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Spéciale PSI - Cours "Mécanique des fluides" 1

Etude phénoménologique des fluides

Chapitre I : Pression et viscosité

Contents

1 Modèle du fluide 21.1 Notion de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 La particule fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Pression. Notion élémentaire de viscosité. 32.1 Rappel : les actions dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Les forces volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Les forces surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.3 Cas d’un fluide incompressible en équilibre dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Cas d’un fluide compressible en équilibre dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.5 Equilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.6 Poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Mise en évidence expérimentale de la viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Force de viscosité ou de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Cas particulier d’un champ de vitesse unidirectionnel de la forme �v = v(y, t)�ex . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Viscosité et transfert de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Equivalent volumique des forces de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Mécanique des fluides. Chapitre I : Pression et viscosité

Etude phénoménologique des fluides

Chapitre I : Pression et viscositéObjectifs :

• Définition du fluide ;

• Notions de pression et de viscosité.

1 Modèle du fluide

1.1 Notion de fluide

• Un fluide est un système composé de nombreuses particules libres de se mouvoir les unes par rapport aux autres ; cettepropriété distingue nettement les fluides des solides pour lesquels les différentes parties constitutives (atomes, moléculesou ions) sont rigidement liées les unes aux autres.Dans le vocabulaire courant, la notion de fluide recouvre l’état liquide et l’état gazeux. En toute rigueur on pourrait yinclure également d’autres cas tels que le bitume, le verre en fusion, le miel liquide. Toutefois de telles substances sonten général exclues de la mécanique des fluides car la viscosité y joue un rôle trop important par rapport à la pression.

• Quelques propriétés :

— Un fluide est déformable : les distances entre les différents points matériels qui constituent ce milieu sont variablesau cours du temps car l’interaction entre les différentes particules est faible.

— Un fluide est sans rigidité : il peut s’écouler et épouser la forme du récipient qui le contient.

— Un liquide possède un volume propre ; il est peu compressible et les actions à courtes distances (Forces de Van derWaals) jouent un rôle important dans les propriétés du fluide.

— Un gaz occupe tout le volume qui lui est offert (caractère expansif des gaz) ; il est compressible et l’aspect cinétiquedu mouvement particulaire détermine ses propriétés.

Exercice 1 : Densité particulaire de l’eau

Déterminer l’ordre de grandeur des densités particulaires n∗ (ou densité moléculaire) de l’eau à l’état liquide etde l’eau à l’état gazeux à la température T = 400K, sous une pression P = 1bar (ce gaz est supposé obéir à laloi des gaz parfaits).Données : Masse volumique de l’eau liquide : ρ(H2Oliq) = 103 kg.m−3 ; Masse molaire de l’eau : M(H2O) =18 g.mol−1 ; Nombre d’avogadro : NA = 6, 0221367×1023mol−1 ; Constante des gaz parfaits : R = 8, 314510 Jmol−1K−1.

1.2 La particule fluide

On distingue trois échelles dans l’étude des fluides :

• Echelle macroscopique :La longueur L caractéristique de cette échelle est imposée par le problème étudié.Selon les cas, on peut avoir des valeurs très différentes :

Problème étudié Longueur caractéristique L Ordre de grandeurécoulement d’un fleuve largeur du lit du fleuve

écoulement d’un fluide dans une conduite diamètre de la conduiteécoulement d’un fluide autour d’un obstacle taille transversale de l’objet

étude d’un océan profondeur de l’océanécoulement du sang diamètre d’une veine

• Echelle microscopique :On se place à l’échelle des molécules. On peut choisir comme longueur � caractéristique de cette échelle, le libre parcoursmoyen des molécules (distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs successifs).

Exercice 2 : ordre de grandeur

Déterminer la distance moyenne d entre molécules pour de l’eau à l’état liquide et de l’eau à l’état gazeux à latempérature T = 400K, sous une pression P = 1bar (cf exercice 1).

