commande backstepping

Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

Universit Ferhat ABBAS Stif

UFAS Algrie

THESE

Prsente la facult de Technologie

Dpartement Electronique

Pour lobtention du diplme de

Doctorat es sciences

Par Mme Laarem GUESSAS

Thme

Backstepping Backstepping adaptatif pour le contrle la poursuite et la synchronisation des systmes dynamiques non linaires chaotiques

Soutenue publiquement le devant un jury compos de :

Mr. Fateh Krim Prof. lUniversit de Stif Prsident du jury Mr. Khier Benmahammed Prof. lUniversit de Stif Rapporteur Mr. Malek Benslama Prof. lUniversit de Constantine Examinateur Mr. A. Fettah Charef Prof. lUniversit de Constantine Examinateur Mr. Mohamed Harmas MCA. lUniversit de Stif Examinateur Mr. Mohamed Boumahrez MCA. lUniversit de Biskra Examinateur

Remerciements

Ce travail de thse sachevant vient le moment des remerciements. Mille excuses ceux

o celles que je vais oublier, mais je vais quand mme tcher de faire de mon mieux, Je tiens

exprimer ma profonde gratitude toutes celles et ceux qui mont apport leur soutien, leur

amiti o leur exprience tout au long de ce travail de thse.

Tout dabord je souhaite remercier Monsieur le Professeur Krim Fateh de lUniversit de

Stif pour lhonneur quil ma fait de bien vouloir prsider ce jury de thse.

Les Professeurs Malek Benslama, Abedelfateh Charef de lUniversit de Constantine, le

Professeur Mohammed Harmas de lUniversit de Stif et le docteur Mohamed Boumahrez de

lUniversit de Biskra ont accept dexaminer ce travail, je leur adresse mes plus sincres re-

merciements.

Il ne saurait tre question de ne pas parler ici de mon encadreur le professeur Khier

Benmahammed directeur du laboratoire des systmes intelligents et de traitement de signal de

lUniversit de Stif, sans qui ce travail naurait jamais vu le jour, sa culture scientifique a favo-

ris le dveloppement de cette thse.

Un grand merci mes amis collgues, pour certains dj docteurs, et permanents de luni-

versit de Stif, pour leur aide durant mes travaux de thse.

Merci enfin ma petite famille, poux et enfants pour mavoir toujours soutenu, un salut du

coeur ma mre pour ses prires, ses encouragements et son soutien tout au long de ma thse.

ii REMERCIEMENTS

Rsum

Dans ce travail nous avons trait le problme de commande de stabilisation, de commande

en poursuite de trajectoire rfrence et de la synchronisation des systmes dynamiques non

linaires chaotiques. Ce travail de recherche est motiv par des dfies aussi bien thoriques

que pratiques poss pour le chercheur. En effet, ces systmes ne peuvent pas tre stabiliss

directement par des commandes lisses invariantes dans le temps, de plus en dpit du nombre

de mthodes disponibles pour la commande locale de ces systmes, peut-on utiliser de nou-

velles mthodes telles que le Backstepping et le Backstepping adaptatif dans la formulation du

problme de commande et le besoin de faire face aux singularits rencontres dans quelques

systmes chaotiques ?

Cette thse saddresse certains de ces problmes, formule et rsouds les problmes de com-

mande, de la poursuite de trajectoire et de la synchronisation des systmes dynamiques non

linaires chaotiques.

La thorie du Backstepping est traite en premier, une procdure qui consiste trouver

une fonction stabilisante qui est une commande virtuelle pour chaque sous-systme, base sur la

stabilit de Lyapunov jusqu parvenir dterminer la commande globale au systme. Particu-

lirement, nous montrons que ces systmes dynamiques non linaires peuvent se mettre sous le

modle de forme de boucle de retour strict une forme triangulaire, des transformations des va-

riables dtat et des translations vers des points dquilibres sont introduites pour les reprsenter

sous cette forme, une condition ncessaire pour lapplication de la mthode du backstepping.

Cependant, nous montrons aussi quil est possible datteindre la stabilisation asymptotique glo-

bale lorigine en utilisant une telle mthode.

La mthode de Backstepping adaptatif est aussi aborde comme un outil pour la commande

des diffrents systmes dont certains ou tous ses paramtres sont inconnus, ainsi que la concep-

tion et lapplication des lois de contrle, des lois de mise jour avec un gain appropri sur des

systmes non-linaires chaotiques, qui sont des systmes de base pour la modlisation et la va-

lidation des algorithmes et des approches, tels que les systmes non autonomes du second ordre

comme les oscillateurs gnrateurs de chaos de Duffing et de Van der Pool, les systmes auto-

nomes du troisime ordre comme le systme de Lorenz de Chua et de Rssler. Pour quelques

systmes chaotiques la stabilisation et la poursuite se font par un choix arbitraire des constantes

iv Rsum

de conception, mais pour dautres la tche ne se fait qu travers un choix optimis de ces

constantes par les algorithmes gntiques , une amlioration du temps de convergence et une

poursuite totale du signal de rfrence ont t remarqu. Pour voir lefficacit de la mthode

une comparaison base sur le contrle actif est utilise.

La dernire partie est consacr llaboration des lois et des applications sur la synchronisa-

tion chaotique base sur la mthode de Backstepping et Backstepping adaptatif , une des appli-

cations la plus utilise dans la transmission scurise des donnes.Dans certaines applications

linformation ne peut parvenir qu travers plusieurs systmes, nous exploitons la procdure

ainsi aborde pour rsoudre le problme de coordination dun groupe de systmes dynamiques

non linaires chaotiques. Ainsi, les dynamiques indpendants des systmes sont coordonns de

faon avoir une structure densemble unique.

Un intert important est port la procdure du Backstepping est que les non linarits

peuvent tre traites avec plusieurs faons. Les non linarits utiles qui agissent pour la stabili-

sation peuvent tre retenus, et le secteur des autres non linarits peut tre trait avec un contrle

linaire. Retenir les non linarits au lieu de les liminer exige des modles moins prcis et aussi

un effort de contrle minimal. Plus loin, les rsultats de simulation des lois de contrle peuvent

tre quelquefois optimales en ce qui concerne lindice de performance qui garantit certaines

proprits de robustesse.

Abstract

This thesis addresses two important issues that are applicable to chaotic systems, the control

and the synchronization of the non linear dynamic chaotic systems. This work of research is mo-

tivated by as well theoretical as pratical challenges put for the researcher. Indeed, these systems

cannot be stabilized directly by smooth invariant control in the time, besides in spite of the

number of available methods for the control of these systems, one can used of new methods as

the Backstepping and the adaptive Backstepping in the formulation of the control problem and

the need to face the singular terms met in some chaotic systems. This thesis attacks some of

these problems, formulates and solves the problems of the control, the track of a trajectory and

the synchronization of the non linear dynamic chaotic systems.

This thesis is broken up into four parts. The first one contains a historic on the chaos and

the different types of problems of control of the chaotic systems, leading to a definition that

is going to allow to the scientists an understanding and an application more increased of the

chaotic systems, one finds fundamental theoretical concepts for the analysis of the behavior and

different classic methods of control of these systems.

The second part of the thesis includes the theory of the Backstepping, a procedure that is a

step by step design and consists of a recursive procedure, interlacing the choice of a Lyapunov

function with the design of a virtual control at each step, at the last step, the final control is ob-

tained. Strong properties of global and asymptotic stability can be achieved. A major advantage

of this method is that, it has the flexibility to build the control law by avoiding cancellations of

useful nonlinearities, there are not any derivatives in the singular controller, free of all nonlinear

or the second order terms.

Especially, we show that these non linear dynamic systems can get back under the model of

strict feedback form a triangular form, transformations of the variables of state and transfers

toward of equilibrium points are introduced to represent them under this shape, a necessary

condition for the application of the method of the backstepping. However, we show that it is

possible to reach the global asymptotic stabilization to the origin while using such a method.

The third part is dedicated to the method of adaptive Backstepping, a tool for the control of

different systems of which some or all their parameters are unknown, as well as the design and

the application of the update control laws with an appropriated gain on the non-linear chaotic

vi Abstract

systems that are benchmark systems for the modeling and the validation of the algorithms and

approaches, as the non autonomous systems of the second order as the chaotic oscillators of

the Duffing and the Van der Pool, the autonomous systems of the third order as the systems of

Lorenz , Chua and Rssler.

The last part of the thesis contains the development of the laws and applications on the

chaotic synchronization, one of the applications the more used in the transmission secured of

the data based on the method of Backstepping. Knowing that the chaotic systems are characte-

rized by different evolutions for very near initial conditions, to Synchronize two chaotic signals

it means that they will be identical asymptotiquement in infinite time. The use of the chaos in

the systems of communication can permit to reinforce the transmission security of information

and to reduce the probability of interception. In some application information can only arrive

through several systems, we exploit the procedure thus to solve the problem of coordination of a

group of chaotic non linear dynamic systems. It is possible to drive every system as the control

of the group is registered in a desired design. Thus, the independent dynamics of the systems

are coordinated in order to have an unique general structure. In this chapter we will consider

the problem of formation of two or several systems are synchronized in order to behave like a

virtual structure formation.

