 Opérateur retard

1. Fonction de transfert lu

la matrice Q :0.9486124380+000.9469634210+000.4803686590+000.5073050370+000.9469634210+000.9483524210+000.4802023790+000.4803686590+000.4803686590+000.4802023790+000.5003337780+000.2503337780+000.5073050370+000.4803686590+000.2503337780+000.5003337780+00le vecteur B :-.1894421780+01-.1891465440+01-.1014610070+01-.1008903850+01le scalaire C : 0.9488479510+00

Résultats obtenus avec l'opérateur retard et luParamètre - degré de troncature 9 c. s. 8 c. s. 6 c. s.grande constante de temps 220. 227.47 47.7petite constante de temps 8. 8.013 6.29inverse du zéro 100. 103.4 17.3gain statique 2. 2.003 1.938

Tableau IV.l: Résultats de lu avec différents ordres de troncature

2. Fonction de transfert f~

la matrice Q :

0.7369732020+000.7356543900+000.4200312340+000.4439883460+000.7356543900+000.7367177760+000.4198689360+000.4200312340+000.4200312340+000.4198689360+000.5003337780+000.2503337780+000.4439883460+000.4200312340+000.2503337780+000.5003337780+00le vecteur B-.1471797410+01-.1469375280+01-.8879766910+00-.8837883680+00le scalaire C 0.7372068800+00

IV.3. Méthode des moindres carrés

Résultats obtenus avec l'opérateur retard et fv

Paramètre - degré de troncature 9 c. s. 8 c. s. 6 c. s.grande constant,e de temps 1000. 913.6 70.44petite constante de temps 10. 9.992 8.703inverse du zéro 500. 462.3 35.45gain statique 2. 1.975 1.731

Tableau 1V.2: Résultats de fv avec différents ordres de troncature

3. Fonction de transfert !J.

la matrice Q :0.6529305930-010.6521482000-010.1215874120+000.1269352990+000.6521482000-010.6525422240-010.1215269740+000.1215874120+000.1215874120+000.1215269740+000.5003337780+000.2503337780+000.1269352990+000.1215874120+000.2503337780+000.5003337780+00le vecteur B :-.1305053900+00-.1303595480+00-.2538705970+00-.2529875370+00le scalaire C : 0.6532999550-01

Résultats obtenus avec l'opérateur retard et fh

Paramètre - degré de troncature 9 c. s. 8 c. s. 6 c. s.grande constante de temps 9000. 9540. 70.96petite constante de temps 10. 10.001 6.952inverse du zéro 1000. 1014.9 20.45gain statique 2. 2.089 .537

Tableau IV.3: Résultats de fI, avec différents ordres de troncature

57


IV.3.2.2 Opérateur aux différences

LI. est l'erreur relative (en poucent) sur les paramètres obtenus à 5 chiffres significatifs.

1. Fonction de transfert fu

la matrice Q :

0.26934488D-02 0.15517376D-02 0.28042427D-01 0.253688250-010.15517376D-02 0.948847950+00 0.285311140-020.507305040+000.280424270-01 0.285311140-02 0.500000000+00 0.250000000+000.253688250-01 0.507305040+00 0.250000000+00 0.500333780+00

le vecteur B :-0.573132380-02-0.321123000-03-0.106935770+00-0.508059890-01le scalaire C: 0.573343810-02

Résultats obtenus avec l'opérateur aux différences et fu

Paramètre - degré de troncature 9 c. s. 8 c. s. 6 c. s. 5 c. s. LI. %grande constante de temps 220. 219.991 220.276 184.7 -16petite constante de temps 8. 8. 8.00019 7.991 -0.1inverse du zéro 100. 99.9957 100.122 84.45 -15.5gain statique 2. 2. 2.00012 1.98 1.

Tableau IV.4: Résultats de fu avec différents ordres de troncature

2. Fonction de transfert fv

la matrice Q :0.215637690-020.125065760-02 0.247827150-01 0.22795385D-010.125065760-020.737206880+00 0.209416180-02 0.443988350+000.247827150-01 0.20941618D-02 0.500000000+00 0.250000000+000.22795385D-01 0.443988350+00 0.250000000+00 0.50033378D+00

le vecteur B :-0.452982290-02-0.196353490-03-0.95093473D-01-0.45506668D-01le scalaire C : 0.453045840-02

IV.3. Méthode des moindres carrés

Résultats obtenus avec l'opérateur dérivation et JuParamètre - degré de troncature 9 c. s. 8 c. s. 6 c. s. 5 c. s. ~%

grande constante de temps 1000. 1000.074 989.25 709.8 -29petite constante de temps 10. 10. 9.9991 9.96 -.4inverse du zéro 500. 500.D32 495.36 369.2 -26.gain statique 2. 2. 1.997 1.91 4.5

Tableau IV.5: Résultats de Ju avec différents ordres de troncature

3. Fonction de transfert fJ,

la matrice Q :0.106477640-030.745258950-04 0.550719840-02 0.508944380-020.745258950-040.653299960-01 0.441530200-030.126935300+000.550719840-02 0.441530200-03 0.500000000+00 0.250000000+000.508944380-020.126935300+00 0.250000000+00 0.500333780+00

le vecteur B :-0.223669730-03-0.889161520-05-0.211306600-01-0.101115080-01le scalaire C : 0.223701500-03

Résultats obtenus avec l'opérateur dérivation et !hParamètre - degré de troncature 9 c. s. 8 c. s. 6 c. s. 5 c. s. ~%

grande constante de temps 9000. 8995.97 9714.4 3398.2 -62.petite constante de temps 10. 10. 10.0011 9.97 -0.3inverse du zéro 1000. 999.88 1019.84 694.7 -30.gain statique 2. 1.9993 2.12 1.08 -46.

Tableau IV.6: Résultats de !h avec différents ordres de troncature

IV.3.3 Conclusion

59

On voit donc que les résultats obtenus aVec l'opérateur dérivation dans la section IV.3.2.2sont globalement meilleurs que ceux obtenus dans la section IV.3.2.1 avec l'opérateurretard, à degré de troncature donné. Evidemment dans le cas de données non-tronquées(9 chiffres significatifs (c. s.)), on obtient des erreurs nulles dans les deux cas.


On constate aussi que les erreurs relatives2 sur la graude constante de temps, surl'inverse du zéro et sur le gain statique vont en se détériorant quand le rapport d'échelledécroît: erreurs plus mauvaises pour la fonction de transfert Iv que pour lu, et plusmauvaises pour la fonction de transfert !h que pour Iv.

IV.4 Méthode par décomposition lent rapide

Dans ce qui suit, nous allons donner, pour les fonctions de transfert lu et Ih, les résultatsissus de l'identification par décomposition en lent rapide. Nous verrons que les solutionssont moins sensibles à la troncature des signaux que ne l'étaient les résultats obtenus àpartir de l'approche directe. Il va de soi que cette approche introduit un biais3 que l'onretrouve lorsque les calculs sont faits à 9 chiffres significatifs.

Nous utiliserons comme c'est indiqué dans le chapitre III, une paramétrisation continue, à deux échelles de temps qui permet d'avoir comme contrainte de couplage:

(IV.6)

XI et X r étant les vecteurs des paramètres associés respectivement au système lent etrapide.Cela est réalisé en imposant à la fonction de transfert du système lent d'avoir un dénominateur monique et au dénominateur de la fonction de transfert du système rapide devaloir 1 en O.

Mentionnons au passage que les essais numériques menés avec la paramétrisation plusnaturelle avec deux dénominateurs moniques ont donné aussi de bons résultats. Dansce dernier cas, les théorèmes de convergence des algorithmes (des prix et par prédiction)utilisés dans le cas de la contrainte linéaire sont inapplicables. Pourtant, d'un point devue numérique, la résolution par l'utilisation de l'algorithme des prix se fait assez bien;la convergence étant, toutefois, plus lente que dans le cas de la contrainte linéaire.

Dans ce qui sui t, seule la première paramétrisation donnant une contrainte linéairea été traité. Pour effectuer l'optimisation, on a utilisé une méthode de décompositionpar les prix. Une fois dualisée la contrainte IV.6, chaque sous problème consiste enl'identification des sous-systèmes lents et rapides. L'algorithme utilisé est celui d'Uzawa.On peut consulter l'annexe E pour plus de précisions.

On pourra se reporter à l'annexe E pour avoir plus de détails sur l'écriture du problèmede minimisation dans le cas multi-entrées.

Remarque IV.l Dans le cas de la fonction de transfert li" nous avons effectué unerésolution directe en substituant dans le critère la deuxième composante du vecteur desparamètres lents x[(2) par la deuxième composante du vecteur des paramètres rapidesx r (2). Ceci permet d'avoir une solution immédiate du problème de minimisation en X r etXI·

20n a donné en dernière colonne des t.rois derniers tableaux ces errenrs en pourcent.3Un majorant en norme de ce biais est donné à la section IIIA.5.

IV.4. Méthode par décomposition lent rapide

IV.4.1 Exemple de la fonction de transfert fu

61

IV.4.1.1 Décomposition avec un filtre rationnel

1. Initialisation des variables primales : en fait, on initialise les constantes de tempstg = t p = t z = 100 ce qui correspond à une valeur médiane. tg est la grande

constante de temps, tp la petite et t z est l'inverse du zéro. Le gain statique estini tialisé à 1.

2. L'initialisation de la variable duale a été faite à p = 1.2, en l'absence d'informationa pnon.

3. Les filtres sont de la forme suivante:

h(s) =

iReS) =

kc

(1 + ftYk~

(IV.7)

(IV.8)

Les fréquences de coupure associées aux filtres passe-bas et passe-haut sont donnéespar:

{ff =f[i =

1T'c-lJ..Tc -

1T c+.6.Tc

140

1120

Remarquons que les bandes passantes des filtres se recouvrent dans les fréquencesintermédiaires et rappelons que la constante de temps lente vaut 220 et la rapide 8.De plus amples détails sur ces filtres se trouvent dans l'annexe C.3.

4. Pour l'algorithme d'Uzawa, on a pris un pas p = 4 pour la mise à jour de la variableduale (voir annexe E).

Avec ces données et en travaillant sur des données connues à neuf chiffres significatifs,on obtient une convergence en 4 itérations dont le détail se troÜvedans le tableau IV.7.

Résultats avec un filtre rationnel

Paramètre it 1 it 2 it 3 it 4 vraisgrande constante de temps 215.0538 218.5792 214.5347 216.3624 220petite constante de temps 8.2954 8.1995 8.1485 8.0789 8inverse du zéro 41.9785 163.8403 40.1808 100.9658 100gain statique 2.0532 2.1014 2.0523 2.0761 2contrainte -0.593 0.5924 -0.5926 -0.000287972 0

Tableau IV.7: Résultats dans le cas d'un filtre rationnel

On voit que les résultats sont assez bons4 (le biais introduit par la décomposition estrelativement réduit) : l'erreur relative sur les différents paramètres étant de 1 % pour la

4pas autant que la mét.hode direct.e.


petite constante de temps et l'inverse du zéro, de 2 % pour la grande constante de tempset de 3,8 % pour le gain statique, ce dernier résultat peut encore être amélioré. On voitque les constantes de temps sont estimées plus rapidement que l'inverse du zéro.

Quelques essais concernant le choix des filtres a été nécessaire pour trouver une bonne. décompositionlentfrapide. On a rapproché les bandes passantes des deux filtres jusqu'àobtenir des optimums sta~ionnaires. Il s'agit bien sûr d'un réglage empirique.

Avec cinq chiffres significatifs, on obtient avec la même décomposition: 211.17pour la grande constante de temps, 8.29 pour la petite, 104.8 pour l'inverse du zéroet 2.004 pour le gain statique. Hormis la petite constante de temps, ces résultats sontmeilleurs que ceux obtenus avec cinq chiffres significatifs dans le tableau IV.4.

Ceci permet de constater une moins grande sensibilité des résultats vis-àvis de la troncature, dans le cas d'une identification par décomposition en lentrapide que dans le cas d'une identification directe.

Nous verrons que dans le cas de la fonction de transfert fI. (pour laquelle le rapportd'échelles de temps est plus élevé), l'améliorat.ion par rapport aux résultats de l'approchedirecte est encore plus nette quand on travaille à cinq chiffres significatifs.

IV.4. 1. 2 Décomposition à l'aide de passe bandes idéaux

Il nous a paru int.éressant de voir, dans un premier temps, ce qui se passe si on choisitles filtres "à l'aveugle", sans prendre soin en particulier, de leur faire remplir la tâche quilel,lr est assignée : isoler d'un côté -plutôt- ce qui 'Se.rapporte à la dynamique rapide etde l'autre, -cplutôt- ce qui se rapporte à la dynamique lente du système à identifier.

1. Cas où les filtres ne sont pas "bons" :

(a) Mêmes initialisations des variables primales et duale que l'exemple ci-dessus.

(b) On prend ne = 750 sans recouvrement;

(c) Valeurs des paramèt.res int.ervenant dans l'algorithme: c = 2, p = 2. Aucunt.erme de freinage.La dét.ermination de ces valeurs a nécessité quelques tâtonnements.

Avec ces données, on obtient une convergence en.3 itérations avec:

Résultats avec la TDF 1

Paramètre il. 1 il. 2 il. 3 vraies valeursgrande. constante de temps 86.4211 150.1502 146.5873 220petife constailte de temps 8.3496 8.1874 8.0323 8inverse du zéto 17.5866 69.3806 66.7795 100gain statique 1.9799 2.1292 2.1211 2contrainte -0.599 -0.000179 -0.000172665 0

Tableau IV.8: Cas de la transformée de Fourier discrète-1

IV.4. Méthode par décomposition lent rapide 63

Les résultats sont mauvais -en dehors du gain et de la petite constante de tempsqui est nettement bonne. Cela s'explique simplement par le fait que l'on n'a pas"coupé" correctement au bon endroit. Plus exactement, la fréquence de coupuren'est pas assez petite et on n'a pas séparé les parties rapides et lentes des signaux.La partie rapide des signaux permet visiblement d'estimer la petite constante detemps, par contre la partie lente couvre des zones de fréquence relatives aux deuxéchelles de temps. Du coup, on identifie un système sous-paramétré, ce qui donneles mauvais résultats sur les paramètres lents.

2. Correction des filtres précédents: On prend les mêmes caractéristiques que (1) avecun assez large recouvrement ne +200, ne - 200. Dans ce cas, on obtient:

Résultats avec la TDF 2

Paramètre it 1 it 2 it 3 vraies valeursgrande constante de temps 215.11 218.99 218.67 220petite constante de temps 8.28 8.14 8.01 8inverse du zéro -20.51 102.68 101.02 100gain statique 1.9164 1.9183 1.920 2contrainte -1.185687 -0.001143 -0.001105 0

Tableau 1V.9: Cas de la transformée de Fourier discrète-2

Les résultats sont nettement meilleurs grâce à l'introduction de la zone de recouvrement.

