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CHAPITRE 7Modèles de drainage souterrain
7.1 INTRODUCTION
Lesmodèles de drainage souterrain peuvent être classifiées selon deux régimes d’écoulement :
-- le régime permanent
-- le régime variable
Le régime permanent existe lorsque la nappe est stable, le débit de drainage étant en équilibreavec la réalimentation de la nappe. Le régime variable existe lorsque la nappe fluctue en fonc-tion de son alimentation par les précipitations. Lesmodèles en régimevariable existent princi-palement pour décrire le rabattement de la nappe après une précipitation, ce qui est appelé lerégime de tarissement.
7.2 PARAMÈTRES DES MODÈLES DE DRAINAGE
Avant de décrire les modèles de drainage, il est nécessaire de décrire les paramètres de toutsystème de drainage qui peuvent être représentés par la figure 7.1.
Ces paramètres se divisent en
-- limites physiques :
-- la profondeur des drains ”d”
-- la profondeur de sol perméable sous les drains “Z”
-- l’écartement entre les drains “E”
-- le rayon du drain “r”
102 MODÈLES DE DRAINAGE SOUTERRAIN
Figure 7.1 Schéma d’un système de drainage souterrain.
K1
K2
E
ho
h1
d
q
Z
-- en propriétés des sols :
-- les conductivités hydrauliques des couches de sol au--dessus et au--dessous des drains“K1 et K2”
-- la porosité de drainage
-- les caractéristiques hydrauliques :
-- les hauteurs de la nappe au--dessus des drains “h0 et h1”
-- le débit unitaire du drain “q”
7.3 LE RÉGIME PERMANENT
7.3.1 Modèle de Hooghoudt
Le régime permanent est décrit par une nappe en équilibre avec l’infiltration (figure 7.2).
Figure 7.2 Drainage en régime permanent.
x
h
qc
h
dx
δ δ
LE RÉGIME PERMANENT 103
Lemodèle deHooghoudt est le plus connu et il est basé sur l’hypothèse deDupuit--Forcheimer.Son développement est simple :
[7.1]q→x ≈ − Kx
dhdx
Le débit passant au travers un élément dx de largeur unitaire est :
[7.2]Qx = q→x A= − Kx
dhdxA
[7.3]Qx dx= − Kx (h+ δ) dh
Comme Qx = qc x, et après intégration :
[7.4]qc�E�2
0
x dx= − Kx�0
h
(h+ δ) dh
[7.5]qcx2
2|E�20
= − Kx �h22 + δ h |0h
[7.6]qcE2
8= − Kx �h22 + δ h
[7.7]qc = 4Kx h2
E2 + 8Kx δ h
E2
L’écartement s’exprime :
[7.8]E2 = 4Kx h2
qc+ 8
Kx δ hqc
Le débit unitaire (débit par mètre de drain) s’écrit :
[7.9]qi = qc E= 4 Kxh2
E+ 8 Kx
δ hE
7.3.2 Les critères de design
Les critères de design sont des objectifs de performances à atteindre. Dans le cas du régimepermanent, le débit d’infiltration “qc”(aussi appelé coefficient de drainage) est fixé pour uneprofondeur de la nappe de sorte que la zone des racines ne soit pas saturée. Dans les climatshumides, il est courant de fixer un coefficient de drainage 9 à 12mm/j pour une nappe à 30 cmde la surface du sol. Dans les sols irrigués où le débit d’alimentation de la nappe correspond aulessivage des sels, les coefficients de drainage varient de 2 à 6mm/j pour des nappes à plus de60 cm de profondeur.
104 MODÈLES DE DRAINAGE SOUTERRAIN
7.4 LE MODÈLE EN RÉGIME VARIABLE (GUYON)
Depuis le début du siècle et plus particulièrement depuis 1950, plusieurs auteurs ont essayé dedécrire le régime variable en drainage souterrain. Lesmodèles deBoussinesq (1903), Glover--Dumm (Dumm 1954), Kraijenhoff (1958), Maasland (1959), Van Schilfgaarde (1963, 1965)ont été dérivés analytiquement de l’hypothèse deDupuit--Forchheimer et lesmodèles deKirk-ham (1964) et Guyon (1966, 1970) ont dérivés de l’expression exacte des potentiels.
Lemodèle deGuyonmanifeste beaucoup d’intérêt à cause de sa simplicité d’utilisation pour ledesign et sa capacité de décrire toutes les composantes reliées au drainage souterain.
Lemodèle deGuyon pour les nappes rabattues par tranchées drainantes a été construit avec leshypothèses suivantes (figure 7.3) :
-- la loi de Darcy est valide,
-- le sol est homogène et isotrope,
-- les tranchées drainantes sont remblayées par des éléments grossiers et se comportentcomme des fossés à ciel ouvert,
-- le substratum imperméable est horizontal,
-- l’écoulement est plan.
Figure 7.3 Le schéma de fonctionnement d’une tranchée drainante.
