Chapitre 6 fonction exponentielle

Lycée Berthelot L.Gulli Page 1 sur 8 Chapitre 6 Fonction exponentielle

Chapitre 6 : Fonction exponentielle 1 Définition de la fonction exponentielle : 1.1 Activité préparatoire à la définition de la fonction exponentielle Symétrie par rapport à la droite d’équation y = x Tracer un repère orthonormal (unité 1cm) Placer les points A(1 ; -5), B(5 ; -1), C(0 ; -2), D(-5 ; 1) ; F(-1 ;5), G(2 ; 1) et H(-2 ; 0). Tracer la droit (d) d’équation y=x Tracer les symétriques de A, B, C et D par rapport à la droite (d) ? Que constate-t-on pour leurs coordonnées ? M(x ;y) est un point quelconque, Quelles sont les coordonnées de M’ symétrique de M par rapport à (d) ? Compléter le tableau suivant : x 1/3 1/2 1 2 e 4 10

)xln(

à l’aide de ces points tracer la courbe C repésentative de )xln(y =

Tracer la courbe C’ image de C par la symétrie d’axe (d) d’équation y=x ( C’ ) est la courbe de la fonction appelée fonction exponentielle et notée exp. Par lecture graphique, conjecturer :

• L’ensemble de définition de exp ; Le signe de exp(x) • Les limites de exp aux bornes de son ensemble de définition

1.2Définition : La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction définie sur R par

] [

=+∞→

)xexp(yx

;R

a

0où )xexp(y = signifie que x)yln( =

1.3 Conséquences de la définition

1.3.1 Notation le nombre )xexp( est aussi noté xe

1.3.2 Propriétés fondamentales:

pour tout x ∈R, et pour tout 0>y : )xexp(y = ⇔ )yln(x =

pour tout x ∈R, x))xln(exp( = (ou ( ) xeln x = )

pour tout 0>y y))yexp(ln( = (ou ye )yln( = )

10 =e ; ee =1 2 Dérivée de la fonction exponentielle : 2.1 Activité préparatoire à la dérivée de la fonction exponentielle En utilisant la calculatrice, Tabuler dans Y1 la fonction Xe , et dans Y2 la fonction Nbredérivé(Y1,X,X), faire afficher les tables de valeurs pour X=0,1,2,…,10 Que constate-t-on ? 2.2 Théorème . (admis) La fonction )xexp()x(f = est dérivable sur R et pour tout x ∈R, )xexp()x('f =

2.3 Variations de )xexp()x(f =

La fonction )xexp()x(f = est strictement croissante sur R

2.3 Limites de l’exponentielle.

Nous admettrons les résultats suivants : 0=−∞→

x

xelim ; +∞=

+∞→

x

xelim .

2.4 Tableau de variations de )xexp()x(f =


x ∞− 0 1 ∞+ xe)x('f = ┼┼┼┼

xe)x(f = ∞+

1 72,e≈

0 2.5 Représentation graphique : La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, cela se traduit graphiquement par le fait que les courbes de ces deux fonctions sont symétriques l’une de l’autre par rapport à la droite d’équation y = x. L’axe des x, d’équation y=0 est asymptote A la courbe en ∞− . La tangente à la courbe au point d’abscisse x=0 a pour équation y=x+1

y=exp(x)

y=x+1

2 3 4-1-2-3

2

3

4

5

6

7

8

-1

0 1

1

x

y

3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle. 3.1 Activité préparatoire. Exponentielle d’une somme, d’un opposé, d’une différence. Dans le tableau ci- dessous

a 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2

b 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3

Recopier les valeurs de a dans la liste L1 et celles de b dans L2. a) Ecrire respectivement en L3, L4, exp(a) ×exp(b) ; exp( a + b) ; comparer, conjecturer.

b) en prenant ab −= comparer 1/exp(a) ; exp( -a) . En utilisant les résultats a) et b) que peut-on conjecturer pour exp( a - b) ? 3.2 Propriétés algébriques 3.2.1 Exponentielle d’une somme :

Pour tout réel et tout réel : a b a ba b e e e+ = ×

Généralisation : 1 2 1 2...1 2Pour tout réel , ,..., et tout entier 2, ...n na a a aa a

na a a n e e e e+ + +≥ = × × ×

Cas particulier :: ( )Pour tout réel et pour tout entier relatif :na ana n e e=

Exemples : ex+ ln(4)=exeln(4)=4ex ; 7e2x = eln(7)e2x=e2x+ln(7) ; e5x+3=e5xe3;(ex)2=e2x

