Olympiades de physique 2011/12

Comment déterminer la latitude de notre lycée ?

SARTON GaranceSECHAUD ÉmilePUFFAY Corentin

Lycée Jean Monnet - Annemasse

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Table des matièresRESUME :...................................................................................................3INTRODUCTION......................................................................................4I. Mouvements des astres dans le Ciel :....................................................4

1. La trajectoire du Soleil et des étoiles dans le ciel........................................................................42. Comment change l'aspect du ciel, lorsqu'on change d'endroit sur Terre ?...................................73. Comment repérer un astre dans le ciel ?......................................................................................8

II. Détermination de la latitude avec le Soleil :........................................91. Grâce à la hauteur à midi (utilisation du gnomon)....................................................................102. Heure du lever et du coucher.....................................................................................................123. Azimut du lever et du coucher...................................................................................................15

III. Détermination de la latitude avec des étoiles :................................171. Culmination des étoiles..............................................................................................................182. Observation de deux étoiles à la même hauteur........................................................................19

IV. Comment faisaient les savants de l'Antiquité ?...............................201. Bref historique...........................................................................................................................202. Vérification des calculs avec nos relations modernes................................................................213. Comment faire toutes les déterminations précédentes sans utiliser les relations trigonométriques ?.........................................................................................................................22

CONCLUSION ........................................................................................23Annexe A : Panorama depuis la pointe de Miribel .......................................................................25Annexe B : Trouver la valeur d'un angle sans rapporteur..............................................................26Annexe C : Trouver la latitude à partir de la durée du jour...........................................................27

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RESUME :Le but de notre travail a été de déterminer la latitude d'un lieu, notre lycée. Nous avons

utilisé plusieurs méthodes, certaines avec le Soleil, d'autres avec les étoiles. Pour le Soleil, avec un gnomon, nous avons déterminé la plus grande hauteur du Soleil au cours de la journée (lorsqu'il passe au sud), avec une montre, la durée du jour et avec un théodolite d'occasion, l'azimut du coucher. Cela nous a donné trois méthodes différentes pour déterminer la latitude d'un lieu. Nous connaissions déjà la première méthode avec la hauteur du Soleil, nous avons découvert les deux autres (avec la durée du jour et l'azimut du coucher), qui demandent une bonne représentation dans l'espace. Pour les étoiles, nous avons mesuré, toujours avec le théodolite, leur hauteur au moment où elles culminent et cela nous a donné de nouvelles méthodes. Malheureusement, une erreur systématique dans les mesures du théodolite a perturbé nos mesures.

Grâce à ce premier travail, nous avons pu comprendre comment les savants de l'Antiquité pouvaient déterminer la latitude d'un lieu avant l'invention de la trigonométrie et des degrés.

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INTRODUCTIONComment connaître la latitude d'un lieu ? Aujourd'hui, il suffit d'allumer son GPS et la

valeur s'affiche immédiatement sur l'écran. Mais avant l'arrivée du GPS, quelles étaient les techniques possibles ? Dans notre travail, nous aurons une double interrogation : –La première interrogation est « actuelle » : comment, avec les moyens dont nous disposons, déterminer la latitude de notre lycée ? Quelles mesures faire et avec quel matériel ? Nous verrons qu'il existe des méthodes utilisant la course du Soleil dans le Ciel et d'autres utilisant la course des étoiles. Pour le Soleil, avec un simple « bâton », nous pourrons déterminer la plus grande hauteur du Soleil au cours de la journée, avec une montre, la durée du jour et avec un théodolite d'occasion, l'azimut du coucher. Cela nous donnera trois techniques différentes pour déterminer la latitude d'un lieu. Pour les étoiles, nous mesurerons, toujours avec le théodolite, leur hauteur au moment où elles culminent et cela nous donnera de nouvelles méthodes. Le but ici est d'essayer d'évaluer la précision des différentes méthodes mais aussi de prendre un peu « d'expérience » avant d'aborder notre deuxième interrogation.–La deuxième interrogation est historique : on dit qu'une des toutes premières mesures de latitude est due à Pythéas de Marseille, qui vers 330 avant J.-C., aurait déterminé la latitude de Marseille ; on dit aussi que l'invention de la trigonométrie et l'utilisation des degrés sont dues à Hipparque, un des plus grand astronome de l'Antiquité, qui vécut au IIe siècle avant J.-C1. Comment avant Hipparque pouvait-on déterminer les latitudes ? Pouvait-on se passer de la trigonométrie et des degrés ? C'est ce que nous essayerons de comprendre.

I. Mouvements des astres dans le Ciel :

1. La trajectoire du Soleil et des étoiles dans le ciel

•Au cours d'une journée ou d'une nuit :

Au cours de la journée, le Soleil décrit une trajectoire circulaire dans le Ciel. Il se lève du côté de l'est, monte progressivement dans le Ciel pour culminer lorsqu'il est dans la direction du sud, puis redescend pour se coucher du côté de l'ouest. Au cours de la nuit, c'est au tour des étoiles d'effectuer des mouvements similaires : elles se lèvent du côté de l'est, culminent au sud et se couchent du côté de l'ouest. Il y a des particularités intéressantes. Une étoile, l'étoile Polaire, reste immobile dans le Ciel. Toutes les autres étoiles décrivent des arcs de cercle autours d'elle, plus ou moins grands en fonction de leur éloignement à la Polaire. Les astres, les plus proches de la Polaire, restent constamment au-dessus de l'horizon au cours de la nuit : ils ne se couchent jamais et sont constamment visibles ; on les appelle les étoiles circumpolaires.

Ce sont ces mouvements circulaires des étoiles autour de la Polaire qui peuvent donner l'illusion que le Ciel est comme une voûte sphérique tournant d'un mouvement circulaire. Aujourd'hui, on interprète ce mouvement des astres en disant que ce sont des trajectoires apparentes qui résultent de la rotation de la Terre sur elle-même en une journée. Si l'étoile Polaire reste immobile, c'est parce qu'elle est dans le prolongement de l'axe de rotation de la Terre.

