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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
ETUDE DE LA FONCTION DU SECOND DEGRE
NIVEAU 2ème degré TQ math 4h, 4ème année
UNITE D’ACQUIS D’APPRENTISSAGE Deuxième degré
RESSOURCES
Caractéristiques de la fonction du deuxième degré : zéro ; signe ; croissance/décroissance ; extrémum.
Caractéristiques d’une parabole d’axe vertical : sommet ; axe de symétrie ; concavité.
PROCESSUS
APPLIQUER • Construire un graphique à partir d'un tableau de nombres ou d’une formule. • Rechercher des caractéristiques d'une fonction du deuxième degré. • Rechercher des caractéristiques d’une parabole d’axe vertical. • Résoudre une équation du deuxième degré. • Établir le tableau de signe d’une fonction du second degré.
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
La fonction carré
Définition : la fonction carré est la fonction qui à nombre réel tout x associe son carré : x --> f (x) = x2.
La fonction carré est définie pour tout x de IR.
Les fonctions du second degré
Définition : a, b et c sont trois réels quelconques, a est non nul. On appelle fonction du second degré toute
fonction qui à tout réel x associe ax² + bx + c.
La courbe représentative d’une fonction du second degré est une parabole que l’on peut déduire de la courbe
de la fonction carré.
Si f est une fonction du second degré dont la courbe représentative a pour sommet S ( ; ), alors on a f(x) =
a(x – )² + . L'expression a(x – )² + est appelé forme canonique de la fonction f.
Concavité de la parabole
• Une parabole est tournée vers le haut si le coefficient de x2 est positif.
• Une parabole est tournée vers le bas si le coefficient de x2 est négatif.
Racines (ou zéros) de la parabole
Une parabole possède 0, 1 ou 2 racines (ou zéros).
Racine(s) d'une fonction• Graphiquement : point(s) d'intersection entre la courbe et
l'axe des x.• Algébriquement : valeur(s) qui annule(nt) la fonction (y = 0).
Il faut résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0, càd trouver les valeursde x tel que y = 0 (par factorisation (mise en évidence ; produitsremarquables) ou delta).
Axe de symétrie et sommet Équation de l'axe de symétrie : droite
parallèle à y, d’équation x = −b2.a
Coordonnées sommet : pointd’intersection de la parabole avec l’axede symétrie
S (−b2.a
; f (−b2.a
) )
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Croissance ou décroissance de la fonction du second degré (variations de la fonction)
Croissance : Une fonction est croissante sur unintervalle I si et seulement si : pour tout a et b de I, Si a < b alors f(a) < f(b).
Décroissance : Une fonction est décroissante sur unintervalle I si et seulement si : pour tout a et b de I, Si a < b alors f(a) > f(b).
Extremums
Définition : M est le maximum d’une fonction f si et seulement si pour tout x, f(x) ≤ M.
Définition : m est le minimum d’une fonction f si et seulement si pour tout x, f(x) ≥ m.
Minimums et maximums d’une fonction sont ses extremums. Les variations d’une fonction et ses extremums sont résumés dans le tableau de variations.
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Tableau de variation
2 racines
Si le coefficient de x² 0, il y a un minimum et la parabole tourne saconcavité vers le sens positif de l’axe des ordonnées (axe y)
Si le coefficient de x² 0, il y a un maximum et la parabole tourne saconcavité vers la sens négatif de l’axe des ordonnées (axe y)
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1 racine
Si le coefficient de x² 0, il y a un minimum et la parabole tourne saconcavité vers le sens positif de l’axe des ordonnées (axe y)
Si le coefficient de x² 0, il y a un maximum et la parabole tourne saconcavité vers la sens négatif de l’axe des ordonnées (axe y)
pas de racines
Si le coefficient de x² 0, il y a un minimum et la parabole tourne saconcavité vers le sens positif de l’axe des ordonnées (axe y)
Si le coefficient de x² 0, il y a un maximum et la parabole tourne saconcavité vers la sens négatif de l’axe des ordonnées (axe y)
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
Étude du graphe d’une fonction
Pour chaque fonction :recherche les racines, l'axe de symétrie, les coordonnées du sommet, représente la fonction et dessine son tableau de variations.
Fonction f (x )=−x2+6x+3
Recherche des racines Équation de l’axe de symétrie
Coordonnées du sommet
Tableau de variations
Représentation
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Fonction f(x) = x2 – 4
Recherche des racines Équation de l’axe de symétrie
Coordonnées du sommet
Tableau de variations
Représentation
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
Fonction f (x )=2x2+4x−6
Recherche des racines Équation de l’axe de symétrie
Coordonnées du sommet
Tableau de variations
Représentation
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
Fonction f(x) = 16x2 - 8x
Recherche des racines Équation de l’axe de symétrie
Coordonnées du sommet
Tableau de variations
Représentation
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
Fonction f (x )=−2x2+2x+4
Recherche des racines Équation de l’axe de symétrie
Coordonnées du sommet
Tableau de variations
Représentation
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
Fonction f (x )=−x2−3x+4
Recherche des racines Équation de l’axe de symétrie
Coordonnées du sommet
Tableau de variations
Représentation
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
Fonction f (x )=x2+10x+25
Recherche des racines Équation de l’axe de symétrie
Coordonnées du sommet
Tableau de variations
Représentation
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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré
Étudie le signe des fonctions suivantes
a) f(x) = 2x2−x−3
b) f(x) = −3x2−12x−12
c) f(x) = x2+4
d) f(x) = 10x2+x−2
e) f(x) = 4x−4x2−1
f) f(x) = 9−x2
g) f(x) = 23
x2+
43
x+23
h) f(x) = x−3x2−5
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