Classes de Gevrey non isotropes dans les domaines de type fini de ℂ2

CLASSES DE GEVREY NON ISOTROPES DANS LES DOMAINES DE TYPE FINI DE e2

Par

VINCENT THILLIEZ

Dans [cq, en vue d'obtenir des resultats d'interpolation Gevrey dans les domaines strictement pseudoconvexes de eN, J. Chaumat et A.-M. Chollet ont introduit des classes de Gevrey non isotropes G1j·o. , a > 0, dans un domaine n borne a frontiere C2 dans eN. Les derivees des fonctions d'une telle classe, en tennes de fonnes lR-multilineaires symetriques, devaient satisfaire une estimation correspondant a une regularite Gevrey double dans les directions tangentielles complexes. La classe HGl+o. des fonctions holomorphes dans n et appartenant a la classe de Gevrey usuelle Gl+o. verifiait ainsi l'inclusion fondamentale HGl+o. c G~r. One formule de Taylor specifique a G~r etait etablie, puis un theoreme d'extension de jets.

Dans Ies domaines strictement pseudoconvexes, Ie phenomene de regularite double dans les directions complexes tangentielles a ete etudie dans de nombreux articles (voir par exemple [BO] dans Ie cas des classes Holderiennes de la boule unite de en), a la suite du travail de E. M.Stein CSt] sur les classes de Lipschitz.

Dans Ie cas general des domaines a bord lisse, on peut esperer un meilleur gain tangentiel de regularite, dependant de la geometrie locale du bordo Cependant, cette geometrie ne commence a etre tres bien comprise que dans les domaines de type fini de e2 . Dans ce cadre, des classes de Lipschitz et Sobolev non isotropes ont ete etudiees par plusieurs auteurs (voir par exemple [NRSW]).

On se donne ici comme but de batir, dans ce contexte, une theorie des classes de Gevrey.

Au paragraphe 0, on commence par rappeler la definition et les proprietes utiles des coordonnees adaptees et des pseudoboules introduites par Catlin [Ca] dans Ie voisinage U d'un point zO de type m d'un domaine n a bord lisse de e2 , non necessairement pseudoconvexe. Ces systemes de coordonnees joueront un role preponderant dans toute cette etude, dont il importe de remarquer Ie caractere local.

On etudie ensuite un nombre 8(z', z) pennettant d'obtenir un equivalent simple (proposition (0.7» de la pseudodistance associee 8(z', z) en tennes de coordonnees adaptees. De fa~on simpliste, l'exposant Ij8(z',z) determine Ie gain de taille tangentielle de la pseudoboule de centre z' et de rayon 8(z',z). Lorsque z' est un point du bord, 8(z',z') s'identifie au type de z'.

Au paragraphe 1, on construit, a partir des objets introduits precedemment,

259 JOURNAL 0' ANALYSE MATHEMATIQUE, Vol. 60 (1993)

260 V. THILLIEZ

des regions d'approche d'un point z' du bord, dont la taille est reglable par deux parametres ao ("ouverture"), to ("profondeur"). Une telle region d'approche U!~,ao

I

est adaptee a la geometrie du bord en ce sens que pour z dans U!~,ao , on a 6(z', z) ~ dist(z, of!) (Proposition (1.4» .

Au paragraphe 2, on definit, en correlation avec B( z' ,z) et la region U!~,ao , des champs de vecteurs holomorphes Xz' j a coefficients polynomiaux holomorphes de degre inferieur ou egal am, tels que Xz' Az') = LAz') OU LI est Ie champ tangentiel complexe et L2 est non tangentiel.

On donne egalement, pour les derivees en termes d'iteres des Xz' j d' une fonction de classe HGl+o: sur n n U, une estimation valable dans U~,ao et dite "Gevrey non isotrope" en ce sens qu ' elle fait apparaitre un gain de regularite e( z' , z) dans la direction XZ' ,I (z). On s'inspire alors de cette propriete des fonctions holomorphes pour difinir, par analogie, une classe de Gevrey non isotrope G~to:(n n U) (definition (2.6».

Enfin, on estime I'ecart entre deux champs X zl ,1 et X z" ,1 associes a des points differents, pourvu que z' , z" et Ie point ou a lieu I' estimation soient convenablement situes. En effet, dans la suite, iI sera it plusieurs reprises (et daris des contextes legerement differents) necessaire de transformer certaines estimations en termes d ' iteres des X Zl ,I en estimations similaires par rapport a x z" , 1 •

Au paragraphe 3, on definit, pour une fonction de G~tO:(f! n U) , des polynomes de Taylor non isotropes, pour lesquels on donne alors un theoreme de Taylor specifique (thioreme (3.1», c 'est-a-dire : dont Ie reste s'exprime en termes de pseudodistance. On utilise pour ce faire un developpement de la fonction Ie long d' un chemin adapte, raccordant deux regions d'approche, dont la construction, de nature assez technique, a ete donnee it la fin du paragraphe 1.

Au paragraphe 4, on montre que dans Ie cas particulier d ' un domaine "polynomial" (sou vent dit domaine de Kohn-Nirenberg par allusion a [KN]), la definition de G1tO:(f! n U) et Ie theoreme de Taylor non isotrope peuvent se formuler globalement a I' aide des champs L 1 , L2 dans toute region U!~ ,ao , au lieu de XZI, 1 , XZI ,2.

Au paragraphe 5, on construit des partitions de l'unite dans G1tO:(f!n U). On les associe a un recouvrement de Whitney du complementaire d'une partie compacte E de unan. Comme celles de Chaumat-Chollet [CCI], ces partitions sont fondees sur une construction de Bruna [Br] qui permet d'obtenir des estimations optimales pour les derivees.

Au paragraphe 6, on donne un theoreme d' extension de jets de type Whitney dans G1tO:(f! n U) , pour un compact E de Un of! dont chaque point est de type maximal m, apres avoir defini, de maniere appropriee au vu du theoreme de Taylor non isotrope, une classe de jets non isotropes notee G1tO:(E).

Dans un second article it paraitre [T2], on utilisera les resultats exposes ici pour etudier des problemes d'interpolation Gevrey dans les domaines pseudoconvexes

CLASSES DE GEVREY NON ISOTROPES 261

de type fini dans C2 • L' ensemble de ces travaux constitue la these de Doctorat de I'auteur [T3] et a fait I'objet d'une note [TI]. L'auteur tient it remercier A.-M. Chollet et J. Chaumat, qui sont it I' origine de ce travail.

Dans toute la suite nous utiIiserons les notations suivantes. Si X est un ensemble el A(x) , B(x) sont deux expressions dependant de x dans X, on ecrira souvent A(x) .$ B(x) pour dire que I'on a A(x) ::; CB(x) ou C est une constante positive -independante de x. De meme, A(x) ~ B(x) signifie que I'on a simultanement A(x) .$ B(x) et B(x) .$ A(x) .

Si X est un ouvert de C2 et a un reel striclement positif, H(X) designe la c1asse des fonctions holomorphes dans X, GI+o(X) designe la c1asse de Gevrey "standard" d 'ordre 1 + a sur X. (Voir [CCI], [CC2]). On note enfin HGI+O(X) =

H(X) n G1+O(X) .

Soientxun point de C2 , (rl' r2) un couple de reels positifs. P(x, (rt , ri» designera Ie bidisque de centre x et de birayon (r\, r2)'

O. Preliminaires

0.1. Systemes de coordonnees adaptees

Soient n un domaine de C2 it frontiere de c1asse Coo, zO un point de an et r une fonction definissante pour n au voisinage de zoo Pour z = (ZI,Z2) dans C2 ,

on note Xj = Re Zj et Yj = 1m Zj U = 1,2). On peut supposer :~ (zO) > 0 sans perte de generalite, il est alors demontre dans [Cal qu'il existe dans un voisinage convenable U de zo, pour tout entier m, des applications do,dl ," ',dm de c1asse Coo sur U, uniques telles que, pour tout z' de U, I'application eIIz, qui it (de C2 associe Z donne par

(0.1.1 ) m

ZI = z; + (I, Z2 = z~ + dO(Z')(2 +L dj(z')({, j=1

definisse un changement de coordonnees holomorphes dans C2 et telles que la fonction pz' = r 0 eIIz" definissante pour n z, = eII~l(n) au voisinage de 0, admette un developpement de la forme

(0.1.2) pz,«) = r(z') + Re (2 + Pz, «I) + R~':')«) ,

avec

j+k'5m J?I ,k?1

et

c(rn) etant une constante positive independante de z' .

262 V. THlLLIEZ

0.2. Hypothese de type flni

On pose At(z') = maxj+k=t \ ajk(z') \ . On fait alors l'hypothese que Ie point fJ est de type fini m, ce qui signifie que I'on a At(fJ) = 0 pour i < met Am(fJ) #:- O. Quine a retrecir U, on a a10rs Am #:- 0 dans U et on peut definir, pour z' dans U et 6 reel strictement positif, les quantites

r(z', 1:) = (~(At~z') )l/t) -I T( , 1:) Log 6 u L.J u et z,u = Log(r(z',6)jr(z', 1»"

t=2

On a IimT(z',6) = O(z') 0\1 O(z') designe min{ijAt(z') #:- O}. En particulier, pour 6-+0

z' dans Un an, O(Z') est Ie type de z'. On convient de poser T(z', 0) = O(z'). Enfin on definit une famille de pseudoboules ([ea], [NSWD par

Q6(Z') = CJz,(R6(Z'»,

0\1 R6(z') = P(O, (r(z',6),6». On leur associe une pseudodistance definie, pour z' et z dans U, par

6(z',z) = inf{,., > 0; z E Q'I(z')}.

Quine a restreindre U, on pourra supposer que, pour tous z et z' de U, on a 6(z',z) < I.

Toutes les constantes introduites dans la suite ne dependront que de la geometrie de n, sauf mention explicite.

0.3. Proposition [Cal II existe des constantes 60 > 0, Cl ~ 1, '" ~ 1 telles que, pour 0 < 6 < ho, [' on ail:

(0.3.1) \ pz,«) - pz,(O) \~ cI6 et \:;';ti \ ~ c I 6r(z',6)-U+k) pour j + k ~ met

(E R6(Z'),

(0.3.2) Z E Q6(Z') imp/ique Q6(Z') C QK6(Z) et Q6(Z) C QK6(Z').

