Classe de Quatrième

THEME 14 : ESPACE

ACTIVITE 1: A) Parmi les 7 solides représentés ci-dessous, donne à vue d’œil leur nom en complétant les pointillés parmi les noms suivants : prisme droit - cube - pyramide - cône - pavé - cylindre - sphère (boule) . 1 2 3 4 5 6 7

1 : un cube 2 : un pavé 3 : un prisme droit 4 : un cylindre

5 : une pyramide 6 : une boule 7 : un cône de révolution

Parmi les 7 solides ci-dessus, lesquels ont été étudié en :

Sixième ? : le cube et le pavé Cinquième ? : Cylindre et prismes droits.

Cette année, tu vas étudier deux autres catégories de solides : les pyramides et les cônes. En troisième, il va te rester à étudier un solide, lequel ? : la boule

B ) Nomme et décris les solides dessinés ci-dessous dans le tableau . Pour décrire, écris le nombre de faces et la nature des faces. Exemple: n°1: 5 faces; 2 triangles et 3 rectangles . Nom:.................................. Remarque : Pour les solides 3, 5 , 7, 8 , 9 et 16, des traits devraient être en pointillés. Corrige en repassant en rouge.

1 2 3 4

5 67 8 9

10 11 12 13

14 1516

N° Nombre de faces Nature des faces Nom du solide 1 5 2 triangles et 3 rectangles

Prime droit à base

triangulaire 2 5 2 triangles et 3 rectangles

Prime droit à base

triangulaire 3 0 Sphère

4 7 6 triangles et 1 hexagone Pyramide

5 2 2 disques et une surface Cylindre de révolution

6 4 4 triangles ( 3 triangles et 1 triangle ) Pyramide

7 1 1 disque et une surface Cône

8 2 2 disques et une surface latérale Cylindre de révolution

9 2 2 disques non superposable et une surface latérale Cône tronqué

10 7 2 pentagones et 5 rectangles Prisme droit dont la base est un pentagone

11 6 6 rectangles Pavé

12 6 2 trapèzes et 4 rectangles Prisme droit dont la base est un trapèze

13 6 1 pentagone et 5 triangles Pyramide

14 6 6 carrés Cube

15 5 1 carré et 4 triangles Pyramide

16 1 1 disque et une surface Cône

Trouve un point commun aux solides 4, 6, 13 et 15 : Ils ont tous des triangles.

Comment les distinguer ? : La base

Complète : Une pyramide est un solide dont :

- une face est un polygone appelé base.

- Toutes les autres faces sont des triangles qui ont un sommet commun. C) a. Place le centre H de chacun des 4 polygones ci-dessous, puis donne le nom de chacun de ces polygones.

1 2 3 4 H H H H Carré Hexagone régulier Octogone régulier Triangle équilatéral Que peux-tu dire sur les longueurs des côtés de chacun des polygones ? : Ils ont la même longueur On dira qu’un polygone est régulier si tous ses côtés ont la même longueur et que les sommets soient inscrit dans un cercle. b. (Pour les questions suivantes, la figure ci-dessous peut aider)

On suppose maintenant : - que chacun des polygones du a) correspond à la base d’une pyramide.

- que le pied de la hauteur de la pyramide passe par le centre H et est perpendiculaire au polygone de base.

Que peux-tu dire sur la longueur des arêtes latérales d’une pyramide ayant pour base les polygones 1, 2 et 3 ? :

Elles ont la même longueur.

En déduire la nature des faces latérales : Des triangles isocèles.

Pour la pyramide dont la base est un triangle équilatéral (figure 4) , peux-tu dire la « même chose » ?

( justifier ) : Oui ( un triangle équilatéral est trois fois isocèle)

c. Bilan : Une pyramide est dite régulière lorsque :

1) sa base est constituée d’un polygone régulier.

2) pied de sa hauteur passe par le centre et est perpendiculaire au polygone de base. D) a. Prend ton équerre et pose la perpendiculaire à ta table. Cette équerre matérialise un triangle.

Quelle est la nature du triangle ? : triangles rectangle

Par la suite, on appellera A le sommet de l’angle droit et [BS] l’hypoténuse. Faire pivoter l’équerre autour du côté [AS] perpendiculairement à la table. Ce mouvement de rotation engendre un solide dit de révolution qui admet pour axe le côté [AS] et pour génératrice l’hypoténuse [BS].

Dessine ci-dessous le solide obtenu. Le solide obtenu est un cône de révolution. D’après les 16 figures du B), quelle est le solide qui représente un cône de révolution ? : le solide 7 Que peux-tu dire du solide 16 ?: Pas de révolution b. On fait tourner chacune des figures ci-dessous autour de l'axe. Dessine le solide engendré.

