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«Le physicien ne peut demander à l’analyste de lui révéler une vérité nouvelle; tout au plus celui-cipourrait-il l’aider à la pressentir. Il y a longtemps que personne ne songe plus à devancerl’expérience, ou à construire le monde de toutes pièces sur quelques hypothèses hâtives. De toutesces constructions où l’on se complaisait encore naïvement il y a un siècle, il ne reste aujourd’huiplus que des ruines. Toutes les lois sont donc tirées de l’expérience, mais pour les énoncer, il fautune langue spéciale ; le langage ordinaire est trop pauvre, elle est d’ailleurs trop vague, pourexprimer des rapports si délicats, si riches et si précis. Voilà donc une première raison pour laquellele physicien ne peut se passer des mathématiques ; elles lui fournissent la seule langue qu’il puisseparler.» Mathématicien Français → Nancy (en Lorraine) [ 29/04/1854 – 17/08/1912 ]

Henri Poincaré, dans La Valeur de la Science

.H.T.P. Zorkani mohammedHAPITRE2: MECANIQUE DES FLUIDES GEOPHYSIQUES : LES EQUATIONS D’EVOLUTION

2-1

CHAPITRE 2MECANIQUE DES FLUIDES

GEOPHYSIQUESEQUATIONS D’EVOLUTION

) Conservation de la masse et équation de diffusion :ers , rivières ou atmosphère , les fluides géophysiques sont des fluidesétérogènes et doivent être considérés , d’un point de vue dynamique ,mme des mélanges : le mélange peut être poussé jusqu’à l’échelleoléculaire ou ionique et , dans cette acceptation du terme , une solution’est rien d’autre qu’un mélange intime .

es mélanges géophysiques comportent des constituants prépondérants9% de molécules d’azote et d’oxygène gazeux dans l’atmosphère ;

6,5% de molécules d’eau dans la mer …) et des constituants mineursouvant n’apparaître qu’à l’état de traces .oit iρ et iv

r, respectivement la masse volumique ( masse par unité de

lume en Kg . m-3 ) et la vitesse ( en m .s-1 ) d’un constituant « i » .

i V désigne un volume arbitraire fixe découpé dans l’espace occupé par leide et S la surface qui l’englobe , la variation temporelle de la massetale d’un constituant « i » contenu dans V peut être exprimée comme lamme d’une production ( ou destruction ) du constituant « i » au sein de V

t d’un transport bénéficiaire ( ou déficitaire ) du constituant à travers S ,it : ne

r

( ) )12(dSevdVQdVt nS iiV V ii −∫ ⋅ρ−∫ ∫=ρ

∂∂

•rr

S

Vù ner

est le vecteur unitaire selon la normale extérieure à la surfacenveloppe S et où iQ représente le taux de production ( destructionrsqu’il est négative ) du constituant « i » par unité de volume (exemple :action chimique).

Henri Poincaré

E.H.T.P. Zorkani mohammedCHAPITRE2: MECANIQUE DES FLUIDES GEOPHYSIQUES : LES EQUATIONS D’EVOLUTION

2-2

Le volume V étant fixe, on peut intervertir la dérivée temporelle etl’intégrale dans le membre de gauche, et appliquant le théorème deGAUSS à l’intégrale de surface , on peut écrire (2 -1) sous la forme :

( ) )22(0dVQvtV iiii −=∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅ρ∇+

∂ρ∂

•rr

Le volume V étant arbitraire , l’intégrale (2-2) ne peut être toujours nulleque si son intégrant est identiquement nul . On doit donc avoir :

( ) )32(Qvt iiii −=⋅ρ∇+

∂ρ∂

•rr

Conservation locale

Il est commode d’associer au «mélange» une masse volumique et unevitesse globales définies par :

♦ ∑ −ρ=ρi

i )42(

ρ est la masse (par unité de volume) du fluide

♦ ∑ −⋅ρ=⋅ρ )52(vv iirr

vr

ρ est la quantité de mouvement (par unité de volume) du fluide

où le signe Σ désigne une somme sur les constituants du mélange . Levecteur ( )v

r⋅ρ représente la quantité de mouvement par unité de volume

(Kg.m-2.s-1). On le notera nr

par la suite pour la simplicité de l’écriture.Les vitesses individuelles iv

r n’étant pas nécessairement égales à la

vitesse vr

du mélange, le transport iivr

ρ d’un constituant « i » donné peutêtre regardé comme la superposition d’un entraînement global par le fluideà la vitesse barycentrique v

r et d’un glissement à travers le fluide :

( ) )62(vvvv iiiii −−⋅ρ+⋅ρ=⋅ρrrrr

car la vitesse du constituant ≠ vitesse du mélange

Ce glissement peut être dû à la diffusion moléculaire ou à la migration :sédimentation des particules lourdes , ascension des gaz légers … On pose : ( ) )72(mvv iiiii −φ+⋅ρ=−⋅ρ

rrrr où im

r est la vitesse de

migration et iφr

le flux moléculaire.Ainsi l’équation (2-3) s’écrit :

E.H.T.P. CHAPITRE

( ) )82(Qvt iiii −φ∇−=⋅ρ∇+

∂ρ∂

••rrrr

où( ) )92(mQ iiii −⋅ρ∇−=φ •

rrr

qui représente le taux de production (ou destruction) local total duconstituant « i » dû aux interactions avec l’extérieur , aux interactionsinternes et aux migrations .