To keep the non linearities instead of eliminating requires less precise models and also a

small control effort. Farther, the results of simulation of the control laws can be sometimes

optimal with regard to of performance that guarantees some properties of the hardiness.

Table des matires

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Table des matires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Introduction Gnrale 1

1 Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes decontrle 91 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires . . . . . . . . 11

2.1 Concepts mathmatiques et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Exposant de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Prsentation des attracteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 La carte de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Diagramme de Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Problmes de contrle des processus chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Les problmes de stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Les problmes du contrle dexcitation ou de gnration doscillations

chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Les problmes de synchronisation contrlable . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Mthodes de contrle des processus chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 La contrlabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Contrle en boucle ouverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Contrle linaire et non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Le contrle adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5 Linarisation de la carte de Poincar o la mthode OGY . . . . . . . . 36

4.6 La contre raction en retard o mthode de Pyragas . . . . . . . . . . . 37

viii TABLE DES MATIRES

4.7 Contrle Bas sur les Rseaux de neurones . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.8 Contrle bas sur les systmes flous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Backstepping pour la stabilisation et la commande en poursuite de trajectoire r-frence des systmes dynamiques non linaires chaotiques 431 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Notion de stabilit au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1 Diffrents tats dquilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Mthode direct de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Contrle Bas sur la thorie de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Thorie du Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1 Commande de stabilisation par la mthode du Backstepping . . . . . . 57

3.2 Commande en poursuite de trajectoire rfrence par la mthode du

Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Conception des lois de commande bases sur le Backstepping pour quelques

systmes chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1 Oscillateur du second ordre Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Oscillateur de Bonhoeffer de Van der pool . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Systme chaotique de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4 Circuit chaotique de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.5 Systme chaotique de Rssler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 Backstepping Adaptatif pour la commande des systmes dynamiques chaotiques 1011 Thorie du Backstepping adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2 Conception de loi de commande adaptative base sur le Backstepping pour

quelques systmes chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.1 Oscillateur de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.2 Oscillateur Bonhoeffer Van der pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.3 Systme chaotique de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.4 Circuit chaotique de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4 Backstepping et Backstepping Adaptatif pour la Synchronisation Chaotique 1271 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2 Synchronisation du systme chaotique de Lorenz via Backstepping . . . . . . . 129

2.1 Conception de la loi de synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

TABLE DES MATIRES ix

2.2 Simulation des lois de synchronisation sous des condditions initiales

diffrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.3 Gnralisation de la loi de commande pour la synchronisation de plu-

sieurs systmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3 Synchronisation du systme chaotique de Chua via Backstepping . . . . . . . . 141

4 Synchronisation du systme chaotique de Rssler via Backstepping . . . . . . 147

5 Synchronisation du systme chaotique de loscillateur de Duffing via Backstep-

ping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6 Synchronisation du systme chaotique de loscillateur de Vander Pool via Backs-

tepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7 Backstepping Adaptatif pour la synchronisation du Systme chaotique de Lo-

renz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Conclusion Gnrale 159

Bibliographie 163

x TABLE DES MATIRES

Table des figures

1.1 Evolution dans le temps pour deux conditions initiales trs proches. . . . . . . 14

1.2 Convection de Rayleigh Bnard des tourbillons convectifs . . . . . . . . . . . 15

1.3 Attracteur de Lorenz Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Lorenz. . . . . . 16

1.5 Attracteur de Rssler a = 0.398, b = 2 et c = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Rssler. . . . . . 17

1.7 Partie de lattracteur de Moon. = 0.25, a = 0.3 et w0 = 1. . . . . . . . . . . . 18

1.8 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Moon. . . . . . . 19

1.9 Attracteur de Hnon, avec a = 1.4 et b = 0.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Hnon. . . . . . 20

1.11 Section de Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.12 Section de Poincar des attracteurs intervalle de temps rgulier . . . . . . . . 23

1.13 Diagramme de bifurcation pour lattracteur de Hnon . . . . . . . . . . . . . . 26

1.14 Portrait de phase pour le systme de Lorenz (tat dquilibre) . . . . . . . . . . 26

1.15 Portrait de phase pour le systme de Lorenz(tat chaotique) . . . . . . . . . . . 27

1.16 Diagramme illustratif de lAlgorithme Gntique . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1 Le bloc diagramme dun systme de boucle de retour stricte. . . . . . . . . . . 58

2.2 Le bloc diagramme du premier sous systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3 Le bloc diagramme du premier sous systme avec une sortie virtuelle z1 . . . . 59

2.4 Le bloc diagramme du deuxime sous systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5 Le bloc diagramme du deuxime sous systme avec une sortie virtuelle z2 . . . 60

2.6 Le bloc diagramme du troisime sous systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.7 Le bloc diagramme du troisime sous systme avec une sortie virtuelle z3 . . . 61

2.8 Le bloc diagramme du iime sous systme avec une sortie virtuelle zi . . . . . 62

2.9 Le bloc diagramme du nime sous systme avec une sortie virtuelle zn . . . . . 63

2.10 Comportement chaotique dans lespace temporel pour loscillateur de Duffing . 70

2.11 Variation de ltat x2 en fonction de ltat x1 de loscillateur de Duffing . . . . . 70

xii TABLE DES FIGURES

2.12 Convergence des tats x1 x2 vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur de

Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.13 Convergence des tats x1 x2 vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur de

Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.14 Variation de la loi de commande en fonction de temps pour loscillateur de Duffing 73

2.15 Evolution des tats x1 x2 en commande en poursuite pour loscillateur de Duffing 73

2.16 Variation de la loi de commande de poursuite en fonction de temps pour los-

cillateur de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.17 Comportement chaotique des tats x1, x2 pour loscillateur de Van der pool . . 76

2.18 Convergence des tats xi zi vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur de

Van der pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.19 Variation des lois de commande en fonction de temps pour loscillateur de Van

der pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.20 Convergence des tats x1 x2 vers le signal rfrence pour loscillateur de de Van

der pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.21 Variation des trois tats en fonction du temps pour le systme de Lorenz . . . . 81

2.22 Comportement chaotiques dans lespace dtat pour le systme de Lorenz . . . 81

2.23 Variation des tats et des fonctions de Lyapunov pour le systme de Lorenz . . 84

2.24 Variation des lois de commande pour le systme de Lorenz . . . . . . . . . . . 84

2.25 Variation des tats x1, x2, x3 et yr pour le systme de Lorenz . . . . . . . . . . 85

2.26 Variation des lois de commande de poursuite pour le systme de Lorenz . . . . 85

2.27 Circuit de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.28 Caractristique de Circuit de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.29 Comportement chaotique dans lespace temporel pour le circuit de Chua . . . . 87

2.30 Comportement chaotique pour le circuit de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.31 Convergence des trois tats vers le point dquilire xeq = 0 pour le circuit de Chua 90

2.32 Variation des lois de commande de stabilisation pour le circuit de Chua . . . . 90

2.33 Variation des tats pour la poursuite de rfrence pour le circuit de Chua . . . . 91

2.34 Variation des lois de commande de poursuite pour le circuit de Chua . . . . . . 92

2.35 Variation des tats avec des paramtres de conception optimiss pour la pour-

suite de rfrence pour le systme de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.36 Comportement chaotique dans lespace temporel pour le systme de Rssler . . 93

2.37 Comportement chaotique dans lespace pour le systme de Rssler . . . . . . . 94

2.38 Convergence des trois tats dans le domaine temporel pour le systme de Rssler 95

2.39 Evolution des lois de commande en fonction de temps pour le systme de Rssler 96

2.40 Evolution des tats en poursuite pour le systme de Rssler . . . . . . . . . . . 97

TABLE DES FIGURES xiii

2.41 Evolution des lois de commande en fonction de temps de poursuite pour le

systme de Rssler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.42 Evolution des tats pour le systme de Rssler en prsence de PID . . . . . . . 98

2.43 Variation des lois de commande en prsence du PID pour le systme de Rssler 98

2.44 variation des tats et les lois de commande avec les ci optimises pour le sys-

tme de Rssler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1 Convergence des tats x1, x2 vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur

de Duffing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2 Variation des paramtres stimes dans le temps pour systme de loscillateur

de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.3 Variation de loi de commande adaptative pour loscillateur de Duffing. . . . . . 110

3.4 Convergence des tats x1 x2 vers le signal de rfrence yr = sin(t) pour loscil-

lateur de Duffing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.5 Variation des paramtres stims dans le temps pour loscillateur de Duffing. . . 111

3.6 Variation de loi de poursuite adaptative pour loscillateur Duffing . . . . . . . . 111

3.7 Convergence des tats x1, x2 vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur

Bonhoeffer Van der pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.8 Variation des paramtres stimes dans le temps pour loscillateur Bonhoeffer

Van der pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.9 Variation de loi de commande adaptative pour loscillateur Bonhoeffer Van der

pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.10 Variation de la fonction stabilisante virtuelle pour loscillateur Bonhoeffer Van

der pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.11 Convergence des tats x1 x2, x3 vers le point dquilire xeq = 0 pour systme de

Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.12 Variation des paramtres stimes dans le temps pour le systme de Lorenz . . 117

3.13 Variation de loi de commande adaptative pour le systme de Lorenz . . . . . . 118

3.14 Schema du controleur PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.15 Variation des tats dans le temps avec un PID pour le systme de Lorenz . . . 119

