Fonction exponentielle Fonction exponentielle Les savoir-faire 160 Connaître le sens de variation, le signe et la représentation graphique de exp. 161 Utiliser la

Fonction exponentielle

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Lycée Louise Michel (Gisors)



Les savoir-faire

160 Connaître le sens de variation, le signe et la représentationgraphique de exp.

161 Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.

162 Calculer des limites contenant des exponentielles.

163 Résoudre des équations ou inéquations contenant desexponentielles.

164 Dériver des fonctions contenant des exponentielles.

165 Dém. : Unicité d’une fonction dérivable sur R égale à sa

dérivée et qui vaut 1 en 0.

166 Dém. : Les limites de la fonction exponentielle.



Le problème de Nabolos

Soit f une fonction dérivable sur R vérifiant f (0) = 1 et f ′ = f .L’objectif de la situation est de tracer une approximation de la courbede f .On va construire un nuage de points de coordonnées (xn ; yn), tel queles réels xn appartiennent à l’intervalle [0 ; 2] et par yn soit proche def (xn). Ainsi, le nuage de points (xn ; yn) formera une approximationde la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

1. Traduire que f est dérivable en a ∈ R.En déduire f (a + h) ≃ hf ′(a) + f (a).

Interpréter graphiquement ce résultat endonnant la valeur du point d’interrogation.

2. En déduire f (a + h) ≃ (1 + h)f (a).

Interprétation graphique

a a + h

f (a)

f (a + h)

?

T

0

bA

b

b



L’intro de Nabolos (suite)

3. Soit h un réel fixé, voisin de 0. On construit les suites (xn) et (yn)par :ß

x0 = 0

xn+1 = xn + hetß

y0 = f (0)

yn+1 est la valeur approchée de f (xn+1) obtenue au 2..

Donner la nature de la suite (xn) et montrer que yn+1 = (1 + h)yn.En déduire la nature de la suite (yn).On prend h = 0, 1, recopier et compléter le tableau puis construire lenuage de points.

xn yn

0 1... ...

x20 = y20 ≃ f (x20)



Définition

Propriété

Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle quef (0) = 1 et f ′ = f . Pour tout x ∈ R :

f (x) × f (−x) = 1 et f (x) 6= 0



Définition

Propriété


f (x) × f (−x) = 1 et f (x) 6= 0

Théorème

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telleque f ′ = f et f (0) = 1.



Définition

Propriété


f (x) × f (−x) = 1 et f (x) 6= 0

Théorème

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telleque f ′ = f et f (0) = 1.

Définition

La fonction exponentielle est la fonction notée exp définiesur R par : exp’(x) = exp(x) et exp(0) = 1.



Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :





Pour tout x ∈ R :

exp(−x) = .





Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > .





Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.





Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

Relations fonctionnelles

Pour tous réels x et y :

exp(x + y) = .





Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.



exp(x + y) = exp(x) × exp(y).

exp(x − y) = .





Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.




exp(x − y) =exp(x)

exp(y).

Pour tout n ∈ Z : exp(nx) = .





Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.




exp(x − y) =exp(x)

exp(y).

Pour tout n ∈ Z : exp(nx) = (exp(x))n

.



Notation e

Définition

On note e l’image de 1 par la fonction exp. Ainsi, exp(1) = e.Ce nombre est appelé constante de Neper ou nombre d’Euler.

Remarque : Le nombre e est irrationnel et vautapproximativement 2, 718.



Notation e

Définition



Notation

Pour tout p ∈ Z, exp(p) = exp(p × 1) = (exp(1)p) = ep .

En généralisant cette écriture : pour tout x ∈ R, exp(x) = ex .



Notation e

Définition



Notation

Pour tout p ∈ Z, exp(p) = exp(p × 1) = (exp(1)p) = ep .

En généralisant cette écriture : pour tout x ∈ R, exp(x) = ex .

Exemples

Simplifier les écritures suivantes :

A =e

4× e

4

e5

et B =(

e5)

−6× e

3. Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=qDFjeFyA_OY&index=3&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv&t=0s



Variations

Propriété

La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonction expest strictement croissante sur R.



