Chap1_TS : Cours Traitement de signal_isecs

5/12/2018 Chap1_TS : Cours Traitement de signal_isecs - slidepdf.com

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Traitement de signalTraitement de signal

Mondher FRIKHA

Maitre assistant, ISECS

Master professionnel informatique industriel Année Universitaire 2009-2010



PréambulePréambule

Cours de master pro.Cours de master pro. 1616,,55h répartis comme suit:h répartis comme suit:

2

Cours = 9h (6séances de 1,5h)

TD = 6h (4séances de 1,5h)

Examen = 1,5h

Ce cours sera suivi par 3 séances de TP (3x3h).

TP : simulation basée sur le logiciel MATLAB

Pré requis

Notions de Traitement de signal

Signaux et systèmes

Mathématiques du signal numériques

Mathématiques de base…

But: Maîtriser les notions théoriques du traitement numérique du signal

Savoir analyser, concevoir et mettre en œuvre un filtre numérique



3

Plan du coursPlan du cours

I. Manipulation des signaux et système dans le domaine temporel (1,5h)

II. Transformé de Fourier et Transformé en z (1,5h)

III. Transformé de Fourier discrète et spectre d’un signal discret (1,5h)

IV. Filtre numérique à réponse impulsionnelle finie (RIF) (x,xh)V. Filtre numérique à réponse impulsionnelle infinie (RII) (x,xh)

VI. Notions sur les signaux aléatoires (1.5h)

VII. Analyse par prédiction linéaire et son application pour la parole (1,5h)



Traitement de signal: SynoptiqueTraitement de signal: Synoptique

4

signal émis

par

une source

déformation

du signal

par un milieu

de transmission

mesure

par un

capteur

Bruits mesurés

par le capteur

Traitement

du Signal

(récupération de

l’information contenue

dans le signal émis)

Utilisation

du résultat

dans une

application

Applications (dès qu’on mesure un signal et qu’on veut en extraire

des informations pour les utiliser dans une application !):

Télécommunications

Radar, Sonar, géophysique

Signaux Biomédicaux, imagerie médicale

Sons, parole

Images, vidéos



Exemple de traitement numérique de signalExemple de traitement numérique de signal

5

signal émis

signal bruité capté

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 13 14 15 161

0

1

2

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 13 14 15 161

0

1

2

.

temps

temps

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1

0

1

2

.

Problème posé :

comment retrouver la séquence binaire contenue dans le signal émis ?

signal modifié par le

canal de transmission (échos, filtrages, ...)



6

Signaux Temps Continu et Temps DiscretSignaux Temps Continu et Temps Discret

A) Exemples de signaux et représentation mathématique

signal = toute entité qui véhicule une information

Exemples:

onde acoustique Musique,

parole,

...

onde lumineuse source lumineuse

(étoile, gaz, …)

...

courant électrique délivré

par un microphone

courant électrique délivré

par un spectromètre

suite de nombres Mesures physiques

Photographie ...



7

Signaux Temps Continu:

Signal = fonction d ’une ou plusieurs variables indépendantes:

ex: (Voix) Pression Acoustique = f(temps) (Image) Luminosité= f(x,y:variables spatiales)

par la suite: 1 seule variable indépendante = temps

Représentation mathématique:

La variable indépendante est continue t

ex: la voix en fonction du temps,

la pression atmosphérique en fonction de l ’altitude

Signaux Temps Discret:

Définis seulement pour des temps discrets

La variable indépendante est un ensemble discret de valeurs n

ex: études des précipitations pluviométriques par année

études démographiques ...



8

Remarques:

Exemples: a) d ’un signal continu x(t) b) d ’un signal discret x[n]:

x[n] n ’est défini que pour des valeurs entières de n.

x[n] : signal Temps Discret ou séquence Temps Discret.

2 types de signaux discrets:

a) Signaux représentant un phénomène dont la variable indépendante est discrète

b) Signaux provenant d ’une opération d ’échantillonnage:

x[n] représente les échantillons successifs d ’un phénomène pour lequel la

variable indépendante est continue (niveau quantifié ou non...)



9

3 Classes de signaux:

B) Energie et puissance d ’un signal

Définition: par analogie avec les signaux électriques

Energie

dt t x E x2

Puissance moyenne

T

T T

x dt t xT

P 2

21lim

Temps Continu Temps Discret

2

n x E x

N

N n N

x n x N

P 2

121lim

- Signaux à Energie finie- Signaux à Puissance moyenne finie

- Signaux à Energie et Puissance moyenne infinies



10

- Signaux à Energie finie

- Signaux à Energie et Puissance Moyenne infinies

t0 1

1

- Signaux à Puissance moyenne finie

0

... ...

