Chap08 Cartes Shewhart

______________________________________________________________________________Bernard CLÉMENT, PhD MTH 2301 Méthodes statistiques novembre 2002

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Méthodes statistiques de la qualité : Statistical Quality Control

� échantillonnage des lots : Acceptance Sampling� cartes de contrôle de Shewhart: Statistical Process Control (SPC)� planification d’expériences : Design Of Experiment (DOE) - Taguchi� analyse des modes défaillances : Failure Mode Effect Analysis (FMEA)� déploiement fonction qualité : Quality Function Deployment (QFD)� analyse de fiabilitéContrôle Statistique des Processus : SPC de base� types de cartes : attribut – comptage – mesure� processus d’implantation� exemples avec Statistica

Analyse de capacité (capabilité) des processus� méthodologie� indices� lien avec la stratégie 6 sigma

Analyse de capacité des processus de mesure : R&RReproductible & Répétitivité

� méthodologie� critères� exemples

SPC : cartes avancées� moyenne mobile MA� moyenne mobile à poids exponentiel EWMA� cumulative à somme CUSUM� multivariables T2 de Hotelling

Stratégie de management qualité SIX SIGMA� stratégie organisationnelle� méthodologie DMAIC :

Define Mesure Analyze Improve Control� méthodologie DFSS : Design For Six Sigma

SPC 1

SPC 2

SPC 3

SPC 4

SPC 5

MTH 2301 Méthodes statistiques

maîtrise statistique des processus : SPC


2

OÙ ? QUOI : MÉTHODES

RÉCEPTION et EXPÉDITIONmatières premièresproduits semi finis

produits regroupés en lots

PLANSD'ÉCHANTILLONNAGE

LOTS(Acceptance sampling)

PRODUCTIONet

ASSEMBLAGE

CARTES de CONTRÔLEet

ANALYSE de CAPACITÉ(SPC)

OPTIMISATIONPRODUITSPROCÉDÉS

PLANIFICATIOND'EXPÉRIENCES(DOE - Taguchi)

TESTSESSAIS en ACCÉLÉRÉS

ÉTUDESFIABILITÉ

(accelerated testing)

SUIVI QUALITÉet FIABILITÉ

PRODUITS en SERVICE

MÉTHODESD'ANALYSE

STATISTIQUE

DESIGN dePRODUITS et PROCÉDÉS

et SERVICES

QFD (Quality Function Deployment)

PLANS D'EXPÉRIENCESANALYSE TOLÉRANCE

Méthodes du contrôle (maîtrise)statistique de la qualité


3

concept central :P R O C E S S U S

RESSOURCES

APPROVISIONNEMENT

MATÉRIAUX

ÉQUIPEMENTS

PERSONNEL

PROCESSUS

étapesméthodes

procédures

PRODUITou

SERVICE

PARAMÈTRESMESURABLES

etCONTRÔLABLES

VALEUR AJOUTÉE

CARACTÉRISTIQUESCRITIQUES

pour laQUALITÉ :

- MESURES- COMPTAGES- ATTRIBUTS

X1, X2, X3, … YFonction detransfert f

Y =f (X1, X2,..)

Les cartes deShewhart (contrôle)sont appliquées à ces

variables


4

DISTRIBUTION de Y

• Classement …………..… Binomiale : 0 ou 1• Comptage ……………….. Poisson• Mesure (variable) .… Normale (gaussienne)

Les 3 RÔLES DES DONNÉES

analyser le processus de mesurage : R&RREPRODUCTIBLE ? RÉPÉTIVITÉ ?

classer la pièce : conforme ou non conforme ?(exigences, spécifications, tolérances)

analyser le processus de fabrication : étude de capacitéSTABLE ? CAPABLE ?

2 PROCESSUS INSÉPARABLES

Fabricationpièce

Mesurage Résultat Y

TYPEinspection : humain

comptagemesure : appareil

Classement0, 1, 2, …34.582 ….

Y

rôle 1rôle 2

rôle 3

rôle 1

rôle 2

rôle 3


5

� La qualité du produit dépend du processus.

� Le processus doit être étudié avec le produit.

