CB 1 de PHYSIQUE PCSI 1, 2 et 3 Vendredi 25 janvier 2018 ... · PCSI1, 2 et 3 Stanislas CB1 Physique 2018-2019 I.2 PHOTOGRAPHIE DE JUPITER À cause des imperfections du modèle, la

PCSI 1, 2 et 3 Stanislas CB1 Physique 2018-2019

CB 1 de PHYSIQUE PCSI 1, 2 et 3Vendredi 25 janvier 2018 (durée : 4 h)

CALCULATRICES AUTORISÉES

I Acquisition d'images de Jupiter

On s'intéresse à quelques éléments du matériel d'un astronome amateur adepte de l'imagerie numériqueet désirant photographier Jupiter lors d'une période favorable à son observation.

I.1 OPPOSITIONS DE JUPITER

Pour un observateur terrestre, Jupiter est vue sous un angle α qui varie suivant la distance Terre-Jupiter. Les orbites de la Terre et de Jupiter sont assimilées à des cercles dans un même plan, ayantpour centre le Soleil, de rayons respectifs RT = 150.106 km et RJ = 780.106 km et décrits dans le mêmesens. Jupiter est modélisée par une sphère de diamètre dJ = 140 000 km.

Figure 1

Q1. Calculer sous quel angle maximal α0 on voit Jupiter depuis la Terre.

Q2. Cette situation, la plus favorable à l'observation depuis la Terre, porte le nom d'opposition deJupiter. Proposer une explication pour ce nom (préciser quels astres sont en opposition).

On note TT et TJ les périodes de révolution (temps mis pour décrire une orbite) de la Terre et deJupiter. On admet que chacune des orbites circulaire est décrite à vitesse constante (pas la même pourla Terre et Jupiter).

S

T

x

J

θJθT

Figure 2

Q3. Exprimer, à l'aide de TT et TJ , les vitesses angulaires ωT = θT et ωJ = θJ de la Terre et deJupiter sur leurs orbites.En déduire les expressions des angles θT (t) et θJ(t) en fonction du temps t en considérant qu'ent = 0 le Soleil, la Terre et Jupiter sont alignés dans cet ordre.

Q4. On admet que la Terre et Jupiter vérient la troisième loi de Kepler : T 2T = KR3

T et T 2J = KR3

J

où K est une constante (la même pour les deux planètes). On donne TT = 365, 25 jours.Calculer TJ ainsi que le temps τ qui s'écoule entre deux oppositions successives de Jupiter.

1/11 C. Lacpatia, A. Martin, N. Piteira


I.2 PHOTOGRAPHIE DE JUPITER

À cause des imperfections du modèle, la valeur de α0 n'est pas exactement celle trouvée à la ques-tion Q1., mais α0 = 50′′ (3600′′ = 1). On adoptera cette valeur de α0 dans toute la suite du

problème.

L'astronome amateur désire photographier la planète Jupiter vue depuis la Terre, à l'opposition. Ilutilise une lunette astronomique (voir gure 3 à gauche) dont l'objectif est assimilé à une lentille minceconvergente L1 diamètre d1 = 235mm et de distance focale f ′1 = 2350mm, monté sur un tube T1. Onnote O1 le centre optique de L1. Une caméra CCD (capteur) est xée sur un tube T2 appelé porteoculaire, ayant pour axe l'axe optique de L1. La mise au point est faite en faisant coulisser T2.Dans toute la suite (sauf question Q13.), on se placera dans le cadre de l'optique géométrique et dansles conditions de Gauss.

Figure 3

Le fabricant de la caméra donne les caractéristiques techniques suivantes pour le capteur : modèleICX618, type CCD, noir et blanc, rectangulaire de largeur `c = 3, 59mm, hauteur hc = 2, 69mm,surface Sc = 9, 63mm2, comptant N = 307200 pixels de forme carrée.

Q5. Calculer la diagonale dc du capteur, ainsi que la largeur εc d'un pixel.