3.16 Variation des lois de contrle par le PID dans le temps pour le systme de Lo-

renz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.17 Convergence adaptative des tats (x1 x2, x3) pour le systme de Lorenz . . . . . 120

3.18 Variation des paramtres stimes dans le temps pour la poursuite pour le sys-

tme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.19 Convergence des commandes virtuelles et finale pour la poursuite adaptative

pour le systme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

xiv TABLE DES FIGURES

3.20 Convergence des tats x1 x2, x3 vers le point dquilire xeq = 0 pour circuit

chaotique de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.21 Variation des paramtres stimes dans le temps pour circuit chaotique de Chua. 123

3.22 Variation de loi de commande adaptative pour le circuit chaotique de Chua. . . 124

4.1 Synchronisation des tats pour le Systme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . 133

4.2 Variation des tats erreurs pour le Systme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . 133

4.3 Variation des lois de commande de synchronisation pour le Systme de Lorenz 134

4.4 Variation des tats dans le temps pour le systme de Lorenz . . . . . . . . . . . 134

4.5 Variation des tats erreurs dans le temps pour le systme de Lorenz . . . . . . . 135

4.6 Variation des lois de commande de synchronisation dans le temps pour le sys-

tme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.7 Synchronisation des tats via le Backstepping pour le systme de Lorenz . . . . 136

4.8 Variation des tats erreurs via Backstepping pour le systme de Lorenz . . . . . 136

4.9 Variation des lois de commande de synchronisation via Backstepping pour le

systme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.10 Synchronisation des tats via le contrle actif pour le systme de Lorenz . . . . 138

4.11 Variation des tats via le contrle actif pour le systme de lorenz . . . . . . . . 138

4.12 Synchronisation des tats via Backstepping en forme de navire . . . . . . . . . 139

4.13 Variation des erreurs pour le systme de Lorenz via le Backstepping en forme

de navire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.14 Synchronisation des tats des systme 2 et 1 via Backstepping en forme danneau140

4.15 Synchronisation des tats des systme 3 et 2 via Backstepping en forme danneau140

4.16 Synchronisation des tats des systmes 4 et 3 via Backstepping en forme danneau141



4.19 Synchronisation des tats des systmes via Backstepping en forme danneau . . 142

4.20 Variation des tats erreurs pour la synchronisation pour le systme de Lorenz

en forme danneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.21 Variation des lois de commande synchronisation pour le systme de Lorenz en

forme danneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.22 Synchronisation des tats pour le circuit de Chua via Backstepping . . . . . . . 146

4.23 Variation des tats pour le circuit de Chua via Backstepping . . . . . . . . . . . 146

4.24 Synchronisation des tats pour le circuit de Rsslor via Backstepping . . . . . . 148

4.25 Variation des tats pour le circuit de Rsslor via Backstepping . . . . . . . . . 148

4.26 Synchronisation des tats pour loscillateur de Duffing via Backstepping . . . . 149

4.27 Variation des tats pour loscillateur de Duffing via Backstepping . . . . . . . . 149

TABLE DES FIGURES xv

4.28 Synchronisation des tats pour loscillateur de Vander Pool via Backstepping . 151

4.29 Variation des tats pour loscillateur de Vander Pool via Backstepping . . . . . 151

4.30 Convergence adaptative des tats rcepteur vers les tats emetteur du systme

chaotique de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.31 Variation des lois adaptatives de synchronisation pour le systme chaotique de

Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.32 Variation des paramtres stimes 1, 2 et 3 pour la synchronisation dans le

temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.33 Variation des tats ex, eyetez dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

xvi TABLE DES FIGURES

Introduction Gnrale

La thorie du chaos est bien connu comme une des trois rvolutions dans les sciences phy-

siques du vingtime sicle selon le philosophe Daniel Parrochia, La relativit a limin lillusion

Newtonien despace absolu et du temps, la thorie quantique a limin les rves Newtonien dun

processus mesurable et vrifiable et le chaos a limin la fantaisie Laplacienne de prvisibilit

dterministe [1].

En 1963 le mtorologue Edward Lorenz exprimentait une mthode lui permettant de pr-

voir les phnomnes mtorologiques, cest par pur hasard quil observa quune modification

minime des donnes initiales pouvait changer de manire considrable ses rsultats. Lorenz ve-

nait de dcouvrir le phnomne de sensibilit aux conditions initiales [2]. Les systmes rpon-

dant cette proprit seront partir de 1975 dnomms les systmes chaotiques par Tien-Yien

Li et James A Yorke qui ont prsent pour la premire fois le terme chaos, ou plus prcisment,

le chaos dterministe [4], et qui est largement utilis depuis, cest donc au cours des annes

soixante dix que la thorie du chaos a pris son essor. Cependant, les travaux de certains scien-

tifiques [5] cits dans [6] et plus particulirement le physicien mathmaticien belge David

Ruelle, le mathmaticien hollandais Floris Takens [7], [8] menaient bien avant cette dcou-

verte, et vont tre trs utiles la comprhension de la dynamique chaotique. En effet, vers la

fin du dix-neuvime sicle le mathmaticien, physicien et philosophe franais Henri Poincar

avait dj mis en vidence le phnomne de sensibilit aux conditions initiales lors de ltude

astronomique du problme des trois corps, ainsi on trouve dans le calcul des Probabilits [9]

de Henri Poincar laffirmation suivante :

Une cause trs petite, qui nous chappe, dtermine un effet considrable que nous ne pou-

vons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est du au hasard. Si nous connaissions

exactement les lois de la nature et la situation de lunivers linstant initial, nous pourrions

prdire exactement la situation de ce mme univers un instant ultrieur. Mais, lors mme que

les lois naturelles nauraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaitre la situation

initiale quapproximativement. Si cela nous permet de prvoir la situation ultrieure avec la

mme approximation, cest tout ce quil nous faut, nous disons que le phnomne a t prvu,

quil est rgi par des lois , mais il nen est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites

2 INTRODUCTION GNRALE

diffrences dans les conditions initiales en engendrent de trs grandes dans les phnomnes

finaux , une petite erreur sur les premires produirait une erreur norme sur les dernires. La

prdiction devient alors fortuite.

Cette citation dfinit parfaitement le chaos en tant que sensibilit aux conditions initiales

mais aussi le dterminisme qui rside dans le fait que si une condition initiale est parfaitement

dtermine alors lvolution du systme lest aussi. Le dterminisme traduit lunicit de la so-

lution pour lquation diffrentielle dun systme donn, cest le thorme de Cauchy.

Toujours au dix-neuvime sicle, le mathmaticien russe Alexandre Lyapunov effectuait des

recherches sur la stabilit du mouvement. Il introduisait lide de mesurer lcart entre deux tra-

jectoires ayant des conditions initiales voisines, lorsque cet cart volue exponentiellement on

parle de sensibilit aux conditions initiales. Les travaux de Lyapunov, dabord tombaient dans

loubli, seront plus tard trs prcieux pour tudier certains aspects de la thorie du chaos.

Les travaux des prdcesseurs de Lorenz ont donc t trs importants pour la comprhen-

sion du chaos dterministe, mais il faut souligner que ce qui va permettre aux scientifiques une

comprhension plus accrue des systmes chaotiques cest lordinateur. En effet, les quations

diffrentielles rgissant un systme chaotique sont ncessairement non linaires et, sans ordina-

teur, leur rsolution est en gnral impossible.

Plusieurs dfinitions mathmatiques du chaos sont connues [11]- [16], mais toutes expri-

maient les caractristiques fermes des systmes dynamiques non linaires sensibles aux condi-

tions initiales. Dans un systme linaire la solution asymptotique est indpendante des condi-

tions initiales du systme, Par contre, pour un systme non linaire, il existe une grande varit

de rgimes permanents, tels que le point dquilibre, la solution priodique, la solution quasi-

priodique et le chaos. De plus, le systme dynamique est fortement dpendant des conditions

initiales de dpart. le chemin de transition vers le chaos est diffrent, cependant il existe un cer-

tain nombre de scnarios de transition vers le chaos qui semblent universels, et permettent de

dcrire lvolution dun systme, parmi ces scnarios est que si la dynamique tudie dpende

des paramtres de contrle, lorsque un paramtre varie, le systme peut passer dun tat station-

naire un tat priodique, puis au-del dun certain seuil, il peut suivre un certain scnario de

transition et devenir chaotique, cest la bifurcation.

Le comportement chaotique a t considr comme un phnomne exotique qui peut tre

seulement dintrt mathmatique et ne serait jamais rencontr dans la pratique. Cependant,

plus tard la possibilit de dynamique chaotique a t dcouverte dans de nombreux systmes

mcaniques, de communication, du laser de la chimie et de la biochimie, de biologie, conomie

et aussi en mdecine.

Le chaos a t largement appliqu beaucoup de disciplines scientifiques mathmatiques, la

INTRODUCTION GNRALE 3

programmation, la microbiologie, la biologie, linformatique, lconomie, lingnierie, la fi-

nance, la philosophie, la physique, la politique, la dynamique de la population, la psychologie

et la robotique [16] et comme premire application du chaos :

- Dans lengineering, le contrle et la stabilisation du comportement irrgulier dans les cir-

cuits, le contrle des oscillations dans des ractions chimiques, les turbines, les systmes

de puissance et dans la combustion, dans laccroissement de la puissance dun laser, le

contrle des petites perturbations intervenant lors de son rglage qui gnent la finesse du

faisceau, et dans beaucoup plus de domaines.

