Chapitre 1:Généralités sur les signaux

Chapitre 1

Définitions et représentation des signaux

I. DEFINITIONS

a. SignalUn signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source à son destinataire. Il sert de vecteur à une information. Il constitue la manifestation physique d’une grandeur mesurable (courant, force, pression, température, etc.). C’est aussi une fonction d’une ou plusieurs variables engendrées par un phénomène physique. Les signaux sonores, par exemple, correspondent à de faibles variations de pression qui se propagent dans l’espace, et que le système auditif humain est capable de capter, d’analyser, et de percevoir l’information dont ils peuvent être porteurs. Dans la plupart des cas pratiques la variable d’évolution est le temps, et la notion de signal se rapporte davantage à un transfert d’information qu’à un transfert d’énergie. Ainsi la plupart des signaux manipulés de nos jours correspondent à l’évolution temporelle de tensions électriques délivrées par des capteurs. On parlera par exemple du signal v(t) délivré par un capteur de température, un accéléromètre ou une sonde à effet Hall. Mais le traitement du signal s’applique à tous les signaux physiques (onde acoustique, signal optique, signal magnétique, signal radioélectrique, etc.). Le traitement d’images peut-être considéré comme du traitement du signal appliqué aux signaux bidimensionnels (images).

b. BruitLe bruit est défini comme tout phénomène perturbateur gênant la perception ou l’interprétation d’un signal, par analogie aux nuisances acoustiques (interférence, bruit de fond, etc.). La différenciation entre le signal et le bruit est artificielle et dépend de l’intérêt de l’utilisateur : les ondes électromagnétiques d’origine galactique sont du bruit pour un ingénieur des télécommunications par satellites et un signal pour les radioastronomes.

c. Théorie du signalLa théorie du signal a pour objectif fondamental la « description mathématique » des signaux. Cette représentation commode du signal permet de mettre en évidence ses principales caractéristiques (distribution fréquentielle, énergie, etc.) et d’analyser les modifications subies lors de la transmission ou du traitement de ces signaux.

d. Traitement du signalC’est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources de l’électronique, de l’informatique et de la physique appliquée, a pour objet l’élaboration ou l’interprétation des signaux. Son champ d’application se situe donc dans tous les domaines concernés par la perception, la transmission ou l’exploitation des informations véhiculées par ces signaux.

1 | © S i g n a u x e t s y s t è m e s a v e c M a t l a bM . O U L O B L Y S t é p h a n e R .

e. Traitement de l’informationIl fournit un ensemble de concepts permettant d’évaluer les performances des systèmes de transfert d’informations, en particulier lorsque le signal porteur de message est bruité. Cela inclut les méthodes de « codage de l’information » dans le but de la réduction de redondance, de la correction des erreurs, de la confidentialité (cryptage). L’ensemble des concepts et méthodes développés dans le traitement de l’information et du signal forme la Théorie de la communication.

II.CLASSIFICATION DES SIGNAUX

Pour faciliter l’étude des signaux, différents modes de classification peuvent être envisagés :

- représentation temporelle ou phénoménologique des signaux ;

- représentation spectrale ;

- représentation morphologique (signal continu ou discret).

a. Représentation temporelle des signauxLa première classification, basée sur l’évolution du signal en fonction du temps, fait apparaître deux types fondamentaux :

Les signaux certains (ou déterministes) dont l’évolution en fonction du temps peut être parfaitement décrite par un modèle mathématique. Ces signaux proviennent de phénomènes pour lesquels on connaît les lois physiques correspondantes et les conditions initiales, permettant ainsi de prévoir le résultat ;

Les signaux aléatoires (ou probabilistes ou encore stochastiques) dont le comportement temporel est imprévisible et pour la description desquels il faut se contenter d’observations statistiques.

Outre l’impulsion de Dirac et l’échelon de Heaviside, les signaux exponentiels de la forme :

x(t) = Aeλt ejωt (A, ω, λ) є R3

Constituent des exemples de signaux analogiques déterministes qui joueront un rôle important dans la suite. On notera cependant qu’un signal déterministe dont le modèle est parfaitement connu ne véhicule aucune information, car un signal parfaitement prédictible n’apporte rien que l’on ne sache déjà. En revanche, si une partie des paramètres de ce modèle est inconnue, alors ce signal déterministe véhicule une information constituée de ces paramètres inconnus à estimer.

b. Représentation spectrale des signauxUn signal peut être classé suivant la distribution de son amplitude, sa puissance ou son énergie en fonction de la fréquence ; on parle de spectre du signal. Le domaine des fréquences occupé par son spectre est aussi appelé la largeur de bande spectrale du signal ΔF :

