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Chapitre cinq
Calcul économique
Dans ce chapitre Nous examinons des méthodes pratiques
utilisées pour évaluer les projets Méthodes pratiques: basées sur des données
faciles à obtenir Nous commençons par évaluer un projet du
point de vue d’un individu Nous montrons ensuite comment agréger les
points de vues individuels Nous basons cette agrégation sur les critères
généraux considérés dans le chapitre précédent
Evaluation des projets du point de vue d’un individu
Quelles sont les données dont nous pouvons disposer sur un individu (appelons le i) ?
Prix des l biens qu’il consomme (représentés par un vecteur p = (p1,….,pl) ++
l ), supposés donnés à l’individu)
Quantités des l biens consommés par i dans différents états (représentées par un vecteur xi +
l. xij quantité de bien j consommée par i Richesse de i: wi wi = p.xi (l’individu consacre tout son revenu à
l’achat de biens)
Evaluation de projet du point de vue d’un individu
L’approche que nous proposons suppose des biens qu’ils sont vendus sur un marché (ils ont un prix)
L’individu a des préférences pour les paniers de biens qui ne sont pas « immédiatement » observables
i l’ordre de préférence de i (pas visible) Les méthodes présentées dans ce chapitre vont
nous permettre d’inférer les préférences de i (voire même d’en fournir une mesure monétaire) à partir de son comportement (en supposant celui-ci rationnel)
Indices numériques
Les projets vont modifier le revenu du consommateur, les prix auxquels il est confronté et ses consommations de bien
Indice numérique: fournit une mesure synthétique de ces changements qui peut parfois faire l’objet d’une interprétation claire en terme de variation de bien être subie par l’individu.
Indices Numériques
Deux grands types d’indices– Indices de prix (inflation, INSEE) et– Indices de quantité (PIB,
consommation agrégée) Chaque indice compare les
dépenses entre une période de référence (avant le projet) et une période après le projet
Indices de quantité
Un indice de quantité est un ratio impliquant des moyennes (pondérées par les prix) des quantités consommées de biens à deux périodes; i.e.
bll
b
tll
t
q xpxp
xpxpI
...
...
11
11
Indices de quantité
Un indice de quantité est un ratio impliquant des moyennes (pondérées par les prix) des quantités consommées de biens à deux périodes; i.e.
où les prix (p1,…,pl) utilisés pour pondérer les quantités peuvent être ceux prévalant après le projet ((p1
t,…,plt)), ceux avant le projet (p1
b,…,plb)
ou ceux d’une autre situation de référence
bll
b
tll
t
q xpxp
xpxpI
...
...
11
11
Indices de quantité
Si (p1,…,pl) = (p1b,…,pl
b) on obtient ce qu’on appelle un indice de quantité de Laspeyres:
bl
bl
bb
tl
bl
tb
q xpxp
xpxpL
...
...
11
11
Indices de quantité
Si (p1,…,pl) = (p1t,…,pl
t) on a un indice de quantité de Paashes;
bl
tl
bt
tl
tl
tt
q xpxp
xpxpP
...
...
11
11
Indices de quantité
Les macro-économistes aiment bien utiliser ces indices (une croissance du PIB réel par habitant est jugée, en général, une bonne chose)
Peut on justifier cet usage normatif des indices ?
Indices de quantité
Si 1...
11
...11
bl
xbl
pbxbp
tl
xbl
ptxbp
qL
Indices de quantité
Si alors1...
11
...11
bl
xbl
pbxbp
tl
xbl
ptxbp
qL
Indices de quantité
Si alors
et l’individu préfère le panier consommé avant le projet à celui qu’il consommerait avant le projet.
1...
11
...11
bl
xbl
pbxbp
tl
xbl
ptxbp
qL
bl
xbl
pbxbptl
xbl
ptxbp ...11
...11
Indices de quantité
Si alors
En effet l’individu a choisi le panier xb lorsque confronté aux prix pb, alors que le panier xt était, à ces prix, moins cher que la somme dépensée sur xb.
1...
11
...11
bl
xbl
pbxbp
tl
xbl
ptxbp
qL
bl
xbl
pbxbptl
xbl
ptxbp ...11
...11
Indices de quantité
Si alors
L’individu nous « révèle » donc une préférence pour xb par rapport à xt
1...
11
...11
bl
xbl
pbxbp
tl
xbl
ptxbp
qL
bl
xbl
pbxbptl
xbl
ptxbp ...11
...11
Indices de quantité
Si alors
L’individu nous « révèle » donc qu’il n’aime pas le projet!!!
1...
