Universite Catholique de Louvain

MECA1855 - Thermodynamique et Energetique

Professeur : Miltiadis Papalexandris.

Entropie de loperation de melange

Entropie dun gaz parfait

Le differentiel total de lenergie interne dun gaz parfait est donne par la relation

dU = Cv dT . (1)

Dans cette equation, Cv est la chaleur massique totale du syte`me, elle est mesuree en kJ/K.

Par ailleurs, lequation detat dun gaz parfait est

pV = Ru T , (2)

etant le nombre de moles de gaz et Ru etant la constante universelle des gaz. Maintenant,

introduissons ces relations dans lequation de Gibbs,

TdS = dU + pdV TdS = CvdT + p d(RuT

p) . (3)

Pour un syste`me ferme, est constant. Par consequent, la relation precedente donne,

TdS = (Cv + Ru) dT RuT

pdp . (4)

Etant donne que Cv + Ru = Cp et apre`s division des deux membres de lequation (4) par

T , on arrive a`

dS = CpdT

T Ru

dp

p. (5)

Cette expression constitue un differentiel total. (En mathematiques on dirait que cette ex-

pression constitue une 1-forme differentielle fermee et exacte). Ceci implique quon peut

integrer cette relation entre deux etats arbitraires, i.e., entre deux points arbitraires dans le

plan p T . Soit 0 lindice pour letat initial. Le resultat de lintegration est

S S0 = Cp logT

T0 Ru log

p

p0. (6)

En utilisant lequation detat, relation (2), on peut re-ecrire la dernie`re equation sous la

forme

S S0 = Cp logT

T0 Ru log(

T

T0

V0V) . (7)

1

Entropie de loperation de melange

Considerons un espace ferme qui est separe en deux domains differents, A et B, separes

par un diaphragme. Les volumes de ces deux domaines sont VA et VB. Dans le domaine A

il y a moles du gaz et dans le domaine B il y a moles du gaz . Ce syste`me est

a` lequilibre et en equilibre avec lexterieur ; sa pression a` cet etat dequilibre est p0 et sa

temperature est T0. Les entropies des deux gaz sont S0, et S0,. De plus, on les conside`re

comme les entropies de reference pour les gaz. Evidement, lentropie totale du syste`me est

S0 = S0, + S0, . (8)

A un instant on enleve le diaphragme. Les deux gaz vont se melanger. A la fin de ce

processur on aura un melange homoge`ne a` lequilibre et en equilibre avec lexterieur. Ceci

signifie que la pression et la temperature a` la fin de loperation de melange sont identiques :

T = T0, p = p0. Neanmoins, le volume occupe par chaque gaz est modifie. Lentropie du gaz

au nouvel etat dequilibre est donne par relation (7),

SS0, = Cp, logT0T0 Ru log(

T0T0

VV + V

) SS0, = Ru logV

V + V. (9)

Mais le volume V est donne par lequation detat du gaz parfait,

V =Ru T0

p0. (10)

Dailleurs, le nouveau melange homoge`ne est aussi un gaz parfait dont le volume est donne

aussi par lequation detat du gaz parfait, i.e.,

V + V =( + )Ru T0

p0. (11)

Si on substitue les relations (10) et (11) a` (9) on arrive a`

S S0, = Ru log[] , (12)

ou [] est la fraction molaire du gaz . De meme, lentropie du gas au nouveau etat

dequilibre est

S S0, = Ru log[] . (13)

Lentropie totale du syste`me est

S = S + S . (14)

On combine les equations (8), (12), (13) et (14) et on arrive a` la relation de production

dentropie de loperation de melange,

S S0 = Ru ( log[] + log[]) . (15)

2

Pour deriver lexpression de la production dentropie specifique (production dentropie par

mole) il suffit de diviser la dernie`re relation par le nombre des moles du melange. Le resultat

est, cf (3.12) du syllabus,

s s0 = Ru ([] log[] + [] log[]) . (16)

3