•Au cours de l'année :

Au cours de l'année, ce ne sont pas toujours les mêmes étoiles qui sont visibles pendant la

1 Voir l'ouvrage de A. SZABO et E. MAULA, Les débuts de l'astronomie, de la géographie et de la trigonométrie chez les Grecs, Paris, Vrin, 1986.

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nuit. Et pendant la journée, la trajectoire du Soleil évolue de jour en jour. On peut voir trois variations : le Soleil monte plus ou moins haut dans le ciel ; il se lève et se couche à des endroits différents et le jour dure plus ou moins longtemps.

On dit souvent que le Soleil se lève à l'est et qu'il se couche à l'ouest, mais ce n'est pas exact. Il n'y a que deux jours dans l'année où cela ce produit vraiment : le jour des équinoxes de printemps et d'automne. En été, lorsque les jours sont plus longs et que le Soleil monte plus haut dans le Ciel, il se lève au nord-est et se couche au nord-ouest. En hiver, lorsque les jours sont plus courts et que le Soleil reste bas sur l'horizon, il se lève vers le sud-est et se couche vers le sud-ouest.

Figure 1 : Mouvement du soleil a différentes époques de l'année. Le méridien céleste d'un lieu passe par le zénith du lieu et le pôle céleste. Lorsque les astres passent au méridien du lieu, ils atteignent leur hauteur maximale au-dessus de l'horizon. La distance angulaire qui sépare la

trajectoire du Soleil aux solstices de la trajectoire aux équinoxes est appelée l'obliquité de l'écliptique ε et vaut 23°26'.

La trajectoire du Soleil dans le Ciel change donc chaque jour. Mais toutes ses trajectoires sont parallèles entre elles et perpendiculaires à l'axe de rotation de la Terre . Sur la figure 2, nous avons représenté le ciel comme une voûte sphérique entourant la Terre. L'observateur est au centre de la sphère céleste. Cette idée est fausse, mais elle est commode pour représenter ce que nous voyons depuis la Terre.

Figure 2 : La voûte céleste vue de « l'extérieur ». P est le pôle céleste (approximativement l'étoile polaire), intersection entre l'axe de rotation de la Terre et la voûte céleste. Z est le zénith du lieu,

c'est-à-dire le point à la verticale. Le méridien du lieu est le cercle qui passe par P et Z, il indique la direction du sud ou du nord. Le Soleil (mais cela est vrai de tous les astres du ciel) semble

décrire des grands arcs de cercle perpendiculaires à l'axe de rotation de la Terre.

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horizonsudest ouest

méridien du lieu

solstice d'été

équinoxes

solstice

d'hiver

23°26'

23°26'

solstice d'hiver

Z

P

horizon

Sud

mér

idien

Nord

Ouest

Est

équinoxes

solstice d'été

εε

Le jour des équinoxes, le Soleil décrit l'équateur céleste. Il se lève exactement à l'est et se couche exactement à l'ouest. Le jour et la nuit ont des durées égales de 12h sur toute la Terre. Le jour du solstice d'été, le Soleil atteint sa plus grande hauteur dans le ciel et le jour du solstice d'hiver, c'est le moment où il reste le plus bas.

Pourquoi le Soleil a-t-il une trajectoire qui varie de jour en jour ?

La Terre tourne autour du Soleil en une année et son plan de révolution définit le plan de l'écliptique. L'élément déterminant est que l'axe de rotation de la Terre sur elle-même, qui reste toujours parallèle à lui-même, n'est pas perpendiculaire au plan de l'écliptique mais est incliné par rapport à cette perpendiculaire d'un angle de ε = 23°26'. Au cours de sa révolution autour du Soleil, la Terre ne présente donc pas toujours la même configuration au Soleil : on dit que l'exposition solaire de la Terre change et c'est ce qui explique les saisons.

Figure 3 : Trajectoire de la Terre autour du Soleil. Au solstice d'été, le pôle nord est éclairé alors que le pôle sud reste constamment dans l'ombre. C'est le contraire en hiver.

Figure 4 : Les figures sont réalisées pour un point de 46° de latitude nord (Annemasse). Le jour du solstice d'été, le Soleil est « au dessus » de l'équateur. A midi, il atteint sa plus grande hauteur dans

le Ciel. Le jour du solstice d'hiver, le Soleil est « en dessous » de l'équateur.

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Solstice d'été Solstice d'hiver

Equinoxe d'automne

Soleil

Sens de révolution

Equinoxe de printemps

Axe de rotation

Rayons solaires

équateur

ε67°

verticale

horizon

Solstice d'été

Rayons solaireséquateur

ε

20°

horizon

verticale

Solstice d'hiver

2. Comment change l'aspect du ciel, lorsqu'on change d'endroit sur Terre ?

a) Comment repérer un point à la surface de la Terre ?

Pour repérer un point à la surface de la Terre, deux coordonnées sont nécessaires :

- la latitude φ : . La latitude astronomique est l'angle que fait la verticale du lieu avec le plan équatorial.

- la longitude λ : La longitude λ est l'écartement en degrés entre le point que nous recherchons et le méridien de Greenwich.

b) Où retrouve-t-on la latitude d'un lieu sur la voûte céleste ?

Sur la figure 5, on voit que la latitude d'un lieu, qui est l'angle entre la verticale et l'équateur, est aussi égale à la hauteur du pôle sur l'horizon. En effet, la verticale (le zénith) est perpendiculaire à l'horizon ; de même, la direction de l'étoile polaire est perpendiculaire à l'équateur. Or, deux droites perpendiculaires à deux autres droites, se coupent avec le même angle. Donc l'angle entre l'équateur et le zénith et l'angle entre l'horizon et la direction de l'étoile polaire sont les mêmes.

Figure 5: Où retrouve-t-on la latitude d'un lieu sur la voûte céleste ?

c) La trajectoire du Soleil pour les différents lieux de la Terre

Pour prévoir la trajectoire du Soleil en différents lieux, on procède ainsi :–On place le pôle sur la voûte céleste (la hauteur du pôle est égal à la latitude du lieu).

