Combes 2014

7/25/2019 Combes 2014

1/23

Master Sciences de la matire Stage 20132014cole Normale Suprieure de Lyon Frdric CombesUniversit Claude Bernard Lyon I M2 Physique

Polarisation lectrique dans les cristaux

Rsum : Ce rapport prsente la travail effectu sur la polarisation lectrique dans les cristaux. Il expose

les approches connues, savoir la description classique et lapproche de Vanderbilt et Resta, avant de

se focaliser sur lutilisation des fonctions de Green afin de permettre un calcul thermodynamique et afin

de donner accs la polarisabilit lectrique. Les diffrentes approches connues et calculs effectus sont

compars au travers de deux modles jouets unidimensionnels, la chane de dimre et le modle de Rice-

Mele, qui sont explors analytiquement ou numriquement.

Mots clefs:polarisation lectrique, cristaux, modle de Rice-Mele, fonction de Green, localisation

Stage encadr par :Jean-Nol [email protected]

Frdric [email protected]

Laboratoire de Physique du SolideUMR 8502, Universit Paris Sud, bat. 51091405 Orsayhttps://www.lps.u-psud.fr/
mailto:[email protected]:[email protected]://www.lps.u-psud.fr/https://www.lps.u-psud.fr/mailto:[email protected]:[email protected]

7/25/2019 Combes 2014

2/23

7/25/2019 Combes 2014

3/23

Remerciements

Je tiens tout dabord remercier mes deux responsables de stage, Frdric et Jean-Nol, pour le sujet, lestage, et les discussion enrichissantes, ainsi que toutes les autres personnes du groupe thorie, stagiaires, docto-rants, post-docs et permanents !

Table des matires

1 La polarisation, introduction et motivations 11.1 Situation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Approche classique de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Thorie moderne de la polarisation : approche de Vanderbilt-Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Modles jouets : chane de dimres et modle de Rice-Mele 32.1 Chane de dimres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Modle de Rice-Mele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Polarisation classique et approche de Vanderbilt et Resta 43.1 Chane de dimres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1.1 Calcul thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.2 Calcul classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.3 Approche de Vanderbilt et Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Modle de Rice-Mele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.1 Systme fini avec bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2 Systme sans bord, priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Fonction de Green, dveloppement pertubatif 94.1 Notions prliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1.1 Approche thermodynamique et fonction de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.2 Choix de la jauge lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.3 chelle de Wannier-Starck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Approche indpendante de jauge (Chen et Lee) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.1 Drivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.2 Application la chaine de dimres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.3 Application au modle de Rice-Mele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3 Nouvelle approche : fonctions donde localises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3.1 Fonctions de Wannier et dveloppement de la fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . 124.3.2 Premier ordre de la fonction de Green et polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3.3 Deuxime ordre de la fonction de Green et polarisabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.4 Application aux modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4.1 Chane de dimres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4.2 Modle de Rice-Mele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.5.1 Invariance de jauge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.5.2 Bases localises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Conclusion - perspectives 17

A Thorie moderne de la polarisation 18

B Hamiltonien de Bloch 19

7/25/2019 Combes 2014

4/23

7/25/2019 Combes 2014

5/23

Polarisation lectrique dans les cristaux Frdric Combes

a

a

Figure1 Cristal constitu dun ion (en rouge) par cellule unit. Llectron (en noir) est situ une distance ade lion sa droite. Les deux choix de cellule unit (encadrs en pointills) conduisent deux valeurs distinctesde la polarisation.

1 La polarisation, introduction et motivations

1.1 Situation du problme

Lobjet dtude de ce stage est la polarisation lectrique dans les solides cristallins isolants, plus particuli-rement, ltude se focalise sur les modles de liaisons fortes demi-remplissage. Le potentiel chimique est doncsitu dans le gap, et chaque tat des bandes occupes lest deux fois (aucune interaction lectron-lectron), desorte ce que la charge totale soit nulle - condition sans quoi la polarisation nest pas dfinie.

La dfinition de la polarisation provient de la thermodynamique

P= 1V

E(T,,...)E=0

(1)

ou est le grand potentiel,E le champ dans la direction spatiale (x, y ou z),P la polarisation et lepotentiel chimique.

Ce rapport introduit dabord les approches connues de la polarisation (point de vue classique et thorie deVanderbilt et Resta), afin de pouvoir motiver lintrt port la polarisation durant ce stage.

1.2 Approche classique de la polarisation

Pour une distribution neutre de charges, la polarisation est simplement le premier moment de la distributionde charges par units de volume. En appliquant cette dfinition une approche classique dun cristal dans lequelles ions et les lectrons sont des charges ponctuelles localises, la polarisation dun cristal est

P= 1V

e

(e)xe+ 1

V

ion

qionxion =

ecell.

(e)xe+

ioncell.

qionxion (2)

o xreprsente la position de la charge et qion la charge de lion. e cell. indique que la somme a lieu sur leslectrons lintrieur de la cellule unit. Lexemple le plus simple, un cristal contenant un ion et un lectronpar maille, est immdiatement instructif : selon le choix de la cellule unit le calcul de la polarisation donneP= (e)aouP=(e)(1 )a. Les deux choix de cellule unit utiliss pour ce calcul sont prsents par lafigure1.

Dautres choix de la cellule unit conduiraient de nouvelles valeurs de la polarisation diffrant de la valeur(e)a dun multiple entier de (e)a. Une telle ambigut est naturelle du fait de la priodicit du cristal :dcaler tous les lectrons dune cellule unit vers la droite ne modifie pas le systme, cependant, une telletransformation modifie la polarisation de (e)a. Cette quantit, (e)a est en gnral appel quantum de po-larisation. Dans la suite, on fixe la charge de llectron (e) =1et la taille de la cellule unit a = 1, ainsilambigut dans la polarisation (le quantum de polarisation) est 1.

Si on souhaite tendre cette approche une description quantique des lectrons, on est amen considrerdes distributions continues de charges. Pour une distribution de charge continue, lapproche classique stendnaturellement

P=

x(x)dx (3)

avec la condition de neutralit lectrique

(x)dx= 0, o (x) =e(x) + ions(x)est la densit de charge.

1

7/25/2019 Combes 2014

6/23


Prenons lexemple simple de la distribution de charge cos x2 , qui est bien neutre. La cellule unit est [y; 1+ y],ainsi, le premier moment de cette distribution de charges est

P= 1+y

y

x cos x

2dx=

2x sin x

2

1+yy

+

1+yy

2 sin x

2dx=2 sin y

2 (4)

qui, clairement, prend des valeurs arbitraires entre les deux valeurs extrmes2. Ce calcul stend toutes lesdistributions priodiques via la dcomposition en srie de Fourier. Ainsi, si on souhaite calculer la polarisationdans un isolant de bandes, une nouvelle mthode est ncessaire.

1.3 Thorie moderne de la polarisation : approche de Vanderbilt-Resta

Pour pallier lambigut dans le calcul de la polarisation des systmes priodiques, Vanderbilt et Restaont dvelopp une thorie moderne de la polarisation prsente dans [1].

