CI26 Solides déformables RDM PARTIE 3 : Traction ... et TD par centres_d'interet_TSI2/CI25...Les sollicitations en traction ou compression sont fréquentes dans les poutres, on prendra

CI26 Solides déformables RDM PARTIE 3 : Traction / Compression / Torsion

JC ROLIN (crédits B. Havette) 1 Lycée G Eiffel Dijon

Solides déformables

Cours de Résistance des Matériaux (RDM)

PARTIE 3 : TRACTION / COMPRESSION / TORSION

Contenu

1 SOLLICITATION DE TRACTION COMPRESSION .................................................... 2

1.1 EXEMPLES ....................................................................................................................................................... 2 1.2 TORSEUR DE COHESION EN TRACTION ET COMPRESSION PURES .................................................................................... 2 1.3 CONTRAINTE NORMALE AU SEIN D’UNE SECTION DROITE ............................................................................................ 2 1.4 DEFORMATION DE LA POUTRE : ALLONGEMENT........................................................................................................ 3 1.5 DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN TRACTION COMPRESSION ................................................................................ 3 1.6 EXEMPLES SIMPLES ........................................................................................................................................... 3

2 TORSION PURE (POUTRES CYLINDRIQUES OU TUBULAIRES) ............... 4

2.1 EXEMPLES ....................................................................................................................................................... 4 2.2 TORSEUR DE COHESION EN TORSION PURE .............................................................................................................. 4 2.3 DEFORMATIONS EN TORSION ............................................................................................................................... 5 2.4 CONTRAINTES EN TORSION.................................................................................................................................. 5 2.5 LOI DE COMPORTEMENT EN TORSION .................................................................................................................... 5 2.6 DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN TORSION ..................................................................................................... 6 2.7 CONCENTRATIONS DE CONTRAINTE CLASSIQUES EN TORSION ....................................................................................... 6 2.8 EXEMPLES SIMPLES DE CALCULS EN TORSION ........................................................................................................... 7

3 EXTRAIT DU SUJET CENTRALE SUPELEC 2013 : ASCENSEUR DE LA TOUR EIFFEL .. 8



1 SOLLICITATION DE TRACTION COMPRESSION

1.1 Exemples

Les sollicitations en traction ou compression sont fréquentes dans les poutres, on prendra comme exemple :

Mécanique : câble de levage Enrouleur / dérouleur (Extrait Centrale SI2 2011) Bielle de moteur

Centre Pompidou (arch. R. Piano et R. Rogers, ing. P. Rice ) «les éléments tendus sont plus élancés que les éléments comprimés »

Equilibrage des poussées par tirant (Maison Jaoul Le Corbusier)

Pont suspendu : Pylône béton en compression, Câble acier verticaux en traction Arc en chaînette inversée (compression pure)

1.2 Torseur de cohésion en traction ou compression pure

Une poutre droite est soumise à une sollicitation de traction ou compression si dans un tronçon de cette poutre le torseur de cohésion se résume à :

BaseLocale

x

G

coh

N

xT

00

00

0

)(

x

y

F F

Nx > 0 sollicitation de traction pure

Nx < 0 sollicitation de compression pure

1.3 Contrainte normale au sein d’une section droite

Pour la traction ou compression pure, la contrainte normale au sein de chaque section a une répartition uniforme.

nTSM xnM.,

),(

ncompressio

tractionavec

x

x

:0

:0

La contrainte normale est S

N xx (S section de la poutre)

x x

A



1.4 Déformation de la poutre : allongement

Tout au long de la poutre, et cstepoutreP x ),( .

D’après la loi de Hooke S

NE x

xx . d’où cstex .

Or )(xudx

dx , on en déduit : 0

.)( ux

SE

Nxu x

Si la poutre est encastrée en x = 0, u0=0.

Pour une section constante S et une longueur totale L soumise à un effort normal (Nx) égal à F.

Le déplacement à son extrémité (ΔL) donne SE

LFL

.

.

1.5 Dimensionnement d’une poutre en traction compression

L’objectif recherché est d’avoir une contrainte normale maximale au sein de la poutre (max) inférieure à la résistance pratique à l’extension (Rpe)

Pex Rmax

La résistance pratique à l’extension (Rpe) est inférieure à la limite élastique (Re) du matériau constituant la poutre. Elle dépend du coefficient de sécurité (s) choisi pour le dimensionnement.

s

RR e

Pe

1.6 Exemples simples 1.6.1 Barre en traction

Pour éviter le flambage de poteaux, on met en place des tirants constitués de barres d’acier de 10 mm de diamètre. L’effort de traction est de 12560 N.

Quelle est la contrainte normale dans la barre ?

Quelle est l’allongement de la barre sur 5 mètres si E = 210000 N/mm² (210 GPa)?