LE MODÈLE EN RÉGIME VARIABLE (GUYON) 105
À la suite de son développement, il obtient les équations générales du débit au drain en fonc-tion de la hauteur à mi--chemin entre deux drains et du temps de rabattement de celle--ci :
[7.10]q(h) =2 P E K �h2(o, t)+ 2 δ h(o, t)
N E2 + 4 R (h(o, t)+ δ)2
[7.11]t1 =�
K�N E2
4 δ+ R δ ln�2δ+ h1
2δ+ ho hoh1
+ 2 R �ho− h1�q(h) = débit unitaire en fonction de la hauteur de la nappe (m3/m--j)
h(o,t) = hauteur de la nappe au--dessus du niveau d’eau dans le fossé(ou le drain) au temps “t” et à la distance x = 0 de l’origine desaxes (à mi--chemin entre deux drains) (m)
t = temps (j)
ho = h(o,to)
to, t1 = temps initial et au moment d’intérêt (j)
h1 = h(o,t1)
K = conductivité hydraulique du sol (m/j)
E = écartement entre les lignes de drains (m)
µ = porosité équivalente de drainage
δ = profondeur dans le fossé (m)
N et P = coefficients adimensionnels dépendant de la forme de la nappe
R = coefficients adimensionnels dépendant de la répartition des vitessesle long de l’entre--axe
Les coefficients adimensionnels N et P dépendent de la forme de la nappe et sont décrit :
[7.12]N= �1
0
dX �X0
f (X) dX
[7.13]P= �1
0
f (X) dX
f (X) = h(x, 0)h(0, 0)
X= 2 xE
Le coefficient adimensionnel R dépendant de la répartition de la vitesse verticale le long del’entre--axe :
[7.14]R� 1h0+δ
h0+ 2
106 MODÈLES DE DRAINAGE SOUTERRAIN
Dans les conditions normales rencontrées en drainage souterrain, la contribution des termesinfluencés par le coefficient R (R< 1/3) est inférieure à 5%. L’influence de R se fait sentir à detrès faibles écartements entre les lignes de drains. En négligeant R, l’erreur sur le débit q(h) estinférieure à 1% si E/h > 18 (δ = 0), E/h > 30 (δ = h) et inférieure à E/h > 8 (δ = 0), E/h > 13(δ = h).
En négligeant R, les relations [7.10] et [7.11] se simplifient et deviennent :
[7.15]q(h) = 2 PNKEh2(o, t)+ 4 P
NKEδ h(o, t)
[7.16]t1 =N4�
KE2
δln�2δ+ h1
2δ+ ho hoh1
De ces dernières expressions, il est possible de tirer celle de l’écartement “E” entre les files dedrains, du rabattement de la nappe “h(o, t)” et du tarissement du débit “qi(t)” :
[7.17]E2 = 4NK δ�
t1
ln �2δ+h12δ+ho hoh1�
[7.18]h(o, t) = h(o, o)eαt+ γ (eαt− 1)
= h(o, o) G(α, γ, t)
α = 4NK�
δE2
γ = 12h(o, o)δ
[7.19]q(t) = qo γ G2(α, γ, t)+ G(α, γ, t)γ+ 1
�Dans le cas où les drains reposent sur le substratum imperméable (δ=0), les expressions [7.15]à [7.19] deviennent :
[7.20]q(h) = 2 PN
K1Eh2(o, t)
[7.21]t1 =N2
�
K1E2
�ho− h1ho h1
[7.22]E2 = 2N
K1� t1
ho h1�h0 − h1
[7.23]h(o, t) = h(o, o)1+ β t
ou h1 =ho
1+ β t
[7.24]q(t) =qo
�1+ β t2
β = 2N
K1�h(o, o)
E2
LE MODÈLE EN RÉGIME VARIABLE (GUYON) 107
Lorsque la profondeur de sol perméable sous les drains est grande par rapport à la hauteur de lanappe (δ >> h), les expressions [7.15] à [7.19] s’écrivent :
[7.25]q(h) = 4 PN
K2E
δ h(0, t)
[7.26]t1 =N4
�
K2
E2
δlnh0h1
[7.27]E2 = 4N
K2 δ�
t1
ln �h0�h1
[7.28]h(o, t) = h(o, o) e−α t
[7.29]q(t) = qo e−α t
En analysant l’équation [7.15] et les cas limites des équations [7.20] et [7.25], le premier termede l’équation [7.15] utilise la conductivité hydraulique au--dessus des drains “K1” et le secondterme de l’équation [7.15] utilise la conductivité hydraulique sous les drains “K2”. Si l’on tientcompte des conductivitésK1 etK2 des couches de sol situées respectivement au--dessus et au--dessous du plan horizontal passant par la surface libre de l’eau dans le fossé (ou par le drain),les expressions [7.15] à [7.19] deviennent :
[7.30]q(h) = 2 PN
K1Eh2(o, t)+ 4 P
N
K2E
δ h(0, t)
[7.31]t1 =N4
�
K2
E2
δln�2δ+ h1 K1�K2
2δ+ h0 K1�K2 h0h1
[7.32]E2 = 4N
K2 δ�
t1
ln �2δ+h1 K1�K2
2δ+h0 K1�K2
h0h1�
[7.33]h(o, t) = h(o, o)eαt+ γ (eαt− 1)
= h(o, o) G(α, γ, t)
α = 4N
K2�
δE2
γ = 12K1K2
h(o, o)δ
[7.34]q(t) = qo γ G2(α, γ, t)+ G(α, γ, t)γ+ 1
�En raisonnant à partir de l’hypothèse simplificatrice de Dupuit--Forchheimer qui donne uneexpression approchée du gradient hydraulique (φ = h), des résultats analogues sont obtenuspour le cas δ=0 (Boussinesq, 1903; Dumm, 1954;Guyon, 1966) et pour le cas δ=h (Dumm,1954; Kraijenhoff, 1958; Maasland, 1959; Guyon, 1966). Le développement de Guyon utili-sant la théorie des écoulements à potentiel des vitesses tout en confirmant le bien--fondé del’hypothèse de Dupuit--Forchheimer, a l’avantage de décrire le cas général.