De (0.3.1) on deduit que si on a z' E n n U et 6 < t \ pz,(O) \, alors on a Q6(Z') c n n U.

0.4. Lemme /I exisle une constante C2, 0 < C2 ~ 1, lelle que, pour tout z' de

U et tous reels 61 et 62 avec 0 < 62 ~ 61, I' on ail

(0.4.1 )

(0.4.2)

r(z',6) = r(z', 1)61/ T(z',6) et C2 ~ r(z', I) ~ .!., C2

(6 )1/2 (6 )I/m ~ r(z',62) ~ r(z',6t} ~ ~ r(z',62),

CLASSES DE GEVREY NON ISafROPES 263

(0.4.3)

Preuve (0.4.1) et (0.4.2) sont immediats. Pour (0.4.3), un calcul simple, joint a la convexite de la fonction x - fiX, pennet d' etablir ~ T( z', b) 2: 0, voir [T3]. 0

On introduit une quantite e "mesurant" I'anisotropie de la pseudodistance.

0.5. Exposant d'anisotropie

La quantite 8(z', z) = T(z', b(z', z» verifie les proprietes suivantes :

(0.5.1) On a 2 ~ O(z') ~ 8(z',z) ~ m.

(0.5.2) b(z',z) ~ b(z',z") entraine 8(z',z) ~ 8(z',z").

(0.5.3) On a 8(z', z') = 8(z').

II s'agit la de consequences faciIes de (0.4.3) et des definitions de 0 et 8 . Avec (0.4.1) on obtient egalement Ie lemme suivant :

0.6. Lemme On a r(z',b(z',z» ~ b(z',z)l/e(z',z).

On en deduit alors aisement un resultat essen tiel.

0.7. Proposition II existe une constante C3, 0 < C3 < I, teJle que, pour

z = ~z'«()' on ail:

La quantite 8( z', z) presente egalement une propriete de symetrie.

O.S. Lemme II existe une cons/ante C4 > 0 telle que l' on ail

I 8(z',z) - 8(z,z') I~ 1 10g;~"z) I'

Preuve D'apresCatlin[Ca],z' E Q6(Z) entrainer(z',b) ~ r(z, b). Onavuaussi d'apres (0.4.2) que b ~ b' entratne r(z',b) ~ r(z',b') d'ou alors r(z,b) ~ r(z', 6'). Nous appliquons ces remarques avec 6 = 6(z,z') et b' = 6(z',z) de sorte qu'en prenant Ie logarithme des deux membres on obtient Ie resultat voulu. 0

Par des arguments similaires a ceux de (0.7) et (0.8) on etablit aussi Ie lemme suivant:

0.9. Lemme Soit z un point tel que

{36(z',z) ~ b(z',z) ~ ~b(Z"z) (0 < {3 ~ I) .

264

On a les estimations

et

v. THD...LIEZ

19 (z',z)-9(z',z)I;S1 l~~~) og z ,z

cs6(z',z) ~I (I 18 (z',i) + 1 (21~ !6(z',z), Cs

014 z = (lz' «) et 014 Cs = cs({J) est une constante positive, inferieure a J, tendant vers 0 avec {3 .

1. Geometrie au voisin age du bord

Puisque ron a suppose :~ (zo) > 0, on a :~ ~ 1 au voisinage de zoo De lA, on peut montrer Ie lemme suivant [T3] .

1.1. Lemme II existe des constantes h et C6, 0 < h < 1, 0 < C6 < 1, telles que pour tout z E V , z = q,z'«)' et tout 0 ~ t ~ 2, Ie point t = (l z, « ZI,,) avec

e',1 = (- (O, th/do(z'»

appartienne a n et virifie

(1.1.1)

(1.1.2) c6(1 pz,«) 1 + 1 (- e,1 \) ~I pz,« Z',/) I~ ~ (I pz,«) 1 + 1 (- (1' ,1 I) .

N.B. Nous omettrons souvent les indices z', lorsqu'il n'y aura pas de risque de confusion.

1.2. Notations. Les regions d'approche

Soit z' E U n an. Pour 0 < ao < 1, 0 ~ to ~ 2, on note :

1.3. Lemme [T3] II exisle des constantes a et ai, 0 < a < 1, 0 < al < 1, lelles que pour tous points z' de Un an, z = (lz,«) appartenant a u~,'a et tout

0< s ~ Ion ait


En particulier, on a ( E <1>;;1(0 n U) et donc U~,ao con U pour 0 < to ::; 1 et 0< ao ::; a.

Vne telle construction figure chez de nombreux auteurs (voir par exemple [NSW]). En regie generale, les regions d'approche de z' sont definies comme ensemble des points z se projetant, sur Ie bord, dans une pseudoboule de centre z', de rayon equivalent a dist(z, an). Nous employons ici une methode differente (empilement de bidisques). Le lemme (1.3) est donc une adaptation, dans ce contexte, de resultats standard et se demontre a partir de (0.3.1), (0.4) et (1.1) (voir [T3]).

En utilisant egalement (0.7) on peut aussi etablir la propriete fondamentale des regions d' approche:

1.4. Proposition [T3] Si a est choisi assez petit, pour tout point z' de an n U et tout point z = <l>z' «) de U:,.a on a

1 c71 r(z) I::; 8(z',z) ::; - 1 r(z) 1

C7

c'estadire C71 Pz'«) I::; 6(z',z)::; '* 1 Pz'«) l),ouc7estuneconstante,0 < C7 < 1.

En vue du paragraphe 3, on construit a present un chemin joignant un point z' du bord a un point z situe dans une region d' approche voisine.

1.5. Construction d'un chemin adapte

Soient 0 < to ::; 1 et 0 < ao ::; a, et soit z' E an n U. Pour 0 < bo ::; Qo, 81 = ¥ et 0::; t::; to , on a 1 Pz,(OZ',/) 12: 281t (voir (1.1.1). Par suite, si z = <l>z'«) E UnO veri fie 6(z',z) ::; 81boto et si on pose t =~(::,) (de sorte que 0::; t ::; !to), alors ( appartient a Rbo1pz, (0"")1 (z'), par definition de 8(z', z).

On considere ensuite Ie point w = «1,0) + OZ',I. On verifie alors que si on note ~ = oz' ,t, on a

oid~ , wI designe Ie segment d'extremites~, w dans (:2.

On note y = <l>z'(W) et x = <l> z' (~)' Alors on a

1.6. Lemme II existe des nombres So et bo, 0 < So ::; to et 0 < bo ::; ao, tels que, si z verifie 8 (z' , z) ::; 81 boto et appartient a U:?,'bo ou z" est un point de U n an , [' . [ I Ulo ,ao on alt z, y C z" .

266 V. THILUEZ

Preuve Puisque I'on a z E US;,'bo, il existe 0 ~ s ~ So tel que z = <Pz,,(u), avec udans

Pour la suite, notons, pour 0 ~ oX ~ 1, wA = (+ oX(w - () E nz" yA = (Pz,(wA) En et uA = (p;,,l (yA) E nzll.

Puisque ron a [z,y] = (Pz,([w,(]) = <Pz,,([u,ul ]), nous voulons montrer que uA

appartient Ii V!?"OQ. Or, pour tout 0 ~ oX ~ 1, on a

A I " " s lUI =1 UI I~ r(z ,bo I pz,,(OZ ' ) I).

II suffit done d' etablir

A uh (f u I U2 + do(z") I~ ao I pz,,(OZ ' ) I,

pour un certain (1, avec S ~ (1 ~ to. En effet, on aura alors

puisque ron a bo ~ ao et I pz,,(OZ" ,U) I~I pz,,(OZ",S) I . Or, on sait que ron a

sh "s boh I U2 + do(z") I~ bo I pz,,(OZ ' ) I~ c6 S.

Par suite iI vient

..\ (1h I ..\ (u - s)h I boh I u2 + do(z") I~ u2 - u2 + do (Zll) + C6 S.

Par definition de <Pz'" on a u~ - U2 = do(z")-I(y~ - Z2) puisque u~ = UI . On a done

I u~ + ~:II) I~I do(z") I-I IY~ - Z2 + «(1 - s)hl + ~6h s.

De meme, par definition de <Pz" on a y~ - Z2 = -do(Z')oX(2 - oXth • II vient

lu~ + d;:") I ~I do(z") I-I (I do(z') I A I (2 I +«(1 - (s + tA»h) + ~6h s.

Or on a aussi A I (2 I ~ Abo I Pz' (OZ' ,r) I ~ ~ At et I do I~ 1 dans U d' ou, si on choisit u = s + At, la majoration suivante :

lu~ + ~:") I ;S bO(1h

~ aoc6hu ~ ao I pz,,(OZ",U) I


pourvu que bo soit choisi assez petit. On a en outre (7 ~ So + , ~ to pourvu que

So ~ " ce qui acheve de prouver (1.6). 0

2. Comportement non isotrope des fonctions holomorphes et introduction des classes de Gevrey non isotropes

Pour les definitions et proprieres elementaires des classes de Gevrey "c1assiques" G1+a(D), on se reportera a [Br], fCc], [Ge].

2.1. Position du probleme

Soit / une fonction holomorphe dans n n U, on suppose que / appartient a la classe G1+a(n n U) (a > 0) c'est-a-dire qu'i1 existe MI > 0 et KI ~ 1 tels que pour tout z E Un n et tous U,k) E N2 on ait

(2.1.1)

On a alors/ E COO(n n U) et (2.1.1) reste val able pour z E an n u. Nous rappelons aussi Ie lemme suivant, qui resulte aisement de (Ge] (§ 1.2)

si I'on remarque que ~z' est polynomiale, de degre et de coefficients bomes independamment de 1'.

2.2. Lemme Soit g E GtT(D)((7 ~ 1, D cc (;2), et soient M.,KI telles que

l' on ait

I a~' a~:;~' azr (z) I ~ MIKf+q (p + qW

pour tous zED et p' + p" = p, q' + q" = q. Alors, pour tous z' E U et ( E ~;;I (D), ona

I (}p+q g 0 c)z, () I p+q(P ) ItT o(r a(f" o(r oCr ( ~ M2K2 + q . ,

ou Mt/M2 et Kt/K2 ne dependent que de (7 et de la geometrie de n n U.

