Chap.1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS · 2018. 9. 6. · Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1 ISET De Sousse 1 Chap.1 : OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS

Statique et Cinématique des solides 2015-2016 Chapitre 1

ISET De Sousse 1

Chap.1 : OUTILS MATHEMATIQUES

GLISSEURS & TORSEURS

L'objectif de ce chapitre est de donner brièvement les outils mathématiques nécessaires à

la compréhension de la suite de ce cours et donner des notions sur les glisseurs et les

torseurs.

I. VECTEURS : ............................................................................................................................ 2

II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS : ................................................................................... 2

Addition : .............................................................................................................................. 2

Multiplication par un réel : ....................................................................................................... 2

Produit Scalaire : .............................................................................................................. 3

Produit Vectoriel : ................................................................................................................... 3

III. CHANGEMENT DE BASE ................................................................................................... 6

IV. NOTIONS SUR LES TORSEURS ......................................................................................... 8

V. Exercices : .............................................................................................................................. 11


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I. VECTEURS :

On associe au couple ordonnée de points (A,B) de 2E un élément EAB définissant un vecteur

libre.

Géométrique Analytique

Caracteristiques

d’un vecteur

B * Direction.

A X * Sens.

* Point d’application.

* Module ou norme.

Adoption d’une base kjiB ,,

L’expression de X dans la base B est :

3

2

1

321

xxx

kxjxixX

B

321 ,, xxx : sont les composantes de X

II. OPERATIONS SUR LES VECTEURS :

L'objectif est de voir de façon élémentaire certaines opérations sur les vecteurs.

1. Addition : YXYX ,

2. Multiplication par un réel : XX ,


* Même direction que X .

X * Sens : - même si 0

- opposé si 0

* XX

3

2

1

321

xxx

kxjxixX

B

3

2

1

321

xxx

kxjxixX

B


X Y

Y

X X Y

3

2

1

321

xxx

kxjxixX

B

3

2

1

321

yyy

kyjyiyY

B

33

22

11

332211 )()()(yxyxyx

kyxjyxiyxYX

B


ISET De Sousse 3

3. Produit Scalaire : YXYX .,

Par définition, le produit scalaire de 2 vecteurs X et Y noté YX est égale CosYX ..

Dans une base orthonormée directe kji ,, :

si kxjxixX 321 et kyjyiyY 321 ,

alors on aura : 332211 .... yxyxyxYX

NB : Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE.

3.1 . Propriétés:

Commutativité: YX XY

Distributivité à droite et à gauche: ZXYXZYX ..)(. et ZYZXZYX ...)(

Multiplication par un réel: ).(.).().(. YXYXYX

Normes:2

32

22

1. xxxXXX

Cas de nullité :

o Un des vecteurs est nul.

o Les deux vecteurs sont orthogonaux

3.2 . Calcul pratique d'un produit scalaire :

Si on définit l’angle ),( YX , alors CosYXYX ..

Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe:

0... ikkjji ; 1... kkjjii

4. Produit Vectoriel : YXYX ,

Par définition, le produit vectoriel de 2 vecteurs X et Y noté YX est égale Z tel que :

Sa direction est perpendiculaire au plan formé par X et Y

Son sens est celui de la rotation de X vers Y (sens de tire-bouchon)

Sa norme est l’aire du parallélogramme formé par X et Y

),( YX


ISET De Sousse 4


ZYX est perpendiculaire à X et Y

X , Y , Z et directe

Z

Y

X

Y ZAire

Z

X

Z est l’air du parallélogramme construit sur X et Y

3

2

1

321

xxx

kxjxixX

B

3

2

1

321

yyy

kyjyiyY

B

22

11

33

11

33

22

33

22

11

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yxyxyx

YX

Rappel : Le déterminant cbaddbca

YXSinYXYXZ ,

Dans une base kji ,, , si kxjxixX 321 et kyjyiyY 321 , alors on aura :

kyxyxjyxyxiyxyxYX )..()..()..( 122131132332

4.1. Méthode de calcul :

Calcul à effectuer : 3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

Première composante : On barre la première ligne et on calcule le déterminant restant :

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

233233

22yxyx

yxyx

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

= ??

2332 yxyx

Deuxième composante : On barre la deuxième ligne et on calcule l'opposé du déterminant restant :

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

)( 133133

11yxyx

yxyx

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

= ?

3113

2332

yxyxyxyx

Troisième composante : On barre la troisième ligne et on calcule le déterminant restant :

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

122122

11yxyx

yxyx

3

2

1

xxx

3

2

1

yyy

= 1221

3113

2332

yxyxyxyxyxyx


ISET De Sousse 5

kji kji

Remarque :

Le résultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un VECTEUR perpendiculaire aux deux vecteurs.