11
...11
bl
xbl
pbxbp
tl
xbl
ptxbp
qL
bl
xbl
pbxbptl
xbl
ptxbp ...11
...11
Indices de quantité
De même, si
1...
11
...11
bl
xtl
pbxtp
tl
xtl
ptxtp
qP
Indices de quantité
De même, si et donc:
1...
11
...11
bl
xtl
pbxtp
tl
xtl
ptxtp
qP
Indices de quantité
De même, si et donc:
1...
11
...11
bl
xtl
pbxtp
tl
xtl
ptxtp
qP
bl
xtl
pbxtptl
xtl
ptxtp ...11
...11
Indices de quantité
De même, si et donc:
l’individu préfère le panier consommé après le projet à celui consommé avant.
1...
11
...11
bl
xtl
pbxtp
tl
xtl
ptxtp
qP
bl
xtl
pbxtptl
xtl
ptxtp ...11
...11
Indices de quantité
De même, si et donc:
l’individu aurait de fait, aux prix prévalant après le projet, les moyens de consommer le panier qu’il consommait avant le projet.
1...
11
...11
bl
xtl
pbxtp
tl
xtl
ptxtp
qP
bl
xtl
pbxtptl
xtl
ptxtp ...11
...11
Indices de quantité
De même, si et donc:
Si l’individu est rationnel, il ne peut donc pas souffrir du projet (et il bénéficie strictement du projet si l’inégalité est stricte).
1...
11
...11
bl
xtl
pbxtp
tl
xtl
ptxtp
qP
bl
xtl
pbxtptl
xtl
ptxtp ...11
...11
Indices de quantité
En revanche, aucune conclusion ne peut être tirée si on a simultanément Pq < 1 et Lq
> 1 Par ailleurs, le fait d’avoir simultanément
Pq > 1 et Lq < 1 serait révélateur d’une irrationalité de l’individu (il préfère le panier après le projet au panier avant tout en préférant le panier avant au panier après!!!!!)
Indices de prix
Un indice de prix est un ratio constitué de deux moyennes (pondérées par les quantités) des prix; i.e.
lxb
lpxbp
lxt
lpxtp
pI
...11
...11
Indices de prix
Un indice de prix est un ratio constitué de deux moyennes (pondérées par les quantités) des prix; i.e.
où (x1,…,xl) peut être le panier consommé avant le projet (x1
b,…,xlb) ou celui de la
période courante (x1t,…,xn
t).
lxb
lpxbp
lxt
lpxtp
pI
...11
...11
Indices de prix
Si (x1,…,xl) = (x1b,…,xl
b) nous avons l’indice de prix de Laspeyres (utilisé par l’INSEE dans le calcul de l’inflation);
bl
bl
bb
bl
tl
bt
p xpxp
xpxpL
...
...
11
11
Indices de prix
Si (x1,…,xl) = (x1t,…,xl
t) nous avons l’indice de prix dit de Paasche ;
tl
bl
tb
tl
tl
tt
p xpxp
xpxpP
...
...
11
11
Indices de prix
On s’inquiète souvent de l’inflation (hausse du niveau moyen des prix)
A t-on raison de le faire? Oui si le revenu de l’individu n’est
pas modifié par le projet i.e. si :
bi
ti
bn
bn
bb
tn
tn
tt
w
w
xpxp
xpxp
...
...1
11
11
Indices de prix si
bl
bl
bb
bl
tl
bt
p xpxp
xpxpL
...
...
11
11bl
bl
bb
tl
tl
tt
xpxp
xpxp
...
...
11
11
Indices de prix si
et donc si:
bl
bl
bb
bl
tl
bt
p xpxp
xpxpL
...
...
11
11bl
bl
bb
tl
tl
tt
xpxp
xpxp
...
...
11
11
Indices de prix si
et donc si:
bl
bl
bb
bl
tl
bt
p xpxp
xpxpL
...
...
11
11
tl
tl
ttbl
tl
bt xpxpxpxp ...... 1111
bl
bl
bb
tl
tl
tt
xpxp
xpxp
...
...
11
11
Indices de prix si
et donc si:
l’individu préfère le panier qu’il consommerait après le projet à celui qu’il consomme maintenant.
bl
bl
bb
bl
tl
bt
p xpxp
xpxpL
...
...
11
11
tl
tl
ttbl
tl
bt xpxpxpxp ...... 1111
bl
bl
bb
tl
tl
tt
xpxp
xpxp
...
...
11
11
Indices de prix Mais si
tl
bl
tb
tl
tl
tt
p xpxp
xpxpP
...
...
11
11bl
bl
bb
tl
tl
tt
xpxp
xpxp
...
...