2.3. Theoreme Pour toute /onction / satis/aisant aux hypotheses (2.1) on a, quels que soient z' E Un an,z = ~z'(() E u~,'a et pour tous (p,q) E N2 e/ A E R

satis/aisant

(2.3.1 ) p

o ~ A ~ 8(z',z) +q,

l'estimee

I P (I") IA 1 {}p+q/ 0 ~z' (1")1 < M AP+q Kel,.Z) +q-A(p + q)1 [ P + q - A] la z' ., a(fa(i" - 3 1 1 . 8(z',z) .

268 V. THlLLIEZ

ou M3 = MIKf et Al ne depend que de a et de La geometrie de O.

Preuve Posonsfzl = f 0 ~Zl. En vertu du lemme (1.3) on peut appliquer la formule de Cauchy sur Ie polydisque

On obtient alors, pour tous j, k,p E N et 0 < s ~ 1, l'estimation

(2.3.2)

En s' inspirant de lCc] on va estimer I ~r~; «)\ en utilisant la formule de Taylor

avec reste integral sur Ie segment [(I , ([, it l 'ordre n it determiner a posteriori. On a

Notons, pour abreger, £1 (resp. £2) la premiere (resp. deuxieme) expression au second membre de l'inegalite precedente. En utilisant (2.3.2) avec k = n + 1 et j = q , on obtient

D'apres (1.1.2) on a

1 p«I-s) I~ C6 1 p« ) 1 et 1 p«I-s) I~ C6\ (- (I-s 1= c6(1 - s) \ (- (I 1 . On en deduit alors

On choisit n = [~ + q - >.] + 1,on adoncn-(~+q->') ~ Oetn+ 1 ~ ~+q->'+2. Entin, I'application du lemme (2.2) nous donne

CLASSES DE GEVREY NON ISOfROPES 269

On deduit alors aisement, de ce qui precede et du lemme (2.2), la majoration

(2.3.3)

ou A2 est une constante convenable, ne dependant que de 0' et de la geometrie de n. Pour estimer E I , on utilise (2.3.2) avec k = 0, j = q + i. II vient

n ( .)1' EI ~ Sup liz, I L q +.,' .p. I (- (I Ii (al I p«I) n-(£-+q+i) ~

4>-;1 (onp) i=O l. 2

En effet on a I p«I) I~ C6 I (- (I let (q~;)!p! = p!q! (q; i) ~ 2q+ip!q!. Comme

I p( (I) I ~ C6h, on en deduit enfin

(2.3.4)

ou A3 ne depend que de la geometrie de n . La conclusion du theoreme resulte facilement de (2.3.3) et (2.3.4). 0

2.4. Remarque

Observons que I'on peut affaiblir les hypotheses sur f . Soit f une fonction holomorphe dans n n U satisfaisant seulement une estimation Gevrey d' ordre 1 + 0'

par rapport it la variable Z2:

(2.4.1)

Alors fa conclusion de (2.3) reste valable. En effet ~«) = dO(z')k~(z) avec do '2 2

bomee. On a donc (sans recourir it (2.2» I'estimation Gevrey pour I 8':~' I, qui 8(2

est la seule utili see pour etablir (2.3).

2.5. Les champsXz', j

Soit z' un point de Un n. On definit les champs de vecteurs Xz' J (j = 1,2) par

(2.5.1)

II est important de remarquer que Xz' , I et Xz' ,2 commutent.

270 V. THILLIEZ

Sous forme explicite, on a d ' apres (0.1.1)

(2.5.2) Xl' ,I(Z) = aa + (f~)dAZI)(ZI -Z~Y-I) aa, XZ',2(Z) =do(zl)a~2 ' ZI j=1 Z2

En particulier, on peut verifier que 1'0n a Xl' Az/) = LAz/) ou LI , L2 soot definis par

(2.5.3)

a (ar )-1 ar a = aZI - aZ2 aZI aZ2

1 (ar )-1 a = 2: aZ2 aZ2'

LI est Ie champ tangentiel complexe. La conclusion de (2.3) s'ecrit alors (2.5.4)

I r(z) IAI X~"IX;,,;/(z) Is; My4~+qKt(~I ,Z) +q-A (p + q)! [9(;', z) + q - '\]!".

On met ainsi en evidence, dans la region d ' approche U~,'a , un gain de regularite Gevrey (1 + ~ au lieu de 1 + a) dans la direction Xl' ,I' D' apres (2.4) it suffit pour cela d 'avoir une estimation Gevrey I + a dans la direction transverseXl' ,2.

Soit P E ~ un biindice, P = (P/,p") . On note p =1 P 1= p' + p". ~ designe

l" -I'" et si Q est un autre biindice on notera ~Q = ar fit· De la meme fa~on 8C,j oC,j . 1 2

P - p' - p" PQ - P Q P - p';>p" PQ - P Q Xz'J -Xz'JXz' JetXz' -Xl', IXz' ,2· Enfin(j -q (j et( -(1(2 '

2.6. Definition des classes de Gevrey non isotropes

Nous allons nous inspirer de (2.3) et (2.5.4). Neanmoins la condition (2.3.1) est trop large sur ,\ donc trop restrictive pour la classe a definir: on voit en effet en

prenant,\ = e(~' ,z) +q que l' on obtient une estimation de type G 1 locale, c 'est -a-dire analytique (reel ou complexe). On reclamera donc

p ,\> p+q 9( I ) + q - - 8( I ) , Z , ZI Z ,Z

soit en d' autres termes'\ S; q (1 - e(~' .z» ) .

On dira qu'unefonclionf de GI +"'(nnU) appartienta la classede Gevrey non iSOlrope G~t"'(n n U) s'il exisle 0 < If S; 1,0 < af S; a, M > 0 ,K ~ 1, teis que pour tous z' E U nan, Z E u~,af , tous biindices P, Q et ,\ reel veriftant

(2.6.1)

CLASSES DE GEYREY NON ISarROPES 271

onait

(2.6.2) I r(z) IAI X;,Qf(z) 1$ MK 9 (?') +q-A(P + q)! [e(;', z) + q - A]!" .

Outre la regularite GI+a: dans nnu, I'appartenanced'une fonction! aG1t"(nn U) n'impose done af que des conditions dans un voisinage de an (dans n n U) dependant de f. En particulier, on voit dans I'hypothese (2.1), d'apres (2.5.4), quef appartient a G1t"(n n U) avec M = M3 = MJKr et K = AjKJ , puisque AP+q < Am.~ < Am( '+q-A).

J - J - J La c1asse G 1t" (nnU) est une algebre, stable par derivation. Nous allons regarder

pr6cisement ce qui se passe pour Ie produit de deux elements de G1r(n n U).

2.7. Proposition Soil! (resp. g) un element de G1t"(n n U) et tf , af ,Mf , Kf (resp. tg, ag, Mg, Kg) les constantes assoc;ees af (resp. g) par (2.6). Alorsfg appartient a G1ta:(n n U) avec les constantes tfg = min(lj,tg ), afg = min(af,ag ),

Mfg = MfMg et Kfg = 2mmax(Kf,Kg).

Preuve Ona

On cherche a estimer un terme X;, IQ1f(z)X;,2Q2 g(z), OU z E U;! ,Q/x• Pour ce faire, si ,\ satisfait (2.6.1), on pose Aj = ,\ ~, de sorte que I' on a ,\ = A J + '\2 et 0 $ Aj $

qj (1 - 9(:' ,Z») · On voit alors que, compte tenu de I'inclusion

I'on a

(On a juste utilise Ie fait que [aJ![bJ! $ [a + bJL) Aussi I r(z) IAI X;,Q(fg)(z) I est majorepar

272 v. THlLLIEZ

oil

s= " P!Q! = 2p+q < 2mlllr < 2m(li-+q-'x) L..,.; PI !QI !P2!Q2! - - ,

p. +Q.=P, Q.+Q2=Q

ce qui acheve de prouver (2.7).

Nous allons maintenant 6tablir une propri6re cruciale des champs Xz, J.

2.S. Relation entre Poperateur Xz" ,1 et I'operateur XZ',I

Soient trois points z' E Un fl, z" E Un an et Z = ~z, «() E U:,~a .

o

D'apres Catlin [Ca], ~Zll se factorise en ~z, o'I/J oil 'I/J : n zll -+ nz, est Ie changement de coordonnees associ6 par (0.1) au domaine nz, et au point (" tel que z" = ~z'«("). On a donc

oil les dj', 0 ~ j ~ m, sont des fonctions de classe Coo en (". Catlin d6montre en outre que si zit E QE(Z'), on a

(2.8.1) 1 d" 1< (' )-1 j ",erz,f .

Soit 3(11 ,I Ie champ sur nz, d6fini par

On notera l'analogie avec la d6finition de Xz", 1 sur n (voir (2.5.1». On a en particulier

(2.8.2)

La proposition suivante fournit une estimation de 1'6cart entre 3(11 , I et 8~ •.

2.9. Proposition On suppose avec les notations de (2.8) que l' on a

6(z" ,i) ;S 6(z' , z) .


Alors on a l' estimation

(Pour i 2: m, on a evidemment ~ == 0.)

Preuve On a 1 (\ - (;' I~I (\ 1 + 1 (;' I~ r(z' ,8) + r(z' , 1]), ou 8 = 8(z' ,z) et 1] = b(z",z) . On a par hypothese 1].$ b, donc

1 (\ - ,~' 1.$ r(z' ,8)

et Z" E Q~(z') c ~ avec EO ~ u.

En appliquant (2.8.1), on a alors

et 1 dj'«(\ - ,;'y-I-t 1.$ 8r(z' ,8)-(I+l).

La proposition resulte alors de (2.8.2) et (0.6), en remarquant que, pour i + 1 2: 8(z' ,z), la majoration triviale I~I.$ 1 est meilleure. 0

On applique cette proposition au point y construit en (1.5) pour "raccorder" deux regions d'approches u:~ ,ao et U:~;ao . On reprend donc les notations de (1.5). On

obtient Ie lemme suivant, qui sera utilise au paragraphe 3.

2.10. Lemme Soit z un point tel que

(38(z' ,z) ~ 8(z',z) ~ ~8(z',z) (0 < (3 ~ I).

