COMMISSION PHYSIQUE FRANCOPHONE - exocorriges.com · Web view. ... scalaire représentant le volume engendré par les 3 vecteurs. ... TIPLER, P. A

COMMISSION PHYSIQUE FRANCOPHONE

Consultant: Pr Sémou DIOUF

Expert: Pr Adolphe RATIARISON

I. INTRODUCTION

1. Titre du module

MECANIQUE 1

Balançoire n 1144815

*One relevant image must be inserted here.

2. Prérequis / Connaissances préalables nécessaires

Pour pouvoir suivre ce module, l’apprenant (e ) doit posséder les notions suivantes :

Espace, temps, translation, rotation, référentiels, Changement de repères – Coordonnées

cartésiennes – coordonnées cylindriques – coordonnées sphériques – coordonnées polaires –

trajectoire- champs de vecteurs – champs de vitesses – dérivation – intégration.

3. Volume horaire

120 heures

4. Matériel didactique

Accès internet – Ordinateur avec lecteur CD – CDROM, Logiciels adéquats (MS office) –

Télévison


1

Photo n111159

5. Justification / Importance du module

Ce module s’insère dans un programme de formation des enseignants.

Il permet d’asseoir les compétences de base acquises dans le cycle secondaire.

Il traite les mouvements des objets qui constituent une importance capitale dans la physique de

l’univers. La description de ces mouvements constitue les travaux essentiels des physiciens

pour le développement de la science depuis Aristote et Galilée.

Ce module aide l’apprenant à mieux comprendre les lois qui régissent tout mouvement.


Photo 796291

II. CONTENU

6. Bref résumé / vue d’ensemble


Photo : 1680305

Ce module de mécanique 1 traite les aspects vécus dans le quotidien et dans notre

environnement à savoir :

* les grandeurs physiques et les opérateurs vectoriels ;

* la cinématique du point à une dimension et à deux dimensions :

- recherche des équations paramétriques et des trajectoires d’un mobile,

- calcul des vecteurs vitesses et accélérations dans différents systèmes de coordonnées

2

- la loi de composition des vitesses et des accélérations

* la statique des solides (inventaire les forces agissant sur un système)

* la dynamique des points matériels en utilisant les différentes lois de Newton.

* les concepts de Travail, d’Energie, de Puissance, mécaniques, le théorème de l’énergie

cinétique et la conservation de l’énergie mécanique.


Photo n 1640681

Ce module comporte quatre unités :

Unité1 : (15 heures).

Les grandeurs physiques mesurables.

- leur classification et leur mesure, les différentes sources d’erreurs de mesure,

- Les grandeurs vectorielles,

- Les grandeurs scalaires,

- Les opérateurs vectoriels.

Unité2 : (30 heures).

La cinématique du point matériel :

- mouvement à une dimension,

- mouvement à deux ou trois dimensions)

Unité 3 : (30 heures).

La statique du solide

Unité 4 : (45 heures).

La loi de composition de mouvement-

La dynamique du point matériel –

Le travail, l’énergie et la puissance mécaniques ,

3

Les oscillateurs

Photo n 1639569

Représentation graphique (peut être dessinée manuellement)

4

5

Module Mécanique 1

Grandeurs physiques

Scalaires et vecteurs

Opérations vectorielles

Cinématique du point matériel

Mvt rectiligne

Mvt curviligne

Différents systèmes de coordonnées

Mvt uniforme

Mvt unformé. varié

Mvt sinusoidal

Mvt circulaire

Mvt cycloidal

Mvt hélicoidal

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques

Equilibre des solides

Dynamique du point matériel

Torseurs Centre de gravité

Conditions d’équilibre

Stabilité d’équilibre

Repère galiléen Repère non galiléen

Composition. des mouvements

Les 3 lois de Newton

Moment cinétique

Travail-Energie-Puissance

Oscillateurs

6

TravailEnergie

Puissance

Travail dune force constante

Théorème de l’énergie cinétique

Travail des forces conservatives

Travail des forces non conservatives

Théorème de l’énergie mécanique

Généralités sur la cinématique du

point

Equations paramétriques

Composantes de la vitesse

Composantes de l’accélération

Composantes intrinsèques de l’accélération

Equation de la trajectoire

Composantes de la vitesse et de l’accélération dans différents systèmes de coordonnées

x= x(t); y=y(t)

f(x,y)=Cte

)t(y);t(x••

)t(y),t(x••••

Rv;

dtdv 2

7. Objectifs généraux

L’apprenant doit être capable de:

1 Objectifs de connaissance

- Connaître les grandeurs physiques,

- Connaître les concepts d’énergie, de travail

- Connaître la relation entre énergie et travail

- Connaître quelques formes d’évaluation (optionnel)

2 Objectifs de méthodes

a Savoir faire théorique

- Comprendre les mouvements à une dimension

- Comprendre les mouvements à deux dimensions

- Comprendre les trois lois de Newton

- Comprendre le théorème de l’énergie cinétique

- Chercher ensemble la solution d’un exercice (objectif de travail collaboratif)

b Savoir faire pratique

- Comprendre les relations entre grandeurs physiques


Photo n 772504

7

8. Objectifs Spécifiques aux activités d’apprentissage

Unités Objectifs spécifiques

Unité 1: (15 H)Les grandeurs physiques mesurables.

- leur classification et leur mesure,

- les différentes sources d’erreurs de mesure,

- les grandeurs vectorielles,

- les grandeurs scalaires,- les opérateurs vectoriels

Objectifs spécifiques de connaissance

- Rappeler la définition d’une grandeur physique

- Citer quelques grandeurs physiques

- Citer les unités de quelques grandeurs physiques

Objectifs spécifiques de savoir faire théorique

théoriques

- Distinguer une grandeur vectorielle d’une grandeur

scalaire

Unité 2 : (30 H)

La cinématique du point

matériel :

- mouvement à une

dimension,

- mouvement à deux ou à

trois dimensions

Objectifs de connaissance

- rappeler la définition de la trajectoire d’un mobile

- rappeler la définition de la vitesse moyenne

- rappeler les composantes du vecteur accélération

dans un repère (o, x, y, z)


- Ecrire les équations paramétriques du mouvement.

- Calculer la vitesse moyenne d’un mobile.

- Calculer la vitesse instantanée d’un mobile.

- Calculer l’accélération moyenne d’un mobile

- Calculer l’accélération instantanée d’un mobile

8

- Intégrer la vitesse instantanée

- Intégrer l’accélération instantanée

- Tracer la trajectoire du mobile

- Calculer les composantes intrinsèques (locales) de

l’accélération

Objectifs spécifiques de travail collaboratif

- Résoudre correctement un exercice en groupe

Unité 3 : (30 heures)

La statique des solides


Inventorier les forces agissant sur un corps

Déterminer les conditions d’équilibre d’un solide

- en translation rectiligne

- en rotation

Unité 4 : (45 heures)

- La loi de composition de mouvement-

- La dynamique des

points matériels –

- Travail , énergie et

puissance mécaniques –

- Les oscillateurs


- Enoncer les trois lois de Newton

- Appliquer les lois de Newton pour la résolution des

problèmes


- Enoncer le théorème de l’énergie cinétique

Objectifs spécifiques savoir faire théorique

- Calculer le travail d’une force constante

- Calculer le travail d’une force variable

9

- Calculer l’énergie potentielle de pesanteur

- Calculer l’énergie cinétique d’un mobile

- Calculer l’énergie mécanique d’un système

- Appliquer le théorème de l’énergie cinétique

- Appliquer le théorème de la conservation de

l’énergie mécanique à un système

Objectif spécifique de

connaissance (Optionnel à

caractère pédagogique)

Citer deux formes d’évaluation

Citer les moments d’évaluation des apprentissage

III. ACTIVITES D’APPRENTISSAGE ET ENSEIGNEMENT

9. Evaluation préliminaire / initiale

Titre de l’Evaluation préliminaire : TEST DE MECANIQUE 1

Justification : Ce test permet d’évaluer les connaissances préalables que les apprenants

doivent maîtriser pour comprendre ce module

QUESTIONS

10

1. On entend par mouvement le ……………………………d’un mobile d’un point à un autre

2. On appelle trajectoire d’un mobile l’ensemble des points suivis par le mobile lorsque le temps

t …………..

