Equations locales de l’éléctromagnétisme Chapitre I : Charges et …sertella.free.fr/cours_psi_physique/electromagnetisme... · 2004-12-22 · Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme"

Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme" 1

Equations locales de l’éléctromagnétisme

Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent

Objectif : Rappels du cours de première année.

1. Rappels

1.1. Les différentes distributions

1.1.1. Charges et courants

On appelle charges libres des charges susceptibles d’effectuer des mouvements macroscopiques comme les électrons émispar un canon à électrons ou les porteurs de charge mobiles d’un conducteur.On appelle charges liées des charges ne pouvant effectuer qu’un mouvement d’amplitude limitée au sein de la matière àlaquelle elles appartiennent comme les électrons des isolants.Le déplacement des charges libres ou liées engendre des courants des courants libres ou des courants liés.Remarque : le déplacement des charges liées ne doit pas être négligé car il est à l’origine du mécanisme de polarisation des

diélectriques (= isolants) plongés dans un champ extérieur, de sorte que ces charges liées font partie des sources du champélectrique.

1.1.2.Distributions de charges

A l’échelle microscopique les charges électriques peuvent être représentées par une distribution discrète: (qi)1≤i≤n.Dans de nombreux cas on préfère utiliser une modélisation volumique ; on définit alors la densité volumique de chargesρ (en C.m−3). Cette densité est une grandeur moyenne locale définie à une échelle mésoscopique : la charge élémentaireδq contenue dans un volume élémentaire dτ centré en M est

δq = ρ(M)dτ

Il existe deux cas particuliers :

• la distribution, à l’échelle macroscopique, présente l’aspect d’une nappe : on définit alors la densité surfacique decharge σ(M, t) (en C.m−2) : la charge élémentaire δq portée par une surface élémentaire dS centrée en M est

δq = σ(M)dS

la distribution, à l’échelle macroscopique, présente l’aspect d’un fil: on définit alors la densité linéique de chargeλ(M, t) (en C.m−1): la charge élémentaire δq portée par une longueur élémentaire d centrée en M est

δq = λ(M)d

1.1.3. Distributions de courants

1.1.3.1. Cas unidimensionnelOn étudie le mouvement d’ensemble des charges mobiles dans un cylindre. On suppose qu’il n’y a qu’un type de

porteur: soit δQS la charge qui traverse S pendant une durée dt :

x

S

v dtm

Par définition, l’intensité du courant électrique associé à ce mouvement est

IS =δQS

dt

Electromagnétisme. Chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent 2

Soient :· n le nombre de porteurs par unité de volume ;· q la charge d’un porteur ;· vm la vitesse moyenne d’un porteur ;· dn le nombre de porteur traversant la surface S entre t et t+ dt.

Les porteurs traversant la surface S entre t et t+ dt sont dans le cylindre de section S et de génératrice vmdt :

dn = nSvmdt et δQS = qdn

⇒ δQS = qnSvmdt

⇒ IS = qnSvm = jS avec j = qnvm = ρmvm

L’intensité IS du courant électrique traversant la surface S est égale au flux du vecteur densité de courantj = ρmvm où ρm est la densité volumique de porteurs de charges mobiles:

IS = jS

Unités : j s’exprime en A.m−2 et IS en A.

1.1.3.2. Cas généralSoit une surface S ; on cherche l’intensité IS du courant électrique traversant la surface S :

Avec les mêmes notations que précédement, les porteurs traversant la surface dS entre t et t + dt sont dans le cylindre desection dS et de génératrice vmdt:

S

dS

vm

d2n = ndS.vmdt

⇒ δ2QS = qndS.vmdt

⇒ δQS =

∫∫

S

δ2QS =

∫∫

S

qndS.vmdt

IS =δQSdt

=

∫∫

S

qndS.vm

L’intensité IS du courant électrique traversant la surface S est égale au flux du vecteur densité de courantj = ρmvm où ρm = nq est la densité volumique de porteurs de charges mobiles:

IS =

∫∫

S

j.dS

Remarques :

1) S’il y a plusieurs types de porteurs de charges (cas des électrolytes par exemple) alors j =N∑k=1

nk.qk.vk.

2) La densité volumique de charges ρ ne s’identifie pas nécessairement à celle des charges mobiles ρm. Un métal globalementneutre (ρ = 0) peut être le siège de courants créés par les déplacements des électrons de conduction.3) Si la distribution présente l’aspect d’une nappe on définit alors la densité de courant surfacique jS (en A.m−1)

; l’intensité IC du courant électrique traversant la courbe C tracée sur la nappe surfacique et ”orientée” par le vecteur u(normal à la courbe et tangent à la nappe) est :

IC =

∫

C

jS(M, t).ud


SC

MjS

u

dl

4) Dans le cas de courants filiformes on utilisera seulement les intensités de ces courants.

1.2. Conservation de la charge électrique

1.2.1. Principe de conservation

L’expérience montre que la charge électrique est une grandeur conservative : la charge totale d’un systèmefermé se conserve au cours du temps.Ce principe de conservation de la charge est applicable dans toute expérience de physique.