- Dans les ordinateurs, on remarque la commutation des paquets dans des rseaux informa-

tiques, le cryptage et le contrle du chaos dans les systmes robotiques.

- Dans les communications, on trouve la compression et le stockage dimage, la conception

et le management des rseaux dordinateurs.

- Dans la mdecine et la biologie, on trouve la cardiologie, lanalyse du rythme du coeur

(EEG), la prdiction et le contrle dactivit irrgulire du coeur.

- Dans Le management et la finance, on a les prvisions conomiques, lanalyse financire,

et la prvision du march.

Une des plus importantes des applications de lingnierie est la communication scurise

grce aux proprits du comportement alatoire et sensibilit aux conditions initiales des sys-

tmes chaotiques. La sensibilit aux conditions et de limprvisibilit rend les systmes chao-

tiques trs convenable pour construire la cryptographie.

Encore un dveloppement supplmentaire a mis en valeur plusieurs applications o les

modes chaotiques peuvent paratre quelquefois comme nuisibles o lon doit le contrler o

le rduire et des classes entires de problmes de contrle qui sont dimportance pratique sont

apparus [16], [17], quelquefois comme utiles o on doit le maintenir ou augmenter son degr

de chaoticit et lide de la synchronisation chaotique a t utilise pour construire des systmes

de communication pour assurer la scurit de linformation transmise [?], [19].

Le terme "contrle du chaos" est utilis principalement pour dnoter la rgion dinterface

dtude entre la thorie du contrle et la thorie des systmes dynamiques tudiant les m-

thodes de contrle des systmes dterministes avec un comportement chaotique non rgulier.

Le problme de contrle du chaos a attir lattention des chercheurs et des ingnieurs depuis le

dbut des annes 1990, son progrs est remarqu essentiellement sur les techniques de concep-

tion de commande des classes des processus dynamiques non linaires. Le concept du contrle

du chaos sest install dans le jargon de la physique moderne pour signifier que tout processus

ou mcanisme dans un systme dynamique qui permet :

- damliorer le chaos o le stabiliser quand celui ci est bnfique.


- De le supprimer compltement quand il est nocif.

La comprhension et lutilisation dune telle dynamique est trs souhaitable dans la thorie et

les applications. Dans quelques applications, le chaos peut tre utile pendant que dans dautres

il peut tre nuisible. Par exemple pour la commutation dans les systmes de puissance o les

systmes mcaniques, le chaos est inacceptable. En revanche et spcialement, quand la synchro-

nisation du chaos a t trouve en 1991, la thorie du chaos devient de plus en plus attirante,

le chaos est propos comme un outil promoteur, il est considr dans la synchronisation, et la

transmission scurise de linformation dans les systmes de communication.

Depuis leurs naissances dans respectivement le travail de Ott, Grebogi et Yorke dans [17],

Pecora et Carroll [39], [40], le contrle du chaos et la synchronisation chaotique ont reu un

intrt norme dans les tudes autant thoriques quexprimentales. Les systmes sous consid-

ration dans les deux sujets sont caractriss par la prsence des ensembles limites non standards

et essentiellement dune dynamique non linaire, comme consquence naturelle demandent

lapplication des techniques de contrle non linaire, et plusieurs mthodes efficaces ont t

proposes et t utilises durant les deux dernires dcennies pour accomplir le contrle, la

stabilisation [18]- [147], [181]- [202] et la synchronisation des systmes chaotiques [197]-

[277], tel que le contrle linaire et non linaire comme la mthode de contrle combin qui est

appele la contre raction ouverte (OPCL) [69], [74] , la Linarisation de la carte de Poincar

appele aussi la mthode OGY [95] , le contrle adaptatif [21], [79], [100] et le contrle flou

[114].

Rcemment, tout au long de ces progrs marqus sur le contrle non linaire, des efforts

ont t centr sur le problme de retour dtat de sortie et ont rsult en une procdure syst-

matique appel backstepping et backstepping adaptatif applicable aux systmes non linaires

sous une forme triangulaire appele boucle de retour stricte. Cette procdure a t introduit et

perfectionn dans [40]- [82] et beaucoup applique dans [83], [184]. La conception du backs-

tepping offre beaucoup de flexibilit chaque tape de calcul de la loi de commande, nom-

breuses propositions des mthodes de contrle du chaos bases sur cette technique comme une

nouvelle structure de contrle non linaire, qui est une approche de conception systmatique

pour construire la fois les lois de commandes en associant un choix adquat des fonctions de

Lyapunov permettant de garantir la stabilit asymptotique globale du systme.

Les avantages inhrents cette technique sont bien connus en particulier :

Procure une grande famille de lois de commande globalement asymptotiquement stabili-

santes.

Permet de rsoudre divers problmes de robustesse et de commande adaptative.

Rpond essentiellement la question de la stabilit asymptotique du systme.


Avec le backstepping, les non linarits du systme ne sont pas limins dans la loi de com-

mande. Savoir Comment traiter ces non linarits augmente lavantage du choix de la proc-

dure. Si un non linarit agit pour la stabilisation, il est donc en un sens utile, et doit tre retenu

dans la boucle de retour du systme. Cela mne une robustesse du modle et un petit effort

suffisant pour contrler le systme.

Il a t montr que beaucoup de systmes chaotiques clbres comme paradigmes dans la re-

cherche du chaos, incluant loscillateur de Duffing, loscillateur de van der Pool, le systme de

Rssler et plusieurs types des circuits de Chua, le systme de Lorenz peuvent tre transforms

dans une classe de systme non linaire en forme de boucle de retour stricte, et le backstepping

et le Backstepping adaptatif ont t employs et tendus au contrle de ces systmes chaotiques.

Cependant, le systme de Lorenz, comme indiqu dans [2] [25], ne peut pas tre directement

contrl en utilisant la mthode du backstepping pour son problme de singularit. Comme

outil de conception, la mthode du backstepping est moins restrictive que la linarisation par

retour dentre ou de sortie, dans quelques situations il peut vaincre ces singularits en asso-

ciant le changement vers la forme de boucle de retour stricte et une mthode doptimisation des

constantes de la conception.

De faon gnrale, on peut dire que notre ligne principale de travail sarticule autour du pro-

blme de contrle vers un point dquilibre stable ou vers un cycle limite stable(stabilisation du

systme autour du point dquilibre), de poursuite de trajectoire rfrence et de la synchronisa-

tion des systmes chaotique bass sur la technique du Backstepping et Backstepping adaptatif.

Le problme de commande non linaire consiste concevoir une loi de commande u(t, x)

dans la contre raction pour les systmes dynamiques non linaires dcrits par des quations

diffrentielles ordinaires de type : x = f (x, u)

y = h(x),

x(t0) = x0

(1)

Avec x


conditions initiales diffrentes, la diffrence dans lvolution de ces deux systmes va se dve-

lopper exponentiellement en fonction du temps [9], et chacun deux va voluer dune faon trs

diffrente.

Linjection dune une loi de commande u(t, x) lun des deux systmes permettra til rendre

leur volution harmonique et rduire la diffrence zro et pousser les deux systmes dans une

tubulure synchronise ?

Sil est possible de raliser une telle application, il est possible de communiquer laide des

signaux chaotiques et de porter un message utile sur un signal chaotique puis le reconstituer la

rception. Ou mieux encore, utiliser le systme chaotique lui mme comme information, Reste

contrler la trajectoire chaotique pour une telle procdure.

Notre contribution travers le travail dvelopp dans cette thse concerne le dveloppement

des lois de commande u(t, x) afin de pouvoir stabiliser, contrler et conduire la trajectoire des

systmes chaotiques vers des trajectoires bien spcifiques (points dquilibres, cycles limites

stables, des trajectoires rfrences priodiques), De plus, appliquer le contrle du chaos dans la

synchronisation chaotique. Nous avons aussi dvelopp des lois de commande u(t, x) bases sur

dautres mthodes de contrle pour monter lefficacit, le temps de convergence et la robustesse

de la mthode de travail choisie. Ces mthodes correspondent aux :

- Un contrleur PID dont les paramtres sont optimiss par La mthode des algorithmes

gntiques [203], [204] . Pour parvenir contrler plusieurs systmes chaotiques cits au

dessus. Et plus encore, altrer la stabilisation du systme dune orbite priodique instable

chaotique des trajectoires bien spcifiques.

- Le dveloppement dune technique de contrle base sur le contrle actif [228] pour la

synchronisation des systmes chaotiques.

