Rdm leon 3 LPGCE 2009-2010

Rdm leon 3 LPGCE 2009-2010

Nous avons vu dans la leon 2 qu'une pice peut tre soumise soit des sollicitations simples :

Longitudinales- Traction- Compression- Flambage

ou

Transversales-Cisaillement-Torsion- Flexion

Comme elle peut tre le sige de sollicitations composes (exemple:flexion & torsion associe). Nous allons dans cette troisime leon tudier en dtail la traction & la compression simples.Traction1-Dfinition: Une poutre est sollicite en traction simple ou extension simple lorsquelle est soumise deux forces directement opposes, appliques au centre de surface des sections extrmes et qui tendent lallonger.2-Contrainte de Traction:

La contrainte dans la pice est appele contrainte de traction (sigma). Elle correspond a l'ensemble des actions agissant l'intrieur de la pice en fonction de sa surface.

donc

Contrainte normale

EMBED Word.Picture.8

Chaque lment de surface S supporte un effort de traction (f parallle la ligne moyenne.

Il y a rpartition uniforme des contraintes dans la section droite. Do:

Ou encore : = F/S

3-Essai de traction

But :

Il permet de dterminer la Rsistance la limite lastique et la Rsistance la rupture des diffrends matriaux.

-Il permet de dfinir les caractristiques de rsistance des matriaux.

Machine essai de traction prouvette cylindrique Rupture dprouvette Striction et forme de la cassure dprouvettePrincipe :Cet essai consiste soumettre 20C une prouvette de longueur l un effort de traction F progressivement croissant, gnralement jusqu la rupture de lprouvette. Le graphe traduit la relation entre les allongements de lprouvette et F/S L0 L -F striction F

prouvette. * Lo longueur initiale * So section initiale* do diamtre initialprouvettes conventionnelles:

avec (do=20mm, Lo=100mm)

ou (do=10mm, Lo=50mm)

Principe de la Striction: la section S diminue,alors que augmente ,l'effort ne peut plus etre maintenu et chute fortement : les contraintes diminuent donc N S

Conclusion :

Il permet entre autre de mettre en vidence la loi de Hooke dans le domaine lastique (rversibilit de la dformation).Courbe exprimentale (contrainte dformation):

0A : Allongements lastiques (le matriau peut revenir son tat initial)

AB : Zone d'tirageBC : Zone des allongements permanents

C : Point de striction

D : Point de rupture

Re ou (e) : Rsistance la limite lastique

Rr : Rsistance la rupture

Rpe ou (p) : Rsistance pratique lextensionDans la zone de dformations lastiques, la pente de la courbe obtenue est constante et est dfinie

par : tg /Cette constante caractrise la nature du matriau et on lappelle module dlasticit longitudinale (ou module de Young) not Eleffort unitaire longitudinal sigma est proportionnel lallongement relatif epsilon not aussi e.l/ l0 Lors de cet essai, on met aussi en vidence une autre caractristique de llasticit; il existe un rapport constant entre la contraction relative transversale (d / d) et l'allongement relatif longitudinal (l / l). On peut crire :

sans unit

d et l en mm.

est aussi une caractristique du matriau (coefficient de Poisson), il est de l'ordre de 0,3 pour les mtaux.Les Caractristiques mcaniques d'un matriau dtermines par cet essais sont :

Contrainte limite lastique en extension eC'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine lastique partir de laquelle un matriau commence se dformer de manire irrversible., appele aussi limite d'lasticit Re. Pour l'acier, cette valeur est voisine de 300 MPa. Quand il n'est pas possible de dterminer la limite apparente d'lasticit on dfinit une limite d'lasticit conventionnelle 0,2% Re0,2correspondant un allongement relatif =0,2%.

Contrainte limite de rupture en extension rC'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'prouvette, appele aussi rsistance la traction R.Pour l'acier, cette valeur est voisine de 480 MPa.

Allongement A%

avec :

l0 : longueur initiale de l'prouvette.

l : longueur de l'prouvette sa rupture.

Pour l'acier, on constate des valeurs de A% voisines de 20%.

4- Dformation 4.1. Allongement l:

l = FL/SE ;F=N effort normal4.2. Allongement unitaire :

= L /L

4.3.Loi de Hooke ( 1678):En dformation lastique, la contrainte varie linairement en fonction de l'allongement relatif .