1.2.2. Loi locale de conservation de la charge électrique

1.2.2.1. Cas unidimensionnel

x

S

x x+dx

Le volume V , compris entre les sections S en x et en x+ dx, contient à l’instant t la charge mobile δq(t) avec

δq(t) = ρ(x, t)Sdx

Pendant la durée dt, le courant électrique est responsable de l’entrée de la charge j(x, t)Sdt et de la sortie de la chargej(x+ dx, t)Sdt, donc d’une variation de la charge

d(δq) = j(x, t)Sdt− j(x+ dx, t)Sdt = [j(x, t)− j(x+ dx, t)]Sdt

La charge électrique se conserve, on a donc

d(δq)

dt= [j(x, t)− j(x+ dx, t)]S = ∂ (ρ(x, t)Sdx)

∂t

⇒ −∂j(x, t)∂x

dx =∂ρ(x, t)

∂tdx

⇒ ∂ (j(x, t))

∂x+∂ρ(x, t)

∂t= 0

Dans le cas unidimensionnel la conservation de la charge électrique se traduit par l’équation locale

∂j(x,t)∂x + ∂ρ(x,t)

∂t = 0 équation locale de conservation de la charge

1.2.2.2. Cas généralDans le cas à 3 dimensions on applique la conservation de la charge à un parallélépipède élémentaire placé en M et de

cotés dx, dy, dz.On effectue un bilan dans chaque direction.Le long de l’axe Ox on obtient:

d(δq)x = jx(x, y, z, t)dydzdt− jx(x+ dx, y, z, t)dydzdt = −∂jx(x, y, z, t)

∂xdxdydzdt


La conservation de la charge s’écrit alors:

∂ (ρ(x, y, z, t)dτ)

∂t= −∂jx(x, y, z, t)

∂xdxdydz − ∂jy(x, y, z, t)

∂ydxdydz − ∂jz(x, y, z, t)

∂zdxdydz

= −divj dτ

Dans le cas tridimensionnel la conservation de la charge électrique se traduit par l’équation locale

divj + ∂ρ∂t = 0 équation locale de conservation de la charge

Remarque: on obtient l’expression de cette loi dans un système de coordonnées donné en exprimant l’opérateur divergencedans ce système de coordonnées.

1.2.3. Loi intégrale de conservation de la charge électrique

Soit un volume fini V de l’espace délimité par une surface (fermée) S fixe dans le référentiel d’étude.A un instant t la charge contenue dans ce volume est

Q(t) =

∫∫∫

V

ρ(M, t)dτ

sa variation par unité de temps est donc

dQ(t)

dt=d

dt

(∫∫∫

V

ρ(M, t)dτ

)=

∫∫∫

V

∂ρ(M, t)

∂tdτ

D’après le principe de conservation de la charge électrique cette variation de charge est dûe aux échanges de charges avec lemilieu extérieur à travers la surface S :

dQ(t)

dt= I = courant électrique entrant dans le volume V

= −∫∫

S

©j.dS

Pour un volume fini V de l’espace délimité par une surface fermée S fixe dans le référentiel d’étude, laconservation de la charge électrique se traduit par l’équation intégrale

∫∫∫V∂ρ(M,t)∂t dτ = −

∫∫S j.dS équation intégrale de conservation de la charge

Remarque : on retrouve l’équation locale de conservation de la charge à partir de l’équation intégrale :

∫∫∫

V

∂ρ(M, t)

∂tdτ = −

∫∫

S

©j.dS

= −∫∫∫

V

divj dτ d’après le théorème de Green-Ostrogradsky

⇒∫∫∫

V

(∂ρ(M, t)

∂t+ divj

)dτ = 0 vrai pour tout volume V

⇒ ∂ρ(M, t)

∂t+ divj = 0

1.2.4. Cas des régimes permanents

Dans le cas des régimes permanents (ou stationnaire) l’équation locale de conservation de la charge donne

divj = −∂ρ(M, t)∂t

= 0

En régime permanent le vecteur densité de courant est à flux conservatif. On a donc :

• le courant entrant dans un volume fixe donné est nul car le flux du vecteur densité de courant électriqueà travers une surface fermée est nul.

• le courant électrique a même valeur à travers toutes les sections d’un tube de courant donné.


1.2.5. Approximations des régimes quasipermanents (ARQP ou ARQS)

• En électrocinétique les fils sont des tubes de courants et lorsque que nous parlons de l’intensité dans un fil (entre deuxnoeuds voisins) nous supposons implicitement que cette intensité est unique et donc que j est à flux conservatif.