Pour un isolant de bandes dcrit par un Hamiltonien H() dpendant dun paramtre contrl par lex-primentateur, un changement dans la polarisation est un dplacement de charges lectroniques, et est doncmesurable via le courant gnr. Ainsi, pour un changement adiabatique de , la variation dans la polarisationprovient des lectrons et scrit

P(f) P(i) =

t

j((t))dt=

occ.

d i(e)(2)d

ddk u|ku + cc.

=

occ.

e

(2)d

ddk Im u|ku

f

e(2)d

ddk Im u|ku

i

(5)

La somme ( occ.) est effectue sur les bandes occupes. Plus de dtails sont fournis en annexe A.On peut monter que la contribution lectronique la polarisation a les proprits dune phase, cest dire

quelle nest dfinie que modulo 2 ce modulo concide avec lambigut (quantum de polarisation) donnepar la prcdente approche classique dans le cas des lectrons ponctuels.

On peut dfinir une valeur effective de la contribution des lectrons la polarisationPeffde sorte ce queP(f) P(i) =Peff(f) Peff(i). Soit

Peff,=

occ.

e(2)d

ddk Im u|ku (6)

Cette dfinition de la polarisation nest queffective. A priori, cette formule permet de connatre la diffrencede polarisation entre deux tats et non la polarisation absolue dun tat. Pour avoir accs la polarisationabsolue dun tat, il faut prendre la diffrence avec la polarisation effective dun tat possdant une symtriedinversion (polarisation nulle), ou rintroduire la contribution des ions.

1.4 Motivations

En cherchant calculer la polarisation dans un modle de liaisons fortes, lapproche classique ne donneaucun rsultat. Pour cette raison, Vanderbilt et Resta ont dvelopp un formalisme qui permet de calculer la

polarisation dans un cristal. Cependant, ce formalisme a plusieurs inconvnients : il ne fait pas appel la thermodynamique puisquil est bas sur le fait quun changement de polarisation

induit un courant, et non pas sur le fait que la polarisation est la drive de lnergie libre, il ne donne quune polarisation effective, qui doit tre compare une configuration possdant une

symtrie dinversion, il ne permet pas de calcul temprature finie, il ne permet pas de calculer la polarisabilit lectrique (qui est la drive seconde du grand potentiel par

rapport au champ).Cest dans le but de tenter de pallier ces inconvnients et de rpondre certaines des questions poses par lathorie de Vanderbilt et Resta quon tudie la polarisation lectrique durant ce stage.

La suite de ce rapport est structure en 3 parties. La premire prsente les deux modles jouets tudis durantce stage, savoir, la chane de dimres et le modle de Rice-Mele. Ces deux modles, tudis classiquement (cest dire sur des systmes finis) sont ensuite compars au formalisme de Vanderbilt et Resta. Dans une dernirepartie, on se focalise sur un calcul thermodynamique en faisant intervenir la fonction de Green.

2

7/25/2019 Combes 2014

7/23


AAA BBB

++ + + + +

Figure2 Chane unidimensionnelle ralisant le modle de Rice-Mele. Elle comprend deux atomes par celluleunit, avec un potentiel sur site

. Les seuls termes de saut sont des termes premiers voisins valant

.

2 Modles jouets : chane de dimres et modle de Rice-Mele

2.1 Chane de dimres

Le modle du dimre est un modle deux atomes, Asitu en xAet B situ en xB de potentiel sur site sur A etsur B. Les deux atomes sont coupls par un terme de saut , rsultant en une description par leHamiltonien lectronique

Hd=

(7)

Le Hamiltonien dune chane de dimre dcrit un cristal de dimres non coupls, cest dire Hmn= Hdmn, o

met nsont des indices reprant la cellule unit. Les atomes Asont positionns en n+xA et les atomes B enn+xB . Cette construction en forme de chane permet de munir le modle du dimre dune zone de Brillouin,permettant ainsi de comparer les formules exactes des formules faisant intervenir une intgrale sur la zonepremire zone de Brillouin, comme celle de Vanderbilt et Resta.

Le spectre du dimre est un spectre plat correspondant aux deux nergies E =2 + 2. Les valeurspropres de H sont extrmement dgnres, donc il existe plusieurs bases orthogonales distinctes de vecteurspropres. Puisquon souhaite faire des calculs sur la zone de Brillouin, il est ncessaire dutiliser la base quidiagonalise loprateur translation. Dans cette base, les vecteurs propres ont pour composantes

n, AE+k = u+A(k)eik(n+xA) = cos 2eikxAeik(n+xA) n, AEk = sin 2eikxAeik(n+xA)

n, B

E+k

= u+B(k)e

ik(n+xB) = sin 2eikxBeik(n+xB)

n, B

Ek

=cos 2eikxBeik(n+xB)

(8)

o cos = E+ et sin = E+ . Lcriture sous forme dondes de Bloch fait apparatre une phase dpendant de kdans la partie u(k) qui conduira au fait que les formules faisant intervenir la zone de Brillouin (tels que laformule de Vanderbilt et Resta) ne donnent pas ncessairement 0.

Une deuxime base prsente galement un intrt : la base dans laquelle les vecteurs propres du Hamiltoniensont localiss sur un seul dimre de la chane. On appelle cette base base de Wannier 1. Elle est constitue desvecteurs propres ayant les composantes suivantes

n, A|w+m= mncos 2 n, A|wm= sin 2n, B|w+m= mnsin 2 n, B|wm=cos 2

(9)

2.2 Modle de Rice-Mele

Le modle de Rice-Mele est un modle deux atomes par maille dcrit par le Hamiltonien

H0= (|i, A i, A| |i, B i, B|) + ( + ) (|i, A i, B| + cc.) + ( ) (|i, A i 1, B| + cc.) (10)

Ce modle correspond une chane unidimensionnelle avec un potentiel sur siteet une premire amplitudede saut ( +) entre les atomes voisins|i, A et|i, B et un seconde amplitude () entre lautre pairedatomes voisins|i, Aet|i 1, B. Une telle chane est schmatise par la figure2.

Le modle possde une invariance par translation et peut donc tre dcrit sur la zone de Brillouin par leHamiltonien de Bloch suivant (un choix spcifique de base de Bloch est fait ici, il est dtaill en annexe B), oles sites Aet et B sont choisis de sorte ce que xA= 0et xB = 12

H(k) = 2 cos k2 2isin

k2

2cosk2

+ 2isink2 = n(k) (11)

1. Voir section4.3.1pour une justification du choix du nom

3

7/25/2019 Combes 2014

8/23


-3

-2

-1

0

1

2

3

0 /2 3/2 2

nergie

Spectre du modle de Rice-Mele

Bande infrieureBande suprieure

tat de bord

tat de bord

Figure3 Spectre du modle de Rice-Mele. On peut noter que le systme est isolant quelque soit . Les deuxlignes rouges correspondent aux deux tats de bord qui ne sont prsents que pour un systme non-priodiquede taille finie. La taille du systme, L(en nombre de cellule units) vaut 80pour cette figure.

Les bandes dun tel Hamiltonien correspondent

E =|n(k)|=

2 + 42 cos2

k

2

+ 42 sin2

k

2

(12)

et les tats propres deH0, qui sont des ondes de Bloch, sont notsEk , tandis que les|u(k), vecteurs propres

deH(k), sont des spineurs dcrivant la partie ayant la priode du rseau cristallin. Le spectre de cet Hamiltonienest prsent figure3,o on a choisi, afin dexplorer tout le modle de Rice-Mele, = 0cos ,= 0sin et est pris comme chelle dnergie (ce qui implique = 1). Dans la suite les rsultats sont en gnral tracs pour[0;2]et 0= 0= 0.6. On peut noter que la limite = correspond la chane de dimre.