Remarque IV.2 On verra dans la section suivante que les résultats obtenus à l'aide dela méthode par décomposition lent rapide sont très peu sensibles à la troncature entre9 et 5 chiffres significatifs. Cela signifie que les résultats des trois derniers tableauxsont en fait très voisins de ceux qu'on obtiendrait à cinq chiffres significatifs.

·IV.4.2 Exemple de la fonction de transfert !J,

Avec la même entrée et les mêmes conditions, on obtient dans ce cas en utilisant des filtresrationnels de fréquence de coupure unique de 75 pas:

Résultats obtenus pour j" par décomposition

Paramètre - .degré de troncature vraIs 9 c. s. 5 c. s.grande constante de temps 9000. 9658. 9606.petite constante de temps 10. 10.082 10.08inverse du zéro 1000. 1059. 1057gain statique 2. 2.141 2.132

Tableau IV.10: Résultats obtenus pour j"


Nous allons donner pour indication les critères lent et rapide (avant normalisation)obtenus à l'issu du filtrage des signaux de départ ainsi que la solution du problème deminimisation que l'on rappelle dans l'équation IV.9 ci-dessous.

(

0.174411609D +05 0.143847980D +01 0.338116956D + 05 )xT 0.143847980D +01 0.124922647D + 00 0.109561560D + 02 XI

0.338116956D +05 0.109561560D +02 0.709016821D + 05

(

-.120541548D + 02 )+xT -.531140529D - 01 +0.834734539D - 02

-.295765677D +02

T (0.353005042D +02 0.159123523D +04 )xT 0.159123523D +04 0.774326620D + 05 X

T

T ( ~.352749583D +02 )+xr -.426845665D +04 +0.374107003D +03

La solution du problème:

étant (xi,x;) tel que:

MinXi,Xr

xI(2) - xT (2) = 0(IV.9)

(

-.103538291D - 03 )0.234746276D +000.221675590D - 03

(-.100819825D +02 )0.234746276D + 00

(IV.10)

(IV.11)

Ces résultats sont à comparer à ceux du tableau IV.6 donné en page 59. On constateque dans le cas d'une résolution directe les estimations se dégradent plus rapidement avecle degré de troncature en partant d'estimations exacte à cent pour cent pour un nombre dechiffres significatifs suffisants. Dans le cas d'une résolution par décomposition on constatela présence d'une erreur sur les paramètres (correspondant au biais intrinséque introduitpar la décomposition); cette erreur restant relativement stable avec la troncature dessignaux d'entrée sortie.

De plus les résultats donnés par le tableau IV.10 restent perfectibles, notamment enaméliorant la composante lente de l'entrée (globale) et en prenant un pas de temps plusélevé pour le système lent (l'inverse de la grande constante de temps (en nombre de pas)est exactement l'opposé de la première composante de xi).

IV.4.3 Conclusions

On a vu sur ces deux exemples que:

• En précision suffisante, il n'y a aucun problème pour estimer les paramètres quinous intéressent;

IV.5. Conclusions et perspectives 65

• lorsqu'on tronque les données et qu'on effectue les calculs en précision limitée, lesestimations données par les moindres carrés directs se dégradent très vite alors queceux obtenues dans les mêmes conditions par décomposition du problème en lent etrapide, qui introduisent une erreur intrinsèque que l'on peut limiter grâce aux filtreset à l'entrée utilisée, le sont moins.

IV.5 Conclusions et perspectives

On a vu qu'au passage des bâtiments légers aux bâtiments lourds5 , les erreurs relatives surla grande constante de temps, le zéro et le gain statique données par la méthode classiquedes moindres carrés (si on effectue les calculs en précision limitée sur des données tronquéesà cinq chiffres significatifs) vont en se dégradant très vite, comme on peut le voir dans lestableaux IV.4, IV.5 et IV.6.

On a vu aussi qu'avec la nouvelle méthode basée sur la décomposition en lent et rapide,les précisions obtenues sur ces mêmes paramètres sont très peu sensibles à la troncaturedes signaux et deviennent, malgré le biais intrinsèque introduit par la décomposition,meilleures à cinq chiffres significatifs, comme on peut le constater dans le tableau IV.10.

Nous allons maintenant récapituler les résultats obtenus avec les deux méthodes pourl'identification d'un bâtiment lourd donné par la fonction de transfert!h. Tous les calculsétant faits à cinq chiffres significatifs.

• Moindres carrés classiques (notée MC dans le-tableau) on œtient les résultatsobtenus avec l'opérateur aux différences;

• Décomposition lent rapide avec des filtres rationnels; passe-bandes idéaux (notéeTDF) : on garde les résultats du second cas.(D'ailleurs, le premier cas est mentionnésurtout pour illustrer l'importance du choix des filtres.)

Résultats comparatifs

Paramètre MC filtre rationnel vralS

grande constante de temps 3398.2 9606. 9000.petite constante de temps 9.97 10.08 10.inverse du zéro 694.7 1057. 1000gain statique 1.08 2.132 2.contrainte 0 0

Tableau IV.Il: Comparaison des différents résultats concernant !J.

On constate donc qu'en dehors de la petite constante de temps, les précisions obtenuespar la méthode par décomposition lent rapide sont meilleures que celles données par lesmoindres carrés directs.

See qui est équivalent à : quand le rapport de la plus petite constante de temps sur la plus grandetellcl vers zéro.


En ce qui concerne la classe de filtres utilisée, on a vu dans la section IV.4.1 sur lesdeux types de filtres utilisés, que l'on arrive globalement à des performances comparables.D'un point de vue plus technique et de mise en œuvre, le filtre rationnel est plus soupled'utilisation.

La méthode des moindres carrés telle qu'elle a été utilisée dans ce chapitre, n'estsans doute pas celle des méthodes directes qui permet d'obtenir les meilleurs résultats engénéral, et en particulier pour les systèmes (à deux échelles de temps) auxquels on s'estintéréssé dans cette étude. D'autres méthodes, notamment non-linéaires, pourraient doncservir de meilleures références à l'évaluation de l'approche par décomposition proposée auchapitre III pour pallier les difficultés de conditionnement indiquées au chapitre II.

Chapitre V

Couplage avec la commandeoptimale

V.l Présentation

Dans le cadre de cette étude, le critère pertinent pour juger de la qualité de l'identifications'exprime par les performances de la commande optimale qui en découle. En effet optimisation et identification sont fortement couplées, puisque ce sont les paramètres estimés quiserviront à calculer la commande optimale, et que c'est cette dernière qui va, en régimepermanent, servir à l'identification.

L'étude théorique de ce couplage est un problème difficile et non résolu. Nous nouscontenterons ici de l'étudier d'un point de vue numérique.

Le calcul des paramètres de l'équation d'état donnée par l'équation (V.l) est fait àpartir de la forme observateur donné par l'équation (V.2) représentant le même système,et utilisé pour l'identification.

La commande optimale est calculée sur un horizon donné, un jour ou deux jours selonque l'on est en semaine (lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi) ou en fin de semaine(samedi), dans le respect d'un certain nombre de contraintes de confort (19 degré Celciusminimum entre 8 heures du matin et 18 heures) et de fonctionnement (tarif de l'électricitévariable et puissances disponibles da.ns chaque plage tarifaire majorées).

On tentera de mesurer la perte d'optimalité dûe au fait que les estimés des paramètresne sont pas connus avec une précision infinie. Ceci consistera à comparer les performancesde la commande calculée à l'aide du modèle exact avec celles de la commande calculéeà l'aide du modèle estimé, toutes deux étant appliquées au vrai système représenté ensimulation par le modèle vrai.

La commande optimale utilise une forme d'état d'ordre 2 ayant pour sortie la température de l'air;

X AX+Bu

ta - ex + Du

67

(V.l)

68 Chap. V. Couplage avec la commande optimale

où u est le vecteur colonne ayant pour composantes la température extérieure, la puissancede chauffage et l'ensoleillement. Pour plus de détails sur la commande optimale consulterles rapports [45J et [46J. .

Le modèle utilisé par l'identificateur est:

ta = l', + 8 1'2 U8 2 - 8 X, + X2

(V.2)

1",1'2 sont deux vecteurs lignes de dimension 3, et Xi, d sont des scalaires.Notons que la partie directe Du n'est pas prise en compte dans ce modèle. On verra dansla remarque V.5 que cette omission n'est pas pénalisante pour le calcul de la commandeoptimale, plus précisément on peut prendre D = O.Les relations de passage d'un modèle à l'autre sont immédiates si on part la forme observateur. Voir à ce sujet la note [4], où on explique notamment pourquoi il est difficilede conserver comme forme d'état celle où les composantes de l'état étaient justementrespectivement la température de structure et la température résultante.

Remarque V.l (Sur la forme d'état) 'Initialement, la forme d'état utilisée pour lecalcul de la commande optimale admettait pour composantes du vecteur d'état les températures résultante et de structure définies dans la remarque V.2 ci-dessous. Elle nécessitait 9 paramètres indépendants alors que la forme observateur disponible à partirde l'identification du modèle (V.2) n'en donne que 8 indépendants (pij, (i,j) E {1,2) x{l, 2, 3}, X" X2), d est obtenu par la relation 1"2 + dX2 = 0 exprimant l'égalité à l'unité du

t .gain statique _a .

t extOr la nature de l'état n'intervenant pas directement dans l'optimisation, ni dans le critèreni dans les contraintes, on a utilisé pour l'optimisation du fonctionnemnent la forme observateur suivante obtenue directement à partir des estimés des paramètres du modèledonné par l'équation (V.2) :

(0 -:1:2) X, + ( l', ) ul X, 1'2

(0 l) X, + (0 dO) u

(V.3)

Les notations sont celles des pages 67 et 68.Le choix de la base d'état n'intervient que dans la formulation de la condition initiale.Or le changement dépend du modèle, donc il est nécessaire d'utiliser la forme observateurdonnée par l'équation V.3 pom initialiser la commande optimale tout en procédant à uneidentification. Ceci étant dit, l'effet de la condition initiale devient négligeable au boutd'un jour.Il est à remarquer que le vecteur d'état X, n'a pas les mêmes composantes que X quiintervient dans l'équation (V.I).

Renlarque V.2 (thermique) La température de structure est une grandeur représentative de la température des murs et la température résultante est une combinaison linéairedes températures extérieure, de structure et de l'air.

'Pour de plus amples dét.ails voir [4).

Vol. Présentation 69

Remarque Vo3 Les signaux d'entrée-sortie servant à l'identificat,ion seront, comme ilest rappelé ci-dessus, issus du bâtiment dans les conditions normales de fonctionnement:la puissance de chauffe et la température de l'air proviennent donc d'une optimisationprécédente2 • On verra dans la section V.3 comment on peut initialiser en pratique laboucle identification-commande optimale.

Remarque VA Dans les cas qui seront traités dans la suite de ce chapitre les entréeset la sortie qui servent à l'identification seront normalisées (comprises entre 0 et 1). Parconséquent les gains statiques qui seront estimés, seront ajustés par les facteurs adéquatspour obtenir les véritables gains : ceux qui correspondent aux grandeurs réelles. Deplus, un premier préfiltrage consistera à supprimer les composantes continues de tous lessignaux.

Remarque Vo5 (Pourquoi réduire l'ordre du transfert ~ ?) D'un point de vuestrictement formel, la présence du terme d t,x' dans l'expression de tair donnée parl'équation (V.2) est importante. Elle implique en particulier que le transfert ""'-",'. ad-

•••met deux zéros, ce qui change le traitement de l'entrée: température extérieure, parrapport à ceux des deux autres entrées: puissance de chauffage et ensoleillement.Or, il se trouve que d varie dans un intervalle très petit sur l'ensemble des bâtiments: del'ordre de quelques pourcents du gain statique du transfert ""'-",'.. Il nous est donc apparu...judicieux de voir dans quelle mesure ce terme d t,x' intervenait, non seulement dansl'identification des paramètres, mais aussi dans le calcul de la commande optimale. Nousavons donc essayé de voir l'impact sur les performances de la coIi1mande optimale d'une.suppression du terme dt,xt qui intervient dans l'équation (V.2), ce qui nous a conduit àfaire les essais suivants:

1. En prenant d = 0 ou d = durai, les estimés des autres paramètres, à savoir: Xi et Pi,restent quasiment identiques: erreurs relatives de l'ordre de quelques dixièmes depourcentj

2. Une commande optimale calculée avec les vrais paramètres sauf d qui, lui, est prisnul, ne différe en rien de quantifiable de celle calculée avec la vraie valeur de dj

3. Une commande optimale calculée avec les paramètres estimés sauf d qui, lui, est prisnul, ne diffère pas de beaucoup3, là non plus, de celle calculée avec la vraie valeurde d.

On pourra donc raisonnablement estimer que d est nul sans dégrader les performances ducouplage.

Remarque Vo6 Comme on l'a spécifié dans le chapitre précédent, l'estimationdes paramètres du modèle est faite à partir de données tronquées.

20n ne considère pas ici )'init,ialisat.ion du pl'ocess : OH dispose d'un modèle à partir dnquel on peutcalculer une commande optimale.

3Quelques dixièmes de pourcellt, à chaque fois.

70

V.2

Chap. V. Couplage avec la commande optimale

Principe des tests de couplage

1. Optimisation avec les paramètres vrais dans des èonditions météorologiques tex! etsol, ce qui donne la consigne optimale t~ sur l'horizon considéré;

2. Simulation: cette consigne étant appliquée au modèle exact (régulateur associéau convecteur suivi du bâtiment) donne un confort C, un coÙt CC, une puissanceqo -sortie du régulateur- et une sortie ta;r;

3. Identification à partir de (go, tex', sol, ta;r) des paramètres X' de la forme opérateur(résultats en (V.4.5A));

4. Nouvelle optimisation à partir de la forme observateur engendrée par X' qUi vadonner une nouvelle consigne t~ej

5. Nouvelle simulation à l'aide du modèle de départ (modèle exact et régulateur),avec la même météo et t~e ce qui donne la sortie t~;r avec un confort et un coût(ce, cce)j

6. Comparaison des sorties ta;r et t~;r' et de (C, CC) avec (ce, cce) pour apprécierla robustesse de l'optimiseur conjuguée avec les performances de l'identificateur(résultats en (V.4.5.5)).

Remarque V.7 (Le Confort) est défini sur une journée (48 pas d'une demi-heure) lafaçon suivante:

1 48 .

CC = - '"Œ·(19 - T'· )48 ~ 1 aiT1=1

(VA)

où T~;r est la température de l'air (valeur moyenne) exprimée en degré Celcius à l'i'mepas et

Œ; = {O s~ T~;r :::: 19 et 17 ::; i ::; 361 smon

Un valeur de .020 signifie que l'on a un écart global de 0048 degré par 'jour.