Le travail est prsent selon le plan suivant :

Au premier chapitre et dans un premier temps, nous rappelons les principales dfinitions ma-

thmatiques relatives aux systmes chaotiques, notamment des notions prliminaires sur les dy-

namiques du comportement chaotique, nous prsentons quelques exemples des systmes chao-

tiques qui sont des systmes repres pour la modlisation et la validation des techniques et des

algorithmes proposs savoir les systmes non autonomes du second ordre comme les oscil-

lateurs chaotiques Van der Pol, Duffing, et comme systme discret le systme de Hnon, les

systmes autonomes du troisimes ordres comme le systme de Lorenz, le systme de Chua

et le systme de Rossler. Ensuite, nous consacrons la deuxime partie aux tudes des diff-

rents types de problmes de contrle des processus chaotiques, les problmes de stabilisation,

les problmes du contrle dexcitation ou gnration doscillations chaotiques, les problmes

de synchronisation contrlable. Nous proposons dans la troisime partie du chapitre les plus


fiables et les plus connues des mthodes de contrle des processus chaotiques, ces mthodes

sont vises amliorer la suppression du chaos avec la rduction simultane du niveau deffort

externe exig et conduire les trajectoires du systme converger vers lorbite priodique dsi-

re.

Dans le chapitre 2, nous introduisons les techniques de bases du Backstepping, o on donne

quelques concepts sur la thorie de Lyapunov, des conditions suffisantes de stabilit des diff-

rents tats dquilibres des systmes dynamiques non linaires, la classe de systme est celle

drivant des modles de systmes physiques qui peuvent se prsenter par un ensemble des qua-

tions diffrentielles ordinaires. Des mthodes qui permettent de construire une telle fonction de

Lyapunov candidate pour un systme donn, pour la conception dune loi de contrle associe

avec une fonction de Lyapunov constitue ce quon appelle un contrle base sur la thorie de

Lyapunov (Cfl), le Backstepping rsouds ce problme travers une mthode rcursive pour

une classe des systmes non linaire, on donne par la suite des ides de base de la conception

des lois de commande par le Backstepping Nous examinons lefficacit de cette mthode de

contrle par application sur des systmes chaotiques cits au dessus.

Nous consacrons le chapitre 3 une autre mthode de contrle base sur le Backstepping,

savoir le contrle adaptatif, la procdure de conception pour le contrle adaptatif non linaire

est prsent lorsque le systme chaotique est reprsent par un ensemble des quations diffren-

tielles ordinaires contenant un nombre fini de paramtres de contrle inconnues, la procdure

de conception est rcursive, durant la iime tape, le iim sous systme est stabilis sous une

fonction de Lyapunov approprie par la mise au point dune fonction stabilisante et une fonction

de rglage. La loi de mise jour pour le paramtre estim, et le contrle final nest dtermin

quen dernire tape, le nombre destimation des paramtres est minimal c..d. gal au nombre

de paramtres inconnus [184]. On montre galement comment fournir les outils appropris

pour diriger la trajectoire chaotique vers des trajectoires dsires et converger les paramtres

estimer vers leurs valeurs relles.

Le chapitre 4 regroupe quelques applications sur la synchronisation chaotique de type iden-

tique pour les systmes chaotiques cits au paravant, une des applications la plus utilise dans

la transmission scurise des donnes base sur la mthode de Backstepping. Ensuite, pour

faire un comparaison de notre mthode, le contrleur ainsi dvelopp sera compar avec un

contrleur bas sur la mthode de contrle actif. Dans certaines applications linformation ne

peut parvenir qu travers plusieurs systmes, nous exploitons la procdure ainsi aborde pour

rsoudre le problme de coordination dun groupe de systmes dynamiques non linaires chao-

tiques. Et enfin, nous terminons cette thse par une conclusion gnrale.

Notre objectif est double le premier est de montrer que beaucoup systmes chaotiques comme

paradigmes dans la recherche du chaos peuvent tre transforms dans une classe de systmes


non linaires appels forme de boucle de retour stricte, et la seconde est atteindre la mthode du

Backstepping et le Backstepping adaptatif au genre de ces systme, et montrer que la procdure

peut tre naturellement applique et gnralise pour contrler cette classe de systmes chao-

tiques, pour ses avantages savoir quelle est applicable une varit de systmes chaotiques

contenant o pas une excitation externe, et elle na besoin seulement que dun contrleur pour

raliser la tache demande, donne une certaine flexibilit pour construire une loi du contrle qui

peut tre tendue aux systmes hyper chaotiques de plus haut degrs et le systme de boucle

ferm est globalement asymptotiquement stable.

Chapitre 1

Les systmes dynamiques non linaireschaotiques comportement et mthodes decontrle

1 Introduction

La science du 20ime sicle a t marque par trois dcouvertes majeures :

La relativit.

La mcanique quantique.

Le chaos.

Selon le philosophe Daniel Parrochia [1], la thorie du chaos constitue une des trois grandes

rvolutions scientifiques du dix-neuvime sicle et correspond un changement de paradigme

comparable ceux quentranrent la thorie de la relativit et la mcanique quantique. Ce

sicle a vu scrouler lun aprs lautre les murs de certitudes qui entouraient la forteresse de

la physique newtonienne. Einstein avec sa thorie de la Relativit, a limin en 1905 lillusion

newtonienne dun espace et dun temps absolus. Dans les annes 1920 1930, la mcanique

quantique a dtruit la certitude de tout pouvoir mesurer aussi prcisment que possible. Le

chaos, lui a limin lutopie Laplacienne dune prdictibilit dterministe.

Trs succinctement, la thorie du chaos a pour objet ltude des phnomnes non linaires

rgis par des lois simples et dterministes dont le comportement sous certaines conditions,

deviennent imprdictibles. En particulier, cette thorie se constitue, depuis les annes 1970,

partir dune triple confrontation :

La thorie mathmatique des systmes dynamiques.

Ltude du phnomne non linaire, le dsordre, la turbulence dans la nature et o dans

le monde technologique.

10Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de

contrle

La technologie et le dveloppement de lordinateur.

A la fin du dix-neuvime sicle, Henri Poincar russit mettre en vidence la possibilit de

comportements irrguliers dans les systmes dterministes. Cest Edward Lorenz, un mtoro-

logue amricain qui fut le premier comprendre et dterminer un modle mathmatique du

chaos, mais comme conclusion de lhistoire de naissance de la thorie du chaos, elle est le rsul-

tat dune confrontation entre lhistoire de longue dure, qui trouve ses racines au dix-neuvime

sicle dans les travaux dHenri Poincar [9], et une priode de reconfiguration, constitue par

les travaux sminaires dEdward Lorenz [2], Stephen Smale [5], David Ruelle et Floris Takens

[7], [8].

Dans un systme dterministe, des conditions initiales identiques conduisent des volu-

tions identiques, Pour un systme chaotique qui est un systme dynamique dterministe poss-

dant un comportement imprvisible long terme, cette imprvisibilit est due la sensibilit

aux conditions initiales, particularit des systmes chaotiques.

Le chaos est un phnomne qui se produit largement dans les systmes dynamiques. De

point de vue pdagogique ce phnomne a t considr complexe et na jamais t donn de

limportance parce quil ny avait aucune analyse simple disponible qui pourrait aider les tu-

diants et les chercheurs immerger dans ce phnomne intressant et obtenir des outils et des

expriences. depuis la prsence de chaos sest rpandu dans beaucoup de champs, cest bon

davoir quelque perspicacit dans ce droit du phnomne du niveau haut.

Le terme chaos, dans lancienne philosophie signifiait ltat de dsordre dans la matire non

forme suppose existe avant lunivers ordonn [11], [13]. Comme pour beaucoup de limites

en science, il ny avait aucune dfinition standard du chaos. Nanmoins, les dispositifs typiques

du chaos incluent :

La non-linarit. Si le systme est linaire, il ne peut pas tre chaotique.

Le dterminisme. Un systme chaotique a des rgles fondamentales dterministes plutt

que probabilistes.

La sensibilit aux conditions initiales. De trs petit changement sur ltat initial peuvent

mener un comportement radicalement diffrent dans son tat final.

Limprvisibilit. En raison de la sensibilit aux conditions initiales qui peuvent tre

connues seulement un degr fini de prcision.

Lirrgularit. Ordre cach comprenant un nombre infini de modles priodiques in-

stables.

2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 11

La possibilit de dynamique chaotique a t dcouverte dans de nombreux diffrents sys-

tmes dynamiques et plusieurs applications du chaos dans lengineering o les modes chao-

tiques peuvent paratre quelque fois comme nuisibles o lon doit le contrler ou le rduire et

des classes entires de problmes de contrle qui sont dimportance pratique sont apparus, et la

combinaison de la thorie et le contrle du chaos ajoute un sens paradoxal et un intrt immense

au sujet.

Les problmes du chaos et du contrle du chaos ont fait lobjet des tudes intenses durant les

deux dernires dcennies. Le terme contrle du chaos est principalement utilis pour dsigner

le domaine dtude :

incluant la thorie du contrle et la thorie des systmes dynamiques,

tudiant les mthodes de contrle des systmes dterministes prsentant un comporte-

ment chaotique non rgulier [16].

2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non li-

naires

La section suivante donne des notions prliminaires sur les dynamiques du comportement

chaotique, les systmes chaotiques reprsentent une classe des modles indterministes diff-

rents des modles stochastiques. Alors quil suffit de connatre ltat courant du modle dter-

ministe, les trajectoires futures sont prdictives pour une longue priode arbitraire, le modle

stochastique ne peut pas faire une prvision prcise, dune manire gnrale, et pour une petite

priode arbitraire, lerreur de prdiction pour un modle chaotique croit exponentiellement et

par consquent la prvision ne peut se faire que sur une priode limit en temps dfinie par une

erreur de prvision admissible, le processus dans les modles chaotiques semblait des oscilla-

tions non rgulires variant en amplitude et en frquence.