Lopration dinversion transforme Pen P. Ainsi, en prsence dune symtrie dinversion, P=Pmodulo1, cest dire queP = 0 ouP = 1

2, modulo 1. Avec la paramtrisation choisie, les valeurs de =

2, 32

correspondent = 0. Le systme prsente alors une symtrie dinversion qui change les sous-rseaux datomesA et B. Les lectrons ne peuvent donc pas tre localiss prfrentiellement sur un des sous-rseaux, ainsi, lapolarisation est nulle en = 0. galement, les points = 0 correspondent la prsence dune symtriedinversion, cependant cette symtrie prserve les sous-rseaux A et B. Ainsi, contrairement la symtriedinversion en = 0 qui change les deux sous-rseaux, on ne sattend pas ce que la polarisation soit nulle en= 0, mais sa valeur sera ncessairement 0 ou 12 .

3 Polarisation classique et approche de Vanderbilt et Resta

3.1 Chane de dimres

3.1.1 Calcul thermodynamique

Pour calculer la polarisation, un choix de jauge pour le champ lectrique est ncessaire ; on choisit la jaugepotentiel scalaire. Ce choix est discut dans la partie 4.1.2.

En prsence dun champ lectrique, dans cette jauge, le Hamiltonien dun seul dimre est modifi en

HE=

+ xAxB

2 E

xAxB2

E

+xA+ xB

2 E1 (13)

4

7/25/2019 Combes 2014

9/23


Les nergies propres sont modifies en

EE = xA+ xB

2 E

+

xA xB2

E2

+ 2 (14)

A temprature nulle, nergie libre grand-canonique et nergie sont identiques. La polarisation est donc lavariation de lnergie lie au champ lectrique. Pour deux ions sur les sites A et B et deux lectrons dans ltatfondamental, cette variation est donc

P|E=0= E

2EE + Eions

E=0

=

E2

+xA xB

2 E

2+ 2

E=0

=E

(xA xB) (15)

o la contribution des ions lnergie est calcule classiquement (charges ponctuelles dans un potentiel) et vaut(xA+ xB ) E.

3.1.2 Calcul classique

En champ nul, ltat fondamental pour un lectron localis sur le dimrenest |wn , donc la position moyennede llectron associ est

wnXwn = n+ xA+ xB2 + E xA xB2 (16)

la position du barycentre des charges lies aux ions du mme dimre est n + xA+xB2

. En utilisant ces valeurs, lecalcul classique premier moment dipolaire conduit lexpression de la polarisation suivante

Pclass= 2

n +xA+ xB

2

2

n +

xA+ xB2

+

ExA xB

2

=

E(xA xB) (17)

qui est prcisment la polarisation trouve via la drive de lnergie. On reconnat donc limage classique de lapolarisation lorsquon remplace llectron par une charge ponctuelle situe enwn |Xwn .

3.1.3 Approche de Vanderbilt et Resta

La polarisation effective propose par Vanderbilt est Resta est

Peff= 2 12

dk Im

u(k)

ku(k) (18)o le facteur 2 provient de la dgnrescence de spin.

Dans le cas particulier de la chane de dimres

Im

u(k)ku(k)= uA(k)kuA(k) + uB(k)kuB(k) =xA+ xB2 cos xB xA2 (19)

Ce qui conduit

Peff=(xA+ xB ) E

(xA xB ) (20)Pefftant une polarisation effective, seules les diffrences comptent. Ces diffrences sont bien en accord avec lesvaleurs de la polarisation trouves prcdemment. De plus, on sait que la contribution ionique va tre

(x

A +x

B),

ainsi, en rintroduisant la contribution des ions la polarisation, on obtient bien

Pe+ Pion =

E(xA xB ) (21)

On vient donc de montrer que les trois approches diffrentes conduisent au mme rsultat.

3.2 Modle de Rice-Mele

Le modle de Rice-Mele ne peut pas tre rsolu analytiquement pour des systmes finis. Ainsi pour lapprocheclassique de la polarisation, on effectuera un calcul numrique sur systme fini, avec ou sans bords, quoncomparera ensuite avec la formule de Vanderbilt et Resta. Comme les divers choix possibles de cellules unitsconduisent une ambigut classique 2 valant 1 dans la valeur de la polarisation, on comparera toutes les courbesmodulo 1.

2. cest dire, lorsquon remplace les lectrons par des charges ponctuelles localises, la valeur de la polarisation dpend duchoix de cellule unit, comme expliqu dans la section 1.2 et les rsultats trouvs diffrent de 1.

5

7/25/2019 Combes 2014

10/23


0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

0 /2 3/2 2

Polarisation

Polarisation de la chane de Rice-Mele

Calcul numrique, L= 80Calcul de Vanderbilt et Resta

Figure 4 Polarisation du modle de Rice-Mele. Les courbes sont traces modulo 1 car pour le modle deRice-Mele, lambigut dans la valeur de la polarisation est 1. On note lannulation de la polarisation pour = 0, soit en 2 et

32

du fait dune symtrie dinversion prsente pour cette valeur de . Le calcul numriqueet le calcul de Vanderbilt et Resta sont en bon accord une fois que la formule de la polarisation effective deVanderbilt et Resta est dcale pour sannuler dans les configurations possdant un symtrie dinversion. Onremarque galement que laccord est le moins bon autour de = 32, en raison de la prsence dtats de bord.

3.2.1 Systme fini avec bords

Pour un systme de taille finie, non-priodique, le couplage avec un champ lectrique en jauge potentielscalaire scritEX. Le systme tant fini, ce terme est une perturbation et on sattend ce que lnergie deltat de base soit perturbative enE. Or

P|E=0 = 1V E

GSH(N) + EX(N)GS |E=0+ Pions

= 1V

GS

X(N)GS+ Pions (22)o|GSest ltat fondamenttal Nlectrons et (N) dnote les oprateurs N particules.

En notant P le projecteur sur la bande occupe,

GSX(N)GS

= 2 trPXP (le facteur 2 est li

la dgnrescence en spin). Numriquement, le calcul de la polarisation se rsume donc la diagonalisation deH0

et au calcul de la trace de loprateur position projet X = PX P. La polarisation ainsi calcule estprsente par la figure4 o elle est compare avec la formule de Vanderbilt-Resta.

Du fait du fort lien entre la polarisation et loprateur position, on peut sintresser lexistence dtatslocaliss et aux valeurs propres de PXP. En effet, les tats propres

Ek du modle infini/priodique sontdes tats compltement dlocaliss sur lesquels laction de loprateur position nest pas dfinie. Cependant ladiagonalisabilit de PX P implique quon peut localiser ces tats. La figure5 3 montre ces valeurs proprespour une valeur de fixe 4, pour les deux bandes, tandis que les figures 6 et 7 montrent respectivement lalocalisation exponentielle des tats propres de PXP et la longueur de localisation dun tat de volume pour [0;2]. Loprateur PXP, et en particulier ses vecteurs propres et valeurs propres, ont galement ttudies dans [2].

