Cours de mathématiques – Première STI2D – Chapitre 5 : Les suites

CHAPITRE 5 – LES SUITES

A) Notion de suite

1) Exemples de suites

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ? (7) (+1)

b) 1, 4, 9, 16, 25, ? (36) Carrés

c) 3, 7, 11, 15, 19, ? (23) (+4)

d) 2, 6, 18, 54, 162, ? (486) (x 3)

e) 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, ? (23) Premiers

f) 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, ? (13112221) (un 3 un 1 deux 2 deux 1)

2) Définition

Une suite est une fonction qui à tout entier naturel n associe un réel un.Autrement dit, c’est un ensemble ordonné de nombres construits selon une règle précise.

3) Notations

On note non pas u(n) mais un le terme de rang n.On peut commencer par u0 ou par u1 selon les cas.Le terme de rang n sera donc nième terme de la suite si elle commence par u1, et le n+1ème si la suite commence par u0.Les suites elles-mêmes se notent (un) ou (un)nєN ou encore (un)n≥0 ou (un)n≥1 quand on veut préciser si on commence à 0 ou à 1.

Exemples :

a) u0 = 1, u1 = 2, u2 = 3 etc...b) u0 = 1, u1 = 4, u2 = 9 etc...c) u1 = 3, u2 = 7, u3 = 11 etc... (en commençant à 1 ici)d) etc...

4) Règles de construction de suites

Il y a plusieurs façons de définir une suite, c’est à dire de définir la fonction f : n → un = f(n).Nous mentionneront seulement les deux façons les plus courantes.

a) Définition explicite

On définit directement f, par exemple :

un=n+3

21,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 etc...

un=2 n−1n+1

-1 ; 0,5 ; 1 ; 1,25 ; 1,4 etc...

un=n2 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 etc...

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b) Définition par récurrence

On donne le (ou les) premiers termes et une règle pour construire le suivant.

Exemples :I) u0 = 2 et un+1 = 3 un – 1 2 ; 5 ; 14 ; 41 ; 122 ; etc...II) u0 = 1, u1 = 1 et un+1 = un + 2 un-1 – 1 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 11 ; etc...

(on voit ici que la récurrence peut se faire sur plusieurs termes successifs)

B) Approche graphique

1 ) Objectif de cette approche

Un graphique permet de prévoir diverses choses sur le comportement des suites : croissance oudécroissance, tendance quand n devient très grand, comparaison entre plusieurs suites.

2) Modes de représentation possibles

a) Représentation directe

On représente les points de coordonnées (n ; un) sur un plan, et on les relie, dessinant ainsi une courbe quireprésente l'évolution de la suite.

Ceci est particulièrement aisé lorsque la suit est définie par une formule explicite du type un+1 = f(n). Ilsuffit alors de tracer la courbe de la fonction f.

On voit bien ainsi l'évolution des valeurs de la suite, qui correspondent aux ordonnées des points .

b) Représentation en cas de définition par récurrence

Dans ce cas, une autre représentation est préférable.

En particulier, lorsqu’on définit le terme général un de la suite par une fonction du terme précédent un-1,soit un+1 = f(un), il est plus intéressant de faire la représentation suivante : on trace la droite y=x (premièrediagonale), et on trace aussi la fonction f(x) utilisée pour un = f(un-1).

On place alors le premier point sur l’axe des abscisses , soit U0(u0 ; 0), on construit ensuite chaque pointsuivant en traçant la verticale passant par Un jusqu’à la courbe de f(x), puis l’horizontale jusqu’à la droitey=x et enfin en redescendant verticalement vers l’axe des abscisses (voir exemple).

Dans ce cas, les valeurs de la suite correspondent aux abscisses des points.

De proche en proche, on voit si la suite va se rapprocher d'une valeur ou au contraire s'éloigner à l'infini.

Il peut arriver que cela dépende du point de départ, c’est à dire de la valeur de u0.

3 ) Exemples d’application

a) un=1

n+1 : définition directe, donc représentation par la fonction f (x )=1

x+1 .

Le graphique montre que l’ordonnée de chaque point diminue tout en restant positive. On peut démontrer qu’effectivement les valeurs de cette suite sont décroissantes et se rapprochent de zéro.

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b) u0=5 , un=√un−1+3 : on trace donc la droite y=x et la courbe f (x )=√ x+3 .

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On voit ici que les valeurs de la suite vont en croissant et se rapprocheront de la valeur correspondant à l'abscisse du point d'intersection A des deux courbes, c'est à dire à la solution de l'équation f(x) = x, ou encore ici x=√ x+3.

Trouver cette valeur de x !

c) un=5+3

(n+1)2

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On voit ici que cette suite est décroissante, minorée par 5, qu’elle se rapproche de plus en plus de 5.

d) u0 = 1 ; un+1 = -un / 3

e) u0 = 1 ; un+1 = -un

f) u0 = 1 ; un+1 = 1 + un

g) u0 = 1 ; un+1 = un - 2

h) u0 = 1/3 ; un+1 = 25 un - 8

Attention, cette dernière suite peut être trompeuse :

- En calculant avec 3 décimales : (u0 = 0,333 u1 = 0,325 u2 = 0,125 u3 = - 4,875 u4 = - 129,875)

Comportement de la suite ?

- En calculant en valeur réelle : (u0 = 1/3 u1 = 1/3 u2 = 1/3 etc...)

Comportement véritable de la suite ?

Conclusion : attention aux arrondis intermédiaires !

En fait, cette suite est constante si on part de 1/3, et part vers moins l'infini si on part d'un nombre plus petit...