11
11
Indices de prix Mais si
et donc:
tl
bl
tb
tl
tl
tt
p xpxp
xpxpP
...
...
11
11bl
bl
bb
tl
tl
tt
xpxp
xpxp
...
...
11
11
Indices de prix Mais si
et donc:
tl
bl
tb
tl
tl
tt
p xpxp
xpxpP
...
...
11
11bl
bl
bb
tl
tl
tt
xpxp
xpxp
...
...
11
11
bl
bl
bbtl
bl
tb xpxpxpxp ...... 1111
Indices de prix Mais si
et donc:
l’individu préfère le panier avant le projet à celui qu’il consommerait après.
tl
bl
tb
tl
tl
tt
p xpxp
xpxpP
...
...
11
11bl
bl
bb
tl
tl
tt
xpxp
xpxp
...
...
11
11
bl
bl
bbtl
bl
tb xpxpxpxp ...... 1111
Indices de prix Mais si
et donc:
l’individu préfère le panier avant le projet à celui qu’il consommerait après.
tl
bl
tb
tl
tl
tt
p xpxp
xpxpP
...
...
11
11bl
bl
bb
tl
tl
tt
xpxp
xpxp
...
...
11
11
bl
bl
bbtl
bl
tb xpxpxpxp ...... 1111
Indices de prix
Si le revenu de l’individu n’est pas modifié par le projet, on en déduit donc que
Pp > 1 (inflation au sens de Paashe) mauvais projet
PL< 1 (déflation au sens de Laspeyres) bon projet
Pp < 1 et PL > 1 (déflation Paashe et inflation Laspeyres) aucune conclusion
Pp > 1 et PL < 1 (inflation Paashe et déflation Laspeyres) irrationalité du consommateur
Exemple: indexer les salaires ?
Des changements dans l’indice de prix sont parfois utilisés pour ajuster les salaires où le niveau des prestations sociales (ex. indexation du SMIC).
Il y a « pleine indexation » lorsque le salaire est ajusté au même taux que celui qui gouverne l’évolution de l’indice de prix utilisé pour mesurer l’inflation.
Est-il approprié d’indexer le SMIC sur l’inflation ? Cela préserve t-il le pouvoir d’achat ? Le détériore t-il ? L’améliore t-il ?
Indexer les salaires ?
Voyons ce qui se passe lorsqu’on utilise l’indice de prix de Laspeyres
Indexer les salaires ?x2
x1
x2b
x1b
contrainte budgétaire initiale
panier choisi initialement
Indexer les salaires ?x2
x1
x2b
x1b
contrainte budgétaire initiale
panier choisi initialement
Contrainte budgétaire avant indexation
Indexer les salaires ?x2
x1
x2b
x1b
contrainte budgétaire initiale
panier choisi initialement
Contrainte budgétaire après indexation
Indexer les salaires ?x2
x1
x2b
x1b
contrainte budgétaire initiale
panier choisi initialement
Contrainte budgétaire après indexation
panier après indexation
Pleine Indexation?x2
x1
x2b
x1b
contrainte budgétaire initiale
panier choisi initialement
Contrainte budgétaire après indexation
panier après indexation
x1t
x2t
Pleine Indexation?x2
x1
x2b
x1b
x2t
x1t
(x1t,x2
t) est révélé préféré à(x1
b,x2b). la pleine
Indexation améliore le bien êtredu SMICARD si les prix relatifschangent entre les deuxpériodes.
Comment tarifer la téléphonie ?
Supposons qu’une entreprise de téléphonie désire augmenter les tarifs du téléphone
Est-il préférable du point de vue du consommateur d’augmenter le tarif à la communication ou d’augmenter le forfait fixe (payé indépendamment du nombre de communications)?
On fait l’exercice en supposant donné le montant collecté
Comment tarifer la téléphonie ?
Soient x1 et x2 les quantités de téléphone et d’argent disponibles à d’autre usage que le téléphone consommées avant le changement de tarif
Soient p et F les montants respectifs du tarif à la communication et du forfait avant le changement (la richesse est w)
Fwxpx 21
Comment tarifer la téléphonie ?
Soient y1 et y2 les quantités de téléphone et d’argent disponibles à d’autres usage que le téléphone choisies suite à une augmentation du forfait de F
))((21 FFwypy
Comment tarifer la téléphonie ?
Soient z1 et z2 les quantités de téléphone et d’argent disponibles à d’autres usage que le téléphone choisies suite à une augmentation du prix de la communication de p à q
Fwzqz 21
Comment tarifer la téléphonie ?
Nous savons que
Fzpq 1)(
Comment tarifer la téléphonie ?