II existe une constante positive Cg = cg({3) ("explosant" quand (3 --+ 0) telle que l' on ail

1~(~(w.)1 ~Cg8(z',z)I-(l+I)/e(z' ,z) (O~i~m-I).

(Pour i 2: m, on a evidemment fcf == 0.)

Preuve D'apres (0.3), on a 8(z',z) ;::: Ir(z)1 et d'apres (1.4), on a 8(z", z) ~I r(z) 1 car z E U:?,'bo c U~/~a. Par application de (2.9), on a alors

274 V. THILLIEZ

Le lemme (2.10) s'en deduit en remarquantque 1'0n a (I = WI et en utilisant (0.9). o

2.11. Remarques [T3]

Nous avons vu que 1'0n a

(2.11.1) 6(z",z).$ 6(z',z).

Par des arguments similaires a ceux de (1.5) et (1.6) on peut egalement montrer que 1'0n a, pour tout point y du segment [y,z), 6(z",z) .$ 6(z",y) et, compte tenu de (2.11.1) et des proprietes de T et T, en deduire

8(z",y') 1

~-....,.. < .,---.,--.....,.....,. 8(z",z) '" Ilog6(z',z) I'

(2.11.2)

Enfin, on peut aussi montrer que I' on a

(2.11.3) 6(z',y) ~I pz-{w) I~ 6(z',z)

et, par des arguments similaires a ceux de (0.8), en deduire

(2.11.4) 1 1 _ 1 1< 1 8(z',y) 8(z',z) '" Ilog6(z',z) I"

3. Polynomes de Taylor non isotropes

Le but de ce paragrapbe esll1' etid>lir Ie tbeommo-'6Ulv.ant;

3.1. Theoreme 5rJienl"f 4on.sQ}..,jb{!l-4'tfi1 ez tf,fl.{,M,K Its constantes associees a f par (2.6). AIQrsltf!xiste des nomhres 0 < bf :s af, 0 < Sf :s tf dependant de f et 61 > 0 ne dependant que de la geometrie de n tels que, si z' est un point de Un on, z un point verifumt 6(z', z) < 61bftf et appartenant a U;{;bf ou z" E U nan, si enfin z est un point verifiant

(36(z',z) :s 6(z',z) :s ~6(Z"Z) (ou 0 < (3 :s 1),

l' on ait, pour tous biindices P, Q et n entier verifiant

P 1 -8 +q<n+-;;-, ,. e

la majoration

ou /' on a pose

8. e A

CLASSES DE GEVREY NON ISarn.OPES

= min{8(z' ,z), 9(z",z)}, = 8(z' ,z), _ {8(Z',z) 8(z",Z)} - n max O(Z') , 8 min '

= min S(zl/,l) (yde/mi en (1.5», y'elY,z]

et ou on a de/mi Ie polynome de Taylor par

Tn(z',z,f)(z) = leNl .JeNl.

9(:' ,i ) +j<n+ 9(,1, ,i)

275

pour z = 4)z,«(). La constante A4 ne depend que de o:,{3 et de la geometrie de n. Avant d'aborder la preuve, signalons que l'introduction de z a pour but de

permettre que Ie degre du polynome considere soit constant au voisinage de z. On remarquera en outre que, d'apres (2.11.2), on a

0< 8(z",z) _ 1 < I - amm "V I Log6(z',z) I

Dans Ie preuve, nous supposerons d'abord/ holomorphe pour simplifier les notations. On a alors

Tn(z',z,f)(z) = (i,k)ENl ,

9(1, ,i) +k<n+ 9(}',i)

On considere 6) , sf = So et bf = bo les nombres associes par (1.5) et (1.6) a ao = af

et to = If .

Notons enfin h =/ - Tn(z',z,f) , Q = Tn(z',z,/), 0 = O(z'), et it = ne9~;"~) pour plus de commodite. Dans la suite, par abus, nous considerons h et Q comme fonctions de z ou ( indifferemment.

3.2. Lemme Dans n n U, on a

276 V. THILLIEZ

ou As et A6 ne dependent que de a et de La geometrie de n.

Preuve On commence par Ie cas z" = z'. On a trivialement

(3.2.1) 1 {)p+qQ 1 S I Q I ( 1 \p+q I I arP al"q ::; up Ii) p.q.,

'>1 '>2 P(O,R)

ou P(O,R) = peO, (R,R)) et ou Rest assez grand pour que P(O,R) contienne <I>~I(n n U) pour tout z' de Un an. D'autre part, pour ~ + k < n + i, on a

(3.2.2)

I -+k ()

< n + "'A + I - -"'A < n + "'A + (ne + 1) - - "'A 1 .(1 1) 1 ' (1 1) e () e e Oe

e < nO + 1 = n + 1,

donc [~+k]!"::; ([n] + I)!"::; 2(h+I)"[h]!a.

II vient done, d'apres (2.6), en faisant A = 0,

(3.2.3) I a;;6;,;zl (0)1 ::; MK*+k(i + k)! [~ + k]!"

::; M(2m+"K)n+l i!k![n] !ll<.

Par suite, on a SUPP(O,R) IQI ::; M(A7K)h+1 [il]!" ou A7 est une constante conven

able, d'ou, compte tenu de (3.2.1), l'estimation voulue pour ~;;~ (c'est-a-dire

X~, IX;I 2Q)· , , n /I -. n 1

Pas sons au cas general: il suffit d'appliquer Ie lemme (2.2) a'f/;: Z I" Z et u-.,>

it Q de fa90n it obtenir la majoration cherchee pour ~;~g = X~/I lX;/I 2Q. 0 u luU2 "

3.3. Proposition Soient p, q deux entiers naturels leis que

(3.3.1) p 1 "'A +q < n+-:;-. e e

Alors on a l' estimation

(3.3.2)

ou As ne depend que de a, f3 et de La geometrie de n La preuve se fait en deux etapes et utilise Ie chemin construit au § 1.

CLASSES DE GEVREY NON ISOTROPES

!ere etape. estimation sur [w,~l. Soit J l'entier tel que

(3.3.3) p+J 1 ip+J + 1 -~- +q < n+ -;:- < ~ +q. e e - e

Nous avons, Ie long du segment [w, ~J,

(3.3.4)

avec

(3.3.5)

277

D'apres (0.9) et quitte a diminuer 6) pour que 6(z', z) so it assez petit, il existe une con stante A9 dependant de /3, telle que

En utilisant (3.3.3), il vient

(3.3.6)

O'autre part on a similairement a (3.2.2)-(3.2.3) et parce que [w, ~l C V;"Qf,

et par application du lemme (3.2) avec z" = z',

ou A 11 est une con stante convenable. De (3.3.5), (3.3.6) et de ces deux dernieres estimees, on deduit

(3.3.7)

ou AJ2 ne depend que de a, /3 et de la geometrie de o.

278 V. THILLIEZ

2eme etape. estimation sur [e, 0). Pour 0 '$ j '$ J, on a t!:f! + q < n + ! . Soit Lj I' entiertel que

(3.3.8)

Nous avons, Ie long du segment [{, 0),

(3.3.9)

avec

(3.3.10)

Pour i '$ Lj on a e:;; + q + f < n + ~, d' ou, par definition du degre de Q,

II reste donc it estimer R2,j seulement. Du fait que 16 I~ c5(z',z) et de (3.3.8) on deduit

(3.3.11 )

ou A \3 est une constante convenable. En utilisant les memes idees que lors de I' estimation de I R I I, on obtient

(3.3.12)

et

(3.3.13)

OU AI4 et A1s ne dependent que de a,p et de la geometrie de n. Pour conclure, on remarque que

(3.3.14)


et aussi que d' apres les etapes 1 et 2, on a

La proposition (3.3) resulte alors aisement de (3.3.7), (3.3.13) et (3.3.14). 0

3.4. Remarque importante

Lorsqu'ona

(3.4.1 )

on a similairemenl a (3.3) (et quille a augmenler As)

(3.4.2)

Bien sur, dans ce cas, Ie second membre de /,inegalire "expJose" quand 6(z',z) lend vers O.

Preuve Par des considerations triviales de degr~, (3.4.1) donne

f11+qh {JJ+q! 0 tl.'

8(f oq:= o(f oW .

On a egalement d'apres (2. i 1.4), (2.11.3) et (0.9)

(3.4.3) I I I I I A 16 6(z ,z) ~I pz,(w) 1 et 8( I ) -..".. ~ I 1 () I' z,y 8 - og P,' w

oil A 16 ne depend que de (3 et de la geometrie de O. On rencontre alors trois cas.

ler cas. eE(;',~) + q - n > q(l - Ij8(z',y». En appliquant (2.6) on obtient

(3.4.4) 1 pz,(w) Iq(l-I/e(z',y» I {)Pp+qh (w)1 ~ MKe~j~,.) (p + q)! [ P ~ q ] !c>. 0(10<i 8(z ,y)

Mais eE(;,;y) = er . e(~,y) ~ (n + i)~ ~;, + 1, par (3.4.1).

280 V. THILLIEZ

On a de plus, d'apres (3.4.3),

-q(l - Ij6(z',y» ~ n + 6(Z~'Y) - (e(;',y) + q)

1 (p ) AI6(P-I) ~n+....-- ....-+q +1 1 ()I ' e e ogpz'w

On en deduit, en utilisant de nouveau (3.4.3),

I pz,(w) I-Q(I-I/9(z',y» :s A~6 I pz,(w) In+i-(?i+q)

:s A~76(z', zr+i-<?i+q).

Par (3.4.4), on obtient alors, pour AI8 convenable,

puis la conclusion souhaitee en remarquant que [iz + I]! :s 2n+1 [iz]!.

Ume cas. o:s 9~;'~) + q - n :s q(1 - Ij6(z',y».

Alors on utilise (2.6) pour evaluer

On obtient

I fJP;qh (w)1 :s MKn+I / 9 (z',y)(p + q)! [n + ~ ]!Q 1 pz,(w) In+ 9(:',y) -(9(? ,y) +q) . 8(J8~ 6(z ,y)

II est alors facile de conclure comme precedemment avec (3.4.3).