ΔF=Fmax-Fmin

Cette caractéristique, exprimée en hertz (Hz), est absolue. Aussi il est nécessaire de la comparer au domaine de fréquences dans lequel se situe le signal. En considérant la fréquence moyenne Fmoy =( Fmax + fmin)/2, on peut distinguer deux types de signaux :


- les signaux à bande étroite avec ΔF/Fmoy petit (Fmax # Fmin) ;

- les signaux à large bande avec ΔF/Fmoy grand (Fmax>> Fmin) ;

Pour les signaux à bande étroite, il est possible de les classer par le domaine de variation de la fréquence moyenne Fmoy :

- Fmoy < 250 KHz signaux basses fréquences BF

- 250 KHz < Fmoy < 30 MHz signaux hautes fréquences HF

- 30 MHz < Fmoy < 300 MHzsignaux très hautes fréquences THF

- 300 MHz < Fmoy < 3 GHz signaux ultra hautes fréquences UHF

- Fmoy > 3 GHz signaux super hautes fréquences SHF

Lorsque la fréquence du signal devient très grande, pratiquement supérieure à quelques TéraHertz (THz = 1012 Hz), la longueur d’onde λ est le paramètre de référence (λ = c/F avec c : vitesse de la lumière 300 000 Km/s) :

- 700 nm < λ < 0,1 mm signal lumineux infrarouge

- 400 nm < λ < 700 nm signal lumineux visible

- 10 nm < λ < 400 nm signal lumineux ultraviolet

c. Classification morphologiqueLe temps est un paramètre important de classification. Le traitement numérique des signaux conduit à faire la distinction entre les signaux dits à temps continus (signaux continus) et les signaux dits à temps discrets (signaux discrets ou échantillonnés). Un autre paramètre des signaux traités est à prendre en compte, c’est l’amplitude qui peut aussi être continue ou discrète (quantifiée).

Ainsi quatre formes des signaux, qui se retrouvent dans un système numérique de contrôle d’un processus physique, peuvent être distinguées :

- signal à amplitude et temps continus (signal analogique) : s(t) ;

- signal à amplitude discrète et temps continu (signal quantifié) : sq(t). Ce signal correspond à celui qui est fourni à la sortie d’un circuit CNA pour la commande d’un actionneur ;

- signal à amplitude continue et temps discret (signal échantillonné) : s(nTe). Ce signal, obtenu à l’aide d’un circuit échantillonneur bloqueur, est transmis à un circuit CAN pour obtenir un signal numérique utilisable par un ordinateur ;

- signal à amplitude discrète et temps discret (signal logique ou numérique) : sq(nTe). Ce dernier cas correspond en réalité à une suite de nombres codés en binaire. Ces nombres, utilisés au sein d’un ordinateur, se transmettent sous la forme de plusieurs signaux de type numérique 0 v (0 logique) ou 5 v (1 logique) se propageant en parallèle : 8 signaux pour un nombre codé sur 8 bits.


III.QUELQUES SIGNAUX ELEMENTAIRES

Echelon unité ou fonction de Heaviside ε ( t )ou u( t )que l’on définit comme suit :

ε ( t )={0 t<01t ≥0

Impulsion Rectangulaire rect ( t )ou fonction porte Π(t) définie comme suit :

rect (t )={1|t|< 12

0|t|≥ 12

On note que : rect ( t )=ε (t+12)−ε ( t−1

2)

On peut remplacer la rect ( t )au temps t0 par rect ( t−t0 ) et la rallonger par le changement de

variablet0=

tT .

La fonction rectangulaire généralisée : arect ( t )=A . rect (( t−t0 )/T ) est une impulsion

rectangulaire de durée T, d’amplitude A et centrée sur t=t0

Cette fonction est souvent utilisée comme facteur multiplicatif d’une fonction quelconque pour représenter une portion limitée dans le temps (durée T) de cette fonction.

Signal Exponentiel réel définit par :

x ( t )=Aeα . t A, α ∈ℜ

Signal Exponentiel Complexe ou phaseur de fréquence f 0 définit par :

x ( t )=Ae+ j . 2 . π . f 0 . t=lim

a→0e−a .|t|.e

+ j2 . π . f 0 . t

Signal Sinusoïdal définit par :x ( t )=A sin(ω .t+ϕ ) avec ω=2πf la pulsation propre du signal de période T= 1/f


Signal Delta ou impulsion de Dirac δ ( t )L’impulsion de Dirac est formellement définie par le produit scalaire suivant :

¿ x ( t ) , δ( t )>=∫−∞

+∞

x( t ) .δ( t ) .dt=x (0)

C’est un opérateur d’échantillonnage qui restitue la valeur x (0 )d’une fonctionx ( t ).Sa dimension est l’inverse de celle de la variable d’intégration.