D C

BE

A

H

1 2 3 4 Donne un nom aux solides 1, 3 et 4 :

1 : Un cylindre 3 : Un cône de révolution 4 : Une demi-sphère

Exercice n°1 : 1. Complète les deux figures suivantes qui représentent la même pyramide à base carrée dans des perspectives différentes.

2. Pour chacune des deux figures obtenues, indique quelles sont les faces cachées et quelles sont les faces

visibles.

Solide à gauche : Faces cachées sont AEB et ABE Faces visibles sont ACD – ABC et BCDE

Solide à droite : Faces cachées sont ACB - ABE et CBDE Faces visibles sont ACD et ADE Exercice n°2 : Complète la figure pour qu’il représenta en perspective la pyramide dont S est un sommet et dont ABCDE est la base.

Exercice n°3 : Un cube ABCDEFGH est représenté sur la figure ci-dessous, I est le centre de la face ABCD. Représente en perspective, à gauche de la figure, la pyramide HDAI de sommet H, posée sur la face DAI, la face HDA étant en vraie grandeur.

A

B

C

DE

S

H

DA

I

Exercice n°4 : Pour chacun des solides ci-dessous, repasse en rouge la hauteur.

ACTIVITE 2 : Construction d’une pyramide : LE PATRON

A. Sur une feuille de papier à dessin, construire quatre triangles SHA, SHB, SHC et SHD , rectangles en H avec les dimensions indiquées sur les figures ci-dessous.

B. 1. Découpe les quatre triangles et assemble leurs côtés [SH] avec du papier adhésif, comme le montre la figure ci-dessous.

2. En appliquant le théorème de Pythagore, calcule les longueurs SA, SB, SC et SD ( arrondir à 0,1 cm ).

3. Construire sur une feuille de dessin le quadrilatère ABCD comme le montre la figure ci-dessous.

AHD DHC CHB∧ ∧ ∧

= ° = ° = °60 80 110, , HA = 4 cm , HD = 5 cm , HC = 4,5 cm , HB = 3,5 cm.

Puis construire les triangles SAB, SBC, SCD et SDA dont les longueurs des côtés sont les valeurs calculées au 2. C. Découpe et réalise ensuite le montage comme la première figure ci-dessus :

S

H A

6 cm

4 cm

S

H B

6 cm

3,5 cm

S

H C

6 cm

4,5 cm

S

H D

6 cm

5 cm

S

C

BA

D5 cm

4,5 cm

4 cm 3,5 cmH

H

80°

110°

60°

5 cm

4,5 cm

4 cm

3,5 cm

B

S

S

A

S

S

D

C

Exercice n°5 : Dans chacun des cas suivants et « à vue d’œil », indique le ou les "bons patrons" de la pyramide représentée en perspective. (On fera abstraction des longueurs) a) Pyramide dont la base est un carré et la hauteur est [SB].

B C

DA

S

(1) (2)

(3)

Les patrons qui semblent être bons sont le numéro 1 et le numéro 2 b) Pyramide régulière dont la base est un carré

Le patron qui semble être bon est le numéro 2

Exercice n°6 : Dans les deux cas suivants et « à vue d’œil », dire parmi les développements de la pyramide présentée en perspective ceux qui sont faux ( on fera abstraction des longueurs)

a)

(1) (2) (3)

(4)

(5)

b)(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Pyramide a) : Les patrons qui semblent être bons sont le numéro 3 et le numéro 4 Pyramide b) : Les patrons qui semblent être bons sont le numéro 1, le numéro 3, le numéro 4 et le numéro 5

Exercice n°7 : Cette pyramide régulière cherche de bons patrons, peux-tu l’aider à faire son choix :

1 2

3

4 5

6 7

Les bons patrons sont : n°1 - n°2 - n°4 - n°5

Exercice n°8 La pyramide SABCDEF ci-contre est régulière. Unité le centimètre: A0 = 4,5 et SO = 6 a) Dessine en vraie grandeur le triangle AOS. b) En utilisant le dessin du a), dessine un patron de la pyramide sans calcul.