E: ( Module de Young)avec :

L : allongement en mm L : longueur initiale en mm

F : force en NewtonS : section en mm

E : module d'lasticit en MPa : sans unit

Principaux Module d'lasticit longitudinal ( Module de Young) en MPa

laiton 9 2000

zinc 8 0000

alliage daluminium 7 000 0 7 5000

verre 7 0000 7 5000

magnsium 4 5000

tain 4 0000

bton 2 0000

bois 1 0000 3 0000

caoutchouc 7,5

Young

carbures mtalliques 550000tungstne 42 0000

aciers 17 0000 28 0000

aciers de construction 200 000 220000

cuivre 12 6000

titane 10 5000

bronze 100000 120000

fonte 100000

lastomre 3

remarque: E mesure la rigidit d'un matriau5- Condition de Rsistance :Afin de prmunir tout risque, il est appliqu un coefficient multiplicateur la contrainte (coefficient de scurit : s)

Rmax/Ra = s coefficient d'utilisation d'un matriau.s est toujours suprieur 1. En mcanique courante s = 3 ou 4 , pour les engins publics : s = 10

Rmax : Rsistance Maximum avant cassure en MPaRe : Rsistance Elastique en MPaRa : Rsistance admissible ou Rpe Rsistance pratique l'extention en MPa

s>1 s depend de la nature du matriau :

s acier = 1,10 - s bton = 1,50 - s bois = 2,00

Remarque : D'autres coefficient de scurit sont lis : Aux types de charges : statiques, mobiles, exceptionnelles (sisme, tsunami, explosion, collision, (); Aux types de sections : simples ou assembles; Aux contrles lors de la fabrication et de la mise en uvre. Pour rsister aux efforts agissant sur une pice, la contrainte dans la pice doit toujours rester infrieure ou gale la Rsistance pratique l'extension. =F/S Rpe = Re /s

; Avec F = Npe est appele contrainte pratiqueLa condition de rsistance est alors : pe 6-Coefficient de concentration de contraintes : KtInfluence des variations de sectionLa plupart des pices industrielles ne sont pas cylindriques, elles possdent des singularits (discontinuits) de formes (perages, gorges, rainures, filetages), il se produit un phnomne de concentration de contraintes . Au voisinage de la discontinuit, la contrainte maximale est grande devant la contrainte nominale calcule avec les outils de la rdm.

La zone de concentration de contraintes est souvent le site damorage de fissures de fatigue les relations prcdentes ne s'appliquent plus :On dit qu'il y a concentration de contraintes, et On dfinit un coefficient de concentration de contrainte appel Kt tel que :max = kt.nomKt est le coefficient de concentration de contraintesLa contrainte maximale a pour valeur : max=kt nom

max= contrainte atteinte au voisinage de la singularit Avec :

(ou ) = contrainte moyenne nominale calcule

Exemples de cas de concentration de contrainte:-

Les valeurs de Kt sont exprimentales.

Exemple 1 : Pour un filetage triangulaire ISO : Kt = 2.5

Exemple 2 : Arbre de section circulaire paul.crouissage

L'crouissage d'un mtal correspond aux modifications qu'il subit lorsque les contraintes qui lui sont appliques sont suffisamment fortes pour provoquer des dformations plastiques, permanentes. Ces modifications sont d'ordre mtallurgique (modification de la structure interne du mtal) et ont gnralement une influence sur ses proprits mcaniques.

L'crouissage ne se produit que sur les matriaux ductiles et dans le domaine plastique.

L'crouissage se caractrise par une augmentation de la limite d'lasticit et de la duret, qui devient aussi plus fragile. Suivant les mtaux considrs les proprits mcaniques peuvent voluer vers une augmentation de la rsistance (cas des aciers allis) jusqu' un certain point (seuil de rupture) ou l'inverse vers sa diminution (cas des aciers peu allis). Donc l'crouissage est le durcissement par dformation plastique.

En Rdm, la ductilit dsigne la capacit d'un matriau se dformer plastiquement sans se rompre. La rupture se fait lorsqu'un dfaut (fissure ou cavit), induit par la dformation plastique , devient critique et se propage. La ductilit est donc l'aptitude qu'a un matriau rsister cette propagation. S'il y rsiste bien, il est dit ductile, sinon il est dit fragile .Comportement Comportement

lastique linaire lastique parfaitement plastique

(Matriaux fragiles) (Matriaux dformables)

SHAPE \* MERGEFORMAT

Comportement plastique avec crouissage( matriaux durcissabes par crouissage)

7-Exercices de traction:

Ex1. Barres cylindrique en acier.

Une tige en acier d'un diamtre de 12,5 et d'une longueur de 100 supporte une force de traction de 1500daN.

a) Dterminer la contrainte aide la rsolution:la contrainte en traction est une contrainte longitudinale appele sigma :

b) Calculez l'allongement dans cette barre d'acier (E = 20000 MPa). aide la rsolution : l'allongement l est proportionnel aux diffrentes caractristiques agissant sur la tige: force, section de la tige, longueur initiale, module d'lasticit du mtal.