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zénith

φ

Terre

équateur

pôle nord

horizon

étoile polaire

φ

étoile polaire

Z

P

horizonφ

équateur

φ

Voûte céleste

mér

idien

Pôle Nord

Terre

φ

M

λ

méridien de Greenwich

méridien du lieu

équateur

–On trace les trajectoires du Soleil perpendiculairement à l'axe des pôles : la trajectoire qui passe par l'est et l'ouest correspond à la trajectoire lors des équinoxes.

•A l'équateur :

La latitude est nulle, donc l'étoile polaire est située dans l'horizon. Les trajectoires du Soleil sont toujours perpendiculaires à l'horizon. La durée du jour et de la nuit est toujours la même et égale à 12h. Le Soleil passe au zénith au moment des équinoxes.

•Sur le tropique du cancer :

La latitude est de 23°26', ce qui est aussi la hauteur du pôle. Le jour du solstice d'été, le soleil passe au Zénith .

•Sur le cercle arctique :

La latitude est de 66°34'. Au moment du solstice d'été, le soleil touche l'horizon et remonte aussitôt dans le ciel. Il y a du Soleil pendant 24h. Au moment du solstice d'hiver, le Soleil apparaît un bref moment au sud avant de redisparaître.

•Au pôle nord :

La latitude est de 90° donc l'étoile polaire est au zénith. Aux équinoxes, on peut assister à un lever de jour permanent. La trajectoire du soleil est toujours parallèle à l'horizon. En hiver, le Soleil disparaît pendant six mois.

3. Comment repérer un astre dans le ciel ?

Il existe plusieurs systèmes de coordonnées pour repérer une étoile dans le Ciel. Nous ne présentons que ceux qui nous serons utiles par la suite.

a) Les coordonnées horizontales ou locales :

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équinoxes

P Z

horizon

SudSud

Sud

Sud

solstice d'hiverZ

Phorizon

Sud

mér

idien

Ouest

Est

équinoxessolstice d'été

solstice d'hiver

Z

P

horizon

Sud23

°26'

Nord

Ouest

Est

équinoxes

solstice d'été

équinoxes

ZP

horizon

Sud

66°3

4'

Nord

Ouest

Est

solstice d'été

L'astre est repéré par sa hauteur h au-dessus de l'horizon (angle entre la direction de l'astre et le plan horizontal) et par son azimut A (angle entre la direction du méridien – le sud – et la direction de l'astre dans le plan horizontal).–La hauteur h est comprise entre 0° (l'astre est dans l'horizon) et 90° (l'astre est au zénith du lieu).–L'azimut A est repéré par rapport au sud. Il est compris entre -180° et 180°.

Les coordonnées horizontales d'un astre sont différents en deux points de la Terre. Puisqu'un astre bouge dans le Ciel, ses coordonnées horizontales ne cessent de varier au cours de la journée.

b) Les coordonnées horaires :

L'astre est repéré par sa déclinaison δ au-dessus de l'équateur céleste (angle entre la direction de l'astre et le plan équatorial) et par son angle horaire H, qui est la durée qui sépare son passage au méridien de sa position actuelle.–La déclinaison δ varie de -90° à 90° (le pôle céleste). La déclinaison d'un astre ne dépend pas du lieu d'observation. Elle est fixe pour une étoiles mais elle varie pour le Soleil de -23° 26' (solstice d'hiver) à +23° 26' (solstice d'été).–L'angle horaire H varie de 0h à 24h. H peut être converti en degrés par une simple règle de trois.

c) Si on représente les coordonnées horizontales et horaires sur une même figure, voilà ce qu'on obtient :

Il existe des relations entre les coordonnées horizontales et les coordonnées horaires, valables quelque soit la position de l'astre. Il faut pour cela utiliser les propriétés de la trigonométrie sphérique (trigonométrie sur une sphère), ce que nous n'avons pas fait. Par la suite, nous avons juste essayer de mettre en évidence les relations entre les deux types de coordonnées lorsque l'on se place dans certains plans : soit le plan du méridien, soit le plan horizontal.

II. Détermination de la latitude avec le Soleil :

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ZP

SudNord

mér

idien

horizonh

A

Est

Ouest

Ah

ZP

SudNord

mér

idien

horizon

Équateur céleste

δ

H

δ H

P'

ZP

Équateur céleste

SudNord

φ

horizon

h

δ

AH

Est

Ouest

mér

idien

On a vu que les trajectoires quotidiennes du Soleil sont toujours parallèles les unes aux autres mais elles se décalent progressivement. Le Soleil change constamment de déclinaison au dessus de l'équateur. On connaît facilement sa déclinaison pour 4 jours : –au solstice d'été : δSoleil=+ε=23° 26' .–au solstice d'hiver : δSoleil=−ε=−23 ° 26 '–aux équinoxes : δSoleil=0 °

On essayera donc de privilégier les observations lors de ces quatre journées. Si on effectue des mesures à un autre moment de l'année, il faudra trouver la déclinaison du Soleil sur le site de l'IMCCE (Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Éphémérides : http://www.imcce.fr/).

1. Grâce à la hauteur à midi (utilisation du gnomon)

Le gnomon est sans doute le plus vieil instrument astronomique. Il s'agit d'une tige verticale plantée dans le sol, dont on étudie l'ombre au cours de la journée et au cours de l'année. Le gnomon peut servir comme un cadran solaire : la direction de l'ombre de la tige peut donner l'heure. Mais il peut aussi servir pour déterminer la hauteur du Soleil : ce sera notre utilisation.

a) Principe

•Pour n'importe quel jour de l'année :

Le Soleil est repéré par sa déclinaison δ.

On a : h−δ+φ=90

donc φ=90+δ−h .

Si on connaît δ et si on mesure h avec l'ombre d'un gnomon, on peut trouver φ.

•Au moment des solstices ou des équinoxes

Si on se place au moment particuliers des solstices et des équinoxes, on a : –Au solstice d'été : φ=90+ε−hété

–Aux équinoxes : φ=90−héquinoxes

–Au solstice d'hiver : φ=90−ε−hhiver

Pour déterminer la latitude d'un lieu on peut donc envisager plusieurs cas de figure en fonction de ce que l'on connaît ou de ce qu'on ne connaît pas : –Si on ne connaît pas ε : deux méthodes : ◦On mesure l'ombre aux équinoxes et on calcule directement φ. Cependant, on ne peut pas connaître la date des équinoxes par nous mêmes.◦On mesure l'ombre aux solstices d'été et d'hiver :

φ=90+ε−hété

φ=90−ε−hhiver donc 2φ=180−(hété+hhiver) donc φ=90−

hété+hhiver

2

–Si on connaît ε : Les solstices ou les équinoxes conviennent pareillement.