3eme cas. 91(;'~) + q - n < 0, c'est-a-dire 9(?,y) + q < n + 9(~"Y)' Par (2.6) on a

I fJP+qh (W)I < MK9(? ,y) +q (P + q)! [ P + q]!Q 8(f8(i - e(z' ,y)

:s M(AJ9K)n+1 (P + q)!(n!)Q

pour une constante convenable AJ9. On obtient a fortiori (3.4.2) puisque I'on a

Ceci acheve de prouver la remarque. o

CLASSES DE GEVREY NON ISafROPES

3.5. Estimee de "raccord"

Nous allons donner par Ia suite une estimation pour

(3.5.1 ) (P) _ ( 8i+j =p ) A iJ· - -'-J' -1"11 Ih (w), (i,j,p) E N3 , 8(18(2 ~ ,

oil B''',I a ete defini en (2.8).

281

Remarquons d' abord que pour p 2: 1, en posant B = B(", I, puisque [ 8~2 ' BC;", I] = 0, on a

c' est-a-dire

(3.5.2) (P) _ (P-I) " i! atE ( ) (P-I) AiJ - A,+IJ + L...J f!k! 8(l WI AkJ+ I .

l+k=i I

Posons b = b( z', z). Nous allons montrer par recurrence sur l' entier p que I' on a I'estimation, valable pour p+~+j :::; n + t, (3.5.3)

avec A20 = 1 + eCg (cg a ete introduit en (2.10».

Lorsque p = 0, (3.5.3) est une consequence triviale de (3.3) et (3.4). Supposons (3.5.3) etablie au rangp - 1 (p E W). D'apres (2.10) et I'hypothese

de recurrence, on obtient, pour '- + k = i,

:::; Cgbl-<l+I)/8M(AsK)n+2Aiol(k + p + j)![n]!Ctbn+t-<ttr+J+I)

:::; M(AsK)h+2Aiol(i + j + p)![nJ!Ctbn+i-<~+j) ~~ + p + ~j,! Cg. l+P+] .

De meme, d'apres I 'hypothese de recurrence, il vient

Compte tenu de Ia relation de recurrence (3.5.2), on deduit de ce qui precMe que I'on a

282

avec

Orona

V. THlLLIEZ

" i! (k + p + j)! S = 1 + Cg ~ O'k' "(' "),.

L . l+P+). l+k=i

(k + p + j)! ., = i(i - 1) ... (k + 1) k' < k' (i + p + j)! l. (i + p + j)(i - 1 + p + j) ... (k + 1 + P + j) . - .,

done S :::; 1 + Cg L09~i ~ :::; 1 + eCg = A20, ee qui termine la preuve. o

En fait, nous utiliserons (3.5.3) dans Ie cas particulier 00 i = 0 et ~ + j < !, Nous avons donc la proposition suivante, compte tenu de [8~2' S(II, I] = O.

3.6. Proposition Soient p,j leis que ~ + j < n + !. Alors on a

014 A21 = AsA20 ne depend que de a, f3 et de la geometrie de n.

3.7. Estimation finale

Avec fes notations de (3.1 ), soient p, q deux entiers tels que

(3.7.1) p 1 -e +q<n+-;;-.

* e Alors on a

014 A22 ne depend que de a, f3 et de fa geometrie de n. Preuve Soit S l'entier tel que

(3.7.2) Sp +q+S<n+ ~ :::; eP +q+S+l. * e *

On a, avec l' abus de notation usuel sur h,

CLASSES DE GEYREY NON ISarROPES 283

avec

(3.7.3) I R 1< I do(z")-I (Z2 - Y2) 15+1 Sup IXp ){'!.+S+I hi 3 - (S + 1)1 z",1 z",2 •

• [z,y)

Or 1 do I~ I et I Z2 - Y21~1 (2/ + 1 {21~ 6(z',z). On a aussi 9($',i) +q+S < n+! d'ap~s (3.7.2). II vient alors, par un calcul similaire it (3.2.2), I'inegalite valable pour tout y' E fy, z),

si 9~(Z) ~ 1; ... sinon.

On a dans les deux cas 9(zft ,y') + q + S ::; A + m. Comme [z,y) c U;,:o/, on a alors par (2.6)

d'ou, compte tenu du lemme (3.2),

et finalement

(3.7.4)

D' autre part, avec I' abus de notation habituel sur h, on a

Xp Xq+sh(y) ~p doe ")q+s (YI+s h( ) (0 < < S) z",1 z",2 = '::'(",1 Z a(i+S w _ s -

et

IX:"'IX;'~~h(y)(~O~;') yl =1 do(z") Iql Z2 - Y2 IS I~"'I ~+:sh(W)I· D'apres (3.7.2) on a ~ + q + s < n + !. On a aussi / do I~ 1 et I Z2 - Y2 I~ 6(z',z). L'egalite preeooente et (3.6) donnent done la majoration

(3.7.5)

284 v. THlLLIEZ

Le theoreme resulte aussitot de (3.7.4) et (3.7.5), compte tenu du fait elementaire

3.8. Cas non holomorphe

Pour des raisons de commodite d'ecriture, nous n'avons considere jusque la que Ie cas d 'une fonction holomorphe. Le resultat (3.7) s'etend sans difficulte a f quelconque dans G~ta(n n U) : la demonstration n'est qu'une redite des paragraphes (3.1) a (3.7) en considerant, en plus, les derivees en (j.

4. Le cas des domaines polynomiaux

On considere un domaine n = {z E C2jReZ2 +P(zI) < O} ouP est un polynome homogene de degre m, sans terme harrnonique. D'apres (0.2), n est un domaine de type fini m, et 0 est un point de type m.

4.1. Remarque preliminaire

Nous avons, pour toute fonetion F de c1asse C l , (LjF) 0 <Pzt = Lj(F 0 <pz') ' avec

(4.1.1) {' 8 8, (8Pz,)-18Pzl

LI = 8(1 + G 8(2 ou G = - 8(2 8(1

L' do 8 2 = do(z/) 8(2·

C d - 1 (&r) -I - 1 L· 1 _ & omme 0 - 2: &22 -, on a 2 - &(2 ·

D'autre part, on verifie, d'apres (0.1) et la formule de Taylor appliquee a P en Zl, que 1'0n a

On a enfin

(4.1.2) 8pzl 1

G = -2 8(1 ' done G nest fonction que de (I ·

o

De la et de (0.3.1) on deduit aisement Ie lemme qui suit.

4.2. Lemme Il existe 0 < C9 < 1 telle que, pour tout z = <PZ1 «() et tout biindice L (de longueur l), on ait

(4.2.1 )

CLASSES DE GEVREY NON ISarROPES 285

el

(4.2.2) pour z E U~,'a avec z' E Un 80,

1 at.G((I) I~ c9min(l, 1 r(z) 11-(£+I)/8(zl,z» .

(Evidemrnent at, G == 0 pour i ~ m.)

4.3. Theoreme Unefonctionf de GI+O'(O n U) appartient a G1j·O'(O n U) si

et seulement si if exiSle 0 < tf ~ I , 0 < af ~ a, M4 > 0 el K4 ~ I leis que pour tous z' E Un an, Z E u;"at et tous biindices P, Q et >. reel salisfaisant

(4.3.1)

onait

(4.3.2)

(Par analogie avec (2.5), LPQ = Lf' I( Li' I't .) Preuve Nous considerons Ie cas p" = q" = 0 pour alleger les notations, Ie cas

general n'en difIere d'aucune maniere.

a) La condition est necessaire Soitf E G1tO'(0 n U), posons alors

BY'J) = ( &+j .Lif 0 ~Zl ) (0, ou Z = ~ZI(() . 8q8(~

On a, pour p ~ I ,

(P) _ (P-I) ~ i! atG( ) (P-I) B i ,; - B i+ l ,; + ~ ilk! 8(l (" BkHI '

l+k=i 1

d'ou, compte tenu du lemme (4.2), en notant e = 8(z' , z) et p() = PZI(() = r(z) ,

(4.3.3) (P) (P-I) ~ i! . ( I-W) (P-I) 1 B i ,; I~I B i+l ,; 1 + ~ i!k(9 mm 1,1 pee) 1 1 BkH\ I· l+k=i

On va montrer par recurrence sur p que, pourvu que I' on ait

(4.3.4) o ~ >. ~ j(I - ~),

286 V. THILLlEZ

alors on a

(4.3.5)

ou A27 = 1 + eC9 et M,K sont associees at par (2.6). Pour p = 0, c'est trivial par definition de G~ta(n n U). Supposons cette propriete etablie au rang p - 1 (p ?: 1). Dans (4.3.3), estimons d'abord Ies termes OU £ + 1 ?: e. Alors min(l, I pee) 11-(HI)/9) = 1 et I'hypothese de recurrence nous donne,

puisque l'on a ° ~ ,x ~j(1 - ~) ~ U + 1)(1 - ~),

avec

p+k-l . 1 \ p+i-(£+I) . 1 \ p+i . \ e + ] + - 1\ = e + ] + - 1\ ~ e + ] - 1\,

done

Traitons maintenant les termes pour lesquels £ + 1 < e : dans ce cas,

min(l, I pee) 11-(l+I)/8) =1 pee) 11-(HI)/8

et on doit evaluer I pee) IHI-~I Bt~V I . Or on a aisement 0 ~ A + 1 - W ~ ,x + 1 - ~ ~ U + 1) (1 - ~). En appliquant I 'hypothese de recurrence, il vient

I pee) IA+I-~I Bt:~) I ~ MA~7IK~+j+I-(HI-~)(p + k+ j)!x

x [p + ~ - 1 + j + 1 _ (,x + 1 _ £ ~ 1 )}a ~ MA~7IKe.t+j-A(P + k + j)! [p; i + j -,x] !a.

Notons enfin que Ie premier terme I p(e) IAI Bt~y I s'estime sans difficulte par 1 'hypothese de recurrence. Il vient finalement


(3 5) S - I '" i! +lc+j ! < I - A . h' avec, comme en . , - + L..Ji+k=i i!k! (p+i+j ! C9 _ + eC9 - 27 ce qUI ac eve la recurrence.

(4.3.2) se deduit de (4.3.5) en faisant i = 0, M4 = M, K4 = Ai7K eten remarquant

que lJ~2 = L2 et [L~ ,L~J = o. b) Rkiproque

La demonstration est identique en rempla~ant B~) par acheve de prouver (4.3).