Remarque V.8 Pour éliminer l'effet de l'initialisation de l'état et se placer dans un"régime de croisière", nous avons effectué la simulation du point 5 ci-dessus sur un horizonde trois jours en n'en ga.rdant que le dernier.

V.3 Réflexions sur l'initialisation du processus enpratique

Deux approches peuvent être envisagées pour initialiser le processus de chauffage enpratique. Ci-dessous nous allons tenter de les présenter et d'expliquer les avantages dechacune ainsi que les coûts correspondants.

V.3. Réflexions snr l'initialisation du processus en pratique 71

V.3.1 Identification libre

Cette approche peut être résumée de la façon suivante:

1. Le bâtiment n'étant pas occupé\ on choisit une puissance suffisamment persistante,du type bruit blanc par exemple, et on effectue une identification du modèle donnéen (V.2) dans les conditions météorologiques disponibles (on ne peut pas les fixer !)sur un horizon de 4 à 5 jours;

2. Si la température extérieure et l'ensoleillement utilisés sont persistants, chose qu'onpeut vérifier numériquement, alors les paramètres obtenus à l'issue de l'identificationsont bons, sinon on ne peut rien conclure, en toute rigueur, et il convient alors derefaire la même manipulation jusqu'à ce que la condition d'excitation persistantesoit remplie sur la température extérieure et l'ensoleillement;

3. Une fois que l'on a obtenu les bons paramètres (associés à une puissance de chauffageet une météorologie persistantes), on peut effectuer l'optimisation de la commandeà l'aide du modèle identifié et le bâtiment pourra alors être occupé.

Remarque V.9 En pratique les occupants potentiels ne vont pas attendre que l'installateur ait fini d'identifier la dynamique du bâtiment. C'est pourquoi, on pourrait préconiserla variante ci-dessous.

1. Même si la condition d'excitation persistante sur la température extérieure et l'ensoleillement n'est pas remplie, on bascule sur un fonctionnement de type optimal;la commande étant calculée à partir du modèle (1) construit sur les paramètresestimés; on est alors sûr que le confort sera globalement respecté sur l'horizon defonctionnement, du fait de la boucle fermée et du régulateur, par contre le coûtassocié n'a aucune raison d'être minimal;

2. On effectue une nouvelle estimation des paramètres, d'où un nouveau modèle (II);

3. Si la condition d'excitation persistante sur la température extérieure et l'ensoleillement est remplie, on est sûr des paramètres et on peut substituer sans hésitationle modèle (II) au modèle (1);

4. Sinon il faut choisir entre les deux modèles. Pour cela il faudra définir une procédure d'évaluation des modèles, par exemple celui qui permettra le calcul d'unecommande ayant les meilleures performances (cotît et confort) en simulation surune période type et dans des conditions particulières qui pourront être définies àpartir des données sur le terrain.

Une fois qu'on a débouché sur un bon modèle (associé à une puissance de chauffage et unemétéorologie persistantes), on le garde. Mais il peut se révéler intéressant d'entreprendred'autres estimations ne serait-ce que pour confirmer la validité du modèle retenu ou pourprendre en compte d'éventuelles variations de celui-ci.En fait le problème provient du fait qu'il est difficile de trouver un compromis entreestimation des paramètres et optimisation de la commande.

4C'est-à-dire en part.iculier que l'on ne se préoccupe pas du confort.

72

V.3.2

Chap. V. Couplage avec la commande optimale

Identification en occupation

Dans cette partie, on s'impose un fonctionnement en occupation c'est-à-dire qu'ondevra respecter les contraintes de confort. Pour cela on propose la démarche suivante:

1. Inventer (ou en reprendre une parmi celles qui existent) une commande heuristique (basée sur une gestion prédéterminée (régulation la journée sur un niveaude confort5

, hors-gel6 et relance du chauffage sur changement tarifaire7)) pas très

compliquée et l'appliquer au bâtiment;

2. Mener une estimation des paramètres du modèle (V.2) à l'aide de la puissancesortie du régulateur, de la météo et de la temperature intérieure correspondant àl'heuristique précédente sur un horizon de 4 à 5 jours: soit (III) le modèle correspondant aux paramètres estimés;

3. Comme on ne peut agir sur la puissance que par l'intermédiaire de l'heuristique, onn'aura pas de moyen sûr d'avoir une persistance suffisante. La condition d'excitationpersistante dont on parlait dans le cas précédent s'étend ici à toutes les entréeset il convient donc de mener d'autres identifications jusqu'à obtention des vraisparamètres; toutefois dans un premier temps il faut prendre la décision de basculersur un régime de commande optimale ou de maintenir l'heuristique, pour cela onpeut procéder comme en (V.3.1. (4)) pour la comparaison des performances des deuxcommandes;

4. On poursuit comme dans la première démarche.

V.4 Essais numériques

VA.1 Introduction

Dans cette section, nous commencerons par donner, dans VA.2, une étude non-exhaustivede la sensibilité de la commande optimale vis-à-vis des paramètres.

Dans V.4.3, nous donnerons les résultats liés à un horizon court par rapport à l'idéequ'on se fait a priori de sa durée.

Dans VAA, nous donnerons les résultats obtenus à l'aide d'une méthode d'identification classique à une échelle de temps basée sur le principe des moindres carrés, et leursconséquences sur la commande optimale conespondante.

Nous conclurons pas la validation numérique du tandem identification commande optimale dans VA.5 : nous montrerons que la perte d'optimalité est quasi-nulle dans le casd'une identification par la nouvelle approche par décomposition lent rapide.

See niveau se situe à 19 degré Celcius entre huit heures et dix huit heures du lundi au vendredi.6Il s'agit d'empêcher la température de l'air à l'intérieur du bâtÎlnent de descendre au-dessous d'une

certaine valeur: 14 ou 16 degré selon que le bâtiment soit léger ou moyen en semaines et 8 degré en finde semaines.

7Le passage an tarif le moins cher de l'électricité a lien à 22 heures.

VA. Essais numériques 73

V.4.2 Sensibilité de la commande vis-à-vis des paramètres

Dans cette partie, nous allons proposer des résultats d'optimisation issus de modèlesoù l'on a dégradé un seul paramètre à la fois, hors identification.

• La première ligne indique les résultats obtenus avec le modèle exact;

• La première colonne indique l'erreur relative que l'on a appliquée au paramètreconcerné;

• La deuxième colonne indique le coût, Cest , calculé par simulation de la commandeoptimale (calculée avec le modèle dégradé) sur le modèle fin de validation (modèleexact avec le régulateur proportionne! intégral et les non-linéarités associées). Cestest donc un coût de chauffage réel après application de la commande.

• La troisième colonne indique le confort, CCest , associé à l'application de la mêmecommande au système vrai avec régulateur et non-linéarités associées. Les comparaisons porteront sur le confort réelement optimal (première ligne) avec les confortréels dégradés (lignes suivantes)

• La quatrième colonne indique le coût obtenu à l'issue de l'optimisation utilisant lemodèle degradé, c'est-à-dire le coût réputé optimal.

Résultats indicatifs

Paramètres degradés Erreurs (%) C.,t (FF) CCest (degré) Coût optimal (FF)• 0 455.6 0.016 442.9d -100 456.9 0.017 446.4

Pu 50 483.3 0.010 263.0

P,2 20 456.1 0.018 477.0

P13 -70 456.3 0.018 465.4

P21 10 460.0 0.023 461.9

P22 100 456.9 0.017 438.6

P23 -60 458.5 0.016 450.1Tl,72 -50,-20 503.8 0.008 164.7

Tl,72 150,150 557.7 0.104 1847Tl,72 100,500 244.1 0.002 3148

Tl,72 500,80 462.9 0.016 747.2

Tableau V.I: Sensibilité de la commande vis-à-vis de certains paramètres

Remarque V.IO Les pourcentages d'erreurs utilisés sur les Pi; mentionnées dans ce tableau correspondent à des erreurs relatives obtenues lors d'identifications précédentes.

Les Pi; et le d sont ceux qui interviennent dans le modèle donné dans l'équation (V.2).On peut faire les remarques suivantes sur les résultats donnés ci-dessus:


1. On observe en particulier (voir deuxième ligne) que si on supprime le terme en dt,xt>le confort et le coût de fonctionnement restent quasiment inchangés. Ceci confirmece qu'on a dit à la remarque (V.5), c'est-à-dire que l'on peut approximer d par zéro;

2. Le confort varie relativement peu pour des variations des Pij et peut être meilleurque la référence 0.016 donnée par la ligne 3, correspondant à une optimisation àl'aide du modèle exact. Par contre, il est susceptible de varier énormément dans lecas d'une degradation des constantes de temps.

3. quand on augmente la grande constante de temps, les performances de la commandeoptimale sont relativement bien conservées. Cela provient du fait de la périodicité(de vingt quatre heures) .du fonctionnement (ligne 12 :confort maintenu et surcoûtde 1.5 %).

4. La petite constante de temps, (huit minutes) du bâtiment sur lequel ces tests ontété menés est inférieure à la constante de temps du régulateur proportionnel intégraldont est doté de convecteur (ayant pour entrée la consigne de température et poursortie la puissance de chauffage). Sur la ligne 11, on voit que lorsqu'on fait dépassercette valeur à la petite constante de temps, on n'arrive plus à optimiser correctementet les résultats (CC"' et C",) donnés dans le tableau ne sont plus significatifs.

5. Quand on fait varier simultannément et de manière comparable les deux constantesde temps (en augmentant la grande constante de .temps et en maintenant la petiteinférieure à celle durégulateur, on constate une nette dégradation de la commandeaccompagnée d'un surcoût de 23% et une très grande détérioration du confort,comme on peut le voir sur la ligne 10 (C", = 557.7 et CC"' = 0.104).

Le tableau V.l ci-dessus donne une certaine idée sur les conséquences de. dégradation de certains paramètres. Néanmoins, comme on a dégradé unseul paramètre à la fois, on ne peut pas préjuger de ce qui se passera quandils le seront tous, comme on va le voir dans la suite avec des paramètresissus d'identifications complète (par les moindres carrés ou par la nouvelleapproche). On gardera donc les données de ce tableau à titre indicatif.

V.4.3 Sensibilité de la commande vis-à-vis de l'horizond'identification

Dans cette section nous allons montrer que, du point de vue des performances dela commande calculée à l'aide du modèle estimé, un horizon d'identification de 3 joursenviron, permet de donner des résultats assez voisins (à peine moins bons) de ceux quisont obtenues dans le cas d'un horizon de 4 jours (voir la section Y.4.5). Ces horizonssont à rapprocher de la valeur de la grande constante de temps qui est d'environ 2 jours.

Avec un horizon de 70 heures, au lieu de 100, et avec les mêmes choix effectués dans lasection (V.4.5), nous avons obtenus les résultats suivants qui montrent une nette détérioration de la précision sur la grande constante de temps accompagnée d'une améliorationde celle sur la petite constante de temps:

VA. Essais numériques

Paramètres du modèle (V.2)

75

Paramètres x, X2 Pu P12 PI3 P21 P22 P23

Vrais -7.38494 0.15720 0.55114 0.16066 0.40946 3.0360 0.58189 0.92337Estimés -6.99342 0.23996 0.64790 0.23996 0.34795 2.7212 0.59191 0.32475

Tableau V.2: Estimés de paramètres dans le cas d'un horizon pas suffisamment long

Ce qui correspond aux valeurs suivantes:


Paramètres Tl T2 Text gext T. g. Tsol 9s01

Vrais 46.82 h 8.15 min 217. min 1.0 335 min 3.5 135. min 2.6Estimés 29.0 h 8.62 min 158 min 1.0 252 min 2.7 56.min 1.45

Tableau V.3: Estimations des paramètres physiques associés

La commande optimale, calculée à partir du modèle estimé, appliquée au vrai modèle(correspondant aux paramètres exacts), donne:

1. Un confort de 0.036 au lieu de 0.016 pour la commande issue du modèle vrai;

2. Un coût de 473.3 au lieu de 455.6 (francs) pour la commande issue du modèle vrai,soit un surcoût de 4 % environ.

Les résultats liés à cette commande (calculée à l'aide du modèle estimé) sont illustréspar les courbes (de la figure V.I de la page 76) de la température de l'air et la puissanceobtenues sur une journée. En fait, nous avons effectué une simulation sur un horizon. detrois jours pour éliminer l'effet de l'initialisation de l'état.

Dans ce cas, il y a un retard du début du préchauffage d'environ 2 heures(1 heure au lieu de 23 heures), ce qui entraîne une détérioration du conforten début d'occupation (8 heures). Le surcoût (modéré) est essentiellement dûau rattrapage qui intervient entre 8 heures et 12 heures, période sur laquellele prix du kilowatt-heure est plus élevé (voir la figure 1.3 où sont reportées lesvariations du prix du kilowatt-heure sur une journée).


(Degrr-e-.Cr--') ~_,-_r_e_S_U_I_~_i_d--,-e~n_~h_o_r_i_Z_O_n-,P~e_~_i_U_r x_g-,r_ta --n25.00

24.00

23.00

22.00

21.00

20.00

19.00

18.00

17.00

16.00

15.00

14.00

12. 17.

//

11

11

11111111111

11

11

111

23. 3.

,

iÇ:lnl'erniur~

Telllp'ërotür';; r.:.l'

8. 12. (heures)

resultidcnthorizon.p-cti~lr_xgrpu(Kilowatts),-i-------,-------r-------;-------r---------n

200.00

IS0.00

160.00

140.00

120.00

100.00

80.00

60.00

40.00

20.00

0.00

1

12. 17.

,l,l,l,l ,

l '1111111

111

11

1

1

1111111

23.

, , , , , ,

3.

PUissance

PUlssaïlëerer

,,,1

8. 12. (heures)

Figure V.l: Températures d'air et pmssances dans le cas d'un horizon pas suffisammentlong


V.4.4 Cas d'une identification classique

Dans cette partie, nous allons d~nner quelques résultats de l'identification par la méthode des moindres carrés du bâtiment moyen utilisé à la section VA.5.

Pour effectuer cette identification, nous avons utilisé successivement les groupes designaux suivants:

• les signaux préfiltrés qui ont été utilisés par la nouvelle approche dans la sectionVA.5j

• les signaux lents qui ont servi à constituer le critère lent J,(xl)i

• les signaux rapides qui ont servi à constituer le critère rapide Jr(xr).

Pour chaque groupe des signaux, nous avons effectué deux identifications classique : la

première utilise la contrainte sur le gain statique du transfert tair alors que la seconde net ext

la prend pas en compte.Par la suite, nous allons donner les performances des commandes optimales calculées

à partir des paramètres estimés quand cette commande a été possible.