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Z

P

horizon

équateur

δh

90°

mér

idien

φ

φ

Nous pouvons remarquer que les mesures en été et en hiver permettent également de déterminer ε :

φ=90+ε−hété

φ=90−ε−hhiver donc 0=0+2ε−hété+hhiver donc ε=

hété−hhiver

2

b) Notre dispositif

Mise en place du gnomon : –Pour avoir une plateforme parfaitement horizontale, nous avons placé des cales sous une grande planche et nous avons vérifié l'horizontalité de celle-ci grâce à un niveau à bulles.–Pour être sûr d'être perpendiculaire à la planche, nous n'avons pas utilisé un bâton vertical mais une planchette percée d'un trou et fixée à un trépied. Nous avions cherché le point à la verticale du trou grâce à un fil à plomb, ce qui nous permet également de mesurer la hauteur entre la planche et le trou de la planchette, c'est-à-dire la hauteur du « gnomon ». Le vent qui faisait vaciller le fil à plomb rendait les opérations délicates

Quelles dimensions choisir ?A quelle hauteur faut-il fixer la planchette ? Quelle doit être la taille du trou ? Nous avons

fait plusieurs essais pour voir ce qui donnait les meilleurs résultats. Plus les dimensions sont petites, plus les ombres sont nettes mais plus une erreur sur une mesure (hauteur du gnomon ou longueur de l'ombre) aura une grande importance. Mais plus les dimensions sont grandes, plus les ombres deviennent floues et plus il est difficile de faire des relevés précis. Il est donc nécessaire d'accepter un compromis. Nous avons fixé la planchette à 73 cm de hauteur et le trou avait 3 mm de diamètre.

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Positionnement du point à la verticale du trou et relevé du point lumineux au centre de l'ombre de la planchette.

Pourquoi un trou dans une planchette et pas l'ombre d'un angle de la planchette ?Contrairement à ce que nous pensions, il

n'est pas plus facile de faire des relevés de la position du point lumineux au centre de l'ombre de la planchette que des relevés d'un angle de la planchette. L'un et l'autre sont tout aussi flou ! En revanche, le point lumineux au centre de l'ombre de la planchette permet de connaître directement la hauteur du centre du Soleil alors que l'ombre d'un bâton donne la hauteur du bord supérieur du Soleil.

Les caprices de la météo :En Haute Savoie, il est nécessaire de composer avec la météo. Le mois de juin 2011 n'était

pas particulièrement clément et nous avons dû abandonner plusieurs relevés en raison de l'arrivée de nuages.

c) Nos calculs

Nos mesures ont été réalisées le 14 juin dans la cour du lycée. On cherche sur le site de l'IMCCE, la déclinaison du Soleil pour ce jour. On trouve : δ=23 °14 ' 59,8 ' '=23,25° .

L'ombre la plus courte est de 305 mm.

La hauteur du Soleil est donnée par : tan (h)=726305 soit h=67,21°

La formule =90−h donne : φ=90+23,25−67,21=46,04 °=46 ° 2 ' 24 ' '

d) Origine de nos erreurs

Sur le site géoportail (http://www.geoportail.fr/), on trouve la véritable latitude du lycée : φ=46 ° 10 ' 54 ' ' . Notre détermination est donc trop basse de 8 ' 30 ' '=0,14 ° (la hauteur du

Soleil déterminée est trop grande). Cette détermination est déjà satisfaisante mais d'où peuvent provenir nos erreurs ?

–Dans l'atmosphère, les rayons lumineux ne se propagent pas en ligne droite mais selon une ligne courbe : c'est le phénomène de la réfraction atmosphérique, qui relève tous les objets et ceci d'autant plus qu'ils sont proches de l'horizon. La hauteur du Soleil est donc légèrement surestimée. Il existe des tables ou des formules permettant de calculer l'angle de la réfraction. Pour une hauteur du Soleil égal à 67°, l'angle de réfraction est d'environ 30''. Notre détermination de la latitude est donc encore trop basse de 8' .

–Il est claire que notre manière de procéder est à l'origine de nombreuses erreurs : mesure de la longueur du « gnomon », mesure de l'ombre, détermination précise du passage du Soleil au méridien, etc. En raison de ces difficultés, il est impossible d'avoir un résultat plus précis.

2. Heure du lever et du coucher

Pour déterminer la latitude d'un lieu, on peut aussi se servir de l'heure du coucher et du lever

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Gnomon : L = 726 mm

Soleil

hOmbre : l =305 mm

Ombre

Gnomon

Soleil

hPénombre

du Soleil. En effet, le jour le plus long (au moment du solstice d'été) change en fonction de la position à la surface de la Terre. Il doit donc être possible de trouver une relation entre la durée du jour et la latitude du lieu.

a) La méthode

Figure 1: Représentations de la trajectoire du Soleil pour déterminer le lien entre la durée du plus long jour et la latitude φ.On prend l'unité pour le rayon de la voûte céleste.

•La relation entre x et H : Dans la figure d, on voit que plus le jour est long, plus la valeur de x est

grande. On a la relation : cos (180−H )= xcosε

Comme cos (180−H )=cos H , on a finalement : x=−cos H cosε

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équateur

a) Trajectoires du Soleil sur la voûte céleste au solstice d'été, aux équinoxes et au solstice d'hiver.

b) Projection sur le méridien des trajectoire du Soleil au solstice d'été, aux équinoxes et au solstice d'hiver.

mér

idien

P

Zsolstice d'été

équateur

solstice d'hiver

horizonx

φ

εsin ε

cos ε

φ

solstice d'hiver

Z

P

horizon

Sud

mér

idien

Nord

solstice d'été

εε

c) Détail de la trajectoire lors du solstice d'été. L'angle H correspond à la moitié du jour.

d) Tropique d'été vu depuis le pôle céleste P.

tropique d'été

Z

P

horizon

Sud

mér

idien

Nord

Hlever

coucher

x

H

Px

cos ε

lever

coucher

π - H

solsqtice d'été

horizon

•La relation entre x et la latitude φ : Dans la figure b, on voit que plus x est grand, plus la

latitude augmente. On a la relation : tan (φ)= xcosε , donc x=tanφ sin ε .