(L'iL'f. -!i;:! 0 ~z') «). Ceci o

Dans un meme ordre d'idees (voir [T3]), Ie tbeoreme de Taylor non isotrope devient:

4.4. Theoreme Avec les hypotheses et notations du § 3, on a, pour -k + q < 1 n+ e,

ou A28 ne depend que de 0', /3 et de la geomelrie de n. S. Partitions de I'unite non isotropes

Soient z' un point de U, r un reel strictement positif et 7 une constante strictement superieure it I. En utilisant les resultats geometriques (0.3) it (0.8) et la proposition (2.9) on peut etablir les trois lemmes techniques qui suivent.

5.1. Lemme [T3] So;t z = ~z'«) un point de U.

(5.l.l)

(5.1.2)

Si .!.r 51 (I IT(z'.,.) + I (21, alors z E Q,.(z't· C3

Si I (I IT(z',r) + I (2 1< cnr, alors z E Q"Y"(z').

5.2. Lemme [T3] Soient z" E Un an, z' E Un n tel que I r(z') 1$ /3lr ou /3. > 0, et z un point satisfaisant

(5.2.1) z E U~,~a n (Q-yr(z')\Q,.(z'».

A/ors on a

(5.2.2) 8(z",z) $ T(z',r) + I r::;r I'

oU CIO > 0 ne depend que de 7, /31 et de fa geometrie du domaine.

288 V. THILLIEZ

5.3. Lemme [T3] On a , dans l' hypothese (5.2.1),

ou on a pose T* = T(z' , r) + I~:rl et OU C\1 ne depend que de 'Y, f31 et de la geometrie de n.

Nous utiliserons egalement un resultat de Bruna [Br] sur les classes non quasianalytiques :

5.4. Lemme Soit v > O. II existe une constante A29 > 0 ne dependant que de /J teLle que pour tous E > 0, t > I , il existe ~.,I, ,, E Gi+"(C) satisfaisant les propriites suivantes:

(5.4.1) 0 :::; ~.,I,V :::; 1 j (5.4.2) ~. ,t ,,,(u) = 1 pour 1 u I~ 1 j

(5.4.3) ~.,t, ,,(u) = 0 pour 1 u I> t j

(5.4.4) Pour tous j ,k EN, on a

Nous abordons a present Ie resultat central de ce paragraphe. Posons 'Yo = 2c3"2.

5.5. Proposition Soient 'Y > 'Yo, 11 > 1, 0 < r < 1 et z' E U n n avec I r(z'} I:::; {31 r ({31 > 0). Alors il existe une fonction CPz' ,r,,., verifiant les proprietes suivantes:

(5.5.1) O:::;CPz' ,r,,.,:::; 1 j

(5.5.2) cpz' ,r,,., == 1 sur Qr(z') j

(5.5.3) CPz' ,r,,., == 0 hors de Q-yr(z') j

(5.5.4) CPz',r ,,., est de classe G 1+a j en outre pour tous z" E unan, Z E U~,',a, tous

biindices P et Q et A reel satisfaisant

ona

OU AJO ne depend que de 'Y, f31 , 0: et de la geometrie de n.

(5.5.5) cpz' ,"' ,r E G~ta(n n U).


Preuve Notons pour abreger T = T(z' ,r) , e = 8(z",z). On pose, avec les notations de (5.4),

Pour z = CPZI ((), on definit 'Pz1 ,r,'1(z) = 'PI ((t)'P2( (2). (On notera 'P au lieu de 'Pz' ,r,'1 dans la suite, pour abreger.) Remarquons d'abord que (5.5.1) est trivial par (5.4.1).

Soit Z E Qr(Z'), alors par (5.1.1) on a I (I IT + I (2 1< t; et done 7 I (2 1< 1 et 'P2((2) = 1 par (5.4.2); de meme on a (7)I /T I (11< 1, d'ou 'PI((d = 1. Ceci prouve (5.5.2).

Soit Z E Q,Az'Y, alors par (5.1.2) on a 1 (I IT + 1 (2 12:: C3ir done max(1 (I r c2

,1(2 /) 2:: !ij-"Ir. Dans Ie cas I (2 I~ !ij-"Ir, on a 7 1 (2 12:: T"I = fo, d'ou 'P2((2) = 0 d'apres (5.4.3) et la definition de 'P2. Dans Ie cas 1 (1 IT2:: !ij-"Ir, on a similairement 'PI ((I) = O. Dans tous les cas on a 'P(z) = 0, ce qui prouve (5.5.3).

La preuve de (5.5.4) se fait en plusieurs etapes. II est trivial, tout d'abord, que 'P appartient a G 1 +0 (((;2). Dans les estimations des derivees qui vont suivre, les constantes Ai introduites ne dependent que de 0:, "I, /31 et de la geometrie de o. Notons que (5.5.4) n'est a etablir que pour Z satisfaisant (5.2.1) puisqu'en dehors de la pseudocouronne Q,.-r(z')\Qr(z'), 'P a ses derivees nulles. On commence par estimer

D'apres (5.4.4) et la definition de 'PI, on a

avec r(1/T*-I/T) = r-~rt.. ~ eCIO / 4 . On obtient done

(5.5.6)

De fa~on analogue on a

(5.5.7)

On deduit sans difficulte de (5.5.6), (5.5.7) et de la formule de Stirling que I'on a

290 V. THlLLIEZ

Soit a present A un reel satisfaisant

(5 .5.9) o < A < q (1 __ 1 ) . - - T*

Evaluons A = rA.,.,~y4(r.-l) [~]!o. Posons s = q(l - i.) - A j on a alors o ::; s ::; q( 1 - i.) et s + ~ = r. + q - A. Par suite il vient

et

{Is]! [p;. q ]! ::; [;. + q -A] ! .,.,~ = .,.,Ir+Q-AlI-S

rA = y4(l-r.)r- s

Pour x > 0, on a fsJT ::; exp 2x, done

Il vient done (5 .5.10)

rA I~Qip 0 ~zl«)1 ::; (A3811)~+Q-A(P + q)! [i. + q - A] !OexpA39(W)-I/o.

L'etape suivante eonsiste a montrer que, dans la merne hypothese (5.5.9), on a encore (5.5.10) si on remplaee ~Q par 3~1I.lag, quitte a augmenter A38. Pour ce faire, on estime par recurrence sur pies coefficients

a l'aide du lernrne (5.3). Nous n'entrerons pas dans les details, qui sont une redite de la preuve de (4.3). On obrient done, dans l'hypothese (5.5.9), et quitte a augrnenter A38 ,

Nous devons maintenant passer a l'estirnation "avec e". Soit A un reel satisfaisant

(5.5.12)

CLASSES DE GEVREY NON ISarROPES 291

Puisque I'on a e ~ T* d'apres Ie lemme (5.2), il est trivial que A satisfait aussi (5.5.9). L'estimation (5.5.11) et I'inegalite F ~ ~ nous donnent immooiatement

On en deduit aussitot (5.5.4), quitte a remplacer 1] par i; dans la definition de !PI,

!P2· Pour finir, (5.5.5) est immooiat d'apres (5.5.4) si on remarque que l'on a 1 r(z) 1::5

r, ce qui resulte des hypotheses de (5.2). 0

5.6. Lemme de recouvrement "de type Whitney" leW]

/I existe 'Y > 'Yo, et N E N* tels que si E est une partie compacte de U nan, il aiste une famille de boules (Qr;(Zj) );EN verifiant les proprieres suivantes (a pres avoir pose Q; = Qr;(Z;) et Q; = Q')'r;(Z;)) :

(5.6.1 ) (un n)\E = (unn) n U Q; = (unn) n UQi. ;EN ;EN

(5.6.2) Si Z E Un n n Q; on a 6(z, E) ~ 6(z;, E) et 6(z, E) ~ r;

(par definition 6(z, E) = infz'E£ 6(z, z').)

(5.6.3) Pour chaque j E N, Qj coupe au plus N boules de la famille (Q; );EN.

5.7. Theoreme Soit E un compact dans U n an. Pour tout 17 > 1 il aiste une famille (1Pj,,,)jEN de fonctions dans G1tCt(n n U) satisfaisant les proprieres suivantes:

(5.7.1)

(5.7.2)

(5.7.3)

Supp 1Pj,'1 C Qj ;

L 1Pj,,, == 1 sur (U n n)\E ; jEN

(5.7.4)Pourtous z" E unan, Z E U~,',a, tous biindices P, Q et tout reel Asatisfaisant

292 V. THILLIEZ

ona

rA\XPQ•1,. (z)\ < 'I'1e('~'. t ) +q-A(p + q)' [ p + q _ ,X] ,0< exp A40('I'1r·)-I/o< j z" 'f'j,f/ - " • e(z",z) . " j ,

ou A40 ne depend que de a et de La geometrie de n.

Preuve Notons d'abord que pour i E N, on a d'apres (0.3) I r(z;) 1:S 6(z;, 8n) :s 6(zj,E) de fa~on evidente, done, par (5.6.2), I r(z;) I~ ,6lr; pour une constante,61 ne dependant que de la geometrie de n. On considere alors la fonction <P;,f/ = <Pz;,r;'f/

qui jouit des proprietes etablies en (5.5). On pose tPl ,f/= <P1 ,f/ et pour j > I,

Les proprietes (5.7.1) et (5.7.2) sont immediates. D'autre part on a pour toutj

.1'1 + .. . +.1,. =1-(1-1/'1 ).·.(I-trl')' 'f'~ ~~ r~ ~~

Soitalors z E (Unfi)\E. n existe itel quez appartienneaQ; de sorteque '{J;,f/(z) = 1. II s'ensuit alors que I'on a

(tPl ,f/ + ... + tPj,f/)(z) = 1 des quej ~ i.

A fortiori on obtient (5.7.3). La preuve de (5.7.4) est une redite de [CC) (IV.5.d) en utilisant (5.5.4) et

la definition des tPj,f/' les proprietes du produit dans G~to«n n U) (voir (2.7», celles du recouvrement defini en (5.6), ceci quitte a multiplier 'fJ par une constante convenable dans la definition des '{J;,f/ . 0

6. Probleme de Whitney en type constant maximal

6.1. Position du probleme

Soit E un sous ensemble compact de U n an. On suppose que cbaque point de E est de type m.