D’une manière plus générale, pour toute fonctionx ( t ) continue on a :

x ( t0)=∫−∞

+∞

x ( t ).δ ( t−t0) .dt

La distribution de Dirac peut être considérée comme la limite d’une impulsion de durée Δt et de

hauteur

1Δt lorsqueΔt→0 .

δ ( t )= limΔt→0

( 1Δtrect ( t

Δt))

Le signal delta est utilisé pour localiser la valeur d’une fonction x ( t ) en t=t0 .

IV. OPÉRATIONS SUR LES SIGNAUX

Elles sont nombreuses mais nous nous intéresserons ici à celles qui sont un peu spéciales, nous ne parlerons pas des opérations classiques comme la somme, différence, dérivation et intégration….

Réversibilité ou Reverse ou Retournement

C’est une opération qui à un signal x ( t ) associe un le signal y ( t )=x (−t )

Translation ou Décalage temporelle

C’est une opération qui à signal x ( t ) associe un signal y ( t )=x ( t−a )


-6 -4 -2 0 2 4 6

-1

-0.5

0

0.5

1

t

sin(t)sin(-t)

a est appelé facteur de retard :

Si a≥0 alors on affaire à un retard ou décalage à droite

Si a<0 alors on parle d’avance ou décalage à gauche

Translation fréquentielle ou Modulation

C’est une opération qui à un signal x ( t ) associe y ( t )=x ( t )ej .2 .π . f 0 . t


Amortissement exponentiel

C’est une opération qui à un signal x ( t ) associey ( t )=Ax ( t )ea . t

Produit scalaire et orthogonalité

Le Produit scalaire de deux signaux réels x ( t ) et y ( t ) défini pour t1≤t≤t2

¿ x ( t ) , y ( t )>=∫t1

t 2

x ( t ) . y (t ).dt

Deux signaux réels x ( t ) et y ( t ) sont orthogonaux sur l’intervalle [t1 , t2 ] si leur produit scalaire est nul :

¿ x ( t ) , y ( t )>=∫t1

t 2

x ( t ) . y (t ).dt=0

Nota : la spécification de l’intervalle est importante !!

Produit de convolution

On appelle produit de convolution de deux signaux x ( t ) et y ( t ) , la fonction

f ( t )=∫−∞

+∞

x (θ ). y ( t−θ )dθ=∫−∞

+∞

x (t−θ ) . y (θ ) .dθ

Dans le cas le plus fréquent où les signaux sont de type causal le produit de convolution s’écrit :


f ( t )=∫0

t

x (θ) . y ( t−θ)dθ=∫0

t

x ( t−θ) . y (θ ) .dθ

Pour calculer y ( t ) à l’aide de la première de ces deux équations, il faut réaliser les opérations suivantes :

1. retourner y (θ ) autour de l’ordonnée pour obtenir y (−θ )

2. décaler y (−θ ) d’une valeur égale à t ; ce qui donnera y ( t−θ )

3. multiplier cette fonction par le signal x ( t )4. intégrer le résultat de ce produit entre 0 et t

Valeur moyenne

Energie (forme quadratique) / Puissance (forme quadratique moyenne) temporelleNous ne ferons ce calcul que dans le domaine temporel :

P= limT→+∞

1T

∫−T /2

+T /2

x2 (t ).dt [V 2 ]

W= limT→+∞

∫−T /2

+T /2

x2( t ) .dt [V 2 s ]

V. PRINCIPALES FONCTIONS DU TRAITEMENT DE SIGNAL

Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catégories : l’élaboration des signaux (incorporation des informations) et l’interprétation des signaux (extraction des informations). Les principales fonctions intégrées dans ces deux parties sont les suivantes :

Elaboration des signaux :

- synthèse : création de signaux de forme appropriée en procédant par exemple à une combinaison de signaux élémentaires ;

- modulation : adaptation du signal aux caractéristiques du canal de transmission. Si cette adaptation se fait en fonction de l’amplitude on a une modulation d’amplitude ; on a une modulation de fréquence si c’est en fonction de la fréquence sinon on a une modulation de phase.

- codage : traduction du signal en code binaire (numérisation, échantillonnage et quantification…).

Interprétation des signaux :

- filtrage : élimination de certaines composantes indésirables ;

- détection : extraction du signal d’un bruit de fond (corrélation…) ;

- identification : classement d’un signal dans des catégories préalablement définies ;

- analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles d’un signal de forme complexe (transformée de Fourier) ;

- mesure : estimation d’une grandeur caractéristique d’un signal avec un certain degré de confiance (valeur moyenne, etc…).


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