Chapitre 24 : Sections planes de solides

Définition : Lorsqu’un solide est coupé par un plan, la section du solide par le plan est constitué de tous les points

qui appartiennent à la fois au plan et au solide.

I - Sections d’un cube, d’un pavé droit, d’un cylindre, d’une pyramide et d’un cône

1) Section d’un cube

par un plan parallèle à une face par un plan parallèle à une arête

2) Section d’un parallélépipède rectangle

par un plan parallèle à une face par un plan parallèle à une arête

Propriété : La section d’un parallélépipède rectangle

par un plan parallèle à une face est un rectangle de

mêmes dimensions que cette face.

3) Section d’un cylindre de révolution

par un plan parallèle à la base par un plan parallèle à l’axe

Propriété : La section d’un cylindre de révolution

par un plan parallèle à la base est un disque de même

rayon que la base.

Propriété : La section d’un

parallélépipède rectangle par

un plan parallèle à une arête

est un rectangle.

Propriété : La section d’un

cylindre de révolution par un

plan parallèle à l’axe est

un rectangle.

Propriété :

La section d’un cube par

un plan parallèle à une

arête est un rectangle.

Propriété :

La section d’un cube

par un plan parallèle

à une face est

un carré de même

dimension que cette

face.

je peux maintenant construire le rectangle

KLMN en reportant la longueur KN au compas.

4) Section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base

pyramide cône de révolution

Propriété : La section d’une pyramide par un plan

parallèle à sa base est de même nature que sa base.

Propriété : La section d’un cône de révolution par un plan

parallèle à sa base est un disque

Exercice d’application :

Le quadrilatère KLMN est la section du pavé droit ABCDEFGH

par un plan parallèle à l’arête [EF].

1) Quelle est la nature de cette section ? Justifier.

2) Sans effectuer de calculs, construire en vraie

grandeur le quadrilatère KLMN.

3) a) Comment appelle-t-on le solide ENKFML obtenu ?

b) Calculer le volume de ce solide.

1) Je sais que KLMN est la section du pavé droit ABCDEFGH par un plan parallèle à l’arête [EF].

Or la section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

Donc KLMN est un rectangle.

2) Construction du rectangle KLMN :

la longueur du rectangle est MN = AB = 5 cm.

la largeur du rectangle est KN.

3) a) le solide ENKFML est un prisme droit dont la base est un triangle rectangle.

b) 𝑉 = 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ×ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 = 𝑎𝑖𝑟𝑒(𝐸𝑁𝐾)×𝐸𝐹 =𝐸𝑁×𝐸𝐾

2×𝐸𝐹 =

1,3×2,7

2×5 = 1,755×5 = 8,775 𝑐𝑚3

Pour connaître la longueur KN je construis d’abord

le triangle KEN rectangle en E tel que EK= 2,7 cm

et EN = 1,3 cm.

II - Sections d’une sphère

Soient 𝒮 une sphère de centre O et de rayon 𝑅 et (𝒫) un plan de l’espace .

La droite passant par le point O et perpendiculaire au plan (𝒫) coupe ce plan au point H.

La longueur OH est la distance du point O au plan (𝒫 ).

Il y a 4 cas possibles :

𝑂𝐻 > 𝑅 𝑂𝐻 = 𝑅 𝑂𝐻 < 𝑅 𝑂𝐻 = 0

Le plan ne coupe pas la

sphère, il n’y a pas de

section.

Le plan coupe la sphère, en

un seul point, H. On dit que

le plan et la sphère sont

tangents.

Le plan coupe la sphère et

la section est un cercle de

centre H.

On calcule le rayon de ce

cercle en utilisant le

théorème de Pythagore

dans le triangle OHM

rectangle en H.

Le plan coupe la sphère et

la section est un « grand

cercle » de centre 0 et de

rayon R.

Exemple : On a représenté ci-contre une sphère de centre O et de rayon 3 cm.

Le plan P représenté coupe la sphère selon un cercle 𝒞 de centre H avec OH = 2 cm.

Calculer le rayon en cm de cette section et arrondir au mm.

