chap3_TS: Cours Traitement de signal_isecs

8/3/2019 chap3_TS: Cours Traitement de signal_isecs

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Traitement de signalTraitement de signal

Mondher FRIKHA

Maitre assistant, ISECS

Master professionnel informatique industriel Anne Universitaire 2009-2010


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ChapitreChapitre 33: Introduction aux filtrages numriques: Introduction aux filtrages numriques

Filtres RponseFiltres Rponse ImpulsionnelleImpulsionnelle Finie (RIF)Finie (RIF)

2


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Plan du chapitrePlan du chapitre

3

Introduction la thorie des filtres NumriquesFiltres rponse impusionnelle de dure finie (RIF):

Proprits

Synthses des FIR (Dtermination des coefficients)

- Mthode de fentrage applique un filtre rel

- Mthode de lchantillonnage frquentiel (TFD-1)

Architectures de mise en uvre.


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Filtres NumriquesFiltres Numriques

4

Objectif du chapitre

Classification par la relation entre/sortie

filtre non rcursifou filtre rponse impulsionnelle finie (ak=0)

filtre rcursifou filtre rponse impulsionnelle infinie (ak, bk#0)

Filtre Numrique (FN):Systme LTI discret oprant sur des signaux discrets

k

]kn[h]k[x]n[h]n[x]n[y )z(X)z(H)z(Y

Condition de stabilit et de causalit

Tous les ples d'un filtre linaire et stable sont situs l'intrieur du cercle unit

0 1[ ] [ ] [ ]

M N

k kk ky n b x n k a y n k

Equation aux diffrences(EaD)

Dfinir la notion de filtrage numrique et prsenter les proprits gnrales

des filtres numriques


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Avantages et inconvnients des FNAvantages et inconvnients des FN

AvantagesAvantages-- Reproductibles sans rglagesReproductibles sans rglages

-- ProgrammablesProgrammables

-- Ne drivent ni en temps ni en tempraturesNe drivent ni en temps ni en tempratures

-- Permettent de raliser des filtres phase parfaitement linairePermettent de raliser des filtres phase parfaitement linaire

InconvnientsInconvnients

-- Consommation en comparaison aux circuits analogiquesConsommation en comparaison aux circuits analogiques

-- Limitations en frquences (frquence du CAN et la vitesse des oprateursLimitations en frquences (frquence du CAN et la vitesse des oprateursarithmtiques)arithmtiques)

-- Cot parfois plus chair.Cot parfois plus chair.

5


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Fonctions des filtresFonctions des filtres

6

Fonctions des FN sont analogues celles des filtres analogiques:

4 types des filtres idaux dont les gabarits sont les suivants:

1

0 c c

HLP ( ej )

0 cc

1

HHP(ej)

11

c1 c1c2 c2

HBP (ej)

1

c1 c1c2 c2

HBS(ej)

Filtre Passe Bas (PB) Filtre Passe Haut (PH)

Filtre Passe Bande (PB) Filtre Coupe Bande (CB)


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Filtres RIF (RponseFiltres RIF (Rponse ImpulsionnelleImpulsionnelle Finie)Finie)

7

Faciles utiliser maispeuvent ncessiterdimportantes quantits de calculs

0

[ ] [ ] [ ]q

k

y n b k x n k

Rponse impulsionnelle est de dure finie :

Filtre est toujours stable

B(z) est un polynme

)()()( zBzY

Filtre est caractris par-sa rponse en frquence(complexe)

)( jeB

- la position de ses racines dans le plan complexe

module : attnuation

phase : retard

[ ]n[ ]x n)(z

nombre fini de

termes dans la somme

q

k

kzkbzB0

)()(


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Synoptique de traitementSynoptique de traitement

8

Signal dentreSignal de sortie

=T Tpriode dchantillonnage du filtre

:pulsation angulaire du signal analogique exprime en rad/s

:pulsation du signal discret exprim en rad

T T


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Exemple de traitement numrique de signalExemple de traitement numrique de signal