� Le comportement du processus varie dans le tempsVARIABILITÉ est TOUJOURS PRÉSENTE

� Sans surveillance, TOUS les processus se désorganisentet se dégradent : ENTROPIE

Pour s'en sortir, une solution qui a fait ses preuves :CARTES de CONTRÔLE des PROCESSUS

remarque : le terme CONTRÔLE prête à beaucoup de confusion.Les cartes ne contrôle pas le processus mais elles donnent une imagedu COMPORTEMENT du processus par l’intermédiaire de mesures surle produit. Il serait nettement préférable d’appeler ces cartes :

cartes de comportement du processus

Les cartes permettent

• d'analyser les fluctuations de Y• de quantifier ces fluctuations• de comprendre deux catégories de variabilité• de réduire la variabilité• de statuer si le processus est STABLE ( concept à définir)• d'évaluer la capacité du processus (indices) relativement à

des limites de spécification (tolérances)

En résumé

les cartes de contrôle = un BILAN de SANTÉ du PROCESSUS

CONSTATS UNIVERSELS


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STABLE ?OUI NON

OUI

CAPABLE ?

NON

1 Situation confortableproduits conformes à 100%situation jamais acquise de manière permanenteen profiter pour améliorer le processus

2. Cas limiteAméliorer le processus pour aller en 1 :Diminuer la dispersion ou revoir les limites de spécification

3. Processus au bord du chaosproduits conformes à 100% mais état de courte duréeprocessus instable et tout peut arriveril faut trouver les causes assignables (spéciales)et stabiliser le processus pour se ramener au cas 1 ou 2

4. Situation chaotiqueIl faut faire des améliorations importantes pour stabiliser

PRIORITÉ : STABILISER en premieret ensuite

RENDRE CAPABLE

Les 4 ÉTATS POSSIBLES d'un PROCESSUS

1 3

2 4


7

TYPE

ÉLÉMENT type 1 type 2

Shewhart cause assignable cause non assignableDeming cause spéciale cause communesource causes externe processus interne au processusnombre causes petit grandeffet cause fort faibleprésence sporadique chronique

Exemples hommes, - défaut de design,matériaux, - formation insuffisante,méthodes -documentation inadéquate,machines, - matières premières,

- réglages imprécis,- conditions de travail,- équipement inadéquat, ..

correctif local globalresponsabilité personnel 1er niveau management

DÉFINITIONLe PROCESSUS est STABLE si seulement des causes communessont en jeu dans le processus.

définition statistique : les paramètres de la distribution(population) de X sont constants et ne changent pas dans le temps

COMMENT SAVOIR ?La SEULE Méthode est l'utilisation d'une carte de contrôle.

Distinction entre 2 types de variabilité


8

� inventeur : Walter Shewhart en 1924 ( General Electric )� idée de base : séparer les 2 types de variabilité

P ( LCLX ‹ X ‹ UCLX ) = 0.9973

1 échantillon de taille n : x 1 , x 2 , … x n : X = ∑ x i / n = Xbar

LCLXbar = µ – A σ ; UCLXbar = µ + A σ ; A = 3/√n

P [ LCLXbar ‹ X ‹ UCLXbar ] = 0.9973

estimation des paramètresk échantillons de taille n : x i 1 , x i 2 , … , x i n i = 1, 2, … , k

Xbar i = ∑ x i n / n ; R i = max( x i j) – min (x i j) ; S i = ∑ ( x i j - Xbari )2 /( n-1)

X = ∑ Xbar i / k ; R = ∑ R i / k ; S = ∑ S i / k

estimation sans biais de σ : σ = R / d2 ; σ = S / c4remarque : les constantes d2 et c4 dépendent de n ( voir p. 11)

limites de contrôle : Xbar et R ; Xbar et S

des moyennes Xbar avec R : X ± A 2 R ; A 2 = 3 / ( d2 √n )

des moyennes Xbar avec S : X ± A 3 S ; A 3 = 3 / ( c4 √n )

des étendues R : LCL R = D 3 R et UCL = D 4 R

des écarts types S : LCL S = B 3 S et UCL = B 4 S

Genèse des cartes

X

CAS

N ( µ, σ2 )µ, σ

CONNUS

LCLX = µ – 3σ CLX = µ UCLX = µ + 3σ

σ

CAS ( µ ,σ ) INCONNUS

AUTRES CAS : attributs et comptagesbase : loi binomiale et loi de Poisson


9

EXEMPLE : carte Xbar (moyenne) & R (étendue)

X-bar and R Chart; variable: X_E6Histogram of Mean

0 1 2 3 4 5 6 7 86080

100120140160180200220240260

X-bar: 143.52 (143.52); Sigma: 19.927 (19.927)

5 10 15 20 25 30

109.00

143.52

178.03

Histogram of Ranges

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Range: 33.727 (33.727); Sigma: 17.702 (17.702)

5 10 15 20 25 30

0.0000

33.727

86.834

DONNÉESJour mesures Xbar R

1 144 150 180 158.0 362 193 210 225 209.9 323 235 233 228 209.3 7. . . . . .

