Les suites

Exo7

Vido partie 1. Premires dfinitionsVido partie 2. LimiteVido partie 3. Exemples remarquablesVido partie 4. Thormes de convergenceVido partie 5. Suites rcurrentesExercices Suites

Introduction

Ltude des suites numriques a pour objet la comprhension de lvolution de squences denombres (rels, complexes ...). Ceci permet de modliser de nombreux phnomnes de la vie quo-tidienne. Supposons par exemple que lon place une somme S un taux annuel de 10%. Si Snreprsente la somme que lon obtiendra aprs n annes, on a

S0 = S S1 = S1,1 . . . Sn = S (1,1)n .

Au bout de n = 10 ans, on possdera donc S10 = Sn = S (1,1)10 S2,59 : la somme de dpartavec les intrts cumuls.

1. Dfinitions

1.1. Dfinition dune suite

Dfinition 1

Une suite est une application u :NR. Pour n N, on note u(n) par un et on lappelle n-me terme ou terme gnral de la

suite.

La suite est note u, ou plus souvent (un)nN ou simplement (un). Il arrive frquemment que lonconsidre des suites dfinies partir dun certain entier naturel n0 plus grand que 0, on note alors(un)nn0 .

Exemple 1

(pn)n0 est la suite de termes : 0, 1,

p2,p

3,. . . ((1)n)n0 est la suite qui alterne +1, 1, +1, 1,. . . La suite (Sn)n0 de lintroduction dfinie par Sn = S (1,1)n, (Fn)n0 dfinie par F0 = 1, F1 = 1 et la relation Fn+2 = Fn+1+Fn pour n N (suite de

Fibonacci). Les premiers termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . Chaque terme est la sommedes deux prcdents.

(

1n2

)n1. Les premiers termes sont 1,

14 ,

19 ,

116 , . . .

1

21.2. Suite majore, minore, borne

Dfinition 2

Soit (un)nN une suite. (un)nN est majore si M R n N un M. (un)nN est minore si m R n N un m. (un)nN est borne si elle est majore et minore, ce qui revient dire :

M R n N |un| M.

0 1 2

M+

++

++

+ +

m

+

++

+ +

+

+

1.3. Suite croissante, dcroissante

Dfinition 3

Soit (un)nN une suite. (un)nN est croissante si n N un+1 un. (un)nN est strictement croissante si n N un+1 > un. (un)nN est dcroissante si n N un+1 un. (un)nN est strictement dcroissante si n N un+1 < un. (un)nN est monotone si elle est croissante ou dcroissante. (un)nN est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement

dcroissante.

Voici un exemple dune suite croissante (mais pas strictement croissante) :

++

+

+

+ +

+ +

3Remarque

(un)nN est croissante si et seulement si n N un+1un 0. Si (un)nN est une suite termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement

si n N un+1un 1.

Exemple 2

La suite (Sn)n0 de lintroduction est strictement croissante car Sn+1/Sn = 1,1> 1. La suite (un)n1 dfinie par un = (1)n/n pour n 1, nest ni croissante ni dcroissante.

Elle est majore par 1/2 (borne atteinte en n = 2), minore par 1 (borne atteinte enn= 1).

1 2 3 4 5 6

1

12

12

-1 +

+

+

+

+

+

La suite( 1n)n1 est une suite strictement dcroissante. Elle est majore par 1 (borne

atteinte pour n= 1), elle est minore par 0 mais cette valeur nest jamais atteinte.

Mini-exercices

1. La suite( nn+1)nN est-elle monotone ? Est-elle borne ?

2. La suite( nsin(n!)

1+n2)nN est-elle borne ?

3. Rcrire les phrases suivantes en une phrase mathmatique. crire ensuite la ngationmathmatique de chacune des phrases. (a) La suite (un)nN est majore par 7. (b) Lasuite (un)nN est constante. (c) La suite (un)nN est strictement positive partir duncertain rang. (d) (un)nN nest pas strictement croissante.

4. Est-il vrai quune suite croissante est minore ? Majore ?

5. Soit x > 0 un rel. Montrer que la suite(xnn!

)nN est dcroissante partir dun certain

rang.

2. Limites

2.1. Introduction

Pour un trajet au prix normal de 20 euros on achte une carte dabonnement de train 50 euros eton obtient chaque billet 10 euros. La publicit affirme 50% de rduction . Quen pensez-vous ?Pour modliser la situation en termes de suites, on pose pour un entier n 1 :

un = 20nvn = 10n+50

4un est le prix pay au bout de n achats au tarif plein, et vn celui au tarif rduit, y compris le prixde labonnement. La rduction est donc, en pourcentage :

1 vnun

= unvnun

= 10n5020n

= 0,5 52n

n+ 0,5

Il faut donc une infinit de trajets pour arriver 50% de rduction !

50%

+

++ +

+ + + +

2.2. Limite finie, limite infinie

Soit (un)nN une suite.

Dfinition 4

La suite (un)nN a pour limite ` R si : pour tout > 0, il existe un entier naturel N tel quesi nN alors |un`| :

> 0 N N n N (nN = |un`| )

On dit aussi que la suite (un)nN tend vers `. Autrement dit : un est proche daussi prs que lonveut de `, partir dun certain rang.