Avant le 19ime sicle, les quations diffrentielles linaires taient les principales modles

mathmatiques pour les oscillations des systmes mcaniques et lectriques et dautres, la fin

de ce sicle, il est devenu clair que les modles linaires ne peuvent pas dcrire adquatement

les nouveaux processus et phnomnes physiques, de nouveaux fondements mathmatiques ont

apparus, tels que la thorie des oscillations non linaires et plus principalement ltude du cycle

limite stable. Mme que les oscillations complexes comme la relaxation, pouvait tre dcrite

par un simple modle non linaire dpendant des conditions initiales "systmes avec plusieurs

cycles limites", les modles des oscillations linaires et non linaires satisfaisaient normment

les besoins des chercheurs pour plusieurs dcennies. Il a t admis que ces modles non li-


contrle

naires, pouvaient dcrire tout types doscillations et cette conviction tait supporte par des

fondements mathmatiques, telle que le thorme de Poincar -Bendixson qui affirmait que les

points dquilibres et les cycles limites taient les seules type possible des tats limites stables

dans les systmes continus du second ordre, cependant au milieu du sicle dernier, quelques

mathmaticiens tablissaient que se ntait pas le cas pour les systmes du troisime ordre, qui

prsentaient des comportements plus complexes comme des oscillations non priodiques limi-

ts [16].

En 1963, le physicien E. Lorenz rvolutionnait le monde et dmontrait la nature qualitative

de latmosphre turbulent, qui obissait aux quations diffrentielles partielles complexes de

Navier-Stokes et le reprsentait par un simple modle non linaire du troisime ordre appel

plus tard les quations de Lorenz :x = d (x y)y = x y r x yz = x y b z

(1.1)

Avec x, y, z < sont les variables des tats dentres et d, r, b sont les paramtres de contrle dusystme. Pour des valeur d = 10, r = 97, b = 23 . Les solutions du systme de Lorenz semblaient

des oscillations non priodiques et les trajectoires dans lespace de phase approchaient des

ensembles limites appels attracteurs caractriss par une forme trange.

Lintention des physiciens et des mathmaticiens, et plus tard des ingnieurs, a t attire

pour ce modle par les travaux de D. Ruelle et F. Takens qui appelaient pour la premire fois at-

tracteurs "trange" et aussi par les travaux de Li et Yorke qui introduisaient le terme chaos pour

dsigner le phnomne non rgulier dans les systmes dterministes, notant que les fondements

mathmatiques apparus pour tudier le phnomne chaotique sont mis ds 1960-1970. Durant

ce temps, le comportement chaotique a t dcouvert dans plusieurs systmes mcaniques, la-

sers, physiques, chimiques, biologiques et mdicales, circuits lectroniques et dans beaucoup

dautres.

2.1 Concepts mathmatiques et dfinitions

Les nouvelles mthodes analytiques et numriques dveloppes pour les systmes, dmon-

traient que le chaos nest quun type exceptionnel de comportement des systmes non linaires,

grossirement parler du comportement chaotique survenait toute fois

que les trajectoires des systmes sont globalement bornes et localement instables, dans

les systmes chaotiques, une petite divergence initiale et arbitraire des trajectoires ne reste

pas insignifiante mais croit exponentiellement.


Le spectre de frquence des trajectoires chaotiques est continu.

Dans plusieurs cas tels que les oscillations non rgulires et non priodiques reprsentaient

mieux le processus dans les systmes physiques. Il faut noter quen pratique, il est impossible

de distinguer loeil le processus chaotique du processus priodique ou quasi priodique. La

terminologie dans le domaine des modles chaotiques nest pas encore rsolu, et il ya plusieurs

diffrentes dfinitions des systmes chaotiques dont on prsente la plus simple.

Considrons le systme dynamique continu dans le temps suivant :x = F(x)

y = h(x),

x(t0) = x0

(1.2)

Ou : x = x(t)


contrle

Fig. 1.1 Evolution dans le temps pour deux conditions initiales trs proches.

Il y a dautres dfinitions de lattracteur chaotique et le chaos. Par exemple, la dfinition

de lattracteur chaotique qui souvent inclut des exigences supplmentaires telles que lexistence

des trajectoires ou une famille de trajectoires priodiques. La notion dattracteur chaotique con-

cide souvent avec celui de lattracteur trange introduite en 1971 par Ruelle et Takens comme

un ensemble accessible et nomm plus tard un ensemble fractal.

La preuve stricte de la chaoticit dun systme est difficile mme si la dfinition la plus simple

est utilise. Pour quelques-uns universellement reconnu comme des systmes chaotiques tels

que le systme de Lorenz et les systmes de Henon pour des valeurs standard des paramtres,

les preuves de chaoticit sont maladroites, mme si en, bien quil y ait des dmonstrations

numriques et exprimentales de ce fait. Par consquent, la simulation numrique et lestimation

de plusieurs caractristiques reste la mthode principale dtudier les systmes chaotiques.

2.2 Exposant de Lyapunov

Pour caractriser un systme chaotique, il faut faire appel ce quon appelle lexposant

de Lyapunov. Pour estimer lexposant de Lyapunov, on a recours une simulation numrique

simple. On laisse voluer le systme partir de deux conditions initiales diffrentes mais trs

proches. On obtient ainsi deux volutions diffrentes et mme trs diffrentes terme car le

systme est chaotique (donc, sensible aux conditions initiales). Lexposant de Lyapunov rend

compte de lvolution de la distance euclidienne entre les deux volutions induites par des

conditions initiales diffrentes.

Dfinition 2.4 Un systme chaotique est un systme dont lexposant de Lyapunov est stricte-ment positif.


On considre un systme, soient X0 et Y0 deux conditions initiales pour ce systme. On note X

et Y les fonctions du temps telles que X(t) et Y(t) reprsentent respectivement ltat du systme

linstant t et telles que X(0) = X0 et Y(0) = Y0. On note d la distance euclidinne dfinie

comme suit :

d :


contrle

T = est la temprature rapporte celle du fluide sans la convection.

Ra = est le nombre de Rayleigh. Il dpend des proprits du fluide, de la distance entre les

plaques et de la diffrence de temprature entre les plaques.

Pour Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28. Ces valeurs impliquent un comportement chaotique. n est

une composante de vitesse et Z est une variable issue des grandeurs physiques voques dans

les quations.

Le trac en chelle logarithmique montre bien que la distance croit de manire exponentielle,

Fig. 1.3 Attracteur de Lorenz Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28.

Fig. 1.4 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Lorenz.

du fait de la sensibilit aux conditions initiales. On peut lire la valeur de la pente, on estime

lexposant de Lyapunov 0.8.


Attracteur de Rssler

Propos par lAllemand Otto Rossler, ce systme est li ltude de la mcanique des

fluides, il dcoule des quations de Navier Stokes. Les quations de ce systme ont t d-

couvertes la suite des travaux en cintique chimique. Les quations de ce systme sont les

suivantes : X = (Y + Z)Y = X + a Y

Z = b + Z (X c)(1.4)

a, b et c sont des constantes relles. Pour : a = 0.398, b = 2 et c = 4. On est alors en prsence

dun systme chaotique.

Lexposant de Lyapunov vaut ici 0.09.

Fig. 1.5 Attracteur de Rssler a = 0.398, b = 2 et c = 4.

Fig. 1.6 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Rssler.


contrle

Pendule de Moon

Le pendule de Moon est un systme physique. Il est constitu dun pendule (avec une boule

mtallique son extrmit) accroch une potence lgrement flexible. De plus, le pendule

est plac entre deux aimants situs gale distance de la boule lorsque celle-ci et la potence

sont au repos. La potence est ensuite excite laide dun mouvement oscillatoire harmonique

damplitude constante. Stimul, le pendule se met en mouvement et les forces magntiques dues

aux aimants. Le mouvement est alors chaotique.

Plusieurs oscillations chaotiques peuvent tre produites en introduisant dans les oscillateurs

non linaires, un signal harmonique par exemple, en substituant la fonction sinusodale

z(t) = a cos(0t) droite

1. De lquation de Van der Pol y + (y2 1) y + 2 y = 0.2. De Duffing y + p, y q y + q0 y3 = 0.3. Et le systme auto oscillant avec un relais y + p y + q y signe(y) = 0.

Pour quelques valeurs dexcitation de frquence et damplitude de la fonction sinusoidale

z(t), le cycle limite est induit et les oscillations dans les systmes non linaires deviennent chao-

tiques.

y est la position du pendule. est la masse de la boule mtallique, a est lamplitude de lexci-

tation et w est la pulsation de cette excitation. Classiquement, on prend = 0.25, a = 0.3 et

w0 = 1.

Fig. 1.7 Partie de lattracteur de Moon. = 0.25, a = 0.3 et w0 = 1.

Lattracteur de Moon est nettement plus complexe que les autres attracteurs prsents au

dessus. On ne reprsente quune partie de cet attracteur car on ne pourrait pas distinguer les


Fig. 1.8 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Moon.

trajectoires dans le cas contraire, on verrait une sorte de pelote de laine. Cet attracteur est plus

tendu que les autres attracteurs. On trouve un exposant de Lyapunov de 0.32.