108 MODÈLES DE DRAINAGE SOUTERRAIN
7.4.1 Forme de la nappe
Laméthode des intégrales appliquée à la théorie des écoulements à potentiel des vitesses tellequ’utilisée par Guyon ne permet pas de déterminer directement les valeurs numériques deN etP (il serait nécessaire d’expérimenter), ce que permet par contre l’hypothèse de Dupuit--Forchheimer en déterminant analytiquement la forme de la ligne d’eau, elliptique pour le cas δ=0 et sinusoïdale pour le cas δ>>h. Par contre, laméthode des intégrales n’oblige pas la ligned’eau à aboutir au niveau du drain et, plusieurs solutions représentant la forme de la nappe etrépondant à l’expression suivante peuvent être envisagées:
[7.35]h(x, t) = h(o, t) f �2 xE
La figure montre un cas de la forme de la nappe entre deux drains lors de son rabattement.
Figure 7.4 Évolution de la nappe entre deux drains lors de son rabattement.
Outre la sinusoïde et l’ellipse, les formes possibles de la ligne d’eau sont la parabole et la droitehorizontale. La forme de la nappe a peu d’influence sur les coefficients 2P/N et 4/N commeentémoigne le tableau 7.1. Pour les deux cas théoriques, l’ellipse et la sinusoïde, l’écart maxi-mum n’est que de 11%, alors qu’entre la droite horizontale (le cas limite) et la sinusoïde, iln’est que de 20%. L’écart maximum ainsi occasionné lors du calcul de l’écartement serait de10%.
En n’envisageant que le cas où la nappe n’aboutit pas au drain (comme le veut la théorie deGuyon (1960, 1970, 1972)) et le montre la figure 7.4, nous avons étudié diverses expressionspouvant décrire la forme de la nappe. La figure 7.5 présente le lissage des différentes formesthéoriques de la nappe sur 230 observations réparties en 20 points de relevés dans un champ
LE MODÈLE EN RÉGIME VARIABLE (GUYON) 109
drainé par quatre lignes de drains. La parabole est la meilleure approximation des quatre for-mes analysées, ce qui confirme les hypothèses de Guyon (1966): les deux cas limites théori-ques étant l’ellipse et la sinusoïde, les cas intermédiaires peuvent être décrits par la parabole.
Figure 7.5 Forme de la nappe.
DISTANCE X= 2 xE
Y= h(x, t)h(0, t)
COURBE “ρ”
Droite 0,90
Ellipse 0,92
Sinusoïde 0,92
Parabole 0,94
Puits d’observation 20
Nombre d’observations 230
Y= 1, 069− 0, 654 X
Y2= 0, 977− 0, 892 X2
Y= 1, 010− 0, 666 X2Y= 0, 395− 0, 655 cosπ
2X
Tableau 7.1 Les valeurs de N et P en fonction de la forme de la nappe.
Forme de la nappe N P 2 P / N 4 / N
Sinusoïde 4/π2 (0,40) 2/π (0,64) π (3,14) π2 (9,87)
Parabole 0,42 0,67 3,20 9,60
Ellipse 0,45 0,78 3,47 8,84
Droite horizontale 0,50 1,00 4,00 8,00
Droite inclinée 0,33 0,50 3,00 12,00
Expérimental (fig. 7.5) 0,45 0,79 3,5 8,9
La connaissance de la forme de la nappe montre un grand intérêt car elle permet d’évaluer lescoefficientsN etP des équations théoriques. Leurs valeurs numériques sont obtenues en intro-duisant l’approximation parabolique obtenue suite à la régression des données de la forme dela nappe (figure 7.5) dans les expressions [7.12] et [7.13] :
[7.36]N= �1
0
dX �X0
�1, 01− 0, 666 X2 dX= 0, 45
[7.37]P= �1
0
�1, 01− 0, 666 X2 dX= 0, 79
110 MODÈLES DE DRAINAGE SOUTERRAIN
Les valeurs expérimentales des coefficientsN etP (tableau 7.1) se comparent aux coefficientsthéoriques. Les valeurs correspondent à celles de l’ellipse quoique la forme de la nappe soitplutôt parabolique. La différence est due au fait que la ligne d’eau n’aboutit pas au drain.
En connaissant les coefficients N et P, les expressions théoriques [7.30] à [7.34] s’écrivent :
[7.38]q(h) = 3, 5K1Eh2(o, t)+ 7
K2E
δ h(0, t)
[7.39]t1 =18, 9
�
K2
E2
δln�2δ+ h1 K1�K2
2δ+ h0 K1�K2 h0h1
[7.40]E2 = 8, 9K2 δ�
t1
ln �2δ+h1 K1�K2
2δ+h0 K1�K2
h0h1�
[7.41]h(o, t) = h(o, o)eαt+ γ (eαt− 1)
= h(o, o) G(α, γ, t)
α = 8, 9K2�
δE2
γ = 12K1K2
h(o, o)δ
[7.42]q(t) = qo γ G2(α, γ, t)+ G(α, γ, t)γ+ 1
�Il est à remarquer que l’équation [7.38] est très semblable à l’équation [7.9] de Hooghoudt enrégime permanent.