VA.4.1 Résultats de l'identification

Dans le cas d'un gain statique fixé à l'unité, les résultats obtenus sont les suivants:


Paramètres Tl T2 Text gext TO go 7 801 9s01

Vrais 46.82 h 8.15 217 1.0 335 3.5 135 2.6Préfiltrés 31,54 + i29, 1 31,54 - i29, 1 -220.75 1.0 -62.644 0.818 4.74 1.13

lents 27.88 h -51.2 159.6 1.0 27204 2.27 3756. -0.07Rapides 26 40 -80 1.0 -1704 1 54.5 0048

Tableau V A: Estimations des paramètres physiques avec gext = 1

Toutes les constantes de temps et tous les inverses de zéros sont exprimés en minutessauf indication contraire (h pour heure).Et dans le cas où le gain statique n'est pas assujetti à l'unité, on obtient les résultatssuivants:


Paramètres Tl 72 min Text IUlll gext Tq min go Tsol min 9s01

Vrais 46.82 h 8.15 217 1.0 335 3.5 135 2.6Préfiltrés 86.6 min -15.6 -15 0.4 -12.8 .64 -1.08 0.43

lents 9.96 h 6.22 h 161.14 0.60 240.27 1.438 -189.92 -0.378Rapides 58.6 min -13.7 -15.3 0.216 -7.8 0.679 -15.8 0.115

Tableau V.5: Estimations des paramètres physiques


On constate d'abord que dans les cas de signaux préfiltrés et des filtrés rapides dutableau V.5 (gext= 1) et des filtrés lents du tableau V.4 (gex. non fixé), les paramètresestimés correspondent à des systèmes instables (constantes de temps non positives). Aucune optimisation n'est donc valable avec ces résultats là.Un autre cas où l'optimisation n'a pas été menée pour des raisons matérielles (le programme informatique qui calcule la commande optimale ne prévoit pas le cas de pôlescomplexes: il utilise explicitement les valeurs propres (pôles) sous forme réelle de lamatrice d'état) est celui des signaux préfiltrés avec un gain température de l'air sur température extérieure assujetti à l'unité (voir le tableau VA). Les pôles sont en effet stablesmais complexes conjugués. Il va de soi que ces résultats ne sont pas très réalistes et que lecalcul de la commande n'aurait a priori pas donné de résultats intéressants. On pourra sereporter à [45J et[46] pour plus de détails sur les étapes amenant au calcul de la commandeoptimale.

V.4.4.2 Commandes optimales correspondantes

À l'aide des données correspondant aux autres cas, c'est-à-dire:

• Pour les signaux lents (gext non fixé, tableau V.5),

• Pour les signaux rapides (gext = 1, tableau VA);

nous avons procédé à des optimisations du chauffage, ce qui a donné lieu aux résultatssuivants:

1. Signaux lents : La commande optimale, calculée à partir des paramètres estimésà l'aide de ces signaux, appliquée au modèle exact (correspondant aux paramètresexacts), donne :

• Un confort de 00470 au lieu de 0.016 pour la commande issue du modèle exact;

• Un coût de 574.2 au lieu de 455.6 pour la commande issue du modèle exact,soit un surcoùt de 26 %.

2. Signaux rapides: La commande optimale, calculée à partir des paramètres estimésà l'aide de ces signaux, appliquée au modèle exact donne:

• Un confort de 0.354 au lieu de 0.016 pour la commande issue du modèle exact;

• Un coût de 721.3 au lieu de 455.6 pour la commande issue du modèle exact,soit un surcoÙt de 58 %

Dans les deux cas, les résultats ne sont pas significatifs car l'optimisation est trèsmauvaise (la convergence des algorithmes de résolution utilisés n'est plus assurée avecle même jeu de paramètres de réglage.) comme on peut le constater sur les courbes detempérature d'air et de puissance données dans la figure V.2, pour le cas 2 et la figureV.3, pour le cas 1.


Remarque V.II Dans le cas des signaux rapides, les deux constantes de temps sonttrès faibles (moins d'une heure). Cela signifie que le bâtiment (virtuel) correspondant auxparamètres estimés n'a aucune capacité de stockage de la chaleur. Une simple régulation(gestion court terme) suffit alors pour effectuer une gestion optimale du chauffage. Maiscette commande appliquée au vrai bâtiment entraîne une absence totale de préchauffage(visible sur figure V.2 : puissance nulle entre 20 heures et 6 heures du matin), et unegestion "à vue" , forcément imparfaite, dans la journée.

Remarque V.12 Dans le cas des signaux lents, les deux constantes de temps sont toutesles deux grandes (6.22 et 9.96 heures), ce qui signifie que la température de l'air varie trèslentement. C'est évidemment absurde.De plus les deux constantes de temps sont très inférieures à la grande constante du bâtiment (46.82 heures) ce qui entraîne un retard du début du préchauffage et une franchediminution de son intensité, comme on peut le voir sur la figure V.3.

VAA.3 Conclusions

On constate donc que partant des mêmes8 signaux d'entrées et de sortie (les signaux préfiltrés), on arrive par une identification de type moindres carrés à des valeurs aberrantes(complexes, ou correspondant à des systèmes instables), oU qui donnent lieu à des commandes dont les performances sur le modèle exact sont très mauvaises, comme on a pu leconstater sur les deux cas suivants :

• signaux rapides et gain du transfert température de l'air sur température extérieureunité (tableau V.4),

• signaux lents (tableau V.5).

Ces résultats peuvent être comparés à ceux des commandes optimales calculées respectivement à l'aide des paramètres exacts et à j'aide des paramètres estimés par la nouvelleméthode d'identification par décomposition lent rapide. Les résultats relatifs (courbesde température et de puissance sur une journée type d'hiver et valeurs des coûts et desconforts) et à ces deux commandes sont donnés dans la section V.4.5.

8Que ceux qui sont. ut.ilisés t.out au long de ce chapit.re.


(Degre Clr-.------,--~--,___---_,.--~-___,_----"

22.00

20.00

18.00

16.00

14.00

12.00

10.00

Te~pera ure (signaux apides)

12. 17. 23. 3. 8. 12. (heures)

Puissance (signaux rapides)

(Kilowatts)';I~----'-----'-I----'I----""---,-----"

180.00 _

160.00 _

140.00 _

120.00 _

100.00 _

80.00 _

60.00 _

40,00 1-----

20.00 1--

. 0.00 lI

12.1

17.1

23.1

3.1

8.

/

If -

-112. (heures)

Figure V.2: Températures d'air et puissances obtenues avec une commande calculée àl'aide des signaux rapides


(Degre~C:.;)~ r,3r-1_:R._L__N_G--,_1-==-c_I_a_s_s_i_q;-~_e-=:..I_e_I1_to_to_a-,--- ~_c_n

81

23.00Te.J:rlperature (signaux lent:sy

22.00

21.00

20.00

19.00

18.00

17.00

16.00

15.00

14.00

13.00

12.0oUL ~ ___.JL i_ _l ..bd

12. 17. 23. 8. 12.(heures)

(Kliowatls~)~ r_3~1_:R.__L_N_G-_1~_c_Ia_s_s_i_q-=-~-,---e_I_c_n_to_p=--~~-----~

140.00

120.00

100.00

80.00

60.00

40.00

20.00

0.00.

Puissance (signaux lenrsy

12. 17. 23. 3. 8. 12. (heures)

Figure V.3: Températures d'air et plllssances obtenues avec une commande calculée àl'aide des signaux lents

82 Chap. V .. Couplage avec la commande optimale

VA.5 Validation numérique du tandem identification commande

VA.5.1 Introduction

Les performances de l'identificateur dépendent évidemment de la richesse des signauxmétéo9 utilisés. Ils dépendent aussi de la classe des entrées: la puissance choisie. Commeon s'intéresse dans cette étude au couplage identification-commande optimale, il était donctout naturel d'étudier plus particulièrement les performances d'une identification utilisantcomme entrée la puissance issue d'un fonctionnement optimal, en boucle fermée avec lerégulateur et les non-linéarités associées. On verra surtout si les précisions obtenues surles différents paramètres suffisent pour calculer une nouvelle commande optimale assezproche du point de vue des performances de celle que l'on calculerait à l'aide du modèlevraI.

Dans les deux cas on part de signaux normalisés, valeurs entre 0 et 1, dont on extraitla moyenne ce qui en fera des signaux à moyennes nulles sur l'horizon d'identification.

VA.5.2 Signaux choisis et préfiltrage

1. Les signaux choisis sont donnés sur un horizon de 100 heures lO• Ils comprennent:

• La météo: température extérieure et ensoleillement donnés avec une périoded'échantillonnage de 60 minutes, soit 30 fois plus lent que le pas d'échantillonnage de la puissance et de la température de l'air. Remarquons que ce pasest du même ordre de grandeur (ou même plus) que la petite constante detemps de la plupart des bâtiments. Ces signaux correspondent à des journéesd'hiver et ont été fournis par E.D.F.

• La température de l'air et la puissance sortie du régulateur données avec unpas de 2 minutes. Ils seront plus susceptibles de contenir l'information hautefréquence nécessaire à l'identification de la dynamique rapide. Les signauxobtenus sont reportés en annexe.

2. Préfiltrage : La première étape a été de supprimer, par un préfiltrage des entréeset de la sortie, les bruits -hautes fréquences- dûs aux non-linéarités du régulateur.Faute de quoi, cette composante haute fréquence affectera le critère rapide et in fineles résultats de l'identification (On obtient des constantes de temps négatives).Les signaux obtenus sont reportés en annexe.

Remarque V.13 Le filtre utilisé pour préfiltrer les signaux est du même type que celuiutilisé en (V.4.5.3) pour le filtrage et qui est donné par l'équation (V.5). Sa constante detemps l1 est de 4 minutes.

Remarque V.14 L'effet du préfiltrage sur l'ensoleillement et la température extérieureest nul ·car ces deux données sont fournies avec un pas de 60 minutes.

9La météo constitue une perturbation dans le sens qu'on ne peut pas la fixer arbitrairement lors del'identification des paramètres.

1°100 heures est en effet la durée qu'on s'est fixé comme horjzon d'identification.llCette constant.e de temps a été choisie la plus petite possible pour ne filtrer que ce qui provient des

nOll-linéarités du régulateur.


VA.5.3 Filtrage pour la décomposition lent-rapide

83

Le filtre choisi pour effectuer la décomposition lent-rapide est donné par le transfertsuivant:

(V.5)

Il a un gain ke et une pulsation de coupure 1.. Tc a été choisi égal à 40 minutes.Tc

Les données préfiltrées seront filtrées à l'aide de ce nouveau filtre pour ensuite former lescritères lent et rapide qui serviront à l'estimation des paramètres.On trouvera en annexe (C) les filtrées rapides et lents des différents signaux.

Remarque V.15 Le choix du filtre a été fait de la façon suivante:

• on a fixé son gain12 à l'unité: un choix arbitraire que rien ne permettait d'exclure;

• on a cherché la meilleure valeur de Tc compris entre 30 minutes et 10 heures donnantdes résultats satisfaisant les conditions suivantes:

1. Les constantes de temps, les zéros et gains statiques estimés des trois transfertssont strictement positifs (pour Tc = 60 minutes, par exemple, on obtient deszéros négatifs pour les transferts l3

=," et!...:r., ,-220 et -14 respectivement) ;e~t so .

2. Les zéros des trois transferts respectent l'inégalité suivante:

(V.6)

Ces deux premières conditions permettent déjà de trouver un intervalle le , delongueur quelques dizaines de minutes et contenant Tc'

3. Tc est ensuite choisi à l'intérieur de le, de telle sorte que les estimations soientles plus robustes possibles. Tc n'est a priori pas unique.

On voit donc comment l'information a priori peut contribuer au bon choix desfiltres. Une précision sur le type de bâtiment (léger, moyen ou lourd) peutencore faciliter ce choix.

VA.5A Résultats de l'identification

À l'issue de ces choix, on a obtenu les résultats des tableaux V.6 et V.7 ci-dessous.

Paramètres dn modèle (V.2)Paramètres Xl X2 Pu P12 Pl3 P2l Pn P23

Vrais -7.38494 0.15730 0.55114 0.16066 0.40946 3.0360 0.58189 0.92337Est,imés -6.14225 0.12124 0.52374 0.121247 0.20125 2.4984 0.25864 0.16771

Tableau V.6: Paramètres des fonctions de transfert estimés

Ce qui correspond aux valeurs suivantes:

(V.7)



Paramètres T, To Text gext T. 9. Tsol 9501Vrais 46.82 h 8.15 min 217. min 1.0 335 min 3.5 135. min 2.6

Estimés 50.5 h 9.8 min 128 min 1.0 286 min 4.32 50 min 1.66

Tableau V.7: Estimations des paramètres physiques associés

On rappelle ci-dessous l'écriture en fonctions de transfert continues du système:

9ext(1 + Text S) 9.(1 + TgS) 9,01(1 + T,oiS) lta;, = )t,xt+ )q+)( )so(1 + T,s)(1 + TOS (1 + T,s)(l + TOS (1 + T,S 1 + TOS

Les précisions obtenues sur les paramètres du modèle (V.7) ne sont pas toutes très bonnes,surtout si on les compare à celles que l'on aurait obtenu si on avait pu choisir des signauxmétéo plus "riches". Dans la section V.4.5.5, nous allons voir quelles incidences cesimprécisions ont sur la commande optimale.

VA.5.5 Calcul de la nouvelle commande et comparaison des performances

À l'aide des paramètres estimés mentionnés en (V.4.5.4), nous avons calculé unenouvelle commande optimale que l'on a appliquée au vrai modèle (en simulation). Ilen résulte ce qui suit:

1. Un inconfort de 0.010 au lieu de 0.016 pour la commande issue du modèle vrai, soitune légère amélioration.Le confort est essentiellement amélioré en début d'occupation (8 heuresdu matin), comme on peut le voir sur la courbe des températures de la figure V.4.

2. Un coût de 468.6 au lieu de 455.6 (francs) pour la commande issue du modèle vrai,soit un surcoût de moins de 3 %. Ce léger surcoût est dû à une surchauffe enfin de la période de préchauffage (6 heures du matin). C'est cette surchauffequi est responsable de l'amélioration du confort observée ci-dessus.

Les résultats (température de l'air et puissance) de cette simulation sur une journée sontreportés dans la figure V.4.

Remarque V.16 La température de référence notée 'ref' (en pointillés) correspond àune optimisation avec le modèle exact. L'autre courbe correspond à la température issuedu modèle obtenu à l'aide des estimés des paramètres donnés dans le tableau de la sectionV.4.5.4 de la page 83. Idem pour les puissances.

Remarque V.1 7 Les courbes correspondent à des durées de 24 heures allant de midi àmidi.

Les performances de la commande optimale calculée à partir des estimésdes paramètres restent donc comparables à ceux de la commande optimalecalculée à l'aide du modèle exact bien qu'on ait utilisé comme signaux:

12Le gain kc est lié à la normalisation des différents signaux en jeu.130n pourra remarquer que ces deux t,ransfcrts ont les zéros les plus lCrapide".