• De même, la loi des noeuds est équivalente à annuler le flux du vecteur densité de courant électrique sur une surfacefermée entourant le noeud :

I0 = I1 + I2

⇒∫∫

S0

j.dS =

∫∫

S1

j.dS +

∫∫

S2

j.dS

⇒∫∫

S

©j.dS = 0

Les résultats précédents (intensité unique dans un fil et loi des noeuds) sont vrais en régime permanents mais ”semblentfaux” en régime variable.Nous pouvons tout de même les utiliser si la dépendance des grandeurs vis-à vis du temps reste suffisament lente pour pouvoirraisonner comme si le régime était permanent. Dans une telle situation

divj = −∂ρ(M, t)∂t

≈ 0

En électrocinétique cette hypothèse revient à négliger le retard dû à la propagation par rapport à la période du signal :Lc T soit T 3.10−10 s. Aux fréquences usuelles l’hypothèse est pleinement justifiée.Dans l’approximation des régimes quasi permanents (ARQP) le vecteur densité de courant électrique j està flux conservatif.

Exercice n 01 : Champ radial de divergence nulleL’espace entre deux cylindres concentriques, de hauteur h et de rayons a et b, est occupé par un conducteur. Un courant d’intensité

électrique I(t) circule entre les deux cylindres. Déterminer, en négligeant tout effet de bord et dans l’A.R.Q.P., la répartition de courantentre les deux cylindres.

Exercice n 02 : Sphère radioactiveUne petite sphère radioactive de rayon a, initialement neutre, émet de façon isotrope par sa surface n charges q par unité de temps,

avec une vitesse radiale v de norme v constante. Déterminer à un instant t, la répartition de charges et de courants correspondante.

1.3. Conduction électrique

1.3.1. Conductivité d’un milieu et loi d’Ohm locale

1.3.1.1. Conductivité d’un milieuUn conducteur est un milieu qui contient des charges libres: les porteurs de charges.

Sous l’effet d’un champ électrique ces particules se déplacent. Ce mouvement d’ensemble est à l’origine d’un courant électrique.La nature des porteurs dépend du milieu :· dans les électrolytes : les porteurs de charges sont les anions et les cations ;· dans les gaz : si le champ est suffisamment intense il y a ionisation, les porteurs sont donc les électrons et les ions; un

tel gaz est appelé plasma.· dans les solides : pour les métaux, les porteurs sont les électrons de conduction et pour les semi-conducteurs les trous

participent également à la conduction électrique.


Dans de nombreux cas, si le champ appliqué est suffisament faible alors le vecteur densité de courant j et le vecteur champélectrique sont liés par une relation empirique :

j = γ E Loi d’Ohm locale

Le coefficient γ est la conductivité du milieu et s’exprime en S.m−1:

milieu Conductivité (S.m−1)paraffine 10−8

terreau 6.10−6

électrolytes 10−2

Hg 106

Al 3, 7.107

Au 4, 6.107

Cu 5, 9.107

Ag 6, 2.107

1.3.1.2. Modèle microscopique de la conductionOn considère un milieu conducteur dont les porteurs de charges libres ont :· une charge q· une densité particulaire n· une masse m.On applique à ce conducteur un champ électrique E qui entraîne un mouvement d’ensemble des porteurs se superposant

à l’agitation thermique.Soit vm la vitesse moyenne associée à ce mouvement d’ensemble des porteurs de charges mobiles. Onnote ρm = nq la densité volumique de charges.On se place dans un référentiel lié au milieu conducteur et on étudie le mouvement d’un porteur de charge :Cette particule est soumise :· à une force électrique: on admet que l’action du champ électrique macroscopique est Fe = q E,· à une force résultant de l’interaction entre les charges de conduction et les charges fixes du matériau : F = −λv.

La deuxième loi de Newton appliquée à un porteur donne :

mdv

dt= Fe + F

= q E − λv

⇒ dv

dt+λ

mv =

q

mE

⇒ v(t) = v0e− tτ +

q

λE avec τ =

m

λ

τ est appelé temps de relaxation ; On admet que τ est de l’ordre de 10−14 s et donc que très rapidement

v(t) = vm =qλE = µE avec µ = q

λ = mobilité des porteurs

d’après 1.1.3.

j = ρmvm ⇒ j = ρmq

λE =

nq2

λE

soit j = γ E loi d’Ohm localeavec γ = nq2

λ = nq2τm

L’expérience montre que la loi d’Ohm locale est valable dans de nombreux cas.

1.3.2. Loi d’Ohm intégrale

Soit un conducteur obéissant à la loi d’Ohm locale (conductivité γ). On considère une portion de tube de courant compriseentre les sections S1 et S2.Dans le cadre de l’ARQP l’intensité électrique est

I =

∫∫

S

j.dS

Le champ électrique E dérive d’un potentiel scalaire V

E = −−−→gradV


Le vecteur j est parallèle au champ E, et les deux sections S1 et S2 perpendiculaires aux lignes de courants constituent dessurfaces équipotentielles. On a donc