•La relation entre la latitude φ et H : x=tanφ sin ε=−cos H cosε

soit, cos H =−tan φsin ε

cosε donc cos H =−tanφ tan ε

Cette formule permet de calculer la latitude si on connaît H.

b) Nos observations

Nos observations ont été réalisées le 27 juin au sommet de la Pointe de Miribel (latitude : 46,212° ; longitude : 6,474°). Pour ce jour, la déclinaison du Soleil est de 23,30° environ (c'est une valeur moyenne car la déclinaison varie continuellement).

Coucher du Soleil (soir du 27 juin) : 21h30Lever Soleil (matin du 28 juin) : 5h55Durée du jour : 15h35

L'angle horaire H du coucher du Soleil correspond à la moitié de la durée du jour, soit H = 7h47min30s = 7,792h

Dans les formules trigonométriques, il faut que H soit exprimé en degré. Pour faire la conversion, on utilise un produit en croix. On sait que le Soleil fait un tour complet (360°) en 24h,

on a donc : H =7,792×36024

=116,88 ° .

On peut alors calculer la latitude correspondante : tan φ=−cos Htanε

=−cos116,88tan 23,3 soit

φ=46,40 ° . On est a 0,18° de la valeur véritable. Mais est-ce que notre valeur est fiable ?

La durée du jour est délicate à déterminer précisément :– La réfraction relève les objets : lorsque nous voyons encore le Soleil, il est en réalité déjà

couché ou pas encore levé.– Et surtout, dans une région montagneuse, l'horizon n'est pas plan ! Les endroits où s'est levé et

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Lever du Soleil le 28 juin depuis la pointe de Miribel

couché le Soleil étaient à peu près à la même altitude que nous mais uniquement à peu près.– Il est difficile d'avoir l'heure exacte où le centre du Soleil se couche ou se lève. Pour déterminer

par exemple l'instant du coucher avec plus de précision, on repère le moment où le bord inférieur du Soleil touche l'horizon, puis le moment où le bord supérieur disparaît sous l'horizon et on prend la moyenne des deux.

Si nous considérons que nous nous sommes trompés dans la mesure de la durée du jour de 5 minutes par exemple (soit une erreur de 2,5 min pour la valeur de H), quelle en est la conséquence pour le calcul de la latitude ?

H=7h47min30s−2min30s=7h45min=7,75h=7,75×36024

=116,25°

La latitude est alors : =45,76 ° . La variation de 2,5 min dans la valeur de H induit donc une variation assez grande dans le calcul de la latitude. Notre détermination à 0,2° près est donc certainement le résultat de plusieurs coïncidences qui se compensent (réfraction, endroit du lever caché par une montagne).

3. Azimut du lever et du coucher

En notant l'azimut du lever et du coucher du Soleil, on peut déterminer la latitude d'un lieu suivant la période de l'année. Cependant, cette méthode nécessite du matériel spécialisé pour faire des mesures d'angle précises. Nous avons utilisé un théodolite, acheté d'occasion.

a) La méthode

Comme pour les calculs avec les heures de lever et de coucher du Soleil, la méthode consiste à mettre en relation la latitude avec une longueur y qui est aussi reliée avec l'azimut du coucher du Soleil.

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a) Trajectoire lors du solstice d'été. L'angle A correspond à l'angle entre le sud et le coucher du Soleil.

b) Projection sur le méridien des trajectoires du Soleil au solstice d'été, aux équinoxes et au solstice d'hiver.

solstice d'été

Z

P

horizon

Sud

mér

idien

NordA

lever

coucher

y

P

Zsolstice d'été

équateur

solstice d'hiver

horizony

φ

εsin ε

cos ε

SudNord

Figure 2: Représentations de la trajectoire du Soleil pour déterminer le lien entre la durée du plus long jour et la latitude φ.

•Relation entre y et l'azimut : La figure c nous permet de voir que : cos (180−A)= y (le rayon de la voûte céleste est égal à l'unité). Donc y=−cos A

• Relation entre y et la latitude : Grâce à la figure b, on peut voir que cos φ=sin εy

•Relation entre l'azimut et la latitude : cos φ=−sin εcos A

Cette formule permet de la latitude si l'on connaît l'azimut du lever ou du coucher du Soleil.

b) Nos observations

Nos observations ont été réalisées le même jour que pour les horaires de coucher et de lever (Voir l'annexe A pour le panorama au moment du lever et du coucher). Nous ne connaissons pas précisément la direction du sud, nous ne pouvons donc pas mesurer directement l'azimut du coucher du Soleil. Nous réglons le « zéro » du théodolite sur un repère arbitraire (une croix située au sommet d'une montagne dans la direction approximative du sud).

Angle entre la croix et le coucher du Soleil (soir du 27 juin) : 133,18 grad.

Angle entre la croix et le lever du Soleil (matin du 28 juin) : - 144,32 grad.

Angle entre le lever et le coucher :

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c) Horizon vu depuis le zénith Z le jour du solstice d'été.

A

Zy

lever

coucher

180 - A

horizon

277,5 grad =277,5×180200

=249,75°

L'azimut du coucher est donc égal à la moitié de l'angle précédent : A=124,875°

La latitude est donc : cos φ=−sinδcos A

= −sin 23,3cos124,875 soit φ=46,22 ° .

Le résultat est très bon puisque nous sommes à 0,017 °=1,1 ' de la valeur véritable. Mais ce que nous avons dit précédemment pour la méthode avec la durée du jour reste valable. La réfraction relève le Soleil à son coucher et décale l'endroit où il se couche. Les montagnes ou la différence d'altitude entre le lieu d'observation et l'endroit où le Soleil se couche affecte également les mesures.