(Degrerc-..:.) --. r_e_,S-"-U~i-d-e-n-tc-lr_,--x-g-r-----, -"25.00

85

24.00

23.00

22.00

21.00

20.00

19.00

18.00

17.00

16.00

15.00

\

\

111

1 1111

, 1

\\

1

11

1111

11

' ........... -,,----

1elnpennure

'Teu"i'p'ër71llU'e i'e'l"

12. 17. 23. 3. 8. 12. (heures)

180.0

(Kilowatts) resuHidenUr_xgrp"zoo.o"f---.=t'---C-----,-----"-----T---='---=----;.;ç;;;;:;;;;;==--=,

. PUissance\ PÜlss.i'h~c-r.n'

1,,, , , , , , , ,

80.00_

60.00_

40.00_

20.00_

0.00_

12. 17.

\\

1

1IL--__-Il _

23. 3. 8. 12. (heures)

Figure VA: Températures d'air et puissances (ref correspond à la commande optimale)


• une puissance de type optimale (issue d'une optimisation précédente) et donc,a priori, pas forcément suffisamment riches;

• des signaux météo qui sont visiblement peu riche. (Voir les courbes G.3 etG.6 qui donnent repectivement la partie rapide de la température extérieure et lapartie rapide de l'ensoleillement, et les courbes G.2 et G.5 qui donnent leurs partieslentes respectives).

V.4.6 Conclusions

Nous avons vu que des choix simples permettent d'obtenir dans les conditions indiquées plus haut14 des résultats intéressants concernant la commande calculée à partirdes paramètres estimés. Ces choix sont rappelés ci-dessous:

1. Un horizon assez important: 4 jours, mais on a vu aussi en (V.4.3) que pour deshorizons moins longs, on avait un maintien du coût de fonctionnement au prix d'unelégère détérioration du confort en début d'occupation;

2. L'entrée (la puissance) utilisée est celle qui est issue de l'optimiseur, ce qui correspond au couplage entre commande optimale et identification;

3. Le préfiltrage ne pose aucun problème majeur, et on peut même s'en passer si onutilise un régulateur sans les non-linéarités;

4. Le choix des filtres permettant d'effectuer la décomposition en lent et rapide pourformer les critères rapide et lent se fera sans difficulté suivant le schéma indiqué en(V.4.5.3); quelques itérations suffisent pour déterminer les bons filtres (passe-bas etpasse-haut); de plus pour un bâtiment donné cette recherche se fait une fois pourtoutes.

Dans ces conditions, les paramètres estimés en fonctionnement optimal sont suffisantspour maintenir une bonne qualité de la commande optimale. C'est-à-dire que les performances de la commande optimale, calculée à partir du modèle estimé, sont voisines15 decelle calculée à l'aide du modèle exact.

D'après 1, on voit que même dans le cas où on ne dispose pas d'assez de temps pourmener une identification parfaite, on peut quand même utiliser les paramètres estiméspour effectuer l'optimisation. Les commandes ainsi calculées ne seront certes pas aussibonnes que si l'horizon était plus long mais leurs précisions sont satisfaisantes comme onl'a vu en (V.4.3).

14Qui concernent notamment l'origine de la commande utilisée pour l'identification et le fait que lessignaux météo ont été supposés reproductibles pour pouvoir effectuer ]a comparaison entre ce qui estla vraie commande optimale (calculée à partir des paramètres vrais) et la commande -forcément sousoptimale- calculée à partir des paramètres estimés.

15Si on les applique au vrai modèle.

V.5. Conclusions 87

V.5 Conclusions

Nous avons vu dans V.4.4 que la méthode d'identification des moindres carrés donne desestimations des paramètres du modèle du comportement thermique du bâtiment étudiéqui ne permettaient de calculer une commande optimale correcte.

Dans les mêmes conditions (signaux d'entrées sortie et filtres), nous avons obtenu grâceà la nouvelle approche, basée sur une décomposition en lent rapide, des estimations surles paramètres suffisamment bonnes pour que les performances de la commande optimale(celle calculée à l'aide du modèle exact comparée à celle calculée à l'aide du modèle estimé,toutes deux étant appliquées au modèle exact) ne soient que très légèrement affectées (unsurcoût infériem à 3% et un confort amélioré) .


Conclusions

Le principal apport de cette thèse est de présenter une approche nouvelle pour l'identification des systèmes linéaires à deux échelles de temps, permettant d'obtenir des précisions relatives cohérentes sur les composantes du vecteur des paramètres. Dans l'étude duconditionnement du problème d'identification des moindres carrés associé à un système àdeux échelles de temps, nous avons vu pourquoi il était impossible de parvenir à de bonsrésultats lors d'une approche directe malgré une parfaite minimisation du critère (sommequadratique de l'erreur de prédiction sur un horizon donné).

Dans le chapitre III, on a présenté la nouvelle approche basée sur la décompositiondu critère des moindres carrés global (associé à l'ensemble du système) en deux critèresassociés aux deux échelles de temps par le biais d'une paire de filtres (passe-bas et passehaut) judicieusement choisis. Elle permet de remédier aux difficultés issues de la présencedes deux échelles de temps en se ramenant à l'estimation des paramètres dans leurs échellesde temps respectives, paramètres "lents" avec le critère lent et paramètres "rapides" avecle critère rapide.

Seul le cas d'un système d'ordre 2 a été traité. Le but était de dégager, au-delàdes calculs techniques, l'idée simple qui consiste à dissocier proprement (en faisant enparticulier attention aux raccords et autre surparamétrisation) les effets associés à chacunedes deux dynamiques lente et rapide.

Du point de vue de l'identification pure, nous avons vu dans le chapitre IV que laméthode par décomposition lent rapide donne des résultats moins sensibles à la troncature(entre cinq et neuf chiffres significatifs), ce qui rend ses performances à cinq chiffressignificatifs largement meilleures que ceux obtenus à l'aide de la méthode des moindrescarrés directe.

Nous avons enfin vu que la perte d'optimalité de la commande calculée à partir desestimés des paramètres issus de la méthode par décomposi tion lent rapide est marginale(moins de 3% sur le coût). Dans le même temps la commande optimale calculée à partirdes estimés des paramètres issus de la méthode des moindres carrés appliquée au systèmeexact a des performances assez mauvaises.

89

90

Perspectives

La suite des travaux sur le sujet peut être envisagée de la façon suivante:

1. Élargissement au cas d'un système d'ordre n quelconque avec une dynamique lented'ordre ni et une dynamique rapide d'ordre n, avec n = n, +ni. Ceci revient àassocier à la dynamique du système en question la fonction de transfert suivante:

J,(s) = J,(S)ft(éS),

où J,(s) et JI(éS) sont d'ordres respectifs n, et ni.

2. Élargissement au cas d'un système à ne échelles de temps (ne> 2). Le principe demeurant le même sauf que le problème d'optimisation sous-jacent à l'identification-par décomposition à ne échelles de temps- d'un tel système serait formés de necritères et aurait ne - 1 contraintes de couplages pour assurer les "raccords" nécessaires. De plus, le choix des filtres servant à effectuer les décompositions, devra êtresystématisé pour faciliter la détérmination des ne filtres affectés chacun à une desne échelles de temps.

3. La comparaison a porté sur la méthode des moindres carrés qui n'est pas la meilleuredes méthodes d'identification directes. D'autres méthodes, notamment non-linéaires,peuvent servir de meilleures références de comparaison à l'approche par décomposition lent rapide. Il serait donc intéressant d'effectuer d'autres compataisons.

Dans les deux premiers points, il sera nécessaire de déterminer les paramétrisations dessous-systèmes associés à chaque échelle de temps de façon à obtenir des contraintes depréférence linéaires pour que les résultats sur l'optimisation convexe (critère quadratiquepositif avec une contrainte affine dans notre cas) puissent rester valables et s'appliquer.

D'un point de vue technique, il reste à mettre en place une procédure de rechercheautomatique des filtres (appartenant à une classe donnée) qui servent à effectuer la décomposition du critère. En effet, autant pour le cas d'un système à deux échelles de temps, unerecherche de type empirique peut se révéler suffisante, autant il risque d'être très difficile,voire prohibitif, de vouloir en déterminer plusieurs (cas d'un système à plusieurs échellesde temps) surtout si on ne dispose pas d'information sur la répartition des différenteséchelles de temps dans le domaine fréquentiel.

Annexe A

Cas de plusieurs sous-systèmesrapides

A.1 Présentation

Il peut se révéler intéressant de considérer non plus un seul système rapide maIsplusieurs systèmes correspondant chacun à une période particulière. Ainsi par exemplesachant que la dynamique rapide est très sensible aux renouvellements d'air comme onpeut le voir dans les équations du modèle approché dit analogique donnée au chapitre (1)par la figure 1.1, il devient intéressant d'affecter à chaque périodel correspondant à unrenouvellement d'air différent un sous système rapide particulier, en conservant un uniquemodèle pour le sous système lent.

L'idée de cette partie est de proposer, en utilisant la nouvelle approche d'identification,une prise en compte de telles variations de la dynamique rapide en définissant un nouveaucritère issu de celui donné par l'équation (111.18) rappelé ci-dessous:

mm JTUEr) + J,(.'I:/)Xr,X,

C'(x" XI) = 0

On écrira le nouveau problème de minimisation associé à cette nouvelle approche, sachantque les études de la convergence et de la sensibilité peuvent être faites sur le modèle ducas d'un sous-système rapide unique étudié dans le chapitre (III).

1À condit.ion toutefois qu'elle soit assez longue par rapport à la petite constante de temps (associé àla dynamique rapide). Environ trois henres.

91

92

A.2

Ann. A. Cas de plusieurs sous-systèmes rapides

,Ecriture du problème

Lemme A.1 La solution unique du problème donné par l'équation (III.18) est aussi solution unique du problème défini par l'équation:

lllin

Xl, Xri, i = 1, ... ,PXri-l = Xri, i = 2, ... ,p

C(xr ;, XI) = 0

p

L O:,]Ti(XT;) + JI(XI)i=1

(A.I)

Preuve 18 Si on remplace JT(x r ) et JI(XI) par leurs expressions respectives, on obtient:

mmXl, X r

C(x" xE) = 0

qu'on peut encore écrire:

mm ~ lUir(t) - ZT(tfxr )2dt +;, l,(z,(r) - ZI(r)Txl)2dr .Xl, XT

C(X"XI) = 0

avec fb j(t)dt = f j(t)dt si 'H; = [a, bJ.la J1i.

Donc si considère une partition {'Hi pour i = 1 à p} de 'H, on obtient:

mInXl,Xr

C(XTl XI) = 0

où T; est la longueur de 'Hi. Et en introduisant les variables XTi associées à chaque sousproblème, on obtient:

mmxt,xri,i = 1, ... ,p

Xr i-l = Xri, i = 2, ... ,pC(xr ;, XI) :0= 0 .

, Tiou 0:; = T' 0

...::-- 1 f - T 2 1 f T )260:ir.},(ZT(t)-ZT(t) XTi) dt+T

,},,(ZI(r)-Z,(r) XI dri=1 l 'HI Ji

A.2. Écriture du problème 93

Remarque A.l Si l'on veut estimer pour chaque 1fi un vecteur différent, il suffira desupprimer les contraint.es : Xri = Xr;+l, i = 1, ... ,1' -1, en totalité ou en part.ie.Les multiplicateurs qui seront associés aux contraint.es égalités ainsi introduites nous permettront d'avoir une "mesure" (qui reste à définir) de l'évolut.ion des paramètres "rapides"sur l'horizon total 1fR.

Remarque A.2 Selon les cas2 , on supprimera ou non des 1fi en remplaçant. 1fr par1fr U 1fi (à cause du choix part.iculier des contraintes égalités). L'idée de base étantd'arriver à un nombre minimal de sous systèmes rapides.

Remarque A.3 Les 1fi seront évidemment choisis de telle sorte qu'ils coincident avecdes périodes particulières de types: nuit, période de préchauffage (particulièrement richeen signaux lents), mat.inée (riche en signaux rapides).

Remarque A.4 (thermique) L'hypothèse de variabilité des paramètres de l'échelle rapide n'est pas complètement irréalist.e. En effet suite à de fortes modifications de structure à l'int.érieur des locaux ou tout. simplement pour tenir compte d'une éventuellenon-stat.ionnarit.é de la dynamique thermique des bâtiments, les dits paramèt.res peuvent évoluer de manière t.out à fait notable. Pour éclaircir un peu plus ce point, nousdonnons deux exemples:

• La nuit., on aura un coefficient de renouvellement d'air différent de celui du jour.Celui-ci peut avoir des répercutions sur la dynamique du système dans sa globalité.Cet effet peut alors êt.re pris en compte, dans une bonne mesure, par la partie rapide.Il y aura en effet un ou plusieurs sous systèmes de "nuit".

• L'observation du fonctionnement global sur une grande période type peut mettreen évidence un cert.ain nombre de "zones", où l'on trouve plus part.iculièrementdes signaux rapides ou pas du t.out, ou tout. simplement. qui présent.ent d'autressimilit.udes. Il sera alors très intéressant d'affecter un même et unique syst.ème à ceszones.

2selon la valeur du multiplicateur associé à la contrainte cl 'indice i.

94 Ann. A. Cas de plusieurs sous-systèmes rapides

Annexe B

Note : Historique de l'identificationd'une enceinte à E.D.F.

B.1 Début des études sur l'identification à E11

B.l.1 Présentation

L'étude a eu lieu en 1987. Le but était d'identifier le comportement thermique (les< • Tint Tint d'l d· ) d' .tranSlerts contlllUS: -T et p . en passant par un mo e e !scret une encemte

ext llzssanceclimatique chauffée par des convecteurs électriques intelligents dans des conditions com-patibles avec son occupation, c'est à dire en respectant un certain confort (voir [6]).L'approche adoptée peut se résumer de la façon suivante:

• L'algorithme est celui des moindres carrés récursifs avec ou sansÏacteur d'oubli. Ila été choisi pour pouvoir effectuer une identification en temps réel pour sa bonneconvergence et ses temps de calcul relativement faibles dans le cas de mesures nonbruitées (sinon il génère un biais).

• La période d'échantillonnage a été fixée à 30 secondes dans un premier temps pourpouvoir, le cas échéant, identifier le comportement propre du convecteur.

• Filtrage des entrées/sortie avec des filtres passe-bas d'ordre 1, pas forcément identiques mais de même gain statique. Les fréquences de coupure sont choisies 5 à 20 foisplus petites que la fréquence d'échantillonnage pour ne pas affecter l'identificabilitéde la petite constante de temps!.

• Les entrées sont formées par la superpQsition à un signal2 présentant quelques paliersd'une Séquence Binaire Pseudo-Aléatoire. Celle-ci a un pas d'horloge de 2 minutes,une amplitude égale au dixième de l'entrée totale disponible et enfin un nombre debistables égal à 11 ou 7 selon les cas.

l qlli est de Porche de 1 heure.2 qu i schématise le fonctionnement habituel.