`

`+

`

+

++ +

++

++

+ + ++ +

N n

un

Dfinition 5

1. La suite (un)nN tend vers + si :

A > 0 N N n N (nN = un A)

2. La suite (un)nN tend vers si :

A > 0 N N n N (nN = un A)

Remarque

1. On note limn+ un = ` ou parfois un n+ `, et de mme pour une limite .2. limn+ un = limn+un =+.3. On raccourcit souvent la phrase logique en : > 0 N N (nN = |un`| ).

Noter que N dpend de et quon ne peut pas changer lordre du pour tout et du il

5existe .

4. Lingalit |un`| signifie ` un `+. On aurait aussi pu dfinir la limite parla phrase : > 0 N N (nN = |un`| < ), o lon a remplac la dernireingalit large par une ingalit stricte.

Dfinition 6

Une suite (un)nN est convergente si elle admet une limite finie. Elle est divergente sinon(cest--dire soit la suite tend vers , soit elle nadmet pas de limite).

On va pouvoir parler de la limite, si elle existe, car il y a unicit de la limite :

Proposition 1

Si une suite est convergente, sa limite est unique.

Dmonstration

On procde par labsurde. Soit (un)nN une suite convergente ayant deux limites ` 6= `. Choisissons> 0 tel que < |``|2 .Comme limn+ un = `, il existe N1 tel que nN1 implique |un`| < .De mme limn+ un = `, il existe N2 tel que nN2 implique |un`| < .Notons N =max(N1,N2), on a alors pour ce N :

|uN `| < et |uN `| < Donc |``| = |`uN+uN`| |`uN |+|uN`| daprs lingalit triangulaire. On en tire |``| + = 2 < |``|. On vient daboutir lingalit |``| < |``| qui est impossible. Bilan : notrehypothse de dpart est fausse et donc `= `.

2.3. Proprits des limites

Proposition 2

1. limn+ un = ` limn+(un`)= 0 limn+|un`| = 0,2. limn+ un = ` = limn+|un| = |`|.

Dmonstration

Cela rsulte directement de la dfinition.

Proposition 3. Oprations sur les limites

Soient (un)nN et (vn)nN deux suites convergentes.

1. Si limn+ un = `, o ` R, alors pour R on a limn+un =`.2. Si limn+ un = ` et limn+ vn = `, o `,` R, alors

limn+ (un+vn)= `+`

limn+ (unvn)= ``

63. Si limn+ un = ` o ` R =R\{0} alors un 6= 0 pour n assez grand et limn+ 1un =1`.

Nous ferons la preuve dans la section suivante.Nous utilisons continuellement ces proprits, le plus souvent sans nous en rendre compte.

Exemple 3

Si un ` avec ` 6= 1, alors

un(13un) 1u2n1

n+ `(13`)

1`21.

Proposition 4. Oprations sur les limites infinies

Soient (un)nN et (vn)nN deux suites telles que limn+ vn =+.1. limn+ 1vn = 02. Si (un)nN est minore alors limn+ (un+vn)=+3. Si (un)nN est minore par un nombre > 0 alors limn+ (unvn)=+4. Si limn+ un = 0 et un > 0 pour n assez grand alors limn+ 1un =+.

Exemple 4

Si (un) est la suite de terme gnral 1pn , alors limn+ (un)= 0.

2.4. Des preuves !

Nous nallons pas tout prouver mais seulement quelques rsultats importants. Les autres sedmontrent de manire tout fait semblable.Commenons par prouver un rsultat assez facile (le premier point de la proposition 4) :

Si limun =+ alors lim 1un = 0. Dmonstration

Fixons > 0. Comme limn+ un =+, il existe un entier naturel N tel que n N implique un 1 .On obtient alors 0 1un pour nN. On a donc montr que limn+

1un= 0.

Afin de prouver que la limite dun produit est le produit des limites nous aurons besoin dun peude travail.

Proposition 5

Toute suite convergente est borne.

Dmonstration

Soit (un)nN une suite convergeant vers le rel `. En appliquant la dfinition de limite (dfinition 4)avec = 1, on obtient quil existe un entier naturel N tel que pour nN on ait |un`| 1, et donc pournN on a

|un| = |`+ (un`)| |`|+ |un`| |`|+1.

7`

`+1

`1

+

++ +

++

++

+ + ++ +

N

Donc si on poseM =max(|u0|, |u1|, , |uN1|, |`|+1)

on a alors n N |un| M.

Proposition 6

Si la suite (un)nN est borne et limn+ vn = 0 alors limn+ (unvn)= 0.

Exemple 5

Si (un)n1 est la suite donne par un = cos(n) et (vn)n1 est celle donne par vn = 1pn , alorslimn+ (unvn)= 0.

Dmonstration

La suite (un)nN est borne, on peut donc trouver un rel M > 0 tel que pour tout entier naturel n onait |un| M. Fixons > 0. On applique la dfinition de limite (dfinition 4) la suite (vn)nN pour = M . Il existe donc un entier naturel N tel que nN implique |vn| . Mais alors pour nN on a :

|unvn| = |un||vn| M = .

On a bien montr que limn+ (unvn)= 0.

Prouvons maintenant la formule concernant le produit de deux limites (voir proposition 3).

