Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps et l …radoudoux.free.fr/Finance_d_entreprise/Pr%E9sentation… · · 2008-10-27Bodie Merton - Chapitre 4

© Christophe Thibierge - 2003Bodie Merton - Chapitre 4

1

www.escp-eap.net/publications/bmt

Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps etl ’actualisation des cash-flows

PlanActualisation et capitalisationCalculs sur le taux d’intérêt et la périodeModalités de calcul des taux d’intérêts

taux simples et composéstaux précomptés et postcomptéstaux proportionnels et taux équivalents

Inflation et fiscalitéApplication des concepts

Calcul d ’une annuité constanteTableau d ’amortissement d ’un empruntEvaluation d ’une obligation


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Capitalisation et actualisation

Exemples :

Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 1050 € dans un an ?

Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 200 € par an sur les6 prochaines années ?

Un ami vous emprunte 1 000 € et vous promet 3 remboursementsmensuels de 335 € chacun. Est-ce un bon ami ?

« Un euro aujourd’hui n’est pas égal à un euro demain »


3


Capitalisation et actualisation

Principe :Deux sommes, apparemment identiques, ne sont pas équivalentessi elles ne sont pas disponibles à la même date.

L'actualisation et la capitalisation sont indispensables pourcomparer des sommes disponibles à des dates différentes,afin de rechercher des équivalents à une date commune.

Capitalisation : présent avenir

Actualisation : présent avenir


4


La capitalisation

100 100(1+i)

Exemple :Vous placez une épargne de 1 000 € sur un compte bloqué quirapporte du 4% par an.Au bout d ’un an, vous aurez 1 000 (1+0,04) = 1 040 €Au bout de deux ans, vous aurez 1 040 (1+0,04) = 1 081,6 € soit 1 000 (1+0,04)²

Les intérêts ont été capitalisés

Placé au taux i pendant une année


5


Année 0 1 2 3 n

Valeur 1 000 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%)2 1 000 × (1+4%)3 1 000 × (1+4%)n

-

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

35 000

40 000

45 000

50 000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Année

Val

eur

futu

re d

e 1

000

à l'a

nnée

0La capitalisation


6


)1( iXVF n+×=

La capitalisation

Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeuracquise d'un montant X , capitalisée au taux i durant nannées est égale à :


7


Exemple

En 1626, Peter Minuit a acheté l’île de Manhattan auxindiens pour des colifichets valant à peu près 24 dollars. Sila tribu indienne avait plutôt demandé un règlement enargent, et avait investi cet argent au taux de 6% capitaliséannuellement, combien la tribu aurait-elle en l’an 2001, 375ans après ?

Réponse : 24$ × (1,06)375 = 74 115 785 843 (74 milliards115 millions 785 mille 843 dollars)(les indiens, généreux, ignorent les cents)

La capitalisation


8


Je dois recevoir 1 000 € dans un an. Or, j’ai besoin d’argentimmédiatement.

J’emprunte donc (à mon banquier, ou sur le marché monétaire).

Quelle somme maximum puis-je emprunter, au taux de 4% ?La somme S0 telle que les 1 000 € puissent rembourser dans un an lecapital et payer les intérêts. Au total, je devrai payer dans un an :

S1 = S0 × (1 + 4%)

Comme S1 = 1 000 €, on a S0 =

S0 correspond à la valeur actuelle (VA)de 1 000 € perçus dans un an.

€54.961%)41(

1000=

+

L ’actualisation


9


€ 1643.854%)(1

€20005 =+

L ’actualisation

ExempleValeur actuelle de 2 000 € perçus dans 5 ans ?

C'est une somme S0 telle qu'il m'est indifférent de recevoir S0 toutde suite, ou 2 000 € dans cinq ans. Si je perçois S0 tout de suite, jepeux placer cette somme pendant cinq ans, au taux de 4% annuel.Dans cinq ans, j'obtiendrai alors S0 × (1+4%)5. Cette somme doitêtre équivalente à 2 000 € perçus dans cinq ans. On peut doncdéduire facilement S0 :

S0 × (1+4%)5 = 2 000 € ⇔ S0 =


10


)1( in

nXVA+

=

L ’actualisation

La valeur actuelle VA d'un montant Xn versé dans nannées est de :


11


€ 429.36 31,1664

00048%)(10004VA 2 ==

+=

L’actualisation

Exemple :

Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d’accordpour l’acheter à 4 000 €, mais il souhaite ne payer cette somme àFred que dans deux ans. Si Fred peut placer son argent enbanque avec un taux de 8%, quel est la valeur de l’offre?