95

96 Ann. B. Note: Historique de l'identification d'une enceinte à E.D.F.

B.1.2 Résultats des essais

Deux séries d'essais ont été effectuées. La première visait à identifier les paramètres d'unmodèle d'ordre 1. La deuxième considérait un modèle d'ordre 2.

B.1.2.1 Cas d'un modèle d'ordre 1

• L'horizon d'identification choisi est de 8 heures et la SBPA a 7 bistables;

• Seul le gain statique a pu être identifié, la précision sur les autres paramètres, quisont peu stables en fin de traitement, est très mauvaise;

• L'erreur de prédiction converge néanmoins très bien vers zéro;

L'ordre du modèle ne serait-il pas suffisant? ou bien l'horizon d'identification serait-iltrop court? ...

B.1.2.2 Cas d'un modèle d'ordre 2

• Les essais ont été effectués sur deux fichiers: l'un de longueur 40 heures, comportedeux changements de consignes; et l'autre de longueur 20 heures, comporte troischangements de consigne;

• Sans facteur d'oubli (-y = 1) ou avec un facteur d'oubli exponentiel mais constant:il n'y a, là encore, que le gain statique qui est correctement identifié que ce soit ensimulation ou en essai réel;

• Avec un facteur d'oubli exponentiel croissant, les précisions sur les paramètres identifiés sont plutôt bonnes en simulation;

• Lors des essais réels aucun des paramètres ne se stabilise et le passage aux paramètresphysiques (du modèle continu) offre des surprises du type: petite constante de tempsnégative; le gain statique, lui-même, n'est pas très bien identifié;

• L'étude de l'action de l'arrondi numérique sur les résultats de l'identificateur montre qu'une précision convenable sur les paramètres du modèle discret nécessite unemesure de la température à 3 voire 4 chiffres significatifs. L'ordre de grandeur desparamètres du modèle discret sont: 0.002 ; 0.039 ; 0.97 ; ....

Les résultats obtenus en simulation permettent de constater que l'on peut facilementprétendre à une "suffisance de comportement" du modèle identifié, alors que la précisionsur certains paramètres est extrêmement mauvaise.

B.1.3 Que remettre en cause?

• La période d'échantillonnage: L'étude de la sensibilité de la précision obtenue sur lesparamètres identifiés avec un facteur d'oubli exponentiel croissant et un filtrage desdonnées a permis de conclure qu'une bonne valeur de la période d'échantillonnageétait, non pas 30 secondes, mais 8 minutes. Les filtres utilisés ayant une constantede temps de 2 heures ont dÙ affecter l'identificabilité de la petite constante de temps.

B.2. Préétude

• Les séquences d'entrées3 utilisées et leur taille.

97

• La modélisation: le modèle discret utilisant l'opérateur retard pur, présenterait-ilquelques faiblesses pour le traitement de ce type de systèmes.L'identification en bloc de tous les paramètres.

Sur ces trois derniers points, les questions étaient posées mais aucun résultat n'a puêtre obtenu.

B.2 Préétude

Un contrat avec ARMINES datant du début de 1988 a donné lieu à une étude surl'identification des systèmes à deux échelles de temps. Cette étude était destinée à larelance sur des bases plus correctes4 de l'identification pratique des bâtiments.

B.2.1 Présentation

Un logiciel a été produit à son issue. Il visait l'aide à la détermination d'un environnementS adéquat pour une meilleure estimation des paramètres physiques du système (:gains statiques, constantes de temps et zéros). Ses principales caractéristiques sont:

• Le modèle utilisé est le modèle discret à opérateur retard.

• Lialgorithme utilisé "est celui du gradient7•

• Les filtres utilisés sont des moyennes, des intégrateurs· et leur compléments respectifs à l'identité.

• La période d'échantillonnage utilisée est 10 minutes.

Dans un premier temps, il a fallu transporter le logiciel sur Compaq 286. Les différencesexistant entre les Fortrans9 disponibles sur cette machine et celui dans lequel était écritle logiciel ont rendu ce transfert difficile.Par la suite les trois approches suivantes ont été testées:

• L'approche linéaire: identifcation en bloc de tous les paramètres, le modèle dusystème étant: Yn+2 = -dIYn+! - d 2y" +nI Un+! +n2U"j

• L'approche paralléle: On identifie le système en deux fois:

3En fait ponr obtenir Hne SBPA suffisamment riche pour identifier tont le système d'un seul coup, ilest nécessaire d'avoir nn nombre de bistables très élevé et par suite un horizon cl 'identification très grand.

4notamment. en tenant compte des remarques faites dans la première étude.. uensemble de réglages concernant les filtres, les ~ntrées à utiliser et leur durée.6iJ est non récursif.7le critère qu'il minimise est le carré de l'erreur de prédict.ion à un instant donné et non pas la somme

de ces quantités sur tout l'horizon d'étude comme ce fut le cas pour l'algorithme des moindres carrésutilisé au chapitre premier.

8],intégrateur d'ordre 4 donne : tl~nt4 = Un-l - 2.5un_2 + 11 0 _3 - O.25uo_4.

9ProFortran et MSFortran.

98 Ann. B. Note Historique de l'identification d'une enceinte à E.D.F.

Une première fois et en utilisant des entrées rapideslO, on identifie la partie

rapide;

Une deuxième fois avec des entrées lentes et sur des horizons beaucoup pluslongs, on identifie la partie lente.

• L'approche bilinéaire: le transfert d'ordre deux à identifier est factorisé. Cetteapproche consiste alors à effectuer 10 à 20 fois plus d'itérations sur les paramètresdu transfert rapide que sur ceux du transfert lent.

Remarque B.l L'identification de sytèmes ayant deux constantes de temps se fait assezaisément tant qu'elles sont voisines et que la plus petite d'entre elles est supérieure à 8ou 10 fois la période d'échantillonnage.

B.2.2

B.2.2.l

Exploitation et Résultats des essais

Étude du transfert T;ntPUIssance

. . . " TintDans un premIer temps et pour facIlIter les mIses au pomt, seul le transfert p .

Ulssancea été étudié. Les principaux résultats obtenus sont:

1. Approche linéaire: Une bonne estimation simultanée de tous les paramètres physiquesll

semble être impossible. On obtient néanmoins d'excellentes précisions sur les paramètresdu modèle discret (entre 0.05% et 2.0 % ).

2. Approche parallèle : La petite constante de temps est facilement identifiable. Lagrande est par contre impossible à déterminer dans notre cas : elle est de l'ordre de200 fois la période d'échantillonnage.

3. Approche bilinéairel2: Les résultats obtenus dans ce cas ne présentent pas d'avan

tage particulier par rapport à ceux obtenus par l'approche linéaire, et surtout pasen ce qui concerne l'estimation simultanée des deux constantes de temps.

B.2.2.2 Étude du système global: (Tint Tint Tint)PUl.'Jsance l Text' Irr.Sol

Les trois approches donnent des résultats qui se valent. Chacune a ses points faibles etses points fortsl3

. Dans tous les cas, le réglage des filtres est très long à faire.

B.2.3 Conclusions

Les paramètres du modèle discret peuvent, moyennant un effort dans le choix des filtres,être bien estimés. Par conséquent, l'identificateur semblel4 bon. Les ennuis apparaissent

lOSBPA à G bistables et de période d'horloge 10 minutes.11 Avec un bon choix des filtres utilisés, on est parvenu à llne crreur relative Sl.lf la grande constante de

temps de 10 %et sur la petite de 8 %, mais alors les coefficients du numérateur étaient très nIai estimés.12Cette approche semble mieux adaptée à l'identification des systèmes non stationnaires.13Certains paranlèt.res sont mieux ident.ifiés par la première approche, d'autres par la seconde et ainsi

de suite.14Pour qu'on en soit tout à fait. sûr, il faudrait effectuer une vaJidation pour définir ses limites quant

aux ent.rées et leur durée en particulier.

B.2. Préétude 99

lorsqu'on essaie de calculer les paramètres physiques du système à partir des valeursestimées données par l'identificateur. Ceci s'explique très simplement par le fait que pouridentifier la petite constante de temps, il est nécessaire que la période d'échantillonnage

ta soit assez petite (10 minutes). Mais alors, comme Zl = e~, une erreur relative de 10 %sur la grande constante de temps t l nécessite une précision de 0.03 % sur Zl ce qui paraîtimpossible à obtenir, eu égard aux autres paramètres à identifier.

100 Ann. B. Note: Historique de l'identification d'une enceinte à E.D.F.

Annexe C

Rappels sur les filtres utilisés

C.I Introduction et motivations

On a vu que la résolution du problème d'identification des systèmes à deux échellesde temps par la décomposition lent rapide nécessite un bon choix des filtres qui servent àeffectuer cette décomposition pour former -à partir des signaux d'entrée-sortie correspondant au système à identifier-les critères Jr et JI, rapide et lent, qui interviennent dans leproblème de minimisation final.Ces filtres ont été choisis dans la partie simulation numérique parmi plusieurs classes :

1. Dans C.2, on expose un filtrage par simple moyennisation. Ce filtre a été le premierà être utilisé pour la simplicité de sa mise en Œuvre.

2. Dans C.3, on donne un exemple particulier de filtre rationnel d'ordre deux.

3. Dans CA, on considère des filtres issus de la Transformée de Fourier Discrète quiseront notés TDF.

C.2 Moyennes

Le filtrage retenu pour cet exemple est sans doute le plus simple que l'on puissetrouver. Il consiste à prendre les moyennes du signal à filtrer sur les intervalles multiplesde la période d'échantillonnage Ta.

Considérons un signal: U(t) = Ui sur [iTo,(i + l)To[ , i = 0 à N , et appelons ULp sapartie lente d'indice p (entier).Alors ULp est obtenu par un simple calcul de moyennes sur des pas Tl = 2PTo, ( p =1, 2, 3,4, ... ) et peut être considéré comme un signal échantillonné de pas Tl,D'où les expressions suivantes:

où Np est la pa.rtie entière de ~~l, et ULpj est définie par:

101

102 Ann. C. Rappels sur les filtres utilisés

. Npour tout J ::; 2P-1'

Les résultats obtenus à l'issue de l'identification seront comparés à ceux qui serontobtenus avec d'autres types de filtres. Cette comparaison devrait en particulier nousrenseigner sur la dépendance -s'il y en a unede la nouvelle approche d'identification parrapport aux filtres choisis pour effectuer la décomposition.

C.3 Filtres rationnels

Les filtres retenus sont de la forme:

(C.I)

kc a été pris égal à 1. l- est la fréquence de coupure du filtre."0Tc a été placé "entre" les deux pôles. Ceci faisait prendre en compte une certaine

connaissance, même floue, a priori, des positions des deux pôles.Si XL(t) est le filtré lent du signal x(t) alors leurs transformées de Laplace respectives,notées XL(S) et x(s) sont liées par la relation suivante:

Dans un premier temps, nous avons pris pour tout signal x :

où XL et XR sont les parties lente et rapide de x.Par la suite, nous avons introduit une zone de "recouvrement" fréquentielle, en définis

sant t..Tc , Tf et T!! tels que:

On pose alors :

{XL = f"L XXR = x ~ frf x

Dans la remarque V.15 de la page 83, sont donnés quelques éléments pour déterminerassez rapidement les bonnes fréquences de coupure.

CA. Filtres issus de la TDF : Cas simple 103

CA Filtres issus de la TDF : Cas simple

Étant donné un signal x(t),t = l, ... , N, la démarche suivie pour obtenir ses partiesrapide et lente est la suivante:

1. on calcule sa TDF (Transformée de Fourier discrète) :

(C.2)

pour tout w = l, ... , Nj

2. on choisit ne compris entre 1 et If. ne représente la frontière entre rapide et lent.Là encore, mais dans une moindre mesure, on utilise une connaissance a priOl"i decette frontière.

3. les XN(~k), k E {l, ... ,ne } U {N - nc>" .. ,N} serviront à calculer xL(t), et lesautres1 à calculer XR(t) ce qui revient à écrire: XR = x - XL.

( ) 1" X (21f k) i11r.ktXG t = -- L..J N -' e NVN kEG N(C.3)

où G est l'ensemble de variation de k : GL = {l, ... , ne} U{N - ne,'" ,N} pour lapartie lente et GR = {ne, . .. , N - ne} pour la partie rapide.

Par la suite, nous avons ajouté une zone de recouvrement en introduisant une intersectionnon vide aux ensembles GR et GL correspondant respectivement aux filtres rapide et lent.Dans [29J, on peut avoir les détails des expressions ci-dessus.

C.5 Filtres issus de la TDF : Cas général

On rappelle d'abord les deux relations -liant le signal tempOl"el x(t)) t = l, ... , N à satransformée de Fourier discrète- suivantes:

x(t) =

1 N .= - L x(t)e-·wt

VNt~1 -1 ~X (21fk) i"',--L..J N--e N

VN k~1 N

(CA)

FL(w)XN(W)FR(w)XN(w)

Xfi;(w)et X!J(w)

. Et on va définir les transformées de Fourier discrètes des parties lente et rapide de x(t)de la "façon suivante:

Remarque C.I FR(w) et FL(w) sont les profils que l'on veut assoCIer à chacun dessignaux filtrés lent Xl, et rapide x,.

1 Dans le cas Oll il n'y a pas de zone de recouvrement.


Remarque C.2 Dans CAles profils FR(w) et FL(w) sont définis par:

{FR(w) = 1 si ~w E GR ,0 sinonFL(w) = 1 si hW E GL ,0 sinon

À l'aide de ces définitions, on va exprimer les éléments de Jr(xr) et J1(Xt) en fonctiondes signaux de départ (l'entrée u, la sortie y et leurs dérivées) en considérant les équationsde prédiction données aux sections III,4.3 et III.4A. Il suffira alors d'exprimer Zr(t), Yr(t),y/(T) et ZI (T f en fonction des signaux non-filtrés et des caractéristiques des profils desfiltres (FR(w) et FL(w».Cela donne de manière simplifiée les équations de prédiction:

Yr(t) = Zr(t)Txr

Y;(T) = ZI(Tlxl

où

et xr et XI sont les vecteurs des paramètres des sous-systèmes rapide et lent. Les notationsci-dessus sont celles des sections III,4.3 et III,4.4.Le calcul est analogue à celui pl'ésenté ci-dessous.

Remarque C.3 Soient ql, qr, bl, br, c', cr, les éléments des critères (globaux) obtenus àpartir' des signaux rapides (Z,.(t), Yr(t» et lents (y/(r) et Zi(Tf) respectivement, alorsql, qr sont de dimensions respectives 3 et 2 et de rangs pleins pour un bon choix des filtresde décomposition et de l'excitation(persistente).