3. La prsence du dcalage de

1

4 provient du fait que le barycentre des charges positives est

1

4 pour des ions situes en xA = 0et xB =

12

, ainsi le 0 de la polarisation correspond des lectrons localiss en 14

. Se rfrer la lgende de la figure 5.4. est choisi parmi les valeurs pour lesquelles les effets des bords sont les plus visibles.

6

7/25/2019 Combes 2014

11/23


-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

0 5 10 15 20

indice i

Valeurdex

i

i

Valeurs propres de loprateur position projet PXP

Bande infrieure

Bande suprieure

Figure 5 Valeurs propres xi de loprateur PXP. On peut noter quelles sont (majoritairement) de la

forme xi = x+i 14 pour la bande infrieure et x+i =x+i 14 pour la bande suprieure (modulo 1). Onremarque aussi que seules quelques valeurs sont affectes par la prsence des bords, tandis que la majorit,correspondant des tats de volume, est totalement insensible la prsence des bords. Pour cette figure, on achoisi = 3

2 +

100 et L= 20.

1e-20

1e-15

1e-10

1e-05

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Cellule unit

A

mplitude

Fonction propre de PXP (tat de volume)

Sites ASites B

Tous les sites

Figure 6 Amplitude dune fonction propre quelconque de PXP. Lchelle logarithmique montre unelocalisation exponentielle ainsi, lessentiel de la fonction donde est situe sur deux sites, ce qui est en accord

avec la longueur de localisation calcule par un fit prsente sur la figure 7.Ici L= 40et =

3 .

7

7/25/2019 Combes 2014

12/23


0

1

2

3

4

0 /2 3/2 2

Longueurdelocalisation

Longueur de localisation des tats propres de volume de PXP

L= 20L= 40L= 80

Figure 7 Longueur de localisation dun tat de volume du modle de Rice-Mele. On remarque que cettelongueur est trs peu sensible la taille du systme, et quelle correspond des fonctions dondes trs localises.Cette longueur de localisation est dduite dun fit des densit de probabilit des fonctions propres de PXP

par une enveloppe exponentielle, comme le justifie la forme de la fonction donde prsente figure 6.La figurereprsente lensemble des longueurs de localisation au seuil de confiance 1

3.2.2 Systme sans bord, priodique

Ltude numrique dun systme sans bords (i.e. priodique) savre plus difficile car loprateur positionX

na pas la proprit de priodicit du systme. Nanmoins, on sait que les tats propres de loprateur positionsont localiss et on sattend ce que cette localisation ne dpende pas du caractre priodique du systme si lalongueur de localisation des tats propres est infrieure la taille du systme. Ainsi, si on trouve un oprateurpriodique X tel que, sur des chelles de la longueur de localisation,X est proportionnel X, on sattend ceque les vecteurs propres de X soient identiques ceux de X, et que les valeurs propres soient identiques (aprsavoir enlev la constante de proportionnalit dpendant de la position). En suivant larticle[3], on choisit

X = exp

2i

L X

et

PXP

=PXP =P exp

2i

L X

P (23)

o L est la taille du systme. Une manire de comprendre ce choix et dassimiler le systme priodique unanneau, dans lequel la position est un angle. Il devient alors naturel que la phase de|Xsoit la positionangulaire de ltat|sur lanneau.

Alors que X

est diagonalisable, aucune proprit ne garanti que P

X

P

lest (en effet ce nest pas unoprateur hermitien). On ne peut donc pas relier les valeurs propres par

PXP = L

2Im log PXP (24)

comme on le ferait pour X et X. On peut nanmoins considrer

L

2Im log

PXP (25)

quidevraitcontenir linformation sur la position de ltat (tandis que le module de|PXPcontientlinformation sur la localisation de ltat).

Numriquement, loprateur P exp2i

L X

P se trouve tre diagonalisable pour toutes les tailles de sys-tme tudies. La polarisation obtenue via lutilisation de cet oprateur est compare la polarisation obtenuepour un systme fini non priodique, ainsi qu la formule de Vanderbilt et Resta, sur la figure 8. On peutremarquer laccord entre la polarisation calcule via lutilisation de PX P et la formule de Vanderbilt etResta.

8

7/25/2019 Combes 2014

13/23


-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

0 /2 3/2 2

Polarisation

Polarisation de la chane de Rice-Mele : diffrentes mthodes

Chane ouverteChane priodique

Vanderbilt-Resta

Figure8 Polarisation obtenue par la diagonalisation de P exp2i

L X

P (systme priodique) compare celle obtenue par la diagonalisation dePXP (systme non-priodique) ainsi qu celle obtenue par la formulede Vanderbilt et Resta. Afin dtre comparable les courbes sont prises modulo 1. La chane priodique et lecalcul de Vanderbilt et Resta se superposent exactement.L= 80dans cette figure.

4 Fonction de Green, dveloppement pertubatif

4.1 Notions prliminaires

4.1.1 Approche thermodynamique et fonction de Green

Le potentiel grand canonique peut tre exprim sous la forme suivante

(T,, E,...) =1

d (, E) log

1 + e()

(26)

o (, E)est la densit dtats lnergie en prsence du champ lectriqueE. Cette densit dtat est relie la fonction de Green (retarde) par lquation

(, E) = lim0+

1

Im tr g(+ i, E) (27)

o g(+ i, E)est la fonction de Green retarde.La contribution lectronique la polarisation en champ nul est la drive de lnergie libre, elle a lexpression

Pe(T,, E= 0,...) =1

1

V

d

1

Im tr g(1)(+ i0+)log

1 + e()

(28)

o g = g(0) +Eg(1) +.... g(1) est donc le premier ordre de la fonction de Green lorsquelle est dveloppe enpuissances du champ.

4.1.2 Choix de la jauge lectromagntique

Afin de calculer la fonction de Green au premier ordre en champ lectrique, il faut faire un choix de jaugepour le couplage des lectrons avec le champ. Dun point de vue classique, le Hamiltonien dun lectron libre

9

7/25/2019 Combes 2014

14/23


dans un champ uniforme peut tre crit dans une jauge mixte, comprenant la fois potentiel scalaire et potentielvecteur, sous la forme

H = (p+A)2

2m VA = EtV =

(1

)

Ex

(29)

o est un paramtre qui contrle le choix de la jauge. Les quations du mouvement correspondantes sont

x = p

H= p+Am

= pEtm

p = x

H=(1 )E (30)

Ces quations conduisent une solution x(t) indpendante de la jauge

p= p0 (1 )Etet x = x0+ p0m

t 12

Em

t2 (31)

et la quantit correspondant lnergie

E= 1

2mx2 + Ex= 1

2mx20+ Ex0 (32)

est bien conserve. On remarque que lnergie concide avec le Hamiltonien uniquement lorsque ce dernier estexprim dans la jauge scalaire (correspondant = 0), ainsi pour exprimer la densit dtat en nergie enterme de la fonction de Green, on fait le choix de la jauge scalaire.