Si nous faisons une erreur de 0,25° (un demi diamètre apparent) sur la valeur de l'azimut du coucher, quelle est la conséquence sur le calcul de la latitude ? Avec

A=124,875 °−0,25 °=124,62 ° , nous obtenons φ=45,87° . Ici encore, une petite erreur sur l'azimut occasionne une erreur assez importante sur la latitude.

III. Détermination de la latitude avec des étoiles :

Nous avons également voulu déterminer la latitude d'un lieu grâce à l'observation des étoiles. Il existe de très nombreuses méthodes ! Certaines ont l'air très complexes. On pensait pouvoir utiliser la hauteur de l'étoile Polaire mais nous avons vu que cette étoile n'est pas exactement confondue avec le Pôle céleste : elle est à 0,68° du pôle. Il y a donc des corrections à faire et celles-ci sont compliquées. Nous avons uniquement appliquer les méthodes utilisant la hauteur des étoiles lorsqu'elles culminent (passage dans le méridien).

Le gros avantage avec l'utilisation des étoiles est qu'en une seule nuit, on peut faire plusieurs mesures et ainsi la détermination de la latitude repose sur une moyenne. Ce qui laisse espérer une plus grande précision car les erreurs peuvent se compenser.

Il y a une limite qui provient de notre appareil : toujours le théodolite. Celui-ci est conçu pour faire des mesures de jour avec des hauteurs assez basses. Nous n'avons pas pu observer les étoiles proches du zénith (c'est pourtant là que la réfraction atmosphérique est la moins grande) et pour pouvoir faire la visée (voir le réticule) il fallait éclairer l'intérieur de la lunette avec une petite lampe de poche (on voyait encore très bien l'étoile).

Il y a également une difficulté : viser la bonne étoile dans le ciel et la suivre avec le théodolite. Pour nous préparer à cette nuit d'observation (toujours à la pointe de Miribel, le 27 juin – latitude : 46,212°), nous avons utilisé le logiciel Stellarium. Nous avions ainsi listé d'avance

17

toutes les étoiles que nous voulions observer et l'horaire approximatif de leur passage au méridien.

1. Culmination des étoiles

a) La méthode

•Culminations supérieure et inférieure

Les étoiles peuvent passer au méridien entre l'horizon et le pôle (côté nord), on parle alors de culmination inférieure. Elles peuvent aussi passer au méridien côté sud, on parle alors de culmination supérieure. Pour la culmination supérieure d'une étoiles, la situation est exactement similaire à celle que nous avons déjà vue pour le Soleil. Elle se modifie en revanche pour une culmination inférieure.

Figure 1: a) Culmination supérieure d'une étoile ; b) Culmination inférieure d'une étoile

Pour la figure a, la méthode pour déterminer la latitude grâce à la culmination d'une étoile est la même que pour le Soleil : on remarque que :

φ=90−h+δ

Quand une étoile est située du côté du Pôle, elle est représentée par la figure 17b et donc on remarque que :

φ=90+h−δ

Avantages et inconvénients de la méthode : par rapport aux relevés solaires, cette méthode présente certains avantages et inconvénients :–L'instrument utilisé (théodolite) est a priori plus précis que le gnomon.–On peut faire plusieurs observations puis une moyenne.–Le moment dans l'année n'est pas déterminant car la déclinaison ne change pas pour les étoiles.–Cependant, la réfraction atmosphérique a toujours tendance à perturber les mesures en relevant les hauteurs.–Le ciel doit être bien clair et aucune source lumineuse ne doit venir perturber l'observation (lumière d'une ville mais aussi la Lune)

b) Nos observations

18

Z

P

horizon

équateur

δh

90°

mér

idien

φ

φ

Z

P

horizon

équateur

δh

90°

méridien

φ90 - δ

a) b)

Le résultat est décevant. Nous voulions obtenir une détermination de la latitude plus précise et nous obtenons des valeurs plus éloignées que celles trouvées avec le Soleil. Pour les étoiles qui culminent au sud la latitude est sous-estimée et pour celles qui culminent au nord, elle est surestimée. Mais pour chaque groupe d'étoiles, les valeurs restent proches les unes des autres, et celles qui sont sous-estimées le sont d'autant que celles qui sont surestimées. Cela nous suggère une erreur systématique dans nos mesures de la hauteur des étoiles qui serait toujours trop forte de 1° environ.

Nous avons peut-être fait une erreur dans la mise en place du théodolite (dans l'horizontalité de celui-ci). Il suffirait alors de refaire des observations pour obtenir des données plus adéquates. Mais malheureusement, en refaisant de nouvelles mesures, nous continuons d'obtenir une erreur de 1° environ. L'erreur systématique ne vient donc pas certainement de notre part mais d'une erreur d'étalonnage du théodolite, ou plutôt d'un dérèglement de celui-ci ! La méthode suivante va permette d'en tenir compte.

2. Observation de deux étoiles à la même hauteur

La réfraction atmosphérique perturbent toujours les mesures de hauteur. Même si des formules existent pour corriger les mesures de la réfraction, il reste toujours une part d'incertitude. Les formules sont en effet valables pour des conditions de l'atmosphère standards et en fonction des conditions météorologiques, la réfraction peut changer. Des méthodes de détermination de la latitude ont donc été inventées qui permettent de faire disparaître l'influence de la réfraction. Nous en présentons une, qui permettra également de corriger l'erreur systématique du théodolite.

a) La méthode

On considère deux étoiles à peu près à la même hauteur, l'une est du côté du pôle, l'autre du côté du sud. Comme elles sont à peu près à la même hauteur, la réfraction agit pareillement sur la hauteur de l'une et sur la hauteur de l'autre.