33 127 135 130 130.7 8

LIMITES de CONTRÔLE STATISTIQUERègle 3 sigma de Shewhart

Ligne Centrale CL = moyenneLimite Supérieure UCL = moyenne + 3 * (variabilité)Limite Inférieure LCL = moyenne - 3 * (variabilité)

CRITÈRES - tout point situé à l'extérieur de l'intervalle (LCL , UCL)est le signal d'une instabilité du processus

- autres règles (Western Electric)7 points consécutifs croissants (décroissants)8 points consécutifs d'un seul côté de CL

…autres ….

Cartes de contrôle de Shewart

Xbar = ( X1 + X2 + X3 ) / 3

R = max ( X1, X2 ,X3)-

min ( X1, X2, X3)


10

CARTES pour des variables de type mesureDonnées groupe i ( i = 1, 2 , … , k ) : x i1 , x i2 , …… , x in

Xbar i moyenne du groupe i de n observations = ∑ x ij / n

R i étendue du groupe i = max( x ij ) – min( x ij )

S i écart type du groupe i = ∑ ( x ij – Xbar i ) 2 /( n-1)

mR i étendue mobile = | X i – X i-1 | : observ. ordonnées dans le temps et n = 1

Xbar moyenne des k moyennes Xbar = ∑ Xbar i / k

Rbar moyenne des k étendues R = ∑ R i / k

Sbar moyenne des k écarts types S = ∑ S i

mR moyenne des étendues mobiles mR = ∑ mR i /( k – 1 )

Caractéristique CL LCL UCL

n ≥ 2 moyennes ( Xbar & R ) Xbar Xbar - A2* Rbar Xabr + A2* Rbar

(Xbar & S) Xbar Xbar – A3* Sbar Xabr + A3* Sbarétendues ( R ) Rbar D3* Rbar D4* Rbarécarts types ( S ) Sbar B3* Sbar B4* Sbar

n = 1 individuelles ( X ) Xbar Xbar – 2.66* mR Xbar + 2.66* mR

CARTES pour des attributs et comptagestype CL LCL UCL

np npbar npbar – 3 [ n pbar( 1 – pbar )]0.5 npbar + 3 [ n pbar ( 1 – pbar )]0.5

p pbar pbar – 3 [ pbar ( 1 – pbar ) /n i ]0.5 pbar + 3 [ pbar ( 1 – pbar ) /n i ]0.5

c cbar cbar – 3 ( cbar )0.5 cbar + 3 ( cbar )0.5

u ubar ubar - 3 ( ubar /n i )0.5 ubar + 3 ( ubar / n i )0.5

CONSTANTESn A 2 A 3 B 3 B 4 D 3 D 4 d 2 c 4_2 1.880 2.659 0 3.267 0 3.268 1.128 0.798 3 1.023 1.954 0 2.568 0 2.574 1.693 0.8864 0.729 1.628 0 2.226 0 2.282 2.059 0.9215 0.577 1.427 0 2.089 0 2.114 2.326 0.9406 0.483 1.287 0.300 1.970 0 2.096 2.534 0.9527 0.419 1.182 0.118 1.882 0.076 1.924 2.704 0.9598 0.373 1.099 0.185 1.815 0.136 1.864 2.847 0.9659 0.337 1.032 0.239 1.761 0.184 1.816 2.970 0.969

10 0.308 0.975 0.284 1.716 0.223 1.777 3.078 0.973

Limites de contrôle : formules


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1. Les limites de contrôle sont toujours placées à 3 écarts types de la ligne centrale.

2. Les limites pour les mesures doivent toujours être basées une estimation de lavariabilité du processus (sigma) calculée avec la moyenne d’un ensemble de kindicateurs de dispersion.

important : ne jamais calculer l’estimation de la variabilité du processus (sigma)avec toutes les données en seul groupe

3. Les données doivent provenir d’un plan d’échantillonnage et doivent être organiséesen groupes rationels pour quelles soient utiles.