Si limun = ` et limvn = ` alors limunvn = ``. Dmonstration Dmonstration de la formule concernant le produit de deux limites

Le principe est dcrire :unvn`` = (un`)vn+`(vn`)

Daprs la proposition 6, la suite de terme gnral `(vn`) tend vers 0. Par la mme proposition il enest de mme de la suite de terme gnral (un`)vn, car la suite convergente (vn)nN est borne. Onconclut que limn+(unvn``)= 0, ce qui quivaut limn+ unvn = ``.

2.5. Formes indtermines

Dans certaines situations, on ne peut rien dire priori sur la limite, il faut faire une tude au caspar cas.

8Exemple 6

1. + Cela signifie que si un+ et vn il faut faire faire ltude en fonctionde chaque suite pour lim(un+vn) comme le prouve les exemples suivants.

limn+

(en ln(n))=+

limn+

(nn2)=

limn+

((n+ 1

n

)n)= 0

2. 0

limn+

1lnn

en =+

limn+

1n lnn= 0

limn+

1n (n+1)= 1

3. , 00 , 1

, ...

2.6. Limite et ingalits

Proposition 7

1. Soient (un)nN et (vn)nN deux suites convergentes telles que : n N, un vn. Alors

limn+un limn+vn

2. Soient (un)nN et (vn)nN deux suites telles que limn+ un = + et n N, vn un.Alors limn+ vn =+.

3. Thorme des gendarmes : si (un)nN, (vn)nN et (wn)nN sont trois suites telles que

n N un vn wn

et limn+ un = `= limn+wn, alors la suite (vn)nN est convergente et limn+ vn =`.

` wn+ + + + + + + + + + + +

un++ + + + + +

+ + + ++

vn++ + + + +

+ + + + + +

9Remarque

1. Soit (un)nN une suite convergente telle que : n N, un 0. Alors limn+ un 0.2. Attention : si (un)nN est une suite convergente telle que : n N, un > 0, on ne peut

affirmer que la limite est strictement positive mais seulement que limn+ un 0. Parexemple la suite (un)nN donne par un = 1n+1 est termes strictement positifs, maisconverge vers zro.

Dmonstration Dmonstration de la Proposition 7

1. En posant wn = vnun, on se ramne montrer que si une suite (wn)nN vrifie n N, wn 0 etconverge, alors limn+wn 0. On procde par labsurde en supposant que `= limn+wn < 0.En prenant = | `2 | dans la dfinition de limite (dfinition 4), on obtient quil existe un entiernaturel N tel que n N implique |wn`| < = `2 . En particulier on a pour n N que wn 0 et N un entier naturel tel que n N implique |vn| < . Comme|un| = un vn = |vn|, on a donc : nN implique |un| < . On a bien montr que limn+ un = 0.

Exemple 7. Exemple dapplication du thorme des gendarmes

Trouver la limite de la suite (un)nN de terme gnral :

un = 2+ (1)n

1+n+n2

Mini-exercices

1. Soit (un)nN la suite dfinie par un = 2n+1n+2 . En utilisant la dfinition de la limite montrerque limn+ un = 2. Trouver explicitement un rang partir duquel 1,999 un 2,001.

2. Dterminer la limite ` de la suite (un)nN de terme gnral : n+cosnnsinn et trouver un entierN tel que si nN, on ait |un`| 102.

3. La suite (un)nN de terme gnral (1)nen admet-elle une limite ? Et la suite de termegnral 1un ?

4. Dterminer la limite de la suite (un)n1 de terme gnralpn+1pn. Idem avec vn =

cosnsinn+lnn . Idem avec wn = n!nn .

10

3. Exemples remarquables

3.1. Suite gomtrique

Proposition 8. Suite gomtrique

On fixe un rel a. Soit (un)nN la suite de terme gnral : un = an.1. Si a= 1, on a pour tout n N : un = 1.2. Si a> 1, alors limn+ un =+.3. Si 1< a< 1, alors limn+ un = 0.4. Si a1, la suite (un)nN diverge.

Dmonstration

1. est vident.

2. crivons a= 1+b avec b> 0. Alors le binme de Newton scrit an = (1+b)n = 1+nb+(n2)b2+ +(nk)bk+ + bn. Tous les termes sont positifs, donc pour tout entier naturel n on a : an 1+nb.

Or limn+(1+nb)=+ car b> 0. On en dduit que limn+ an =+.3. Si a = 0, le rsultat est clair. Sinon, on pose b = | 1a |. Alors b > 1 et daprs le point prc-

dent limn+ bn = +. Comme pour tout entier naturel n on a : |a|n = 1bn , on en dduit quelimn+|a|n = 0, et donc aussi limn+ an = 0.

4. Supposons par labsurde que la suite (un)nN converge vers le rel `. De a2 1, on dduit quepour tout entier naturel n, on a a2n 1. En passant la limite, il vient ` 1. Comme de pluspour tout entier naturel n on a a2n+1 a1, il vient en passant de nouveau la limite `1.Mais comme on a dj ` 1, on obtient une contradiction, et donc (un) ne converge pas.

3.2. Srie gomtrique

Proposition 9. Srie gomtrique

Soit a un rel, a 6= 1. En notant nk=0 ak = 1+a+a2+ +an, on a :n

k=0ak = 1a

n+1

1a

Dmonstration

En multipliant par 1 a on fait apparatre une somme tlescopique (presque tous les termes san-nulent) :

(1a)(1+a+a2+ +an)= (1+a+a2+ +an) (a+a2+ +an+1)= 1an+1.Remarque

Si a ]1,1[ et (un)nN est la suite de terme gnral : un =nk=0 ak, alors limn+ un = 11a .De manire plus frappante, on peut crire :

1+a+a2+a3+ = 11a

11

Enfin, ces formules sont aussi valables si a C\{1}. Si a= 1, alors 1+a+a2+ +an = n+1.