3. Un vecteur est un segment de droite :

a. Vrai

b. Faux

4. Une vitesse est un scalaire :

a. Vrai

b. Faux

5. Accélérer une voiture c’est faire de sorte que le produit scalaire de sa vitesse et de son

accélération soit positive :

a. Vrai

b. faux

11

6. On applique une force pour :

a. produire le mouvement d’un objet

b. modifier le mouvement d’un objet

c. déformer un objet

Cocher la ou les bonne(s) réponse(s)

7. Vous êtes dans une voiture qui aborde un virage avec une vitesse v.

7-1. le virage est à gauche, vous êtes projeté à gauche :

a. vrai

b. faux

7-2. le virage est à droite, vous êtes projeté à gauche :

a. vrai

b. faux

8. Un voyageur se trouve dans une voiture qui roule sur une route horizontale avec une vitesse v.

Un piéton traverse la route. Le conducteur freine brusquement. Le voyageur est projeté vers :

a. l’avant

12

b. l’arrière

c. la gauche

d. la droite

Cocher la ou les bonne(s) réponse(s)

9. Deux vecteurs d’égale intensité font entre eux un angle . On désigne par R la résultante de

ces deux vecteurs et par U le module commun de ces deux vecteurs.

Associer les réponses correctes en appariant lettre et chiffre

a. = 90 1. R=0

b. = 0 2. 2UR =

c. = 180 3. R=2U

d. = 45 4. 3UR =

10. Une brique de masse M placée sur une table lisse est :

a. soumise uniquement à l’action de son poids

b. soumise à aucune force

c. soumise uniquement à la réaction de la table

d. soumise à son poids et à la réaction de la table

Choisir la bonne réponse

11. Le travail d’une force est :

a. un vecteur

b. un scalaire

12. L’énergie cinétique et le travail ont même unité

13

a. Vrai

b. Faux

13. La puissance est l’intégrale de l’énergie

a. Vrai

b. Faux

14. Le poids est une force

a.Vrai

b. Faux

15. La masse est un scalaire

a. Vrai

b. Faux


Photo n 353341

Titre de l’Evaluation préliminaire : TEST DE MECANIQUE 1

14

Réponses clés

1. On entend par mouvement le déplacement d’un mobile d’un point à un autre. Bonne réponse,

le mouvement est effectivement lié au déplacement

2. On entend par trajectoire l’ensemble des positions d’un mobile lorsque le temps t varie. Très

bonne réponse, en effet le déplacement est lié au temps

3.

a. Lisez bien la question avant de répondre

b. Très bien. Un vecteur est toujours orienté et a une mesure, ce qui n’est pas le cas d’une demi-

droite

4.

a. Vous savez bien qu’on parle de vecteur vitesse donc la vitesse ne peut être un scalaire.

b. Très bien, la vitesse n’est pas un scalaire mais bien un vecteur

5.

Vrai. Très bien. Pour un mouvement accéléré, le produit scalaire de l’accélération et de la vitesse

est positif

Faux. Attention ne vous précipitez pas pour répondre.

6.

15

a. Très bonne réponse. Une force peut permettre de déplacer des objets

b. Bravo. En effet une force peut provoquer la déviation du mouvement d’un corps

c. Très bonne réponse. En effet pour casser un objet on peut lui appliquer une force

7.

7-1.

a. Attention. Réfléchissez bien

b. Bonne réponse. Vous avez compris qu’on est d’abord projeté en sens contraire

7-2.

a. Bonne réponse. C’est vrai qu’on est projeté en sens contraire

b. Ne vous précipitez pas

8.

a. Bonne réponse. On est effectivement projeté en sens contraire

b. Réfléchissez encore avant de choisir

c. Ne vous précipitez pas pour répondre.

d. Réponse non correcte.

9. a2 ; b3 ; c1. Très Bonne réponse. Vous savez au moins calculer la résultante de deux

forces.

Pour toute autre réponse telle que (a1, a3, b2, b1, c2, c3, d1, d2, d3, d4, a4, b4, c4,) :

Réfléchissez avant de répondre.

10.

a. Réessayez encore.

16

b. Réfléchissez au moins. C’est impossible

c. Un solide en équilibre est soumis au moins à deux forces

d. Bonne réponse. Bravo. Vous avez en tête le principe de l’action et de la réaction.

11.

a. Attention. Le travail est un produit scalaire de deux vecteurs mais il n’est pas pour autant un

vecteur.

b. Bonne réponse. Le travail d’une force est effectivement un scalaire

12.

a. Bonne réponse. Effectivement le travail est une énergie

b. Avez-vous réfléchi avant de répondre.

13

a. Attention. L’énergie et la puissance n’ont pas la même unité.

b. Bravo. L’intégration de l’énergie ne saurait donner une puissance

14.

a. Bonne réponse. Le poids est effectivement un cas particulier de force

b. Réfléchissez encore et pensez à leurs unités

15.

a. Bonne réponse. La masse est un scalaire contrairement au poids

b. Relisez votre leçon.

*One relevant image must be inserted here. Photo n 1 624 014

17

COMMENTAIRE D’ORIENTATION DES APPRENANTS

A L’ISSUE DU TEST D’EVALUATION EN MECANIQUE 1

(100-200 words)

Vous avez répondu au test de pré-évaluation.

Si vous avez répondu juste à tous les questionnaires, vous avez la note A+. Vous n’aurez

pas de diffuculté pour suivre ce module.

Si vous avez répondu juste à 75 % du test, vous avez la note A. Vous n’aurez pas de difficulté

pour suivre ce module.

Si vous avez répondu juste 60 % du test, vous avez la note B. Vous pouvez très bien suivre

ce module, mais il faut faire des efforts.

Si vous avez répondu juste entre 45 % et 50 % du test, vous avez la note C. Il faut que vous

suiviez des cours supplémentaires.

Si vous avez répondu juste en dessous de 45 % du test, vous avez la note D. Vous devez

vous efforcer à tout apprendre, tout en suivant le module.

10. CONCEPTS CLES (GLOSSAIRE)

1. Accélération : Variation de vitesse par unité de temps

2. Chute libre : Mouvement d’un objet soumis uniquement à son propre poids ( toutes les forces

résistantes sont négligées)

3. Energie cinétique : Energie que possède un corps en mouvement

4. Energie potentielle : Energie emmagasinée par un corps du fait de sa position

18

5. Force : toute cause capable de produire un mouvement, de le modifier encore de déformer un

objet.