On a donc pour l'étoile E1 (culmination supérieure) et pour l'étoile E2 (culmination

inférieure) : h1+φ−δ1=90

−h2+φ+δ2=90

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Z

P

horizon

équateur

h2

méridien

φh1

E1E2

Déclinaison (°) Horaire Azimut (gr) Latitude (°)-26,4564 23h 41m 200 79,60 45,18

ξ (Serpentaire) -10,5894 23h 49m 200 61,98 45,19-15,7383 0h 22m 200 67,75 45,244,5633 0h 55m 20s 200 45,25 45,2971,3661 23h 5m 0 68,05 47,39

HIP (Girafe) 79,2417 0h 35m 48s 0 59,30 47,39

Etoiles dist. zénit. (gr)Antares (Scorpion)

Sabik (Serp.)Celbalrai (Serp.)γ (Girafe)

En additionnant, les deux équations :

h1−h2+2φ+δ2−δ1=180 soit =90 1− 22

h2−h12

•Avantages de la méthodeLa réfraction atmosphérique ne fausse plus les résultats : soit x, l'effet de la réfraction

atmosphérique, h1 et h2 les hauteurs mesurées et h ' 1 et h ' 2 les vraies hauteurs (s'il n'y avait pas de réfraction). On a : h1=h ' 1+x et h2=h ' 2+xEn faisant la différence des hauteurs : h2−h1=h ' 2−h ' 1+x− x=h ' 2−h ' 1

La différence des hauteurs perturbées par la réfraction est égale à la différence des vraies hauteurs ! Si x représente notre erreur systématique, celle-ci disparaît également en faisant la différence.

•Inconvénient de la méthode :Il faut trouver deux étoiles qui ont la même hauteur au cours de la nuit, l'une au nord et

l'autre au sud. La nuit de notre observation, les étoiles qui avaient une culmination inférieure étaient peu lumineuses, et nous avons eu du mal à nous assurer que nous visions la bonne étoile et pas une de ses voisines !

b) Nos observations

Il s'agit des mêmes étoiles que tout à l'heure.

Les résultats obtenus avec les deux couples d'étoiles sont similaires mais avec une erreur de 0,1° environ avec la valeur réelle. Cette fois cette erreur ne peut pas provenir de la réfraction atmosphérique, ni d'une erreur systématique de l'instrument. Nos observations n'ont sans doute pas été suffisamment précises.

IV. Comment faisaient les savants de l'Antiquité ?Après avoir nous-même déterminé une latitude, nous voulions comprendre comment les

savants Grecs de l'Antiquité procédaient pour mesurer la latitude des lieux. Deux méthodes étaient privilégiées : l'observation de la hauteur du Soleil à midi grâce à l'ombre d'un gnomon et l'observation de la durée du jour le plus long (lors du solstice d'été).

1. Bref historique2

Vers 500 av. J.-C. : le ciel est reconnu sphérique par Pythagore ou Parménide.Vers 450 av. J.-C. : Oenopide détermine l'obliquité de l'écliptique à 1/15 de la circonférence d'un

cercle.Vers 350 av. J.-C. : La Terre est reconnue sphérique. Eudoxe définit la notion de climat (équivalent

2 D'après Germaine AUJAC, Eratosthène de Cyrène, le pionnier de la géographie, Paris, CTHS, 2001.

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Déclinaison (°) Horaire Azimut (gr) Latitude (°)71,3661 23h 5m 0,00 68,05

46,31-15,7383 0h 22m 200 67,75HIP (Girafe) 79,2417 0h 35m 48s 0,00 59,30

46,29ξ (Serpentaire) -10,5894 23h 49m 200 61,98

Etoiles dist. zénit. (gr)γ (Girafe)Sabik (Serp.)

à notre latitude) ; Aristote donne des preuves de la sphéricité de la Terre.Vers 330 av. J.-C. : Autolycos décrit la trajectoire du Soleil pour différents lieux sur Terre (ce que

nous avons fait dans le I !) et Pythéas aurait déterminé la latitude de Marseille. Il a également entrepris un voyage vers le nord, jusqu'aux îles britanniques pour vérifier par l'expérience ce qu'Autolycos trouvait par la théorie.

Vers 225 av. J.-C. : Eratosthène mesure la circonférence de la Terre et dresse une carte du monde habité en traçant des parallèles et des méridiens passant par les villes remarquables.

Vers 130 av. J.-C. : Hipparque invente la trigonométrie et reprend les degrés des Babyloniens. Il est capable de déterminer la latitude d'un lieu avec la durée du jour grâce à une formule analogue à la nôtre (il n'utilise pas les sinus, cosinus, tangente mais les cordes).

Voilà ce qu'écrit Hipparque : « Aratos me paraît se tromper au sujet de la latitude géographique, lorsqu'il pense que celle de la Grèce fait que le jour le plus long est au jour le plus court dans le rapport de 5 à 3. En effet, à propos du tropique d'été, il dit : Si l'on divise son périmètre en huit parties, cinq tournent dans le ciel, au-dessus de la terre, trois dans l'hémisphère inférieur. On est d'accord pour dire qu'en Grèce la longueur du gnomon est à celle de l'ombre équinoxiale comme 4 est à 3. Par conséquent, le jour le plus long a une durée de 14 heures 3/5 à peu près, et la hauteur du pôle est à peu près de 37°. Mais là où le jour le plus long est au jour le plus court comme 5 est à 3, le jour le plus long est de 15 heures, et la hauteur du pôle est à peu près de 41°. Il est donc impossible qu'en Grèce il y ait le rapport susdit entre le jour le plus long et le jour le plus court, rapport qu'on trouve en revanche dans la région de l'Hellespont3. »

2. Vérification des calculs avec nos relations modernes

Grâce à nos relations, trouvées dans le II, nous voulons d'abord vérifier les affirmations d'Hipparque.

•« On est d'accord pour dire qu'en Grèce la longueur du gnomon est à celle de l'ombre équinoxiale comme 4 est à 3. Par conséquent, le jour le plus long a une durée de 14 heures 3/5 à peu près, et la hauteur du pôle est à peu près de 37°. »

A l'équinoxe, la latitude est donnée par : φ=90−héquinoxes

Ici héquinoxes=tan−1(4/3)=53,1 ° donc φ=36,9°

Pour un lieu de latitude φ=37° , l'angle horaire H du coucher est au solstice d'été ( : δ=ε ) : cos H=−tanφ tan ε=−0,3266donc H=109,06 °=7,27 h

La durée du jour le plus long est : 14,54 h. Les résultats sont tout à fait cohérents avec les affirmations d'Hipparque.