3.2.2 Exponentielle d’une différence : 1Pour tout réel et tout réel : ;

aa a b

a b

ea b e e

e e− −= =

Exemples :

3 15 4 3 1 2 7 8

5 4 2 7

1 ; ;

x xx x x x

x

e ee e e e

e e e

+− − + − + +

−= = = =

3.2.3 Equations et inéquations Propriétés : et sont des réels, a b a ba b a b e e a b e e= ⇔ = < ⇔ < ; Exemple : Résoudre dans R les équations et inéquations

6=xe ; 1≤xe ; 03 ≥+xe ; 043 =+− )e)(e( xx ; 023 2 =−+ xx ee

4. Fonction )x(ue)x(f =


4.1 Limites de )x(ue)x(f = :

Exemples : Calculer la limite aux de l’intervalle I de la fonction f : 73 +−= xe)x(f ; RI =

1

4

+= xe)x(f ; ] [+∞= ;I 1 ; 13 ++= x²xe)x(f ; RI =

4.2 Dérivée de )x(ue)x(f =

Propriété : Si pour tout x∈I, u(x) est dérivable alors f est dérivable sur I et pour tout x∈I

( )( ) ( )'( ) ' '( )u x u xf x e u x e= = ×

Etude des dérivées des 3 exemples précédents.

4.3 Exemple d’étude de fonction contenant )x(ue Partie A - Étude d’une fonction Soit la fonction numérique f définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = x −1,5+e−x+1. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé . 1. a. Résoudre dans R l’équation 1−e−x+1 = 0. b. Résoudre dans R l’inéquation 1−e−x+1 >0. 2. a. Étudier la limite de f en +∞. b. Vérifier que f ′(x) = 1−e−x+1. À l’aide de la question précédente, dresser le tableau des variations de la fonction f sur [0 ; +∞[. 3. Montrer que la droite (d) d’équation y = x −1,5 est asymptote à la courbe C . 4. a. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T au point d’abscisse0. b. Tracer la droite (d) , la courbe C et la tangente T. Partie B – Application économique Une entreprise fabrique un produit. Le coût total de fabrication d’un produit est donné par la fonction f précédente, où x est exprimé en tonnes et f (x) est exprimé en milliers d’euros. 1. Quelle quantité de produit faut-il fabriquer pour que le coût total de fabrication soit minimal ? 2. Une tonne de produit est vendue 750€. a. On appelle R(x) la recette exprimée en milliers d’euros procurée par la vente de x tonnes de produit. Justifier que R(x) = 0,75x. b. Exprimer le bénéfice B(x) en fonction de x. c. On donne le signe de l’expression −0,25+e−x+1 dans le tableau suivant :

On ne demande pas de justifier ce tableau. Déterminer la production donnant le bénéfice

maximum; on donnera le résultat à 10−3 près. 5. Primitives 5.1 Primitive de ex

Propriété : Toutes les primitives sur R de xe)x(f = sont les fonctions Ce)x(F x += , où C est

une constante réelle quelconque. Exemple : Déterminer la primitive F de f définie sur R par f(x)= ex, telle que F(-5)= 0

5.2 Primitives de )x(eu)x('u)x(f =

Propriété : Si u est dérivable sur I alors toutes les primitives sur I de )x(eu)x('u)x(f = sont les

fonctions Ce)x(F )x(u += , où C est une constante réelle quelconque.

Exemples: Déterminer la primitive F de f définie sur R par f(x)= e-3x+7 , telle que F(-5)= 0


Déterminer la primitive F sur

+∞= ;I31

de la fonction f définie par : ( )2

13

4

13

12

−−=

−

x

e)x(f

x

Exemple 3 : déterminer les primitives sur R de f (x) = x −1,5+e−x+1.

6. Théorèmes de croissances comparées. Règles opératoires (admises) Pour tout entier natureln

a) 0=+∞→ nx x

xlnlim b) +∞=

+∞→ n

x

x x

elim

c) 0=∞−→

xn

xexlim

On peut énoncer ces règles sous la forme suivante : a) à l’infini, les puissances de x l’emportent sur le logarithme népérien de x b) et c) à l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur toute puissance de x.

Exemples : f est la fonction définie sur ] [+∞;0 par 3x)xln()x(f −= , )x(flim

x +∞→= ?

g est la fonction définie sur R par ( ) xex²x)x(g 32 −+= , )x(glimx ∞−→

= ?

