Autour de la fonction exponentielle

I. Les points du programme concernés

II. Une introduction possible de la fonction exponentielle

III. Quel champ d’application ?

I. Les points du programme

Deux objectifs majeurs fédèrent les éléments du chapitre d’analyse :

- l'extension du champ des suites et des fonctions...

- l'initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles...

L’étude des suites et fonctions sera motivée par la résolution de problèmes : elle n’est pas une fin en soi. Ceux-ci pourront être d'origine mathématique, physique, biologique, économique ou autre et amèneront à des recherches d'extremums, des comparaisons de fonctions, des résolutions graphiques d'équations ou d'inéquations,etc.

On privilégiera les problèmes mettant en jeu des liens entre une fonction et sa dérivée première ou seconde.

Souci d’une formation cohérente pour les élèves :

- un point d’entrée commun à plusieurs disciplines

- un développement spécifique à chacune

Étude de l’équation f’ = k f.Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f’=f et f(0) = 1.Relation fonctionnelle caractéristique.Introduction du nombre e. Notation ex. Extension du théorème pour l'équation f’ = k f.

Contenus

1. Analyse Introduction de la fonction exponentielle

L’étude de ce problème pourra être motivée par un ou deux exemples, dont celui de la radioactivité traité en physique, ou par la recherche des fonctions dérivables f telles que f(x+y)=f(x)f(y).On construira avec la méthode d'Euler introduite en première des représentations graphiques approchées de f dans le cas k = 1; on comparera divers tracés obtenus avec des pas de plus en plus petits.L’unicité sera démontrée ; l’existence sera admise dans un premier temps.Approximation affine, au voisinage de 0 de h eh.

Modalités de mise en œuvre

Commentaires

Le travail se fera très tôt dans l’année car il est central dans le programme de mathématiques et de physique. Il fournit un premier contact avec la notion d’équation différentielle et montre comment étudier une fonction dont on ne connaît pas une formule explicite. La méthode d’Euler fait apparaître une suite géométrique et donne l’idée que l’exponentielle est l’analogue continu de la notion de suite géométrique, ce que l’équation fonctionnelle confirme.

Exemple de loi de probabilité continue:… loi de durée de vie sans vieillissement

Application à la désintégration radioactive : loi exponentielle de désintégration des noyaux.

Ce paragraphe est une application de ce qui aura été fait en début d’année sur l’exponentielle et le calcul intégral

Contenus

Modalités de mise en œuvre

Commentaires

3. Probabilités et statistiqueLois de probabilité

II. Une introduction possible de la fonction exponentielle

Le problème physique : la radioactivité

L’expérience suggère que, si l’on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (c’est-à-dire dont le nombre est de l’ordre du nombre d’Avogadro, soit 1023), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps t à partir d’un instant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à l’instant t et au temps d’observation t, est une constante caractéristique du noyau en question. On peut donc écrire :

( )

( )

N tt

N t

I. L’observation du physicien

II. Question au mathématicien : existe-t-il une fonction qui fasse l’affaire ?

Un souvenir de première : On construira point par point un ou deux exemples d’approximation de courbe intégrale définie par : y' =g(t) et y(t0) = y0 en utilisant l'approximation f  f'(a) t.

( )

( )

N tt

N t

( ) ( )N t N t t

'( ) ( )N t N t

C’est l’occasion d’introduire le passage de t à dt : passage un peu mystérieux au départ, mais qui prendra son sens au fur et à mesure de son utilisation. C’est important pour tous ces lycéens souvent déstabilisés durant les premiers cours de physique dans le supérieur !

( ) ( )N t N t t ( ) ( )dN t N t dt

( )( )

dN tN t

dt

ou '( ) ( )N t N t

( )( )

N tN t

t

Passage à reprendre dans les calculs d’aires, de volumes,...

( on dit que l’on résout une équation différentielle, notée indifféremment f ’ =kf ou y’ =k y)

Parmi les fonctions connues à ce stade d’étude, y en a-t-il dont la dérivée soit proportionnelle à la fonction ?

Examinons le cas k = 1

Supposons qu’une telle solution existe, on peut alors essayer de la représenter avec la méthode d ’Euler.

Recherche de fonctions vérifiant f ’ = kf

III. Le travail du mathématicien

Microsoft Excel.lnk

h= 0,1 f(x+h)=f(x)+hf(x)= f(x)(1+h)

x0= 0 f(x0)= 1

0,1 1,10,2 1,210,3 1,3310,4 1,46410,5 1,610510,6 1,7715610,7 1,94871710,8 2,143588810,9 2,35794769

1 2,593742461,1 2,853116711,2 3,138428381,3 3,452271211,4 3,797498341,5 4,177248171,6 4,594972991,7 5,054470281,8 5,559917311,9 6,11590904

2 6,727499952,1 7,400249942,2 8,14027494

0

1

2

3

4

0 1 2

Série1

(Remarque : Lien avec suites géométriques)

Problème de l’existence d’une telle fonction ?