Variations

Propriété


Conséquences

Pour tous réels a et b :

ea = e

b ⇐⇒ ; ea

< eb ⇐⇒



Variations

Propriété


Conséquences


ea = e

b ⇐⇒ a = b ; ea

< eb ⇐⇒



Variations

Propriété


Conséquences


ea = e

b ⇐⇒ a = b ; ea

< eb ⇐⇒ a < b



Variations

Propriété


Conséquences


ea = e

b ⇐⇒ a = b ; ea

< eb ⇐⇒ a < b

Limites

limx→+∞

ex = +∞ ; lim

x→−∞

ex = 0



Tableau de variations et courbe

x

exp’(x)

exp(x)

−∞ +∞

+

00

+∞+∞

0

1

1

e

−3 −2 −1 1 2

2

3

4

5

O

e0 = 1

e1 = e ≃ 2, 718

y = exp(x)



Exemples

Dérivée

Dériver les fonctions définies par :

1. f (x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3. h(x) =

ex

xVidéo

https://www.youtube.com/watch?v=XcMePHk6Ilk&t=0s&index=4&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv



Exemples

Dérivée


1. f (x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3. h(x) =

ex

xVidéo

Equations, inéquations

1. Résoudre l’équation ex2

−3− e

−2x = 0. Vidéo

2. Résoudre l’inéquation e4x−1 > 1. Vidéo


https://www.youtube.com/watch?v=dA73-HT-I_Y&t=0s&index=5&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv

https://www.youtube.com/watch?v=d28Fb-zBe4Y&t=0s&index=6&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv



Exemples

Dérivée


1. f (x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3. h(x) =

ex

xVidéo

Equations, inéquations

1. Résoudre l’équation ex2

−3− e

−2x = 0. Vidéo

2. Résoudre l’inéquation e4x−1 > 1. Vidéo

Limites

Calculer les limites suivantes :1. lim

x→+∞

(

x + e−3x

)

2. limx→−∞

e1−

1x Vidéo


https://www.youtube.com/watch?v=dA73-HT-I_Y&t=0s&index=5&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv

https://www.youtube.com/watch?v=d28Fb-zBe4Y&t=0s&index=6&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv

https://www.youtube.com/watch?v=f5i_u8XVMfc&index=8&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv&t=8s



Compléments sur la fonction exponentielle

Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.La fonction e

u est dérivable sur I et admet pour dérivée :

(eu)′ =




Dérivée de eu



(eu)′ = u′e

u

Croissances comparées




Dérivée de eu



(eu)′ = u′e

u


limx→+∞

ex

x= .




Dérivée de eu



(eu)′ = u′e

u


limx→+∞

ex

x= + ∞.

limx→−∞

xex = .




Dérivée de eu



(eu)′ = u′e

u


limx→+∞

ex

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.




Dérivée de eu



(eu)′ = u′e

u


limx→+∞

ex

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

x= .




Dérivée de eu



(eu)′ = u′e

u


limx→+∞

ex

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

x= 1.




Dérivée de eu



(eu)′ = u′e

u


limx→+∞

ex

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

x= 1.

Remarques : Pour tout n ∈ N, limx→+∞

ex

xn= et

limx→−∞

xne

x = .




Dérivée de eu



(eu)′ = u′e

u


limx→+∞

ex

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

x= 1.


ex

xn= + ∞ et

limx→−∞

xne

x = .




Dérivée de eu



(eu)′ = u′e

u


limx→+∞

ex

x= + ∞.

limx→−∞

xex = 0.

Autre limite

limx→0

ex − 1

x= 1.


ex

xn= + ∞ et

limx→−∞

xne

x = 0.



Exemples

Dérivée


1. f (x) = ex2+1 2. g(x) = xe

3x Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=5G4Aa8gKH_o&t=0s&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv&index=7



Exemples

Dérivée


1. f (x) = ex2+1 2. g(x) = xe

3x Vidéo

Limite : croissance comparée

Déterminer limx→+∞

ex + x

ex − x2

Vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=5G4Aa8gKH_o&t=0s&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv&index=7

https://www.youtube.com/watch?v=GoLYLTZFaz0&t=0s&list=PLVUDmbpupCaru94MHSdOLsjrM0Ppe2kfv&index=9

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