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Chapitre V

Représentation des systèmes : Schémas blocs et graphes de fluence

1 Schémas blocs En général les systèmes sont représentés par un schéma fonctionnel comprenant plusieurs blocs et

boucles. Pour réduire le schéma fonctionnel en un seul bloc dont l’entrée et la sortie sont les

paramètres d’intérêt on utilise les règles de simplification, résumées dans le tableau 5.1.

Tableau 5.1

1G 2G

1G

2G

X Y

YX

±

X Y21GG

Y21 GG ±X

m

X YG

HGH1

G

±

X Y

± ±

1x

2x

3x

Y± ±

Y1x

2x

3x

G

±

1x

2x

Y G

±

1x Y

G/1 2x

G

±

1x

2x

YG

±

1x

2x

Y

G

G Y

YGY

YG

G/1

YG G Y

x x

x

x

x

x

±

±

±±2x

1x

3x

±Y Y

±1x

2x 3x

2

Exemple 5.1 Un système est représenté par le schéma bloc suivant :

)s(R )s(C

s/1

s/1

s

ss

Déterminer la fonction de transfert (FT) G(s) = C(s)/R(s) du système.

Solution Pour déterminer la FT du système on applique les règles de simplification du tableau 5.1 afin de

réduire le schéma bloc initial en un seul bloc.

En appliquant les règles 1 et 2 du tableau aux blocs : s, s et 1/s on obtient le schéma suivant :

)s(R )s(Cs/1

s

1s3 +

s

L’application de la règle 8 au point de branchement A donne :

)s(R )s(Cs/1

s

1s3 +

s

s

L’application des règles 1 et 2 donne :

)s(R )s(C

2

3

s

1s +

s2

Finalement l’application de la règle 3 donne :

s2ss2

1s

)s(R

)s(C)s(G

24

3

++

+==

2 Graphes de fluence

3

Les graphes de fluence sont une alternative aux schémas blocs. Ils sont composés de branches qui

représentent les sous-systèmes (systèmes) et des nœuds qui représentent les signaux comme illustré

à la figure 5.1.

)s(G )s(V

)s(R1

)s(R 2

)s(R3

)s(V

)s(C1

)s(C2

)s(C3

)s(G1

)s(G2−

)s(G3

)s(G4

)s(G5

)s(G6−

Figure 5.1 : Graphe de fluence

où:

)s(G)s(R)s(G)s(R)s(G)s(R)s(V 332211 +−=

)s(G)s(G)s(R)s(G)s(G)s(R)s(G)s(G)s(R)s(G)s(V)s(C 53352251152 +−==

Le tableau 5.2 montre les graphes de fluence qui correspondent aux schémas fonctionnels des blocs

en cascade, parallèle et d’une boucle fermée.

Tableau 5.2

Y)s(X )s(Y

)s(Y

)s(X)s(G1 )s(G2 )s(G3

)s(G1 )s(G2 )s(G3

)s(V1)s(V2

)s(V1)s(V2

)s(X

)s(G1

)s(G2

)s(G3

)s(G

)s(H

)s(X )s(Y

)s(X )s(Y

)s(G3

)s(G2

)s(G1)s(V1

)s(V2

)s(V3

)s(X )s(Y)s(G

)s(H−

)s(V1

)s(V3

)s(V2

)s(E

)s(E

2.1 Construction d’un graphe de fluence à partir d’un schéma bloc

Pour construire le graphe de fluence qui correspond à un schéma bloc donné on suit la procédure

suivante :

a) Sur le schéma bloc initial indiquer un nœud à l’entrée et à la sortie de chaque bloc;

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b) Commencer le graphe de fluence par la représentation de tous les nœuds indiqués sur le

schéma bloc.

c) Connecter les nœuds en respectant la direction du flux des signaux sur le schéma bloc.

Sur chaque branche indiquer la fonction de transfert correspondante. Les signes négatifs

au niveau des points de sommation de schémas blocs sont reflétés sur le graphe par des

fonctions de transfert négatives.

Exemple 5.2 On donne le schéma bloc suivant :

)s(G1

)s(V1 )s(V2 )s(V3)s(X

)s(Y)s(G2 )s(G3

)s(H3

)s(H2

)s(H1

)s(V4 )s(V5

)s(V6

)s(V7

)s(V8

−− −

+ + +

+

Construire le graphe de fluence correspondant.

Solution L’application de la procédure décrite ci-dessus donne le graphe de fluence suivant :

)s(G1

)s(V1 )s(V2 )s(V3

)s(X )s(Y)s(G2 )s(G3

)s(H3

)s(H2

)s(H1

)s(V4 )s(V5

)s(V7 )s(V8)s(V6

2.2 Règle de Mason

La règle de Mason décrit la procédure d’obtention de la fonction de transfert d’un système à partir

du graphe de fluence. Cette règle utilise les notions suivantes : gain des boucles, gains de la

trajectoire directe, boucles indépendantes (boucles qui ne se touchent pas) et gains des boucles

indépendantes. Ces notions sont illustrées à l’aide du graphe de fluence ci-dessus :

1) Gain de la boucle GB. C’est le produit des FT de la boucle. Pour le graphe ci-dessus on a

trois boucles dont les gains sont :

Boucle 1 :

)()( 221 sHsGGB −=

Boucle 2 :

)(1212 sHGGGB −=

Boucle 3 :

)()( 333 sHsGGB −=

5

2) Gain de la trajectoire directe Ti. C’est le produit des FT d’une trajectoire i reliant l’entrée

et la sortie. La trajectoire directe a une seule direction : de l’entrée vers la sortie. Pour le

graphe ci-dessus on a 2 trajectoires directes dont le gain est :

)()()( 3211 sGsGsGT =

)()( 312 sGsGT =

3) Boucles indépendantes. Ce sont des boucles qui n’ont aucun nœud commun. Pour le

graphe ci-dessus : les boucles 1 et 3 et les boucles 2 et 3 sont indépendantes. Par contre les

boucles 1 et 2 sont dépendantes car elles ont 4 ont les nœuds V3(s) et V4(s) en commun.

4) Gains des boucles indépendantes n à n C’est le produit des gains des boucles

indépendantes n à n. Pour le graphe ci-dessus on trouve :

Les gains des boucles indépendantes 2 à 2 suivants :

Boucle 1 et boucle 3 :

)()()()( 33223,1 sHsGsHsGGB =

Boucle 2 et boucle 3 :

)()()()()( 331213,2 sHsGsHsGsGGB =

Note : Pour le graphe de fluence ci-dessus les boucles indépendantes 3 à 3 et d’ordre supérieur

n’existent pas.

Formule de Mason

La fonction de transfert, G(s) d’un système représenté par un graphe de fluence est :

∆

∆

=

∑=

k

1i

iiT

)s(G ,

où

k – nombre des trajectoires directes;

Ti – gain de la trajectoire directe i;

...1 ,,,∑ ∑ ∑ +−+−=∆ lkjkjj GBGBGB

i∆ est déterminé en éliminant dans ∆ tous les gains des boucles qui touchent la trajectoire

directe i.

Pour le graphe ci-dessus en tenant compte des valeurs des gains des boucles obtenues

précédemment on trouve :

)()()()()()()()()(

)()()()()()()(1

331213322

3312122

sHsGsHsGsGsHsGsHsG

sHsGsHsGsGsHsG

++

+++=∆

L’analyse du graphe de fluence ci-dessus montre que toutes les boucles touchent les deux

trajectoires directes. Donc,

121 =∆=∆

D’où :

∆

+=

∆

+=

)()()()()()( 3132121 sGsGsGsGsGTTsG