A B

C

DE

F O

S

Exercice n°9: ABCDE est une pyramide régulière à base carrée (figure ci-contre ). La diagonale de la base mesure 5 cm et l'arête latérale 7 cm. Calcule la hauteur de la pyramide. Arrondis au mm. Calcul de BH : Comme EBCD est un carré, alors les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu, donc :

5,22

55

2

1

2

1 ==×=×= DBBH

BH mesure 2,5 cm Calcul de la hauteur AH : Dans le triangle AHB rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore, on a : AB ² = AH ² + HB ² 7² = AH ² + 2,5² AH ² = 49 – 6,25 AH ² = 42,75

AH = 57,42

AH ≈ 6,538 Conclusion : La hauteur de la pyramide mesure environ 6,5 m. Exercice n°10 : Sujet Brevet L'unité est le cm. Tous les calculs devront être justifiés. SABCD est une pyramide régulière à base carrée. On a commencé le patron : AC = 32 et DS = 40 a) Calcule AB au dixième près b) Calcule SI au dixième près c) Déduis de b) l'aire latérale de la pyramide. d) Calcule la hauteur SH de la pyramide. On donnera une valeur approchée à 0,1 près. ( il est conseillé de faire une perspective cavalière sur ton brouillon... ) e) Termine le patron. a) Calcul de AB ABCD est un carré, donc ABC est un triangle rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore, on a : AC² = AB² + BC² Comme AB = BC, alors AC = 2 × AB² soit 32² = 2 ×AB²

2

1024² =AB

512=AB 6,22≈AB

Conclusion : AB ≈ 22,6 cm

D C

BE

A

H

b) Calcul de SI ISC est un triangle rectangle en I. D’après le théorème de Pythagore, on a :

CS² = IC² + IS² avec 3,112

6,22 ≈≈IC soit 40² ≈ 11,3² + IS²

IS² ≈ 1600 – 127,69

31,1472≈IS

IS ≈ 38,37 Conclusion : IS ≈ 38,4 cm c) Aire latérale

68,17354,386,22222

4 ≈××≈××=××= ISDCISDC

Aire

Conclusion : Aire ≈ 1 735,68 cm² d) Calcul de la hauteur Comme SABCD est une pyramide régulière, la hauteur passe par le milieu des diagonales et donc SHC est un triangle rectangle en H D’après le théorème de Pythagore, on a :

CS² = SH² + HC² avec 16322

1

2

1 =×=×= ACHC

40² = SH² + 16² SH² = 1 600 – 256

SH = 1344 SH ≈ 36,66 Conclusion : SH ≈36,7 cm

A B

CD

H

32

I

40

S

Exercice n°11: Sujet Brevet On considère une pyramide ABCDS dont la base est un rectangle. La figure 1 représente la pyramide en perspective et la figure 2 le début du développement.

1°) On donne CB = 12 et DS = 13. Calcule la hauteur de la pyramide.

2°) Termine sur la figure 2 le patron de la pyramide (les dimensions ne sont pas à l'échelle ). Calcul de SA Dans le triangle ADS rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, on a : SD² = AD² + AS² 13² = 12² + AS² 169 = 144 + AS² AS² = 169 – 144 AS² = 25

AS = 25 AS = 5 Conclusion : La hauteur de la pyramide est 5

Figure 1

A

S

C

D

B

Figure 2

A

S

D

C B

Exercice n°12: a)

Calcule la hauteur du cône.

b) Un cône de révolution a une hauteur de 15 cm et un rayon de 3 cm. Calcule la longueur de la génératrice. a) Calcul de la hauteur du cône Dans le triangle SAH rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore, on a : SA ² = SH ² + HA ² 18 ² = SH + 6 ² 324 = SH² + 36 SH² = 324 – 36

SH = 288 SH ≈ 17 Conclusion : La hauteur du cône mesure environ 17 cm b) Calcul de la longueur de la génératrice du cône Dans le triangle SAH rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore, on a : SA ² = SH ² + HA ² SA ² = 15 + 3 ² SA ² = 225 + 9

SA = 234 SH ≈ 15,29 Conclusion : La génératrice mesure environ 15,3 cm

A H B

18

S

12

S

H A

Exercice n°13 : Construis un patron du cône de révolution dont le rayon de la base mesure 3 cm et la longueur de la génératrice 5 cm.

1. On calcule le périmètre du disque de base : P = )(6322 cmr πππ =×=× .

2. On calcule l’angle AOB , On utilise un tableau de proportionnalité :

Mesure de l’angle (en°)

360° x

Longueur de l’arc de cercle (en cm)

52 ××π π6

°=×=××=×= 21636610

36106

10

6360

ππ

ππ

x

Ainsi AOB = 216 °

Exercice n°14 : Construis un patron du cône de révolution dont le diamètre de la base mesure 5 cm et la longueur de la génératrice 6 cm.