U = V1 − V2 =∫ 2

1

E.d sur un chemin quelconque

On définit alors le rapport R

R =U

I=

∫ 21E.d

∫∫Sj.dS

=

∫ 21E.d

∫∫S γE.dS

=1

γ

∫ 21E.d

∫∫SE.dS

R est appelée résistance du conducteur ohmique et s’exprime en Ohm. R ne dépend que de la géométrie du conducteuret de la conductivité γ.Dans le cas d’une densité de courant uniforme et d’un conducteur cylindrique de section S et de longueur on a

R = γS = ρR

S avec ρR =

1γ =résistivité du milieu (en Ω.m)

1.3.3. Effet Joule

Un porteur de charge, animé d’une vitesse v, reçoit de la force éxercée par le champ électrique une puissance p avec

p = F.v = q E.v = q E.(v0e

− tτ +

q

λE)

pour t τ on a donc

p = q E.q

λE =

q2

λE2

d’où une puissance reçue par le conducteur par unité de volume

Pvol = np = nq2

λE2 = n

q2τ

mE2

La puissance dissipé par effet Joule par unité de volume est

Pvol = γE2 = j. E

Le champ électrique cède donc de l’énergie aux porteurs. Comme l’énergie cinétique moyenne des porteurs reste constante(elle est fonction de la température), il faut admettre que, au cours des chocs qu’ils subissent, les porteurs cèdent au réseaul’énergie qu’ils ont reçue du champ. Ce transfert d’énergie constitue l’effet Joule.Pour un conducteur ohmique cylindrique de section S, de longueur et de résistance R on a

P = Pvol. (V ol) = γE2.S = γ

(U

)2.S =

U2

R

Pour un conducteur de forme quelconque on le décompose en tube de courant élémentaire pour lesquels l’approximationcylindrique est justifiée; par sommation on obtient

P =

∫∫

S

dP =

∫∫

S

U2dG = U2∫∫

S

dG = GU2

La puissance dissipé par effet Joule dans un conducteur ohmique de résistance R est

P = U2

R

Exercice n 03 : Conductivité dans un cylindre de cuivreLe cuivre (Cu) a une masse volumique µ = 8, 94.103 kg.m−3, une masse molaire M(Cu) = 63, 5 g.mol−1 et une résistivité

ρ = 1, 6.10−8Ω.m.On considère un cylindre de cuivre de section S = 1m2, de longueur = 1m. On impose entre les deux extrémités de ce cylindre

une différence de potentiel U = 0, 1V.1) Calculer le nombre d’atomes de cuivre du cylindre.2) Calculer la résistance de ce cylindre. En déduire l’intensité du courant I et la densité de courant j.3) En admettant que chaque atome de cuivre libère environ un électron mobile, calculer la vitesse d’ensemble des porteurs de

charges.4) Calculer la mobilité des électrons libres. En déduire le temps de relaxation τ du milieu. Conclusion.


Rappel: la masse d’un électron est m = 9, 1.10−31 kg.

Exercice n 04 : Conductivité dans un ruban d’argentUn ruban d’argent de conductivité γ = 6, 7.107Ω−1.m−1, de section rectangulaire s = 2, 5mm2, est parcouru par un courant

d’intensité I = 10A perpendiculairement à sa section.Données: M(Ag) = 108 g.mol−1 et µ(Ag) = 10500kg.m−3.1) Calculer la densité volumique de charges mobiles ρm en supposant que chaque atome d’argent produit en moyenne 1 électron

libre.2) Calculer également la densité de courant et le champ à l’intérieur du ruban.3) Calculer la vitesse moyenne des électrons libres et leur mobilité.4) Quelle est la puissance dissipée par unité de volume dans ce conducteur ?

Exercice n 05 : Résistance d’un demi anneauSoit un demi-anneau en cuivre, de section carrée d’épaisseur e, de rayon intérieur r1, et de rayon extérieur r2 = r1+e. La résistivité

du cuivre à 0 C vaut ρ0 = 1, 60.10−8Ω.m.

On suppose que lorsque une différence de potentiel est appliquée entre les sections conductrices de chaque extrémité, les lignes decourants sont circulaires: la seule coordonnée qui intervient est donc la distance x à l’axe du demi-anneau.

1) Déterminer l’expression de la conductance élémentaire dG du tube de courant élémentaire compris entre les demi-cylindres dedistances à l’axe x et x+ dx.

2) Avec les hypothèses précédentes, déterminer l’expression de la résistances R0 de cet anneau à 0 C. Application numérique:e = 1 cm et r1 = 2 cm.

3) Déterminer l’erreur relative commise dans le calcul de R0 dans la mesure où l’anneau est assimilé à un conducteur cylindriquede même section droite, dont la longueur serait la longueur moyenne du demi-anneau.

2. Le champ électrique permanent

2.1. Rappels

2.1.1. Fondements de l’électrostatique

L’électrostatique est la branche de la physique qui étudie les interactions entre des charges fixes.En première année, les fondements de l’électrostatique sont:

• la loi de Coulomb régissant l’interaction de deux charges ponctuelles fixes dans le vide

f1→2 =1

4πε0

q1q2r2 u12

• le principe de superposition: additivité des effets des charges prises séparément.

