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7/23/2019 chapII_cours5
http://slidepdf.com/reader/full/chapiicours5 1/2
IV Etude d’une suite arithmético-géométrique
Définition : Une suite (un) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a
et b tels que pour tout entier n, on a : 1n nu au b
.
+1
= × +
Pour étudier ces suites on utilise une suite auxiliaire géométrique.
Exemple :
Un investisseur dépose 5000 € sur un compte rémunéré à 3% par an. Chaque année
suivante, il dépose 300€ de plus. On note (un) la somme épargnée à l'année n.
On a alors : 1 1, 03 300
n nu u
et 0
5000u
La suite (un) est arithmético-géométrique.
1) À l'aide du tableur, calculer la somme totale épargnée à la 10ème année.
2) Prouver que la suite (v n
) définie pour tout entiern
par 10000n n
v u
est géométrique etdonner sa raison et son premier terme.3) Exprimer v n en fonction de n.4) En déduire un en fonction de n. Retrouver alors le résultat de la question 1 par calcul.5) Etudier les variations de (un).6) Calculer la limite de (un).
1) Avec le tableur, on obtient :
La somme totale épargnée à la 10ème année est égale à environ 10158,75 €.
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2) on a 10000n n
v u donc
1 1 10000
1, 03 300 10000
1, 03 10300
1, 03 10000
1,03
n n
n
n
n
n
v u
u
u
u
v
Donc (v n) est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme
0 0 10000 5000 10000 15000v u .
3) Pour tout n, 15000 1, 03n
nv .car est géométrique donc = 0 × ()
4) Pour tout n, 15000 1,03 10000n
nu .car = + 10000 = − 10000
On a alors : 10
10 15000 1,03 10000 10158,75u
5) Pour tout n,
1
1
1
15000 1,03 10000 15000 1,03 10000
15000 1, 03 1, 03
15000 1, 03 1, 03 1
450 1, 03 0
n n
n n
n n
n
n
u u
Donc la suite (un) est strictement croissante.
6) Comme 1,03 > 1, lim 1, 03n
n
donc lim 15000 1, 03n
n
Et donc lim 15000 1,03 10000n
n
, soit : limn
n
u
.
car 1 1, 03 300
n nu u
factorise par 1,03
car10000
n nv u
= 15000 × 1,03+1 − 10000 − 15000 × 1,03 + 10000
1,03+1 = 1,03 × 1,03
15000× 1,03 − 1 = 15000 × 0,03 = 450