1. On calcule le périmètre du disque de base : P = )(52

522 cmr πππ =×=× .

2. On calcule l’angle AOB , On utilise un tableau de proportionnalité :

Mesure de l’angle (en°)

360° x

Longueur de l’arc de cercle (en cm)

62 ××π π5

15012

5360

12

5360 =×=×=π

πx

Ainsi AOB = 150 °

Exercice n°15 : Construis un patron du cône de révolution dont le disque de base a un rayon de 1,5 cm et la hauteur du cône est de 2 cm.

1. Calcul de la génératrice Dans le triangle SOA rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore, on a : SA ² = AO ² + OS ² SA ² = 1,5 ² + 2 ² SA ² = 2,25 + 4

SA = 25,2

SA = 2,5 Conclusion : La génératrice mesure 2,5 cm

2. On calcule le périmètre du disque de base : P = )(35,122 cmr πππ =×=× .

3. On calcule l’angle AOB , On utilise un tableau de proportionnalité :

Mesure de l’angle (en°)

360° x

Longueur de l’arc de cercle (en cm)

5,22 ××π π3

2165

3360

5

3360 =×=×=π

πx

Ainsi AOB = 216 °

ACTIVITE 3 : A - Découpage et construction 1. Sur une feuille ( papier Canson ) , construire le patron de la pyramide, à base carrée, ci-dessous. 4 cm 2. Refaire deux autres patrons identiques au premier. 3. Découper puis construire les trois pyramides. B - Le puzzle Avec ces trois pyramides, réaliser un cube.

1. Quel est le volume du cube ? : V = 4 3 = 64 ( cm 3 )

2. En déduire le volume d’une des pyramides. ( donne la réponse sous forme de fraction ) : V = 3

64 ( cm 3 )

C - Conclusion :

1. Quelle est l’aire B de la base d’une des pyramides construites ? A = 4 ² = 16 (cm ²)

Combien mesure sa hauteur h ? h = 4 cm

On note V le volume de la pyramide, vérifier la formule V B h= × ×1

3.

3. 3

6464

3

1 4 16

3

1V =×=××= ( cm 3 )

2. On admettra que cette formule est générale. Complète :

Le volume d’une pyramide est égal au tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur de la pyramide.

Exercice n°16 : Le triangle ABC, rectangle en A, est représenté sur la figure 1. Ce triangle fait le tour autour de la droite (AC). Le résultat de ce déplacement est représenté sur la figure 2. On donne: AB = 6 cm AC = 8 cm BC = 10 cm 1° a) On a un cercle de centre A et de rayon AB = 6 cm.

b) Longueur = 37,68 6 2 r 2 ≈××= ππ La longueur du cercle est 37,7 cm environ. 2° Aire du disque = 113,04 ² 6 r² ≈×= ππ L’aire du disque est de environ 113 cm².

3° Soit V le volume, on a : 33,30181133

1 hauteur base la de aire

3

1 ≈××≈××=V

Le volume du cône est environ 301 cm3 .

Exercice n°17 Calcule le volume et toutes les dimensions manquantes sachant que: ABCD rectangle, AB = 2,75 AD = 5 SA = 12 Soit V le volume de la pyramide, on a:

5512575,23

1

3

1hauteur base la de aire

3

1 =×××=×××=××= ASADABV

Le volume de la pyramide est égal à 55 cm3.

C

A BA B

C

Figure 1 Figure 2

A

D C

B

S

Exercice n°18 : Calcule le volume sachant que: SMN, SMP, MNP sont des triangles rectangles en M. MN = MP = 3 SM = 5

Soit V le volume de la pyramide, on a: 5,752

33

3

1

23

1hauteur base la de aire

3

1 =×××=×××=××= SMMPNM

V

Le volume de la pyramide est de 7,5 cm3 .

Exercice n°19 : Calcule le volume du cône de révolution ci-contre.

Soit V le volume du cône, on a: OSV ×

××=××=2

2

12

3

1hauteur base la de aire

3

1 π

Calcul de la hauteur OS : Dans un cône de révolution, la hauteur est perpendiculaire à la base passant par son

centre O. AOS est donc un triangle rectangle en O. D’après le théorème de Pythagore, no a :

17

288

288²

²6²18²

²²6²18

²²²

≈=

=−=

+=+=

OS

OS

OS

OS

OS

OSAOSA

La hauteur mesure environ 17 cm

Ainsi : 56,640172

12

3

12

≈×

××≈ πV

Le volume de la pyramide est environ 640,56 cm3 .

N

M

P

S

S

A B

12

18

A

S

18 cm

OB

12 cm