6. Mouvement : déplacement d’un mobile d’un point à un autre

7. Puissance mécanique : travail d’une force par unité de temps

8. Référentiel : Objet de référence

9. Travail mécanique : Energie fournie par une force lorsque son point d’application se

déplace.

10. Vitesse : Variation de la position d’un mobile par unité de temps

11. LECTURES OBLIGATOIRES

*One relevant image must be inserted here.n 1051792

UNITE 1 : Les grandeurs physiques mesurables. - leur classification et leur mesure, - les différentes sources d’erreurs de mesure, - les grandeurs vectorielles, - les grandeurs scalaires,- les opérateurs vectoriels

Les lectures obligatoires concernant l’unité 1 sont au nombre de quatre. Elles sont

groupées à l’annexe 1.

Lecture #1

Références Complètes :

RATIARISON Adolphe (2006). Grandeurs physiques – Mesures-Incertitudes-opérations vectorielles. Madagascar. Université d’Antanarivo.

Les deux premières parties de ce manuscrit sont tirées des sites suivantes :

http://www.bipm.fr/fr/si/si_brochure/chapter1/1-2.html

19


http://www.cegep-ste-foy.qc.ca/freesite/index.php?id=3113

http://www.ulb.ac.be/cours/psycho/content/cognum/calcul.html

Résumé :La valeur d'une grandeur physique est généralement exprimée sous la forme du produit

d'un nombre par une unité. Pour une grandeur particulière, on peut utiliser de nombreuses unités

différentes. Parmi ces unités, nous distinguons celles du Système International (SI) basé sur sept

grandeurs de base.

La mesure d’une grandeur physique peut se faire de façon directe comme la longueur

avec le mètre, la tension avec un voltmètre, ou de façon indirecte comme par exemple une

surface obtenue par le produit de la longueur par la largeur.

En dernier lieu, les différentes opérations sur les vecteurs y sont détaillées.

Justification :

- Tout physicien doit connaître le unités de mesures car on ne peut pas additionner deux

grandeurs différentes sans les exprimer dans la même unité.

- L’addition vectorielle entre non seulement dans la composition de forces mais elle est aussi

d’une importance capitale la composition des mouvements que l’on verra ultérieurement.

Lecture #2


http://tanopah.jo.free.fr/seconde/Vct2.html

Addition, opposé et soustraction de vecteurs.

20




Résumé :Ce cours ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent

ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est mise en ligne par

la taverne de l'Irlandais.

L’addition et la soustraction de deux vecteurs y sont bien détaillées. On y met en

évidence les propriétés de l’addition vectorielle comme : la commutativité, l’associativité,

l’existence de l’élément neutre sans oublier la relation de Chasles.

Justification :

Ceci complète la lecture n 1. La règle du parallélogramme utilisée pour l’addition et la

soustraction vectorielle y est bien expliquée.

Lecture #3


http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/ apprendre/ chapitre2/partie2/titre1res.htm

Les vecteurs. Addition vectorielle

Résumé :

L'addition vectorielle est une loi de composition interne et possède les propriétés suivantes :

Associativité

Commutativité

Elément neutre

Elément symétrique

Ainsi, on peut parler de soustraction de deux vecteurs et de la relation de Chasles.

21

http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/

http://www.tanopah.com/

La multiplication d'un vecteur par un scalaire est une loi de composition externe vérifiant les propriétés :

Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs :Distributivité par rapport à l'addition des scalaires :Associativité :Elément neutre :

De ces propriétés découlent :- la détermination de la position d’un point M sur une droite AB,- la combinaison linéaire de deux vecteurs.

Justification :

A partir de la combinaison linéaire de plusieurs vecteurs, on peut définir le barycentre de plusieurs points affectés des poids i

Lecture #4


http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_vectorielleGéométrie vectorielle

Résumé :On y développe encore l’addition et la soustraction vectorielles, la multiplication d’un

vecteur par un scalaire. On y trouve toutes propriétés du produit scalaire, du produit vectoriel, du

produit mixte et du double produit vectoriel.

Justification :

La lecture de cet ouvrage mène les apprenants ou apprenantes à la connaissance bien

approfondie des opérations vectorielles.

Unité´2 : Cinématique du point matériel

Mouvements à 1 D, 2D ou 3D

22

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_vectorielle

Les lectures obligatoires concernant l’unité 2 sont au nombre de trois. Elles sont groupées

à l’annexe 2.

Lecture #5


RATIARISON, A. (2006). Cinématique du point. Mouvement à 1D, 2D ou 3D. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit

Résumé :La généralité sur la cinématique du point concerne la définition des référentiels, le

repérage d’un mobile dans l’espace, l’abscisse curviligne, les vecteurs vitesses et les vecteurs accélérations.

Ce manuel étudie ensuite les mouvements rectilignes uniformes et uniformément variés.Quand aux mouvements curvilignes, on y souligne les composantes intrinsèques de

l’accélération, les mouvements circulaire, cycloïdal et hélicoïdal. Pour terminer, les différents systèmes de coordonnées ainsi que les composantes des

vecteurs vitesse et accélération dans ces systèmes de coordonnées.

Justification :

Avant d’entamer la dynamique du point matériel, il faut bien posséder la cinématique du point. Pour cela on a besoin de connaître les éléments cités ci-dessus.

Lecture #6


http://abcsite.free.fr/physique/meca/me_ch3.htmlCinématique du point

Résumé :Cette lecture complète la précédente sur les calculs des composantes dues vecteurs

vitesse et accélérations dans différents systèmes de coordonnées. On y trouve encore les coordonnées polaires et semi polaires.

C’est dans cette lecture que nous rencontrons ce qu’on appelle hodographe.Les différents diagrammes y sont bien lisibles.

Justification :

23

http://abcsite.free.fr/physique/meca/me_ch3.html

Ce cours est facile à lire. Il peut très bien aider les apprenants ou apprenantes.

Lecture #7


http://www.chez.com/mecasite/Mecanique/cinematsol.htmCinématique du point

Résumé :Cette lecture nous renforce la connaissance du mouvement plan, de la vitesse moyenne,

l’accélération moyenne, la vitesse instantanée et l’accélération instantanée. Le mouvement de rotation uniforme et le mouvement circulaire uniformément varié y sont très développés.

Justification :

En complément des deux lectures précédentes, celle – ci complète le cours de la cinématique du

point.

UNITE 3 : Equilibre d’un solide sur un plan horizontal

Les lectures obligatoires concernant l’unité 3 sont au nombre de trois. Elles sont groupées

à l’annexe 3.

Lecture #8

Référence Complète :

RATIARISON, A. (2006). Equilibre d’un solide sur un plan – Faculté des Sciences- Université d’Antananarivo –MADAGASCAR, Cours inédit

Résumé :

Cette lecture s’occupe essentiellement de l’équilibre des solides sur un plan. Un solide sur

un plan peut glisser ou tourner s’il n’est pas en équilibre. Pour introduire l’équilibre d’un solide, il

faudrait parler de torseur qui n’est autre qu’un système de vecteurs libres. Ce système de

24

http://www.chez.com/mecasite/Mecanique/cinematsol.htm

vecteurs libres se réduit à la résultante générale des forces et du moment résultant de toutes les

forces appliquées au système considéré. La condition d’équilibre est défini par un torseur nul

c'est-à-dire résultante générale nulle et moment résultant nul.

