Chapitre 2 : PGCD & PPCM TS Spé ?· Chapitre 2 : PGCD & PPCM TS Spé 1. PGCD & PPCM Définitions :…

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    10-Sep-2018

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  • Chapitre 2 : PGCD & PPCM TS Sp

    1. PGCD & PPCM

    Dfinitions : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.

    L'ensemble des diviseurs communs a et b admet un plus grand lment D , appel le PGCD de a et de b .L'ensemble des multiples communs strictement positifs de a et de b admet un plus petit lment M , appel PPCM de a et de b .

    Notations: D=PGCD a ;b et M=PPCM a ;b .

    Dtermination pratique :A la main, lorsque les nombres ne sont pas trop grands. ex : PGCD 420 ;1386 ?A la calculatrice, les instructions existent seulement pour des modles "sophistiqus". Pour les autres, il faut crire un programme qui repose sur l'algorithme d'Euclide (voir plus loin)Avec un ordinateur, utiliser un tableur et encore l'algorithme d'Euclide.

    2. Nombres premiers entre eux

    Dfinition : On dit que deux entiers relatifs sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est gal 1.

    Rsultats connus Soit a et b deux entiers non nuls.

    La fraction ab est irrductible lorsque a et b sont premiers entre eux.

    Le plus petit dnominateur commun de deux fractions est le PPCM des deux dnominateurs.

    3. Algorithme d'Euclide

    Il permet de calculer le PGCD d deux nombres a et b entiers naturels non nuls. Il est important de rappeler qu'un algorithme est une suite dinstructions (parfois rptitives : boucles) , qui une fois excute correctement, conduit un rsultat.

    Thorme : soit a et b deux entiers naturels non nuls. La suite des divisions euclidiennes : de a par b de b par r 0 (si r 00 ) de r 0 par r 1 (si r 10 )

    .......................... de r n 1 par r n (si r n0 )

    a=bq0r0 ;b=r 0q1r1 ;r 0=r 1q2r 2 ;.................................r n 1=r nqn1r n1

    finit par s'arrter, un des restes r i tant non nul.Le dernier reste non nul est alors le PGCD de a et de b (si r 0=0 , c'est b )

    2010@My Maths Space 1/3

  • Chapitre 2 : PGCD & PPCM TS Sp

    Exemple : Dterminer le PGCD de 1958 et de 4539.

    Avec un logiciel de codage d'algorithme (ALGOBOX)

    Dclaration de variables.

    Boucle "Tant que". Corps de l'algorithme.

    Avec la calculatrice

    4. Thormes de Bzout et de Gauss.

    Thorme de Bzout : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls et D leur PGCD.Il existe deux entiers relatifs u et v tels que aubv=D . (galit de Bzout)

    Considrons l'ensemble G des entiers naturels non nuls de la forme ambn (avec m et n dans )

    2010@My Maths Space 2/3

  • Chapitre 2 : PGCD & PPCM TS Sp

    Prouver que G est non vide :

    Consquence :

    Comparer D et d :

    d diviseur commun de a et de b :

    Conclusion :

    Consquences: Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.

    Tout diviseur commun a et b divise leur PGCD.a et b sont premiers entre eux il existe deux entiers relatifs u et v tels que : aubv=1L'quation axby=d ( d entier fix non nul) admet des solutions entires si et seulement si, d est un multiple de D .

    Remarque : Les rsolutions d'quations de la forme axby=d font l'objet d'une dmarche type qui sera dveloppe plus loin dans ce cours.

    Exemple : Montrer que pour tout n , 2 n1 et 3n1 sont premiers entre eux.

    Thorme de Gauss: Soit a , b et c , trois entiers relatifs non nuls. Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c .

    Exercice : Montrer que si a et b divise un entier c et que a et b sont premiers entre eux alors ab divise c .

    Applications : Proprits du PGCD et du PPCM.Proprits Soit a et b deux entiers naturels non nuls, D leur PGCD et M leur PPCM .

    Il existe deux entiers a ' et b ' premiers entre eux, tels que : a=Da' et b=Db' .

    M=Da ' b '=ab '=a ' b et MD=ab .

    L'ensemble des diviseurs communs a et b est l'ensemble des diviseurs de D .

    L'ensemble des multiples communs a et b est l'ensemble des multiples de M .

    Exemple : PGCD et PPCM de 1365 et 858.

    2010@My Maths Space 3/3

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