Et donc que
21
121
1
21
)(
)()(
zpz
zpqzqz
zpqFw
FFwypy
Comment tarifer la téléphonie ?
Et donc que
21
121
1
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Comment tarifer la téléphonie ?
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Comment tarifer la téléphonie ?
Et donc que
21
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zpqzqz
zpqFw
FFwypy
Comment tarifer la téléphonie ?
Le panier choisi avec la tarification au forfait est donc révélé préféré au panier choisi avec tarification à la communication (à recettes données)
Tout consommateur préférera donc une tarification au forfait à une tarification à l’appel
Les méthodes présentées jusqu’ici
Sont très robustes pour appréhender le point de vue d’un individu
Ne sont pas toujours concluantes (les arguments de préférences révélées ne donnent parfois pas de réponse claire
Ne fournissent pas de quantification du bien être individuel pouvant faire l’objet d’une comparaison entre individus
Mesure monétaire des préférences B(p,wi) = {x +
l p.x wi } (ensemble de budget) La préférence (directe) i de i sur les paniers de biens dans
+l induit une préférence indirecte i I sur les configurations
de prix et de richesse auxquelles peut être confronté i. Cette préférence est définie par: (p,w) i I (q,w’) pour tous
les paniers x’ B(q,w’), il existe un panier x B(p,w) pour lequel on a x i x’.
Vi: +l+1 une représentation numérique de i I (fonction
d’utilité indirecte) Vi(p,wi) = « l’utilité maximale atteinte par i lorsqu’il est
confronté aux prix p +l et dispose d’une richesse de wi »
Exemple d’utilité indirecte Supposons que i ait une préférence directe
représentée par la fonction d’utilité: Ui(x1,…,xl) = ln x1+…+ ln xl
Comment déterminer sa préférence indirecte ? Il suffit de résoudre le programme suivant (dont
les solutions sont les demandes Marshaliennes)
illlxx
wxpxpqcsxxl
......ln...lnmax 111,...,1
Exemple d’utilité indirecte Supposons que i ait une préférence directe
représentée par la fonction d’utilité: Ui(x1,…,xl) = ln x1+…+ ln xl
Comment déterminer sa préférence indirecte ? Il suffit de résoudre le programme suivant (dont
les solutions sont les demandes Marshaliennes)
illlxx
wxpxpqcsxxl
......ln...lnmax 111,...,1
Puisque la contrainte de budget est satisfaite à égalité, et que la fonction d’utilité est concave et dérivable, une solution intérieure à ce programme est caractérisée par les conditions de 1er ordre:
Exemple d’utilité indirecte
)1(,...,1,),,...,(
),,...,(
1
1 jhljhp
p
wppx
wppx
j
h
ilMh
ilMj
En réarrangeant (1) et en la substituant dans (2) pour un bien h quelconque, on obtient:
et:
)2(),,...,(...),,...,( 111111 ilMlll
M wwppxpwppxp
iMhh
Mh
l
hl
Mh
h wxpxp
ppx
p
pp (.)(.))(...(.))(
11 ou:
Exemple d’utilité indirecte
hlp
wwppx
h
iil
Mh ),,...,( 1
On a donc:
li
l
ii
Ml
Miili
pplwl
lp
w
lp
w
xxUwppV
ln...ln]ln[ln
ln...ln
(.))(.),...,(),,...,(
1
1
11
Mesure monétaire des préférences
1. Pour chaque configuration de prix p +l et
chaque niveau d’utilité u, définissons Di(p,u) par:
uxxUqcsxpupD li
l
jjj
xxi
l
),...(...min),( 11
,...1
Di(p,u) associe à chaque niveau d’utilité u le montant minimal d’argent requis par i aux prix p pour atteindre ce niveau d’utilité.
Cette fonction (dite de dépense) est croissante par rapport à l’utilité (à prix donnés) et constitue pour cetteraison une mesure monétaire de la satisfaction de i
Mesure monétaire des préférences
)),(,(),,( wqVpDwqp iii
Donne le montant minimal requis par i aux prix p pour atteindre une satisfaction au moins aussi grande que celleobtenue avec une richesse de w à des prix q .