L’équation (2-8) n’exprime rien d’autre que la conservation de la masse : lavariation temporelle de la teneur locale d’un constituant résulte de sontransport par le fluide , de sa diffusion ( flux ) moléculaire au sein de celui -ci et de sa production ou sa destruction sur place .

Faisons la somme sur tous les constituants du système et faisant usage de∑ =i

i 0Q , on obtient , en vertu des équations (2- 4) et (2–5) , l’équation de

continuité :

( ) ( ) )102(0vvt

vt

−=∇⋅ρ+ρ∇+∂ρ∂

=⋅ρ∇+∂ρ∂

•••rrrrrr

Définissant les « concentrations » par :)112(c i

i −ρρ

= en % (Kg /Kg) → ( % )

ic est la concentration (masse par unité de masse du fluide)On déduit des équations (2-4) , (2-5) , (2-8) et (2-10) :

)122(1ci

i −=∑ ⇒ ∑ −=i

i )132(0dc

>><< epourcentag

• Si le composant i = 1 est l’eau pure contenu dans l’eau de mer c1 ~ 1• Si deux (ou plusieurs) constituants sont toujours présents dans le même rapport, une seulevariable d’état suffit pour définir l’état du système.• Si la composition est homogène, on n’est pas obligé de distinguer les différents constituants

Zorkani mohammed2: MECANIQUE DES FLUIDES GEOPHYSIQUES : LES EQUATIONS D’EVOLUTION

2-3

)142(cvtc

tdcd

iiiii −φ∇−Φ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇+

∂∂

ρ=ρ ••rrrr

C'est l'équation de diffusion

E.H.T.P. Zorkani mohammedCHAPITRE2: MECANIQUE DES FLUIDES GEOPHYSIQUES : LES EQUATIONS D’EVOLUTION

2-4

2) Loi de NEWTON : Equation de la quantité de mouvement :L’équation de la quantité de mouvement s’obtient en appliquant la loi deNewton selon laquelle la dérivée de la quantité de mouvement par rapportau temps est égale à la somme des forces appliquées. Parmi celles-ci, ilfaut compter, en outre les forces extérieures comme la pesanteur, lestensions internes que l’on peut associer, d’une part, au gradient depression, d’autre part, à la friction visqueuse.Dans des axes liés à la terre, on a ainsi :

( ) )152(Fpgn2nvtn

−+∇−χ+ρ+∧Ω−=∇+∂∂

•rrrrrrrrr

r

où vnrr⋅ρ= est comme précédemment la quantité de mouvement par unité

de volume du fluide géophysique, Ωr

est le vecteur rotation de la terre,n2rr

∧Ω⋅− La force de CORIOLIS, gr

l’accélération de la pesanteur, χr larésultante des forces astronomiques par unité de volume (forces demarrées ), p la pression et F

r la force de friction visqueuse.

La friction visqueuse se traduit par un flux moléculaire de quantité demouvement. Chacune des composantes de F

r peut se mettre sous la forme

de la divergence d’un vecteur flux (loi de comportement d’un fluidenewtonien) . Ainsi, si jn )3,2,1j( = désigne une composante quelconquede n

r , l’équation (2-15) donne 3 équations scalaire de la forme :

( ) )162(3,2,1j:vntn jnjn

jj −=φ•∇−Φ=∇+

∂

∂•

rrrr

où[ ] )172(pgn2 j

jn−∇−χ+ρ+∧Ω−=Φ

rrrrr

qui représente le taux de production ( ou destruction) locale de la quantitéde mouvement par les forces extérieures et intérieures et où jn

φr

est le fluxmoléculaire correspondant . On notera la similitude générale entre cetteéquation et l’équation (2-8).

E.H.T.P. Zorkani mohammedCHAPITRE2: MECANIQUE DES FLUIDES GEOPHYSIQUES : LES EQUATIONS D’EVOLUTION

2-5

3) Loi de GIBBS – équation de l’entropie :Si η désigne l’entropie du fluide par unité de masse , ρη son entropie parunité de volume, par un raisonnement analogue à celui qui a été fait à lasection 1, on peut écrire :

Entropie interne η du mélange

( ) ( ) )182(vt

vt

−φ∇−Φ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η∇+

∂η∂

⋅ρ=⋅η⋅ρ∇+η⋅ρ∂∂ η

•η

••rrrrrr

où

• ηΦ : représente le taux de production ( ou destruction ) locale d’entropie (selon son signe)• ηφ

r : le flux moléculaire d’entropie .