Valeur Actuelle de 4 000 € perçus dans 2 ans :


12


Année 0 1 2 3 n

Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

Valeur future àl’année n

n%)41(1000 +×


1%)41(1000 −+× n


1 000

Capitalisation d ’une séquence de flux


13


∑=

−+×=n

t

tnt iXVF

1)1(

La capitalisationd’une séquence de flux

La valeur future (en t= n) d'une série de fluxmonétaires différents (Xt), est obtenue à partir de lacapitalisation de chaque élément de la série. Avec iconstant, on obtient pour n années :


14


La formule de valeur future

se simplifie en

∑=

−+×=n

t

tniAVF1

)1(

iiAVF

n 1)1( −+⋅=

Capitalisation d’une séquence de flux identiques A(« annuités »)


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Capitalisation d’une séquence d ’annuités

Exemple :

Si vous placez 100 euros chaque année pendant les prochaines 20années sur un compte rémunéré à 10%, en commençant à placerdans un an, combien aurez-vous d’ici 20 ans ?

Il s ’agit de calculer la valeur future d ’une séquence de 20 annuitésde 100 € placées sur un compte rémunéré à 10% par an.

€ 727,5 50,10

16,727510010%

110%)(1100VF20

=−

×=−+

×=


16


Un petit récapitulatif

Vous allez avoir besoin de 50 000 euros dans dix ans.Vous prévoyez de faire sept versements identiqueschaque année, en commençant dans trois ans, sur uncompte qui rapporte du 11% par an capitaliséannuellement. Quel doit être le montant de chaqueversement annuel ?


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Année 0 1 2 3 n

Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

Valeur actuelle 1 000

Valeur actuelle%)41(

0001+

Valeur actuelle2%)41(

0001+

Valeur actuellen%)41(

0001+

Actualisation d ’une séquence de flux


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∑= +

=n

tt

t

iXVA

1 )1(

Actualisation d ’une séquence de flux

La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétairesdifférents (Xt), est obtenue à partir de l'actualisation dechaque élément de la série. Les flux peuvent être positifsou négatifs

Avec i constant, on obtient pour n années :


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La formule de valeur actuelle (en t= 0) d'une série deflux monétaires :

si on pose Xt = A, se simplifie en

∑= +

=n

tt

t

iXVA

1 )1(

iiAVA

n−+−×=

)1(1

Actualisation d ’une séquence de flux identiques A(« annuités »)


20


Actualisation d ’une séquence de flux identiques X

Exemple :

Il y a deux ans, un de vos oncles éloignés, imitant votre signature, a réussi à emprunter une grosse somme d’argent à votre banquier.Vous devez rembourser cet emprunt à raison de 5 000 € par an,sur les 25 prochaines années. Les taux sont actuellement de 6%par an. Si vous souhaitez tout rembourser immédiatement,combien devrez-vous verser au banquier ?


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Le coût d ’opportunité

Taux d’emprunt ou taux de placement?

En général le calcul d’une valeur actuelle suppose que le tauxd’emprunt et le taux de placement sont identiques.

En réalité une entreprise ou un particulier font souvent face a destaux d ’emprunt et de placement différents.

Dans cette situation il faut raisonner en coût d’opportunité.


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Le coût d’opportunité

Exemple :Une année après, Fred n’a toujours pas vendu sa voiture, mais ils’est hautement endetté sur plusieurs années pour acheter unemaison. Il paie un taux d ’intérêt de 15% sur cet emprunt, et parailleurs, il peut placer de l ’argent à 5%.Fred à reçu deux offres pour sa voiture: une à 5 000 € payableimmédiatement et une à 5 500 € payable dans un an.

Si Fred peut rembourser une partie de son emprunt par anticipation,quelle offre doit-il accepter ?

Est-ce que sa décision changera s’il ne peut pas rembourser unepartie de son emprunt avant l ’échéance ?


23


000 15000 30

000 30000 15

%18.7

071773463.0121

)1(

101

10

10

=

=−=−=

=+×

i

i

Trouver le taux d ’intérêt

Exemple:Votre banque offre de vous rendre 30 000 € dans 10 ans, si vousinvestissez 15 000 € maintenant. Quel est le taux d’intérêt de ceplacement?