4

n

t

1

1

0x x P E

x x E P

x x E P



11

Transformation de la variable indépendanteTransformation de la variable indépendante

A) Exemples de transformations

Décalage temporel (Retard/Avance)

t 0 < 0 : AVANCE n 0 > 0 : RETARD



12

Changement d ’échelle

Inversion temporelle



13

B) Signaux périodiques

)()( T t xt x

x x E P

Remarques:

N n xn x

T0 = période fondamentale = plus petite valeur possible de T



14

C) Signaux Pairs et Impairs

Pairs Impairs

n xn x

t xt x

)()(

n xn x

t xt x

)()(

Propriété:

Tout signal se décompose en la somme:

- d ’un signal pair x pair (t) et

- d ’un signal impair ximpair (t)

t xt xt x

t xt xt x

impair

pair

2

1

2

1

)()()( t xt xt x impair pair



15

Signaux exponentiels et sinusoïdauxSignaux exponentiels et sinusoïdaux

En Temps Continu

Signaux à exponentielle réelle:

Signaux à exponentielle complexe périodiques et signaux sinusoïdaux:

réelsaet C avecat Cet x )(

t jet x 0)(

T jt jT t jt j

eeee0000 )(

10

T j

e

0

00

22

T f

t j jt j j

t j

e

ee A

ee A

t A

e At At x

00

0

22cos

cos

0

)(

0

x E

phénomènes physiques

0a 0a



16

Remarques :

- Signaux à exponentielle complexe périodiques appelés aussi signaux harmoniques

- Ensemble d ’exponentielles harmoniquement reliées =

Ensemble d ’exponentielles périodiques ayant en commun la période T0 :

,...2,1,0,0 k et t jk

k

Signaux à exponentielle réelle et complexe : jat eCet x C C et jr aavec 0)(

0r 0r



17

En Temps Discret

Signaux à exponentielle réelle: réelset C avecnC n x

1 10

01

1

Signaux exponentiels et sinusoïdauxSignaux exponentiels et sinusoïdaux



18

Signaux à exponentielle complexe et sinusoïdaux: )cos(0

0 n An xen x n j

Propriétés liées au Temps Discret:

n jn jn jn jeeee 000 22

n jn jn j eee 42 000

0 < 0 < 2

0 < f 0 < 1

1)

même signal pour des

pulsations différentes!...

n je 0

Le taux d ’oscillations de n ’augmente pas en fonction de 0 !…

Basses fréquences k 20

Hautes fréquences 120 k



19

2) Périodicité: Pas toujours!...

10

00 )(

N j

n jT n j

eSiee

N

m

2

0

Alors

m

0 Fréquence fondamentale

Signal périodique si 0 / 2 est un entier

ou une fraction rationnelle

6/cos nn x Non périodique!

périodique périodique non périodique



20

Signaux à exponentielle réelle et complexe :

j jn eeC n x C C et avec 0

3) Exponentielles reliées harmoniquement

,...1,0

2

k n

N jk

k en

neeen k

n jn

N jk n

N N k j

N k

2

22)(

seulement N exponentielles distinctes...

1 1



21

Impulsion unité et fonction échelon unitéImpulsion unité et fonction échelon unité

A) En Temps Discret

0, 0

1, 0

nn

n

Impulsion Unité:

0

1

n

Echelon Unité:

0,1

0,0

n

nnu

n

1

0 n

...

nu

Relations:

1n u n u n 0k

u n n k

0 x n n x n

0 0 0 x n n n x n n n



22

B) En Temps Continu

Impulsion Unité ou Dirac:

Echelon Unité:

0,1

0,0

t

t t u

u(t)

t

dt

t dut On veut: Problème!...

t t

0

lim

Signal Pulse

Impulsion de Dirac

t



23

Propriétés du Dirac:

Modélisation mathématique issue de la théorie des Distributions (Laurent Schwarzt)...

- (t) n ’a pas de durée, sa hauteur est infinie et son aire est égale à l ’unité

1

dt t

- (t) peut être pondéré par un scalaire

- représentation de (t): (t)

t

1

k.(t) a une aire de k

fonction singulière

Besoin des physiciens:

(t) modélise par exemple le courant i(t) d ’un filtre RC lors de la charge d ’un condensateur...