4.2. Propriétés :

Anti-commutativité : YX XY

Distributivité à droite et à gauche : ZXYXZYX )( et ZYZXZYX )(

Multiplication par un réel : ).().()(. YXYXYX

Cas de nullité :

o Un des vecteurs est nul.

o Les deux vecteurs ont même direction 0VV

4.3. Calcul pratique du produit vectoriel :

Si on définit l’angle ),( YX , alors kSinYXYX ..

et ),,( ZYX forme un trièdre direct, quelque soit le point O. O

Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe :

kji , ikj , jik

ii jj 0 kk

Méthode pratique : on écrit 2 fois la base,

le sens est donné par l’ordre d’écriture

kji ; kij

4.4. Exercice d’application :

Si zyx ,, sont les vecteurs unitaires d’une base orthonormée directe.

On donne : 1111 ,, zyxV , 2222 ,, zyxV et 3333 ,, zyxV .

1 - Calculer 21 VV puis 12 VV .

2 - Calculer 11 VV

3 - Calculer 21 .3.2 VV

4 - Calculer )( 321 VVV puis 3121 VVVV . Comparer les résultats.


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5. Produit Mixte :

Le résultat du produit mixte de trois vecteurs ),,( ZYX est un SCALAIRE aZYX )(. .

( a ) est égale au volume du parallélépipède formé par ces vecteurs.

Propriétés :

0)(. ZYX si l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres.

)()()(. YXZXZYZYX

III. CHANGEMENT DE BASE

Soient deux bases orthonormées directes ),,( 0000 kjib ,

),,( 1111 kjib et telles que 01 kk

1. Projection des vecteurs de bases :

Si on exprime les vecteurs de la base ),,( 1111 kjib dans ),,( 0000 kjib , on obtient :

001 jSiniCosi

001

jCosiSinj

01 kk

Inversement, si on exprime les vecteurs de la base ),,( 0000 kjib dans ),,( 1111 kjib , on obtient :

110 jSiniCosi

110 jCosiSinj

10 kk

2. Changements de bases d'un vecteur quelconque :

Soit 1

),,(b

cbaU un vecteur exprimé dans la base ),,( 1111 kjib .

L'expression de U dans la base ),,( 0000 kjib sera :

111 kcjbiaU )(00 jSiniCosa )(

00 jCosiSinb 0kc


ISET De Sousse 7

000 )()( kcjCosbSinaiSinbCosaU

D’où : 0),,( bcCosbSinaSinbCosaU

3. Exercice d’application :

Soit un espace vectoriel muni d'un repère orthonormé kjiO ,,,

A/ Soit un repère fixe ),,,( 0000 zyxOR , Soient des repères mobiles ),,,( 1111 zyxOR , ),,,( 2222 zyxOR .

On note : 10,xx 10,yy , 21,xx 21,zz .

1- Faire des représentations planes permettant de visualiser chaque changement de base ?

2- Déterminer les expressions des vecteurs de la base 2b exprimés dans 1b ?

3- Déterminer les expressions des vecteurs de la base 0b exprimés dans 1b ?

4- Déterminer directement les produits scalaires: 21 xx , 21 zx , 21 xz ?

5- Déterminer directement les produits vectoriels : 21 zz , 21 zy , 21 yz ?

B/ Soit les vecteurs 1,4,3A , 3,6,2 B , 2,1,5 C , 5,4,1 D

1- Calculez les produits scalaires : .A B , .AC , .A D , .C B , .B D et .C D

2- Calculez les produits vectoriels: A B , A C , A D , C B , B D et C D

C/ Soit deux vecteurs u et v tels que:

2u et ,4

i u

; 4v et 5

,4

i v

; 3w et 3

,4

i w

1- Représentez les vecteurs dans le plan , ,O i j

2- Calculez les coordonnées cartésiennes de u , v et w dans la base , ,i j k

3- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique) : .u v , .u w et .v w

4- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique) : u v ,u w et v w


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IV. NOTIONS SUR LES TORSEURS

Afin de simplifier la présentation des calculs sur les vecteurs ou ensemble de vecteurs (représentant

des forces, des vitesses...) et leurs moments (tels que les moments de force bien connus), nous allons

présenter un formalisme simple permettant de manipuler ces grandeurs : il s'agit de la notion de

torseur, que nous allons présenter à partir de l'exemple d'un ensemble de forces.

Bien que cette formulation ne soit pas indispensable pour présenter la mécanique générale, nous

l'utiliserons fréquemment dans la suite du cours. Nous pensons en effet que cette présentation permet

d'alléger la formulation des équations et de donner une certaine unité à la présentation des principaux

résultats.

1. Torseurs :

Par définition un torseur est un champ de vecteurs antisymétrique.

Pour définir un torseur en un point A, il suffit de préciser :

Le vecteur R : Appelé résultante du torseur.

Le vecteur AM : appelé moment du torseur en un point A.

N.B : R et M sont les éléments de réduction du torseur.