4.1.3 chelle de Wannier-Starck

En prsence dun champ lectrique uniforme, en jauge potentiel scalaire, le Hamiltonien est modifi en

H = H0H = H0+ EX (33)Grce linvariance par translation de H0, exprime par[Ta, H0] = 0, on peut crire TaHT1a = H Ea(o ona rintroduit la taille de la cellule unit, prcdemment fixe a= 1), ainsi

H = EHT1a = T1a TaHT1a = T1a (H Ea) = (E Ea) T1a

(34)

Ainsi,T1a est aussi un tat propre de H dnergieE() Ea. Il suffit donc de connatre un tat propre, pour,grce loprateur translation, en construire un par cellule unit. Le spectre associ cette famille dtatspropres est E + EaZet est appel chelle de Wannier-Stark. Par dnombrement, on sait que le spectre totalde H sera constitu dautant dchelles de Wannier-Stark quil y a dtats par cellule unit.

On remarque galement que le spectre E = 0 (structure de bandes) est fondamentalement diffrent decelui E = 0 (chelle de Wannier-Stark). La possibilit de pourvoir traiter perturbativement ces spectres sidiffrents nest pas vidente. Cependant, on verra que le dveloppement de la fonction de Green contient deuxcontributions ; lune dpendant de lorigine des positions (du type g

xx

=f

(x

+x

)) et lautre nen dpendant

pas (du type gxx =f(x x)). Les ions, prendre en compte pour garantir la neutralit du systme, ont unecontribution qui dpend uniquement de lorigine or physiquement, le systme est invariant par translationcar le champ lectrique est uniforme, et donc la polarisation ne doit pas en dpendre. Ainsi, on verra que lacontribution des ions compense la partie dpendant de lorigine de la polarisation lectronique.

De plus, si on tente deffectuer un calcul thermodynamique de la polarisation pour E = 0, la question duremplissage va se poser : en effet, pourE = 0, le systme ne possde pas dtat dnergie minimale. Dans lasuite les calculs seront effectus E= 0.

4.2 Approche indpendante de jauge (Chen et Lee)

4.2.1 Drivation

Dans larticle [4], Chen et Lee proposent une approche indpendante de jauge pour calculer les correctionsinduites par le champ lectrique ou magntique la fonction de Green. La mthode consiste annuler la phase

10

7/25/2019 Combes 2014

15/23


dpendante de jauge en posant

gxxtt =gxxtteiAxxtt o Axxtt =

xtxt

V(y, )d+ A(y, ) dy

(35)

o lintgrale est en ligne droite entre les points (x, t)et (x, t). Une fois cette dpendance de jauge factorise,lquation dfinissant la fonction de Green, (H)g = 1, se r-crit en fonction de quantits ne dpendantplus de la jauge (lquation fait apparatre un flux magntique et le champ lectrique). Elle permet de trouverle dveloppement de g ordre par ordre en champ lectrique (ou magntique le cas chant). Lordre 1 de lafonction de Green indpendant de jauge scrit

Eg(1) =i E2

g0

g10 [X, g0] g0

X, g

10

g0

(36)

o (H0w)g0 = 1. Comme g0 = g20 et g10 =1, et lorsque le systme est invariant par translation,[X, . ] =

k ., on a

Eg(1) =i E2

g0,

kg0

(37)

Une fois ce calcul effectu, le premier ordre de la fonction de Green est la somme de g(1) avec le premierordre de g0xxtte

iAxxtt dans la jauge scalaire, o

Axxtt =E

2(x+ x)(t t) (38)

4.2.2 Application la chaine de dimres

Puisque, pour le dimre, un calcul exact est possible, il est possible de tester la formule de Chen et Lee. Enprsence dun champ, la fonction de Green du dimre scrit de faon exacte

gE= H0+

12Exz + 1

2Ex+ + 1

n2E + 1

2Ex+

2

(39)

o x =xA xB, H0= n0 et HE=n0 + 12Exz + 12Ex+1=. (Donc nE=

, 0, + 12Ex

).

Le premier ordre en champ est donc

E(n20 2)

x+ x (H0+ 1) + 1

2

n20 2

xz + x+1

(40)

En comparaison, les deux provenant du calcul de Chen et Lee sont

g(1) = E(n20 2)

x

(41)

et

gxx() =

E

(n20 2)

1

2

(n20

2)(x+ x)xx

((H0)xx+ xx) (x + x

) (42)o gxx()est la transforme de fourrier temporelle de g0xxtte

iAxxtt .Un rapide calcul montre que les deux expressions (dveloppement partir de lexpression exacte et calcul

de Chen et Lee ) concident. Le modle du dimre semble donc valider le calcul de Chen et Lee.

4.2.3 Application au modle de Rice-Mele

On vrifie que la dmarche ci-dessus ne marche pas pour le modle de Rice-Mele. En effet, le premier ordrede la fonction de Green indpendante de jauge propos par Chen et Lee est un commutateur, donc de tracenulle, et le terme gxx() (transforme de Fourier de g0xxtte

iAxxtt ) ne fait pas apparatre de drives ilsemble donc improbable de trouver la formule de Vanderbilt-Resta, qui, elle, fait intervenir des drives. Uncalcul complet montre quen effet, la correction au premier ordre de la fonction de Green ne donne pas le rsultatattendu pour la polarisation. Sil est clair que le calcul de Chen et Lee ne donne pas le rsultat attendu, laraison pour laquelle on nobtient le rsultat attendu ne lest pas.

11

7/25/2019 Combes 2014

16/23


4.3 Nouvelle approche : fonctions donde localises

Dans leur calcul, Chen et Lee font intervenir deux bases privilgies : la base des orbitales atomiques (oubase localise) et la base des ondes de Bloch o le Hamiltonien H0 est diagonal par blocs. Or le Hamiltonien enprsence dun champ a deux contributions, lune tant localise (EX), lautre tant dlocalise (H0(k)). Il y aune comptition entre ces deux termes.

Dans la suite on prsente un calcul utilisant une base hybride la base des fonctions de Wannier avant dele discuter.

4.3.1 Fonctions de Wannier et dveloppement de la fonction de Green

On dfinit les fonctions dondes de Wannier par

|wn=

BZ

dk |Ek eikn (43)

o n est un vecteur dindices reprant une cellule du cristal et est un indice de bande et dk = ddk

(2)d.

|Ek

est le vecteur propre de H de pseudo impulsion k. Les fonctions dondes|wnforment une base orthogonale delespace de Hilbert, et sous certaines conditions, sont exponentiellement localises. Dans la suite on fait lhypo-thse quelles le sont.

Dans cette base, le Hamiltonien a la forme

H0=

wnH0wm |wn wm=

BZ

dk E(k)eik(mn) |wn wm| (44)

o les sommes sur les indices de cellule n,m, p,...et sur les indices de bande ,, ... sont sous entendues et nesont pas notes. On peut montrer que la fonction de Green g(0) est

g(0)() =BZ

dk eik(mn)

E(k) |wn wm| (45)

Lorsquun champ lectrique est prsent, le Hamiltonien est modifi en H0+ EX. Dans la base des fonctionsde Wannier, le termeEX scrit

EX = EwnXwm |wn wm= E

BZ

dk

i

u(k)ku(k)+12 (m+ n)

eik(mn) |wn

wm

(46)On pose alors

(B)

nm =

BZ

dk i u(k)ku(k) eik(mn)(O)

nm =

BZ

dk 1

2(m+ n)e

ik(mn) (47)

En dveloppant H et g en puissances du champ

H = H0+ EB+ EOg = g(0) + Eg(1) + 12EEg

(2) + ...