Mécanique des fluides. Chapitre I : Pression et viscosité 3

• Echelle mésoscopique :Cette échelle est l’échelle intermédiaire entre le macroscopique et le microscopique.A cette échelle, le fluide est découpé en cellules élémentaires appelées éléments de fluide, ou particules fluides (contenantun grand nombre de molécules).La longueur a caractéristique de cette échelle est la taille de la particule fluide.Cette particule fluide joue le rôle de volume élémentaire à l’échelle macroscopique :

— Elle est suffisament grande pour contenir un très grand nombre de particules : on peut alors effectuer une moyennespatiale des grandeurs utiles (on obtient des grandeurs nivelées) . Elle masque le caractère discontinu du fluide àl’échelle microscopique.

— Elle est suffisament petite pour permettre de définir localement des grandeurs physiques associées au fluide :grandeurs macroscopiques locales variant de façon continue.

Exercice 3 : Taille de la particule fluide

Proposer une valeur pour a dans le cas de l’écoulement d’eau liquide dans une conduite de 10 cm de diamètre.Donner un ordre de grandeur de la masse dm de la particule fluide et du nombre N de molécules d’eau qu’ellecontient. Conclusion.

1.3 Conclusion

L’échelle de la particule fluide, échelle mésoscopique, est intermédiaire entre l’échelle microscopique et l’échellemacroscopique. Elle permet d’associer à cette particule des grandeurs macroscopiques qui décrivent le fluidecomme un milieu continu.

2 Pression. Notion élémentaire de viscosité.

2.1 Rappel : les actions dans un fluide

Soit une partie d’un fluide, défini par un volume de contrôle V limité par une surface fermée S. On distingue deux typesd’action qui s’exercent sur le système :

• les actions intérieures qui forment un système nul ;

• les actions extérieures que l’on sépare en actions surfaciques et en actions volumiques.

2.1.1 Les forces volumiques

Un élément de volume dτ du fluide est soumis à la force élémentaire d�FV = �fV dτ . La grandeur �fV représente la densitévolumique de force volumique, elle s’exprime en N.m−3.Exemple : dans le champ de pesanteur terrestre �fV = µ�g avec µ la masse volumique et �g le champ de pesanteur.

2.1.2 Les forces surfaciques

2.1.2.1 Tenseur des contraintesSoit S12 une surface séparant le volume V en deux parties (1) et (2). Cette surface est traversée par des particules dans

les deux sens avec des quantités de mouvement différentes. Il en résulte un taux de variation de quantité de mouvement etpar conséquent une force d’interaction entre les deux parties à travers cette surface de séparation.La force élémentaire qu’exerce la partie (1) sur la partie (2), à travers l’élément de surface dS de S12, est proportionnelle àla quantité de mouvement associée aux particules qui traversent dS et donc à cet élément de surface :

d�F1→2 = �fS,1→2dS


La force surfacique �fS,1→2 est appelée vecteur contrainte. Elle n’est pas en général dirigée suivant la normale �n1→2 orientéede (1) vers (2). Cependant, le plus souvent on a :

�fS,1→2 = −[σ]�n1→2où [σ] est un opérateur linéaire appelé tenseur des contraintes.

2.1.2.2 PressionOn se place dans le cas d’un fluide au repos.

Par symétrie, dans un fluide au repos la force qu’exerce le milieu (1) sur le milieu (2) est dirigée suivant la normale �n1→2.La contrainte tangentielle est nulle.La contrainte −[σ]�n1→2 peut donc s’écrire −[σ]�n1→2 = p�n1→2.Dans la plupart des cas la quantité scalaire p est positive et on l’appelle alors pression du fluide au point considéré.La force est donc répulsive.La force élémentaire normale qu’exerce (1) sur (2) à travers la surface élémentaire dS a alors pour expression :

d�F1→2,n = p dS �n1→2 = pd�S1→2

Dans le cas d’un milieu (1) solide, la force qu’exerce la paroi solide sur le fluide s’écrit :

d�Fparoi→fluide,n = p dS �n1→2 = −p dS �nextoù �next est la normale orientée vers l’extérieur du fluide.