2.1.2. Champ électrostatique

• On remplace l’action à distance (loi de Coulomb) par une action locale: existence d’un champ électrostatique E avec :

f1→2 = q2 E(r2) avec E(r2) =1

4πε0

q1r2u12

• Le principe de superposition donne dans le cas d’une distribution discrète de charges :

E(M) =∑iEi(M) =

∑i

(1

4πε0

qir2iui)avec ui =

−−−→AiMAiM

• On obtient de même :E(M) = 1

4πε0

∫∫∫Vρ(P )dτr2PM

uPM distribution volumiqueE(M) = 1

4πε0

∫∫Sσ(P )dSr2PM

uPM distribution surfaciqueE(M) = 1

4πε0

∫Cλ(P )dr2PM

uPM distribution linéique


2.1.3. Symétries du champ électrostatique

E est un vecteur polaire, on a donc les propriétés suivantes :

distribution de charges champ électrostatiqueinvariance par une translation même invarianceinvariance par une rotation même invariance

invariance par une symétrie plane changé en son symétrique

En tout point d’un plan de symétrie de la distribution de charges E est porté par ce plan.En tout point d’un plan d’antisymétrie de la distribution de charges E est normal à ce plan.

2.1.4. Propriétés de E

• Le champ électrostatique E dérive d’un potentiel scalaire V

E = −−−→gradV avec V (M) = 14πε0

∫∫∫Vρ(P )dτrPM

+ cste⇔∮CE.d = 0 E est à circulation conservative

• Le champ électrostatique E est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles (V = cste). Le potentiel n’admet pasd’extrémum en dehors des charges.

• Le champ électrostatique E vérifie le théorème de Gauss :∫∫S E.dS = 1

ε0Qint avec Qint =

∫∫∫V ρ(P )dτ théorème de Gauss

• A la traversée d’une nappe de charge surfacique σ, il y a discontinuité de la composante normale du champ électrique :

E2 − E1 =σε0n1→2

2.2. Equations locales

2.2.1. Equations locales à partir des équations intégrales

• E dérive d’un potentiel scalaire V :

E = −−−→gradV ⇒−→rot E = −−→rot−−→grad V = 0

on a donc−→rot E = 0 1 ereéquation locale du champ E

• le théorème de Gauss s’écrit∫∫

S

©E.dS =1

ε0

∫∫∫

V

ρ(P )dτ

Th de Green-Ostrogradsky ⇒∫∫∫

V

div E dτ =1

ε0

∫∫∫

V

ρ(P )dτ

⇒∫∫∫

V

(div E − 1

ε0ρ(P )

)dτ = 0

égalité vérifiée pour tout volume V ⇒ div E =1

ε0ρ

on a doncdiv E = ρ

ε02 emeéquation locale du champ E

• Le potentiel V vérifie lui aussi une équation locale

E = −−−→gradV ⇒−div−−→gradV = ρ

ε0

Le potentiel scalaire V vérifie l’équation:

∆V + ρε0= 0 équation de Poisson


2.2.2. Résolution des équations locales

Pour utiliser uniquement la formulation locale de l’électrostatique il faut retrouver les expressions du champ électrostatiqueE et du potentiel V à partir des équations locales

−→rot E = 0 et div E =

ρ

ε0

On doit donc résoudre l’équation de Poisson ∆V + ρε0= 0 et en déduire l’expression de E. On considère le cas d’une

distribution finie de charges (les charges se trouvent dans un volume D).On admet (cf. cours de math) que la seule solution de l’équation de Poisson tendant vers zéro en 1/r lorsque la distance àla distribution tend vers l’infini est

V (M) =1

4πε0

∫∫∫

D

ρ(P )dτ

rPM

Comme−−→grad

(1

r

)= −ur

r2⇒−−→gradM

(1

rPM

)= −uPM

r2PM

On a alorsE(M) = − 1

4πε0

−−→gradM

(∫∫∫

D

ρ(P )dτ

rPM

)=

1

4πε0

∫∫∫

V

ρ(P )dτ

r2PMuPM

Les deux équations locales−→rot E = 0 et div E = ρ

ε0et la loi d’action f = q E sont équivalentes à l’ensemble loi

de Coulomb + principe de superposition.

Exercice n 06 : Champ crée par une répartition discrète de chargesCalculer le champ électrostatique E sur une droite (x′x) portant deux charges −q et +q situées en −a et +a. Tracer la courbe

donnant E en fonction de x.Exercice n 07 : Champ crée par un plan infiniDéterminer le champ électrostatique crée par un plan infini portant la charge surfacique σ uniforme sur toute sa surface.Exercice n 08 : Champ crée par un disqueDéterminer le champ électrostatique et le potentiel crées par un disque de rayon R, uniformément chargé en surface (avec une

charge totale Q), en tout point de son axe.Exercice n 09 : Champ crée par une sphèreDéterminer le champ électrostatique et le potentiel crées par une sphère de centre O et de rayon R, de charge volumique uniforme