L’expression de l’écartement (équations [7.17] et [7.40]) est identique à celle présentée parVan Schilfgaarde (1965) excepté que le coefficient de cette dernière vaut 9 par rapport à 4/Nqui est 8,9.
Les équation [7.39] et [7.40] peuvent être utilisées lorsque le drain ou le fossé repose sur l’im-perméable en utilisant une valeur de δ très petite comme 1 mm ou 1 cm.
Les modèles dérivés de l’expression exacte des potentiels sont fondamentalement plus préciset permettent de valider les approches utilisant l’hypothèse de Dupuit--Forchheimer. De plus,l’approche de Guyon manifeste beaucoup d’intérêt à cause de sa simplicité d’utilisation pourle design et sa capacité de décrire toutes les composantes reliées au drainage souterain.
ÉCOULEMENT RADIAL 111
7.5 ÉCOULEMENT RADIAL
Dans la zone limitrophe d’un drain, l’écoulement vers le drain peut être représentée par l’écou-lement radial. Le développement est représenté par un drain installé dans un cylindre de solimmergé dans un bac d’eau (figure 7.6). Le bout du cylindre de sol est scellé et le drain sort dubac d’eau. Un niveau d’eau est maintenu constant dans le drain.
Figure 7.6 Écoulement d’un drain de rayon rd dans un cylindre de sol.
EAU
SOL
Drain
H0
H1
R
Leproblèmepeut être décrit par l’équation de la continuité ou équation deLaplace en coordon-nés cylindriques :
[7.43]1r∂φ∂r +
∂2φ∂r2
+ 1r2
∂2φ∂θ2
+∂2φ∂z2
= 0
Comme l’écoulement est symétrique autour du puits, il n’y a pas d’écoulement dans la direc-tion θ, alors ∂2φ�∂θ2 = 0. De même, il n’y a pas d’écoulement vertical et ∂2φ�∂z2 = 0. L’équa-tion différentielle se réduit alors à :
[7.44]1r∂φ∂r +
∂2φ∂r2
= 0
Les conditions limites sont :
r= Rw , φ = Hw
r= R , φ = HR
L’équation [7.44] peut être écrite plus simplement :
[7.45]ddr�r ∂φ
∂r= 0
112 MODÈLES DE DRAINAGE SOUTERRAIN
Les étapes d’intégration sont :
[7.46]r∂φ∂r = C1
[7.47]∂φ =C1r dr
[7.48]φ = C1 ln r+ C2
En utilisant les conditions limites :
r= rw , HW = C1 ln rw+ C2
r= R , HR = C1 lnR+ C2
Après les manipulations algébriques, les valeurs de C1 et C2 sont obtenues :
[7.49]C1 =HR− Hw
ln�R�rw
[7.50]C2 = Hw−HR− Hw
ln�R�rwln rw
La solution générale est :
[7.51]φ =HR− Hw
ln�R�rwln r+ HW−
HR− Hw
ln�R�rwln rw
[7.52]φ =HR− Hw
ln�R�rwln�r�rw + Hw
Le débit vers le puits peut être obtenu en utilisant l’équation de Darcy et l’équation [7.52] :
[7.53]qr = − K∂φdr
= − KHR− Hw
ln�R�rw1r
Le débit ”Q” peut être déterminé en évaluant le flux à n’importe quel ”r” et en intégrant sur lasurface d’écoulement. En prenant r = rw, nous obtenons :
[7.54]qr = − KHR− Hw
ln�R�rw1rw
[7.55]Q= �A
qr | r=rw dA= �2π
θ=0
− KHR− Hw
ln�R�rw1rwrw dθ D
[7.56]Q= − 2 π K DHR− Hw
ln�R�rw
Il faut noter que le débit est négatif car celui--ci est vers le puits (en sens inverse de la directionde l’axe des “r”).
Cemontage est utilisé pour déterminer la résistance à l’écoulement d’un drain réel et de déter-miner son rayon équivalent à un drain idéal provoquant le même débit
PROFONDEUR ÉQUIVALENTE DE DRAINAGE 113
7.6 PROFONDEUR ÉQUIVALENTE DE DRAINAGE
7.6.1 Le concept de profondeur équivalente de drainage.
La plupart des modèles de Hooghout (section 7.3.1) et de Guyon considèrent un fossé creuséjusqu’à l’imperméable et où apparaît une épaisseur d’eau “δ”. Dans la réalité, les fossés sontrarement creusés jusqu’à l’imperméable et les fossés sont souvent remplacés par des drainssouterrains. Pour aider à solutionner les problèmes réels, Hooghoudt a proposé le concept de laprofondeur équivalente de drainage δ’ (figure 7.7), ce qui permet d’utiliser les modèles dedrainage développés pour les fossés en y remplaçant la profondeur d’eau dans la fossé par laprofondeur équivalente de drainage.
Figure 7.7 Notion de la profondeur équivalente de drainage de Hooghoudt.
[≡]
Substratum imperméable
Substratum imperméable
δ’ = profondeur équivalente(Hooghoudt)Z
K1
K2
Hooghoudt ramène par analogie le cas du drain au cas d’un fossé ouvert de profondeur équiva-lente δ’ provoquant le même débit. La profondeur équivalente δ’ dépend en fait de l’écarte-mentE, de la profondeur réelleZ de sol perméable sous les drains et, dans unemoindremesure,du diamètre des drains. La profondeur équivalente δ’ de Hooghoudt est utilisée par la plupartdes modèles de drainage. L’évaluation de la profondeur équivalente “δ’ est complexe et seraprésentée dans la prochaine section.