Unités :Rappelons les unités servant à exprimer une pression :

• l’unité officielle est le Pascal (Pa)

• 1 atm = 1, 01325.105 Pa = 1, 01325bar = 760mmHg

• 1mmHg = pression exercée par une colonne de mercure de hauteur 1mm.La pression se mesure à l’aide d’un manomètre.

”lieu” vide interstellaire surface de la terre fond des fosses océaniques dans une étoile à neutronspression (bar) 10−22 1 103 1027

Remarques :

1. Lorsque la grandeur scalaire p est négative, la force attractive correspondante est appelée force de tension superficielle.

2. Pour un fluide en mouvement l’expérience montre que, si l’on veut décrire les forces exercées l’une sur l’autre par deuxparties d’un fluide séparées par une surface, il faut ajouter, à la composante normale, des composantes tangentiellescorrespondant au phénomène de viscosité. La composante normale elle-même, qui reste due pour l’essentiel aux forcesde pression, est légèrement modifiée par ce phénomène. Dans la plupart des cas, ces forces de viscosité ne correspondentqu’à des corrections par rapport aux forces de pression ; la notion de pression conserve toute sa valeur.

2.1.2.3 Equivalent volumique des forces de pression dans un fluide au reposRappel :

On montre que la distribution surfacique des forces de pression peut être remplacée par une distribution volumique :

�FS = −∫∫

S

© pdS �n =

∫∫∫

V

�féquivalent volumique pressiondV avec �féquivalent volumique pression = −−−→grad p

Il est équivalent de dire que dans un fluide au repos la densité volumique de force extérieure est égale au gradient de la

pression : �fext,vol =−−→grad p

démonstration : la force exercée par le fluide extérieure à la surface S sur le fluide à l’intérieur est :

�FS =

∫∫

S

© d�Fext→int

= −∫∫

S

© p dS �next

= −∫∫

S

© p d�S

= −∫∫∫

V

−−→grad pdV (formule du gradient)


Remarque : Cette équivalence est valable pour un fluide au repos ou pour un fluide non visqueux (voir paragraphe 2.2.et 2.3.).

Exercice 4 : Equivalent volumique des forces de pression dans un fluide au repos

Démontrer l’équivalence précédente en écrivant la relation locale traduisant l’équilibre d’un parallélépipède élé-mentaire de fluide (cf. cours de 1ere année).

2.1.3 Cas d’un fluide incompressible en équilibre dans le champ de pesanteur

Rappels de résultats fondamentaux :

On considère un fluide homogène :• dans le cas général, la masse volumique ρ est une fonction de M ; plus précisément, ρ dépend de T et P ,eux mêmes fonction de M : ρ = ρ(T, P ) ;

• on dit qu’un fluide est incompressible si ρ ne dépend pas de la pression : ρ = ρ(T ) ; pour un tel fluide,si T (M) = cste, ou si le fluide est indilatable alors ρ = cste.

• Un fluide est en équilibre dans le champ de pesanteur si et seulement si : −−→grad p = �fext,vol = ρ�g

si le fluide est homogène, incompressible et indilatable ( ou T = cste ) alors (Oz orienté vers le haut)

pA − pB = ρg (zB − zA) Loi fondamentale de l’hydrostatique

• Conséquences :

— Les surfaces isobares (même pression) sont des plans horizontaux (cf. la loi fondamentale de l’hydrostatique).

— Lorsque le fluide étudié est au contact de l’atmosphère, on appelle surface libre la surface de contact entre le fluideet l’atmosphère. En tout point M de la surface libre, la pression p(M) dans le fluide doit être égale à la pressionatmosphérique pour assurer la continuité de la pression ; la relation p(M) = p0 est appelée conditions aux limitesà la surface libre. La condition d’équilibre p(M) + ρgz = cste impose que p0 + ρgz est constant et donc z estconstant.La surface libre d’un fluide est contenue dans un plan horizontal.Ce résultat est connu sous le nom de principe des vases communiquants par référence à l’expérience représentéesur la figure ci-dessous : quelles que soient leurs sections et leurs orientations, le niveau de l’eau dans les tubes (1)et (2) est identique.