Leur calcul se fait de la façon suivante:Le critère de départ s'écrit:

où{

q = ~ Jl' Z(t)Z(tfdtb = ~ Jl' z(t)Z(t)dtc = ~ Jl' z(t)2dt

si on a écrit le modèle -comme en III,4.1- ou encore:

z(t) = Z(tlX

(C.5)

(C.6)

!u(t) l'entrée du systèmey(t) la sortie

avec z(t) jj(t)

Z(tf - (Y(t) y(t) Ù(t) u(t»)

On va d'abord se replacer dans le cadre de sommes finies en remplaçant l'intégrale parun E ce qui donne par exemple pour q :

C.6. Conclusions

• Partie lente:

avec

et

• Partie rapide:

105

(C.7)

avec

On peut faire les mêmes transformations sur le vecteur colonne:

1 Nb = - Lz(t) Z(t)

N 1=1

et le scalaire :1 N

c = N LZ(t)2t;::;l

ce qui permet d'obtenir (b',br,c',cr).

Remarque C.4 Un cas particulièrement intéressant est celui où on a :

pour tout k E {l, ... , N}

ce qui revient à prendre des profils complémentaires pour les filtres lent et rapide.

Remarque C.5 les expressions ci-dessus supposent les ZN(}.; k) réels.

C.6 Conclusions

Nous avons vu qu'une information sur la "frontière" lent-rapide était utilisée pour fixerles paramètres du filtre dans la classe choisie.Dans la réalité, on peut être en présence d'un système pour lequel on ne possède aucuneidée a priori sur cette frontière, ou bien que l'information disponible ne soit pas suffisantepour fixer le filtre à l'intérieur d'une classe donnée.

Dans la remarque V.15 de la page 83, est exposé une procédure itérative assez rapidepour déterminer les bons filtres dans le cas des filtres rationnels.


Annexe D

Rappels : Cas des moindresnon-déterministe

"carres

Habituellement la preCISIOn obtenue sur l'estimé x du vecteur des paramètres est"mesurée" par la matrice des covariances: cov(x). Moins cette matrice est "élevée"l,meilleure est la précision.

x qui sera aussi noté x<p est la solution du problème d'identification associé au systèmedonné par l'équation suivante:

z(t) = Z(tf ,'c* + 'P(t) (D.l)

où 'P(t) est une perturbation qui correspond par exemple iL des erreurs de mesure. Dansce qui suit, on va considérer le cas d'un bruit blanc2

• On pourra se reporter à [47J ou [29]pour le cas d'un bruit gaussien3

.

On rappelera certains résultats connus sur la matrice des covariances de la solution auproblème d'identification du système donné par l'équation (D.l). En particulier, on noteraque la solution donnée par la méthode des moindres carrés correspond à une matrice descovariances minimalé.On verra ensuite que cela ne suffit pas pour avoir une bonne précision sur les pôles dufait de la spécificité de la dynamique du système.

Dans ce qui suit, on va rappeler des résultats classiques issus de [47], [34J et [29] dansle cas d'un bruit 'P(t) blanc de variance (J2.

Lelnme D.l Si 'P(t) est un bruit blanc de covariance (J2 et si on suppose le veeteu.r desobservations Z(t) déterministe indépendant de 'P(t)) alors on a les résultats suivants,'

1Au sens des formes quadratiques: QI est supérieure à Q2 si, et seulement si, la matrice QI - Q2 estpositive.

2<p est un bruit blanc si <Ptt') n'est. pas carrelé avec <Ptt) pour tout t # t'et. on not.era : cov(<p) =E[<p<pT] = ,,2 I oit I est la matrice identité de dimension celle de <p.

3<p est un bruit gaussien de moyenne nulle et de variance E s'il admet pour loi de probabU.ité :

1 1L(<p) - exp(--<pTE-I<p)

- (2,,) ';' (detE) 'i 2 .

4Ul1e covariance minimale correspond à llne précision maximale (la meilleure possible).

107

IDS Ann. D. Rappels: Cas des moindres carrés non-déterministe

1. la solution du problème des moindres carrés associé (/.IL système défini par l'équation(D.l) est:

(D.2)

où Xo est la solution du problème sans perturbation (xo = x*) et Q est la matricedéfinie en page 32;

2. la solution est sans biais: E[x",J = xo;

3. la matrice des covariances des x", est :

4. On peut aussi exhiber un estimate,,,' sans biais de 0-2 de la forme:

où a est une constante à détermine!'.

Preuve 19 1 est évident.Pour 2 on a:

E[x",l - E[xol + E[Q-'(~ f c,o(t)Z(t)dt)]

1 fT- Q-I(T)o E[c,o(t)]Z(t)dt)

o

Pour 3 on a:

E[(x", - xo)(x", - xof] E[(Q-'~fc,o(t)Z(t)dt)(~f c,o(t)Z(t)TdtQ-I)]

_ Q-lE[~ fT c,o(t)Z(t)dt)(~ fT c,o(t)Z(t)Tdt]Q-'Th ThQ-I E[~~ fT fT c,o(t')Z(t')c,o(t)Z(tfdtdt']Q-I

TT)o )0

= Q-I ~ ~ f f E[c,o(t)c,o(t')]Z(t')Z(tldtdt'Q-I

0-2Q-I(~ fT dt ~ fT Z(t)Z(t)Tdt)Q-IT)o T)o

=0-2Q-I(~ faT Z(t)Z(tfdtQ-I)

0-2Q-I

Pour 4 on a: Si on appelle h = ~ fi! c,o(t)Z(t)dt alors d'après 3 E[hhTJ = 0-2Q.De plus

(D.3)

109

- E[~ {(Z(t)TXO +<p(t) - z(tf(xo +Q-1h))2dt]

- E[~ {(<p(t) - Z(t)TQ-1h)2dt]

- E[~ { <p(t)2dt] - E[hTQ-1h]

Or E[t Ji! <p(t)2dt] = 172 et :

E[hTQ-1h] _ E[trace[hTQ-1h]]

_ E[trace[Q-1hhT]]

trace[Q-lE[hhT]]_ trace[Q-1a2Q]

nQa2

où nQ est la dimension de la matrice Q, donc:

1Œ=---

1- nQ

D

L'estimé x'" est de plus, entre tous les estimateurs linéaires sans biais,celui dont la matrice des covariances est minimale. En effet dans [47] les auteursmontrent l'existence de ce minimum ainsi que son obtention dans les cas de l'estimateurdes moindres carrés donné par l'équation (D.2).

On constate donc que pour un bruit blanc de covariance l'unité (17 21), la matrice descovariances de X'" est d'après (D.3) :

où Q est la matrice qui est intervenue tout au long des sections précédentes.Dès lors on voit que si la limite quand ê tend vers zéro de Q n'est pas de rang non pleincomme c'est indiqué le chapitre "Conditionnemenf'5, alors pour ê très voisin de zéro Q-lest très "grande" c'est-à-dire que l'une au moins de ses valeurs propres est très élevée.Ceci explique la mauvaise précision qu'on obtient sur le vecteur des paramètres obtenu àl'aide de la méthode des moindres carrés appliquée directement au système de départ.

En conclusion on constate que la meilleure précision possible qu'on peutespérer à l'issue d'une résolution directe par la méthode des moindres carrésest celle qui corre~pond à une matrice des cov~riances égale à Q-l ( dans lecas d'un bruit blanc évidemment). ce qui implique de mauvaises précisionssur le vecteur des paramètres à estimer lorsque la dynamique du système està deux échelles de temps.

5Ce qui équivaut à dire que la limite du déterminant de Q tend vers zéro quand é tend vers zéro.

110 Ann. D. Rappels Cas des moindres carrés non-déterministe

Annexe E

Résolution par décompositioncoordination

E.l Rappels: principe du problème auxiliaire

Étant donné un problème de minimisation sous contrainte du type:

min J(x)xE X ad

C(x) = 0

(E.l)

oil X ad est un convexe fermé d'un Hilbert X, C(x) est une contrainte affine et Junefonctionnelle à valeur dans §R différentiable et convexe. Résoudre le problème (E.l) revientà chercher le point selle de la fonctionnelle L(x, p) définie par:

L(x,p) = J(x) + (p, C(x)) (E.2)

(E.4)

le couple (x,p) variant dans X ad X cad.

Le point selle de (E.2) peut être obtenu par la résolution de la succession de problèmessuivants composant le "problème auxiliaire":

min ](x) + (o)'(x i) - ]('(xi), x) + (p', (cC'(x i) - n'(xi)).x) (E.3)xE X ad

n(x) +pC(xi) - n(x') = 0

I( étant une fonctionnelle fortement convexe (une forme quadratique définie positivepar exemple) et 11 est un opérateur du même type que C. Chaque problème de type(E.3) indexé en i, donne une solution (:I: i+\ pi+1). Avec les bonnes hypothèses, la suite(xi,pi) ainsi cOl)struite, converge vers (x',p'), point selle du problème (E.2) et qui estdonc la solution du problème initial donné par (E.l). Pour plus de précisions, on pourrase reporter à la démonstration du théorème 5.1(donnée dans le cas oll K(x) et J(x)quadratiques et l1(x) affine) et située dans [14J.

Le point selle de (E.2) peut aussi être obtenu par la résolution de la succession deproblèmes suivants:

{

min K(x) + (cJ'(x') - K(x'), x) +c(pi, C(x)) -> :l:i+1

xE X ad

pi+1 = pi + pC(X'+l)

111

112 Ann. E. Résolution par décomposition coordination

· La preuve de convergence de la suite (x;, p;) ainsi construi te vers le point selle duproblème (E.2) et les conditions sur les p et ê sont données par le théorème 6.1 de [14].

E.2 Cas d'un critère additif

Considérons le Cas où le critère J(x) s'écrit sous la forme suivante:

J(x) = J(Xl) +... + J(xp ) (E.5)

les J; étant des formes quadratiques définies positives, l'espace admissible X ad s'écrivantcomme le produit de plusieurs sous-espaces:

X ad- X ad X X X ad- 1 ... p

x = (Xl,'" ,Xp ) et la contrainte est additive:

(E.6)

(E.7)

On peut se ramener à la résolutièm de p sous-problémes de moindres tailles que leproblème de départ et de façon quasi-indépendante. On prend alors la fonctionnelle J(

sous forme (additive) :(E.8)

Les problèmes (EA) et (E.3) débouchent moyennant des choix adéquatsdes fonctions J(, ê et !1 (I( = 1 et ê = 1) pour le premier et J( pour le second,sur les algorithmes de prédiction et des prix suivants.

E.2.1 La prédiction

On affecte à chaque sous problème j un ensemble, éventuellement vide, de contraintesC,(x) à gérer:

p

C,(x) = C'l(XI) +... +C,Ax,) + ... + C,p(xp ) = LC,/(XI)1=1

• On choisit un élément initial (xo,],o).

• À l'itération i, pour j = 1, ... ,p on résoud les problèmes suivants:

Jj(X;) +L(qLCkj(xj))kh

(E.9)

La résolution du problème (E.9) donne x/ l et le multiplicateur de lagrange p;+lassocié à la contrainte Cjj(Xj) +v; = o.

• Si les conditions d'arrêt ne sont pas satisfaites, on fait i +1 -+ i et on recommence,sinon fin.

E.2. Cas d'un critère additif 113

Les q~ et les v} ont des expressions bien définis à partir des données disponibles aumoment de la résolution du problème j à l'itération i. Sont en effet disponibles les p~tl

et les x~tl pour jf < j d'une part et d'autre part le p}.. et les x}.. pour j" > j quicorrespondent à l'itération précédente. Avec ces définitions, on a :

si k < jsi k > j

(E.I0)

v} = I:Cjk(X~+I)+ I:Cjh(xUk<j h>j

Cet algorithme comporte donc un seul niveau: celui du problème (E.9).

(E.ll)

E.2.2 Les prix (Uzawa)

• On choisit un élément initial (XO,pO).

• À l'itération i, pour j = 1, ... , p on résoud les problèmes suivants:

(E.12)

chaque problème (E.12) donne x}+I. On actualise le vecteur des variables duales ppar un pas de gradient:

p

pi+! = pi + p(I: Cj(X~))j=l

(E.13)

• Si les conditions d'arrêt ne sont pas satisfaites, on fait i +1 --> i et on recommence,sinon fin.

Contrairement à l'algorithme précédent, celui-ci comporte deux niveaux. Dans lepremier sont résolus les problèmes sans contraintes donnés par (E.12) qui donnent lesvariables primales, le second niveau permet d'ajuster la variable duale p par un pas degradient comme l'indique (E.13).

E.2.3 Remarques

Remarque E.l L'intérêt de résoudre le problème par décomposition coordination résidedans le fait que l'on va pouvoir séparer (à la coordination près) l'identification du soussytème rapide (et donc des paramètres associés à la dynamique rapide) de celle du soussystème lent (et donc des paramètrres associés à la dynamique lente).

Remarque E.2 Les paramètres éi et p sont des paramètres de réglage et sont choisis

empiriquement à l'intérieur d'iritervallesdéfinis dans les preuves de convergence que l'ontrouve dans [14J.

114

E.3

Ann. E. Résolution par décomposition coordination

Identification du système thermique

(E.14)

(E.16)

(E.15)

Le problème d'optimisation associé à l'identification de systèmes à deux échelles de tempspar la nouvelle approche par décomposition lent rapide se présente sous la forme de laminimisation d'une somme de deux critères quadratiques sous la contrainte (de bouclagelent/rapide). Il s'écrit de la façon suivante:

mm.TT) Xl

C(x" XI) = 0

Dans le cas du système thermique, on a en plus une contrainte de gain statique unitairepour l'une des trois entrées (la température extérieure). De plus modèles lent et rapidesont donnés par :

x2 x3 x4

= 'tr + r q' + 'soir1 - XIS ex! 1 - xIs 1 - xIs

, , T

2+,3 4+5 6+7X'-'O"--..:....,Xc'-' 1 X,O" XI 1 X,O" X, [1- 1 tex! + 1 q + 1 SO

0" - X, 0" - X, 0" - X,

, _ (1 2 3 4)T t (1 2 3 4 5 6 7)T t 1 t·OU X r - X r X r X r X r e Xl =. X, X, Xi X, XI ''"CI Xl son es vec eUIS

des paramètres associés respectivement au problème rapide et au problème lent.vr et vi sont les filtrés rapide et lent du signal v E {tai" tex', q, sol} (température de l'air,température extérieure, puissance de chauffage et ensoleillement).

De plus,C(X",r,) = UXI +Vx, (E.17)

",oc/!{ 0 1 0 0 0 il el V ~ (! 0 0

n-1 0 0 0 0 1 00 0 -1 0 0 0 10 0 0 0 -1 0 0

La première contrainte (xl - xl = 0) est la contrainte imposant un gain statique

.. 1 t f tai' d t~i' L t" (2 2 0 2 4umtalre pour e l'ans ert - et one pour -,-' es ,l'OIS slllvantes X, -X, = ,X, -X, =text text

oet x; - x? = 0 ) sont les contraintes de couplage lent/rapide associées aux trois entrées.