Justification :

Dans le programme il a été défini qu’on parle seulement de résultante de forces nulle, mais pour

élargir la connaissance des apprenants ou des apprenantes il faut aussi parler de moment résultant nul

des forces appliquées au système considéré.

UNITE 3 :

Lecture #9

Référence complète :

Statique du solide tirée de « http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique_du_solide »

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Statique du solide

Résumé :

Les déplacements possibles, appelés aussi degrés de liberté, sont de deux natures:

translations (3 directions principales) et rotations (autour de ces trois directions). Alors que les

translations ne peuvent être provoquées que par des forces, les rotations sont générées par des

moments de ces forces, ou autres couples de force. Quand l'équilibre d'un point ne nécessite

l'établissement que de 3 relations algébriques (équation vectorielle des forces à 3 dimensions),

celui du solide demande alors la considération de 3 équations supplémentaires (équation

vectorielle des moments). Le principe fondamental de la statique peut donc se compose alors:

25

http://fr.wikipedia.org/wiki/Couple_(physique)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_(m%C3%A9canique)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_(physique)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A9s_de_libert%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique_du_solide

1. du théorème de la résultante (somme des forces nulle).

2 du théorème du moment (somme des moments nulle).

Justification :

L'étude de l'équilibre d'un solide nécessite toujours la considération de ces 2 théorèmes,

même si certains cas simples, traités en mécanique du point, semblent être résolus avec une

seule des 2 parties. En règle générale, il n'est pas possible de traiter séparément les deux

aspects (forces et moments): il s'agit bien d'un problème complexe à 6 dimensions.

UNITE 3 :

Lecture #10


http://www.ac-poitiers.fr/cmrp/cpge/docs/Coursdemodelisationetdestatique.doc

Statique de solide

Résumé

L’action mécanique qui est toute cause susceptible de maintenir un corps au repos,de créer ou de modifier un mouvement, de déformer un corps, se manifeste sous deux formes :

- le mouvement de translation dû à la résultante des forces appliquées au solide- le mouvement de rotation dû au moment résultant de ces forces

Avant d’énoncer Le Principe Fondamental de la Statique (PFS), l’auteur parle de la modé-lisation des actions de contact :

- le contact d’un fluide sur un solide,

- le contact de deux solides.

Justification :

L’un des caractéristiques de dette lecture la classification des actions mécaniques

appliquées à un solde :

26


- l’action mécanique à distance ( pesanteur, électromagnétique, électrostatique,…)

- l’action mécanique de contact (de pression, de contact,…)

Cette lecture est donc très bénéfique pour les apprenants et pour les apprenantes.

UNITE 4 : Lois de composition des mouvements

Dynamique des points matériels-Travail, énergie et puissance mécaniques –

Oscillateurs

Lecture #11


RATIARISON, A. (2006). Composition de mouvement, Dynamique du point matériel, Travail – Energie - Puissance, Oscillateurs– Faculté des Sciences- Université d’Antananarivo –MADAGASCAR, Cours inédit

Les parties dynamiques et Oscillateurs ont été tirées de http://abcsite.free.fr/index.html

Résumé

Cette unité commence par l’établissement des lois de composition des mouvements et

l’énoncé des trois lois de Newton avec leurs applications pratiques.

Elle continue de parler de la mise en évidence des forces d’inertie de Coriolis et

d’entraînement.

Elle met en évidence la définition du travail et le calcul du travail produit par les forces

conservatives et celui produit par les forces non conservatives.

Elle établit le théorème de l’énergie cinétique et le théorème de l’énergie mécanique.

Elle termine par l’étude des oscillateurs harmoniques et amorties.

Justification :

27

http://abcsite.free.fr/index.html

Pour avoir une idée générale sur le mouvement absolu et le mouvement relatif, le cours

commence par la généralisation des différentes vitesses et des accélérations Les trois lois de Newton et

des théorèmes de l’énergie cinétique et mécanique sont à la base de la dynamique du point matériel.

Lecture #12


Papanicola Robert, http://www.sciences-indus-cpge.apinc.org/IMG/pdf/ CIN2_DERIVATION_VECTORIELLE.pdf

Dérivation vectorielle

Résumé

Ce cours de dérivation vectorielle débouche sur la loi de composition des mouvements. Il

complète donc le cours de Ratiarison Adolphe. Pour avoir la notion de la composition de trois

rotation l’auteur fait entrer les trois angles d’Euler à savoir la précession, la nutation et la rotation

propre.

Justification :Les trois angles d’Euler ne sont pas au programme car dans la pratique ceci concerne la

cinématique de solide. Il ne faut donc pas que l’apprenant consacre beaucoup de temps là-

dessus. La composition des rotations est bien développée dans le cours de Ratiarison.

Lecture #13



Dynamique du point matérielle

Travail, énergie, puissance

Oscillateurs

Résumé

28


http://www.sciences-indus-cpge.apinc.org/IMG/pdf/%20CIN2_DERIVATION_VECTORIELLE.pdf


C’est un cours complet sur la dynamique du point matériel. Ce cours fait suite au site

http://abcsite.free.fr/physique/meca/me_ch3.html que nous avons déjà cité à la partie cinématique.

Justification :Cours facile à lire.

Lecture #14

DIOUF, S. (2004). L’Evaluation des apprentissages. Sénégal. Université Cheikh Anta DIOP de Dakar.

FASTEF (ex ENS)

Résumé

Ce texte dont la lecture est recommandée pour pouvoir répondre à l’évaluation formative optionnelle à

caractère pédagogique, contient différentes parties dont

La problématique de l’évaluation qui traite des différentes questions relatives à l’évaluation

Les différentes formes d’évaluation où il est aussi question des rôles et des moments

d’évaluation

Les stratégies de recueil d’information. Dans cette partie vous trouverez les questions à correction

objective et les questions à correction subjective.

On y trouve aussi les étapes de construction d’un sujet d’examen et les caractéristiques de l’évaluation

Justification de cette lecture

La lecture de ce texte permet aux apprenants de répondre correctement aux questions de

l’évaluation formative optionnelle à caractère pédagogique. Tous les éléments de réponse à cette

évaluation sont contenus dans ce texte.

12. RESSOURCES OBLIGATOIRES

29


*.Photo n 509935

Ressource #1Référence Complète :

RATIARISON, A. (2006), Cours de mécanique générale 1

Faculté des Sciences -Université d’Antananarivo - Madagascar

Résumé :

Ce cours de mécanique est enseigné en 1ère année universitaire à la Faculté des Sciences, à

l’Ecole Normale et l’Ecole Supérieure Polytechnique de l’Université d’Antananarivo.

On y traite les opérateurs vectoriels, la cinématique du point dans un référentiel galiléen. Les lois

de compositions des mouvements y sont traitées dans la partie cinématique. Les mouvements à

accélération centrale y sont développés aussi.

Justification:

Ce cours peut aider les apprenants à distance

Ressource #2

Référence Complète:

PEREZ, J. P. (1997). Mécanique – Fondements et applications. Université Paul Sabatier Toulouse –

France. Edition MASSON, 120 bd St Germain 75 280 Paris Cedex 06

Résumé :C’est un manuel complet pour les étudiants de la première à la troisième année de Licence.

La mécanique du point matériel, la dynamique des solides, les mouvements à accélération centrale, les

oscillateurs, la mécanique analytique, la mécanique de fluide y sont traités.