(48)

lquation (H )g= 1 implique

g(1) = g(0) (B+ O) g(0)

g(2) = 2g(0) (B

+ O

) g(0) (B

+ O

) g(0) = 2g

(1) (H

0) g

(1)

(49)

o les indices et sont symtriss.

12

7/25/2019 Combes 2014

17/23


4.3.2 Premier ordre de la fonction de Green et polarisation

Le premier ordre en champ de la fonction de Green est g(1) =g0(B+ O) g0. Le calcul donne

g(1)

nq

=

BZdk

i

u(k)

ku

(k)

(E

(k) ) (E

(k) )eik(qn)

BZ

dk 1

2

n+ q

(E

(k) )2 e

ik(qn) (50)

La trace de lordre 1 scrit simplement

tr g(1) = 2V

BZ

dk Im u(k)|ku(k)

(E(k) )2 2

BZ

dk

n n

(E(k) )2 (51)

o le facteur2 provient de la dgnrescence en spin.

En utilisant le fait que

1

lim0+

d Im

1

(E + i)n

f(w) = (1)n1

d (E )n1 f() (52)

on peut injecter lexpression de la trace de g(1)

dans la formule28 donnant la polarisation pour obtenir lacontribution lectronique

Pe,(T,, E= 0, ...) = 2

dkIm u(k)|ku(k) nF(E(k), ) 1

V2

occ.

n

n (53)

o nF(E, )est la fonction de remplissage pour les fermions.

On reconnat immdiatement la formule de Vanderbilt-Resta. En effet temprature et champ nuls, lapolarisation est

P=Pe+ Pions = 2

occ.

BZ

dk Im u(k)|ku(k) + xA+ xB (54)

o le terme

Pions = 1V

i=A,B

n

n + xi= xA+ xB+ 1V

2

occ.

n

n (55)

est venu compenser la contribution lectronique dpendant de lorigine, comme lindiquait les arguments de lasection4.1.3. xA et xB correspondent la position des ions dans la cellule unit.

4.3.3 Deuxime ordre de la fonction de Green et polarisabilit

Le deuxime ordre de la fonction de Green peut-tre calcul de manire similaire. Le rsultat est le suivant

g(2)

mn

= 2

dk eik(nm)

u(k)

ku (k) u(k)ku(k)(E(k) w) (E (k) w) (E(k) w)

mi u(k)|ku(k)(E(k) w)

2

(E(k) w)

i u(k)ku

(k)n(E(k) w) (E(k) w)

2

+ kE

(k)kE(k)

(E(k) w)5 + mn

(E(k) w)3

+ iG

(56)

o la somme sur nest pas note, les indices et sont symtriss.i (G)

mncorrespond un terme purement

imaginaire, qui naura aucun rle dans la calcule la densit dtats, et qui nest pas not pour garder le rsultatle plus simple possible. On peut remarquer que le deuxime ordre de la fonction de Green comprend des termesdpendants de lorigine des position. Ce fait nest pas surprenant car le spectre est une chelle de Wannier-Stark,et la fonction de Wanier au site n voit son nergie augmente deEn. On sattend donc en ralit ce que lednominateur de la fonction de Green soit de la forme

n

1E+En

, et les termes quon observe correspondenten effet au dveloppement dun tel dnominateur. 5

5. Et dans la suite, on les oublie puisqu temprature nulle, un ple dordre 3 ne contribue pas (un tel ple correspond unpic de Dirac dans le gap). ils posent cependant plusieurs question quant leur prise en compte ; questions explicites dans la partieConclusion et perspectives.

13

7/25/2019 Combes 2014

18/23


Il est possible de prendre la trace de lordre 2 afin dobtenir, aprs sparation en ples simples et simplification

tr g(2) = 2V

=

dk

1

E(k) E(k)

u(k)

ku (k) u(k)ku(k)(E(k) w)2

+ 2V

dk

kE

(k

)

kE

(k

)(E(k) w)5

u(

k)

ku

(k

) u(k)|ku(k)

(E(k) w)3

+ 2

dk

n nn

(E(k) w)3 + 2

n n u(k)|ku(k)(E(k) w)3 + itr G

(57)

A temprature nulle, le potentiel chimique est dans le gap, ainsi les ples dordre 3 ou suprieur ne contribuentpas. La polarisabilit temprature et champ nuls a donc lexpression

= 2

occ.

=

dk 2

u(k)

ku(k) u(k)ku(k)E(k) E(k) (58)

o les indices et sont symtriss. La polarisabilit apparat donc comme un couplage interbandes.

4.4 Application aux modles

4.4.1 Chane de dimres

Comme il a t calcul dans les sections 3.1.1et 3.1.3, la formule trouve pour la polarisation donne lersultat attendu lorsquon prend en compte la contribution des ions. Pour le calcul de la polarisabilit, on a

E =

+ Ex

2

2+ 2 (59)

ainsi, en prenant en compte la dgnrescence de spin,

|E=0= (x)2

2E

2(x)2

2E3 =

2(x)2

2E3 >0 (60)

o E = E+ =

2 + 2.

Pour le modle gnral de Rice-Mele, on peut choisir la phase des|u(k)de telle sorte ce que

u(k)= sin 2 cos 2ei

(61)

ce qui permet dcrireu(k)|ku+(k) = 12(k+ i sin k)u+(k)|ku(k) = 12 (k i sin k)

(62)

ainsi, lexpression de la polarisabilit trouve via le dveloppement de la fonction de Green est

=2

dk 1

2

(k)2 +

1 cos2 (k)2

E(k) E+(k) (63)

Comme la chane de dimres est la limite = du modle de Rice-Mele, on a k = 0, k = x etcos = E , la polarisabilit obtenue par lexpansion de la fonction de Green a lexpression

=(x)2

2E 2(x)2

2E3 =

2(x)2

2E3 (64)

qui est bien lexpression trouve par calcul exact.

14

7/25/2019 Combes 2014

19/23


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 /2 3/2 2

Succeptibilit

Succeptibilit de la chane de Rice-Mele

Simulation numriqueCalcul analytique

Figure 9 Comparaison de polarisabilit trouve par une simulation numrique sur un systme ouvert aveccelle trouve par le dveloppement de la fonction de Green. Les deux courbes sont en excellent accord. Autourde = 32 , la simulation numrique donne un rsultat incorrect (voir texte), il nest donc pas affich. L = 80pour cette figure.

4.4.2 Modle de Rice-Mele

Pour le modle de Rice-Mele, on peut valuer numriquement lexpression de la polarisabilit trouve

=2 dk 12

(k)

2

+

1 cos2

(k)

2

E(k) E+(k) (65)

et la comparer la polarisabilit trouve via une rsolution numrique dun systme fini non priodique. Lacomparaison est effectue figure 9. Les deux rsultats sont en trs bon accord. Un problme li au mauvaisremplissage des tats de bord en prsence de champ autour de = 3

2 conduit la simulation numrique donner

des rsultats aberrants ; en effet, en prsence de champ, les niveaux dnergie des deux tats de bord se croisent,conduisant la slection du mauvais tat de bord pour le calcul de lnergie.