Q6. Expliquer pourquoi il est très raisonnable de considérer que Jupiter est située à l'inni.

Dans toute la suite du problème, on supposera que Jupiter est à l'inni.

Q7. À quelle distance de L1 faut-il placer le capteur pour y obtenir une image nette de Jupiter ?Quelle est alors la largeur, exprimée en nombre de pixels, de l'image de Jupiter sur le capteur ?

Q8. Pour estimer la précision avec laquelle on doit faire la mise au point, on suppose que l'ensemble(T2-capteur) se trouve à une distance ε0 de la position assurant une image parfaitement nette.En raisonnant sur les rayons issus du point de Jupiter situé sur l'axe optique de L1, expliquerphysiquement (faire un schéma) que l'image de ce point sur le capteur n'est plus ponctuelleet forme une tache de largeur εt. On distinguera les deux sens possibles de décalage du porteoculaire.Exprimer εt en fonction de ε0, d1 et f ′1 (on admettra que tous les rayons passés par le bord de lalentille L1 atteignent bien le capteur malgré le tube T2).

Q9. À quelle condition sur εt et εc cette non ponctualité ne se remarquera pas sur le capteur utilisé ?En déduire la valeur maximale autorisée pour ε0 sans qu'il y ait d'incidence sur la netteté del'image formée sur le capteur (tolérance sur la mise au point).

I.3 LUNETTE ASTRONOMIQUE À LENTILLE DE BARLOW

Pour obtenir une image plus grande de la planète, on intercale une lentille de Barlow, modélisée ici parune lentille mince L2 divergente, de distance focale f ′2, placée à la distance D2c = 200mm du capteur(voir gure 3 à droite). L2 et L1 ont même axe optique. On note O2 le centre optique de L2. La miseau point se fait en translatant l'ensemble (L2-capteur), xé sur le tube porte oculaire. On notera D12

la distance entre L1 et L2 et on admettra que F ′1 est situé entre L2 et le capteur.



On souhaite que le dispositif produise sur le capteur de la caméra une image de Jupiter trois fois pluslarge que précédemment.

Q10. À quelle valeur doit-on alors régler D12 ?

Q11. On rappelle la relation de conjugaison de Descartes pour une lentille mince1

OA′− 1

OA=

1

f ′.

Comment faut-il choisir f ′2 ?

Q12. Déterminer la distance focale f ′ de la lentille convergente qui permettrait d'obtenir la même tailled'image de Jupiter que le dispositif de Barlow ainsi réglé. Justier que ce dispositif de Barlowest qualié de tripleur de focale.

I.4 EFFETS DE LA DIFFRACTION

Q13. Jusqu'à présent, on a négligé les eets de la diraction, qui produit un étalement des images. Ensupposant que l'eet dominant est la diraction à travers l'ouverture délimitant L1, estimer (ordrede grandeur) la largeur εd sur le capteur de l'image d'un objet ponctuel situé à grande distancesuivant l'axe optique, dans le cas de la lunette munie du tripleur de focale. On considérera que lamise au point est parfaite. Les candidats introduiront une longueur d'onde λ et en proposerontun ordre de grandeur raisonnable.Commenter le résultat obtenu.

II Récupération d'énergie

De nombreux systèmes de récupération d'énergie sont aujourd'hui utilisés pour alimenter des cap-teurs ou des petits dispositifs électroniques. Ces systèmes récupèrent de l'énergie de l'activité humaine,de la chaleur ambiante, de la lumière ou des vibrations. On étudie dans cette partie un système conçuet mis en oeuvre par des ingénieures néerlandais an de récupérer de l'énergie issue de la danse, dans lecontexte d'une discothèque (Fig. 4). Ce système a fait l'objet d'un brevet, publié en 2010 par l'entrepriseEnergy Floors R©.