Exemple 8

Lexemple prcdent avec a= 12 donne

1+ 12+ 1

4+ 1

8+ = 2.

Cette formule tait difficilement concevable avant lavnement du calcul infinitsimal et a tpopularise sous le nom du paradoxe de Znon. On tire une flche 2 mtres dune cible.Elle met un certain laps de temps pour parcourir la moiti de la distance, savoir un mtre.Puis il lui faut encore du temps pour parcourir la moiti de la distance restante, et de nouveauun certain temps pour la moiti de la distance encore restante. On ajoute ainsi une infinitde dures non nulles, et Znon en conclut que la flche natteint jamais sa cible !Lexplication est bien donne par lgalit ci-dessus : la somme dune infinit de termes peutbien tre une valeur finie ! ! Par exemple si la flche va une vitesse de 1 m/s, alors elleparcoure la premire moiti en 1 s, le moiti de la distance restante en 12 s, etc. Elle parcourebien toute la distance en 1+ 12 + 14 + 18 + = 2 secondes !

2

1 12

14

3.3. Suites telles queun+1un < `< 1

Thorme 1

Soit (un)nN une suite de rels non nuls. On suppose quil existe un rel ` tel que pour toutentier naturel n (ou seulement partir dun certain rang) on ait :un+1un

< `< 1.Alors limn+ un = 0.

Dmonstration

On suppose que la proprit un+1un < `< 1 est vraie pour tout entier naturel n (la preuve dans le cas

o cette proprit nest vraie qu partir dun certain rang nest pas trs diffrente). On crit

unu0

= u1u0 u2u1 u3u2 un

un1

ce dont on dduit unu0< ``` `= `n

et donc |un| < |u0|`n. Comme `< 1, on a limn+`n = 0. On conclut que limn+ un = 0.

12

Corollaire 1

Soit (un)nN une suite de rels non nuls.

Si limn+ un+1un = 0, alors limn+ un = 0.

Exemple 9

Soit a R. Alors limn+ ann! = 0.

Dmonstration

Si a= 0, le rsultat est vident. Supposons a 6= 0, et posons un = ann! . Alors

un+1un

= an+1

(n+1)! n!an

= an+1 .

Pour conclure, on peut ou bien directement utiliser le corollaire : comme lim un+1un = 0 (car a est fixe), ona limun = 0. Ou bien, comme un+1un =

an+1 , on dduit par le thorme que pour nN > 2|a| on a :un+1un= |a|n+1 |a|N+1 < |a|N < 12 = `

et donc limn+ un = 0.

Remarque

1. Avec les notations du thorme, si on a pour tout entier naturel n partir dun certainrang :

un+1un > ` > 1, alors la suite (un)nN diverge. En effet, il suffit dappliquer lethorme la suite de terme gnral 1|un| pour voir que limn+|un| = +.

2. Toujours avec les notations du thorme, si `= 1 on ne peut rien dire.

Exemple 10

Pour un nombre rel a, a> 0, calculer limn+ npa.

On va montrer que limn+ npa= 1. Si a= 1, cest clair. Supposons a> 1. crivons a= 1+h,

avec h> 0. Comme (1+ h

n

)n 1+nh

n= 1+h= a

(voir la preuve de la proposition 8) on a en appliquant la fonction racine n-ime, np :

1+ hn npa 1.

On peut conclure grce au thorme des gendarmes que limn+ npa= 1. Enfin, si a< 1,

on applique le cas prcdent b= 1a > 1.

3.4. Approximation des rels par des dcimaux

13

Proposition 10

Soit a R. Posonsun = E(10

na)10n

.

Alors un est une approximation dcimale de a 10n prs, en particulier limn+ un = a.

Exemple 11

pi= 3,14159265. . .

u0 = E(100pi)

100 =E(pi)= 3u1 = E(10

1pi)101 =

E(31,415...)10 = 3,1

u2 = E(102pi)

102 =E(314,15...)

100 = 3,14u3 = 3,141

Dmonstration

Daprs la dfinition de la partie entire, on a

E(10na) 10na 0, et I =]a,a+[,alors pour n assez grand, un IQ.

Mini-exercices

1. Dterminer la limite de la suite (un)nN de terme gnral 5n4n.2. Soit vn = 1+a+a2+ +an. Pour quelle valeur de a R la suite (vn)n1 a pour limite 3

(lorsque n+) ?3. Calculer la limite de 1+2+2

2++2n2n .

4. Montrer que la somme des racines n-imes de lunit est nulle.

5. Montrer que si sin(2 ) 6= 0 alors 12 + cos()+ cos(2)+ + cos(n) =sin((n+ 12 ))

2sin( 2 )(penser

14

ei).

6. Soit (un)n2 la suite de terme gnral un = ln(1+ 12 )ln(1+ 13 ) ln(1+ 1n ). Dterminerla limite de un+1un . Que peut-on en dduire ?

7. Dterminer la limite de pin

135(2n+1) (o pi= 3,14. . .).8. Soit a un rel. Montrer que pour tout > 0 il existe un couple (m,n) ZN (et mme

une infinit) tel quea m2n .