Justification

30

Les apprenants auront toujours besoin de ce livre pendant toutes ses études, car à part la

cinématique et la mécanique du point et du solide on y trouve aussi la mécanique des fluides et plusieurs

applications.

Ressource #3


http ://www.hazelwood.k12.mo.us/grichert/sciweb/applets.htlm

RésuméCe site est un recueil de liens menant à d’autres sites Internet contenant des simulations

informatisées des principes physiques.

JustificationLes apprenants auront toujours besoin de ce manuel pendant toutes leurs études car toute la

physique y est développée.

Ressource #4


CAZIN, M. (1995), Cours de mécanique générale et industrielle– Gautier Villars – tome 1, NY

1003 -1995

Résumé :Un livre complet, mais un peu difficile à lire, surtout du point de vue notation. Mais il est contient

beaucoup d’applications. Il est surtout très utile dans la suite des études.

Justification

31

Un peu d’effort sur la compréhension des notations et les apprenants trouverons beaucoup

d’applications en mécanique.

Ressource #5 Référence Complète:

The Free High School Science Texts: A Textbook for High - School Students Studying Physics.-

FHSST Authors1 - December 9, 2005 -http://savannah.nongnu.org/projects/fhsst

Résumé :

Toute la physique est dans ce manuel, en passant par la mécanique, l’électricité, l’optique,

l’électromagnétisme.

L’apprenant peut faire le tour de la physique en téléchargeant ce site.

Justification:

Les apprenants auront toujours besoin de ce livre pendant toutes ses études car toute la physique

y est développée.

Ressource #6

Référence Compléte:

http://www.google.ca/search?client=firefox_a&rls=org.mozilla%3Aen-US%Aofficial-

&hl=en&q=c3%A9equilibre+d%27un+solide+sur+plan&meta

Résumé :

Ce site contient des Travaux pratiques d’équilibre d’un solide placé sur un plan et soumis à

plusieurs forces

Justification:

32

http://www.google.ca/search?client=firefox_a&rls=org.mozilla%3Aen-US%25Aofficial-&hl=en&q=c3%A9equilibre+d'un+solide+sur+plan&meta


Les apprenants auront pourront faire des travaux pratiques sur ce site.

Ressource #7

Référence compléte:

http://www.chimix.com/an5/prem5/hotp5/force1htlm

Résumé :

Travaux pratiques d’équilibre d’un solide placé sur un plan et soumis à plusieurs forces

Visualisation de chute libre et d’un ressort en mouvement.

Justification:Les apprenants auront pourront faire des travaux pratiques sur ce site.

Ressource #8

Référence complète:

http://fr.wikipedia.org/wiki/statique-du-solide

Résumé :

Cette page résume le cours d’Equilibre statique du solide.

Justification :

Les apprenants auront pourront faire des travaux pratiques sur ce site.

Ressource #9


33


http://formation.edu-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/Chapitre2/titre1res.htm

Résumé :

Sont développés dans ce site :

la somme vectorielle et ses propriétés (associativité, commutativité, élément neutre, élément

symétrique), la différence de deux vecteurs, la relation de Chasles,

le produit d’un vecteur par un scalaire et ses propriétés ( distributivité par rapport à l’addition des

vecteurs, distributivité par rapport à l’addition des scalaires, l’associativité et l‘existence de l’élément

neutre) .

Les applications de l’addition vectorielle qu’on y trouve sont :

- la position d’un point sur une droite,

- la combinaison linéaire de 2 vecteurs

- les vecteurs coplanaires

- le barycentre de n points pondérés

- l’isobarycentre de trois points non alignés (centre de gravité d’un triangle)

- l’isobarycentre de 4 points dans l’espace (centre de gravité d’un tétraèdre)

Justification:Ce document est une ressource intéressante qui permet de compléter le cours et de comprendre

que la recherche du centre de gravité est une addition vectorielle.

Ressource #10


http://formation.edu-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/Chapitre3/partie3 /

titre1res.htm

Résumé :

Ce document parle de la représentation géométrique des nombres complexes. L’addition et la

soustraction de deux nombres complexes se ramènent à l’addition et à la soustraction vectorielles.

34

http://formation.edu-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/Chapitre3/partie3%20/%20titre1res.htm



Justification:

Ce site montre aux apprenants que l’addition et la soustraction vectorielles ont aussi d’autres

applications dans d’autres sciences.

Ressource #11


http://msch2.microsoft.com/fr-fr/library/system.windows.forms.paddings.op _addition.aspx

http://msch2.microsoft.com/fr-fr/library/system.windows.forms.paddings.op_methods.aspx

http://mathexel.site.voila.fr/index.htlm

Résumé :

Ces documents exécutent l’addition et la soustraction de deux vecteurs à l’écran de l’ordinateur.

Ils montrent les différentes opérations dans la méthode « Padding ».

Justification:

L’apprenant se familiarise plus vite aux opérations vectorielles mais il faudrait qu’il soit aidé par un

enseignant.

Ressource #12


http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/lissajou_j.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/cycloi_j.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/pndhgs_j.html

35






http://msch2.microsoft.com/fr-fr/library/system.windows.forms.paddings.op%1F_addition.aspx

Résumé:

Le premier document trace la courbe de Lissajous correspondant à l’addition de deux mouvements

sinusoïdaux perpendiculaires suivant leur déphasage.

Une cycloïde est la trajectoire d’un point fixe d’un cercle quand ce dernier roule sans glisser sur une

droite. Le second document montre comment se trace une cycloïde en fonction de la vitesse de

translation du cercle

Le troisième document met en exergue l’oscillation d’un pendule cycloïdal qu’on appelle encore le

pendule d’Huygens.

Justification:La visualisation de ces phénomènes apporte une vision bien précise pour l’apprenant. Les

équations des courbes de Lissajous sont très complexes sauf si elles se réduisent à celle de l’ellipse.

Ainsi, la visualisation de ces courbes aident beaucoup aux apprenants. De même, concevoir

abstraitement une cycloïde et un pendule cycloïdal semble difficile.

Ressource #13


http://electronics.free.fr/school/article.phys3?id_article=9 5

Résumé :

Ce site appartient à un jeune marocain né le 5 février 1988 qui est passionné par la philosophie,

les mathématiques et l’informatique. C’est pour cela qu’il a créé ce site qui se veut un moyen d’échange

de connaissance et d’expérience.

Cet article est un résumé de la cinématique d’un point matériel dans un repère galiléen. On y

définit :

- le vecteur position

- le vecteur vitesse

36

- le vecteur accélération

- le vecteur accélération moyenne

- le vecteur vitesse moyenne

- les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération

- les coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Frenet

On y développe quelques mouvements particuliers :

- Le mouvement rectiligne (uniforme et uniformément varié)

- Le mouvement circulaire (uniforme et uniformément varié)

Justification:

Nous avons déjà développé tout ceci dans le cours mais il est intéressant de voir ce que font les

autres.

Ressource #14


http://www.chez.com/Mecanique/cinematipts.htm

Résumé :

Après avoir défini les caractéristiques cinématiques (vitesses accélérations) l’auteur parle de :

- Mouvements de translation rectiligne uniforme et uniformément varié

- Mouvements de rotation , des composantes normale et tangentielle de l’accélération

- Mouvements de rotation uniforme et uniformément varié

Justification:

37



autres.