Mesure monétaire directe:
))(,(),( xupDxp iii Donne le montant d’argent minimal requis par i aux prix p pour atteindre une satisfaction au moins aussi grande que celle obtenue avec le panier x
Mesure monétaire indirecte:
Mesures monétaires d’utilité dépendent de prix de références
Mesure monétaire des préférences
uxxUtsxpupxupx l
l
jjj
xx
HH
n
),...,(..minarg)),(),...,,(( 11
),...,(11
1
Demandes Hicksiennes (compensées) (dépendent d’unniveau d’utilité non-observable; mesure les effets de substitution: réaction du consommateur à deschangements de prix combinés à un changement de revenu qui laissent le niveau d’utilité inchangé)
Ces mesures monétaires de préférences sont liées au comportement de demande
)(maxarg)),(),...,,((),(
1 xuwpxwpxwpBx
Ml
M
Demandes Marshaliennes (ordinaires)
Mesure monétaire des préférences
wwpVpD )),(,(
),()),(,( upxupDpx Hj
Mj
uupDpV )),(,(
6 identités importantes (valides pour tout p +
l, w + et u ):
(1)
(2)
(3)
),()),(,( wpxwpVpx Mj
Hj (4)
),(/),(
/),(wpx
wwpV
pwpV Mj
j
(5) Identité de Roy
),(),(
upxp
upD Hj
j
(6) Lemme de Sheppard
Exemple Reprenons l’exemple où i a une préférence directe
représentée par la fonction d’utilité: Ui(x1,…,xl) = ln x1+…+ ln xl
Nous avions déterminé les demandes Marshaliennes de i en résolvant le programme:
illlxx
wxpxpqcsxxl
......ln...lnmax 111,...,1
D’où nous avions trouvé:h
lp
wwppx
h
iil
Mh ),,...,( 1
et:
liili pplwlwppV ln...ln]ln[ln),,...,( 11
Exemple Pour trouver la fonction de dépense, nous utilisons
l’identité:
qui nous donne dans le cas présent:
lulli eppluppD /1
11 )...(),,...,( et donc:
uppluppDl lli ln...ln]ln),,...,([ln 11
uupDpV ii )),(,(
On peut ensuite trouver la demande Hicksienne (compensée) de bien h en appliquant le lemmede Sheppard: ),,...,(
),,...,(1
1 uppxp
uppDl
Hih
h
li
Exemple qui, dans le cas présent, nous donne:
et donc:
),,...,(),...,((
1
/11 uppx
p
eppll
Hih
h
lul
),,...,(...... 1//1/1
1
1/1
1/1
1 uppxeppppp lHih
lull
lh
l
l
hl
hl
Montrons maintenant comment ces mesures monétaires peuvent être utilisées pour apprécierl’impact d’un projet sur un individu particulier
Mesure monétaire des préférences
Considérons un projet faisant passer une communauté d’une configuration de richesses et de prix (q,w1,…,wn) à une configuration (p,w1,…,wn)
Comment évaluer la variation de bien être subie parun individu i si ce projet est entrepris ?
Mesure monétaire des préférences
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111
11
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j
Mesure monétaire des préférences
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j
On mesure le bien être de façon monétaireen utilisant les prix de références prévalantaprès le projet
Mesure monétaire des préférences
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wqVpwpVp
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j
j
Cette méthode, largement répandue, est connuesous le nom de variations compensatrices
Mesure monétaire des préférences
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wqVpwpVp
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j
j
On aurait également pu utiliser les prix de référence prévalant avant le projet(pratique pour comparer des projets différents)
Mesure monétaire des préférences
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La mesure monétaire du changement de bien être induit par un projet qui utilise les prix avant le projet commeréférence est appelée variation équivalente
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Nous pouvons donc dire que:
Pour un individu, la variation de bien être subie par un projet modifiant les prix et les richesse est mesurée par la variation de revenu à laquelle s’ajoute une somme de surplus du consommateur
Après avoir obtenu de telles mesures pour chaque individu, il faut aggréger ces mesures en une mesure sociale
Illustration (pour un bien et un prix)prix
quantité
Demande Hicksienne
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Surplus
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j(p1,…,pj-1,pj,qj+1,…,ql,ui’)
a
b
Surplus du consommateur
Calculé souvent avec la demande Marshalienne (plutôt qu’ Hicksienne)
Le surplus Marshallien n’est pas une mesure monétaire du changement de bien être induit par un changement de prix
En revanche, elle constitue dans une grande majorité des cas une approximation de 2 surplus Hicksiens: surplus aux prix de références p et surplus aux prix de références q (Willig (1976), AER, « consumer’s surplus without apology).
Remarque sur la mesure monétaire du bien être
OK pour calculer la variation de bien être chez un individu
Pratique parce que basée sur des éléments observables: la demande, et les revenus
En pratique, on calcule souvent le surplus agrégé (somme des surplus individuels).
Aucun fondement éthique à cela (à part, dans certains cas, les critères d’amélioration potentielle au sens de Pareto)
Comment évaluer des projets qui concernent une communauté d’individus ?