ρ.Exercice n 10 : Champ crée par une droite chargéeDéterminer le champ électrostatique et le potentiel crées par une droite uniformément chargée coïncidant avec l’axe Oz et portant

la charge λ = dq/dz, constante, par unité de longueur.Exercice n 11 : Conducteurs cylindriques infinisSoient deux conducteurs cylindriques de rayon r, de longueur , d’axes parallèles distants de a. On suppose très grand devant a,

lui même très grand devant r. Les fils portent des charges avec une densité linéique −λ pour O1z1, +λ pour l’autre.1. Calculer le potentiel en un point M .2. Déterminer les surfaces équipotentielles et les lignes de champ.Exercice n 12 : Champ crée par une sphère creuseSoit une sphère creuse de rayon R, de centre O, portant une charge répartie uniformément (densité superficielle σ).1. Calculer directement le potentiel crée par cette sphère en un pointM à la distance r du point O (r > R) et en déduire le champ

électrostatique en M . Conclusion.2. Retrouver ces résultats par application du théorème de Gauss.Exercice n 13 : Modèle d’un atome1. On représente, d’une manière approchée, un atome par :- un noyau central O de rayon a, contenant Z protons de charge e,- et un cortège électronique dont la densité volumique de charge en M (OM = r > a) est ρ(r) = A.r−n (n et A constants).Sachant que l’atome est électriquement neutre :

1.1. Montrer que n > 3.1.2. Déterminer la constantes A.

2. Déterminer le champ électrostatique E et le potentiel V en M .

3. La théorie montre qu’en chaque point M , ρ(r) et V (r) sont liés par la relation ρ(r) = K [V (r)]3/2 avec K = cste. En déduiren et la loi V (r).

4. Application numérique : Z = 100 et a = 10−5 nm. Calculer V à la distance r = 50a.Exercice n 14 : Champ électrique atmosphériqueLe champ électrique dans l’atmosphère, au voisinage de la Terre, est dirigé vers le centre de la Terre et vaut E1 = 93V.m−1 à

l’altitude h1 = 100m et E2 = 30V.m−1 à l’altitude h2 = 1km.

1. Déterminer la densité volumique moyenne des charges de l’atmosphère aux altitudes considérées, par deux méthodes :


1.1. En utilisant l’équation de Poisson,1.2. En utilisant le théorème de Gauss.

2. Etudier les variations du potentiel électrique en fonction de l’altitude h, entre les deux altitudes considérées. On admet que lepotentiel est V1 à l’altitude h1.

3. Calculer la d.d.p. entre les altitudes h1 et h2 en fonction de E1, E2, h1 et h2.Exercice n 15 : Potentiel de YukawaA une distance r d’un point O, le potentiel d’une distribution de charges a pour expression : V (r) = q

4πε01re−r/a avec a =

constante et q > 0.1. Déterminer le champ E (r) à la distance r de O et le flux φ de ce champ à travers une sphère S de centre O et de rayon r. Que

deviennent ces expressions quand r tend vers 0 ? Interprétation.2. Déterminer la charge volumique ρ(r) à la distance r. Déterminer la somme q′ des charges contenues dans la sphère S. Que

devient q′ quand r tend vers l’infini ?

3. Le champ magnétique permanent

3.1. Rappels

3.1.1. Définition

Soit une particule de masse m, de charge q, animée d’une vitesse v et évoluant dans une région de l’espace où elle est soumiseà une force dite de Lorentz donnée par :

F = qv ∧ B

Nous dirons alors que la particule évolue dans une région où règne un champ magnétique B.Unités : [B] = tesla (symbole T).Remarque : La définition de B fait intervenir un produit vectoriel ; L’orientation du champ magnétique dépend donc dela convention choisie pour la base des coordonnées d’espace. Un tel vecteur est appelé pseudo vecteur ou vecteur axial paropposition aux vrais vecteurs ou vecteurs polaires comme le champ électrique.

3.1.2. Symétries du champ magnétostatique

B est un pseudo vecteur, on a donc les propriétés suivantes:

distribution de courants champ magnétostatiqueinvariance par une translation même invarianceinvariance par une rotation même invariance

invariance par une symétrie plane changé en opposé de son symétrique

En tout point d’un plan de symétrie de la distribution de courants B est normal à ce plan.En tout point d’un plan d’antisymétrie de la distribution de courants B est porté par ce plan.

3.1.3. Allures des lignes de champ

Pour obtenir expérimentalement la carte d’un champ magnétique dans un plan donné, il suffit de placer une plaque planedans ce plan(constitué en général d’un matériau transparent pour permettre une projection) et de la saupoudrer de limaillede fer : on obtient le spectre magnétique.En présence du champ magnétique les morceaux de limaille de fer s’aimantent et s’orientent dans la direction de B. Chaquegrain se comporte comme un dipôle magnétique.On observe alors les propriétés suivantes:· Les lignes du champ magnétique ne divergent pas à partir de leur source mais tourbillonnent autour de celle-ci (différents

des résultats obtenus pour le champ électrostatique).· Un tire-bouchon tournant dans le sens des lignes de champ entourant un élément de fil parcouru par un courant, progresse

dans le sens de ce courant.· Un tire-bouchon tournant dans le sens du courant progresse dans le sens des lignes de champ à l’intérieur du circuit.