7 Ajustement exponentiel Exemple : Le but de ce problème est déterminer le prix d’équilibre d’un produit. Rappel : Le prix d’équilibre est obtenu lorsque l’offre et la demande sont égales. Une étude faite sur un produit a donné les résultats suivants (le prix au kilogramme est exprimé en euros, les quantités offre et demande sont exprimées en milliers de kilogramme)

Prix proposé xi

0,3 0,35 0,45 0,65 0,8 1

Demande yi 6,25 4,90 3,75 2,75 2,40 2,25 Offre zi 1,25 1,30 1,30 1,50 1,55 1,60 Représenter dans un repère prenant en abscisse 10 cm 1 € et en ordonnée pour 2 cm pour 1 millier de kilogrammes, les nuages de points associés respectivement aux séries statistiques ( xi ; yi ) et ( xi ; zi )

1. Etude la demande La forme du nuage de points associé à la série ( xi ; yi ) permet d’envisager un ajustement à l’aide d’une fonction exponentielle , on parle alors d’ajustement exponentiel de y en x . Pour cela on pose Yi = ln( yi ). a) Compléter le tableau suivant :

Prix proposé xi

0,3 0,35 0,45 0,65 0,8 1

Demande yi 6,25 4,90 3,75 2,75 2,40 2,25

Yi = ln( yi )

b)Donner une équation de la droite des moindres carrés du nuage de points associé à la série ( xi ; Yi ) c)En déduire, en utilisant Y = ln( y), une estimation de la demande y en fonction du prix x au kilogramme.

2.Etude de l’offreLa forme du nuage de points associé à la série ( xi ; zi ) permet d’envisager un ajustement affine de y en x Donner une équation de la droite des moindres carrés du nuage de points associé à la série ( xi ; zi ) 3.Etude graphique du prix d’équilibre :On considère dans la suite du problème que l’offre et la demande sont respectivement formalisées par les fonctions f et g définies sur [ 0 ; 2 ] par f(x)= e-1,41x+2,08 et g(x)= 0,53x+1,10.


a)Déterminer le sens de variation de f sur [ 0 ; 2] et dresser son tableau de variation. b)Sur le graphique ci-dessus tracer les courbes de f et g. c)Déterminer graphiquement le prix d’équilibre du produit .

4.Etude numérique du prix d’équilibre Soit h la fonction définie sur [ 0 ; 2 ] par h(x) = f(x) – g(x). a)Déterminer le sens de variation de h sur [ 0 ; 2] et dresser son tableau de variation. b)Montrer que l’équation h(x) = 0 a une unique solution sur [0 ; 2 ] ; en donner une valeur approchée à 0,01 près c)Quel est le prix d’équilibre du produit considéré ? Exercices. Exercice 1 :

1 2 ln(2)ln(8) 12 ln(5) 3 ln(3) ln(2) ln(3)21 ln(2)

Simplifier les nombres :3ln( ) ; ; ; ln(2 ) ; .e

e e e e e ee

++ - --

- +

Exercice 2 : calculer les limites suivantes, quelles sont les asymptotes éventuelles ?

( )x

xe²xlim +

+∞→3 ; ( )x

xe²xlim +

−∞→3 ; ( )x

xe²xlim −+

−∞→3 ;

+−

+∞→ 112

x

x

x e

elim ;

+−

−∞→ 112

x

x

x e

elim

Exercice 3 :Résoudre pour tout x réel les équations et inéquations suivantes :

053 =−− )e)(e( xx ; 13 =−xe ;

xx ee 323 −+ = ; 11 <+ )x(xe

Exercice 4 : 1. Quatre écritures d’une même expression On pose pour tout Rx∈ : xx ee)x(A 24 −= (1)

2.Etude de limites : En utilisant une des quatre expressions de A(x), déterminer la limite de A(x) aux bornes de son ensemble de définition. 3.Calcul de la dérivée a .Calculer A’(x). (utiliser l’expression la mieux adaptée au calcul) b. Etudier le signe de A’(x). 4.Calcul de la primitive. Calculer une primitive de A sur R(utiliser l’expression la mieux adaptée au calcul) Exercice 5 : Polynésie juin 2006


Exercice 6 : La Réunion juin 2006

Annexe : Courbes pour la question 1


Exercice 7 : Amérique du sud novembre 2002


Exercice 9 Nouvelle Calédonie avril 2004

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