Figure 4 Club Watt, Rotterdam (Sustainable Dance Club BV R©)

La piste de danse est composée d'un réseau de modules surmontés de dalles mobiles convertissantune partie de l'énergie cinétique des danseurs en énergie électrique. Cette énergie est ensuite utiliséepour éclairer, entre autres, un assemblée de diodes électroluminescentes (LED) multicolores situées surles dalles et autour de la piste de danse (Fig. 5). Chaque module comprend également un systèmeoptique de miroirs permettant d'observer une multitude d'images de chaque LED, simulant un eet demiroir inni.

II.1 ETUDE DU MIROIR INFINI

En association des LED situées sur son pourtour, chaque dalle est équipée d'une combinaison astu-cieuse de miroirs dans le but de maximiser leur eet lumineux. Une profondeur virtuelle variable peut



Figure 5 Vue d'artiste du module récupérateur d'énergie (Sustainable Dance Club BV R©)

être créée en faisant varier l'intensité lumineuse, permettant ainsi de visualiser jusqu'à une vingtained'images de chaque LED, comme représenté sur la gure 6.

Figure 6 Spectacle lumineux oert par les LED (Sustainable Dance Club BVR©).

Le système optique est modélisé par l'association de deux miroirs plans (voir gure 7) :

un miroir (M) totalement rééchissant ;

un miroir sans tain (M'), rééchissant une fraction de l'intensité lumineuse et laissant passer lereste, an que le danseur puisse voir de multiples images de chaque LED.

Les miroirs sont disposés parallèlement ; la distance L qui les sépare est de l'ordre de quelquescentimètres. Une LED, assimilée à une source ponctuelle monochromatique, est disposée entre les deuxmiroirs, à une distance OA = l du miroir (M).

Figure 7 Deux miroirs plans en conguration parallèle : schéma et notations.

Q14. Le miroir plan est un système optique rigoureusement stigmatique ; expliquer ce que cela signie.

Q15. Reproduire le schéma de la gure 7 et placer l'image A1 de A par le miroir (M), ainsi que l'imageA′1 de A par le miroir (M').

Q16. Déterminer en fonction de l et L les longueurs algébriques OA1 et OA′1.

L'image A1 joue à son tour le rôle d'objet pour le miroir (M'), qui en donne une image notée A′2.De même, l'image A′1 joue le rôle d'objet pour le miroir (M) qui en donne une image A2, et ainsi de



suite. . . On admet l'expression généralisée de la position de l'image An (n ∈ N∗) située en amont dumiroir (M) sur l'axe optique :

OAn =

l − nL si n est pair

−l − (n− 1)L si n est impair(1)

Pour que l'eet de miroir inni soit le plus spectaculaire possible, il faut que les images An sous lapiste de danse apparaissent équidistantes aux yeux des danseurs, comme le montre la gure 6.

Q17. Déterminer rigoureusement la relation que doivent vérier l et L pour que la condition énoncée ci-dessus soit réalisée ; exprimer alors la distance An+1An entre deux images successives en fonctionde L.

Q18. En pratique, les images An de chaque LED n'apparaissent pas toutes aussi lumineuses ; expliquerqualitativement pourquoi. Comment évolue la luminosité des images quand n augmente ?

II.2 MODLÉLISATION DE LA CONVERSION D'ÉNERGIE

II.2.1 Mouvement de la dalle : mise en équation

Pour étudier le comportement mécanique du système récupérateur d'énergie, on se place à l'échelled'un module unique, constitué d'une dalle de dimensions 65cm × 65cm × 14.5cm suspendue par desressorts mécaniques. Pour simplier, on la modélise par une masse m reliée à un ressort équivalent delongueur à vide l0 et de constante de raideur k, ainsi qu'à un amortisseur mécanique (frottement uide)

dont la force exercée sur la masse a pour expression est−→f = −D−→v (voir Fig. 8). On note −→g = −g−→ex

le champ de pesanteur supposé uniforme.La dalle est repérée par sa position x sur un axe vertical ascendant de vecteur unitaire −→ex, l'origine

O étant liée au bâti. Son mouvement est étudié dans le référentiel terrestre R supposé galiléen ; onnote −→v = x−→ex son vecteur vitesse dans ce référentiel. Le déplacement linéaire vertical de la dalle estensuite converti en mouvement de rotation par un engrenage de type pignon-crémaillère.

Figure 8 Modèle mécanique de la dalle mobile : schéma et notations

Q19. Exprimer la force de rappel−→Fr exercée par le ressort sur la dalle en fonction des données du

problème.

Q20. La dalle étant supposée au repos dans un premier temps, déterminer sa position d'équilibre xeqen fonction de l0, k,m et g. Vérier l'homogénéité dimensionnelle et la pertinence physique del'expression obtenue.

Un danseur de masse M monte sur la dalle : cette dernière se met alors en mouvement, avant de sestabiliser à une nouvelle position d'équilibre x′eq.

Q21. Exprimer littéralement x′eq, puis l'aaissement de la dalle δ = xeq − x′eq.Le constructeur précise ci-dessous un critère de dimensionnement du ressort équivalent :



Document 1 Système électrique de petite échelle fonctionnant à l'énergie humaine

pour une discothèque durable. Traduit de IEEE Industry Applications Magazine.

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Bien que le danseur sache que l'énergie est générée par la piste de danse, la danse ne doit êtreque faiblement perturbée. Ainsi, seuls de petits mouvements (quelques millimètres) des dallessuspendues sont autorisés, et une forte raideur du ressort a été choisie an de parvenir à cela.

Q22. En choisissant une valeur raisonnable pour M (adulte de corpulence moyenne), proposer unevaleur de constante de raideur permettant de répondre en régime quasi-statique à la contrainteimposée.

On cherche à présent à décrire la dynamique du mouvement de la dalle. Outre son poids, la forcede rappel du ressort et la force exercée par l'amortisseur mécanique, la dalle subit également :

une force exercée par le danseur en mouvement, notée−→F = F−→ex (elle tient compte de l'eet de

la masse du danseur citée précédemment) ;

une force d'amortissement électromagnétique−→Fα = −α−→v , avec α > 0 ; on justiera son expression

dans la partie suivante.

Q23. Après avoir posé X = x − xeq, montrer que le mouvement de la dalle est régi par une équationdiérentielle de la forme

X +

(D + α

m

)X + a0X = b0 (2)

où on donnera les expressions de a0 et b0 en fonction de k,m et F .

Q24. Le système ainsi modélisé est-il linéaire ? Est-il stable ? Justier la réponse.

II.2.2 Puissance électrique reçue par les LED

Le mouvement de translation de la dalle, de vitesse x(t), entraîne la rotation de la roue dentéeschématisée sur la gure 8. On admet que sa vitesse angulaire de rotation s'exprime Ω = γx(t), avecγ le rapport de transmission. L'énergie cinétique de la roue dentée est par la suite convertie en énergieélectrique au moyen d'une génératrice, servant alors à éclairer un réseau de LED disposées sur la partiesupérieure des dalles.

On modélise dans un premier temps la génératrice par l'association série d'une force électromotrice(fem) u = KtΩ, d'une résistance R et d'une inductance propre L. On s'intéresse à la puissance débitéepar ce dipôle dans le réseau de LED, assimilé à une résistance de charge RL (voir gure 9).

Figure 9 Circuit électrique équivalent : schéma et notations.

Q25. Donner sans démonstration l'expression de l'impédance complexe d'un conducteur ohmique derésistance R, puis d'une bobine idéale d'inductance propre L en fonction de la pulsation d'exci-tation du circuit ω.

Q26. La pulsation ω étant celle imposée par les pas du danseur, estimer son ordre de grandeur.

Q27. Sachant que R = 19, 2Ω, justier l'approximation proposée ci-dessous par le constructeur :





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A ce titre, l'inductance du bobinage (L=1,67 mH) a été négligée à cause de la faible fréquenced'excitation du système.

Q28. Dans le cadre de l'approximation précédente, exprimer la tension v aux bornes de la résistanceRL en fonction de u,R et RL.

Q29. Déduire de la question précédente que la puissance électrique instantanée PL(t) reçue par leréseau de LED peut s'écrire :

PL(t) = A[Ktγx(t)]2 (3)

avec A un facteur à exprimer en fonction de R et RL uniquement.

La génératrice concède des pertes au cours de son fonctionnement. Son rendement est déni par :

η =Pu(t)

Pp(t)(0 < η < 1) (4)

où Pu(t) et Pp(t) désignent respectivement la puissance instantanée fournie par la fem et la puissanceinstantanée prélevée par la génératrice à la dalle mobile.

Q30. Exprimer Pu(t), puis Pp(t) en fonction de Kt, γ, R,RL, x(t) et η.

Q31. On rappelle que la puissance mécanique transmise par une force−→F à un mobile animé d'une

vitesse −→v s'écrit P =−→F · −→v .

Justier de manière argumentée que la puissance prélevée Pp se traduit, d'un point de vue de la

dalle, par une force de frottement de la forme−→Fα = −α−→v (voir II.2.1), avec

α =(Ktγ)2

η (R+RL)(5)

Q32. On donne η = 50%,Kt = 7.28× 10−2N.m.A−1. En prenant RL = 150Ω et γ = 2.2× 104rad.m−1,calculer la valeur de α. Sachant que D = 10N.s.m−1, justier le commentaire du constructeurreporté ci-dessous :



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Lorsque l'énergie produite est destinée à l'éclairage, l'amortissement du système est déterminépar le générateur DC et sa charge. En ce cas, l'amortissement mécanique peut être négligé.

II.2.3 Alimentation électrique des LED

On cherche ici à modéliser plus nement le circuit réel d'alimentation des LED. Dans le but d'obtenirune régulation linéaire de l'intensité lumineuse, on insère les LED, assimilées à une résistance de chargeRL, dans le montage représenté sur la gure 10 (à gauche), commandé par la tension u aux bornes de lagénératrice. Les quatre diodes D1, D2, D3 et D4 sont supposées idéales (sans seuil), c'est-à-dire qu'ellesse comportent soit comme des ls, soit comme des interrupteurs ouverts (aucune connaissance sur lesdiodes n'est nécessaire pour traiter cette partie). On cherche à déterminer la tension v aux bornes dela résistance RL.

Q33. Si la tension u est positive, les diodes D1 et D3 sont assimilables à des ls et les diodes D2 et D4

sont assimilables à des interrupteurs ouverts. En déduire la relation entre v et u.



Figure 10 Circuits électriques d'alimentation des LED : schémas et notations.

Q34. Si la tension u est négative, les diodes D2 et D4 sont assimilables à des ls et les diodes D1 etD3 sont assimilables à des interrupteurs ouverts. En déduire la relation entre v et u.

On considère une tension d'entrée du type u(t) = a cos(ωt).

Q35. Représenter sur un même graphe l'évolution temporelle des tensions u et v. Quel est le rôle dupont de diodes ?

Q36. En notant f0 = ω/(2π) la fréquence du signal u(t), quelles fréquences sont susceptibles d'êtreprésentes dans le signal v(t) ? Aucun calcul n'est attendu : on pourra répondre en schéma-tisant l'allure du spectre des deux tensions. Les diérences entre ces deux spectres étaient-ellesprévisibles ?

Q37. Sachant que la luminosité des LED est directement reliée au courant qui les traverse, quel pourraitêtre l'inconvénient visuel (voire médical) de ce montage ?

An de corriger ce problème, on rajoute dans le circuit un convertisseur, assimilé à un condensateurde capacité C connecté en parallèle avec la résistance RL (voir gure 10 (gure de droite)). Ce conden-sateur de découplage permet de lisser la tension de sortie v (c'est-à-dire la rendre quasi-continue),à condition que son temps caractéristique τ de décharge dans la résistance RL soit grand devant lapériode du signal d'entrée.

Q38. En notant τ = RαLCβ , déterminer soigneusement les exposants α et β à l'aide d'une analyse

dimensionnelle.

Q39. On donne RL = 150Ω. En considérant l'ordre de grandeur de ω obtenu à la question Q26., endéduire une condition numérique sur C permettant d'assurer un lissage satisfaisant de la tensionv, et donc du courant i circulant dans le réseau de LED. Cette condition est-elle réalisable avecune boîte à décades de capacité habituellement utilisée en TP?

II.3 SIMULATIONS, OPTIMISATION DES PARAMETRES

Durant les phases de conception du dispositif, des simulations numériques ont été réalisées dans lebut d'optimiser la conversion d'énergie cinétique en énergie électrique, tout en respectant les exigencesde puissance et de sécurité.

II.3.1 Réponse indicielle

Dans cette partie, on impose à la dalle, initialement à sa position d'équilibre et immobile, un échelonde force F = F0 à partir de l'instant t = 0, et on cherche à quantier la puissance fournie au réseaude LED. En utilisant les parties précédentes, l'équation du mouvement de la dalle peut être approchéepar :

X +α

mX +

k

mX =

F0

m(6)



où X = x−xeq (voir partie II.2.1). Cette équation diérentielle peut se mettre sous la forme canoniquesuivante :

X +ω0

QX + ω2

0X = ω20

F0

k(7)

avec ω0 =√

km et Q =

√kmα

On donne la valeur des paramètres mécaniques : m = 35kg, k = 1.5 × 105N.m−1. On prendranumériquement α = 3.0× 104N.s.m−1.

Q40. Préciser la dimension et la signication physique des quantités ω0 et Q. Comment les nomme-t-onhabituellement ?

Q41. Exprimer la solution Xeq vers laquelle va tendre X(t).

Compte tenu des ordres de grandeur, on admet que la solution générale de l'équation diérentielle peuts'écrire de façon approchée :

X(t) = Xeq

[1− 1

1−Q2

(e−ω0Qt −Q2e−ω0t/Q

)](8)

Q42. Déterminer, en le justiant, le type de régime transitoire d'évolution de X(t) parmi les adjectifssuivants : pseudo-périodique, critique, apériodique. Vérier la cohérence avec les valeurs nu-mériques données précédemment et vérier que cette solution satisfait aux conditions initialesprécisées en début de partie.

Q43. En déduire la loi d'évolution de la vitesse x(t) de la dalle.

Q44. Montrer nalement que dans le cadre du modèle développé à la question Q29., la puissanceélectrique instantanée reçue par les LED s'écrit sous la forme :

PL(t) = KF 20

(e−ω0Qt − e−ω0t/Q

)2(9)

avec K un facteur constant qu'on ne cherchera pas à déterminer.

Q45. Dans l'expression de PL(t), une exponentielle converge beaucoup plus vite que l'autre : déterminerlaquelle. Montrer alors qu'aux temps longs , PL(t) décroît exponentiellement, selon un tempscaractéristique τ à exprimer en fonction de ω0 et Q.

La gure 11, adaptée de la notice constructeur, représente l'évolution de la puissance électrique prédite(signal de sortie) sous l'eet de plusieurs échelons de force successifs d'intensité diérente (signald'entrée).

Figure 11 Evolutions temporelles de la force et de la puissance électrique : simulations numériques(adapté de Energy FloorsR©)

Q46. Associer chaque courbe (en trait plein, en pointillés) à la grandeur correspondante : F0, PL.

Le constructeur précise :





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L'énergie est générée à la fois lorsqu'une dalle se déplace vers le bas à cause de la force appliquéepar le danseur, et aussi lorsque la dalle se déplace vers le haut sous l'eet du ressort mêmelorsqu'il n'y a aucun contact avec le danseur.

Q47. Ce commentaire est-il en cohérence avec la gure 11 ? Comment justier que la puissance élec-trique tende vers zéro au bout d'un temps susamment long, même en présence d'une forceappliquée non nulle ?

Q48. Le temps typique de décroissance τ de la puissance électrique lors de l'application d'un échelon deforce semble-t-il dépendre de F0 ? Estimer son ordre de grandeur, puis le comparer à la prédictionobtenue à la question Q45..

II.3.2 Forçage sinusoïdal

On teste à présent le système au plus proche de ses conditions réelles d'utilisation. Un expérimen-tateur danse sur la dalle et exerce sur elle une force

−→F , dont la norme est mesurée au moyen d'un

capteur de force placé sur celle-ci (voir gure 12). Le signal obtenu montre qu'en dansant, l'expérimen-tateur reste à tout instant en contact avec la dalle. On modélise ce signal de manière approximativepar l'équation :

F (t) = F0 + F1 cos(ωt+ ϕ) (10)

Figure 12 Evolution expérimentale de la force F exercée par le danseur (de masse 83 kg) sur la dalleau cours du temps (Energy FloorsR©).

Q49. Estimer la valeur des coecients de modélisation F0, F1 et ω pour le signal représenté sur lagure 12.

En redénissant X comme l'écart entre la position de la dalle et sa position d'équilibre atteintelorsque le danseur est immobile, l'équation du mouvement de la dalle peut s'écrire (on ne chercherapas à le démontrer) :

X +ω0

QX + ω2

0X =F1

mcos (ωt+ ϕ) (11)

avec ω0 =√

km et Q = η(R+RL)

√km

(Ktγ)2

On rappelle la valeur des paramètres mécaniques : m = 35kg, k = 1.5 × 105N.m−1. En régimeétabli, la solution de cette équation diérentielle est de la forme :

X(t) = X0 cos(ωt+ ψ) (12)

On lui associe la grandeur complexe X(t) = X0ei(ωt+ψ) telle que X(t) = <(X(t)).

Q50. Déterminer l'expression de l'amplitude X0 des oscillations de la dalle en fonction de ω0, Q,m, ωet F1.

Q51. Exprimer l'amplitude de vitesse V0 de la dalle en fonction de X0 et ω.



En utilisant les résultats des parties précédentes, il est possible de montrer (non demandé) que lamoyenne temporelle de la puissance fournie aux LED s'exprime :

〈PL〉 =(ηF1Kt)

2RLγ2

2K4t γ

4 + 2η2km(R+RL)2[(

ωω0

)−(ω0ω

)]2 (13)

Q52. Analyser les comportements asymptotiques de 〈PL〉 aux basses et aux hautes fréquences. Déter-miner, littéralement puis numériquement, la pulsation ω pour laquelle 〈PL〉 est maximale, ainsique l'expression littérale de la puissance moyenne récupérée maximale notée 〈PL〉max. Traceralors l'allure qualitative de 〈PL〉 en fonction de ω.

Ce système a été testé en 2015 dans l'émission scientique télévisée On n'est pas que des cobayes,à l'occasion de la Fête de la Science. Deux équipes, composées chacune de deux danseurs et deuxdanseuses, s'arontent sur la piste de danse, avec pour objectif de générer le maximum d'énergieélectrique pendant une durée xée (30 secondes environ) :

l'équipe 1 danse sur un morceau de salsa, de tempo 115 battements.min−1 ;

l'équipe 2 danse sur un morceau de disco, de tempo 125 battements.min−1.

Q53. En faisant l'hypothèse que les deux équipes ont même masse totale et dansent de la mêmefaçon, quelle équipe a selon vous gagné ce duel, en vous ant aux résultats établis à la questionprécédente ?

? ? ? FIN de l'ÉPREUVE ? ? ?


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