Les critères J,(x,) et J,(X,) sont donnés dans le cas d'un système mono-entrée par leséquations (III.20) et (III.38), clans les sections III.4.3 et III.4.4 respectivement aux pages32 et 37. Leur expressions respectives restent les mêmes :

(E.18)

(E.19)

seuls changent les expressions cie Z,.(t) et ZI(T) :

(E.20)

E.4. Conclusion sur la mise en œuvre 115

Remarque E.3 Pour la mise en œuvre pratique en simulation, les opérateurs dérivations pour l'échelle de temps rapide et (J" pour l'échelle de temps lente ont été remplacés parles oprérateurs Or et 0, définis par:

C ( ) v(nt r ) - v((n -l)tr )UrV ntr = ---'-----'-'------'-'---'---'--'

t r

C ( )v-(,'--=-nt:.:<d'----_v:.2(~(n'-------.:l=.!..)t::.Lf)UlV ntf =-

t,

(E.22)

(E.23)

si les signaux rapides d'un côté et lents de l'autre sont donnés, après filtrage des signauxde départ, avec des pas de temps t r et tl.

Remarque E.4 Pour la mise en œuvre de l'algorithme par prédiction, toutes les contraintes ont été affectées au sous-problème "lent".

EA Conclusion sur la mise en œuvre

Il est vrai que les seules conditions où l'on soit sûr de la convergence des deux algorithmesde décomposition présentés ci-dessus (et mis en œuvre en simulation pour la résolution enpratique) sont celles où on l'on a affaire à des problèmes convexes, donc des contraintesaffines. Il n'empêche qu'en simulation, que ce soit pour le cas de l'opérateur continu avecun contrainte bilinéaire (avant remodélisation du sous-système rapide) ou pour le casde l'opérateur retard, les résultats obtenus montraient une convergence lente et étaientpresqu'aussi bons que ceux obtenus dans le cas d'une contrainte linéaire.

116 Ann. E. Résolution par décomposition coordination

Annexe F

Quelques remarques sur l'étude duconditionnement

F.I Introduction

Dans cette annexe, on va définir quelques outils qui ont été testés pour la comparaison dessensibilités des solutions données par les méthodes directes (principalement la méthodedes moindres carrés) et par la nouvelle méthode par décomposition lent rapide, vis-à-visdes perturbations.

Si il n'ont pas été retenus, c'est parce qu'en fin de compte il ne permettent pas dediscriminer une méthode par rapport à l'autre.

F.2 Principe

Le principe des outils est que:

• En l'absence de perturbations sUl' les modèles ou sur le calcul du critère correspondant au problème d'identification (dont l'ArgMin donne l'estimé des paramètresdu modèle, supposé exact, que l'on cherche à identifier), la solution théorique duproblème d'identification associé à la méthode des moindres carrés est exactementégale au vecteur des paramètres correspondant au modèle exact.

• Comme le système à identifier est à deux échelles de temps, le hessien du critère estmal conditionné: le rapport des valeures propres extrémales (la plus petite sur laplus grande) est au moins! d'ordre é.

• Ce mauvais conditionnement implique celui du problème de minimisation du critèrece qui entraîne en particulier une grande dispersion de l'argmin : le simple fait deminimiser la somme quadratique de l'erreur de prédiction ne suffit pas (ou plus)pour obtenir une bonne précision relative sur toutesles composantes du vecteur desparamètres. 2

1En fait elle d'ordre t:"', si on note Hl l'ordre de la dynamique lente.2Pour fixer les idées, 011 peut. consuHer l'annexe D et constater en particulier que dans le cas d'une

perturbation par un bruit blanc de l'erreur de prédiction, la matrice des covariances de la solution donnéepar la méthode des 1110indres carrés est O'2Q-1 ott Q est le hessien du critère à une constante près.

117

118 Ann. F. Quelques remarques sur l'étude du conditionnement

• On a alors défini des erreurs absolues et relatives comme indiqué ci-dessous dans lasection F.3, pour mettre en évidence le fait que de très petites perturbation entraÎnent des erreurs absolues d'ordre un sur des composantes du vecteur des paramètresen é (s'annulent pour é = 0) ce qui implique des erreurs relatives d'ordre négatifsen é et donc d'autant plus mauvaises que le rapport entre échelles de temps estvoisin de zéro. Ceci a été fait avec deux types de perturbations : cp(t) général etcp(t) = LT x'j seul ce dernier cas est traité dans la suite.

• La difficulté a été ensuite de montrer que les précisions obtenues sur les paramètresdes deux dynamiques par la nouvelle méthode sont meilleures, c'est-à-dire de majorer les erreurs relatives sur les paramètres des deux dynamiques par des quantitésd'ordre 1 (ne s'annulant pas pour é = 0).

Toutes les notations sont celles du deuxième chapitre.

F.3 Précisions absolue et relative

Si on note:z(t) = Z(t)TX (F.I)

l'équation du modèle à identifier, sachant que la sortie du sytème est donnée par l'équation

2(t) = Z(tf x·

et que le critère a été perturbé de la façon suivante:

1 fTJ(x, L) = T Jo (2(t) - LT

X· - z(t)?dt

(F.2)

(F.3)

L(t) est le vecteur des perturbations et est de même dimension que Z(t). Le critère donnépar l'équation (F.3) peut encore s'écrire:

1 faTJ(x, L) = - (Z(tf(x' - x) - LT x·)2dtT a

(FA)

Tel qu'on a défini le problème perturbé ci-dessus, z(t) et Z(t) peuvent être considéréscomme indépendants de L(t).

L 1 t · .. . . 1 't' J( L) "fi 8J(x,L) 0 ta so u IOn qUI mlllllll1Se en x e cn ere x, ven e : 8x = e a pour

expressIOn:lifT

X = x· - (TZ(t)Z(tfdtr1 T Jo Z(t)L(tfdtx' (F.5)

Dans ces condition, on va définir ce que l'on entend par précisions absolue et relative.

DéfinitionF.l (Précision absolue) La précision absolue sm le vecteur des paramètresx (de dimension n) est définie par:

L'..x = mmu E IIn-l

lIull = 1

max5L E L2

- {O}IIOL(tfx'lIL> = 1

IIIIu llHP (8x OL) Il115LIIL> 8L' L>

FA. Minoration de l'erreur absolue

Il.11 est une norme de !Rn, Il.112 OU Il.1100 par exemple.

119

Remarque F.I Il s'agit d'une erreur absolue normalisée qui ne dépend plus du rapport. . lIuli

sIgnal sur brUIt: 115LII'

Définition F.2 (Précision relative) La précision l"elative est définie pour chaque composante x; du vecteur des paramètres x par :

tJ.x;tJ.rx; = VT x'

•avec

tJ.x; = mmu E Hn-I

lIull = 1

maxDL E L 2

- {a}IIDL(tVx'IIL' = 1

où 11; est le vecteur colonne tel que: ViT x· = x;.

Remarque F.2 (Cas sans perturbation) Pour L = 0 ou si

alors la solution donnée par l'équation (F.5) devient:

•XL=O = X(Z(t).L(t)T)=o= X

!.. fT Z(t)L(tfdtx' = 0T Jo

(F.6)

Cela signifie que le vecteur des vrais paramètres du système est obtenu pour une pertur

bation nulle ou telle que!.. fT Z(t)L(tfdt:r; = 0T Jo

Remarque F.3 (Stochastique) Si <Ptt) = L(t)x' est de moyenne nulle ou si <Ptt) et Z(t)ne sont pas correlés alors l'estimé :î:", est sans biais. Il en ressort que l'espérance mathématique de l'erreur absolue est nulle. Dans tous les cas, l'estimé est d'autant meilleurque la matrice de covariances Q-l associée est petite au sens des formes quadratiques. Lethéorème de Rao-Cramer donne une minoration de cette matrice des covariances. Voirsection III.5 et [34J pour les détails.

Remarque FA (Cas d'ordre 1) Si Q-l = a- 2 alors la précision sur l'etimé du vecteurdes paramètres est a- l et est d'autant plus mauvaise que a est grand.

FA Minoration de l'erreur absolue

Le vecteur des paramètres comporte des composantes en e; oÙ i varie dans {l, ... ,ni}et ni est l'ordre de la dynamique lente. Pour le système thermique considéré dans cetteétude ni = 1 et les composantes en e du vecteur des paramètres sont les deuxième etquatrième.

Dans ce qui suit, on va donner une minoration de l'erreur absolue sur la dernièrecomposante par une quantité indépendante de e.

120 Ann. Fo Quelques remarques sur l'étude du conditionnement

Lemme F 01 Si Xo est la dernière composante du vecteur des paramètres x et si ll.xo estl'erreur absolue sur Xo, alors

ll.xo :::: 1

Preuve 20 Soit Va le vecteur colonne de norme 1 tel que Z(t)TVa = u(t) et prenons DLtel que OLTx' = -u(t) et IIbL(tfX'IIL' = 1 alors

(8Vl x DL) _8L '

Donc, pour le oL particulier que l'on a pris, on a pour tout u de norme 1:

(8Vl x bL) = 18L '

ce qui implique:

o

Remarque F05 (Choix de DL) La première composante du vecteur des paramètres correspond à la somme des pôles du système. Ceux-ci sont forcément de deux types Si etCaj (positifs) dans le cas de système stable à deux échelles de temps. Par conséquent x~

(= l;Si +cl;aj) est strictement positif et est d'ordre 1.Posons DL; = 0 pour i = 2 à n et DL] = - "., alors:

Xl

LT * 1L*a x = --Xl =-ux'l

et

On a alllSI construit DL qui remplit les conditions données dans la preuve du lemmeci-dessus.

F.5. Conclusions 121

Renlarque F.6 L'erreur relative associée à la composante Xo se trouve minorée commesuit:

tl.rxo = tl.xo = tl.xo > _l_V/x' E;Yo - E;n, Yo

En effet Xo est le produit des pôles du système et s'écrit donc

où Yo ne dépend pas de E;.

Remarque F.7 Ce que l'on a fait sur la composante Xo aurait pu l'être sur toute autrecomposante qui s'écrit sous la forme E;k yh , k étant un entier strictement positif.

F.5 Conclusions

On voit que les définitions données en (F.3) permettent de mettre en évidence le problèmede précision quand il s'agit d'identifier des systèmes à deux échelles de temps. Ils nepermettent cependant pas de montrer qu'il n'a plus de problème avec la nouvelle approchedéfinie dans le chapitre (III). Il serait par conséquent intéressant de creuser un peu pluscette piste.

122 Ann. F. Quelques remarques sur l'étude du conditionnement

Annexe G

Signaux Utilisés pour le couplageIdentification Commande

Dans cette annexe, nous allons donner les courbes des signaux qui ont été utilisés dans lechapitre V pour la mise en œuvre du couplage entre la commande optimale et l'identification. Nous donnerons:

• Les signaux météo (température extérieure et ensoleillement), la puissance de chauffeet la température d'air (voir les figures G.1, GA, G.7 etG.ll).

• Les préfiltrés de la puissance de chauffe et de la température d'air (voir les figuresG.8 etG.12).

• Les parties lentes et rapides de chacun des quatre signaux préfiltrés (voir les figuresG.2, G.3, G.5, G.G, G.g, G.10, G.13 et G.14).

Tous ces signaux sont donnés sur un horizon de 3000 pas de 2 minutes (100 heures). Deplus, il s'agit de signaux normalisés (35 degrés pour les températures, 145 kilowatts pourla puissance de chauffe et 1400 kilowatts par métre carré pour l'ensoleillement), dont ona supprimé les moyennes.

123

124 Ann. G. Signaux Utilisés pour le couplage Identification Commande

60.00

40.00

20.00

~~-~~-~~-~c;o---~~-~cc---~~Xx 1~0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Figure G.1: La température extérieure

125

60.00

40.00

20.00

0.00

-20.0

-40.0

-60.0

-80.0

~~-~;:o-------;-';=------;-';;-;;c-----;;-';;-;;-,-----;;-';;-;;-,-~---;;-';;:;;---' Xxia0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Figure G.2: Partie lente de la température extérieure


40.00

20.00

-40.0

-60.0

-80.0

-100.0

-120.0 J~=-----;;-';=--~c;:---~-;:---~-;:---~-;:---~7--"XX IlT

1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Figure G.3: Partie rapide de la température extérieure

120.00

100.00

80.00

60.00

40.00

20.00

0.00

0.00 0.50

127

w. r

Xx la1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Figure GA: L'ensoleillemt


80.00

70.00

60.00

50.00

40.00

30.00

20.00

10.00

-'10.0 ~:-;:---~~-----c-~--------"-~-~-L,---,..-L-,----,--L-,-'X X la0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Figure G.5: Partie lente de l'ensoleillement

129

y x 10-3

100.001=0.------,--------,-------,------,---,--------.=

80.00

60.00

40.00

20.00

-20.0

. -40.0

-60.0

~o;;--~=--~o;;--~o;;--~o;;--~:;o---~~x x 1&0.00 0.50 1.00 2.50 3.00

Figure G.G: Partie rapide de l'ensoleillement


y x 10-3

900.00'~~---.------,----~--~---'----~

800.00

700.00

600.00

500.00

400.00

300.00

200.00

100.00

Figure G.7: La puissance de chauffe

131

y x 10-3

600.00

500.00

400.00

300.00

200.00

100.00

0.00

-100.0

~~-~=--~~-~::c---~::c---~::c---~-:o-'X X la0.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Figure G.S: La puissance de chauffe préfiltrée


y x 10-3

350.00~~--.------.-----.---~---.-----.-=

300.00

250.00

200.00

150.00

100.00

50.00

-100.0

-150.0

~~-~=-~~~-~~-c-~~-~~-~-;;-,Xx I~0.00 0.50 1.00 2.50 3.00

Figure G.g: Partie lente de la puissance de chauffe préfiltrée

133

600.00

500.00

400.00

300.00

200.00

100.00

-100.0

~;;;----c-;;-';-;;---~'------~---------c~-------;;c'=-----;c~ Xx Id0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Figure G.lO: Partie rapide de la puissance de chauffe préfiltrée


y x 10-3

150.00

100.00

50.00

-0.00

-50.0

l , llr-

-100.0 \ \ \\XxId·

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Figure G.ll: La température de l'air

100.00

50.00

-0.00

-50.0

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135

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Figure G.12: La température de l'air préfi!trée


100.00

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Figure G.13: Partie lente de la température de l'air préfiltrée

137

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150.00

100.00

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Figure G.14: Partie rapide de la température de l'air préfi1trée


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Documents

cas.ensmp.frcas.ensmp.fr/Theses/Theses_PDF/1992_Alaoui.pdf · THÈSE présentée à L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES MINES DE PARIS par Abdelkamel ALAOUI EL AZHER pour obtenir le