Remarque: on rappelle que le champ électrique n’a pas le même comportement vis à vis de ses sources: les lignes dechamp convergent ou divergent vers les charges électriques ou vers l’infini:

3.1.4. Loi de Biot et Savart (1820)

Soit en un point P un élément de fil d parcouru par un courant d’intensité I constante, mesurée posi-tivement dans le sens du vecteur d . Le champ magnétostatique élémentaire dB(M) créé dans le vide en unpoint M par l’élément de courant dC = Id a pour expression :

d B(M) =µ04π

Id ∧ ePMr2PM

avec rPM = r = PM, ePM étant le vecteur unitaire pointant du point P vers le point M.µ0 est la perméabilité du vide et sa valeur dépend des unités choisies. Dans le système d’unités internationales: µ0 = 4π.10−7H.m−1.On obtient le champ B par sommation sur toute la distribution (circuit filiforme C parcouru par un courantI):

B(M) = µ04π

∫CId-∧-ePMr2PM


Remarque: suivant la nature de la distribution de courants on pourra utiliser dC = Id ou jSdS ou jdτ soit

B(M) =µ04π

∫∫

S

jSdS ∧ ePMr2PM

ou B(M) =µ04π

∫∫∫

D

jdτ ∧ ePMr2PM

3.1.5. Propriétés de B

• Le champ magnétostatique B vérifie le théorème d’Ampère :la circulation du champ B sur un contour fermé orienté C quelconque est lié au courant I enlacé par C par la relation

∮CB.d = µ0Ienlace = µ0

∫∫Sj.dS théorème d’Ampère

• Le champ magnétostatique B est à flux conservatif :Soit une surface fermé S quelconque, on a : ∫∫

S

© B.dS = 0

• A la traversée d’une nappe de courant de vecteur densité de courant surfacique jS il y a discontinuitéde la composante tangentielle du champ magnétique :

B2 − B1 = µ0jS ∧ n1→2

3.2. Equations locales

3.2.1. Equations locales à partir des équations intégrales

• Le champ magnétostatique B vérifie le théorème d’Ampère : soit S une surface s’appuyant sur un contour fermé orientéC, on a :

∮

C

B.d = µ0

∫∫

S

j.dS théorème d’Ampère

⇒∫∫

S

(−→rot B

).dS = µ0

∫∫

S

j.dS

⇒∫∫

S

((−→rot B

)− µ0j

).dS = 0

vrai ∀S ⇒ −→rot B = µ0j

on a donc−→rot B = µ0j 1ereéquation locale du champ B

• Soit D un domaine (volume) fini délimité par une surface fermé S. Le champ magnétostatique B est à flux conservatif,on a donc :

∫∫

S

©B.dS = 0

th. de Green-Ostrograsky ⇒∫∫∫

D

(div B

)dτ = 0

vrai ∀D ⇒ div B = 0


on a doncdiv B = 0 2emeéquation locale du champ B

3.2.2. Potentiel vecteur A

3.2.2.1. Existence d’un potentiel vecteur ALe champ magnétique B est à divergence nulle, il dérive donc d’un potentiel vecteur A

B =−→rot A

Unités: A s’exprime en tesla.mètre ou en weber par mètre (le weber, symbole Wb, est l’unité de flux magnétique 1Wb =1T.m2).

3.2.2.2. Choix d’un potentiel vecteur A

• En électrostatique, la relation E = −−−→gradV définit le potentiel scalire V à une constante additive près :si V est un potentiel scalaire pour le champ électrique E (V vérifie la relation E = −−−→gradV ) alors V ′ = V + csteconvient également.

• De même la relation B = −→rot A définit le vecteur A à un vecteur gradient près :si A est un potentiel vecteur pour le champ magnétique B ( A vérifie la relation B =

−→rot A) alors pour toute fonction

scalaire f , le champ vectoriel A′ = A+−−→grad f est également un potentiel vecteur pour B. En effet

−→rot A′ =

−→rot

(A+

−−→grad f

)

=−→rot A+

−→rot−−→grad f

= B +0

on a bien−→rot A′ = B

• Choix du potentiel :

— En électrostatique, on utilise cette indétermination du potentiel scalaire pour imposer une condition suplémentaire: limr→+∞

V (r) = 0 (si possible).

— En magnétostatique, on admet que l’on peut imposer la condition de jauge de Coulomb

div A = 0

le choix d’une jauge modifie le potentiel vecteur A mais pas le champ B.

