Embed Size (px)
Citation preview
CHAPITRE 10
Angles et Rotations
Objectifs:- Calculer un angle en utilisant la propriété de l’angle inscrit et de l’angle au centre interceptant le même arc.
- Reconnaître une rotation.- Construire l’image par une rotation donnée, d’un point, d’un cercle, d’une droite et de figures complexes.
- Construire un polygone régulier connaissant son centre et un sommet.
I. Angles inscrits- angles au centre 1) Introduction et définitions
est un
angle au centre.
BOA ˆ
C’est un angle
dont le sommet
est le centre
du cercle.
BJA 1ˆ BJA 2
ˆ BJA 3ˆ
, et
sont des angles inscrits.
C’est un angle dont
le sommet est
sur le cercle.
2) Propriétés
En mesurant les angles, on constate que :
BJA 1ˆ BJA 2
ˆ BJA 3ˆ mesurent 46°
BOA ˆet mesure 92°
Propriété 1
La mesure d’un angle au centre est le double de
celle de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.
Propriété 2
Deux angles inscrits qui interceptent
le même arc ont la même mesure.
II. Rotations1) Introduction et définitions Une mouche se pose sur l’aiguille des minutes d’une horloge.
12
120°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
120°
N
M
M’
N ’ O
1ère situation :
Il est midi, la mouche se trouve
sur l’extrémité de l’aiguille en
M.20 minutes plus tard, la
mouche
se trouve en M’ tel que :
OM’ = OM et MÔM’ = 120°2ème situation :
Il est 5h, la mouche s’est
déplacée sur l’aiguille des heures
en N .4 heures plus tard, la mouche
se trouve en N’ tel que :
ON’ = ON et NÔN’ = 120°
La mouche a subi deux fois le
même déplacement :
la rotation de centre O et d’angle 120° (= 4h ou = 20 min)
Définition On dit que M’ est l’image de M par la
rotation
de centre O et d’angle ° lorsque
OM’ = OM et MÔM' = °. Le sens de rotation est indiqué par la flèche.
M
M’
O °
Sens de
rotation
Remarques : - Une rotation est donc définie par son centre, son angle et un sens donné.
- Une symétrie centrale de centre O est aussi une rotation de centre O et d’angle 180°.
2) Exemples de construction
Construire l'image [A'B'] du segment[AB] par
la rotation de centre O et d'angle 75° dans le
sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Cliquez sur l’icône pour voir l’animation
Construire l'image de ce cercle de centre A
par la rotation de centre O et d'angle 75°
dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une
montre).
Cliquez sur l’icône pour voir l’animation
3) Propriétés de conservation
L’image d’une figure par une rotation est
superposable à la figure de départ.
Propriétés
La rotation conserve les longueurs, l’alignement, les milieux, les angles, …
Par une rotation, l’image d’une droite est une droite.
L’image d’un cercle est un cercle de même rayon.
III. Polygones réguliersUn polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle
dont tous les côtés ont la même longueur.
O
120°
O90°
O
72°
O
45°
O
60°
Triangle équilatéral
Carré Pentagone régulier
Hexagone régulier
Octogone régulier
Remarques : - Il existe toujours une rotation laissant
invariant un polygone régulier.
- L’angle au centre d’un polygone régulier se calcule avec la
formule suivante angle au centre =360°
nb côtés polygone
Exemple: Construction d'un décagone
régulier inscrit dans un cercle à
la règle, au compas et au
rapporteur.
Cliquez sur l’icône pour voir l’animation ABCDEFGHIJ est un décagone
régulier inscrit dans le cercle de centre O