7.6.2 La profondeur équivalente de drainage de Hooghoudt.
Pour estimer la profondeur équivalente de drainage, Hooghoudt a divisé la résistance à l’écou-lement en trois composantes (figure 7.8) : une résistance verticale, une résistance horizontaleet une résistance radiale près du drain. La sommede ses trois résistance est égale à la résistancehorizontale d’un fossé équivalent.
114 MODÈLES DE DRAINAGE SOUTERRAIN
Figure 7.8 Résistances de l’écoulement vers un drain.
Résistance horizontaleRésistanceradiale
Résistanceverticale
SUBSTRATUM IMPERMÉABLE
Après son développement, Hooghoudt a obtenu l’expression suivante pour décrire la profon-deur équivalente de drainage :
[7.57]
1δ�
= 8E
1π ln Z
2� r− 1
π�∞n=1
ln(n E)2 − Z2�2
n E2 + 12�∞n=0
ln�n E+ Z� 2� 2
(n E)2 + 4 Z2
+ 12�∞n=1
ln�n E+ Z 2� 2 + 4 Z2
(n E)2 + 4 Z2+�E− Z 2� 2
8 Z E
L’équation précédente est difficile d’utilisation à cause de la présence de sommations de sériesinfinies. (Labye, 1960) reprit l’équation précédente de Hooghoudt pour la présenter sousforme trigonométrique :
[7.58]1δ�
= 8E
1π ln Z
2� r+ 1
π ln
sin�� π Z2� E cosh 4 π Z
E− cos 2� π Z
E� π ZE
sinh 2 π ZE
+�E− Z 2� 2
8 Z E
Le premier terme correspond à la résistance radiale, le second correspond à la résistance verti-cale et le dernier correpond à la résistance horizontale. Lorsque Z/E<0,25, le terme central del’équation [7.58] peut être négligé car sa contribution est inférieure à 1%.Ce terme correspondà la résistance verticale. L’équation [7.58] peut se traduire sous forme graphique (figure 7.9).
Van Beers a développé une équation similaire pour les fossés n’atteignant pas l’imperméable :
[7.59]δ� = Z
1+ 8 Zπ E ln Zu
u = périmètre mouillé du fossé ou du drain
Pour le drain, celui--ci est considéré à demi plein (u = π r ).
115
Figure 7.9 Profondeur équivalente de drainage selon l’équation[AUCUN LIEN ] pour undrain idéal de 10 cm de diamètre.
116
Le calcul de l’écartement des drains nécessite la connaissance de la profondeur équivalente dedrainage qui est fonction de l’écartement des drains. Cette situation ne peut être solutionnéeque par itération mais où il est nécessaire de fixer les conditions de départ. L’utilisation desconditions suivantes lors de la première itération s’est avérée efficace et où la solution estgénéralement trouvée en trois itérations :
δ’ = Z si Z < 1,0 m
δ’ = Z� si Z > 1,0 m
7.6.3 La profondeur équivalente de drainage et le drain réel.
Lors du développement de leurs solutions pour déterminer la profondeur équivalente de drai-nage, Hooghoudt et Van Beers ont considéré un drain qui n’offre aucune résistance à l’entréede l’eau, un drain qui n’a donc pas de parois. Dierickx (1982) a étudié la résistance à l’écoule-ment d’un drain ondulé (figure 7.10) possédant des fentes non continues. Il a déterminé le fac-teur de résistance à l’entrée :
[7.60]ac= C
2 π2 r�o�ln 2 C
π Bv− C
4 π+ C
2 π N lpln2 sinh�2 π dr
Bv
sin2�π Bs2 Bv − 1
2 πlnr�oro
C = distance axiale entre les pertuisBv = largeur des vallées des ondulationsBs = largeur des pertuislp = longueur des pertuisdr = profondeur des ondulations ou distance entre les pertuis et le dia-
mètre extérieur du drain.N = nombre de rangées de pertuisr�o = rayon extérieur du drain = ro+ dr
Figure 7.10 Caractéristiques des perforations d’un drain ondulé.
Connaissant le facteur de résistance dans un écoulement radial, le rayon équivalent peut êtreestimé :
[7.61]re = ro� e−2 π ac
CRITÈRES DE DESIGN 117
Pour les drains couramment utilisés de polyéthylène de 10 cmde diamètre, le rayon équivalentest d’environ 5,1 mm (ou diamètre équivalent de 10,2 mm). Ces drains ont une surface d’ou-verture d’environ 2% de leur surface de parois et ont diamètre équivalent représentant le 1/10de leur diamètre.
La profondeur équivalente de drainage d’un drain réel peut être estimée en remplaçant dans leséquations de la profondeur équivalente de drainage le rayon du drain par son rayon équivalent.La figure 7.11 présente la profondeur équivalente de drainage de l’équation de Hooghoudt(équation [7.58]) pour un drain ayant un diamètre équivalent de 10,2 mm. Si l’on compare lafigure 7.11 par rapport à la figure 7.9, la profondeur équivalente de drainage est réduite de 5%à 30 % avec une moyenne de 10 %.
7.7 CRITÈRES DE DESIGN
Dans le cas du régime variable, les facteurs qui peuvent avoir une influence lors du design d’unsystème de drainage sont la profondeur des drains et le taux de rabattement de la nappe.