4. Thorme de convergence

4.1. Toute suite convergente est borne

Revenons sur une proprit importante que nous avons dj dmontre dans la section sur leslimites.

Proposition 11

Toute suite convergente est borne.

La rciproque est fausse mais nous allons ajouter une hypothse supplmentaire pour obtenir desrsultats.

4.2. Suite monotone

Thorme 2

Toute suite croissante et majore est convergente.

Remarque

Et aussi : Toute suite dcroissante et minore est convergente. Une suite croissante et qui nest pas majore tend vers +. Une suite dcroissante et qui nest pas minore tend vers .

Dmonstration Dmonstration du thorme 2

Notons A = {un|n N} R. Comme la suite (un)nN est majore, disons par le rel M, lensemble Aest major par M, et de plus il est non vide. Donc daprs le thorme R4 du chapitre sur les rels,lensemble A admet une borne suprieure : notons `= supA. Montrons que limn+ un = `. Soit > 0.Par la caractrisation de la borne suprieure, il existe un lment uN de A tel que `< uN `. Maisalors pour nN on a `< uN un `, et donc |un`| .

4.3. Deux exemples

(2)

Soit (un)n1 la suite de terme gnral :

un = 1+ 122 +132+ + 1

n2.

15

La suite (un)n1 est croissante : en effet un+1un = 1(n+1)2 > 0. Montrons par rcurrence que pour tout entier naturel n 1 on a un 2 1n .

Pour n= 1, on a u1 = 1 1= 2 11 . Fixons n 1 pour lequel on suppose un 2 1n . Alors un+1 = un+ 1(n+1)2 2 1n + 1(n+1)2 . Or

1(n+1)2 1n(n+1) = 1n 1n+1 , donc un+1 2 1n+1 , ce qui achve la rcurrence.

Donc la suite (un)n1 est croissante et majore par 2 : elle converge.

Remarque

On note (2) cette limite, vous montrerez plus tard quen fait (2)= pi26 .

Suite harmonique

Cest la suite (un)n1 de terme gnral :

un = 1+ 12 +13+ + 1

n.

Calculons limn+ un. La suite (un)n1 est croissante : en effet un+1un = 1n+1 > 0. Minoration de u2p u2p1 . On a u2 u1 = 1+ 12 1 = 12 ; u4 u2 = 13 + 14 > 14 + 14 = 12 , et en

gnral :

u2p u2p1 =1

2p1+1 +1

2p1+2 + +1

2p 2p1=2p2p1 termes 12p

> 2p1 12p

= 12

limn+ un =+. En effet

u2p 1= u2p u1 = (u2u1)+ (u4u2)+ + (u2p u2p1)p2

donc la suite (un)n1 est croissante mais nest pas borne, donc elle tend vers +.

4.4. Suites adjacentes

Dfinition 7

Les suites (un)nN et (vn)nN sont dites adjacentes si

1. (un)nN est croissante et (vn)nN est dcroissante,

2. pour tout n 0, on a un vn,3. limn+(vnun)= 0.

Thorme 3

Si les suites (un)nN et (vn)nN sont adjacentes, elles convergent vers la mme limite.

Il y a donc deux rsultats dans ce thorme, la convergence de (un) et (vn) et en plus lgalit deslimites.Les termes de la suites sont ordonnes ainsi :

u0 u1 u2 un vn v2 v1 v0

16

Dmonstration

La suite (un)nN est croissante et majore par v0, donc elle converge vers une limite `. La suite (vn)nN est dcroissante et minore par u0, donc elle converge vers une limite `. Donc ``= limn+(vnun)= 0, do ` = `.

Exemple 12

Reprenons lexemple de (2). Soient (un) et (vn) les deux suites dfinies pour n 1 par

un =n

k=1

1k2= 1+ 1

22+ 1

32+ + 1

n2et vn = un+ 2n+1.

Montrons que (un) et (vn) sont deux suites adjacentes :

1.(a) (un) est croissante car un+1un = 1(n+1)2 > 0.(b) (vn) est dcroissante : vn+1 vn = 1(n+1)2 + 2n+2 2n+1 = n+2+2(n+1)

22(n+1)(n+2)(n+2)(n+1)2 =n

(n+2)(n+1)2 < 02. Pour tout n 1 : vnun = 2n+1 > 0, donc un vn.3. Enfin comme vnun = 2n+1 donc lim(vnun)= 0.

Les suites (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, elles convergent donc vers une mmelimite finie `. Nous avons en plus lencadrement un ` vn pour tout n 1. Ceci fournitdes approximations de la limite : par exemple pour n = 3, 1+ 14 + 19 ` 1+ 14 + 19 + 12 donc1,3611. . . ` 1,8611. . .

Exercice 2

Soit (un)n1 la suite de terme gnral :

un = 1+ 123 +133+ + 1

n3.

Montrer que la suite (un)n1 converge (on pourra considrer la suite (vn)n1 de terme gnralvn = un+ 1n2 ).

Remarque

On note (3) cette limite. On lappelle aussi constante dApry. Roger Apry a prouv en 1978que (3) Q.

4.5. Thorme de Bolzano-Weierstrass

17

Dfinition 8

Soit (un)nN une suite. Une suite extraite ou sous-suite de (un)nN est une suite de la forme(u(n))nN, o :NN est une application strictement croissante.

+

++ +

++

++

+ + ++ +

(0) (1) (2) (3)

Exemple 13

Soit la suite (un)nN de terme gnral un = (1)n. Si on considre :NN donne par (n)= 2n, alors la suite extraite correspondante a

pour terme gnral u(n) = (1)2n = 1, donc la suite (u(n))nN est constante gale 1. Si on considre :NN donne par (n)= 3n, alors la suite extraite correspondante a

pour terme gnral u(n) = (1)3n =((1)3)n = (1)n. La suite (u(n))nN est donc gale

(un)nN.

1

-1

0

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(0)= 0 (1)= 2 (2)= 4 (3)= 6

1

-1

0

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(0)= 0 (1)= 3 (2)= 6

Proposition 12

Soit (un)nN une suite. Si limn+ un = `, alors pour toute suite extraite (u(n))nN on alimn+ u(n) = `.

18

Dmonstration

Soit > 0. Daprs la dfinition de limite (dfinition 4), il existe un entier naturel N tel que n Nimplique |un `| < . Comme lapplication est strictement croissante, on montre facilement parrcurrence que pour tout n, on a (n) n. Ceci implique en particulier que si n N, alors aussi(n) N, et donc |u(n)`| < . Donc la dfinition de limite (dfinition 4) sapplique aussi la suiteextraite.

Corollaire 2

Soit (un)nN une suite. Si elle admet une sous-suite divergente, ou bien si elle admet deuxsous-suites convergeant vers des limites distinctes, alors elle diverge.

Exemple 14

Soit la suite (un)nN de terme gnral un = (1)n. Alors (u2n)nN converge vers 1, et (u2n+1)nNconverge vers 1 (en fait ces deux sous-suites sont constantes). On en dduit que la suite(un)nN diverge.

Exercice 3

Soit (un)nN une suite. On suppose que les deux sous-suites (u2n)nN et (u2n+1)nN convergentvers la mme limite `. Montrer que (un)nN converge galement vers `.

Terminons par un rsultat thorique trs important.

Thorme 4. Thorme de Bolzano-Weierstrass

Toute suite borne admet une sous-suite convergente.

Exemple 15

1. On considre la suite (un)nN de terme gnral un = (1)n. Alors on peut considrer lesdeux sous-suites (u2n)nN et (u2n+1)nN.

2. On considre la suite (vn)nN de terme gnral vn = cosn. Le thorme affirme quilexiste une sous-suite convergente, mais il est moins facile de lexpliciter.

Dmonstration Dmonstration du thorme 4

On procde par dichotomie. Lensemble des valeurs de la suite est par hypothse contenu dans unintervalle [a,b]. Posons a0 = a, b0 = b, (0) = 0. Au moins lun des deux intervalles

[a0,

a0+b02

]ou[

a0+b02 ,b0

]contient un pour une infinit dindices n. On note [a1,b1] un tel intervalle, et on note (1)

un entier (1)>(0) tel que u(1) [a1,b1].

a0 b0

a1 b1

En itrant cette construction, on construit pour tout entier naturel n un intervalle [an,bn], de longueurba2n , et un entier (n) tel que u(n) [an,bn]. Notons que par construction la suite (an)nN est croissante

et la suite (bn)nN est dcroissante.Comme de plus limn+(bn an) = limn+ ba2n = 0, les suites (an)nN et (bn)nN sont adjacenteset donc convergent vers une mme limite `. On peut appliquer le thorme des gendarmes pour

19

conclure que limn+ u(n) = `.

Mini-exercices

1. Soit (un)nN la suite dfinie par u0 = 1 et pour n 1, un =p

2+un1. Montrer que cettesuite est croissante et majore par 2. Que peut-on en conclure ?

2. Soit (un)n2 la suite dfinie par un = ln4ln5 ln6ln7 ln8ln9 ln(2n)ln(2n+1) . tudier la croissancede la suite. Montrer que la suite (un) converge.

3. Soit N 1 un entier et (un)nN la suite de terme gnral un = cos( npiN ). Montrer que lasuite diverge.

4. Montrer que les suites de terme gnral un =nk=1 1k! et vn = un+ 1n(n!) sont adjacentes.Que peut-on en dduire ?

5. Soit (un)n1 la suite de terme gnralnk=1

(1)k+1k . On considre les deux suites extraites

de terme gnral vn = u2n et wn = u2n+1. Montrer que les deux suites (vn)n1 et (wn)n1sont adjacentes. En dduire que la suite (un)n1 converge.

6. Montrer quune suite borne et divergente admet deux sous-suites convergeant vers desvaleurs distinctes.

5. Suites rcurrentes

Une catgorie essentielle de suites sont les suites rcurrentes dfinies par une fonction. Ce chapitreest laboutissement de notre tude sur les suites, mais ncessite aussi ltude de fonctions (voirLimites et fonctions continues).

5.1. Suite rcurrente dfinie par une fonction

Soit f :RR une fonction. Une suite rcurrente est dfinie par son premier terme et une relationpermettant de calculer les termes de proche en proche :

u0 R et un+1 = f (un) pour n 0

Une suite rcurrente est donc dfinie par deux donnes : un terme initial u0, et une relation dercurrence un+1 = f (un). La suite scrit ainsi :

u0, u1 = f (u0), u2 = f (u1)= f ( f (u0)), u3 = f (u2)= f ( f ( f (u0))), . . .