—

— Théorème de Pascal : Toute variation de pression en un point d’un fluide incompressible en équilibre est intégrale-ment transmise en tout point du fluide.

2.1.4 Cas d’un fluide compressible en équilibre dans le champ de pesanteur

Rappels : l’intégration de l’équation différentielle−−→grad p = ρ�g (toujours valable) nécessite la connaissance de ρ = ρ(T, P ).

Exercice 5 : Formule du nivellement barométrique

Démontrer que la pression p en fonction de l’altitude z pour l’atmosphère terrestre isotherme est donnée parp = poe

(−MgzRT ). On suppose que l’atmosphère peut être considérée comme un gaz parfait et que �g est uniforme

(�g ne dépend pas de l’altitude).


Exercice 6 : Atmosphère polytropique

L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaireM et on se donne dans l’atmosphère une relation phénoménologiquede la forme P/µk = constante, appelée relation polytropique d’indice k ; k est une constante donnée, ajustable aposteriori aux données expérimentales. Le modèle de l’atmosphère polytropique constitue une généralisation dumodèle de l’atmosphère isotherme pour lequel on aurait k = 1. Dans la suite, on prend k �= 1. Au niveau du solen z = 0, on note la pression P0, la température T0 et la masse volumique µ0.

1) Etablir une relation donnant implicitement P (z) et montrer que dT/dz est une constante. Applicationnumérique : calculer k sachant que dT/dz = −7.10−3K.m−1.2) On se propose d’examiner qualitativement la stabilité d’une atmosphère polytropique vis-à-vis de la convectionc’est-à-dire vis-à-vis d’un brassage des couches atmosphériques.

Pour cela on suppose qu’une bulle sphérique d’air de masse m initialement en équilibre à l’altitude z monterapidement de dz sous l’effet d’une perturbation (vent), de telle sorte qu’à l’altitude z + dz elle soit en équilibremécanique avec l’atmosphère (la pression dans la bulle est égale à la pression P (z + dz) dans l’air) mais pas enéquilibre thermique.

On admet en effet que l’évolution est trop rapide pour que l’équilibre thermique soit atteint : il faut distinguerles températures intérieure Tint(z + dz) et extérieure Text(z + dz).

On admet que la loi d’évolution du fluide intérieur à la bulle est une loi polytropique d’indice γ, de telle sorte quedTintdz = − (γ−1)Mg

Rγ où γ = 1, 40 est une caractéristique de l’air. A quelle condition sur Tint(z + dz) et Text(z + dz)la bulle d’air a-t-elle tendance à redescendre ? En déduire la condition sur k et γ pour qu’une atmosphèrepolytropique soit stable. Qu’en est-il pour l’atmosphère réelle.

2.1.5 Equilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen

Rappels : avec les notations habituelles :

−−→grad p = �fext,vol − ρ (�ae + �ac) Loi fondamentale de l’hydrostatique dans un référentiel non galiléen

Exercice 7 : Vase tournant

Un récipient cylindrique de rayon R est rempli d’eau sur une hauteur h et plongé dans une atmosphère où lapression P0 est uniforme. Il est mis en rotation à vitesse angulaire constante ω autour de son axe Oz vertical, etau bout de quelques instants, on atteint un état d’équilibre relatif dans le référentiel tournant. Déterminer danscet état l’équation de la surface libre de l’eau.

2.1.6 Poussée d’Archimède

Les forces de pression exercées par un système de fluide au repos sur un solide ( indéformable) immergé sontéquivalentes à une force unique appelée poussée d’Archimède, égale et opposée au poids du fluide déplacéet appliquée au centre de poussée (centre de gravité du fluide déplacé).

Remarque : le centre de poussée n’est pas obligatoirement confondu avec le centre de gravité du solide.

”Démonstration” :


On considère une surface S qui délimite une portion de fluide. La portion de fluide délimitée par S est en équilibre :∑ �F = �0.Soient �P le poids de la portion de fluide délimitée par S et �F la résultante des forces exercées par le reste du fluide. On adonc �F = −�P .On remplace la portion de fluide délimitée par S par un solide de surface S, la résultante des forces exercées par le reste dufluide �F ne changent pas. La poussée d’Archimède est égale à −�P .