Un jet de Whitney F sur E est defini par une famille (F PQ)PENl ,QENl d' applications continues sur E, a valeurs dans C.

Le jet F sera dit appartenir a la classe de Gevrey-l + a non isotrope G Mo< (E) s'il existe des constantes M et K, M > 0 et K ~ 1, telles que les proprietes suivantes soient verifiees :

(6.1.1) Pour tous biindices P,Q et tout z'de E, on a


(6.1.2) Pour tous n E N, P, Q satisjafsant !;; + q ~ n et tous z', z de E tels que o(z',z) < OF , on a

ou (z' )() ~ 1 ( ') IJ ( ) Tn ,F Z = L-t IIJ!F/J Z ( , IPzl ( = z,

I,J,-!;,+jsn

et OF est un reel strictement positif.

Par exemple, si jest une fonction de G1ta (f! n U), alors j definit un jet de G1ta (E), en prenant FpQ(ZI) = (X;Pj)(zl). En effet (6.1.1) est clairement verifie. De la meme fa~on Ie theoreme (3.1) applique avec z = z et en tenant compte des faits suivants : (i) z" = z puisque z appartient a uS;,:hf nan = {z"} , (ii) e(zl,.) = e(z",·) == m puisque chaque point de E est de type m, (iii) A = n pour les memes raisons, nous donne immediatement (6.1.2), avec Tn(z',F)(z) = Tn(z',z,J)(z). (Ceci quitte a multiplier K par une con stante convenable.)

Pour FE GMa(E), on se propose reciproquementde construirej dans G1ta (nn U) telle que pour tous biindices P, Q et tout Zl de Eon ait

6.2. Definitions

On note pour tout t > 0,

h(t) = inf f(k!)a et N(t) = min{p E N; tp(p!)a = h(t)}. k:?:O

On verifie aisement que la suite (f(k!)a)k>O est decroissante pour k ~ N(t), puis croissante pour k > N(t) et d'autre part qu'il existe 0 < to < 1 tel que pour o < t < to , on ait

On remarquera comme consequence qu'il existe une constante /-L, 0 < /-L < 1, telle que pour 0 < t < to, on ait 2N(t) ~ N(/-Lt).

Soit II ~ 1 une constante (a fixer ulterieurement), on pose n(l, II) = 2N(lIrl).

294 V. THILLIEZ

Soient Ql, Qiles pseudoboules associees Ii E par Ie § 5 et Zl leurs centres. Pour un point Z de n n V, on note z un point de E qui realise 6(z,E). On definit Ie polynome

(6.2.1)

Si on note (U) les coordonnees associees Ii Zj, alors on a z = c)Zj((U)) et

I,S ;i;+s~n(l,v)

Pour Z E (V n n)\E on va regarder la fonetion

F(z) = L 1/Jj'f/(z)~,v(z), jEN

ou (1/Jj,f/)jEN est la partition de I'unite associee Ii E par Ie § 5. Pour tout ehoix de 1}

et de v la fonetion Fest clairement de classe Coo sur (V n n) \E. Les eonstantes Ai introduites dans la suite ne dependront que de 0: et de la

geometrie du domaine.

6.3. Lemme Soient deux points z" E V n an et Z E V n n, z = ~Zl(((£)) et Z' = ~il(((£)")' On suppose z E V~,~a n Qi. Alors Ie champ SC(l)",1 sur nZl associe

par (2.8) a Xz",1 sur n s' exprime sous laforme 8//..ll\ + E(l) 8Crth avec

Preuve On a 6(z",z) ~I r(z) I;S rl ~ 6(it,z) d'apres (1.4) et les proprietes du reeouvrement (5.6). Le lemme resulte alors de (2.9) en remarquant que I'on a 8(it,·) == m et 6(Z",Zl) ;S 6(z",z) + 6(Zl'Z) ;SI r(z) I +rt ;S rl. 0

6.4. Proposition II existe A4t. A42 telles que pour v ~ A41K et rl < ~, Ie polynome P~ v verifie les proprietes suivantes: Soient z" E Un an, z E v~,~a n Qi, soient P, Q deux biindices et >. reel satisfaisant

(6.4.1) 1

0$ >. $ q(l- 8(Z",z))'

Alors on a

(6.4.2) rlA IXPQP1l (Z)I<M(A42V)S(JI'Z)+Q-A+I(p+q)'[ p +q_>.],a z" ,v - • 8(z",z) .


et s; ; + q $ n(l, v) , on a

(6.4.3)

Preuve On commence par donner une estimation pour

(Cette estimation est I'analogue de celIe de E\ dans [CC] (prop. V.7.1).) Lorsque ; +q > n(l, v) , iI est clair que I'on aApQ = O. Lorsqu'au contraire; +q $ n(l, v), on a aussitot

;!;+iSn(l ,lI) p'Sj',q'g' p" '5,i" ,q" gil

1 _ IV! I-P,l-Q IV!F/J(zl) (/_ P)!(J _ Q)!((l) ,

i "!=£.+ " avec 1 ((l/-P,.I-Q 1$ Ai:tr/' j-q pour A43 convenable, puisque ron a

Ainsi, compte tenu de I'estimation (6. 1. l)sur F/J(Zt), on obtient, quitte it augmenter

A43 ,

(6.4.4) 1,.1

; +qS ;!;+iSn(l,lI)

On isole les termes pour lesquels on a

i . P k kO I - +]=-+q+-, = , · ··,m- . m m m

On obtient, compte tenu du fait que Ie nombre de I, J pour lesquels ~ + j a une

valeur donnee est majore par A~+i pour un A44 > 1 convenable,

+ M P!Q!r;(;+q)

I,J ;+q+lS;!;+iSn(t,lI)

296 V. THILLIEZ

Orona

poUTVU que l'on ait v ~ ~K et vrt < to . (On a alors a fortiori VJ.!.rl :5 1.) Dans ces hypotheses. on a pour les termes du L: restant dans I'inegalire precedente,

done, d'apres (6.2).

(vWl)l:.ii+Jl [~ + j]!<> :5 (vWd~+ql+l ([~ + qj + 1 )!<>.

Finalement on obtient, compte tenu de rinegalite K :5 ~;~ v ,

1 ApQ 1:5 M P!Q!(A46V)~+q+l([P + qj + I)!<> (I + L(2A1 );i;+j) , m 1,.1 44

done, la serie au second membre etant convergente,

(6.4.5)

La seconde etape consiste a montrer que, pour tout reel x satisfaisant 2 :5 x :5 m et tout A reel satisfaisant

(6.4.6)

ona

(6.4.7)

1 0:5 A :5 q(1 - -),

x

Observons d'abord que ceci est trivial pour ;; + q > n(e,v), puisqu'alors on a ApQ =0. Traitons maintenant Ie cas;; + q :5 n(e, v). On a


et

Or on a(vwd' ::; (vwdA1 , 0::; A ::; q(l - ~) et ~ + q ::; n(l, v), donc 0 ::; [A] ::; n(l, v) ::; N(VWl)' D'apres (6.2) il vient alors (vwt}fAl[A]!<> ::; (vWl)OOl<> = 1, d'ou l'estimation annoncee en (6.4.7). Enfin, si l'on remarque que d'apres Ie lemme (6.3) on a

I fi<E I < I-!¥ 8(f '" rl pour tout 2 ::; x ::; m,

alors (6.4.6)-(6.4.7) et la methode par recurrence deja utilisee (voir (4.3), (5.5)) permettent d'etablir que, quitte a augmenter A48, l'estimation (6.4.7) est encore valable si on remplace ApQ par x;,9 Ptv (z). En particulier, en posant x = 8( z" , z), on obtient (6.4.1)-(6.4.2).

Il nous reste a etablir (6.4.3), c'est-a-dire estimer

~+j5,n(i,v) j'~',j'?q'

j"~"J"?q"

1 - IV! I-P,J-Q IV!F/J(zt) (/_ P)!(J _ Q)!((l) .

{ i' 2: p', j' 2: q' 'Or, pour '/1 /1'/1 /I et I i= P, J i= Q on a (~+ j) - (~ + q) 2: ~.

I 2:p ,J 2:q On peut donc ecrire, comme en (6.4.4),

I,J !!; +q+ ~ 5, ~ +j5,n( i,v)

et reprendre, a partir de (6.4.4) etjusqu'a (6.4.5), les calculs faits pour estimer ApQ en rempla~ant ~ + q par ~ + q + ~. Ceci termine la preuve de (6.4). 0

298 V. THILLIEZ

6.5. Proposition II exisle Vo = vo(K) ~ 1 lei que pour v > vo, il exisle" = ,,(v)

el E = E(V) satisfaisant la propriete suivante: pour tous z" E U nan, Z E U!,":, nQ; avec rl < E, tous biindices P, Q el A reel verifiant

(6.5.1)

ona

(6.5.2) rt 1 X';,?(F - /1,JI)(z) I::;

Preuve Puisque I'on a L.jEN tPj,f/ == 1 sur (U n !1)\£ on peut ecrire

(6.5.3) (F - /1,JI)(z) = L tPj'f/(z)(~, JI - /1,JI)(z) . jEN

Compte tenu des proprietes (5.6.3) et (5.7.2), it nous suffit pour obtenir Ie resultat voulu d' estimer un seul tenne

(6.5.4)

pour z E U~",a n Q; n SUPPtPj,f/' done pour z satisfaisant

(6.5.5) z E u~t n Qi n Qj.

Commen~ons par estimer, dans I'hypothese (6.5.5), une expression du type

(6.5.6)

Pour ce faire, on ecrit

~, JI - /1,JI = (~'JI - P{,JI) + (P{,JI - /1,JI) .