Le comportement peut trs vite devenir complexe.

Exemple 16

Soit f (x)= 1+px. Fixons u0 = 2 et dfinissons pour n 0 : un+1 = f (un). Cest--dire un+1 =1+pun. Alors les premiers termes de la suite sont :

2, 1+p

2, 1+

1+p

2, 1+

1+

1+p

2, 1+

1+

1+

1+p

2, . . .

Voici un rsultat essentiel concernant la limite si elle existe.

20

Proposition 13

Si f est une fonction continue et la suite rcurrente (un) converge vers `, alors ` est unesolution de lquation :

f (`)= `

Si on arrive montrer que la limite existe alors cette proposition permet de calculer des candidats tre cette limite.

x

y

y= x

`1

`2 `3

Une valeur `, vrifiant f (`)= ` est un point fixe de f . La preuve est trs simple et mrite dtrerefaite chaque fois.

Dmonstration

Lorsque n+, un ` et donc aussi un+1 `. Comme un ` et que f est continue alors la suite( f (un)) f (`). La relation un+1 = f (un) devient la limite (lorsque n+) : `= f (`).

Nous allons tudier en dtail deux cas particuliers fondamentaux : lorsque la fonction est crois-sante, puis lorsque la fonction est dcroissante.

5.2. Cas dune fonction croissante

Commenons par remarquer que pour une fonction croissante, le comportement de la suite (un)dfinie par rcurrence est assez simple :

Si u1 u0 alors (un) est croissante. Si u1 u0 alors (un) est dcroissante.

La preuve est une simple rcurrence : par exemple si u1 u0, alors comme f est croissante on au2 = f (u1) f (u0)= u1. Partant de u2 u1 on en dduit u3 u2,...

Voici le rsultat principal :

21

Proposition 14

Si f : [a,b] [a,b] une fonction continue et croissante, alors quelque soit u0 [a,b], la suitercurrente (un) est monotone et converge vers ` [a,b] vrifiant f (`)= ` .

Il y a une hypothse importante qui est un peu cache : f va de lintervalle [a,b] dans lui-mme.Dans la pratique, pour appliquer cette proposition, il faut commencer par choisir [a,b] et vrifierque f ([a,b]) [a,b].

x

y

a

b

b

a

f ([a,b])

Dmonstration

La preuve est une consquence des rsultats prcdents. Par exemple si u1 u0 alors la suite (un)est croissante, elle est majore par b, donc elle converge vers un rel `. Par la proposition 13, alorsf (`)= `. Si u1 u0, alors (un) est une dcroissante et minore par a, et la conclusion est la mme.

Exemple 17

Soit f :RR dfinie par f (x)= 14 (x21)(x2)+ x et u0 [0,2]. tudions la suite (un) dfiniepar rcurrence : un+1 = f (un) (pour tout n 0).

1. tude de f

(a) f est continue sur R.

(b) f est drivable sur R et f (x)> 0.(c) Sur lintervalle [0,2], f est strictement croissante.

(d) Et comme f (0)= 12 et f (2)= 2 alors f ([0,2]) [0,2].2. Graphe de f

22

x

y

(y= x)

1

2

1 2u0 u1 u2

f

u0u1

Voici comment tracer la suite : on trace le graphe de f et la bissectrice (y= x). On partdune valeur u0 (en rouge) sur laxe des abscisses, la valeur u1 = f (u0) se lit sur laxedes ordonnes, mais on reporte la valeur de u1 sur laxe des abscisses par symtriepar rapport la bissectrice. On recommence : u2 = f (u1) se lit sur laxe des ordonneset on le reporte sur laxe des abscisses, etc. On obtient ainsi une sorte descalier, etgraphiquement on conjecture que la suite est croissante et tend vers 1. Si on part duneautre valeur initiale u0 (en vert), cest le mme principe, mais cette fois on obtient unescalier qui descend.

3. Calcul des points fixes.

Cherchons les valeurs x qui vrifient ( f (x)= x), autrement dit ( f (x) x= 0), mais

f (x) x= 14

(x21)(x2) (1)

Donc les points fixes sont les {1,1,2}. La limite de (un) est donc chercher parmi ces 3valeurs.

4. Premier cas : u0 = 1 ou u0 = 2.Alors u1 = f (u0)= u0 et par rcurrence la suite (un) est constante (et converge donc versu0).

5. Deuxime cas : 0 u0 < 1. Comme f ([0,1]) [0,1], la fonction f se restreint sur lintervalle [0,1] en une fonctionf : [0,1] [0,1].

De plus sur [0,1], f (x) x 0. Cela se dduit de ltude de f ou directement de lex-pression (1).

Pour u0 [0,1[, u1 = f (u0) u0 daprs le point prcdent. Comme f est croissante,par rcurrence, comme on la vu, la suite (un) est croissante.

La suite (un) est croissante et majore par 1, donc elle converge. Notons ` sa limite. Dune part ` doit tre un point fixe de f : f (`)= `. Donc ` {1,1,2}. Dautre part la suite (un) tant croissante avec u0 0 et majore par 1, donc ` [0,1]. Conclusion : si 0 u0 < 1 alors (un) converge vers `= 1.