7.7.1 La profondeur des drains
Dans les premières recherches, la profondeur des drains était liée à la profondeur optimale dela nappe. Plusieurs recherches ont été réalisées dans cet optique et leur analyse montre que :
-- En périodes humides, les meilleurs rendements des cultures sont obtenus en maintenantles nappes basses, soit à plus de 1,0 m de profondeur;
-- En périodes sèches, les meilleurs rendements sont obtenus en maintenant les nappes de60 à 70 cm de la surface du sol pour la majorité des plantes cultivées. Ces conditionscorrespondent en réalité à de l’irrigation souterraine.
La profondeur des drains n’est en réalité pas lemeilleurmoyen de contrôler la profondeur de lanappe; les systèmes de contrôle des nappes sont plus appropriés. Par contre, ces systèmes nepeuvent contrôler la nappe qu’à des niveaux au--dessus du drain. Il y alors avantage à installerles drains en profondeur, soit à plus d’un mètre de profondeur.
La profondeurminimale de la nappe doit permettre la circulation desmachines et cette profon-deur est reconnue comme devant être supérieure de 50 à 60 cm. Compte tenu qu’il doit y avoirun gradient hydraulique entre cette nappe et le drain pour qu’elle atteigne rapidement cetteprofondeur, la profondeur minimale des drains recommandée est de 90 cm.
La profondeur maximale des drains est contrôlée par la profondeur maximale à laquelle lesmachines peuvent installer les drains. Au Québec, la profondeur maximale généralementacceptée est de 1,50 m, certaines machines pouvant installer les drains à 1,80 m.
Pour des raisons de performance, les drains doivent être installé dans l’horizon le plus avanta-geux hydrauliquement, ce qui peut limiter la profondeur des drains dans certains cas.
Au Québec, les drains sont généralement installé à des profondeurs de 1,0 à 1,2 m de profon-deur.
118
Figure 7.11 Profondeur équivalente de drainage selon l’équation[AUCUN LIEN ] pourun drain de 10 cmde diamètre ayant un diamètre équivalent de 10,2mm (adaptéde CPVQ, 1989).
ÉCARTEMENT (m)
PROFONDEUREQUIVALE
NTE(m
)
DIAMÈTRE DES DRAINS OU LEUR LONGUEUR 119
7.7.2 Le taux de rabattement de la nappe.
Dans l’approche du régime variable, la nappe atteindra la surface du sol suite à une forte pluieet le systèmede drainage devra la rabattre d’une certaine hauteur sur une période de temps pourque la plante ne subisse de stress dommageable ou pour permettre l’accessibilité au champ.
Il est généralement considéré qu’un rabattement de la nappe de 30 cmde la surface du sol en 24heures permet aux plantes de ne pas subir de stress important. AuQuébec, les taux suivants derabattement de la nappe sont recommandés :
-- Grandes cultures (maïs, soya, céréales) 30 cm/j
-- Cultures commerciales (pois, haricot, etc.) 30 -- 50 cm/j
-- Fourrages et céréales 15 -- 30 cm/j
La rapidité d’accès au champ par les équipements agricoles suite à une pluie est aussi un fac-teur à considérer. Le rabattement de la nappe des 50 à 60 cm de sol doit se faire sur une périodede un à cinq jours dépendant des contraintes des cultures, les cultures commerciales étant lesplus contraignantes.
Le design s’effectue en calculant l’écartement pour chacun des cas et l’écartement le plus fai-ble est retenu car le plus critique.
7.8 DIAMÈTRE DES DRAINS OU LEUR LONGUEUR
Le drain souterrain joue un double rôle :
1. il crée un gradient de potentiel qui permet le rabattement de la nappe nuisible auxcultures ou aux opérations agricoles (semis, récolte et travail du sol) et
2. il évacue hors de la parcelle cette eau retirée de la nappe.
Ce second rôle d’aqueduc (grosseur des drains) doit être déterminé avec une précision suffi-sante pour ne pas mettre en danger la vie du réseau et l’efficacité de rabattement de la nappe,tout en étant une solution la plus économique possible. Le respect de ces conditions résulte enun design optimum.
7.8.1 Le débit du drain
Le débit unitaire que reçoit un drain d’une nappe en régime de tarissement peut être évalué parl’équation [7.38].
La faible probabilité que les nappes soient à la surface du sol et la courte durée de telles condi-tions en période de drainage nous amènent à considérer un débit maximum pour une nappe à20 cm de la surface du sol. Cette considération est appuyée sur le fait qu’une faible chargehydraulique ne provoque pas de problèmes d’érosion si la vitesse reste faible. Lorsque lavitesse maximale dépasse 90 cm/sec, il serait sage d’être plus prudent.
120
7.8.2 La capacité des drains
Une revue de littérature (Allard et Cros, 1973; Irwin et Tsang, 1972) nous amène à considérerl’équation deManning--Strickler pour évaluer la capacité d’un tuyau de drainage comme étantvalable dans un but de design :
[7.62]Q= 1n A Rh
2�3 S1�2
n = coefficient de rugosité de Manning--Strickler
A = section d’écoulement (m2)
Rh = rayon hydraulique (m) = section /périmètre mouillé
S = pente hydraulique (m/m)
En proposant un coefficient de friction moyen et constant, ce modèle n’est exact que pour lesconditions d’écoulement en régime turbulent (Re
1 > 103). Sous les conditions générales dedrainage où le régime d’écoulement est partiellement turbulent (104 < Re < 105) (Irwin et
Tsang, 1972), le coefficient de friction est fonction du nombre de Reynolds. Pour les drains deterre cuite, cette variation est faible, alors que pour les drains dematière plastique, elle est pres-que nulle pour certaines marques de tuyaux mais non négligeable pour d’autres (Irwin etTsang, 1972).
