Chapitre 5 Systeme de Premier Ordre

7/23/2019 Chapitre 5 Systeme de Premier Ordre

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Cours Automatique Niveau : 2

ISET NABEUL - 43 - CHELBI Hassen

Unité d’enseignement : Automatique 1

ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires

Chapitre 5

Système de 1er

Ordre

Nombre d’heures/chapitre : 3h

Cours intégré

Système d’évaluation : Continu

OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :

-Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes

CONTENU THEORIQUE :

Dans ce chapitre on définie un système de 1er ordre tout en donnant leur caractéristiques selon les

réponses de ce système à quelques signaux canoniques comme une impulsion et un échelon tout en

détaillant par des applications explicatifs.

En second lieu on définie le système de 1er ordre généralisé tout en montrant sa réponse indicielle





Chapitre 5

Système de 1er

Ordre

1. Définition

Un système est dit de 1er ordre s’il est décrit par une équation différentielle de la forme :

)()( t ket ydt

dy=+τ )()()( pkE pY p pY =+τ

p

k

p E

pY p H

τ +==

1)(

)()(

K : gain statique

τ: constante du temps.

2. Réponse d’un système de 1er

ordre à quelques signaux canoniques

2.1.Réponse à un échelon

p

k

p E

pY

τ +=

1)(

)( )(

1)( p E

p

k pY

τ +=

p p E

1)( =

( ) p p

k pY

τ +=

1)( donc )1()( τ

t

ek t y−

−=

* si ;0→t 0)( →t y

** si ;∞→t k t y →)()( lim t yk = pour )(1)( t ut e =

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

temps

y ( t )

63%

T

Fig.5.1 : Réponse indicielle d’un système de 1er ordre (KE=1).





*** )()( t Eut e = ( ) p p

kE pY

τ +=

1)( )1()( τ

t

ekE t y−

−=

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y ( t )

temps

kE=

63%kE

T

Fig.5.2 : Réponse indicielle d’un système de 1er or ordre (KE=1).

)(lim)( lim)( p pY t ykE y ===∞

2.2.Réponse à une impulsion 0 pour1)()( === t t t e δ

p

k

p E

pY

τ +=

1)(

)( )(

1)( p E

p

k pY

τ +=

1)( = p E

+

=+

=

p

k

p

k pY

τ

τ τ 1

1.

1)( donc τ

τ

t

ek

t y−

=)(





0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

temps

y ( t )

kE/T=

37%KE/T

Réponse impulsionnelle

d'un système de 1er ordre

Fig.5.3 : Réponse impulsionnelle d’un système de 1er ordre (KE=10).

* si ;0→t τ

k t y →)(

** si ;∞→t 0)( →t y

*** E t =)(δ p

kE pY

τ +=

1)( τ

τ

t

ekE

t y−

=)(

2.3. Applications

Exercice 1

Soit le montage RC suivant :

Fig.5.4 : Circuit RC série.

1. Déterminer)(

)()(

p E

pV p H s

=

2. Déduire la nature du système ainsi que ses paramètres caractéristiques en fonction de R et C.

3.

Pour Ω== 100),(10)( Rt ut e et F C µ 1= ; calculer et tracer vs(t).

e(t)

I

I

vs(t)

R

C





Correction

1. )()()( t vt Rit e s+=

)()()( t vdt

t dv RC t e s

s+= )()()( pV p RCV p E s s +=

Donc RCp p E

pV p H s

+==

1

1

)(

)()(

2.

C’est un système de 1er ordre avec k=1 et RC =τ

3. )(

1

1)( p E

RCp

pV s+

= avec

p

p E 10

)( = ; s x RC 46

1010100 −−===τ

)101(

10)(

4 p p pV s −

+= )1(10)(

410−−

−=

t

s et v )1(10)(410 t

s et v −−=

0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0,

2,

4,

6,

8,

10,

12,Réponse indicielle (T=0.0001s et KE=10)

63%KE=6.3

T=0.0001s

Fig.5.5 : Réponse indicielle (KE=10).

τ=0.0001s





Exercice 2

1.

Soit le montage RL suivant :

Fig.5.6 : Circuit RL série.

2. Déterminer)(

)()(

p E

pV p H s

=

3. Représenter vs(t) pour Ω== 100),(2)( Rt ut e et mH L 1=

Correction

1.