Exercice 8 : Balance d’Archimède

Sur les plateaux d’une balance dont les deux fléaux ont même longueur sont posés d’un coté un bécher remplid’eau de masse volumique µ, et de l’autre des masses marquées m assurant l’équilibre de la balance.

On plonge dans l’eau du bécher, un flotteur homogène de volume V et de masse volumique µ∗, puis on l’y maintientfixe en exerçant sur une tige solidaire et de masse négligeable une force �F . On modifie les masses marquées de∆m pour retrouver l’équilibre.

1) Indiquer sans calcul le signe de ∆m.

2) Calculer ∆m et la force en fonction des données. En déduire un mode opératoire pour mesurer le volume V .

Exercice 9 : Poussée d’Archimède : oscillations d’un cylindre

Un solide de masse volumique µ1, de forme cylindrique, flotte verticalement dans l’eau, de masse volumiqueµ2 > µ1. On pose α = µ2/µ1. Le cylindre a pour section s et pour hauteur H.

1) Calculer la hauteur h de cylindre hors de l’eau dans l’état d’équilibre.

2) A partir de cette position d’équilibre, on enfonce le cylindre dans l’eau d’une hauteur a < h et on l’abandonnesans vitesse initiale. Le cylindre reste toujours vertical. Déterminer les forces qui s’exercent sur lui lorsqu’il estenfoncé d’une hauteur x par rapport à sa position d’équilibre et en déduire la loi de son mouvement.

2.2 Mise en évidence expérimentale de la viscosité

2.2.1 Expérience

Un récipient cylindrique, rempli d’eau et initialement immobile, est mis en rotation autour de son axe. Pour étudier lamise en mouvement du fluide, nous pouvons faire flotter des petites particules sur le liquide et observer leur mouvement.Nous constatons alors les résultats suivants :


• Comme le laisse prévoir la symétrie du système, le mouvement des particules (donc des éléments correspondant defluide) est circulaire.

• À la périphérie, la vitesse devient rapidement proche de celle de la paroi, alors que dans la zone centrale le fluide ne semet en mouvement que très progressivement (cf. figure a).

• Le mouvement se propage de la périphérie vers le centre. Lorsque l’état stationnaire est atteint, après quelques minutes,le système fluide est en rotation uniforme, et tous ses éléments sont immobiles par rapport au récipient (cf. figure b).

• Si la rotation du récipient cesse brusquement, le fluide retourne progressivement vers un état stationnaire de vitessenulle. Les particules situées à la périphérie sont freinées tout d’abord, et la modification du mouvement se propage dela périphérie vers le centre.

2.2.2 Interprétation

On a propagation de proche en proche, par diffusion radiale de l’information «quantité de mouvement» ; la convection dueaux écoulements hydrodynamiques ne peut en effet contribuer à cette propagation puisque le fluide se déplace dans unedirection tangentielle, perpendiculaire au rayon. Un second point important de cette expérience est l’égalité de vitesse dela paroi solide et du fluide près d’elle. Cette caractéristique est observée pour tous les fluides visqueux usuels. Il existe uneforce de friction entre les couches fluides en contact avec le solide qui cause l’entraînement du fluide à partir de la paroi. Letransport diffusif de la quantité de mouvement est assuré par une propriété dépendant du fluide, la viscosité.Dans la dernière expérience (lorsque la rotation du récipient cesse brusquement) si le fluide s’arrête progressivement c’estqu’il dissipe l’énergie mécanique tant que la vitesse relative de ses éléments n’est pas nulle.

Remarque : la description ci-dessus est valable pour un cylindre infiniment long. En pratique, l’effet du fond joue unrôle essentiel dans la façon dont la vitesse évolue aux temps longs. En effet, tout le fluide au voisinage du fond est mis enmouvement de rotation au temps t = 0 par la friction avec la paroi inférieure du cylindre. On montre qu’il en résulte, prèsde cette paroi, une composante radiale de l’écoulement dirigée vers la périphérie. Dans la partie supérieure du cylindre, laquantité de mouvement est alors convectée vers l’intérieur du fluide et non plus seulement diffusée ; on observe alors que lapénétration de la perturbation de vitesse tangentielle progresse suivant une loi proportionnelle à t et non plus à

√t. Cet effet

est un exemple d’écoulement secondaire, c’est-à-dire d’un écoulement induit par un écoulement principal.