L’approximation de la pente hydraulique avec la pente du drain qui est vraie pour un écoule-ment à surface libre, nous amène souvent à oublier que c’est le gradient hydraulique qui provo-que l’écoulement.
Le débit maximum considéré et recommandé pour le design en Amérique du Nord l’est pourun drain plein et l’équation [7.62] s’écrit :
[7.63]Qm = 310n D8�3 S1�2
Qm = débit maximum (1/sec)
D = diamètre du drain (m)
Allard et Cros (1973) recommandent de considérer un écoulement à surface libre où les drainsne sont pas remplis à plus des 3/4 de leur diamètre. En utilisant ces recommandations dansl’équation [7.63] pour un coefficient ”n” constant, le débit maximum ne subit une diminutionque de 7%, ce qui est négligeable en design.
7.8.3 Le coefficient ”n”
Par leur expérimentation, Irwin et Tsang (1972) ont trouvé pour les tuyaux de terre cuite descoefficients ”n” de ,0102 et 0108. Pour les tuyaux de polyéthylène, de nombreuses expérien-ces ont été conduites et les coefficients moyens varient de 0,017 à 0,020 en fonction du diamè-tre du tuyau. Le tableau suivant présente ces valeurs.
1. Nombre de Reynolds
DIAMÈTRE DES DRAINS OU LEUR LONGUEUR 121
Tableau 7.2 Coefficient “n” de Manning pour les tuyaux de polyéthylène ondulé.
Diamètre du tuyau (mm) Coefficient “n” de Manning
75 0,017
100 0,017
150 0,017
200 0,018
250 0,020
300 0,020
7.8.4 Facteur de sécurité
Les systèmes de drainage souterrain ne mettant pas la vie des personnes en danger, seuls lesfacteurs économiques et de durabilité peuvent intervenir dans le choix de facteurs de sécurité.
Pour les latéraux, aucun facteur de sécurité n’est prévu. Pour les collecteurs, il serait bon deprévoir un facteur de sécurité puisqu’ils peuvent être pleins sur presque toute leur longueur ettransportent de plus grands volumes d’eau. Un facteur de sécurité de 1.1 est ainsi justifié.
7.8.5 Choix du diamètre ou de la longueur d’un drain
Le débit total d’un drain est :
[7.64]Qt = 0, 0116 q(h) L
Qt = débit total (1/sec)
q(h) = débit unitaire en fonction de la hauteur de la nappe (m3/m--j)
L = longueur de drain jusqu’au point considéré (m)
0,0116 = facteur de conversion de m3/j en l/sec
et ce débit doit être inférieur à la capacité du drain :
[7.65]0, 0116 q(h) L≤ 310n D8�3 S1�2
L’équation [7.65] transformée sous forme graphique donne le Nomogramme No 1(figure 7.12) pour les tuyaux de terre cuite et le Nomogramme No 2 (figure 7.13) pour lestuyaux de polyéthylène ondulé. Ces nomogrammesmettent en évidence la longueur totale desdrains, le débit unitaire, le débit maximum, le diamètre du drain et le gradient hydraulique.
L’utilisation du nomogramme est simple et consiste à :
1. calculer le débit unitaire du système de drainage d’après l’équation [7.38], enappliquant les coefficients de sécurité appropriés;
2. évaluer sur le graphique de droite le débit maximum du drain pour un diamètredonné, en utilisant comme pente hydraulique la pente du drain;
122
3. projeter une droite joignant le débit maximum et le débit unitaire pour donner lalongueur maximale pour le diamètre donné.
Inversement, l’abaque peut être utilisée pour évaluer la grosseur d’un collecteur lorsque la lon-gueur totale des drains contribuant au drainage en amont est connue.
L’exemple suivant explicite davantage. Un système de drainage est installé avec un écarte-ment de 30 m, à une profondeur moyenne de 1 m dans un sol ayant une conductivité hydrauli-que de 0,8 m/j et sur une profondeur de 3 m (Z = 3 m -- 1 m = 2 m => δ’ = 1,1 m).
Le débit unitaire des latéraux sera selon la formule [7.38] de 0,22m3/m--j . Pour les collecteurs,le débit unitaire sera avec un facteur de sécurité de 1,1 de 0,24 m3/m --j .
Si les latéraux et les collecteurs sont installés avec une pente de 0,10 et sont en polyéthylèneondulé, un latéral de 100mmde diamètre pourra avoir une longueur de 600m et les collecteursde 150 mm de diamètre et 200 mm de diamètre pourront recevoir respectivement 1300 m et2500 m de latéraux
Cette méthode offre beaucoup de flexibilité au projecteur, lui permettant d’utiliser directe-ment les longueurs de drains prévues ou à prévoir, ou de converger rapidement vers une solu-tion la plus économique.
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Labye, Y., 1960. Note sur la formule de Hooghoudt. Bull, Tech, de Génie Rural, No 49,C.T.G.R.E.F., Antony, France.