)()()( t vt Rit e s+=

dt

t di Lt v s

)()( = = dt t v

Lt i s )(

1)(

)()()( t vdt t v L

Rt e s s += )()()( pV pV

Lp

R p E s s +=

)()1()( pV Lp

R p E s+=

p

R

L

p R

L

Lp

R p E

pV s

+

=

+

=

11

1

)(

)(

Donc

p R

L

p R

L

p E

pV p H s

+

==

1)(

)()( avec k=1 et

R

L

R

L== 21 et τ τ .

3. Système de 1er

ordre généralisé

3.1.Définition

Un système de 1er ordre généralisé est décrit par l’équation différentielle suivante :

)]()(

[)( 12 t edt

t dek t y

dt

dy+=+ τ τ

)]()([)()( 12 p E p pE k pY p pY +=+ τ τ

]1)[(]1)[( 12 +=+ p pkE p pY τ τ

)1

1(

)(

)()(

2

1

p

pk

p E

pY p H

τ

τ

+

+==

Soit 21 ατ τ = ; alors )1

1

()( 2

2

p

p

k p H τ

ατ

+

+=

e(t)

I

vs(t)

R

L





3.2. Exercice

Déterminer et représenter la réponse à un échelon de vitesse (rampe) d’un système de 1er ordre dont

la fonction de transfert est : p

k p H

τ +=

1)( .

4. Réponse indicielle

)(1

1)(

2

2 p E p

pk pY

τ

ατ

+

+=

p

E

p

pk pY 0

2

2

1

1)(

τ

ατ

+

+=

p

kE

p

kE pY

2

020

1

)1()(

τ

τ α

+

−+=

))1()1()( 22

020

τ τ τ α

t t

ekE ekE t y−−

+−−=

* si ;0→t [ ] α α 00 )1(1)( kE kE t y =−+=

** si ;∞→t 0)( kE t y =

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

temps

y ( t )

Réponse indicielle d'un système de 1er ordre généralisé

alpha=2

alpha=0,5

alpha=1,5

Fig.5.7 : Réponses indicielles d’un système 1er ordre généralisé pour différentes valeurs de α.

−+=

−

2)1(1)( 0

τ α

t

ekE t y

+−=

−−

221)( 0

τ τ α

t t

eekE t y





Exercices d’application

Déterminer la fonction de transfert des montages suivants :

1. Système de 1 er ordre àavance de phase

Fig.5.8

)()()( t st vt e +=

)()()( p I pV p E = avecCp R

R p Z

1

1

1)(

+= ,

2

)()(

R

pS p I = et )()()( p I p Z pV =

)()1)(

()(2

pS R

p Z p E +=

Cp R R R R

Cp R R

Cp R

R R

R

p Z R

R

p E

pS p H

2121

12

1

12

2

2

2 )1(

1

)()(

)()(

++

+=

++

=+

==

Cp R R

R R

Cp R

R R

R p H

21

21

1

21

2

1

1.)(

++

+

+=

21

2

R R

Rk

+= ; C R11 =τ ; C

R R

R R

21

212+

=τ

12 ατ τ = 112

1

2

21

2

1>+=

+==

R

R

R

R Rα

τ

τ

Donc c’est un système de 1er ordre à avance de phase.

2. Système àretard de phase

Fig.5.9

)()()( 1 t st i Rt e +=

)(

)(

)( p Z

pS

p I =

où Cp

Cp R

Cp R p Z

11

)(

2

2

+=+=

)()1()( 1 pS Z

R p E +=

e(t)

i(t)

s(t)

R 1

C R 2

e(t)

i(t)

s(t)

R 1

C

R 2





Cp R R

Cp R

Cp

Cp R R

Cp

Cp R

Z R

Z

p E

pS p H

)(1

1

1

1

)(

)()(

21

2

21

2

1 ++

+=

++

+

=+

==

Cp R R

Cp R p H

)(1

1)(

21

2

++

+=

C R21 =τ ; C R R )( 212 +=τ

12 ατ τ = 121

2

2

1<

+==

R R

Rα

τ

τ

Donc c’est un système de 1er ordre à retard de phase.

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Chapitre 5 Systeme de Premier Ordre