La production d’entropie est due à la chaleur apportée ( ou exportée ) parradiation ( rayonnement ) et à l’ensemble des transformations irréversiblesse produisant au sein du fluide géophysique . Cette seconde contribution ,toujours positive ou nulle en vertu du second principe de lathermodynamique , peut se mettre sous la forme d’une somme de produitsde flux moléculaires et d’affinités associées . On la désigne par σ .On pose : )192(r −σ+=Φη oùr est le taux de production d’entropie par radiation et où 0≥σ

4) Equations constitutives et équations d’état :Afin de fermer le système des équations de la mécanique des fluidesgéophysiques, il est nécessaire d’exprimer les flux moléculaires en termesdes variables d’état et d’établir une ‘’ équation ’’ entre ces variables.On admet généralement que les flux peuvent s’écrire sous la forme decombinaisons linéaires des affinités. Dans la plupart des cas, de surcroît,les termes croisés peuvent être négligés et on peut supposer chaque fluxproportionnel à l’affinité qui lui est associés. Cette hypothèse conduit auxlois phénoménologiques classique. On a ainsi, par exemple :

( )Ι ♦ La loi de FICK : selon laquelle le flux moléculaire d’unconstituant donné est proportionnel au gradient de sa concentration c – à –d :

)212(ccgrad iiiii −∇⋅λ⋅ρ−=⋅λ⋅ρ−=φ→ rr

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2-6

( )ΙΙ ♦ La loi de FOURIER : selon laquelle le flux moléculaire d’énergiethermique ‘’flux de chaleur’’ est donné est proportionnel au gradient deconcentration :

)222(TCTgradC CpCpC −∇⋅λ⋅⋅ρ−=⋅λ⋅⋅ρ−=φ→ rr

pC étant la chaleur spécifique à pression constante et T la température . ( )ΙΙΙ ♦ La loi de STOKES : pour les fluides newtoniens selon laquelle ,lorsque ρ est constante , le flux moléculaire de quantité de mouvement estproportionnel au gradient de vitesse correspondante c – à – d :

)232(vvgrad jjjn

−∇⋅ν⋅ρ−=⋅ν⋅ρ−=φ→ rr

ETC… (voir cours de MDF: loi de comportement des fluides newtonien).Les signes moins dans les équations (2–21) , (2-22) et (2-23) indiquentque les flux vont en sens inverse des gradients (‘’ la chaleur va du chaudvers le froid’’ …) . Les coefficients iλ , Cλ , ν … portent le non général de

‘’diffusivité moléculaire ‘’.On les mesure en « L2.T-1 » (m2s-1) . La diffusivité de quantité de mouvementν est également appelé ‘’viscosité cinématique’’

N.B. : Le gradient d’un champ tensoriel d’ordre 0 va de la zone à faiblevaleur du champ vers la zone où le champ est plus important tout en étantperpendiculaire aux surfaces isovaleurs (voir cours d’analyse tensorielle) .Il est inutile de discuter en détail la représentation des flux moléculaires .On verra en effet plus loin que , en Mécanique Des Fluides Géophysiques MDFG, ceux-ci sont presque toujours négligeables devant les fluxturbulents qui sont associés au transport des constituants par desmouvement désordonnés du fluide ressemblant , à l’échellemacroscopique , à ce qui se passe à l’échelle moléculaire . On retiendracependant la paramétrisation des flux moléculaires en termes desgradients des variables d’état associées car celle – ci serviraultérieurement de modèle à la paramétrisation des flux turbulents :

« Approche de BOUSINESQ ».L’équation d’état est une relation du type :

( ) )242(c,,p i −ηρ=ρOn a choisi l’entropie pour caractériser l’état thermodynamique du systèmeau lieu de la température. Dans cette hypothèse, la température est

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2-7

également une fonction : ( ) )252(c,,pTT i −η= qu’on rencontre le plussouvent sous la forme différentielle : (Voir Ch01 FGP : p13 "en tenir comptant des variations des concentrations")

)262(dcnTdTdpTdTCp −⋅∑⋅−η⋅+⋅ρ⋅β

=⋅ α

∧

α

où )272(T

1T

1

C,TC,P−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂η∂

ρ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ρ∂

ρ−=β

αα

β est le coefficient d’expansion thermique et où

)282(nnn n −−= αα∧

αn désignant la dérivée partielle de l’entropie par rapport à αc .Dans l’équation (2-26), on a tenu compte de l’équation (2-13) et on aéliminé une des concentrations : ‘’ nc , en l’occurrence’’ afin de neconserver que des variables ic indépendantes. Dans la suite, la notationsera conservée et l’accent circonflexe affectant les coefficients d’unesomme sur tous les constituants du système rappellera que la somme estlimitée aux ic indépendants (le coefficient de ndc est nul et le terme tombede la somme automatiquement).