- réaction élèves : bien sûr, je viens de la représenter !

Mais cette fonction vérifie-t-elle y’ = y ?

Mis à part le cas des fonctions affines par morceaux, une représentation graphique ne suffit jamais pour définir une fonction.

- réaction du non-mathématicien :

Ce n’est pas notre problème !

- la solution du mathématicien :

Comment définir f(t) pour un réel t arbitraire ?

Commençons avec t > 0.

Une manipulation sur tableur peut mettre les élèves sur la voie.

on prend donc t

hn

d'où ( ) (0) (1 ) (1 )n ntf t f h

n

On reprend la méthode d ’Euler en définissant h de façon à tomber sur t au bout d ’un nombre entier n d ’étapes :

Le calcul de f(t) dépend donc du nombre de pas pour aller de 0 à t : comment y échapper ?

n (1+1/n)^n 1

1 22 2,253 2,370370374 2,441406255 2,488326 2,5216263727 2,5464996978 2,5657845149 2,581174792

10 2,5937424611 2,60419901212 2,6130352913 2,62060088814 2,62715155615 2,63287871816 2,63792849717 2,64241437518 2,64642582119 2,65003432720 2,65329770521 2,65626321422 2,65896985923 2,66145011924 2,66373125825 2,66583633126 2,66778496727 2,66959397828 2,67127785329 2,67284914430 2,67431877631 2,675696306

nD'où l'idée de s'intéresser à lim(1 )

et de définir ( )comme cette limite.

nt

nf t

L’existence de cette limite est difficile mais accessible aux élèves avec les deux suites adjacentes :

(1 ) et (1 )n nn n

t tu v

n n

(Cf. doc. d’accompagnement, où l’on prouve de façon élémentaire que ces suites sont adjacentes, puis que la fonction ainsi créée est dérivable.)

Le mieux sera peut-être d’admettre provisoirement l’existence d’une telle fonction (on y reviendra après l’introduction de la fonction ln comme primitive de la fonction inverse) mais d’énoncer très clairement le théorème :

Il existe une fonction f dérivable sur R telle que f’=f et f(0) = 1.

Cette existence étant admise, il faut absolument présenter ici quelques propriétés de cette fonction notée au départ exp

1. exp(x) est non nul pour tout réel x.(considérer F(x)= expx) exp(-x)… F ’= 0 donc F =1 ; de plus exp(-x) =

2. expest unique.

et plus généralement, pour tous réels a et , la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = aexp(x) est l’unique fonction dérivable sur R telle que f ’ = f et f(0) = a.

1

exp( )x

3. exp transforme des sommes en produitset donc expx > 0 pour tout x

Et plus généralement :

Soit f une fonction dérivable sur R telle que f(0) = 1. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :(i) Il existe une constante telle que f vérifie f ’ = f ;(ii) Pour tous réels a et b : f(a+b) = f(a)f(b).

Des fonctions caractérisées par une équation différentielle, mais aussi par une équation ou relation fonctionnelle !

4. Notation ex

(à l’aide de la relation fonctionnelle pour les exposants entiers, en posant exp(1) = e ).

IV. Retour au problème initial

De N’(t) = - N(t)on déduit donc la loi d’évolution du nombre moyen de noyaux présents :

N(t) = N(0) e-t

La loi macroscopique de désintégration radioactive

0

( ) 1Le terme λ est déduit de l'expérience : avec λ

( )

N t

t N t

III. Quels champs d’application ?

Par récurrence, pour > 0 (en dérivant la différence); !

nx x

e xn

d'où pour > 0, on a ( 1)!

x

n

e xx

nx

1. La fonction exponentielle (et ses associées) :

extension du terrain d’étude et de pratique des fonctions

- avec ses aspects traditionnels

(y compris les problèmes asymptotiques :

ainsi en + , l’exponentielle l’emporte sur xn

- avec un regard nouveau : celui de l’équation différentielle et de la relation fonctionnelle, introduit tôt dans l’année…

2. Retour sur la loi macroscopique de désintégration radioactive

λ 1 ln 2- Demi-vie : solution de donc

2 λte

(Pour le carbone-14 5 730 ans )

(On peut repartir à 0 quand on veut !)

- Pour toute valeur de t et t0, on a aussi : N(t+ t0)= N(t0) e-t

N(t)= N(0) e-t

3. Que se passe-t-il à l’échelle des noyaux ? Une loi microscopique de désintégration radioactive ?

1) Cette durée de vie est une quantité aléatoire, à valeurs dans +, donc à modéliser par une loi de probabilité P sur + (la même loi pour tous les noyaux d’une même substance radioactive).