4. L’organisation ou entreprise doit réagir d’une manière appropriée aux connaissancesnouvelles qui résultent de l’application des cartes.

Il est FAUX que :

� les mesures doivent provenir d’une distribution gaussienne.exception : la carte à valeurs individuelles et étendues mobiles XmR.

� la base du SPC est le théorème central limite.

� les mesures doivent être indépendantes : à moins d’une auto corrélationélevée (au moins 0.80) on peut employer les cartes de base comme lacarte Xbar et R.

� les observations doivent être en contrôle statistique pour être placéeso sur une carte.

� les limites de contrôle peuvent être placées à ± 2 * sigma.

Remarque

� Il y a une seule définition pour les limites de contrôle : ± 3* sigma

� Tout autre choix ± k * sigma conduit à ;

• trop de fausses alarmes si k ‹ 3

• un manque de détection de signaux potentiels si k > 3

Principes de Shewhart pour la construction des cartes

Les mythes en SPC


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DISTRIBUTION figure % dans n % moyennes Xbar % étendues R( -3 , 3 ) (LCLXBar, UCLXbar) (LCLR, UCLR )n = 1

Uniforme 100 2 100 100-√3 0 √3 4 100 100

10 99.7 100

Triangulaire 100 2 99.5 99.9-1.45 0 2.95 4 99.9 100

10 99.5 100

Gaussienne 99.7 2 99.7 99.0-3 0 3 4 99.7 99.5

10 99.6 99.5

Exponentielle 98.2 2 98.8 97.4-1 0 4 99.0 97.4

10 99.3 96.0

CONCLUSION

La forme de la distribution ( population ) d’origine n’est pas importantelorsque l’on applique la règle de 3 sigmas de Shewhart pour détecter descauses spéciales de variabilité.

Démonstration de la règle 3 sigma de Shewhart :simulation de 10 000 observations provenant de

4 distributions avec µ = 0 et σ = 1


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module : Quality Control Charts

TYPE de CARTES : 7 cartes de base

MESURE Xbar&R XmR Xbar&Sn 2 à 9 1 10 et plus

ATTRIBUT p np c uCOMPTAGE n variable constant constant variable

CARTES AVANCÉES : pour des mesures ( variables ) :EWMA , CUSUM, MULTIVARIABLE, ….

Production de cartes avec STATISTICA


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• Choisir les processus importants (critiques)

• Choix d'une variable de réponse Y : mesure, comptage, classement; les mesures sont préférables aux attributs

• Plan de collecte des données -- échantillonnage de la productionn pièces à intervalle régulier; n entre 1 et 10 est suffisant;fréquence : par exemple, à chaque heure

augmenter au début et réduire par la suiterecommandation : un petit groupe de n pièces souvent

est mieux qu'un grand nombre de pièces peu souvent

• Collecte des données et calcul des limitesAvoir au moins 100 observations; par exemple 20 groupes de 5

• Très important : ne jamais calculer l'estimation de lavariabilité avec toutes les données en seul groupeles cartes sont alors trop insensibles (limites trop larges) pourdétecter des points hors contrôle sur le graphique.

• Pourquoi la règle 3 sigma de Shewhart ?Cette règle est la SEULE définition opérationnelle du conceptde stabilité statistique.Les cartes de Shewhart sont ROBUSTES.

• Continuer la collecte des données …..

• Maintenir un journal de bord pour noter des évènementsqui pourraient être reliés à des causes assignables

• Apprendre à interpréter les cartes :� tendances� dérives� cycles� sauts

IMPLANTATION d'une CARTE de CONTRÔLE


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MESURES (VARIABLES) base : loi gaussienne

1. Xbar et R : moyenne Xbar et étendue R ( si n ≤ 10 )2. Xbar et S : moyenne Xbar et écart type S ( si n > 10 )

3. XmR : valeur individuelle X et étendue mobile mRmR = | X i - X i - 1 | i = 2, 3, …formation de groupes de n = 2 observations consécutivesremarque : il faut que cette différence fasse du sens;

par exemple, si les valeurs X sont reliées au temps

ATTRIBUT base : loi binomiale

4. p : fraction de pièces non conforme échantillon de n pièces( n peut être variable)

5. np : nombre de pièces non conforme échantillon de n pièces( n est fixe)

COMPTAGES base : loi de Poisson

6. c : nombre de non conformités (aire d'opportunité fixe)

7. u : nombre de non conformités (aire d'opportunité variable)

REMARQUESPour appliquer les cartes pour les attributs il faut que leshypothèses de la loi binomiale soient vérifiées.