Pour le temps discret, les exemples de systmes chaotiques existent pour tout dimensionne-

ment de ltat du systme, mme pour n = 1.

Attracteur de Hnon

Le systme de Hnon est un modle propos en 1976 par le mathmaticien Michel Hnon,

il est dfini par les quations aux diffrences suivantes : xk+1 = 1 x2k + ykyk+1 = xk (1.5)Le comportement chaotique de la solution de (1.5) est observ, pour la valeurs des paramtres

= 1.4, = 0.3 et on prendra pour conditions initiales (X0,Y0) = (1, 0). Ces valeurs furent

proposes par Michel Hnon et permettent dobserver un comportement chaotique.

On peut lire la valeur de la pente, ici, on trouve un exposant de Lyapunov dune valeur de 0.46.

Le trac en chelle logarithmique de lexposant de Lyapunov pour les diffrents attracteurs

montre bien que la distance croit de manire exponentielle du fait de la sensibilit aux conditions

initiales. On peut facilement lire la valeur de la pente qui donne la valeur de lexposant de

Lyapunov.


contrle

Fig. 1.9 Attracteur de Hnon, avec a = 1.4 et b = 0.3.

Fig. 1.10 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Hnon.

Ainsi, les systmes chaotiques semblent voluer de manire alatoire. En tout cas, on ne peut

prvoir facilement quelle sera leur volution dans le temps. Notons que les systmes chaotiques

obissent tout de mme aux lois de la physique.

De plus la carte de Poincare a trouv un usage tendu dans les tudes de processus chaotiques

et les solutions des problmes de leur contrle.

2.4 La carte de Poincare

Henri Poincar a apport une contribution trs utile pour ltude des systmes chaotiques.

Parmi ces contributions on trouve les sections de Poincar. Faire une section de Poincar re-

vient couper la trajectoire dans lespace des phases, afin dtudier les intersections de cette

trajectoire avec, par exemple en dimension trois, un plan. On passe alors dun systme dyna-

mique temps continu un systme dynamique temps discret. Les mathmaticiens ont bien

sr dmontr que les proprits du systme sont conserves aprs la ralisation dune section


de Poincar judicieusement choisie, en particulier, un cycle limite simple du systme continu

est remplac par un point fixe de lapplication de Poincar

La carte de Poincare est introduite sur la supposition de lexistence dune solution priodique

x(t) pour le systme (4.79), dbutant en un point initial x0, c..d. x(t + T ) = x(t) est satisfaite

pour tout t t0 et x0(t) = x0.Si M0 est un point dune trajectoire priodique, la section de Poincar est un plan perpendicu-

laire la trajectoire passant par M0. Pour chaque point P de la section assez proche de M0, la

trajectoire issue de P aprs avoir effectu une rvolution rencontrera la section en un nouveau

point P1. On dfinit ainsi une application

T : Cest lapplication de premier retour (ou encore application de Poincar). Pour chaque point P

de , T (P) est le point de o la trajectoire issue P revient croiser . Lapplication T permet de

transformer le systme continu (qui volue avec le temps) en un systme discret qui correspond

aux premiers instants o la trajectoire recoupe le plan .

Autrement dit

Soit une surface transversale lisse de la trajectoire au point M0 qui obit lquation

(x0) 0Ou :


contrle

Une mthode propose dans [12] est de tracer une trajectoire par exemple (x; dx/dt) non

pas en continu mais intervalle de temps rgulier.

une autre mthode consiste en des coupes faites par un plan passant par le point fixe et

parallle un axe. Ce choix est arbitraire, et presque nimporte quelle surface ou plus

gnralement une varit de dimension n 1 permet de dterminer une section de Poin-car. La seule contrainte respecter est que la trajectoire traverse la surface et ny soit

pas tangente.

Une autre faon de raliser une section de Poincar, toute aussi intressante, consiste a

regarder la suite des maximums de lune des grandeurs du systme (la surface dquation

x = 0).

Fig. 1.11 Section de Poincar


Cette carte est largement utilise pour ltude et le contrle des processus chaotiques.

En ce qui concerne ltude du comportement chaotique, La section de Poincar permet de vi-

sualiser sil y a chaos ou non et les zones de stabilit, daprs Poincar qui suggrait dtudier

des intersections de trajectoires multiples avec un plan fictif judicieusement plac, si toutes les

trajectoires restaient dans un tore, la trajectoire est rgulire et prdictible. Si toute la section de

Poincar est perce de trajectoires, celle-ci sera chaotique et trs instable dans le temps. Prati-

quement, ces zones stables sont lies aux orbites bien rguliers et aux phnomnes de rsonance.

Pour le contrle des processus chaotiques, en considrant un point de la section de Poincar

pour une valeur du paramtre de contrle, et en supposant que la condition initiale pour le

systme soit trs proche de ce point, lors de son volution, le systme ne se stabilise jamais

de lui-mme autour du point. Ceci signifie qu chaque passage dans la section de Poincar, le

point courant est de plus en plus loign du point considr. Pour contrler le systme, on se

propose de lui imposer de rester autour du point, en modifiant lgrement la valeur du paramtre

de contrle. En introduisant des perturbations sur le paramtre, on modifie le comportement

du systme de faon ramener les valeurs propres, rgissant lvolution dans la section de

Poincar, dans le cercle unit.

On prsente des sections de poincar pour quelques attracteurs

(a) Section de Poincar de lattracteur de

Moon

(b) Section de Poincar de lattracteur de he-

non

Fig. 1.12 Section de Poincar des attracteurs intervalle de temps rgulier


contrle

Les notions (quation non linaire, reprsentation dans lespace des phases, instabilit du

systme traduisant la sensibilit aux conditions initiales, notion dattracteur et la notion de la

carte de poincar) vues prcdemment permettent de montrer si les phnomnes tudis sont

chaotiques ou non . Ces notions font donc partie du domaine thorique. (elles reposent sur

des quations). Exprimentalement, nous ne disposons le plus souvent que dune seule variable

parmi les diffrentes variables dtat qui caractrisent entirement le systme. La caractrisation

du comportement dynamique du systme se fait alors par le biais des divers outils classiques

suivants :

2.5 Diagramme de Bifurcation

La gnration dun systme chaotique nest pas immdiate. En effet, le systme nvolue

pas dun tat inexistant un tat chaotique sans passer par des transitions. Considrons que la

dynamique tudie dpende dun paramtre de contrle. En variant ce paramtre, le systme

peut passer dun tat stationnaire un tat priodique, puis au-del dun certain seuil, suivre un

scnario de transition et devenir chaotique.

Dans les quations de Lorenz et les autres attracteurs, la rsolution du systme napporte pas

toujours le chaos. Ce rgime napparat que pour certaines valeurs des paramtres. Pour ca-

ractriser le chaos, il peut tre intressant dtudier lapparition du chaos, ce quon appelle le

scnario vers le chaos).

On distingue trois scnarios thoriques dvolution vers le chaos. Toutes ces volutions ont per-

mis de classer certains phnomnes exprimentaux comme chaotiques dterministes. On obtient

lapparition du chaos en modifiant la valeur dun paramtre, que ce soit de manire thorique

ou exprimentale.

Le doublement de priode

Ce scnario a t dcouvert en mme temps par Mitchell Feigenbaum et par les chercheurs

franais Pierre Coullet et Charles Tresser. Laugmentation dun paramtre provoque, pour un

systme priodique, lapparition dun doublement de sa priode. La priode est ensuite multi-

plie par 4, 8, 16. Dun doublement au suivant, laugmentation du paramtre est de plus en plus

faible, et, partir dune certaine valeur, le chaos apparat, lorsque la priode devient infinie, les

mouvements deviennent chaotiques. Laugmentation du paramtre conduit ensuite la rappa-

rition de rgimes priodiques intercals dans des zones chaotiques.

Ce scnario peut tre observ dans un grand nombre dexpriences comme un robinet qui fuit,

ltude doscillateurs forcs, ou encore lapparition de la turbulence dans les fluides.


Lintermittence

Ce scnario a t dcrit par Yves Pomeau. Lintermittence se caractrise plutt par un

mouvement priodique stable entrecoup par des bouffes chaotiques. Ces perturbations ap-

paraissent de manire irrgulire. Laugmentation dun paramtre produit laugmentation de la

frquence des perturbations, puis le chaos domine le comportement du systme.

Ce scnario a t observ dans des expriences sur la convection des fluides et dans des ractions

chimiques.

La quasi priodicit

Le troisime scnario fait intervenir, pour un systme priodique, lapparition dune deuxime

priode dont le rapport avec la premire nest pas rationnel. Ce rgime est appel quasi prio-

dique. Il peut, de lui-mme o avec lapparition dune troisime frquence gigantesque, donner

un rgime chaotique. Ce scnario intervient quand on considre deux oscillateurs fortement

coupls. Les variations du champ magntique terrestre, le droulement des sismes pourrait

tre expliqu par un modle de ce genre. On le retrouve aussi dans le cas dun pendule qui

serait stimul verticalement.

Une manire plus rapide et plus visuelle de reprsenter ces scnarios de transition vers le chaos

est le diagramme de bifurcations. Ainsi, on peut observer les changements du comportement

dynamique du systme, ou bifurcations, en fonction du paramtre dit de bifurcation. Une bifur-

cation correspond une sorte de changement dtat du systme, plus exactement un changement

de stabilit du rgime dynamique lorsquun des paramtres du systme varie.