Ressource #15


http://www.chez.com/Mecanique/dynamiqu.htm

Résumé :

Ce site parle de :

Principe fondamental de la dynamique pour les solides en translation rectiligne ;

Du principe de d’Alembert ;

Du mouvement de rotation par rapport à un axe fixe

Justification:


autres.

Ressource #16


http://www.chez.com/Mecanique/energeti.htm

Résumé :

38



Ce site résume la partie énergétique de la mécanique du point. Le travail d’une force, le travail

d’un couple, l’énergie potentielle de pesanteur, l’énergie élastique d’un ressort, l’énergie cinétique d’un

solide en translation, l’énergie cinétique d’un solide en rotation, la puissance moyenne, la puissance

développée par une force, la notion de rendement y sont montrés.

Justification :

Ce cours complète notre cours.

Ressource #17


http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/aquadiff.html

Résumé :

L’objectif de ce site est d’illustrer la solution des équations différentielle linéaires du premier et du

second ordre rencontrées fréquemment en physique. La solution proprement dite est développée en

cours de mathématiques et ne sera pas détaillée ici. Mais il y a un résumé des résultats et des exemples.

Les illustrations et les animations qu’on y trouve concernent :

- La présentation de l’oscillateur harmonique.

- L’oscillateur linéaire horizontal

- Le pendule élastique

- Le pendule pesant

- La tension du fil d’un pendule

- La période du pendule pesant

- Le Botafumeiro

- Le pendule cycloïdal

39


Justification :

Ce site est idéal pour les travaux pratiques à distance.

Ressource # 18Référence Complète

http://www.n-vandewiele.com/TDMeca2.pdf

Résumé :

C’est une série de 7 exercices corrigés concernant le changement de référentiel et la composition

des mouvements.

Justification:Comme il n’y a pas assez d’exercices concernant la composition des mouvements, l’apprenant aura

l’occasion de se familiariser sur les lois de composition des mouvements.

Ressource # 19


http://www.ens-lyon.fr/Infosciences/Climats/Dynam-atmo/Cours-Coriolis

Résumé :

L’objectif de ce site est de permettre de compléter les connaissances de chacun sur la force de

Coriolis. L’auteur essaie d’introduire les concepts de façon suffisamment progressive pour que la force de

Coriolis soit compréhensible avec un minimum de connaissances préalables.

Ce site comprend sept paragraphes :

Le premier nous montre l’existence des forces d’inertie et de la force de Coriolis.

40



Le second nous donne l’expression mathématique de la force de Coriolis .

Le troisième illustre quelques manifestations de la force de Coriolis.

Le quatrième étudie le mouvement des masses d’air circulant sur la terre, afin de voir comment se

manifeste la force de Coriolis.

Le cinquième nous procure des informations complémentaires.

‘ Le sixième nous propose de décrire une expérience simple permettant de mettre en évidence la

déviation des trajectoires dans un référentiel tournant

Le septième, en guise de conclusion, s’intéresse à une planète imaginée par Antoine de Saint

Exupéry dans « Le Petit Prince »

Justification :

Ce site ne se contente pas seulement de la formulation mathématique de la force de Coriolis, mais il

nous décrit les différentes manifestations de la force de Coriolis dans la vie courante. Il est donc utile,

nécessaire voire même indispensable que les enseignants et les apprenants lisent ce site.

Ressource #20Référence complète :

http://www.ucd.ma/fs/modules/meca1/um1./modules3/cin2.htm

http://perso.orange.fr/rmchs/physique_05/cours_physique/cours_mecach5_cinematique.pdf

Résumé :

C’est un cours sur les différents systèmes de coordonnées et sur les lois de compositions des

vitesses et des accélérations.

justification:Nous avons déjà développé tout ceci dans le cours mais il est intéressant de voir ce que font les

autres.

41



Ressource #21Référence complète :

http://www.keepschool.com/cours-fiche-les_systèmes_oscillants

Résumé :

Ce site nous sert de complément de cours sur les oscillateurs. On y parle de :

-la classification expérimentale des oscillateurs (propriétés expérimentales des oscillateurs et

propriétés caractéristiques des oscillateurs)

-les oscillateurs mécaniques libres non amortis (pendule simple, pendule élastique horizontal)

-les oscillateurs mécaniques forcés (pendule de torsion en oscillations forcées, phénomènes de

résonance)

Justification:Le cours de ce site est donné de façon simple. Il peut aider l’apprenant à comprendre les

oscillateurs.

Ressource #22Référence Complète:

http://www.logitheque.com/fiche.asp?I=18755

Résumé :

Static est un logiciel pédagogique de sciences physiques de niveau lycée traitant de la statique du

point matériel et des solides soumis à une ou plusieurs forces ou couples de forces afin de visualiser de

manière concrète les conditions d'équilibre des solides.

STATIC s'articule autour de six thèmes relatifs à la statique :

- équilibre d'un point;

- équilibre d'un solide en rotation autour d'un axe;

- équilibre d'un solide soumis à des couples de forces;

42


http://www.keepschool.com/cours-fiche-les_syst%C3%8Bmes_oscillants

- équilibre d'une tige en rotation autour d'un axe;

- statique d'un solide sur un plan incliné avec prise en compte ou non des forces de frottement;

- statique des corps flottants (principe d'Archimède).

Justification:

L’apprenant approfondira ses connaissances sur l’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe et la

statique des corps flottants.

Ressource #23Référence Complète :

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/01/statique.htm

Résumé :

Ce site est un résumé bref de l’équilibre et la dynamique des points dans un référentiel galiléen.

Justification :

Ce module résume aussi les différentes forces appliquées à un point matériel ou à un solide.

Ressource #24

Référence compléte

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/couplage3.html

Résumé :

On a ici la simulation du couplage de trois oscillateurs mécaniques en négligeant les frottements.

Les pulsations des oscillateurs indépendants sont w12 = K/M1, w2

2 = K/M2. w32 = K/M3.

43



Chaque masse est soumise à la force de rappel des deux ressorts qui lui sont liés.

Les équations du mouvement sont donc :

Si les trois masses sont égales la résolution du système donne pour les valeurs propres :

Afin de pouvoir traiter tous les cas, dans le programme, ce système d'équations différentielles

couplées est résolu numériquement en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.

Par hypothèse, la vitesse initiale des deux masse est toujours nulle.

On peut constater que pour des conditions initiales quelconques la solution est en général

d'aspect complexe. C'est une combinaison linéaire des trois modes propres.

Elle est de la forme : Xi = Ai.cos(wpt) + Bi.cos(wqt) + Ci.cos(wrt) (i = 1 , 2, 3)

La valeur des constantes Ai ,Bi et Ci est fonction des conditions initiales.

Justification :Le travail de simulation aide beaucoup les apprenants pour comprendre le phénomène physique.

13. LIENS UTILES

Lien utile #1

Titre :Tir parabolique

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/tir_para_j.html

Capture d’écran :

44

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/tir_para_j.htm

Justification :

On peut voir l’enveloppe des trajectoires (parabole de sécurité) si on fait varier l’orientation et intensité de

la vitesse initiale. L’apprenant peut calculer l’équation de la parabole de sécurité.