3.2.2.3. Propriétés du potentiel vecteur A

• Circulation du potentiel vecteur Asoit S une surface s’appuyant sur un contour fermé orienté C, on a :

∮

C

A.d =

∫∫

S

−→rot A.dS théorème de Stokes-Ampère

=

∫∫

S

B.dS

La circulation du potentiel vecteur A sur un contour fermé orienté C est égale au flux du champ mag-nétique B, à travers toute surface S s’appuyant sur ce contour

∮CA.d =

∫∫SB.dS = φ

Remarque: l’orientation de la surface S est liée à celle du contour.


• Equation de Poissonon a les relations

−→rot B = µ0j et B =

−→rot A

⇒ −→rot

−→rot A = µ0j

⇒ −−→grad div A− ∆ A = µ0j

⇒ ∆ A+ µ0j = 0 car div A = 0 (jauge de Coulomb)

En régime permanent, le potentiel vecteur A vérifie l’équation locale :

∆ A+ µ0j =−−→grad div A

Dans la jauge de Coulomb, le potentiel vecteur est lié aux sources du champ magnétique par l’équationde Poisson :

∆ A+ µ0j = 0

On admet que dans de telles conditions le potentiel vecteur A se comporte comme un vecteur polaire :

distribution de courant potentiel vecteur Ainvariance par une translation même invarianceinvariance par une rotation même invariance

invariance par une symétrie plane changé en son symétrique

En tout point d’un plan de symétrie de la distribution de courant A est porté par ce plan.En tout point d’un plan d’antisymétrie de la distribution de courant A est normal à ce plan.

3.2.3. Résolution des équations locales

Comme dans le cas de l’électrostatique, on peut postuler les équations locales et chercher à les résoudre.On recherche le potentiel vecteur A dans la jauge de Coulomb; A vérifie l’équation de Poisson

∆ A+ µ0j = 0

⇒

∆Ax + µ0 jx = 0∆Ay + µ0 jy = 0∆Az + µ0 jz = 0

on retrouve trois équations de Poisson scalaire semblables à celle vérifiée par le potentiel scalaire V : ∆V + ρε0= 0 avec

l’analogie :

électrostatique ε0 ρ Vmagnétostatique 1

µ0ji Ai

Pour une distribution de courants d’extension finie, on obtient

Ai(M) =µ04π

∫∫∫

D

ji(P )dτ

rPM

En regoupant les trois composantes on obtient l’expression de A :Le potentiel vecteur A(M) créé enM par une distribution de courant de vecteur densité de courant volumiquej est

A(M) =µ04π

∫∫∫

D

j(P )dτ

rPM

Remarque: suivant la nature de la distribution de courants on pourra aussi utiliser dC = Id ou jSdS ou jdτ soit

A(M) =µ04π

∫∫

S

jSdS

rPMou A(M) =

µ04π

∫∫∫

D

Id

rPM


On obtient B grâce à la relation B =−→rot A :

B(M) =−→rotM A(M)

=−→rotM

(µ04π

∫∫∫

D

j(P )dτ

rPM

)

=µ04π

∫∫∫

D

−→rotM

(j(P )

rPM

)dτ

=µ04π

∫∫∫

D

(−−→gradM

(1

rPM

)∧j(P )

)dτ

=µ04π

∫∫∫

D

(j(P ) ∧ ePM

r2PM

)dτ

On retrouve bien l’expression de B pour une distribution d’extension finie

B(M) =µ04π

∫∫∫

D

j(P )dτ ∧ ePMr2PM

Les deux équations locales−→rot B = µ0j et div B = 0 sont équivalentes à la loi de Biot et Savart.

Exercice n 16 : Fil infiniCalculer le champ B créé par un fil infini rectiligne de rayon R parcouru par j0 uniforme dans sa section.

Exercice n 17 : Solénoïde infini hélicoïdal

Calculer le champ B créé par un solénoïde infini parcouru par un courant surfacique js uniforme, faisant un angle α avec la directiondu solénoïde.

Exercice n 18 : Plaque infinieCalculer le champ B créé par une plaque infinie parcourue par js uniforme.

Exercice n 19 : Champ à l’extérieur d’un solénoïde infiniMontrer que le champ à l’extérieur d’un solénoïde infini est nul, en considérant le cas limite d’un solénoïde torique de rayon infini.

Exercice n 20 : Potentiel-vecteur d’un champ magnétique uniformeSoit O un point fixe. Vérifier que le potentiel-vecteur d’un champ magnétique uniforme vaut

A =B ∧−−→OM2

Exercice n 21 : Lignes du champ créé par une spire au voisinage de son axeTrouver l’expression du champ magnétique créé par une spire sur son axe. À l’aide des équations locales, en déduire la forme des

lignes de champ au voisinage de l’axe.

Exercice n 22 : Champ créé par un polygone à n côtés en son centreTrouver la valeur du champ magnétique créé en son centre par un polygone à n côtés parcouru par un courant I. Faire tendre n

vers l’infini : le résultat est-il cohérent ?

Documents

Equations locales de l’éléctromagnétisme Chapitre I : Charges et …sertella.free.fr/cours_psi_physique/electromagnetisme... · 2004-12-22 · Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme"