Chapitre 10 Probabilités 125

EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008Connaissances Capacités Commentaires

1. Organisation et gestion de données, fonctions

1.4 Notion de probabilité

[Thèmes de convergence]

− Comprendre et utiliser des notionsélémentaires de probabilité.

– Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

La notion de probabilité est abordée à partir d’expérimentations qui permettent d’observer les fréquences des issues dans des situations familières(pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc.).La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante.Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves.

Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.

Ouverture Il y a une chance sur deux qu’un petit carré soit

peint en bleu et une chance sur deux qu’il soit peint en rouge.

Si un carré est peint en bleu, il y a une chance sur deux pour que le carré voisin soit peint en bleu aussi. De même, si un carré est peint en rouge, il y a une chance sur deux que le carré voisin soit peint en rouge.

Je prends un bon départ

QCM

1 B 2 C 3 B 4 A5 C 6 B 7 C

8 a. p = –0,06 b. p = 0,16

c. p = 435

d. p = 1

12

9 1. Le nombre de cartes est 6 × (2 × 32 + 52), soit 696 cartes.2. Un quart des cartes sont des piques, soit 174 cartes.3. Il y a 25 % de piques.

10 1. a. L’aire de la roue est π × 12 (en m2), soit π m2.b. Il y a trois secteurs rouges sur un total de douze

secteurs, donc les secteurs rouges représentent 3

12,

c’est-à-dire 14

, de la surface totale. L’aire de l’ensemble

des secteurs rouges est donc égale à 4π

m2.

2. a. Le périmètre de la roue est 2π × 1 (en m), soit 2π m.

b. Les arcs de cercle délimités par les secteurs rouges

représentent 3

12, c’est-à-dire

14

, du cercle.

Donc la longueur totale des arcs de cercle délimités

par les secteurs rouges est de 2π

m.

3. La proportion de la surface rouge par rapport à la

surface totale de la roue est de 14

.

Activités

1 Objectifs SC3

− Découvrir la notion de probabilité.− Déterminer la probabilité de l’événement contraire dans des cas simples.

1. a. On a une chance sur deux d’obtenir pile et une chance sur deux d’obtenir face.

b. La probabilité d’obtenir pile est égale à 12

.

2. a. Les cinq campeurs ont tous la même « chance » de tirer la plus courte paille.b. La probabilité de ne pas tirer la plus courte paille

est égale à 45

.

3. a. Sébastien aurait dû dire qu’il tombe plus souvent sur une caisse qui n’est pas la plus rapide.b. La probabilité que Sébastien se retrouve à la caisse

la plus lente est de 13

. Il en est de même pour la

caisse la plus rapide et pour la troisième caisse. La probabilité que Sébastien se trouve à une caisse qui

n’est pas la plus rapide est de 23

.

Probabilités

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, 201

2.

126

2 Objectifs− Aborder l’interprétation fréquentiste de la probabilité.− Déterminer une probabilité à l’aide de considérations géométriques.

1. On trouve une fréquence proche de 0,36 pour l’ensemble des lancers de la classe, ce qui n’est pas obligatoirement le cas pour seulement 10 lancers.2. a. La distance minimale est de 1 cm.b.

Chacune des zones est un carré de côté 3 cm, l’aire d’une zone est donc de 9 cm2 et l’aire totale est de 144 cm2.c. L’aire du damier est de 400 cm2. Le rapport de l’aire trouvée à la question précédente sur l’aire

du damier est 144400

, soit 925

, ou encore 0,36.

Ce résultat est proche de la fréquence trouvée à la question c de la partie 1.

d. La probabilité est 12 110

2−

×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , soit 0,64.

3 ObjectifDécouvrir les arbres de probabilité simples.

1.

V2

B1

B2

V1

B3

R

2. Les boules étant indiscernables au toucher, elles ont toutes la même chance d’être tirées.

3. a. Il y a six issues.b. Deux issues correspondent au tirage d’une boule verte.

c. On en déduit que : p(V) = 26

13

.=

4. • p(B) = 36

12

= .

• p(R) = 16

.

5. Chaque couleur n’a pas la même probabilité d’être obtenue.

4 ObjectifDécouvrir les arbres de probabilité à deux étapes.

1. 1er tirage 2e tirage Issues

(V1 ; B2)

(V2 ; J)

(V2 ; B1)

(V2 ; B2)

(R ; J)

(R ; B1)

(R ; B2)

(V1 ; J)

(V1 ; B1)V1

J

B1

B2

V2

R

J

B1

B2

J

B1

B2

2. Pour chaque tirage, toutes les issues ont la même chance de se produire.

3. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 1)

a. Il y a, au total, neuf issues pour cette expérience à deux épreuves.b. Il y a quatre issues correspondant au tirage d’une boule verte puis d’une boule bleue.

c. On en déduit que : p(V ; B) = 49

.

4. • p(V ; J) = 29

• p(R ; J) = 19

• p(R ; B) = 29

.

5. Le tirage de deux couleurs n’est pas équiprobable.

5 ObjectifDécouvrir les arbres pondérés.

1. V

B

R

1—3

1—6

1—2

2. a. • p(V) = 23

• p(R) = 13

.

V

R

2—3

1—3

b. • p(J) = 13

• p(B) = 23

.

J

B

1—3

2—3

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2.

Chapitre 10 Probabilités 127

6 SC3 Objectif Découvrir la propriété relative au produit des probabilités sur un chemin d’un arbre.

1. a. Pour chaque lancer, les issues sont équiprobables.

b. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 2)

P

F

1er lancer 2e lancer Issues

P

F

P

F

(F ; P)

(F ; F)

(P ; P)

(P ; F)1—2

1—2

1—2

1—2

1—2

1—2

c. Chaque probabilité est égale à 14

.

d. Pour chaque branche, on effectue le calcul 12

12

× ,

ce qui donne bien 14

.

2. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 3)

V

R

J

B

J

B

(R ; J)

(R ; B)

(V ; J)

(V ; B)

1—3

1—3

1—3

2—3 2—

3

2—3

1er tirage 2e tirage Issues

b. • p(V) × p(J) = 23

13

29

× = et p(V ; J) = 29

.

• p(V) × p(B) = 23

23

49

× = et p(V ; B) = 49

.

• p(R) × p(J) = 13

13

19

× = et p(R ; J) = 19

.

• p(R) × p(B) = 13

23

29

× = et p(R ; B) = 29

.

3. Sur un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités indiquées sur les branches du chemin qui conduit à cette issue.

Savoir-faire

11 SC3 a. L’événement A est composé de 4 issues.Il y a 32 cartes, donc 32 tirages possibles.Il s’agit d’une situation d’équiprobabilité, d’où :

p(A) = 432

18

.=

b. De même, il y a deux rois rouges, d’où :

p(B) = 232

116

.=

c. L’événement C est l’événement contraire de B,donc : p(C) = p(B) = 1 − p(B).

D’où : p(C) = 11

161516

.− =

d. L’événement D correspond à l’événement (A ou B) et les événements A et B sont incompatibles, donc :p(D) = p(A) + p(B).

D’où : p(D) = 18

116

316

.+ =

e. E est un événement impossible, donc : p(E) = 0.f. F est un événement certain, donc : p(F) = 1.

12 SC3 L’événement A est composé de deux issues et il s’agit d’une situation d’équiprobabilité, d’où :

p(A) = 26

13

.=

De même, l’événement B est composé de trois issues, l’événement C est composé de cinq issues et l’événement D est composé de deux issues.

D’où : • p(B) = 36

12

= • p(C) = 56

• p(D) = 26

13

.=

13 Il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.On en déduit les probabilités indiquées sur l’arbre.

R

V

R

V

R

V

(V ; R)

(V ; V)

(R ; R)

(R ; V)

2—5

3—5

3—5

3—5 2—

5

2—5

1er tirage 2e tirage Issues

On en déduit que :

• p(A) = 35

25

625

× = • p(B) = 35

25

35

25

1225

× + × =

• p(C) = 35

35

25

25

1325

× + × =

14 SC3 On peut conjecturer que 0,116 est une valeur approchée de la probabilité d’obtenir une

somme égale à 9. (La valeur théorique est 25

216)

Exercices

À l’oral15 SC3 a. Il s’agit d’une expérience aléatoire dont

les issues sont : « 3 », « 2 » et « 1 ».b. Il ne s’agit pas d’une expérience aléatoire.c. Il ne s’agit pas d’une expérience aléatoire.

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2.

128

24 a. A et B sont incompatibles.b. A et C sont incompatibles.c. A et D sont incompatibles.d. B et C ne sont pas incompatibles.e. B et D sont incompatibles.f. C et D ne sont pas incompatibles.

25 SC3 La probabilité que le joueur gagne à la

roulette française est 1837

.

La probabilité que le joueur gagne à la roulette

américaine est 1838

, soit 9

19.

26 SC3 Le jeu comporte 16 paires de cartes, soit un total de 32 cartes. Après le tirage d’une première carte, il reste 31 cartes à retourner. Et parmi ces 31 cartes, il ne reste plus qu’une carte représentant des cerises. La probabilité pour que la seconde carte retournée soit l’autre carte représentant des cerises

est donc de 131

.

27 1. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 4)

R

O

R

O

V

R

O

V

1—2

1—3 1—

3

1—3

1—3 1—

3

1—3

1—2

2. • p(A) = 12

13

16

.× =

• p(B) = 412

13

23

.× ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

• p(C) = 212

13

13

.× ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

• D = C, donc : p(D) = 1 − p(C). D’où : p(D) = 23

.

28 SC3 Il y a une chance sur deux de tirer une bille rouge et il y a en tout dix billes, donc cinq billes sont rouges. Et donc il y a cinq billes vertes ou jaunes.Sachant qu’il y a quatre fois plus de chances de tirer une bille jaune qu’une bille verte, il y a quatre fois plus de billes jaunes que de billes vertes.On en déduit qu’il y a quatre billes jaunes et une bille verte.D’où la probabilité de tirerune bille jaune est de4

10, c’est-à-dire

25

, et

la probabilité de tirer

une bille verte est de 1

10.

V

J

R

1—10

1—2

2—5

d. Il s’agit d’une expérience aléatoire dont les issues sont : « Allumer la lumière du miroir » et « Allumer l’éclairage du plafond ».e. Il s’agit d’une expérience aléatoire dont les issues sont : « Le joueur 1 commence à servir » et « Le joueur 2 commence à servir ».

16 SC3 a. A : « Le résultat est un nombre impair » ; B : « Le résultat est inférieur à 3 » ; C : « Le résultat est supérieur à 7 » ;D : « Le résultat est 1, 2, 4 ou 5 ».E : « Le résultat est 1, 2, 4 ,5 ou 6 ».F : « Le résultat est 1, 2, 3, 4 ,5 ou 6 ».G : « Le résultat est 2, 3, 4 ou 5 ».b. L’événement impossible est F et l’événement certain est C.c. Les événements incompatibles avec l’événement E sont A, F et G.

17 • p(rouge) = 4

1213

= • p(vert) = 512

• p(jaune) = 3

1214

=

18 La probabilité de tirer un jeton rouge est 0,4, donc celle de tirer un jeton bleu est 0,6.Il y a donc plus de jetons bleus.

19 • p(A) = 1

15 • p(B) =

515

13

=

• p(C) = 7

15 • p(D) =

615

25

= • p(E) = 0

20 Gagné

Perdu

0,35

0,65

21 • p(R ; O) = 18

• p(R ; V) = 38

• p(J ; O) = 18

• p(J ; V) = 38

.

Je m’entraîne22 1. a. La carte tirée est, par exemple, l’as de pique. b. La boule tirée est, par exemple, une boule noire.c. Le nombre obtenu est, par exemple, 2.2. a. Les cartes tirées sont, par exemple, le roi de cœur et le 8 de carreau.b. Les deux boules tirées sont, par exemple, blanches.c. On obtient, par exemple, « 6 » avec le dé rouge et « 4 » avec le dé bleu.

23 a. A : « Les deux enfants ne sont pas tous les deux des garçons » ou : « Au moins un des deux enfants est une fille » ; b. B : « L’enfant n’est pas une fille de huit ans » ou :« L’enfant est une fille de neuf ans ou un garçon » ; c. C : « Aucune des pièces n’est tombée sur pile » ou : « Les deux pièces sont tombées sur face » ;d. D : « Le yaourt n’est pas aux fruits rouges » ou :« Le yaourt est à la pêche ».

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2.

Chapitre 10 Probabilités 129

3. Parmi les boules, 4 portent des voyelles et 6 portent des consonnes. D’où, la probabilité d’obtenir une

voyelle est de 4

10, c’est-à-dire 0,4, et la probabilité

d’obtenir une consonne est de 6

10, c’est-à-dire 0,6.

On peut donc affirmer que Julie se trompe.

32 1. La probabilité que Sophia monte sur un cheval

est de 4

10

, soit 25

.

2. a. L : « Sophia ne monte pas sur un lion ».

p(L) = 8

1045

.=

b. Les événements A et C sont incompatibles donc p(A ou C) = p(A) + p(C).

D’où : p(A ou C) = 2

101

103

10.+ =

33 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 5)

1. Garçon Fille TotalExterne 2 3 5Demi-pensionnaire 9 11 20Total 11 14 25

2. a. La probabilité pour que cet élève soit une fille

est 1425

.

b. La probabilité pour que cet élève soit externe est 525

, soit 15

.

c. Si cet élève est demi-pensionnaire, la probabilité

que ce soit un garçon est 920

.

J’approfondis

41 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 6)

1.

Âge Goûts

moins de 20 ans

au moins 20 ans TOTAL

aiment les mathématiques 26 8 34n’aiment pas les mathématiques 10 16 26

TOTAL 26 24 60

2. • p(A) = 2460

25

0,4.= =

• p(B) = 2660

1330

.=

• p(C) = 1660

415

.=

• D est l’événement contraire de « la personne a moins de 20 ans et aime les mathématiques ».

D’où : p(D) = 12660

1730

.− =

29 SC3 D’après l’arbre de probabilité ci-dessous, la probabilité que la personne ait été vaccinée une fois et une seule est : p = 0,75 × 0,2 + 0,25 × 0,8 = 0,35.

V

V

—V

V

—V

—V

0,25

0,8

0,8

0,75

0,2

0,2

30 1. a. Dans les cases B2 , C2 et D2 , on entre

la formule : =ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) .

Et dans la case E2 , on entre la formule : =B2+C2+D2 .Puis on étire la première ligne jusqu’à la ligne 1 001.b. Pour dénombrer les jeux où l’on a obtenu deux fois FACE, on entre dans la cellule G2 , la formule :

=NB.SI(E2:E1001;2) .Et pour obtenir la fréquence, on entre dans la celluleH2 , la formule : =G2/1000 . 2. Pour renouveler les 1 000 lancers, on appuie sur Maj+Ctrl+F9 ou sur F9, selon le logiciel utilisé.On obtient une moyenne proche de 0,375.3. D’après l’arbre ci-dessous, la probabilité cherchée est : p = 0,5 × 0,5 × 0,5 + 0,5 × 0,5 × 0,5 + 0,5 × 0,5 × 0,5= 0,375.Cette probabilité est cohérente avec la simulation précédente.

P

P

F

F

P

F

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

P

F

0,5

0,5

P

F

0,5

0,5

P

F

0,5

0,5

P

F

0,5

0,50,5

brevetJe m’entraîne au

31 1. Les six résultats possibles à l’issue d’un tirage sont les lettres R, O, U, S, E et T.

2. a. p(R) = 1

10.

b. p(S) = 3

10.

c. p(S) = 13

107

10.− =

Thème de convergence

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2.