2.3 Force de viscosité ou de cisaillement

2.3.1 Définition

Dans le cas du fluide en équilibre, la force de contact entre deux éléments de fluide est la seule force de pression, normaleà leur surface de séparation. Les observations précédentes sur un fluide hors équilibre ne peuvent s’expliquer que par unecomposante tangentielle de la force de contact, appelée force de cisaillement.


Ces forces internes de cisaillement, s’opposent à la déformation des éléments de fluide, et deviennent nulles lorsque ceux-cine se déforment plus au cours du temps.Ces forces, opposées aux vitesses relatives des éléments de fluide, ont une puissance totale négative, ce qui correspond bienà une dissipation d’énergie mécanique.

2.3.2 Cas particulier d’un champ de vitesse unidirectionnel de la forme �v = v(y, t)�ex

Étudions le cas simple où les plans parallèles à (Ox,Oz) glissent les uns sur les autres ; un tel écoulement où la directionde la vitesse est la même en tout point est appelé écoulement parallèle. Ce cas, a priori irréaliste, peut être une bonneapproximation d’un écoulement laminaire réel, si les dimensions selon (Ox) et (Oz) sont très grandes devant l’épaisseur selon(Oy).Considérons deux éléments de fluide, S1 et S2, séparés par la surface Σ, d’aire S, normale à (Oy):

La force de cisaillement, exercée à travers Σ par S1 sur S2, est tangente à Σ. Elle doit s’opposer au glissement de S2 parrapport à S1 . Elle est donc :

• proportionnelle à S (aire de Σ);

• de sens opposé à �ex, si v(y, t) est une fonction croissante de y.

Si la force de cisaillement est une fonction linéaire de la dérivée ∂v∂y , le fluide est dit newtonien.

Pour un écoulement unidirectionnel, tel que �v = v(y, t)�ex, la force de surface tangentielle �F , appelée force decisaillement, ou de viscosité, qu’exerce S1 sur S2 à travers une surface d’aire S normale à �ey est portée par �ex.La valeur algébrique de cette force est égale à

F = − η ∂v∂yS Force de viscosité dans un fluide newtonien

Cette force �F tend à accélérer les veines lentes, et à ralentir les veines rapides.Le coefficient η appelé viscosité du fluide peut, avec une bonne approximation, être considéré comme une constantecaractéristique du fluide à une température donnée.L’unité de viscosité dans le Système International est le poiseuille (Pl) tel que 1 Pl = 1Pa. s.

Le tableau ci-dessous donne quelques ordres de grandeur :

fluide coefficient de viscosité η en Plair (à 105 Pa) 10−5

eau 10−3

huile 1glycérine 1graisse 103

Remarques :

1. la relation F = −η ∂v∂yS est une loi linéaire (simple) reliant la cause∂v∂y à l’effet F .

2. le coefficient de viscosité est aussi appelé viscosité dynamique.


3. un liquide de viscosité inférieure à 10−3 Pa. s est dit mobile, comprise entre 10−2 et 10−1 il est sirupeux, et supérieureà 1 très visqueux.

4. La viscosité des liquides diminue rapidement lorsque la température s’élève. Par exemple celle de l’eau est à 100 ◦Cpresque 4 fois plus faible qu’à 20 ◦C ; la glycérine très visqueuse à 20 ◦C devient un liquide assez «mobile» à 100 ◦C.

5. La viscosité des gaz augmente au contraire lorsque la température s’élève. La théorie moléculaire conduit à unedépendance de η en

√T . Expérimentalement on trouve une dépendance en Tα avec α voisin de 0, 7 pour l’air. La

viscosité du gaz est de plus pratiquement indépendante de la pression ; elle ne diminue qu’aux très basses pressions.