Quelles hypothèses pour construire un modèle pour la durée de vie d’un noyau ?

'3) est constant

N

N

les désintégrations des noyaux sont indépendantes les unes des autres.

'( )2) est constant au cours du temps

( )

N t

N tPas d’usure : un noyau se désintègre

sans avoir vieilli.

Notons F(t) la probabilité P([0,t]) que la durée de vie d’un noyau soit comprise entre 0 et t (ou de façon équivalente qu’un noyau se désintègre entre les instants 0 et t).

t

0F( )= ( ) et limF( ) 1

tt f x dx t

Ne pas vieillir (hypothèse 3), c’est avoir à tout âge la même probabilité de vivre encore s années :

IP (] , [) P(]0, [) F( )t t t s s s Cela s’écrit :

où It est l’événement le noyau n’est pas désintégré à l’instant t.

Dans le cadre des lois continues de terminale, la fonction F sera associée à une fonction f continue et positive (ici sur +), telle

IP (] , [) P(]0, [) F( )t t t s s s

Or et

De on déduit :

soit

P(I ) 1 F( )t t P(] , [) F( ) F( )t t s t s t

P(] , [) P(I ) F( )t t s t s

F( ) F( ) (1 F( )) F( )t s t t s

En posant G(t)=1-F(t), cela donne

G(t) - G(t+s) = G(t)(1 - G(s))

soit G(t+s)=G(t)G(s).

Comme G est dérivable et vérifie G(0)=1, il existe un réel a tel que G(t)=eat.

F est bornée par 1, G aussi et on peut écrire a = - , où >0.

D’où G(t) = e- t ,

F(t)=1- e- t

et donc f(t)=e-t.

La loi P, modélisant la durée de vie d’un noyau qui meurt sans vieillir , est appelée loi exponentielle de paramètre

On aboutit finalement à P([t,t+ s])= e- t (1-e- s) = e- t P([0,s]).

En notant p la probabilité de désintégration en une unité de temps (càd p = P([0,1]) = 1-e-),

il vient P(]n,n+ 1]) = e- n (1-e- )

= (1-p)np,.

La durée de vie (entière) [ou la date (entière) de mort] d’un noyau suit une loi géométrique.

On retrouve une notion « marginale » familière en ES ; celle de « durée marginale » et on vérifie (1-p)np F’(n)

F’(n) = f(n) = e-n = (1-p)n p (1-p)n car e- 1-

Complément (correspondant à une pratique des physiciens)

Une simulation facile (dans ce cas discret):

On lance un dé toutes les secondes : par analogie avec le cas de la radioactivité, on dira que s’il tombe sur 6, il se désintègre, et l’on arrête.

L’absence d’usure (ou le non vieillissement) est ici très intuitive: sachant que le dé n’est pas désintégré à la seconde n, la probabilité qu’il se désintègre à la seconde n+1 vaut toujours p=1/6 ; la probabilité qu’il se désintègre à la seconde n+1 est P(n+1)= (1-p)np.

On retrouve la loi de probabilité géométrique.

D ’où : N(0)-N(t) = N(0) (1-e- t).soit N(t)=N(0) e-t

On en déduit que :  .

4. Lien entre les deux lois : retour au macroscopique.

La loi de probabilité du nombre de noyaux qui se désintègrent entre les instants 0 et t, t fixé, est une loi binomiale B(n,p)

avec n = N(0) et p = F(t)=1-e- t.

Cette espérance peut aussi s’écrire N(0)-N(t) (ici N(t) = nombre moyen de noyaux à l’instant t

= espérance du nombre de noyaux à l’instant t)

L’espérance (moyenne théorique) de cette loi est donnée par le produit np, soit ici nF(t) = N(0)(1-e- t).

En guise de conclusion

• Un objet mathématique (l’exponentielle) et un objet physique (la radioactivité)… qui traversent toute l’année.

• Un concept mathématique (équation différentielle) … à faire vivre toute l’année ; il enrichit le champ des questions à proposer aux élèves

(Exemple : résoudre y’y=a, plutôt que chercher la primitive de u’u)

• Des objets consistants et stimulants :

• Un travail disciplinaire appuyé sur une problématique interdisciplinaire : des concepts construits simultanément en math et en physique (et aussi en SVT, cf. doc.)

• Une attitude intellectuelle en phase avec les TPE

- qu’il faut faire comprendre aux élèves, (malgré de réelles difficultés calculatoires…qui empêchent l’aisance face aux formules…)

- qui invitent et aident à l’assimilation de concepts nouveaux.

« Les mathématiques ont un triple but.Elles doivent fournir un instrument pour l’étude de la nature. Mais ce n’est pas tout : elles ont un but philosophique et, j’ose le dire, un but esthétique. »

Henri POINCARÉ