Ch21: Dynamique du dipôle RC

1. L’intensité du courant électriquePour un courant permanent: L’intensité 𝑰 (𝒆𝒏 𝑨𝒎𝒑è𝒓𝒆) du courant électrique est la quantité de charges électriques 𝑸 (𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒖𝒍𝒐𝒎𝒃) qui passe par unité de temps (seconde).

𝑰 =𝑸

𝒕𝒆𝒎𝒑𝒔

Pour un courant variable: on fait tendre vers zéro l’intervalle de temps.

L’intensité (Ampère) est la dérivée de la charge électrique (coulomb) par rapport au temps.

𝒊 =𝑑𝒒

𝑑𝑡

Remarque: 𝒊 peut être positive ou négative

2. Le condensateur2.1. Constitution d’un condensateurUn condensateur est constitué de deux surfaces (armatures) conductrices placées face à face séparée par un isolant (diélectrique).

Son symbole dans un circuit électrique est:

2.2. Comportement d’un condensateur et capacitéLorsqu’un condensateur est soumis à une tension électrique 𝑈𝐴𝐵, il y a un déplacement des charges électriques qui s’accumulent sur les armatures. 𝑞𝐴 sur l’armature A et 𝒒𝑩 = −𝒒𝑨 sur l’armature B.

La capacité C à accumuler les charges électriques sur ses armatures est généralement proportionnelle à la surface des armatures. Les valeurs usuelles des capacités des condensateur est souvent de l’ordre du nano ou micro Farad (nF ou 𝝁F).

2.3. Relation entre la charge électrique et la tension pour un condensateurLa charge électrique 𝒒𝑨 (𝒆𝒏 𝑪𝒐𝒖𝒍𝒐𝒎𝒃 𝑪 ) accumulée sur l’armature A d’un condensateur de capacité C (F) et sous tension électrique 𝒖𝑪 (V) est toujours de la forme:

𝒒𝑨 = C x 𝒖𝑪

2.3. Relation entre l’intensité électrique et la tension pour un condensateur

D’après le 1. 𝒊 =𝒅𝒒𝑨

𝒅𝒕

et d’après le 2.2. 𝒒𝑨 = C x 𝒖𝑪

Donc: 𝒊 =𝒅(C x 𝒖𝑪)

𝒅𝒕

𝒊 = C x𝒅𝒖𝑪

𝒅𝒕car C est constante dans le temps

3. Le modèle du circuit RC série3.1. Charge et décharge d’un condensateur

Pour modéliser ces circuit RC on établi l’équation différentielle vérifiée par la tension 𝒖𝑪 aux bornes du condensateur au cour du temps et on exprime cette valeur 𝒖𝑪 en fonction du temps

Cas de la charge:

D’après la loi des mailles: 𝑢𝑅 + 𝒖𝑪 − 𝐸 = 0D’après la loi d’ohm: 𝑢𝑅 = 𝑅 × 𝒊

D’après le 2.3. : 𝒊 = C x𝒅𝒖𝑪

𝒅𝒕

On en déduit l’équation différentielle:

𝑹 × C x𝒅𝒖𝑪𝒅𝒕

+ 𝒖𝑪 − 𝑬 = 𝟎

Ou encore: 𝒅𝒖𝑪

𝒅𝒕= −

𝟏

𝑹𝑪× 𝒖𝑪 +

𝟏

𝑹𝑪×E

Résolution de l’équation:

𝒅𝒖𝑪

𝒅𝒕= −

𝟏

𝑹𝑪× 𝒖𝑪 +

𝟏

𝑹𝑪×E

(rappel: 𝑦′ = 𝑎𝑦 + 𝑏 à pour solution 𝑦 = 𝐾 × 𝑒𝑎𝑥 −𝑏

𝑎)

Donc ici 𝒖𝑪 = 𝐾 × 𝑒−𝒕

𝑹𝑪 + 𝐸À t=0 𝑞𝐴 0 = 0 donc 𝒖𝑪 = 0

Donc 0= 𝐾 × 𝑒−𝟎

𝑹𝑪 + 𝐸 soit 𝐾 = −𝐸Lors de la charge la tension est donc:

𝒖𝑪 = 𝐸(1 − 𝑒−𝒕𝑹𝑪)

Cas de la décharge:

D’après la loi des mailles: 𝑢𝑅 + 𝒖𝑪 = 0D’après la loi d’ohm: 𝑢𝑅 = 𝑅 × 𝒊

D’après le 2.3. :𝒊 = C x𝒅𝒖𝑪

𝒅𝒕

On en déduit l’équation différentielle:

𝑹 × C x𝒅𝒖𝑪𝒅𝒕

+ 𝒖𝑪 = 𝟎

Ou encore: 𝒅𝒖𝑪

𝒅𝒕= −

𝟏

𝑹𝑪× 𝒖𝑪

Résolution de l’équation:

𝒅𝒖𝑪

𝒅𝒕= −

𝟏

𝑹𝑪× 𝒖𝑪

(rappel: 𝑦′ = 𝑎𝑦 + 𝑏 à pour solution 𝑦 = 𝐾 × 𝑒𝑎𝑥 −𝑏

𝑎)

Donc ici 𝒖𝑪 = 𝐾 × 𝑒−𝒕

𝑹𝑪

À t=0 𝒖𝑪 = E

Donc E= 𝐾 × 𝑒−𝟎

𝑹𝑪 soit 𝐾 = 𝐸Lors de la décharge la tension est donc:

𝒖𝑪 = 𝐸 × 𝑒−𝒕𝑹𝑪

3.2. Temps caractéristiqueOn peut voir que les solutions des différentes équations différentielles sont toujours dépendante du produit RC. Montrer que ce produit RC est homogène à un temps 𝑻 .

Loi d’ohm: 𝑢 = 𝑅 × 𝑖 donc R est homogène à 𝑈

𝐼

et 𝑖 = 𝐶𝑑𝑢𝐶

𝑑𝑡donc C est homogène à

𝐼 × 𝑇

𝑈

Donc le produit RxC est homogène à 𝑈

𝐼×

𝐼 × 𝑇

𝑈= 𝑇

RC est appelé le temps caractéristique (ou constante de temps) de la charge ou de la décharge d’un dipôle RC. On utilise souvent la notation 𝑹𝑪 = 𝝉.

On considère que la charge ou la décharge totale est atteinte lorsque le temps écoulé est de 5 𝝉

On peut déterminer cette constante de temps graphiquement:

QCM 1,2,3 et exercices p 433 n° 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, et ECE