Question : et si on part d'un nombre plus grand ?

C) Suites arithmétiques

1) Définition

Une suite (un) est dite arithmétique lorsqu’il existe un réel r tel que pour tout n,

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un+1=un+r (Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant la constante r)

Le nombre r s’appelle la «raison» de la suite et u0 (ou u1) le «premier terme» de la suite.

La suite est totalement définie par son premier terme et sa raison.

2) Exemples

u0 = 1, r = 2 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; … Suite des nombres impairs

u0 = π/2, r = π π/2 ; 3π/2 ; 5π/2 ; … Nombres positifs annulant cos(x)

u0 = -2, r = 1,5 -2 ; -0,5 ; 1 ; 2,5 ; …

u0 = 5, r = -2 5 ; 3; 1 ; -1 ; -3 ; …

u0 = 1, r = 1/3 1 ; 4/3 ; 5/3 ; 2 ; …

3) Formules à connaître

a) Formule du terme général

un=u0+n rCette formule se démontre par récurrence :

Une démonstration peut se faire "par récurrence", à condition de la faire ainsi :

Soit une "suite" de propriétés (ou d'affirmations) (Pn).

Si P0 (ou P1) est vraie et si pour tout n, Pn est vraie => Pn+1 est vraie,

Alors Pn est vraie pour tout n.

Remarquons qu'il y a toujours trois parties dans cette démonstration :

1. la condition initiale (P0 est vraie),

2. la propriété d'hérédité (Si Pn est vraie, Alors Pn+1 sera vraie),

3. et la conclusion (Donc, Pn est vraie pour tout n).

Appliquons ce principe à notre problème, la propriété Pn étant ici un=u0+nr :

1. Pn est vraie pour n = 0 car u0 = u0 + 0 r !

2. Supposons que Pn soit vraie pour n, on va prouver qu'elle est vraie pour n + 1 :

On aura un+1 = un + r = u0 + n r + r = u0 + (n + 1)r

Si Pn est vraie, Pn+1 sera donc vraie aussi : c'est héréditaire.

3. Comme c'est héréditaire et que c’est vrai pour n = 0, c’est vrai pour tout n.

Remarque :

Si on commence par u1 et non par u0, la formule devient un=u1+(n−1) r .

b) Relation entre deux termes

un=u p+(n – p)r

Cette formule se déduit assez facilement de la formule du terme général :

un – u p=(u0+n r) – (u0+ pr )=u0+n r – u0 – p r=n r – pr=(n – p)r d'où un=u p+(n – p)r .

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4) Comportement de la suite

Un graphique direct montre que la courbe est une droite car f(x) = u0 + r x.

Si r < 0, la droite descend, donc les valeurs vont aller en décroissant vers -∞.

Si r > 0, la droite monte donc les valeurs vont aller en croissant vers +∞.

D) Suites géométriques

1) Définition

Une suite (un) est dite géométrique s’il existe un réel q tel que pour tout n entier naturel,

on ait un+1=q un (Chaque terme se déduit du précédent en multipliant par la constante q)

Le réel q est appelé la raison de la suite.

La suite est entièrement définie par son premier terme et sa raison.

2) Exemples

a) u0 = 1, q = 2 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …

b) Soit un capital de 100 000 F placé à 10% par an, avec capitalisation annuelle.

Vérifier que la suite des soldes anniversaires de capital est une suite géométrique (vn) de raison 1,10 (d'abord en calculant les quatre premiers, puis en le démontrant).

(100 000 ; 110 000 ; 121 000 ; 133 100)

c) La population d'une ville décroît de 2% tous les ans depuis 2000 où elle se montait à 300 000 personnes.

Prouver que cela donne une suite géométrique et en trouver la raison.

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3) Relations entre les termes

a) Formules

Terme général : (1) un=qnu0

Relation entre deux termes : (2) un=qn – p u p

→ Démontrer la relation (1) par récurrence.→ Démontrer (2) à partir de (1)

Remarque :

Si on commence par u1 et non par u0, la formule (1) devient : un=qn−1u1 .

b) Exemples

. Dans les quatre suites définies en D2), calculer u5 et u10.

(u5 = 32 et u10 = 1024 ; u5 = 161 051 et u10 = 259374 ; etc...)

. Trouver u0 et q dans la suite géométrique où u5 = 120 et u7 = 30.

4) Comportement de s suite s géométriques

Un graphique direct montre des courbes (ici avec q > 0) et donc des comportements différents selon que la raison q est comprise entre 0 et 1 ou plus grand que 1.

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Fiche de Révision – Les Suites

Approche graphique

Directe Par récurrence

Suites arithmétiques

Définition Terme général Relation entre 2 termes

un+1=un+r un=u0+n r un=u p+(n – p)r

Condition Variation Limite

Si r > 0 Croissante + ∞

Si r < 0 Décroissante - ∞

Suites géométriques

Définition Terme général Relation entre 2 termes

un+1=un×q un=u0×qn un=u p×q( n– p )

Si u0 > 0 :

Condition Variation Signe Limite

Si q > 1 Croissante + + ∞

Si 0 < q < 1 Décroissante + 0

Si -1 < q < 0 Changeante Alterné 0

Si q < -1 Changeante Alterné Pas de limite

Si u0 < 0 :

Condition Variation Signe Limite

Si q > 1 Décroissante - - ∞

Si 0 < q < 1 Croissante - 0

Si -1 < q < 0 Changeante Alterné 0

Si q < -1 Changeante Alterné Pas de limite

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