•« Là où le jour le plus long est au jour le plus court comme 5 est à 3, le jour le plus long est de 15 heures, et la hauteur du pôle est à peu près de 41°. »

3 cité in A. SZABO et E. MAULA, Les débuts de l'astronomie..., op. cit., p. 14-15.

21

Gnomon : 4

Soleil

hOmbre : 3

Sur la figure, on voit que le jour le plus court (solstice d'hiver) est égal à la nuit la plus courte (solstice d'été).

Si la journée du solstice d'été est découpée en 8 parties, 5 parties représente le jour et 3 la nuit.

Le jour est donc égal à 5/8e de la journée, soit 15 h (5/8e de 24h). L'angle horaire du coucher est égal à la moitié, soit 7,5 h = 112,5°.

Avec H = 112,5°, on a :

tan φ=−cos Htan ε

=0,883 donc φ=41,4 ° . Le

résultat d'Hipparque est encore une fois juste.

3. Comment faire toutes les déterminations précédentes sans utiliser les relations trigonométriques ?

Avant Hipparque, les savants Grecs ne disposaient ni de la trigonométrie, ni des degrés. Les angles étaient exprimés par des proportions au cercle. Par exemple, l'obliquité de l'écliptique valait le quinzième de la circonférence : 360/15=24 ° . La détermination des latitudes ne pouvait donc reposer que sur des constructions graphiques. Essayons de reprendre toutes les déterminations précédentes mais en utilisant uniquement une règle et un compas (on n'a donc pas le droit au rapporteur).

a) La longueur du gnomon est à celle de l'ombre équinoxiale comme 4 est à 3 :

On trace à l'échelle le gnomon et son ombre pour respecter les proportions (Voir annexe B pour la construction). L'avantage de se placer aux équinoxe est que l'angle correspond à la latitude φ apparaît immédiatement sur le schéma : c'est le troisième angle du triangle formé par le gnomon, l'ombre et le rayon du Soleil. On trace un cercle ayant pour centre l'extrémité du gnomon et on cherche par approximation successive quelle est la proportion de l'arc avec la circonférence complète.

En reportant l'arc trouvé, on voit que au bout de 10 reports, on dépasse légèrement le point de départ. La latitude φ est donc légèrement plus grande que le dixième de la circonférence (36°).

Pour avoir une détermination plus précise, nous avons eu l'idée de continuer le report jusqu'au moment où nous tomberions sur un demi-cercle ou un cercle entier. Après 44 reports, nous

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φ

solstice d'hiver

Z

P

horizon

Sud

mér

idien

Nord

solstice d'été

εε

Gnomon : 4

hOmbre : 3

φ

avons fait assez précisément 4,5 tours. La latitude φ est donc le 9/88e de la circonférence (soit 36,82° alors que tan−1(3/4)=36,87 ° ). Il est donc possible, grâce à un compas, d'obtenir la valeur d'un angle comme la proportion de la circonférence d'une manière assez précise.

b) Le jour le plus long est au jour le plus court comme 5 est à 3 :

Il faut reprendre les figures 15 du II) 2 et procéder par étape (voir annexe C) :

–1ère étape : On trace le plan méridien, on repère le zénith Z et l'horizon. Sur un papier calque, on trace pour une latitude quelconque l'axe des pôles, l'équateur, et les trajectoires du Soleil lors du solstice d'été et lors du solstice d'hiver. On mesure le diamètre du cercle décrit par le Soleil lors du solstice d'été.

–2e étape : Avec le diamètre trouvé, on trace le cercle décrit par le Soleil lors du solstice d'été. On partage ce cercle en huit parties (en tâtonnant avec le compas) : 5 parties représentent le jour et 3 la nuit. On peut donc mesurer la valeur de la distance x. Plus le jour dure longtemps, plus la valeur de x augmente.

–3e étape : On reporte la valeur de x sur le papier calque et on fait tourner le papier calque jusqu'au moment où la valeur de x correspond. Plus le jour dure longtemps, plus les trajectoires du Soleil sont faiblement inclinées sur l'horizon. La latitude φ du lieu est donné par la hauteur du pôle.

–4e étape : Pour déterminer la valeur de φ, il faut alors procéder comme avant pour le gnomon et trouver la proportion par rapport à la circonférence. Nous avons juste vérifier avec un rapporteur que nous trouvions bien 41°.

Il est donc possible, sans trigonométrie, simplement en utilisant des constructions graphiques, de trouver la latitude d'un lieu lorsqu'on connaît la durée du jour le plus long.

CONCLUSION Pour conclure, nous voudrions rappeler quelques moments « forts » de notre travail :

–La nuit d'observation bien entendu : c'était la première fois que nous observions vraiment les étoiles ; l'utilisation du théodolite était intéressante et surprenante (viser la bonne étoile, la suivre

23

mér

idien

P

Zsolstice d'été

équateur

solstice d'hiver

horizonx

φ

εsin ε

cos ε

H

Px

cos ε

lever

coucher

π - H

solstice d'été

horizon

dans son mouvement rapide, trouvé sa hauteur maximale) ; nous avons assisté au lever spectaculaire du croissant de Lune que nous avons pu suivre au théodolite.–La compréhension de la trajectoire du Soleil selon le lieu où l'on se trouve sur Terre : une fois que nous avons compris que la trajectoire du Soleil est toujours perpendiculaire à l'axe passant par les pôles, nous avons pu prévoir les trajectoires au pôle nord ou à l'équateur. –La compréhension des méthodes utilisant la durée du jour ou l'azimut du lever ou du coucher : notre professeur nous avait prévenu qu'il faudrait utiliser la trigonométrie sur une sphère, ce qui nous effrayait ; puis nous avons découvert une autre méthode qui ne nécessitait que de la trigonométrie plane mais par contre une bonne vision dans l'espace.–Les recherches historiques : nous avons été surpris de la qualité des travaux des Anciens et de pouvoir refaire ce qui avait été déjà fait plus de 2500 ans avant nous !

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Annexe A : Panorama depuis la pointe de Miribel

Sud Ouest

EstSolstice été

Solstice été

Annexe B : Trouver la valeur d'un angle sans rapporteur

Annexe C : Trouver la latitude à partir de la durée du jour

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