Chapitre IV : Dynamique des fluides visqueuxIV-1 . Quelques observationsN. Lebrun, Octobre 2004Idem +B. Bonnel, Octobre 2006Tube de gauche : huile de tableTube de droite : solution 70 % de glycrol Billes d acier de 6,4 mm de diamtre (http://www.ac-nancy-metz.fr/)Lemielcoulelentementetdemoinsen moinsviteaufuret mesurequela couchestale G.M.Homsy etal., Mcaniquedesfluidesmultimdias, Cambridge University Press (2000)La lave est un fluide visqueuxLa pression d'un liquide rel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'coule, mme si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au thorme de Bernoulli.J. Carbonnet, lyce Louis Vincent, MetzCe phnomne est d aux forces de frottement qui se nomment forces de viscosit dans le cas dun fluide, et sopposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres.IV-2 . Dfinitionszforce constante FF .S.vz= :coefficient de viscosit dynamiquez : distance entre les deux lames liquides P et P v : diffrence de vitesse entre P et P S : surface de P et P Gradient de vitesseLe coefficient de viscosit dpend du fluide et des conditions physiques dans lesquelles il se trouve.Unit de : Pascal . Seconde (Pas.s) ou Poiseuille (Pl)1 Pa.s = 1 Pl = 1 kg.m-1.s -1Autre unit : le centiPoise = 10-3Pl : Viscosit cinmatiqueRemarque : il existe aussi un coefficient de viscosit cintique =Unit de : m2.s-1ou le Stokes (1 St = 104m2.s-1) : masse volumiqueIV-3 . Cas des liquidesLaviscosit provientdes forces dattraction entre les molcules. baissefortementquandlatemprature augmente.Eau 1,14.10-3(1,0.10-3 20 C)Alcool1,30.10-3Mercure 1,60.10-3(1,5.10-3 20 C)Glycrine 1300.10-3(800.10-3 20 C)Sang3.10-3 20 CLes coefficients de viscosit des gaz sont trs infrieurs ceux des liquides (qqes pourcents)IV-4 . Cas des gazLaviscosit provientdes collisions entre les molcules. augmente quand la temprature augmente conditionquelegazsoit pression constante (pas de dilatation).Air1,70.10-5(1,8.10-5 20 C)Azote1,65.10-5Gaz carbonique1,40.10-5Hydrogne 0,85.10-5(0,9.10-5 20 C)Lesvaleursde indiquesdansletableau s expriment en P.s et sont valables pour 0 C.IV-5 . Ecoulement laminaire : perte de charge dans une conduiteA1(p1, S1, z1, v1)A2(p2, S2, z2, v2)z1z2Ov1v2S1S2Thorme de Bernoulli :p1+ .v12+ .g.z1= p2+ .v22+ .g.z2(1)(2)Danslecasdelcoulementdunfluiderel(viscosit nonnulle),ilyadespertesde charges entre les points (1) et (2). Lquation de Bernoulli devient :p1+ .v12+ .g.z1= p2+ .v22+ .g.z2p : ensemble des pertes de charge entre (1) et (2). Elle s exprime en Pascal (Pa).p12v gz diminue avec l' coulement2+ + p dpend de la forme, des dimensions et de la rugosit de la canalisation, de la vitesse d coulement et de la viscosit du liquide.Avec viscosit :+ pSans viscosit :p12v gz cste2+ + = la chargereste constantepestunechutedepression(positive).Leniveaude fluidedanslesdeuxconduitesverticalessituesau dessus de A et de B (sur le schma) est donc diffrent.ABSi A et B sont distants de l, on dfinit la perte de charge linaire :plpour une canalisation de section S constanteIV-6 . Ecoulement laminaire : valuation de la perte de charge dans un tuyau cylindrique : loi de Poiseuille (1835)SoituntubecylindriquederayonR parcouru par un fluide dans la direction x. Ledbitdufluidequipasse traversune couronne d'paisseur dr s crit :dQ(r) = v(r) . dS(r) = v(r). 2 rdrOn montre que v(r) p(R r )4 l2 2=Lavitessevaugmentequandonse rapproche du centre :v v(r 0)R p4 lmax2= = =Hecht, page 431Le dbit travers toute la section du tube est :=SdS r v Q ) (o S est la section du tube et dS la surface d une couronne lmentaire : dS = 2r.drOn obtient aprs calcul le dbit pour un tube cylindrique :Q8plR4=Q est inversement proportionnel et dpend fortement du rayon de la canalisation.La perte de charge par unit de longueur est donc :pl8 QR4=p8 lRQ R Q4 f= =La loi de Poiseuille exprimant la relation entre le dbit Q et la diffrence de pression aux deux extrmits dune canalisation de longueur l et de rayon R scrit doncRfsappelle rsistancehydraulique,ou vasculaire, ou rsistance lcoulement.Ellesemesure enPa.s/m3.On peut dfinir une vitesse moyenne par :vQS 8plRRmoy42= = , ce qui donne pl8 vRmoy2=max2v21lp8R==Cette loi montre que pour entretenir un dbit Q donn, donc une vitesse v donne, p doit tredautant plus grand que la viscosit est grande (revoir lanimation de la tartine de miel).Sidestubessontassocisenparallle,lespertesdechargessontidentiquesetlesdbits sajoutent :Q Q Q ... Q p(1R1R...1R) p1R1 2 i1 2 i f= + + + = + + + = Cetteanalogielectriquepermetdendduirelesloisdassociation,ainsiquelapuissance dissipe lors dun coulement visqueux :Si des tubes sont associs en srie, le dbit est le mme pour toutes les sections et les pertes de charge sajoutent : p p p ... p Q(R R ... R ) QR1 2 i 1 2 i= + + + = + + + =Analogie lectrique :La loi de Poiseuille p = Rf.Q est analogue la loi dOhmV = R.IRsistance ohmique R (Ohm)Intensit lectrique I (Ampre)Diffrence de potentiel V (Volt)ElectricitRsistance hydraulique Rf(Pa.s/m3)Dbit Q (m3/ s)Diffrence de pression p (Pascal)Mcanique des fluidesA la relation Puiss = I.V de llectricit correspond la relation :qui exprime la puissance dissipe par les frottements dans le fluidevisqueux.p Q. Puiss =IV-7 . Ecoulement turbulentCest un paramtre sans dimension. Lexprience montre que si :NR< 2000 lcoulement est laminaireNR> 3000 lcoulement est turbulentCesvaleurssontapproximatives,desvaleursde1000et2000respectivespeuventtre indiques.Entre les deux valeurs, lcoulement est instable.Le passage dun coulement laminaire un coulement turbulent se fait soudainement.Auxgrandesvitesses,lcoulementdevientturbulent.Destourbillonsseformentetla notion de ligne de courant n a plus de sens.Forces de frottement plus leves dbit plus faible pour un p donnL expression de la perte de charge n est plus la mme.G.M. Homsy et al., Mcanique des fluides multimdias, Cambridge University Press (2000)Rgle empirique pour dterminer la nature de l coulement : laminaire ou turbulent.Nombre de Reynolds :D : diamtredu tubeVmoy: vitesse moyenne de lcoulement : masse volumique du fluide : viscosit du fluide=D vNmoyRCas de la circulation sanguine :Lcoulement du sang dans laorte est de type laminaire de faon gnrale.Quand un tranglement se produit dans l aorte, il y a formation de tourbillons et la perte de charge augmente, doncLa puissance fournir pour conserver le mme dbit doit tre plus importante,le cur doit donc travailler plus.Dans les artrioles et les veines, la circulation du sang nest jamais turbulente.IV-8 . Rsistance des fluides au mouvement des corps immergs : loi de StokesLorsquun objet se dplace dans un fluide, il subit de la part de ce dernier une force qui sopposeaumouvement.Cetteforcedpenddelavitesseducorpsetdufluide,etest due la viscosit du fluide.: force de frottement ou force de viscositFfA: pousse dArchimde: poids de la protineSoit une protine plonge dans un fluide de viscosit . On assimile la forme de la protine une sphreChute libre dune protine dans un fluide visqueuxAFfvPPA faible vitesse v (ou en coulement laminaire), la force de viscosit scrit :Ff= K..vK : coefficient gomtrique dpendant de la forme du corpsPour une sphre de rayon R : K = 6R. On a donc : Ff= 6..R.vLoi de StokesA vitesse moyenne v, il existe une rgion de turbulence derrire lobjet. La force s crit :S : section droite de l objet : masse volumique du fluideCx:coefficientdersistancearodynamiquesans dimension qui dpend de la forme de l objet, de la rugositde la surface et du nombre de Reynolds.F CS v2f x2=Pourdesvitessesleves,laforceaugmentetrsviteetdesturbulencesapparaissenttout autour de lobjet.LaloideStokesnestvalablequepourdesvitessesfaiblesetdes objets de faible dimension.Vitesse de sdimentationOn montre que :C est la vitesse limite ou vitesse de sdimentation.o R est le rayon de la protine et sa masse volumique. et 0 sont la viscositet la masse volumique du fluide( )02limgR92v =La centrifugation diffrentielleProcd qui spare les particules (organites, macromolcules) en fonction de leur taille par une succession de centrifugations aux conditions de temps et d acclration croissante.0 g20 000.gpendant 20 minMitochondries, lysosomes et proxysomes au fond80 000.gpendant 60 minMicrosomes, petites vsiculesau fond150 000.gpendant 180 minRibosomes, grosses macromolculesau fondCellules entires et noyaux au fond1000.gpendant 10 minCellules entires et noyauxMitochondries, lysosomes, proxysomesMicrosomes, petites vsiculesRibosomes, grosses macromolculeshttp://www.geniebio.ac-aix-marseille.fr/bioch/docs/centri.htmla = 2r = (2 n/60)2r avec : vitesse angulaire (rad/s); r : distance l'axe de rotation ;n : nombre de tours par minuteUne molcule de masse m situe la distance r de l axe de rotation subit une acclration centripte :Lamolculeestdoncsoumise uneforced inertiecentrifuge(radialeetdirigevers l extrieur et de module) :F = ma = m2rRemarque 3 :Hmoglobine (0= 1350 kg/m3) dans l eau ( = 1000 kg/m3)Rayon de la molcule a = 5.10-3mRayon de rotation r = 0,5 mVitesse de rotation n = 220 tours/sVitesse angulaire = 1400 rad/sAcclration a = 106m/s2 = 105.gvl= 4,4.10-7m/sLamolculevaparcourirenviron1,6cmen10 heures. Il faut donc faire tourner les centrifugeuses trs rapidement pendant des heures.La vitesse de sdimentation devient :v29Ra( )l20= o R est le rayon de la protine et 0sa masse volumique. et sont la viscosit et la masse volumique du fluide.Remarque 1 : On remplace g par a dans le cas o a >> g.Remarque 2 : La pousse d'Archimde n'est plus verticale, mais a la direction de g rsultant. Elle devient horizontale si la rotation est trs rapide.