2.4 Viscosité et transfert de quantité de mouvement

• On étudie toujours le cas particulier d’un champ de vitesse unidirectionnel de la forme �v = v(y, t)�ex. La viscosité a poureffet d’accélérer les éléments lents et de freiner les éléments rapides. Il s’agit donc d’un transfert interne de quantité demouvement, qui présente les caractéristiques d’une diffusion.Ce transfert est irréversible et il s’effectue dans le sens de l’uniformisation de la vitesse. On peut donc, par ces aspects,le comparer à une diffusion de particules.

• Appliquons la deuxième loi de Newton à l’élément de fluide dV compris entre les surfaces {S placée en y} et {S placéeen y + dy}: dV = Sdy.

— Cet élément de fluide est soumis à l’action du fluide se situant

∗ en dessous : �Finf = − η(∂v∂y

)t(y)S �ex

∗ au dessus : �Fsup = η(∂v∂y

)t(y + dy)S �ex

∗ donc à une résultante : �F = η[(

∂v∂y

)t(y + dy)−

(∂v∂y

)t(y)]S �ex = η

(∂2v∂y2

)t(y) dy S �ex

— La deuxième loi de Newton donne :

md�v

dt=∑

�F

⇒ ρdV

(∂ [v(y, t)�ex]

∂t

)

y

= η

(∂2v

∂y2

)

t

(y) dy S �ex

⇒(∂v(y, t)

∂t

)

y

=η

ρ

(∂2v

∂y2

)

t

(y)

On pose ν = ηρ ; ν est la viscosité cinématique et on a alors l’équation :

∂v

∂t=η

ρ

∂2v

∂y2Diffusion de la quantite de mvt

Nous retrouvons une équation de cette forme dans tous les phénomènes de diffusion comme dans la loi de Fick qui correspondà la diffusion de particules dont la concentration est inhomogène. Si n représente la densité de particules, n est donné parl’équation de diffusion

∂n(x, t)

∂t= D

(∂2n(x, t)

∂x2

)

La viscosité est un phénomène de diffusion de la quantité de mouvement


2.5 Equivalent volumique des forces de viscosité

On rappelle que la distribution surfacique des forces de pression peut être remplacée par une distribution volumique �fvol =−−−→grad p ;On recherche une telle équivalence pour les forces de viscosité mais le problème est plus complexe car la grandeur diffuséeest vectorielle et non pas scalaire comme dans le cas de la diffusion de particules.On étudie le même système que précédement ; d’après le paragraphe 2.4. l’élément de fluide de volume dV est soumis à

l’action du fluide et la résultante des forces est �F = η

(∂2v

∂y2

)

t

dV �ex ce qui correspond à une densité volumique de forces

�fvol = η

(∂2v

∂y2

)

t

�ex.

On admet la généralisation :

Dans un fluide incompressible, les forces de viscosité sont équivalentes à une force volumique�fviscosité,vol = η �∆�v Force de viscosité

Exercice 10 : Glissement sur plan incliné

Un bloc parallélépipédique de masse M = 1kg glisse sur un plan incliné d’un angle α = 10◦ par rapport au planhorizontal. Ce plan est recouvert d’un film d’huile d’épaisseur e = 5.10−6m. On suppose que le profil de vitessedu film de fluide entre le bloc et le plan est linéaire. La surface de contact est S = 0, 02m2 et la viscosité del’huile η = 8.10−3N. s.m−2.

Déterminer la vitesse limite de glissement du bloc. On prendra g = 9, 8m. s−2.

Exercice 11 : Action longitudinale d’un fluide sur une conduite

Un fluide de coefficient de viscosité η est en écoulement stationnaire dans une conduite cylindrique, d’axe Oz, desection circulaire de diamètre D. Soit qv le débit volumique du fluide (volume de fluide traversant une sectiondroite par unité de temps).

Le profil de vitesse dans la conduite est donné par l’expression �v = v(r)�ez avec :

v(r) =32qvπD4

(D2

4− r2

)

r distance d’un point du fluide à l’axe de la conduite.