Section

Contrainte 1N/mm² = 1 MPa

Allongement

1.6.2 Poteau béton en compression

La charge maximale rapportée d’un bâtiment sur un poteau en béton est de 45.10

4N. Le

poteau est de section circulaire. La contrainte maximale admissible en compression du béton est de 7 N/mm², son module de Young vaut E = 14000 N/mm² (14GPa). Déterminer le diamètre D du poteau en mm avec un coefficient de sécurité s = 5. Déterminer sa déformation si le poteau a une longueur L = 4m.

²/4,15

7max mmN

s

Rex

4,1max

max

S

N xx

²32,0²10.32,04,1

10.45

4,1

64

max mmmN

S x

4

².DS

> 0,32m² donne D > 0,63m

mmSE

LNl x 4,0

10.32,0.14000

4.10.45

.

.6

4

max



2 TORSION PURE (POUTRES CYLINDRIQUES OU TUBULAIRES) Seules les poutres de section circulaire pleine ou creuse sont traitées, car elles respectent les conditions de Navier Bernoulli, à savoir que les sections droites restent planes (pas de gauchissement).

2.1 Exemples

Serrage de vis Barre de torsion (suspension auto) Arbre de transmission, ici de camion

2.2 Torseur de cohésion en torsion pure

Une poutre est sollicitée en torsion simple si, en un point quelconque G de la ligne moyenne, le torseur de cohésion est représentable par un couple Mt porté par la tangente à la ligne moyenne d’axe �⃗�.

Torseur de cohésion en torsion pure :

BaseLocaleG

coh

Mt

T

0

0

0

0

0

Mise en situation :

Une poutre de section circulaire est encastrée à son extrémité gauche suivant la section droite (SA) de centre A.

On applique à l'extrémité droite de la poutre, sur toute la section (SB) de centre B, une action mécanique modélisable par un torseur couple.

A

L

B x0

y0

C.x0

CONSTATATIONS

L’application du couple de torsion permet de visualiser une déformation correspondant :

- A une rotation entre les 2 sections extrêmes de la poutre d’un angle α de torsion,

- A la déformation de la

génératrice P0P1 d’un angle de cisaillement.

α angle de torsion,

angle de cisaillement

P0 P1

P1'

BAC.x0

GP

P’

GP

P’(S)

BP1

P’1atota

xL

La génératrice P0P1 (droite avant la déformation) se déforme en P0P1’ (hélice après la déformation).

- Toute section plane, normale à la ligne moyenne, reste plane et normale à la ligne moyenne (hypothèse de Navier-Bernoulli vérifiée).

- La distance entre deux sections droites données reste inchangée, le diamètre et la longueur de la poutre ne varient pas.

- Le déplacement d'une section droite (S) est uniquement une rotation d'angle α autour de l’axe )x,G( ,

- les sections droites glissent les unes par rapport aux autres et la rotation d’une section S est proportionnelle à la distance AG = x.

L’angle de glissement ou cisaillement est lié à la résistance au cisaillement ou glissement du matériau.

L’angle de torsion α caractérise la déformation de la poutre dans des situations ou le positionnement est important.



2.3 Déformations en torsion

Pour une poutre de révolution, on définit x l’angle de torsion unitaire le rapport entre l’angle de torsion total sur la

longueur de la poutre : L

totx

a (rad.m-1)

Avec

- aB l’angle de rotation de la section terminale en B (SB) par rapport à la section initiale (SA) - L la longueur de la poutre.

Si la poutre est régulière et les déformations petites, cette définition permet d’écrire au point x : xxa .

2.4 Contraintes en torsion

La contrainte en un point P quelconque d’une section droite (S) d’une poutre de révolution, sollicitée en torsion, est une

contrainte tangentielle )(P portée

par une perpendiculaire au rayon de la poutre.

On montre que : rG x ..

Le module de la contrainte tangentielle est proportionnel au rayon r du point

P considéré.

Cette contrainte est maximale lorsque r = rmax = R d’où :

G

P

r

(P)

(S)

x

G

(S)

(P)

R

max

x

RG x ..max Contrainte tangentielle en un point P quelconque d’une section (S)

Contrainte tangentielle tout le long d’un diamètre d’une section (S)

2.5 Loi de comportement en torsion

Au même titre que pour une poutre en flexion, pour dimensionner un arbre en torsion on introduit un moment quadratique relatif à la rotation angulaire, le moment quadratique polaire IG.

Le moment quadratique polaire (IG) caractérise la répartition de surface (S) autour du point G en m4 ou mm

4.

Par définition, dsrIS

G .²)(

, en pratique, on retiendra les deux cas suivants :

G

(S)

R

D

Poutre de section

circulaire pleine

32

DI

4

G

G

(S)

Dd

Poutre de section

tubulaire

32

dDI

44

G

On établit la relation suivante valable sur un tronçon où Mt et IG sont constants:

Gx IGMt ..