III - Lien entre sections de solides et agrandissement-réduction

Rappels :

×𝑘 (𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡)

ℓ (𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒) ℓ′(𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒)

• Conséquence sur les angles : la mesure des angles est conservée.

• Conséquences sur les périmètres : 𝒫 ′ = 𝒫 × 𝑘. • Conséquence sur les aires : 𝒜′ = 𝒜 × 𝑘2. • Conséquence sur les volumes : 𝒱′ = 𝒱 × 𝑘3.

rayon de la

sphère :

OM= 3 cm

2 cm

rayon de la

section : MH = ?

Je sais que le triangle 𝑂𝐻𝑀 est rectangle en H

Or, d’après le théorème de Pythagore on a :

𝑂𝑀² = 𝑂𝐻² + 𝐻𝑀² .

Donc en remplaçant par les longueurs données on a :

3² = 2² + 𝑀𝐻²

9 = 4 + 𝑀𝐻²

𝑀𝐻² = 9 − 4

𝑀𝐻² = 5

𝑀𝐻 = √5 𝑐𝑚 (valeur exacte)

𝑀𝐻 ≈ 2,23 𝑐𝑚

𝑀𝐻 ≈ 2,2 𝑐𝑚 (valeur arrondie au mm)

- pour calculer la longueur finale : ℓ′ = ℓ×𝑘

- pour calculer la longueur initiale : ℓ = ℓ′: 𝑘

- pour calculer le coefficient : 𝑘 =ℓ′

ℓ

1) Exemple avec un cône

Sur la figure ci-contre, on a un cône de révolution tel que 𝑆𝐴 = 12 𝑐𝑚.

Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que 𝑆𝐴′ = 3cm.

La figure ci-contre n’est pas à l’échelle.

1) Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 𝑐𝑚 .

Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.

2) Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du

grand cône au petit cône ?

3) Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner

la valeur arrondie au 𝑐𝑚3.

1) Volume du grand cône :

𝒱 =𝜋×𝑟²×ℎ

3=

𝜋×7²×𝑆𝐴

3=

𝜋×49×12

3=

𝜋×49×4×3

3= 𝜋×196 = 196 𝜋 𝑐𝑚3

2) Le coefficient de réduction est 𝑘 =𝑆𝐴′

𝑆𝐴=

3

12=

3×1

3×4=

1

4

3) Volume du petit cône :

𝒱′ = 𝒱×𝑘3 = 196 𝜋× (1

4)

3

= 196 𝜋×1

64=

196𝜋

64= 3,0625 𝜋 𝑐𝑚3 (valeur exacte)

𝒱′ ≈ 10 𝑐𝑚3 (valeur arrondie au cm3)

2) Exemple avec une pyramide

Une boite de chocolats a la forme d’une pyramide régulière à base carrée.

On la coupe suivant un plan parallèle à sa base. La partie supérieure est le couvercle et la partie inférieure contient

des chocolats. La base est le carré ABCD de centre O. On donne AB = 30 cm, SO = 18 cm et SO’ = 6 cm.

1) Calculer le volume de la pyramide SABCD.

2) Calculer le coefficient de réduction qui permet de passer

de la grande pyramide à la petite.

3) Calculer le volume de la pyramide SA’B’C’D’.

4) En déduire le volume du récipient ABCDA’B’C’D’ qui contient les chocolats.

1) Volume de la grande pyramide SABCD :

𝒱 =𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ×ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

3=

𝑎𝑖𝑟𝑒(𝐴𝐵𝐶𝐷)×𝑆𝑂

3=

30²×18

3=

16200

3= 5400 𝑐𝑚3

2) Le coefficient de réduction est 𝑘 =𝑆𝑂′

𝑆𝑂=

6

18=

1

3

3) Volume de la petite pyramide SA’B’C’D’ :

𝒱′ = 𝒱×𝑘3 = 5400×(1

3)

3

= 5400×1

27= 200 𝑐𝑚3

4) 𝑉(𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵 ′𝐶 ′𝐷′) = 𝒱 − 𝒱 ′ = 5400 − 200 = 5200 𝑐𝑚3

Le récipient qui contient les chocolats a un volume de 5200 cm3.