9

Filtrage d un signal (numrique)

- liminer des composantes frquentielles

- suivant un gabarit dfini dans le domaine frquentiel

Synthtiser un filtre numrique: tapes

a-choisir le type de filtre (type de fonction de transfert)

b-calcul des coefficients du filtre pour satisfaire le gabarit

c-choix de la structure pour limplmentation du filtre

d-simulation et filtrage

ltape a/concerne limplmentation lectronique du filtre, actuellement

les logiciels offrent une grande gamme de choix de filtres, et de mthodes de

synthseBeaucoup de mthodes de synthse de filtres numriques transposent les

filtres analogiques en numrique (Cas de filtres RII) .


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10

GabaritGabarit

l aide de gabarit dans le domaine frquentiel

ces gabarits sont dfinis dans le domaine frquentiel, en ne tenantcompte que de leur rponse en amplitude (et non en phase)

exemple d un gabarit de filtre passe bas

2

1 c 2

1+1

1-1

Choix des filtres est gnralement base sur 3 critres:- Fournir une distorsion la plus petite possible au signal

- tre la plus plate possible dans la bande passante (BP)

- Fournir une attnuation meilleure que -90dB (~3x10-5) dans la B. attnue (BA)

Autres caractristiques: longueur de filtre petite , frquence de transition courte ...

BP

BA


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11

Synthse des filtres Numriques: Mthode de fentrageSynthse des filtres Numriques: Mthode de fentrage

Principe

Dfinition du gabarit-Taux dondulation admissible en bande passante d1

-Taux dondulation admissible en bande coupe d2

-Largeur de la zone de transition Df

Calcul de la rponse impulsionnelle idale- partir du gabarit idal, la TF inverse donne la rponse impulsionnelle idale.

Dcalage et Pondration de la RI idale pour obtenir un filtre causal RIF- pour limiter la longueur de la rponse impulsionnelle

- pour attnuer les ondulations en bande coupe

f

|H(f)|

fc fp

1-1

1+1

2

Df


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12

Calcul des filtres RIF: Mthode de fentrageCalcul des filtres RIF: Mthode de fentrage

Dcomposition en srie de Fourier et fentrage (Dcomposition en srie de Fourier et fentrage (WindowWindow methodmethod))

On cherche un filtre discret de rponse impuls. hd[n] causale etde dure finie

Rponse en frquence pourh[n] quelconque

H f h n j fn f

n

( ) [ ]exp( ) , [ , ]

2 0 1

H(f) priodique (T=1), donc dcomposition en srie de Fourier

h n H f j fn df f

[ ] ( ) exp( ) 2

0

1

h[n] infinie, donc troncature (fentrage) h n h n w nd[ ] [ ]* [ ]Exemple: w[n] fonction rectangle

w n pour N n N

ailleurs[ ]

1

0


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Exemple: filtre passeExemple: filtre passe--bas idalbas idal

Frquences0

1

1fc

H(f)

On obtienth n j fn df

nf nc

f

f

c

c[ ] exp( ) sin( ) 2 1 2

-fc

h[n]

n

(rem: h[n] est infinie et non causale)

(ex: fc=0,2)

Calcul du filtre par la mthode de fentrageCalcul du filtre par la mthode de fentrage


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Fentrage par une fonction rectangleFentrage par une fonction rectangle

w n pour N n N ailleurs

[ ] 1

0

h nn

f n n N N d c[ ] sin( ) , , 1

2

N=5

hd[n]

|H(f)| |H(f)|

N=5 N=10 Nombredondulation

augmente avec

lordre du filtre


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Retard temporelRetard temporel pour rendre le filtre causalpour rendre le filtre causal

h nn N

f n N n N rif c[ ] ( )sin( ( )) , ,

1 2 0 2

- Rponse en frquence inchange en module

- Introduction dun dphasage linaire en frquence

15



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Fentrage: EffetsFentrage: Effets