Le trs bon accord avec la simulation semble valider la contribution champ nul et temprature nulle dudveloppement de la fonction de Green.

4.5 Discussion

4.5.1 Invariance de jauge choix de la phaseTout Hamiltonien sans interactions peut tre crit sous la forme H = E() | |. Sous cette forme le

Hamiltonien apparatre tre clairement invariant sous un changement arbitraire de la phase (transformationdite de jauge)

| ei() | (66)ainsi, la physique et en particulier la polarisation doiventgalement tre invariantes sous de telles transforma-tions.

Comme on a prcdemment requis que les fonctions de Wannier soient localises, les transformations dejauge possibles sont restreintes la classe des fonctions telles que ei() =ei

(k) soit lisse et priodique sur lazone de Brillouin (la non-continuit dtruirait la localisation, tandis que la non drivabilit un certain ordrene garantirait quune localisation polynomiale 6). Les fonctions(k)satisfaisant ces proprits sont dcrites par

deux proprits :6. Ce qui est en fait suffisant pour la dfinition des lments de matrice de X

15

7/25/2019 Combes 2014

20/23


une fonction 0 telle que 0(k+ G) =0(k)pour tout vecteur G du rseau rciproque, des indicesdqui caractrisent le nombre denroulement de la phase lorsquon traverse la zone de Brillouin

dans la direction On a (k) =0(k) + dk.

On peut remarquer que sous|u(k) ei0(k) |u(k), la partie phase de Berry de la polarisation lectrique

se transforme en u(k)

ku(k) u(k)ku(k)+ ik0 (k) (67)Ainsi lintgrale sur la zone de Brillouin est inchange.

Sous la transformation de jauge gnrale (k) =0(k)+ dk, lintgrale sur la zone de Brillouin est modifiepar

P =

BZ

dk Im

u(k)ku(k) P=

BZ

dk Im

u(k)ku(k)+ d (68)

On observe finalement que la transformation de jauge correspond 7

|wn |wn+d (69)

i.e. quil sagit dun changement dorigine pour les lectrons (et uniquement les lectrons, les ions ne sont pasaffects). Il est donc normal que le calcul du changement de jauge nous donne un changement de la polarisationqui correspond bien aux dplacement des lectrons de dcellules units.

4.5.2 Bases localises

Dans la section4.3.1,on fait lhypothse que les fonctions de Wannier sont localises. En effet, tant que leHamiltonien est de la forme H(k)et que les valeurs propres de H(k)sont non-dgnres (tant quil ny a pasde points de Dirac ou de croisement de bandes), les fonctions propres (normes) du Hamiltonien ont les mmeproprits de continuit et de drivabilit que le Hamiltonien et, dans les modles de liaisons fortes, les fonctionsdondes sont en gnral infiniment drivables 8.

Du fait de lexpression des fonctions de Wannier, les composantes de |wn dans la cellule unit m ontlexpression

wn (m) =m|wn=

BZ

dk |u(k) eik(nx) (70)

Il sagit des coefficients de la srie de Fourier de|u(k) 9. Le comportement asymptotique des ces coefficientsest dfini par les proprits de drivabilits de|u(k). En particulier pour une fonction lisse, la dcroissance descoefficients de Fourier est plus rapide que tous les polynmes xd, cest dire que la localisation est exponentielle.

Les question est donc de savoir sil est possible dcrire les fonctions dondes de manire lisse sur le tore, etpas seulement dans la premire zone de Brillouin. Tandis quen dimension 1, cette criture est toujours possible,ce nest pas le cas en dimension suprieure. Dans larticle[5] les auteurs, en explorant numriquement le modlede Haldane, remarquent que dans la phase topologique de ce modle, les fonctions de Wannier ne sont plus

localises, indiquant probablement une impossibilit de dfinir continment les tats propres. galement, dans[6], les auteurs font remarquer que, de manire gnrale, des indices topologiques non triviaux (nombre de Chernet indice topologiqueZ2) indiquent limpossibilit de dfinir de manire continue les tats propres sur la zone deBrillouin ; en particulier, le problme provient de la dfinition de la phase des tats propres. Ainsi, par exemple,en prsence dun index Z2 non trivial (ce qui peut tre le cas en deux et trois dimensions), lamplitude desfonctions de Wannier dcrot en 1

x2 puisquelles sont des coefficients de Fourrier dune fonction discontinue,

ce qui nest pas suffisant pour justifier de lexistence des coefficients wn|Xwm.

Cependant, la question reste de savoir si cette non-localisation des fonctions de Wannier et plus gnrale :dans le cas dun isolant topologique, peut-on quand mme r-crire le Hamiltonien sur une base localise pour

7. Ce nest en ralit pas tout fait le cas. La forme des fonctions donde va changer sous laction de 0(k), mais leur centre delocalisation ne change pas sous laction de 0(k). Cest seulement la phase dk qui conduit au changement dorigine.

8. Uniquement dans lintrieur de la premire zone de Brillouin, et non sur la totalit de la zone de Brillouin qui est un tore.9. On a pris soin de choisir la base des ondes de Bloch de telle sorte que H(k+ G) = ei(G)H(k) pour ce calcul. Voir lannexe

Bpour plus de dtails

16

7/25/2019 Combes 2014

21/23


chaque bande ? En effet, pour un changement de base plus gnral

|ln=

BZ

dk n(k)ei(k) |E(k) (71)

o les fonctions n(k)ein(k) sont orthonormes, et telles que n(k) est lisse et est nulle lorsque la phase de

ei(k) |E(k)est discontinue. On peut montrer que les|lnsont exponentiellement localises, et dans ce cas, latrace du premier ordre de la fonction de Green lexpression

tr g1=

BZ

dk Im u(k)|ku(k)

(E(k) )2 +

BZ

dkIm

n(k)e

in(k)

k

n(k)ein(k)

(E(k) )2 (72)

o le deuxime terme reproduit bien

n ndans le cas des fonctions de Wannier.On remarque donc que la validit du calcul du premier ordre de la fonction de Green ne dpend que de

lexistence dtats suffisamment localiss et non du fait de la localisation des fonctions de Wannier. Daprsle travail de Kohn[7], complt rcemment, et revu dans[8], on peut caractriser tous les types disolants par

le fait que ltat de base peut tre crit comme un superposition dtats localiss.

5 Conclusion - perspectives

Aprs avoir introduit les deux approches connues pour calculer la polarisation lectrique dans un cristal savoir, lapproche classique et lapproche de Vanderbilt et Resta [1], nous les avons compares numriquementou analytiquement en faisant appel un modle jouet, la chane de Rice-Mele, ainsi qu une de ses limitesparticulires, la chane de dimres. Suite cela, nous nous sommes penchs sur une nouvelle approche, utilisantles fonctions de Green. Une des approches connues, celle de Chen et Lee[4] ne donne pas le rsultat attendu,cependant les raisons pour lesquelles le rsultat diffre ne sont pas comprises. Une autre approche, faisant appel une famille de fonctions localises telle que les fonctions de Wannier permet de un calcul thermodynamique

dont le rsultat est identique celui de Vanderbilt et Resta. Cette mthode permet en plus de calculer la pola-risabilit lectrique pour les modles de liaisons fortes et le rsultat temprature nulle est confirm par lessimulations numriques.