24


nn

nn

VAVF

VAVFi) (

i)(VAVF i)(VAVF

1

1

11

==+⇒

+=⇒+×=

1−= nVAVFi

Trouver le taux d ’intérêt

Formule générale :


25


Trouver le taux d’intérêt

Exemple :

Votre cousine wallonne vous demande s’il vaut mieux acheter uneobligation à 995 euros, sachant qu’elle sera remboursée 1 200euros dans cinq ans, ou bien placer son argent sur un compterémunéré.

Quel est le taux d ’intérêt (de fait, on parlera ici de taux derendement actuariel – TRA) de l’obligation ?

De quelle information supplémentaire avez-vous besoin pour fairevotre choix ?


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Trouver la durée du placement

Exemple :

Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Milliond ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €.

Si le prix de l’immobilier reste constant et vous pouvez placer votreargent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pouracheter cet appartement ?


27


( ) ( )

( )( ) ( )

( )iVAVF

iVAVF

n

iniVAVF

iVAVFiVAVF

n

nn

+−

=+

=⇔

+×=+=

⇔

+=⇔+×=

1lnlnln

1ln

ln

1ln)1(lnln

)1()1(

( ) ( )( )i

VAVFn+−

=1ln

lnln


Solution générale


28


)ln()ln()ln()ln()ln(

)ln()ln()/ln()ln()ln()ln(

)ln(

)0)ln(

yxyxyxy

yxyxyxyx

xe

xxe

x

x

x

×≠+×=

−=+=×

=

>= (

Rappel sur le logarithme

Les propriétés suivantes sont utilisés en finance:


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Solution de l’exemple :

Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Milliond ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix del’immobilier reste constant et que vous pouvez placer votre argent à8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cetappartement ?

Vous avez besoin d’environ trois ans

( ) 89,208,01ln

ln=

+

= 000 80000 100

n



30


Modalités de calcul des taux d’intérêts

1. Intérêts simples et intérêts composés

L’intérêt est dit simple lorsqu’il est payé en une seule fois et qu’ilest proportionnel à la durée du placement.

Par opposition, capital et intérêts peuvent être additionnés pourfournir un nouveau capital procurant de l’intérêt au cours de lapériode suivante. La différence entre la valeur acquise et le capitalde départ est alors appelée intérêts composés.


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2. Intérêts précomptés ou post-comptés

Les intérêts sont à terme à échoir ou précomptés lorsque leurmontant est soustrait de la somme empruntée lors du prêt.

On dit que les intérêts sont à terme échu lorsqu’ils sont post-comptés : Leur paiement intervient avec le remboursement de lasomme en fin de période.


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Exemple:

Vous placez une somme d ’argent sur cinq ans à 3% par an avecdes intérêts simples à terme échu.Quel est le taux annuel équivalent de ce placement, i.e. le tauxd ’intérêt composé qui vous donne la même richesse dans cinqans?

Exemple:La Banque A vous offre un prêt sur une année avec un tauxd ’intérêt de 8% précompté. La Banque B offre 9% à terme échu.Quelle est la meilleure offre?


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3. Le cas des périodes inférieures à l’année : tauxéquivalent et taux proportionnel

Le taux d’intérêt est généralement donné en base annuelle. Ilexiste plusieurs façons d ’appliquer un taux annuel à des périodesinférieures à l’année.

Le taux proportionnel Le taux équivalent


34


12A

mii =

4A

Tii =

Le taux proportionnel

Souvent dans la pratique, les taux sont affichés entaux proportionnels. Dans ce cas, pour un placementd’une durée inférieure à une année, un simple pro ratadu taux d’intérêt annuel est versé. Par exemple le tauxproportionnel mensuel est

Le taux proportionnel trimestriel est


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Le taux proportionnel

Exemple :Votre banquier accepte de vous prêter 10 000 € au taux annuel de12%, avec un versement mensuel des intérêts.

Calculez le taux proportionnel mensuel.Calculez quel montant d ’intérêts devra être versé chaque mois.

Si, au lieu d ’exiger le versement des intérêts chaque mois, votrebanquier accepte que ces intérêts mensuels soient capitalisés, etque le paiement se fasse au bout d ’un an, combien devrez-vous ?A quel taux d ’intérêt annuel cela est-il équivalent ?