Effet du fentrageEffet du fentrage

Ondulation en bande passante et en bande coupe

bande de transition largie

multiplication temporelle par w[n] (ex: fonction rectangle)

convolution en frquence parW(f): (ex: Sinus cardinal)

Utilisation de fentresUtilisation de fentres w[n]w[n]particuliresparticulires

Bartlett,Bartlett, HanningHanning,, HammingHamming, Kaiser..., Kaiser...ExempleExemple:: fentre de Hanning: ondulation rduite, transitionlargie

w[n]

W(f)

w n n N n N [ ] . . cos( / ) , 0 5 0 5

16


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3.14 0 3.140.5

0

0.5

1

1.5

.112 84 56 28 0 28 56 84 112

10

5

0

5

10

.

3.14 0 3.140.5

0

0.5

1

1.5

.

112 84 56 28 0 28 56 84 11210

5

0

5

10

.

Oscillations

Troncature

Fentrage: IllustrationFentrage: Illustration

Frquentiel Temporel

Troncature


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18

Idalement :

- Largeur de fentre D troite- Amplitude lobe secondaire petite

Lorsque la longueurN de la fentre augmente:

-Largeur du lobe principal D dcroit,-Largeur de transition entre BP et BA dcroit

-Relation est empiriquement approxime par: N.Df=cDf: largeur de la bande de transition ; c un paramtre qui dpend de la fentre

Remarque:

Valeur crte du lobe principal dpend uniquement de la forme de la fentre

Choix du type de la fentreChoix du type de la fentre


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19

Choix du type de la fentreChoix du type de la fentre


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fentre deHamming

L

tth

.cos46.054.0)(

pour L < t < L

Produit dans le domaine temporel

=Lissage dans le domaine frquentiel

112 84 56 28 0 28 56 84 1120

0.5

1

1.5

.

0.79 0 0.790.5

0

0.5

1

1.5

2

.

0.79 0 0.791 10

5

1 104

1 103

0.01

0.1

1

10

.

temps frquence

chelle logarithmique

Choix du type de la fentre: Fentre deChoix du type de la fentre: Fentre de HammingHamming

20


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112 84 56 28 0 28 56 84 11210

5

0

5

10

.

112 84 56 28 0 28 56 84 11210

5

0

5

10

.

3.14 0 3.140.5

0

0.5

1

1.5

.

112 84 56 28 0 28 56 84 11210

5

0

5

10

.

3.14 0 3.140.5

0

0.5

1

1.5

.

3.14 0 3.140.5

0

0.5

1

1.5

.

Attnuation des oscillations mais largissement de la transition

Frquentiel Temporel

21


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Mthode dchantillonnage en frquenceMthode dchantillonnage en frquence

Gabarit, -Fe/2 Fe/2 Choix dune fonction H(f) priodique respectant le gabarit

Echantillonnage sur N points de 0 N-1

Transforme de Fourier discrte inverse sur N points etdcalage : h[n], n=0,N-1

22

Synthse des FN: Mthode dchantillonnage en frquenceSynthse des FN: Mthode dchantillonnage en frquence

Filtre RIF possde TFD donne par

2

1 j k nN

k N

h n H k e

N

21

0

N j k nN

n

H k h n e

La R.I. du RIF est donne par

21

11

1

n

j nk N k

H z H k N

z

ez

H(z): cl de la conception du RIF

Procdure:


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Mthodes dapproximation optimalesMthodes dapproximation optimales

Procdures itratives

Optimisation au sens dun certain critre par rapport augabarit initial

Utilisation dun ordinateur Choix empirique de certains paramtres

ex: Mthode deex: Mthode de RemezRemez, algorithme de, algorithme de ParksParks && McClellanMcClellan