Pour appliquer les cartes pour les comptages il faut que leshypothèses de la loi de Poisson soient vérifiées.

Si les hypothèses ne sont pas satisfaites :employer une carte XmR avec les comptages et les taux.

EXEMPLES avec STATISTICA


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EXEMPLE 1 : carte Xbar et Rgroupes de 4 piècesmesure de résistance en ohm Y

observationsgroupe y1 y2 y3 y41 5045 4350 4350 39752 4290 4430 4485 42853 3980 3925 3645 3760. . . . .51 5150 5250 5000 5000

X-bar and R Chart; variable: X_E7Histogram of Means

02

46

810

1214

16320034003600380040004200440046004800500052005400

X-bar: 4503.2 (4503.2); Sigma: 323.54 (323.54); n: 4.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

4017.9

4503.2

4988.6

Histogram of Ranges

02

46

810

1214

1618

-2000

200400600800

1000120014001600180020002200

Range: 666.08 (666.08); Sigma: 284.65 (284.65); n: 4.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.0000

666.08

1520.0


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EXEMPLE 2 : carte XmRX = viscosité polymère en cours de production

observations durant 25 heures consécutives

observations ( )2838 2785 3058 3064 2996 2782 2878 2920 3050 28703174 3102 2762 2975 2719 2861 2797 3078 2974 28053163 3199 3054 3147 3156

X and Moving R Chart; variable: X_E15Histogram of Observations

0 1 2 3 4 5 6 7240025002600270028002900300031003200330034003500

X: 2967.9 (2967.9); Sigma: 134.71 (134.71); n: 1.

5 10 15 20 25

2563.8

2967.9

3372.0

Histogram of Moving Ranges

0 1 2 3 4 5 6 7-50

050

100150200250300350400450500550

Moving R: 152.00 (152.00); Sigma: 114.84 (114.84); n: 1.

5 10 15 20 25

0.0000

152.00

496.51


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EXEMPLE 3 : carte p avec n variableinspection à 100% d'un lot choisi parmi la production quotidienneéchantillonnage durant une période de 99 jours

X : nombre de pièces non conformes dans le lotla taille (n) du lot est variable d'une journée à l'autre

observationsjour n X f = X/n1 3350 31 0.00932 3354 113 0.03373 1509 28 0.01864 2190 20 0.0091

……………………………………………………………..121 3323 3 0.0009

2 cartes sont possibles : carte p et une carte XmR avec fP Chart; variable: X_E31

Histogram of P

010

2030

4050

6070

8090

100-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

P: .00696 (.00696); Sigma: .00162 (.00162); n: 2645.4

10 20 30 40 50 60 70 80 90

.00263

.00696

.01129

X and Moving R Chart; variable: f_nonconfHistogram of Observations

010

2030

4050

6070

8090

100-0.02-0.010.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

X: .00641 (.00641); Sigma: .00492 (.00492); n: 1.

10 20 30 40 50 60 70 80 90

-.00836.00641.02117

Histogram of Moving Ranges

010

2030

4050

6070

8090

100-0.010.000.010.020.030.040.050.060.070.08

Moving R: .00555 (.00555); Sigma: .00420 (.00420); n: 1.

10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.0000.00555.01814


19

EXEMPLE 4 : carte cX : nombre de non conformité sur un circuit imprimé

observations21 – 24 – 16 – 12 – 15 – 5 – 28 – 20 – 31 – 25 – 20 – 24 - 1619 - 10 – 17 – 13 – 22 -19 - 39 – 30 – 24 – 16 – 19 - 17 - 25

C Chart; variable: x_defautHistogram of C

01

23

45

67

89

1011

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

C: 20.269 (20.269); Sigma: 4.5021 (4.5021)

5 10 15 20 25

6.7628

20.269

33.776


20

EXEMPLE 5 : carte UX = nombre d'imperfections sur des pièces de tissus

l’aire inspectée des tissus est variable

observations

Tissu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Aire 10 12 20 11 7 10 21 16 19 26#Imp. 14 18 30 13 5 10 39 24 34 49

U Chart; variable: ImperfHistogram of U

0 1 2 3 4 5-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

U: 1.5526 (1.5526); Sigma: .31960 (.31960); n: 15.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.81952

1.5526

2.2857

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