On obtient aussi x

GIG

Mt

.

Mt : le moment de torsion au centre G d’une section droite (S) (en Nm)

G : le module d’élasticité transversale ou de Coulomb (en Pa)

x : l’angle de torsion unitaire (en rad.m-1

)

IG: le moment quadratique polaire de la section (S) en G (en m4)

Rappel : en flexion la déformée y=f(x) est telle que )(''..),(

xMfyIE zzG



2.6 Dimensionnement d’une poutre en torsion

Un arbre en torsion est généralement dimensionné pour :

- résister à la torsion, - éviter les vibrations trop importantes (phénomène de résonance pour une

vitesse de rotation > 1000 tr/min).

Rupture fragile en torsion (angle de 45°)

2.6.1 Relations pratiques pour calculer la contrainte

Calcul de la contrainte en un point P quelconque

d’une surface (S) : rI

Mt

G

. avec r=GP. Calcul de la contrainte maximale : R

I

Mt

R

I

Mt

GG

.max

avec R le rayon extérieur de la section droite (S)

2.6.2 Dimensionnement d’une poutre en torsion

CONDITION DE RESISTANCE L’objectif recherché est d’avoir une contrainte tangentielle maximale au sein de la poutre (max) inférieure à la résistance pratique au glissement ou cisaillement (Rpg)

PgRmax

La résistance pratique au glissement ou cisaillement (Rpg) est inférieure à la limite élastique au glissement

(e) du matériau constituant la poutre.

Elle dépend du coefficient de sécurité (s) choisi pour le dimensionnement. s

R ePg

CONDITION DE RIGIDITE Une limitation de la déformation d’un arbre en torsion peut également être imposée pour limiter les vibrations dans le cas où la fréquence de rotation est élevée et éviter des phénomènes de résonance.

On limite alors l’angle unitaire de torsion x limite x

2.7 Concentrations de contrainte classiques en torsion

Dans la pratique, pour transmettre un couple il est nécessaire de réaliser sur l’arbre des accidents de formes tels que : rainures de clavette, épaulements, cannelures,…

Clavette entre arbre et moyeu Arbre avec alésage

pour goupille Changement de diamètre, épaulement, congé

Cannelure, montage de joint, circlips…

Ces accidents de forme générent une augmentation significative de contrainte tangentielle. La contrainte tangentielle maximale théorique doit donc être multipliée par un coefficient Kt déterminé par des expérimentations.

La nouvelle contrainte maximale se calcule ainsi théoriquetmax .K

Exemple : Cas d’une rainure de clavette

- théorique contrainte calculée au rayon maximal de la poutre.

- Kt le coefficient de concentration de contraintes

- max la contrainte maximale. r/c 0.5 0.3 0.2 0.1

Kt 2.1 2.7 3.5 5.4



2.8 Exemples simples de calculs en torsion

2.8.1 Arbre plein et arbre creux…

On veut dimensionner un arbre de transmission soit plein (diamètre d,) , soit creux (diamètre extérieur D, diamètre intérieur d = 0,80D). On utilise le même acier de module d’élasticité transversal G = 80 000 N.mm-2. Le couple à transmettre est Mt = 200 Nm, la résistance pratique au cisaillement adoptée est Rpg = 100 N.mm-2.

Si on compare les masses des 2 arbres à longueurs égales on obtient un rapport de masse égal au rapport des sections soit :

51,0

369

189

1

2

1

2 S

S

m

m

2.8.2 Arbre de moteur

Un moteur électrique d’une puissance de 10 kW tourne à la vitesse de 750 tr/min. Son arbre est en acier XC32 de limite élastique Re = 320 N/mm

2, sa contrainte au cisaillement est égale à 0,58 Re =Rpg

Déterminer son diamètre si on prend un coefficient de sécurité égal à 2,3.

Recherche de la contrainte admissible

Recherche du moment de torsion

Recherche du diamètre

2.8.3 Arbre d’entraînement d’hélice de bateau

Soit un arbre d’hélice de bateau de 15 m de long.

L’arbre est creux, le rapport entre le diamètre intérieur d et le diamètre extérieur D est d/D = 0,6.

L’arbre transmet une puissance de 4,5 MW à la vitesse de 350 tr/min.

La contrainte de cisaillement admissible de l’acier de l’arbre est τadm = 80 N.mm-², le module d’élasticité transversal G = 80 000 N.mm2.

a) Déterminer les diamètres intérieur et extérieur d et D de cet arbre.

b) Calculer l’angle de torsion à pleine puissance entre les deux extrémités distantes de 15 m.



3 EXTRAIT DU SUJET CENTRALE SUPELEC 2013 : ASCENSEUR DE LA TOUR EIFFEL

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