6. Troisime cas : 1< u0 < 2.

23

La fonction f se restreint en f : [1,2] [1,2]. Sur lintervalle [1,2], f est croissantemais cette fois f (x) x. Donc u1 u0, et la suite (un) est dcroissante. La suite (un)tant minore par 1, elle converge. Si on note ` sa limite alors dune part f (`)= `, donc` {1,1,2}, et dautre part ` [1,2[. Conclusion : (un) converge vers `= 1.

Le graphe de f joue un rle trs important, il faut le tracer mme si on ne le demande pasexplicitement. Il permet de se faire une ide trs prcise du comportement de la suite : Est-ellecroissante ? Est-elle positive ? Semble-t-elle converger ? Vers quelle limite ? Ces indications sontessentielles pour savoir ce quil faut montrer lors de ltude de la suite.

5.3. Cas dune fonction dcroissante

Proposition 15

Soit f : [a,b] [a,b] une fonction continue et dcroissante. Soit u0 [a,b] et la suite rcur-rente (un) dfinie par un+1 = f (un). Alors :

La sous-suite (u2n) converge vers une limite ` vrifiant f f (`)= `. La sous-suite (u2n+1) converge vers une limite ` vrifiant f f (`)= `.

Il se peut (ou pas !) que `= `.Dmonstration

La preuve se dduit du cas croissant. La fonction f tant dcroissante, la fonction f f est croissante.Et on applique la proposition 14 la fonction f f et la sous-suite (u2n) dfinie par rcurrenceu2 = f f (u0), u4 = f f (u2),. . .De mme en partant de u1 et u3 = f f (u1),. . .

Exemple 18

f (x)= 1+ 1x

, u0 > 0, un+1 = f (un)= 1+ 1un1. tude de f . La fonction f :]0,+[]0,+[ est une fonction continue et strictement

dcroissante.

2. Graphe de f .

24

x

y

1

2

1 2u0 u1u2 u3

Le principe pour tracer la suite est le mme quauparavant : on place u0, on trace u1 =f (u0) sur laxe des ordonnes et on le reporte par symtrie sur laxe des abscisses,... Onobtient ainsi une sorte descargot, et graphiquement on conjecture que la suite convergevers le point fixe de f . En plus on note que la suite des termes de rang pair semble unesuite croissante, alors que la suite des termes de rang impair semble dcroissante.

3. Points fixes de f f .

f f (x)= f ( f (x))= f (1+ 1x)= 1+ 1

1+ 1x= 1+ x

x+1 =2x+1x+1

Donc

f f (x)= x 2x+1x+1 = x x

2 x1= 0 x {

1p52

,1+p5

2

}

Comme la limite doit tre positive, le seul point fixe considrer est `= 1+p

52 .

Attention ! Il y a un unique point fixe, mais on ne peut pas conclure ce stade car f estdfinie sur ]0,+[ qui nest pas un intervalle compact.

4. Premier cas 0< u0 `= 1+p

52 .

Alors, u1 = f (u0) f (`)= ` ; et par une tude de f f (x)x, on obtient que : u2 = f f (u0)u0 ; u1 f f (u1)= u3.Comme u2 u0 et f f est croissante, la suite (u2n) est croissante. De mme u3 u1,donc la suite (u2n+1) est dcroissante. De plus comme u0 u1, en appliquant f unnombre pair de fois, on obtient que u2n u2n+1. La situation est donc la suivante :

u0 u2 u2n u2n+1 u3 u1

La suite (u2n) est croissante et majore par u1, donc elle converge. Sa limite ne peuttre que lunique point fixe de f f : `= 1+

p5

2 .

La suite (u2n+1) est dcroissante et minore par u0, donc elle converge aussi vers ` =1+p5

2 .

On en conclut que la suite (un) converge vers `= 1+p

52 .

25

5. Deuxime cas u0 `= 1+p

52 .

On montre de la mme faon que (u2n) est dcroissante et converge vers 1+p

52 , et que

(u2n+1) est croissante et converge aussi vers 1+p

52 .

Mini-exercices

1. Soit f (x)= 19 x3+1, u0 = 0 et pour n 0 : un+1 = f (un). tudier en dtails la suite (un) : (a)montrer que un 0 ; (b) tudier et tracer le graphe de g ; (c) tracer les premiers termesde (un) ; (d) montrer que (un) est croissante ; (e) tudier la fonction g(x) = f (x) x ; (f)montrer que f admet deux points fixes sur R+, 0 < ` < ` ; (g) montrer que f ([0,`]) [0,`] ; (h) en dduire que (un) converge vers `.

2. Soit f (x)= 1+px, u0 = 2 et pour n 0 : un+1 = f (un). tudier en dtail la suite (un).3. Soit (un)nN la suite dfinie par : u0 [0,1] et un+1 = unu2n. tudier en dtail la suite

(un).

4. tudier la suite dfinie par u0 = 4 et un+1 = 4un+2 .

Auteurs

Auteurs : Arnaud Bodin, Niels Borne, Laura DesideriDessins : Benjamin Boutin

DfinitionsDfinition d'une suiteSuite majore, minore, borneSuite croissante, dcroissante

LimitesIntroductionLimite finie, limite infinieProprits des limitesDes preuves !Formes indterminesLimite et ingalits

Exemples remarquablesSuite gomtriqueSrie gomtriqueSuites telles que |un+1un|