130

42 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 7)

1. Anglais Allemand Espagnol TOTALGarçons 8 24 16 48Filles 17 11 24 52TOTAL 25 35 40 100

2. a. La probabilité pour que ce soit un garçon est de 48 %, soit 0,48.b. La probabilité pour que ce soit un garçon ayant choisi l'allemand est de 24 %, soit 0,24.c. La probabilité pour que ce soit une fille ayant choisi l'espagnol est de 24 %, soit 0,24.

43 1. a. �d = πx2. b. �c = 4x2.c. La proportion de surface jaune dans un carré

est égale à d

c

�

� , soit

4π

.

2. La probabilité pour que la miette tombe sur

du jaune est 4π

.

44 1. Les deux sommes les moins fréquentes sont 2 et 12.2. D’après le graphique, pour un grand nombre de lancers, la somme 9 est beaucoup plus fréquente que la somme 3. La probabilité d’obtenir 9 est donc supérieure à celle d’obtenir 3.3. a. Pour cette simulation, le nombre de lancers qui donne la somme 7 est 170. b. Le pourcentage correspondant est donc

1701000

, soit 17 %.

4. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 8)

Somme des 2 dés

Valeur 2e dé1 2 3 4 5 6

vale

ur 1

er d

é

1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

D’après le tableau, il y 6 manières d’obtenir 7 sur un total de 36 lancers différents. La probabilité

d’obtenir 7 est donc égale à 736

, soit environ 0,194.

5. Les deux valeurs sont sensiblement différentes car le nombre de lancers n’est pas suffisamment important.

45 SC3 Partie 1 1. • Dans les cellules A1 à L1 , on entre les titres descolonnes A à L : 1er pièce , 2e pièce , … 12e pièce . Et dans la cellule M1 on entre le titre de la colonne M :Nombre de ”Pile” .

• Dans la cellule A2 , on entre la formule=ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) pour obtenir le nombre 0 ou le nombre 1. Puis on étire la formule jusqu’à la cellule L2 .

• Dans la cellule M2 , on entre la formule =SOMME(A1:L1) pour obtenir le nombre de ”1” obtenus.2. On sélectionne en même temps les cellules A2 à M2 et on étire la sélection vers le bas jusqu’à la ligne 1 001 pour simuler les 1 000 lancers des douze pièces.3. • Dans la cellule A1004 , on entre la formule=NB.SI(M2:M1001;1) pour obtenir le nombre de foisqu’apparaît le nombre 1 entre les cellules M2 et M1001 .• De même, dans la cellule B1004 , on entre la formule=NB.SI(M2:M1001;2) pour obtenir le nombre de fois qu’apparaît le nombre 2.• Dans la cellule C1004 , on entre la formule=NB.SI(M2:M1001;3) pour obtenir le nombre de fois qu’apparaît le nombre 3.

…

• Dans la cellule L1004 , on entre la formule=NB.SI(M2:M1001;12) pour obtenir le nombre de fois

qu’apparaît le nombre 12.• Dans la cellule A1006 , on entre le titre « Fréquencedu 1 », dans la cellule B1006 , on entre le titre « Fréquence du 2 », etc.• Puis, dans la cellule A1007 , on entre la formule

=A1004/1000 pour obtenir la fréquence d’apparition du nombre 1 sur les 1 000 lancers. Puis on étire la cellule A1007 jusqu’à la colonne L.Les fréquences obtenues ne sont pas proches de

la valeur théorique de 1

12.

La méthode ne permet pas une simulation correcte du tirage d’un dé à douze faces non pipé.

Partie 2 1. • Dans la cellule A1 , on entre la formule :

=ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) .

• Dans la cellule B1 , on entre la formule : =ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) .

• Dans la cellule C1 , on entre la formule : =A1+6*B1 .2. On étire les trois cellules jusqu’à la ligne 1 000.3. • Dans la cellule E1 , on entre la formule

=NB.SI(C1:C1000;1) pour obtenir le nombre de fois qu’apparaît le nombre 1 entre les cellules C1et C1000 .• De même, dans la cellule F1 , on entre la formule :

=NB.SI(C1:C1000;2) pour obtenir le nombre de fois qu’apparaît le nombre 2.

…

• Dans la cellule P1 , on entre la formule : =NB.SI(C1:C1000;12) pour obtenir le nombre de fois

qu’apparaît le nombre 12.• Dans la cellule E2 , on entre la formule :

=E1/1000 pour obtenir la fréquence d’apparition du nombre 1 sur les 1 000 lancers. • Puis on étire la cellule E2 jusqu’à la colonne P.Ces fréquences sont proches de la fréquence

théorique de 1

12.

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, 201

2.

Chapitre 10 Probabilités 131

4. Dans l’arbre de probabilité ci-dessous, les probabilités correspondant au lancer de dé sont

de 16

et celles correspondant au lancer de la pièce

sont de 12

. Donc pour chaque résultat, la probabilité

est égale à 16

12

× , c’est-à-dire 1

12.

La méthode utilisée permet donc de simuler le tirage d’un dé à douze faces non pipé.

1

2

3

4

5

6

F

PF

PF

PF

PF

PF

P

Lancer du dé RésultatLancer de la pièce

1

72

83

94

105

116

12

46 Math et SVTSi Antoine ou Valérie avaient un allèle « marron », alors ils auraient les yeux marron. Or aucun des deux n’a les yeux marron. Donc aucun des deux n’a d’allèle « marron ». Et donc leur enfant ne pourra pas avoir les yeux marron, c’est-à-dire : p(M) = 0.Valérie a les yeux bleus, donc elle possède deux allèles « bleus ». Et donc la couleur des yeux de l’enfant dépendra uniquement de l’allèle qui sera transmis par Antoine (« vert » ou « bleu »).On peut supposer qu’Antoine a une chance sur deux d’avoir deux allèles « verts », et une chance sur deux d’avoir un allèle « vert » et un allèle « bleu ».D’où l’arbre de probabilité suivant :

V V

V B

V

V

V

1—2

1

1—2

1—2

1—2

Allèlesd’Antoine

Couleur des yeuxde l’enfant

On en déduit que :

• p(V) = 12

112

12

34

× + × =

• p(B) = 12

12

14

× =

47 1. Vrai. 2. Faux. 3. Vrai. 4. Faux. 5. Faux. 6. Faux.

48 p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1.Donc : 0,85 + p(6) = 1.Et donc : p(6) = 0,15.

49 • C = B, donc : p(C) = 1 − p(B).Et donc, l’équation p(A) + p(C) = 0,8 devient : p(A) + 1 − p(B) = 0,8, soit : p(A) − p(B) = −0,2.

On obtient donc le système : (A ) (B) 0,4

(A ) (B) 0,2

p p

p p

+ =− = −

⎧⎨⎩

.

On obtient : p(A) = 0,1 et p(B) = 0,3.De la relation p(C) = 1 − p(B), on obtient : p(C) = 0,7.

50 On note p la probabilité d’apparition de la face 1.Les probabilités d’apparition des faces 2, 3, 4, 5 et 6 sont respectivement 2p, 3p, 4p, 5p et 6p.On obtient donc : p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 1, soit : 21p = 1.D’où les probabilités des faces 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont

respectivement : 121

, 221

, 17

, 421

, 521

et 621

.

51 SC3 • 10 = 1 + 3 + 6 • 10 = 1 + 4 + 5• 10 = 2 + 2 + 6 • 10 = 2 + 3 + 5• 10 = 2 + 4 + 4 • 10 = 3 + 3 + 4• 9 = 1 + 2 + 6 • 9 = 1 + 3 + 5• 9 = 1 + 4 + 4 • 9 = 2 + 2 + 5• 9 = 2 + 3 + 4 • 9 = 3 + 3 + 3On obtient six décompositions en somme de troisentiers pour 10 et pour 9 (sans tenir compte de l’ordre).

52 SC3 1. Dans les cellules A1 à D1 , on entre

les titres des colonnes A à D : 1er dé , 2e dé , 3e dé

et Somme .Dans la cellule A2 , on entre la formule :

=ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) . Puis on étire la formule jusqu’à la cellule C2 .

Dans la cellule D2 , on entre la formule : =SOMME(A1:C1) .On étire les cellules A2 à D2 jusqu’à la ligne 1 001.

2. Dans les cellules F1 à G1 , on entre les titres :

Nombre de 10 et Nombre de 9 .

Dans la cellule F2 , on entre la formule :

=NB.SI(D2:D1001;10) et dans la cellule G2 , on entre

la formule : =NB.SI(D2:D1001;9) .

3. Dans les cellules I1 à J1 , on entre les titres :

Fréquence du 10 et Fréquence du 9 .

Dans la cellule I2 , on entre la formule : =F2/1000

et dans la cellule J2 , on entre la formule : =G2/1000 .On obtient des fréquences proches des probabilités obtenues par Galilée.

Argumenter et débattre

Atelier découverte

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2.

132

b. On déduit des questions précédentes que la

probabilité d’obtenir une somme égale à 10 est 27216

.

3. a. Il y a 25 manières d’obtenir une somme égale à 9 :• 9 = 1 + 2 + 6 • 9 = 1 + 6 + 2• 9 = 2 + 1 + 6 • 9 = 2 + 6 + 1• 9 = 6 + 1 + 2 • 9 = 6 + 2 + 1• 9 = 1 + 3 + 5 • 9 = 1 + 5 + 3• 9 = 3 + 1 + 5 • 9 = 3 + 5 + 1• 9 = 5 + 3 + 1 • 9 = 5 + 1 + 3• 9 = 1 + 4 + 4 • 9 = 4 + 1 + 4• 9 = 4 + 4 + 1• 9 = 2 + 2 + 5 • 9 = 2 + 5 + 2• 9 = 5 + 2 + 2• 9 = 2 + 3 + 4 • 9 = 2 + 4 + 3• 9 = 3 + 2 + 4 • 9 = 3 + 4 + 2• 9 = 4 + 3 + 2 • 9 = 4 + 2 + 3• 9 = 3 + 3 + 3b. On déduit des questions précédentes que la

probabilité d’obtenir une somme égale à 9 est 25

216.

53 SC3 1. « 421 » ; « 412 » ; « 214 » ; « 241 » ; « 124 » ; « 142 ».2. La probabilité de réaliser chacune des manières d’obtenir « 421 » avec trois dés non truqués est :1

61

2163= .

3. La probabilité d’obtenir le tirage le plus fort est

donc : 61

63× , soit

136

.

54 SC3 1. On devrait obtenir 6 × 6 × 6 « chemins », soit 216 « chemins ». Il y a donc 216 lancers différents (en distinguant les trois dés).2. a. Il y a 27 manières d’obtenir une somme égale à 10 : • 10 = 1 + 3 + 6 • 10 = 1 + 6 + 3• 10 = 3 + 1 + 6 • 10 = 3 + 6 + 1• 10 = 6 + 1 + 3 • 10 = 6 + 3 + 1• 10 = 1 + 4 + 5 • 10 = 1 + 5 + 4• 10 = 4 + 1 + 5 • 10 = 4 + 5 + 1• 10 = 5 + 4 + 1 • 10 = 5 + 1 + 4• 10 = 2 + 2 + 6 • 10 = 6 + 2 + 2• 10 = 2 + 6 + 2• 10 = 2 + 3 + 5 • 10 = 2 + 5 + 3• 10 = 3 + 2 + 5 • 10 = 3 + 5 + 2• 10 = 5 + 3 + 2 • 10 = 5 + 2 + 3• 10 = 2 + 4 + 4 • 10 = 4 + 2 + 4• 10 = 4 + 4 + 2• 10 = 3 + 3 + 4 • 10 = 4 + 3 + 3• 10 = 3 + 4 + 3

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