23

Synthse des FN: Mthode approximation optimaleSynthse des FN: Mthode approximation optimale


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Filtre RIF phase linaireFiltre RIF phase linaire

x t X f

x t t X f j ft

F

F

( ) ( )

( ) ( ) exp( )

0 02

0( ) 2 f ft D

1

2 0d f

dft

( )

24

Rponse en phase linaire en frquence, rponse en frquenceRponse en phase linaire en frquence, rponse en frquence H(f)H(f)

Module |H(f)| Phase Arg(H(f))=a+bf

Dcalage temporelDcalage temporel

Module identique

Dphasage linaire

Temps de propagation de groupe constantTemps de propagation de groupe constant

Dphasage linaire (dans la bande passante) =

signal (dans la bande passante) retard, non dform

D = 0 ou suivant le signede X(f)


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sin( ) sin( )2 2 20 0 f t f t

sin( ) sin( )2 1 2 2 20 0 f t f t

sin( ) sin( )2 1 2 2 30 0 f t f t

Dphasage linaire en frquence

Dphasage non linaire

retard

Signal dform

Filtre RIF phaseFiltre RIF phase linaire:Exemplelinaire:Exemple

Pour que le signal ne soit pas

dform temporellement, il

faut que toutes lescomposantes spectrales

qui le composent subissent

un retard identique.

25


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N:longueur de la squence symtrique finie h[n] qui peut tre

paire ou impaire

Ceci rsulte 4 types de squences symtriques:

Squences symtriques: Filtre RIF phase linaireSquences symtriques: Filtre RIF phase linaire

Type Symtrie N H(F) |H(0)| |H(1/2)|

1 paire impair

2 paire pair

3 impaire impair

4 impaire pair

12 [ ]cos(2 ( 1/ 2)

M

kh k F k

1

[0] 2 [ ]cos(2 )L

k

h h k k F

1

[0] 2 [ ]L

k

h h k

1[0] 2 [ ]( 1)

kLkh h k

12 [ ]

M

kh k

0

12 [ ]sin(2 )

L

k j h k k F

0 0

12 [ ]sin(2 ( 1/2)

M

k j h k F k

0 12 [ ]( 1)

kMk h k

Avec L=(N-1)/2 et M=N/2

26

Condition de symtrie devra tre satisfaite: h[n] = h[N-1-n]


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44 cas possiblescas possibles (suivant parit de N et de(suivant parit de N et de h[n]h[n]))

Filtres de typeFiltres de type 11 N impair: nombre de coefficients (longueur de la squence)

Symtrie paire autour du point L=(N-1)/2 entier

1/3

h[n] Axe de

symtrie

1

H z z z ( ) 1

3

1

3

1

31 2

Module

H(f)Phase

27


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28

Filtres de typeFiltres de type 22 N pair: nombre de coefficients (longueur de la squence)

Symtrie paire autour du point L=(N-1)/2 non entier

1/2

h[n] Axe de

symtrie

0 1

H z z ( ) 1

2

1

21

Module

H(f)

Phase


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29

Filtres de typeFiltres de type 33 N impair: nombre de coefficients (longueur de la squence)

Symtrie impaire (anti-symtrie) autour du point (N-1)/2 entier

H(f)

Phase

1/2

h[n] Axe de

symtrie

0 1 2

H z z ( ) 1

2

1

2

2

Module


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30

Filtres de typeFiltres de type 44 N pair: nombre de coefficients (longueur de la squence)

Symtrie impaire (anti-symtrie) autour du point (N-1)/2 non entier

H(f)

PhaseModule

1/2

h[n] Axe de

symtrie

0 1 2

H z z ( ) 1

2

1

2

1


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31

1 2 3 4N impair pair impair pairh[n] paire paire impaire impaire

H(0) 0 0H(0,5) 0 0

H(f) relle relle imag. imag.Type 1 Tous types de filtre possiblesType 2: Pas de passe-haut ni de coupe-bandeType 3: Uniquement filtre passe-bandeType 4: Pas de filtre passe-bas