2. Notation :

Un torseur se note au point A dans un repère (R) par :

AM

R

RA

A

Si

RZ

Y

X

R

et

R

A

N

M

L

M

Le torseur s’écrit soit :

zNyMxLM

zZyYxXR

A RA

ou

N

M

L

Z

Y

X

RA

3. Moment en un point d’un torseur :

3.1. Expression du moment dans le plan :

H V

A k (-)

VAPVM A

VAHM A)(

H

(+) A k

× P

V


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3.2. Expression du moment en un autre point :

On connaît le moment en A, comment l’obtient-on en B ?

RMRBARAPRBARAPBARBPRM AB

Nous appellerons loi de distribution, la relation l: ABRMMBA AB ),(

4. Cas particuliers de torseurs :

4.1. Torseur nul :

0

0

M

R

R

4.2. Torseur couple : C

CM

R

R

C0

o On dit qu’un couple n’a pas de point d’application.

o La somme de n couples est un couple.

4.3. Torseur glisseur : g

0P

gM

R

PP

Les Coordonnées en A seront :

N

M

L

RAP

Z

Y

X

R

g

A

A

o Le moment d’un glisseur, est nul sur l’axe et non nul ailleurs.

o Le moment d’un glisseur est perpendiculaire à l’axe et à la résultante.

o Le moment augmente si on s’éloigne de l’axe (en module).

Ce type de torseur est nul en tout point.


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Remarques :

1/ La notion de torseur de force permet donc de parler globalement d'une force et de son moment

en tout point de l'espace.

2/ Les deux vecteurs définis dans un torseur sont de natures différentes. Pour un torseur de force, le

vecteur résultant est une force ayant des composantes dont les unités sont en (N), alors que le moment

en un point est un moment dont les composantes ont des unités en (N.m).

3/ Attention quand l'on demande de définir un torseur, il est nécessaire de donner une réponse pour

la résultante et une réponse pour le moment.

5/ Par définition, on peut calculer un torseur en deux points A et B ; on obtient :

AMR

AR

A et

AMR

BR

B (Seule le moment est différent)

ABRMMBA AB ),(

La résultante du torseur est indépendante du point où est défini le torseur.

5. Opérations usuelles sur les torseurs :

NB : Les torseurs doivent être calculés au même point et exprimés dans le même repère.

On pose :

M

R

A AR1

11

et

M

R

A AR2

22

o Somme de deux torseurs : 1 A + 2 A =

AAAMMM

RRR

A

21

21

o Multiplication par un réel : 1=

1=

AAMM

RR

A

1

1

o Comoment de 2 torseurs : 1 A 2 A

AAMRMR 1221

6. Torseurs équivalents :

Deux torseurs sont dits équivalents, s’ils ont les mêmes éléments de réductions, lorsqu’ils sont

calculés en même point.

1 et 2

sont équivalents 1 A = 2 A

MMRR

AA 21

21


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V. Exercices :

Exercice 1 :

A/ Soit les vecteurs forces 0,,0 AA YF ; BBB ZYF ,,0 et CCCC ZYXF ,, appliqués à

un solide aux points 0,0,aA , 0,,0 bB et cC ,0,0 dans un repère zyxOR ,,, .

1/ Ecrivez le torseur de chaque force à son point d’application.

2/ En déduire le torseur de chaque force en O.

3/ Donner le torseur équivalent à la somme.

B/ Soit les vecteurs forces AAAA ZYXF ,, et 0,, BBB YXF appliqués à un solide aux points

0,,baA et dbcB 4,, dans un repère zyxOR ,,, .

1- Ecrivez le torseur A et B on leurs points puis en O ?

2- Calculer la somme de deux torseurs ?

3- Déterminer le torseur équivalent aux torseurs A et B

?

4- Calculer le comoment de deux torseurs A et B

?

Exercice 2 :

A/ Soit un torseur de résultante : 4,1,3 R et de moment au point O : 0,3,2)( OM

Calculer le torseur au point A(2,-1,4) et B(6,-3,-2)

B/ On considère une poigné de serrage d’un mécanisme, à l’extrémité

de la quelle s’exerce une action mécanique représentée par le glisseur

FA, , tel que dans un repère orthonormé directe zyxOR ,,, :

zFxFF zx et

ydOA . La vis de serrage a pour axe zO, .

1 – Déterminer le moment au point O du glisseur FA, .

z

F

o y

x

2 – En déduire le moment du glisseur FA, par rapport à l‘axe zO, (moment de serrage) et par rapport à

l’axe xO, (moment de basculement).

C/ On pose que la poutre ci-dessous est soumise à l’effort yFxFF yx


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y

F

O l A x

Ecrivez le torseur de F en A puis en O.

D/ Soient deux vecteurs glissants : en A (1, 0,0)

aaU 1

1et en B (0, 1,0)

12

aV

a) Ecrivez le torseur A et B on leurs points puis en O.

b) Pour quelle valeur de a sont-ils équivalent à un Couple ? à un Glisseur ?

c) Calculer le moment du couple et déterminer le support de glisseur.

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