Lien utile #2

Titre :Tir et chute

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/tirchu_j.html


45

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/tirchu_j.htm

Justification :

Cette animation nous montre le point de rencontre de deux mobiles. L’apprenant peut calculer la côte z du

point de rencontre du projectile et du singe ainsi que la date de rencontre.

Lien utile #3

Titre :Mouvement de la lune et d’une planète solaire.

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/terlun_j.html

46


Justification :

Cette animation nous montre le mouvement de la lune et d’une planète solaire. Les trajectoires sont

représentées dans deux référentiels différents.

Lien utile #4

47

Titre :Oscillations longitudinales d’un ressort

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/prlong _j.html


Justification :

On peut observer la propagation du signal sinusoïdal le long du ressort ainsi que le déplacement localisé

d’un [point M du ressort.

48

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/prlong%20_j.htm

Lien utile #5

Titre : Pendules multiples:

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/pendmu _j.html


Justification :

L’animation montre ici la conservation de l’énergie mécanique. On peut choisir le nombre N de pendules

lâchés sans vitesse initiale et l’angle initial commun.

49

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/pendmu%20_j.htm

Lien utile # 6

Titre :Oscillateurs couplés

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/osccpl_j.html


Justification :

Nous avons ici le couplage de trois ressorts de raideur rspactif K, k0 et K. On peut varier la raideur k0 du

deuxième ressort et on peut avoir les modes propres de périodes T1 et T2 .

50

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/osccpl_j.htm

Lien utile #7

Titre :Mouvement de rotation uniforme

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/manege_j.html.


Justification :

L’apprenant peut varier la période de rotation du manège, les rayons Ra et Rb des trajectoires et

calculer la force d’inertie centrifuge appliquée à A et à B.

51

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/manege_j.htm

Lien utile #8

Titre :Trajectoire d’une grenade URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/grenad_j.html


Justification :

Dans ce site nous trouvons un autre Repère qui est le repère barycentrique. On étudie donc les

éclats dans deux repères différents (le repère fixe et repère barycentrique)

52

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/grenad_j.htm

Lien utile #9

Titre : :Oscillation avec frottement solide

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/frtsol_j.html

Capture d’écran

Justification :

En modifiant les paramètres b, x0 et T0, on visualise la plage d’équilibre et le lieu des extrémum.

L’étudiant pourra écrire l’équation horaire du mouvement.

53

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/frtsol_j.htm

Lien utile #10

Titre :Trajectoire du soleil dans la galaxie

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/galaxi_j.html

Capture d’écran:

Justification :

La trajectoire du soleil n’est pas parfaitement circulaire car il décrit un cercle de rayon R dans le

plan Oxy de galaxie de centre O mais de plus il oscille selon l’axe Oz, perpenduclaire au plan précédent

de part et d’autre de ce pla.

54

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/galaxi_j.htm

Lien utile #11

Titre : La Grand Roue

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/gdroue_j.html


Justification:

Etude de mouvement circulaire dans un plan vertical.

55

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/gdroue_j.htm

Lien utile #12

Titre :Epicycle de Ptoémée

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/epiclc_j.html


Justification :

La terre T et une autre planète P décrivent des mouvements circulaires autour du soleil. On

visualise le mouvement relatif de P par rapport à T.

56

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/epiclc_j.htm

Lien utile #13

Titre :Trajectoire d’un chien qui court après son maître

URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/chien_j.html


Justification :

En variant les vitesses du chien et de son maître, on visualise la trajectoire du chien et l’apprenant

peut trouver l’équation de la trajectoire en fonction de ces vitesses.

57

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/chien_j.html

Lien utile #14

Titre :Trajectoire de 4 mouches

http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/4mouche_j.html


Justification :

Avant de trouver la distance parcourue par chaque mouche, l’apprenant essaie de trouver

l’équation de la trajectoire de chaque mouche.

58

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/4mouche_j.html

14. ACTIVITES D’APPRENTISSAGE

Activité d’apprentissage 1

Titre de l’activité : Grandeurs vectorielles

Addition et soustraction vectorielles

Opérateurs vectoriels

Objectifs spécifiques d’apprentissage

L’apprenant ou l’apprenante doit être capable de :

Représenter correctement une grandeur physique

Rappeler les unités de quelques grandeurs physiques

Additionner plusieurs vecteurs

Soustraire deux vecteurs

Effectuer des produits scalaires

Rappeler le sens physique du produit scalaire

Effectuer des produits vectoriels

Rappeler le sens physique des produits vectoriels

Calculer le double produit vectoriel

Calculer le produit mixte

Résumé de l’activité

Le but essentiel et final de ce module est la dynamique des points matériels soumis à

différentes forces que l’on peut représenter par des vecteurs. Ainsi, cette activité consiste

à se familiariser avec les opérateurs vectoriels courants. Comme les mouvements des

particules peuvent être des mouvements de translation et ou de rotation, nous ne pouvons

59

pas nous cantonner seulement à l’addition et à la soustraction vectorielles mais il faut

aussi voir les autres opérations des vecteurs, tel le produit vectoriel.

Concepts clés

Résultante générale : vecteur somme de plusieurs vecteurs

Produit scalaire : Opération vectorielle donnant la projection d’un vecteur sur le support de

l’autre à une constante près.

Produit vectoriel : Opération vectorielle dont la norme est égale à la surface engendrée

par les deux vecteurs et le vecteur produit est directement perpendiculaire à ces deux vecteurs.

Produit mixte : Opération vectorielle où figurent à la fois le produit scalaire et le produit

vectorielle ; scalaire représentant le volume engendré par les 3 vecteurs.

Double produit vectoriel : Deux fois le produit vectoriel.

Lectures appropriées

(TOUTES EN ANNEXE 1)

1 RATIARISON, A. (2006). Grandeurs physiques – Mesures-Incertitudes-opérations vectorielles.Madagascar. Université d’Antanarivo

2 ht tp://tanopah.jo.free.fr/seconde/Vct2.html

Addition, opposé et soustraction de vecteurs.

3http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/ apprendre/ chapitre2/partie2/titre1res.htm

Les vecteurs. Addition vectorielle

4 http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_vectorielleGéométrie vectorielleUn article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

60

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_vectorielle

http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/


Ressources appropriées

ANSERMET J.-P. (Version 2004-2005), La mécanique rationnelle – Formation de base des

Sciences et des ingénieurs – Institut de Physique des nanostructures- Ecole Polytechnique

Fédérale de Lausanne de Lausanne– PHB – Ecublens, 1015 Lausanne

TIPLER, P. A. (1995) , Physics for Scientists and Engineers – New York, NY 1003. Worth

Publishers

PEREZ, J. P. (1997), Mécanique: Fondements et applications, MASSON

The Free High School Sciences: A Textbook for High School Students Studing physics –

FHSSt Authors- December 9, 2005 from http://savannah.nongnu.org/projects/fhsst



Liens utiles - http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/English/waves.htlm

- http://www.infoline.ru/g23/5495/index.htlm

- http://formation.edu-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/Chapitre2/titre1res.htm

- http://formation.edu-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/Chapitre3/partie3

/titre1res.htm

- http://msch2.microsoft.com/fr-fr/library/system.windows.forms.paddings.op _addition.aspx

- http://msch2.microsoft.com/fr-fr/library/system.windows.forms.paddings.op_methods.aspx

- http://mathexel.site.voila.fr/index.htlm

61




http://formation.edu-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/Chapitre3/partie3%20/titre1res.htm

http://formation.edu-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/Chapitre3/partie3%20/titre1res.htm


http://www.infoline.ru/g23/5495/index.htlm

http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/English/waves.htlm



http://savannah.nongnu.org/projects/fhsst

Description détaillée de l’activité

Dans cette activité on donne vingt questions indépendantes sur le calcul vectoriel. Elles

permettent de vérifier si les apprenants ou les apprenantes maîtrisent les différentes opérations

sur les vecteurs. Les apprenants et apprenantes discuteront en chat pour avoir la même

compréhension des différentes parties du cours : Grandeurs physiques – Mesures- Incertitudes-

opérations vectorielles. Pour chaque exercice, les apprenants et les apprenantes seront

organisés en groupe pour un travail collaboratif.