Filtre RIF phase linaire: ApplicationsFiltre RIF phase linaire: Applications

Remarques:

- Filtres classiques sont souvent conus utilisant des squences type 1

- Filtres coupe-bandepeuvent tre conus avec des squences type 1 seulement


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Ordre des filtresOrdre des filtres RIF Formule empiriqueRIF Formule empirique

1+d

1-d

Module du ain

Frquences

Df

d

10

1 2

2 1log ( )3 10

eFN

D

Ordre du filtre RIF

N : longueur du filtre est un paramtre important

N dtermine la place mmoire ncessaire l'implmentation du filtre

N dpend de la largeur de la bande de transition et de l'amplitude des ondulations

N ne dpend pas de la bande passante



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33

ExempleExemple

Attnuation en dB

3

40

2 15 Frquence (kHz)

201

13

20 40

10

1

1

10 2

log ( )

log ( )

dB

dB

1=0,171

2=0,01

Df=13000 Hz

Fe=50 kHz.

Soit N=4,5

On testera N=4 et N=5 (filtres 5 et 6 coefficients)


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34

AvecAvec MATLABMATLAB // fonctionfonction remezremezfiltrefiltre dede typetype 11,, 55 coefficientscoefficients>>b=>>b=remezremez((44,[,[00 20002000//2500025000 1500015000//2500025000 11],[],[11 11 00 00],[],[11 1717])])

bb ==00..06970697 00..18241824 00..24202420 00..18241824 00..06970697

filtre de typefiltre de type 22 (passe(passe--bas possible)bas possible) 66 coefficientscoefficients>>b=>>b=remezremez((55,[,[00 20002000//2500025000 1500015000//2500025000 11],[],[11 11 00 00],[],[11 1717])])bb == 00..04800480 00..15711571 00..26002600 00..26002600 00..15711571 00..04800480


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35

On choisit le filtre On choisit le filtre 66 coefficientscoefficientsb[n]={b[n]={00..04800480,, 00..15711571,, 00..26002600,, 00..26002600,, 00..15711571,, 00..04800480}}

Module H(f) Phase

Phase linaire pente -5/Fe ,Temps de Propagation de Groupe (TPG)=2,5 chantillons


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Structures de filtres: Diagrammes de fluxStructures de filtres: Diagrammes de flux

Blocs de construction de base

ak

z-1

x[n]y[n]

x[n]

Nud

+

x[n] + y[n]

y[n]

akx[n]

x[n]

Additionneur

x[n]

Multiplieur

x[n] x[n-1]

Retard unit

Structure de filtres numriques sont quivalentes sils ont la mmefonction de transfert.

La structure de filtres numriques donne une ide sur larchitecture

de traitement (algorithme)


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37


Manire simple pour gnrer une structure quivalente est via lopration

transpose comme suit:

- Renverser tous les chemins

-Remplacer les nuds par des additionneurs et vice versa

- Interchanger les nuds des entres et des sorties.

Structure dont laquelle les coefficients du multiplieur sont prcisment les

coefficients de de la fonction de transfert est nomme la forme directe

Forme directe dun FIR dordre M=5 (type I)


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Forme transverse ou transpose de la seconde forme directe

Forme transpose dun FIR dordre M=5 (directe type II)

Un filtre FIR de longueurN (ordre N ) est caractris par N coefficients et en

gnral demande N multiplieurs et (N-1) additionneurs 2 entres


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39


Limplmentation dun filtre RIF dordre relativement grand peut tre

effectu partir de cellules RIF lmentaires dordre 1 et/ou 2 mises en

cascade. Sa fonction de transfert factorise peut tre mise sous la forme:

-1 -2

1k 2k k

H (z)=h[0] 1+ + z z

Ralisation cascade de 3 cellules dordre 2

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