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BIBLIOGRAPHIE 123
Figure 7.12 Nomogramme pour le calcul de la grosseur et la longueur des drains deterre cuite.
Nom
ogrammeNo1
DRAIN
SENTERRECUITE
124
Figure 7.13 Nomogramme pour le calcul de la grosseur et la longueur des drains depolyéthylène ondulé.
DRAIN
SENPOLYÉTHYLÈNE
Nom
ogrammeNo2
BIBLIOGRAPHIE 125
GAE--3001 PROBLÈMES SÉRIE 7.
7.1. Pour une nappe qui a atteint la surface du sol à la fin d’une pluie, calculez sa profondeuren fonction du temps (0, 1, 2, 3, 5, 8 et 10 jours après la pluie) lorsqu’elle se rabat sousl’influence de systèmes de drainage repondant aux différentes combinaisons de profon-deurs des drains et d’écartements entre les drains suivants ;
Profondeur des drains: Écartement entre les drains
a) 1,0 m 1) 30 m
b) 1,2 m 2) 45 m
c) 1,5 m 3) 60 m
Le sol est homogène sur une profondeur de 3 m et possède une conductivité hydrauliquede 1,0 m/j et une porosité de drainage de 0,04.
7.2. Un sol possède une conductivité hydrauliqueKo--lm de 1,0m/j,K1+ de 0,7m/j et une poro-sité équivalente de drainage de 0,04. Avec lemodèle de Guyon en régime variable, calcu-lez l’écartement qui devrait avoir le système de drainage pour un rabattement de 30 cm/jlorsque la nappe est à la surface du sol (profondeur des drains 1,0 m) si la profondeur desol perméable est de:
a) 4,0 m b) 3,0 m c) 2,0 m d) 1,5 m e) 1,2 m f) 1,0 m
7.3. Calculez l’influence des profondeurs suivantes de sol perméable sur le débit au drain(q(h,t)):
a) 4 m b) 3 m c) 2 m d) 1,5 m e) 1,0 m
7.4. Avec le modèle de Guyon, calculez l’influence des profondeurs suivantes des drains (ouhauteur de la nappe) sur l’écartement entre les drains :
a) 1 m b) 1,2 m c) 1,5 m d) 2,0 m
Considérez la nappe à la surface du sol. Les autres facteurs (K, µ, dh/dt) sont constants.
7.5. Avec lemodèle deGuyon, calculez l’influence des variations du rapport des conductivitésK1 et K2 suivantes sur l’écartement entre les drains :
K2 = 10 K1 K2 = 5 K1 K2 = 2 K1 K2 = K1 K2 = 0,5 K1 K2 = 0,2 K1
K2 = 0,1 K1 K2 = 0
Les autres facteurs (µ, de, dh/dt) sont constants.
7.6. Les erreurs demesures des paramètres conductivité hydraulique (K), porosité de drainage(µ), et profondeur équivalente de drainage (de) se transmettent lors du calcul de l’écarte-ment (E). Évaluez l’influence que les erreurs de mesure de ces paramètres amènent surle calcul de l’écartement pour les conditions normales.
126
7.7. Pour une nappe à 1,0m au--dessus des drains, calculez l’influence sur le rabattement théo-rique de la nappe (∆h/∆t) de 0,30 m/j si l’écartement réel (E) est modifié par rapport àl’écartement théorique (Eo) de la façon suivante:
E = Eo E = 1,5 Eo E = 2,0 Eo E = 0,5 Eo
Les drains sont à une profondeur de 1,0 m et les autres facteurs sont constants.
7.8. Calculer l’erreur sur le débit unitaire au drain ”q(h, t)” et le temps de rabattement de lanappe “t1” si l’on néglige R dans les expressions premières du modèle de drainage deGuyon pour les conditions suivantes:
a b c d e f g
Kl = K2 (m/j) 0,1 0,1 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0
E (m) 10 15 15 25 25 25 40
Z (m) 1 1 1 1 2 1 1
porosité de drainage (µ) = 0,04
hauteur initiale de la nappe (h0) = 1,0 m
hauteur de la nappe au temps “t1” (h1) = 0,70 m
7.9. Des drains sont installés à une profondeur de 1,1 m avec un écartement de 40 m dans unsol ayant une conductivité hydraulique de 1,0 m/j, une porosité de drainage de 0,04 surun profil de 4 m de profondeur. À la suite d’une pluie, la nappe est remontée à 10 cm dela surface.
a) À quelle profondeur sera la nappe après 1 jour, 3 jours et 7 jours?
b) Quel sera le débitmaximum d’un latéral de 400m au cours de la période de tarissementsous ces conditions?
7.10. Calculez le débit que transporte un drain installé avec une pente de 0,1%, 0,5% et 1%lorsqu’il coule à 1/2, 3/4, 7/8 et tout juste plein.
7.11. Dans une parcelle régulière de 9 ha, un système de drainage est installé avec un écarte-ment de 30 m à une profondeur moyenne de 1,10 m. Le sol est homogène et possède uneépaisseur de 3 m.
a) Suite à une forte pluie, la nappe est remontée à une profondeur moyenne de 30 cm. Sile système débite alors 6,5 l/sec, évaluez la conductivité hydrauliquemoyenne de cetteparcelle.
b) Si après 18 heures, la profondeur moyenne de la nappe entre ces drains est de 45 cm,quel serait le taux de rabattement de (pour 24 heures) si celle--ci était à la surface dusol?