Ex2. Barres cylindrique en aluminium

La tige en acier est remplace par une autre en aluminium. On dsire que celle ci ait le mme allongement que la tige en acier en gardant une force de 1500daN.

a) Dterminez la section de cette tige.(E alu = 7500MPa). aide la rsolution: Faire l'inventaire des donnes et ne pas oublier l'allongement trouv dans la question prcdente:- la barre doit garder le mme allongement,- le mme effort agit sur la barre,- seul la section change par rapport la question prcdente.

b) Calculez le diamtre ce cette barre en aluminium. aide la rsolution : A partir de la section trouve dans la question prcdente , modifiez la formule de calcul d'une section circulaire pour trouver le diamtre.

c) Calculez la contrainte dans la barre en aluminium. aide la rsolution : la contrainte en traction est une contrainte longitudinale appele sigma:

EX3. Elvateur

Un lvateur de chaise roulante utilise un cble pour permettre le passage d'escalier.L'objectif est de vrifier le dimensionnement du cble et son coefficient de scurit.

Hypothses: on supposera que le cble ne travaille qu' la traction, que l'effort maxi. de traction est de 4500N, et que son coefficient de scurit doit tre de 10.

Donnes: Le cble est compos d'une me centrale et de 6 torons. Chaque lment est constitu de 19 fils de 0,5. son f extrieur est de 7,5 et en acier galvanis d'une rsistance la rupture Rr = 1800MPa.

1) Calculez le nombre n de fils constituants le cble, la section s de chacun d'eux et donc la section totale S des fils. aide la rsolution : les lments constituant le cble sont l'me et les torons, les fils sont circulaires donc S= d2 /4; la surface totale du cble est gale l'ensemble des surfaces des fils.

2) Calculez la contrainte dans le cble. aide la rsolution : la contrainte en traction est une contrainte longitudinale appele sigma:

3) Dterminez le coefficient de scurit s. aide la rsolution : le coefficient de scurit s est le rapport entre la rsistance du matriaux et la contrainte longitudinale .

4) Le cble est-il correctement dimensionn ?aide la rsolution : si k calcul k dsir , alors le cble est correctement dimensionn.COMPRESSION

1-Dfinition:

Une poutre "courte" est sollicite la compression simple lorsqu'elle est soumise deux forces directement opposes qui tendent la raccourcir et appliques au centre de la surface des sections extrmes.2- Contrainte de Compression :La contrainte dans la pice est appele contrainte de compression (sigma). Elle correspond l'ensemble des actions agissant l'intrieur de la pice en fonction de sa surface.

On dfinit la contrainte dans la section droite (S) par la relation :

avec : < 0 car N < 0

3-Essai de compression :Une prouvette semblable celle utilise pour l'essai d'extension en acier est sollicite la compression par une machine d'essai.

Analyse de la courbe obtenue Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette retrouve sa longueur initiale. Dans cette zone, l'allongement est proportionnel l'effort de compression. Des essais effectus avec des prouvettes de dimensions diffrentes permettent de constater que pour un mme matriau, l'allongement unitaire( l/l0) est proportionnel l'effort unitaire (F/S0). Les sections droites et planes restent droites et planes pendant l'essai.

Zone AB : c'est la zone des dformations permanentes. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette ne retrouve pas sa longueur initiale.

Rsultats d'ssais:

Acier : isorsistant : e' = e = 235 N/mm 2 (Acier S235) Bton : Compression : e'= 30 N/mm2 Traction : e = 3 N/mm 2 (10 % de la compression) Bois : Traction : e = 20 N/mm2 Compression : e'= 10 N/mm 2 (50 % de la traction) 4-Dformations lastiques: loi de Hooke

La proprit constate ci-dessus a permis pour diffrents matriaux d'tablir la relation:

avec (l < 0 ; F=NOu , avec l considr comme raccourcissement > 0 Pour les aciers, le module d'lasticit longitudinal E est le mme en compression qu'en extension.

,

et que Nous avons dj vu que : on peut en dduire queloi de Hooke

est raccourcissement le lastique unitaire suivant x, il gnralement not

5- Condition de rsistance: Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique l'extensionpe. On a :

s est un coefficient de scurit qui varie de 1,1 10 selon les domaine d'application.

La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit:

Remarque : en gnral, dans une exprience de traction compression, on nglige la pesanteurNotre prochaine leon sera consacre l'tude de la flexion.

rupture

(: contrainte normale en MPa ou en N/mm2

N: effort normal en N

S: aire de la section droite en mm2

1

1 111

_1324743942.docdonc

_1324747884.doc

(f

G

Section S

_1325263861.unknown

_1325263884.unknown

_1324747885.unknown

_979715452.unknown