Pour le systme de Hnon le paramtre a revt une importance particulire. Pour certaines

valeurs de ce paramtre, le systme est chaotique, pour dautres, il ne lest pas. En tudiant lin-

fluence de a sur le caractre chaotique ou non du systme, on met en vidence un phnomne

caractristique des systmes chaotiques, le doublement de priode.

Dans le cas gnral, le doublement de priode se traduit par le doublement du nombre de tra-

jectoires observes dans lespace des phases. Les doublements de priode sont ensuite observs

de plus en plus frquemment mesure que a augmente. Pour a = 1.4, on ne distingue plus les

cycles, le systme prsente un caractre chaotique.

Examinons ce quune bifurcation semble dans le plan de phase. Pour cela, nous utiliserons le

systme de Lorenz donn au dessus, pour commencer, utilisons la condition initiale (13,12, 52)et fixant = 16, = 4 avec = 5 et une gamme du temps de 0 t 40. En Examinant les-pace de phase en traant des valeurs x en fonction des valeurs de z, la solution obtenue est un

tat dquilibre (point dquilibre). Maintenant par augmentation = 15, on observe un autre

tat dquilibre (un cycle limite).


contrle

Fig. 1.13 Diagramme de bifurcation pour lattracteur de Hnon

(a) Portrait de phase pour = 5 (b) Portrait de phase pour = 15

Fig. 1.14 Portrait de phase pour le systme de Lorenz (tat dquilibre)

En augmentant encore = 25, puis = 35. Une bifurcation a caus la solution de passer

dun point fixe stable un attracteur chaotique( soit la condition initiale lintrieur de lattrac-

teur ou non). Cest le systme clbre souvent nomm papillon de Lorenz, limage iconique de

la thorie du chaos. Dans cette section on a vu que plusieurs dfinitions mathmatiques du chaos

sont connues mais toutes exprimaient la caractristique ferme des systmes dynamique concer-

nant la dpendance sensible aux conditions initiales, qui se rfre aux trajectoires commenant

partir de deux conditions initiales distinctes et proches deviennent non corrles [16]. la simu-

lation numrique et lestimation de quelques caractristiques telles que lexposant de Lyapunov,

la carte de Poincar et le diagramme de bifurcation restent les mthodes principales dtudier

les systmes chaotiques. La variation de la valeur de certains paramtres de contrle dun sys-

tme dynamique peut changer le comportement dynamique dun systme non linaire et devenir

chaotique, comportement que quelque fois nuisible o il faut liminer et stabiliser le systme, et

par fois utile o il faut le crer et le garder et un nombre de problmes de contrle de processus

chaotiques est apparu.


(a) Portrait de phase pour = 25 (b) Portrait de phase pour = 35

Fig. 1.15 Portrait de phase pour le systme de Lorenz(tat chaotique)


contrle

3 Problmes de contrle des processus chaotiques

Les problmes du contrle du chaos attiraient lattention de plusieurs chercheurs et ing-

nieurs depuis le dbut de lanne 1990, et plusieurs centaines de publications avaient apparues

durant les deux dernires dcennies, tant surpris par la dcouverte de J.A.Yorke et ses colla-

borateurs [17] en 1990, concernant la possibilit de variation des caractristiques du systme

dynamique pour une petite variation des paramtres du systme, en utilisant le modle discret

de M. Hnon, ils dmontraient quil suffisait une petite variation dans les paramtres du sys-

tme pouvait transformer les trajectoires chaotiques en une priodique et inversement, ceci a

t confirm exprimentalement par dautres publications [18] dans une varit de domaine

dapplication tel que, les lasers, les systmes de communications, systmes chimiques, techno-

logiques et mdicales.

La conclusion paradoxale que le chaos est imprdictible mais contrlable a fait lobjet dun

intrt immense des chercheurs et un avalanche de publications en utilisant toujours des mo-

dles mathmatiques, confirmant la possibilit de variation substantielle des caractristiques

pour une varit des systmes chaotiques naturels et artificiels par une petite variation relative

externe dans ses paramtres [19]- [22].

La formulation mathmatique des problmes de contrles des processus chaotiques les plus

clbres sont prcds par la prsentation des modles de base des systmes chaotiques qui sont

souvent utiliss. Les modles mathmatiques les plus connus rencontrs dans la littrature pour

le contrle de chaos sont reprsents par des systmes des quations diffrentielles ordinaires

ou les quations dtat :

x = F(x, u) (1.6)

Ou x = x(t) Est le vecteur des variables dtat de dimension n, u = u(t) est le vecteur des entres

(les commandes) de dimension m et F(x, u) est le vecteur fonction qui est suppos continu.

Dans la prsence de perturbations externes, le modle non stationnaire est dfini par :

x = F(x, u, t) (1.7)

Par consquent, il est clair que le comportement dynamique dun systme non linaire peut

tre chang en changeant certaines valeurs de ces paramtres, condition que ces dernires

soient accessibles pour lajustement. De ce fait, le contrle du chaos implique lextraction de

mouvements priodiques dsirs en dehors des zones chaotiques, par lapplication de petites

perturbations judicieusement choisies. La suppression de la dynamique chaotique dans un sys-

tme dynamique est le seul but pour un problme de contrle, Dans beaucoup de cas, un modle

3 Problmes de contrle des processus chaotiques 29

de contrle affine simple (1.8) peut tre utilis. x = f (x) + g(x) uy(t) = h(x(t)) (1.8)La sortie mesure du systme est note par y(t). Elle peut tre dfini comme une fonction de

ltat courant du systme. Maintenant, nous procdons formuler les problmes de contrle de

processus chaotiques.

3.1 Les problmes de stabilisation

Les problmes de stabilisation de la solution priodique instable (orbite) surviennent dans la

suppression de bruit ou limination des harmoniques dans les systmes de communication, ap-

pareils lectroniques, et ainsi de suite, Ces problmes sont distingus pour le fait que le systme

contrl est fortement oscillatoire ,c..d. les valeurs propres de la matrice du systme linaris

sont proches de laxe imaginaire, ces vibrations peuvent tre rgulires ou quasi rgulires ou

mme chaotique [23], [24], [25], [26] .

Les problmes de suppression des oscillations chaotiques ou les rduire aux oscillations rgu-

lires ou les supprimer compltement, [27], [30] peut tre formalis comme suit :

Si x?(t) est une trajectoire oscillatoire priodique du systme (1.6) sous la condition initiale

x?(0) tel que,

x?(t + T ) = x?(t) (1.9)

Pour stabiliser ce mouvement on doit ramener la solution x(t) du systme (1.6) vers x?(t) c..d. :

limt(x(t) x?(t)) = 0 (1.10)

O conduire la sortie du systme y(t) vers une fonction donne y?(t) :

limt(y(t) y?(t)) = 0 (1.11)

Pour tout solution x(t) de systme (1.6) sous ltat initial x0 , o est un ensemble desconditions initiales donn, le problme se rduit dterminer une fonction de contrle soit

comme :

une commande en boucle ouverte : u(t) = U(x0, t).

O une commande contre raction : u(t) = U(x(t)).

O une commande de sortie en contre raction u(t) = U(y(t)).

qui satisfaisant lobjectif du contrle.

Cette formulation du problme de stabilisation de solution priodique est similaire au pro-

blme de poursuite de la thorique de contrle conventionnelle. Nanmoins, il existe une dis-

tinction fondamentale est que pour contrler les processus chaotiques, on a besoin datteindre


contrle

lobjectif avec un niveau de contrle minimale, la rsolution de ce problme nest pas vidente

cause de linstabilit des trajectoires chaotique x?(t) [17].

La stabilisation dun point dquilibre instable est un cas spcial. c..d. F(x?0, 0) = 0 pour

u(t) = 0, alors le systme (1.6) admet un point dquilibre x?0 qui doit tre stabilis toujours

en choisissant une loi de commande approprie. Ce problme est caractris par une exigence

supplmentaire sur le plus petit niveau de contrle [31].

3.2 Les problmes du contrle dexcitation ou de gnration doscilla-tions chaotiques

La deuxime classe inclut les problmes du contrle dexcitation ou de gnration doscil-

lations chaotiques. Ces problmes sont aussi appels la chaotisation ou anti contrle. Ils sur-

viennent o le mouvement chaotique est le comportement dsir du systme.

La forme de lobjectif de contrle pourrait tre reprsent comme (1.11), mais ici la trajectoire

objectif x?(t) nest plus priodique. De plus, il peut tre exig quau lieu du mouvement le long

de la trajectoire donn, le processus de contrle satisfait un certain critre de chaotisation.

Par exemple, tant donne une fonction objective scalaire G(x), et le but de contrle peut tre

formul comme :

limtG(x(t)) = G? Ou limtG(x(t)) G? (1.12)

Pour les problmes du chaotisation, le plus grand exposant de Lyapunov, qui est un critre

principal mesurant la dispersion des trajectoires initialement proches caractrisant linstabilit

locale , est habituellement pris comme une fonction dobjective . Lnergie totale mcanique ou

lectrique des oscillations est prise quelquefois

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commande backstepping