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( ) ( ) 1111

)1(1

12121

12

−+=−+=

⇔+=+

AAm

mA

iii

ii

Le taux équivalent

Deux taux d’intérêt se rapportant à différentes périodes sont ditséquivalents si, avec capitalisation des intérêts, ils procurent desvaleurs futures identiques au terme de la même durée deplacement.

Ainsi, par exemple le taux mensuel (im) équivalent autaux d’intérêt annuel iA résulte de l’égalité suivante :


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Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la duréedu placement.

En général le taux annuel équivalent iequ d’un taux affiché en tauxproportionnel iprop composé en n périodes est de

Le taux équivalent est toujours supérieurau taux proportionnel.

La différence s ’accroît avec la fréquence de capitalisation.

11 −

+=

nprop

equ ni

i

Le taux équivalent


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Exemple: Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel dei=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes

Fréquence decapitalisation

Tauxproportionnel

Taux annueléquivalent

1 18.00% 18.00%

2 9.00% 18.81%

4 4.50% 19.25%

12 1.50% 19.56%

52 0.35% 19.68%

365 0.05% 19.72%

Taux équivalent

11

1811

−

+=

12

1812

−

+=

14

1814

−

+=

112181

12

−

+=

152181

52

−

+=

1365181

365

−

+=


39


Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisésur un nombre croissant de périodes

Fréquence decapitalisation

Taux annueléquivalent

365 19.7164%

3650 19.7212%

…

infini 19.7217%

1365181

365−

+=

11 −

+=

∞→

m

m miLim

Taux équivalent

13650

1813650

−

+=

Taux d ’intérêt continu 1−= ie


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Taux proportionnel et taux équivalent

Exemple:

La banque A propose d’emprunter à un taux de 6% par ancapitalisé semestriellement, la banque B offre 5.95% capitalisémensuellement et la banque C offre 5.9% capitalisé en continu.

Quelle est la meilleure offre?


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Taux équivalent et taux effectif

Vous hésitez entre placer votre argent auprès d’une banque quivous servira un intérêt de 8%, capitalisé annuellement (Banca), etune banque qui vous donnera un intérêt de 7,5% par an, capitaliséquotidiennement (Banco).

En vous fondant sur les taux effectifs annuels, quelle banquechoisissez-vous ?

Banca ne vous propose ce taux d’intérêt que si vous vous engagezà laisser votre argent bloqué sur une année. Si vous retirez votreargent avant la fin de l’année, vous perdrez les intérêts de l’année.

Comment allez-vous intégrer cette information supplémentaire dansvotre prise de décision ?


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Le taux nominal exprime le rendement en argent. C’est le tauxgénéralement indiqué.Pour connaître l ’augmentation de votre pouvoir d ’achat dans unenvironnement inflationniste il convient de calculer le taux réel.

Approximation:

Toujours actualiser des flux nominaux avec le taux nominalet les flux réels avec le taux réel.

inflationd'taux +1nominaltaux +1=réeltaux 1+

inflationd'taux - nominaltaux réeltaux ≈

Taux d ’intérêt et inflation


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Taux d’intérêt après impôt =

Taux d’intérêt avant impôt x (1–Taux d’imposition)

T aux d ’intérêt et fiscalité

L’impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pourles décisions personnelles) réduit la rémunération après impôt devotre placement.Votre rémunération nette d’impôt (ou rémunération après impôt)représente ce que vous recevrez réellement après avoir payél’impôt sur cette rémunération.


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Taux d’intérêt et fiscalité

Exemple :

Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus.Vous placez 1 000 € sur un compte qui rapporte du 8% annuel.

Quel est le taux de rémunération effectif de votre placement ?


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Prélude à l’annuité constante

Exemple :

Vous voulez créer un fonds qui vous procure 1 000 euros par anpendant quatre ans, date à laquelle il ne restera plus rien.Combien devez-vous placer initialement dans ce fonds si le tauxd’intérêt est de 10% par an ?

Réfléchissez au moyen de résoudre ce problème de mathématiquesfinancières.


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L’annuité constante

Exemple :

Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel.Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochainesannées, avec 5 annuités identiques.

Quelle est la valeur d ’une annuité ?


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A A A A A

0 1 2 3 4 5

Valeur actuelle des remboursements ?

iiAVA

n−+−⋅=

)1(1

On connaît VA (10 000) et on cherche A.