Estimons d' abord Ie tenne rt IX';,? (P5,JI - p{,)( z) I. (Cette estimation est I' analogue

de celie de L.~ dans [CC]. V.8, estimee de £2.) L'expression a deriver etant symetrique enj, l on peut supposer sans probleme n(l, v) ::; nU, v). Posons

CLASSES DE GEVREY NON ISarROPES

Alors on a CPQ = 0 pour;; + q > nU, v). Si au contraire ;; + q ~ nU, v) on a

CPQ=L I ,S

n(l,v)< *+sSnU,v) p' Si' ,q' Ss' p" $.i" ,q" $s"

1 F (-) I!S! (£)/-P S-Q I!S! IS Zj (/ _ P)!(S _ Q)! ( "

de sorte que, comme en (6.4), on obtient, quitte a augmenter A43 ,

(6.5.7) I CPQ I~ MP!Q!r;(~+q) L l,s n(l,v)<~+sSnU,v)

~+qS~+s

En isoIant, s'ils existent, les termes tels que l'on ait

(6.5.8) i p k -+s=-+q+- k=O,·· ·,m-l, m m m'

on obtient similairement

ou L =MP!Q!r;(~+q)L (A43Krl)~+s [~ +s]!Q.

I,S

n(l,v)< ~ +sSn(j,v) ~+q+1S~+s

299

Remarquons a present que les termes (6.5.8) n'existentque pour ;; +q+ I ~ n(£, v) .

On suppose v ~ eA51K. Pour chacun de ces termes on a alors

(A K)~+q+1 < v~+q+1e-(~+q+1) 51 _

~ v~+q+1e-n(l,v)

~ v~+q+1exp( -(vrl)-I/Q) pour rl < ~. v

II vient done, dans ces conditions,

Estimons maintenant E .

300 V. THILLIEZ

On remarque que l'on a rt ~ rj puisque z appartient it Qi n Qj, de sorte que, pourvu que rl v6rifie rl ~ ¢ avec AS2 convenablement choisi, on a nU, v) ~ N(As3vWl)' Ainsi, pour n(e, v) < ~ + s ~ nU, v), on a d'apres (6.2)

Or on a aussi

en outre d'apres (6.2),

et

Finalement on a

et

On deduit sans peine des inegalites precMentes qu'il existe AS7 (avec AS7 ~ eAS1 ),

Ass, AS9 telles que, pour v ~ AS7K et r i ~ ¢, l'on ait

On procMe alors comme dans la preuve de (6.4) pour conclure que, quitte it modifier As7 , Ass, AS9 on a, dans les memes hypotheses sur v, rl (en notant 8 = 8(Z",Z) et en tenant compte de I' equivalence r i ~ rj)

II reste it estimer

(6.5.10)

CLASSES DE GEVREY NON IS01'ROPES

On ecrit Ie developpement de Taylor de R = ~,v - PL au point Zt

= I,S

;!;+s~n(l,v)

+ L I,S

;!;+s2:n(l ,v)+~

301

Nous allons, suivant la strategie habitue lie, d'abord estimer DpQ = X£QR(z) avant de passer a I'estimation par rapport a XZII via Ie lemme (6.3).

Evaluons d'abordX£QSl = ~B)SI = D~Q' Clairement, si ;;+ q > n(.e, v), on a D~Q = O. Si au contraire ;; + q ::::; n(.e, II) remarquons d'abord que I'on a

puisque z appartient a Qj n Qt. La condition de Taylor (6.1.2) pour Ie jet F nous donne alors, compte tenu de

(6.2.1), (r, pouvant etre suppose assez petit), pour ~ + s ::::; n(.e, v),

IX!Spi, (z) - F (z)1 < MKn(l,v)+m+l(i + s)ln(.e 1I)I"'rn(l,v)+~-(;;;+S) Zt l ,v l IS l - . , . l .

{ i' > p' s' > q' D'autre part EI;(~)(.e)/S est nul sauf pour ." - ;, ,-; II' auquel cas on a

~ I ?,p,s?,q

IEl:Q r(.e)ISI < A ;;;+s I!S! r(;;;+s)-(~+q) «t)'" - 60 (/ _ P)!(S _ Q)! l .

II vient donc

I D~Q I ::::; MP!Q!r;(~ +q)+n(l ,v)+~Kn(l,v)+m+ ln(.e, II)!'" L I,S ;!;+s~n(t,v) i'?.p' ,s'?:,q' i " ?J1" ,i'?"q"

302 V. THILLIEZ

On suppose v ~ 2<> A62K, alors on a

Les memes calculs que pour I'estimation de L dans la preuve de (6.5.9) donnent

On obtient finalement, pourvu que I' on ait rl :::; v-m(m+ I),

De la, on pTOcMe comme en (6.4) (passage de I'estimation (6.4.5) a l'estimation (6.4.7» pour obtenir l'estimation voulue pour r; I D~Q I . On peut a1ors, a I'aide du lemme (6.3), remplacer D~Q par x;'9sl .

EstimonsmaintenantD~Q = Xf,QS2 = t{a)S2' Pource faire, nous devons d'abord

evaluer les termes Xz!S ~ v (zt) figurant dans S2 . Vne adaptation immediate du lemme I ,

(3.2) nous donne, puisque Zt et Zj sont de type m et en tenant compte de (6.2.1),

(6.5.I1)

Remarquons aussi que I' on a

IS . X- pi. (z) = Zt .(. ,v

H ,T ~+I:'Sn(l, v)

Mais en appliquant (2.8) avec z" = Zl et z' = Zj, on voit que

U) Add '{ 1 en «fh ( . I est un polynome e egre 0 en « fh

et U) I Add '{ < m en «f) I

( 2 est un po ynome e egre -I en «fh.

Par suite ~~l)(U)HT = ~(l)1 (UW &l(lh (U)I) = 0 si s > t . Ceci impose don~ que

l'on ait X:S~ v == 0 pour s > n(f, v). En combinant cette remarque avec (6.5.11) t ,

on obtient

I D~Q I:::; MP!Q!r;(~+q)(A65Kr(l'V)+ln(f, v)!<> L (A67r l);i;+s. ~+s~n(l,v)+~ s:'Sn(l,v) i'?p',s'~q' ;"?:.p" ,s" ~q"


II s'ensuit en particulier que l'on a

(6.5.12) D~Q = 0 pour q> n(i, v) .

Si q S n(i, v) on a au contraire, pour rl < :J67 ,

On en deduit alors comme pour D~Q ' en supposant v 2: A69K avec A69 convenable et rl S v-m(m+I), que ron a

A partir de la, on estime r; I D~Q I, pour A reel satisfaisant 0 S A S q( 1 - ~)

(2S x S m), comme r; I ApQ I en (6.4.7) etait estime a partir de (6.4.5). On tient compte pour cela de (6.5.12) et du fait que ,q S n(i,v) suffit pour avoir encore Os [A] S n(i, v). Puis on obtient l'estimee pour r; I x;,9s2 I a I'aide du lemme (6.3).

On obtient en fin de compte I' estimation suivante pour (6.5.10), pourvu que I' on ait v 2: AnK et rl S v-m(m+I), An etant convenablement choisie,

(6.5.13) r; Ix;,9(~,v - ptv)(z)I s M(A73V)& +q-A+l(p + q)! [~ + q - A] tax

x exp (-A74(vrt )-I /a) .

Nous sommes a present en mesure d 'estimer (6.5.4) comme annonce. Si z veri fie (6.5.5), si v 2: A57K, v 2: AnK, rl S v-m(m+l) et rl S A~~v ' Ie meme raisonnement

qu'en (2.7) (estimation des constantes Gevrey pour un produit dans G~ta(n n U» et la propriete (5.7.4) nous permettent d'affirmer, compte tenu du fait que I'on a rl ~ rj et de (6.5.9), (6.5.13), que I'on a

(6.5 .14) r; Ix;,9(thv(PJ,v - pL»)(z)I s M(A7511V)&+Q+l-,\(p + q)!x

x [~ + q - A] !aexp (A76(11rl )-I/O - A77(vrt}-I /o) .

On choisit alors 11 verifiant A 7611- 1/ o - A77V-I/o = -!A77V-I / o , c'est-a-dire

11 = 11(V) = (¥: r v. Par (6.5.14), on a alors aussitot la conclusion (6.5.2)

304 V. THILLIEZ

souhaitee en prenant vo(K) = max(A57,An)K, f(V) = min (v-m(m+l), A~~V) ,A50 = !A77 et A49 = A75 (2A~~ ) " . 0

6.6. Solution du probleme Le probleme (6.1) admet une solution qui peut en outre etre construite identiquement nulle hors d' un voisinage donne de E.

On commence par fixer v ~ max(A41,A57,An)K. Puisque l'on a rl ~ 6(z,E) pour z E Qi et (U n O)\E c UlEIli Qi, on voit qu'iI

existe 101 = fl (v) > 0 tel que les conditions z E (U n O)\E et 6(z, E) < fl entrainent I'existence de fEN satisfaisant z E Q; avec rl :5 f(V). Soient z" E Un an et z E U~,',a , avec 0 < 6(z, E) < fl . Les conclusions de (6.4) et (6.5) sont alors simultanement valides, de sorte que, puisque I'on a I r(z) 1.$ rl, iI vient d'apres (6.4.2) et (6.5.2) (6.6.1) I r(z) IAI X;,flF(z) 1:5 M(A78K) e(,~/ , z) +q-A+I (p + q)! [e(z~" z) + q - A]!'"

lorsque P, Q sont deux biindices et A un reel satisfaisant la relation habituelle (6.4.1).

En utilisant les idees du § 5, on peut aussi construire une fonction cp E GM" (n n U) valant 1 au voisinage de E dans UnO et nulle poUT 6(z, E) > fl et hors d'un voisinage donne de E. D'apres (6.6.1) on voit alors que la fonction/ = cpF appartient a G~t'~ (n n U). En outre, on deduit aisement de (6.4.3) et (6.5) que dans ces conditions, POUTVU que z appartienne a Qi avec rl ~ 6(z,E) assez petit, on a

Mais lorsque z tend vers un point' z' fixe de E, Zt tend vers z' egalement, puisque I'on a

6(z',Zt) ;S 6(z',z) + 6(z,Zt);S 6(z',z) + 6(z,E) ;S 6(z',z).

Par continuite de I'application FpQ, on a donc lim FpQ(Zt) = FpQ(z'). De la z~z',zEQ;

meme maniere, comme I' operateur x~Q depend de fa~on Coo de Zt. lim X[Q/(z) = (X;,Q/) (z'), d'ou Ie resultat annonce. 0

z-->z' ,zEQ; t

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Documents

Classes de Gevrey non isotropes dans les domaines de type fini de ℂ2