Toutes les comparaisons effectues dans ce stage ont t faites avec des modles unidimensionnels. Il pourraittre intressant dappliquer les formules pour des modles de dimensions 2 ou 3 en particulier pour tester ladiffrence entre cas topologiques et non topologiques.

Le calcul effectu via les fonctions de Green permet dobtenir la dpendance en temprature de la polari-sation et de la polarisabilit, cependant cette dpendance na pas t teste. Il peut tre intressant danalysercette dpendance en temprature. En effet, le spectre est une chelle de Wannier, dont le remplissage temp-rature nulle est dict par le fait qu champ nul, seule la bande infrieure est remplie, ce qui conduit remplir

lchelle de Wannier lui correspondant. A temprature finie, comment se comporte ce remplissage ? La thoriedes bandes indique quil faut associer un poids non nul la bande suprieure, mais de quelle manire cela setraduit-il sur les chelles de Wannier ? galement, certains des termes apparaissant dans la polarisabilit nontpas de contribution temprature nulle, et de plus, dans ce rapport ils ont ts carts du fait quils traduisentle caractre en chelle de Wannier du spectre. Peut-on rellement les carter ? Un des intrt de ltude de ladpendance en temprature est que la contribution et le comportement de ces termes sont distincts (lordre desples de la fonction de Green diffre). Cependant un telle tude demande probablement de comparer ces rsul-tats des donnes exprimentales qui contiennent des contributions ioniques (les ions ne sont pas immobiles),et des contributions provenant des orbitales atomiques (mais de telles contributions sont priori incluses dansla partie priodique des ondes de Bloch de par la mthode de construction des liaisons fortes).

On peut galement remarquer que les figures 7 et (resp.)9,prsentant la longueur de localisation des tatspropres de loprateur position projet et (resp.) la polarisabilit, sont similaires. Tracer lune en fonction delautre suggre une relation entre ces deux grandeurs. Y-a-t-il effectivement un lien ? Peut-on relier la polarisa-bilit ltalement dune certaine famille de fonctions dondes ?

17

7/25/2019 Combes 2014

22/23


Rfrences

[1] Raffaele Resta and David Vanderbilt. Theory of polarization: a modern approach. InPhysics of Ferroelec-trics, pages 3168. Springer, 2007.

[2] S. Kivelson. Wannier functions in one-dimensional disordered systems: Application to fractionally chargedsolitons. Physical Review B, 26:42694277, Oct 1982.

[3] Raffaele Resta. Quantum-mechanical position operator in extended systems. Physical Review Letters,80(9):1800, 1998.

[4] Kuang-Ting Chen and Patrick A Lee. Unified formalism for calculating polarization, magnetization, andmore in a periodic insulator. Physical Review B, 84(20):205137, 2011.

[5] T Thonhauser and David Vanderbilt. Insulator/chern-insulator transition in the haldane model. PhysicalReview B, 74(23):235111, 2006.

[6] Michel Fruchart and David Carpentier. An introduction to topological insulators. Comptes Rendus Phy-sique, 14(9):779815, 2013.

[7] Walter Kohn. Theory of the insulating state. Physical review, 133(1A):A171, 1964.

[8] Raffaele Resta. The insulating state of matter: a geometrical theory. The European Physical JournalB-Condensed Matter and Complex Systems, 79(2):121137, 2011.

[9] Cristina Bena and Gilles Montambaux. Remarks on the tight-binding model of graphene. New Journal ofPhysics, 11(9):095003, 2009.

[10] Michel Fruchart, David Carpentier, and Krzysztof Gawdzki. Parallel transport and band theory in crystals.EPL (Europhysics Letters), 106(6):60002, 2014.

A Thorie moderne de la polarisation

Lapproche de Vanderbilt et Resta fait appel au fait quun changement dans la polarisation est un mouvementde charges et cre donc un courant. On va donc considrer un Hamiltonien de bande H(), o le paramtreest contrl par un exprimentateur qui le fait changer trs lentement dans le temps, afin de se placer danslapproximation adiabatique. La variation dun tat propre dans le temps peut donc tre traite en perturbationet a la forme

|u(k)=ih=

u(k)

u(k)E(k) E(k)

u(k) (73)et le courant correspondant est simplement j (k) =

u(k)

(e)pm u(k)+cc., la contribution de la totalitde la bande est donc

j = ihe

m

=

ddk

(2)d

u(k)

u(k) u(k)pu (k)E(k) E (k) + c.c. (74)

Or j correspond la variation de la polarisation lie la bande , donc

d

dtP =

d

dP =j (75)

On peut galement appliquer la thorie de perturbation la dpendance en k de H(k, )pour obtenir

ku(k)= =

u (k)

kH u(k)E(k) E(k)

u(k)= hm

=

u (k)

(p+ hk) u(k)E(k) E(k)

u(k) (76)oH(k, ) = (p+hk)

2

m + V (forme gnrale pour un Hamiltonien dans un cristal). Oru

(k)hku(k)= hk

,

ainsi dd

P =ie

ddk

(2)d

ku(k)

u(k)+ c.c. (77)18

7/25/2019 Combes 2014

23/23


Finalement, on peut intgrer entre deux valeurs de et sommer sur la contribution de toutes les bandesoccupes pour obtenir la formule de Vanderbilt et Resta, savoir

P(f) P(i) = occ.e

(2)d ddk Im u|ku

f

e(2)d

ddk Im u|kui

(78)

De plus amples information sont donnes dans [1], en particulier la version discrte (cest dire systmefini priodique) de ce calcul.

B Hamiltonien de Bloch

Dans un cristal compos dune cellule unit comprenant N sites aux positions x, le Hamiltonien (sansinteractions) le plus gnral scrit

H =

cell. i,j

site ,

hi,j|i, j, | (79)

Comme ce Hamiltonien possde une invariance par translation (puisquil dcrit un cristal), il est diagonalisabledans la base des tats propres de loprateur translation.Le passage vers la base propre de loprateur translation peut tre effectu de diffrentes manires. En

particulier, on peut faire une des deux transformations suivantes

(I) |k, = eikj |j, (II) |k, = eik(j+x) |j, (80)

conduisant respectivement aux Hamiltoniens HI(k)et HII(k), dont les vecteurs propres sont lesuI,II(k). Ces

deux Hamiltoniens diffrent, et en particulier

HI(k+ G) = eiHI(k)HII(k+ G)

= eiHII(k)

(81)

ou est une phase quelconque et G un vecteur du rseau rciproque.

On peut montrer que sur les paquets dondes localiss, dans le choix (II), laction de loprateur position ala forme

a|Xb

dk

fa(k)uII(k)

kfb(k)uII(k) (82)oj, |a=

dk fa(k)

uII(k) eik(j+x), alors que a nest pas le cas lorsquon fait le choix (I). Cependant,le choix (I) possde lavantage de pouvoir choisir les phases de sorte avoir

uI(k+ G) = uI(k), choix quinest pas possible dans le cas (II).

Une discussion plus complte est effectue dans [9] dans le cas du graphne. De manire plus gnrale, les

formules faisant intervenir les drives des|u

(k), telles que la formule de Vanderbilt et Resta, supposent quele choix de reprsentation (II) t effectu ou drives et oprateur position sont relis comme lindique[10].

Documents

Combes 2014