L’annuité constante


48


niiMA −+−

⋅=)1(1

Avec A = annuité constante

M = Montant emprunté

i = taux d ’intérêt par période

n = nombre de périodes

Formule de l ’annuité constante


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56,504 2)08,1(1

08,0.000 10)1(1 5 =−

=+−

⋅= −−niiMA

Application

Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel.Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochainesannées, avec 5 annuités identiques.

Quelle est la valeur d ’une annuité ?


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Amortissement d ’un emprunt

Exemple :

Vous empruntez 300 000 F pour payer vos frais annuels descolarité ainsi que quelques dépenses somptuaires. Leremboursement se fait par annuités constantes sur les 4prochaines années, au taux - préférentiel - de 5.43% horsassurance, soit 10.60% tout compris.

Bâtissez le tableau d'amortissement de l'emprunt.


51


33,873 95)106,1(1

106,0.000 300)1(1 4 =−

=+−

⋅= −−niiMA

Calcul de l’annuité constante


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Tableau d ’amortissement

Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts remboursement Reste à en principal rembourser

1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 64 073,33 235 926,67 2 95 873,33 3 95 873,33 4 95 873,33

Intérêts =

Capital initial x 8%

Répartition de l ’annuité entreintérêts et remboursement en

capital


53


Tableau d ’amortissement

Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts remboursement Reste à en principal rembourser

1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 64 073,33 235 926,67 2 235 926,67 95 873,33 25 008,23 70 865,11 165 061,56 3 165 061,56 95 873,33 17 496,53 78 376,81 86 684,75 4 86 684,75 95 873,33 9 188,58 86 684,75 0,00

Validation

Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts Part des intérêts Reste à dans l'annuité rembourser

1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 33,2% 299 999,67 2 299 999,67 95 873,33 25 008,23 26,1% 299 999,41 3 299 999,41 95 873,33 17 496,53 18,2% 299 999,22 4 299 999,22 95 873,33 9 188,58 9,6% 299 999,13


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Amortissement d ’un emprunt

Vous négociez un remboursement non point sur 4 ans, mais sur 50ans.

Quel sera le capital restant dû à l'issue du 25ème versement ?Commentez.


55


Chi va piano va sano

Vous voulez acheter une voiture de 20 000 euros et vous hésitezentre deux modes de financement :soit vous empruntez la somme totale au taux de 4% annuel,soit on vous réduit le prix de 1 500 euros et vous empruntez lereste à votre banque au taux de 9,5% par an.Les deux emprunts sont remboursables par mensualitésconstantes sur trois ans.

Quel financement choisissez-vous ?


56


Evaluation d ’une obligation

Définition : Une obligation est un titre de dette, émis par une

société ou par l’Etat, avec les caractéristiquessuivantes :

montant emprunté (nominal)

taux d ’intérêt (taux nominal)

modalité de paiement des intérêts (coupons)

échéance (ou maturité)


57



Exemple : Emission d ’un emprunt obligataire avec les

caractéristiques suivantes :

nominal 1000 eurostaux nominal 5,625%échéance 5 anspaiement des coupons chaque annéeremboursement à l ’échéance


58


56,25

0 1 2 3 4 5

56,25 56,25 56,25 56,25

+ 1 000Si le taux du marché obligataire est à 5,625% :

?%)625,51(

0001%625,5

%)625,51(125,56

%)625,51(0001

%)625,51(125,56

%)625,51(0001

%)625,51(25,56...

%)625,51(25,56

%625,5125,56

5

5

5

5

1

552

=+

++−

⋅=

++

+⋅=

++

+++

++

+=

−

=∑

kk

VA



59


56,25

0 1 2 3 4 5

56,25 56,25 56,25 56,25

+ 1 000Si le taux du marché obligataire passe à 6%,comment va évoluer la valeur actuelle del ’obligation ?

?%)61(

0001%6

%)61(125,56

%)61(0001

%)61(125,56

%)61(0001

%)61(25,56...

%)61(25,56

%6125,56

5

5

5

5

1

552

=+

++−

⋅=

++

+⋅=

++

+++

++

+=

−

=∑

kk

VA



60



Quand les taux montent, le cours des obligationsordinaires (« à coupons ») baisse, et inversement.

Explication en terme de Valeur Actuelle

Explication en terme de bon sens

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