24

t xt t x 0

0 xdt t t x

d t t u

0

000 t t t xt t t x

00 t xdt t t t x

dt

t du

t



25

Systèmes Temps Continu et Temps DiscretSystèmes Temps Continu et Temps Discret

Système

Temps

Continu

x(t) y(t)

Système

Temps

Discret

x[n] y[n]

x(t) y(t) x[n] y[n]

Exemples:

- Relation entre la tension aux bornes d ’un condensateur et la tension d ’entrée

- Relation entre la vitesse d ’un véhicule et la force appliquée

- Evolution d ’un compte bancaire

équations différentielles linéaires du 1er ordre:

t bxt aydt

t dy

n xn yn y 101.1



26

Interconnexions de systèmes

Idée: des systèmes complexes peuvent être construits en interconnectant

des sous ensembles plus simples...

Interconnexion Série Interconnexion Parallèle

Interconnexion Rétro-actionnée

Système 1 Système 2E S

Système 1

Système 2

+E S

Système 1

Système 2

+E S



27

Propriétés de base des systèmesPropriétés de base des systèmes

Système sans mémoire:

La sortie y à l ’instant t ou n ne dépend que de l ’entrée x à ce même instant

Système inversible:

Des entrées distinctes conduisent à des sorties distinctes

SystèmeSystème

inverse

x[n]y[n]

w[n]=x[n]

Système causal:

La sortie à n ’importe quel instant ne dépend que des valeurs de l ’entrée

aux instants présent et passés

n

n xn y ][][ ]1[][][ n xn xn y ][][ n xn y



28

Système stable:

A une entrée bornée: |x(t)| M t correspond une sortie bornée |y(t)| N t

Système temporellement invariant :

n

n xn y ][][)1()()( t xt xt y

Systèmex[n-n0] y[n-n0] Systèmex(t-t0) y(t-t0)

Système linéaire: Propriété de superposition

)()(

)()(

22

11

t yt x

t yt x

Soit

n yn x

n yn x

22

11

Alors )(.)(.)(.)(.2121

t ybt yat xbt xa

][.][.][.][. 2121 n ybn yan xbn xa

Un décalage temporel sur le signal d ’entrée entraîne le même décalage temporel sur

le signal de sortie



29

SLTI Temps Discret: Somme de ConvolutionSLTI Temps Discret: Somme de Convolution

Etude d ’un sous-ensemble de systèmes:

Systèmes Linéaires Temporellement Invariants

Nb Propriétés

Outils puissants

Représentation d ’un signal Temps Discret à l ’aide des signaux impulsions

Somme pondérée d ’impulsions

décalées temporellement x n x k n k



30

B) Réponse d ’un SLTI Temps Discret

x n x k n k

Si k n k h n

a) Réponse d ’un système linéaire (pas forcément T.I.)

Alors: nhk xn y k

k

Principe de superposition

Signal d ’entrée



31

b) Réponse d ’un SLTI

Il suffit de connaître la réponse h0[n] à [n] ...

0k n k h n h n k Invariance Temporelle

Définition: Réponse impulsionnelle = Réponse d ’un SLTI à l ’impulsion unité

nhnh 0SLTI[n] h[n]

On obtient:

Somme de convolution

SLTI entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle

0n h n

nhn xn y

k nhk xn yk



32

Propriétés des SLTIPropriétés des SLTI

t ht xd t h xt y

nhn xk nhk xn yk

Systèmes entièrement caractérisés

par leur réponse impulsionnelle

Commutativité

n xnhnhn x

k k

k n xk hk nhk x

d t xhd t h x

t xt ht ht x

h[n]x[n] y[n] x[n]h[n] y[n]



33

Distributivité

nhn xnhn xnhnhn x 2121

Une combinaison parallèle de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont

la réponse impulsionnelle est la somme des réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés

(IDEM T.C.)



34

Associativité

nhnhn xnhnhn xnhnhn x 212121 (IDEM T.C.)

Une combinaison série de plusieurs SLTI peut remplacer un seul SLTI dont la réponse

impulsionnelle est la convolution des réponses impulsionnelles des SLTI interconnectés

La réponse impulsionnelle d ’un SLTI résultant de l ’interconnexion série de plusieurs

SLTI ne dépend pas de l ’ordre dans lequel ils ont été cascadés



35

Multiplication par un scalaire

][][][][][][ n yn xn yn xn yn x (IDEM T.C.)

][][][][000 nnhn xnhnn xnn y (IDEM T.C.)

Dy x y Dx y x D

Décalage temporel:

Dérivation:

dt

t dxt Dx 1 n xn xn Dx

Elément neutre:

t xt t x x n n x n

00 t t xt t t x 0 0n n n x n n Très important



36

SLTI sans mémoire 00 n pour nh

SLTI inversible ih n h n n

(IDEM T.C.)

t t ht h i

SLTI causal 00 n pour nh

00 t pour t h

SLTI stable Sa réponse impulsionnelle est

absolument sommable

k

k h

dt t h Sa réponse impulsionnelle est

absolument intégrable

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