Déterminer la force qu’exerce le fluide sur une portion de conduite de longueur L.

Exercice 12 : Glissement d’un cylindre dans un tube

Un cylindre de rayon r, de longueur L, homogène de masse volumique ρ, glisse vers le bas à l’intérieur d’un tubecylindrique vertical de rayon R > r et dont la surface intérieure est recouverte d’un film d’huile. On suppose quele cylindre et le tube restent coaxiaux. De plus, r et R sont voisins et on fera l’hypothèse que le profil de vitesseentre le cylindre et le tube est linéaire.

Exprimer la vitesse limite du cylindre à l’aide de la viscosité η de l’huile et des données du système ; on désignerapar g l’intensité de la pesanteur.

La calculer avec les données suivantes: r = 9, 8mm, R = 10mm, ρ = 2, 7.103 kg.m−3, L = 2 cm, η = 7.10−2 S.I.et g = 9, 8m. s−2.

Exercice 13 : Viscosimètre à écoulement

Un réservoir de section circulaire et de rayon Ro est rempli d’un liquide incompresssible de masse volumique µ etde coefficient de viscosité η. La hauteur de liquide dans le réservoir est notée h.

Ce réservoir peut se vider par l’intermédiaire d’un tube horizontal de longueur L, de section circulaire et de rayonintérieur R. Initialement h = ho et la vidange du réservoir commence à t = 0 par l’ouverture d’un robinet (nonreprésenté sur le schéma):


On suppose que R Ro. Dans ces conditions, on admet la validité des hypothèses suivantes:

a) le régime d’écoulement peut, à chaque instant, être considéré comme un régime permanent;

b) le liquide, dans le réservoir, est pratiquement en équilibre hydrostatique.

Enfin, la formule de Poiseuille donne le débit volumique Dv, d’un tube de rayon R et de longueur L pour unedifférence de pression ∆P entre ses extrémités:

Dv =πR4∆P

8ηL.

l◦ Calculer la différence de pression entre les deux extrémités du tube en fonction de µ, g et h(t).

2◦ Exprimer le débit volumique du tube et en déduire l’équation différentielle régissant l’évolution de h(t).

3◦ Intégrer cette équation différentielle. Quelle est la durée de vidange du réservoir? Expliquer l’origine decette difficulté. Calculer l’intervalle de temps ∆t tel que h(∆t) = ho/2. En déduire une méthode de mesuredu coefficient de viscosité η. Vérifier l’homogénéité de la formule ainsi obtenue sachant que, dans le systèmeinternational, le coefficient de viscosité η s’exprime en Pa. s.

Exercice 14 : Entraînement d’un disque par viscosité

Deux disques identiques de rayon R ont même axe Oz et sont à la distance e R l’un de l’autre.

Un fluide incompressible de coefficient de viscosité η rempli l’intervalle entre les deux disques. Le disque inférieurest fixe, le disque supérieur est animé d’un mouvement de rotation de vitesse angulaire constante ω autour del’axe Oz:

On s’intéresse ici au régime laminaire permanent et on admet qu’ici, le champ de vitesse dans le fluide est de laforme

�v = vθ(r, z)�eθ avec:∂vθ∂r

= cste

(les notations sont celles des coordonnées cylindriques).

l◦ Vérifier que ce champ de vitesse est compatible avec l’incompressibilité du fluide. On admettra qu’en régimepermanent cette incompressibilité se traduit par div �v = 0.

2◦ Expliciter vθ(r, z).

3◦ Par analogie avec la loi de Newton pour un écoulement unidimensionnel, donner l’expression de la force d�F quis’exerce sur un élément de surface dS du disque inférieur; calculer le moment de cette force par rapport à l’axeOz.

4◦ Calculer finalement le moment total par rapport à Oz des forces de viscosité s’exerçant sur le disque inférieur.Quel est, qualitativement, l’effet de ce moment?

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Chapitre I : Pression et viscosité - sertella.free.frsertella.free.fr/cours_psi_physique/mecanique des fluides/mecaflu... · 1 Modèle du uide 2 1.1 Notion de uide ... en général