Ces 20 questions et exercices corrigés intègrent :

- les unités des grandeurs physiques.

- Les sens pratiques des opérations vectorielles,

- l’addition et la soustraction vectorielles traitées graphiquement et analytiquement ;

- le produit vectoriel ;

- le double produit vectoriel ;

- le produit mixte.

Evaluation formative

EVATUATION FORMATIVE DE L’ACTIVITE 1 :SERIE DE VINGT QUESTIONS ET EXERCICES

Exercice 1

Que signifie l’écriture de la grandeur physique suivante :

M=5,25 0,02 Kg

Exercice 2

Ecrire correctement l’expression suivante :

D= 15,83379 0,173 m

Exercice 3

62

Soit m une grandeur physique définie par l’égalité suivante :

m=m1-m2-m3

Ecrire m en fonction de m1, m2 et m3

Exercice 4

Que représente l’incertitude relativeaa

.

Donner la précision de la mesure si on a: m= 25,4 0,2 Kg

Exercice 5

Comment on additionne deux vecteurs :

- Si les deux vecteurs sont parallèles

- Si les deux vecteurs ne sont pas parallèles

Exercice 6

Que représente le produit scalaire d’un vecteur donné avec un vecteur unitaire quelconque ?

Exercice 7

Que représente le module du produit vectoriel de deux vecteurs ?

Exercice 8

Quand est – ce que le produit vectoriel est nul ?

Exercice 9

Que représente géométriquement le produit mixte de trois vecteurs ?

Exercice 10

Le produit mixte de trois vecteurs reste invariant par permutation circulaire de ces trois

vecteurs. Ecrire sous différentes formes le produit mixte ( )321 ,, VVV

63

Exercice 11. Division vectorielle.

Soit l’égalité vectorielle suivante : bxa =∧ (1) où a et b sont deux vecteurs donnés et x le

vecteur inconnu. Notre but est de résoudre cette équation.

a) Quelle est la solution x si 0= et 0=b

b) Quelle est la solution x si 0≠ et 0=b

c) Quelle est la solution x si 0= et 0≠b

d) On suppose 0≠ et 0≠b et a n’est pas perpendiculaire à b

e) On suppose le cas général: 0≠ et 0≠b et a perpendiculaire à b

On suppose en outre que l’équation à résoudre admet une solution particulière

0x . On peut donc écrire bxa =∧ 0 (2). En soustrayant membre à membre les

équations (1) et (2), écrire la forme générale de la solution x de l’équation (1)

connaissant une solution particulière 0x

On cherche une solution particulière 0x de l’équation (2). Pour cela on multiplie

vectoriellement à gauche l’équation (2). Quelle est la particularité de 0x pour

avoir pour l’avoir plus facilement. Ecrire 0x .

Ecrire la solution x de l’équation (1).

On représente le x par le vecteur OM . Quel est l’ensemble du point M solution

de l’équation bOMa =∧ .

Exercice 12.

On donne deux vecteurs 1V et 2V , de module respectif 5 m/s et 3 m/s , qui font entre

eux un angle =30. Calculer ( )221 VV + .

Trouver le module de la somme vectorielle ( )21 VV + . Tracer ce vecteur somme.

Exercice 13.

Une pirogue traverse une rivière à la vitesse de 6 km/h. La vitesse du courant qui arrive

perpendiculairement à la pirogue est de 3 km /h (ces vitesses sont mesurées par rapport au

64

référentiel terrestre c'est-à-dire par un observateur placé sur une des rives). Dans quelle direction

est dirigée la pirogue.

Exercice 14

Montrer que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Exercice 15

Montrer que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.

Exercice 16

Déterminer un vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé par les vecteurs

kjiA 362 −−= et kjiB −+= 34

Exercice 17

Montrer la loi des sinus dans un triangle.

Exercice 18

Soit B et A deux vecteurs. Montrer que ( ) 2222BAB.ABA =+∧

Exercice 19

Comment une personne, se déplaçant suivant l’axe Ox, avec une vitesse U doit elle incliner

son parapluie pour se protéger au mieux de la pluie qui tombe parallèlement à l’axe Oy avec la

vitesse V

65

Exercice 20

Soient trois points non alignés et un point O pris comme origine

On pose cOC ,.bOB , ,aOA === .

Montrer que : acc bba ∧+∧+∧ est un vecteur perpendiculaire au plan ABC.

CORRIGES DES EXERCICES DE LA PREMIERE PARTIEEVAUATION FORMATIVE DE L’ACTIVITE 1.

1) M=5,25 0,02 Kg signifie que 5,23 Kg < M < 5,27 Kg

2) Un écriture plus correcte est D= 15,8 0,2 m

3) m=m1-m2-m3 m = m1+ m2 + m3

4) L’incertitude relative aa

.représente la précision de la mesure.

Si on a : m= 25,4 0,2 Kg, la précision de la mesure de m est

%8,04,252,0

==mm

5) - Si les deux vecteurs sont parallèles, on trace sur la droite d’action du premier vecteur, le

second vecteur

Si les deux vecteurs ne sont pas parallèles, on utilise la règle du parallélogramme.

6) Le produit scalaire d’un vecteur donné avec un vecteur unitaire quelconque représente la

projection orthogonale du premier vecteur sur le vecteur unitaire.

7) Le module du produit vectoriel de deux vecteurs représente la surface du parallélogramme

engendrée par les deux vecteurs.

66

8) Le produit vectoriel est nul si et seulement si :

-l’un des vecteurs est nul

- ou bien si les deux vecteurs sont parallèles.

9) Le produit mixte de trois vecteurs représente le volume du parallélépipède délimité par les

trois vecteurs.

10) ( ) ( ) ( ) ( )213132321321 ,, VVVVVVVVVVVV ∧•=∧•==∧•

11)

Division vectorielle

a) bxa =∧ 00 = indétermination : tout vecteur x de ;\’espace vectoriel est solution de

(1)

b) 0=∧x ax λ= , les vecteurs x parallèles au vecteur a sont solution de (1)

c) L’équation (1) s’écrit b=0 , ce qui est impossible : Il n’y a pas de vecteur x satisfaisant à

l’équation (1).

d) pas de solution car bxa =∧ entraîne forcément que ba ⊥

e) bxa =∧ (1)

bxa =∧ 0 (2)

(1)-(2) 0)( 0 =−∧ xx axx λ+= 0

( ) baxaa ∧=∧∧ 0 ( ) baxaaxa ∧=− 02

0. . Si 0x est perpendiculaire à a , on peut

facilement avoir 00 =x 20 abax ∧

−=

aa

bax λ+∧

−= 2

67

L’ensemble des points M, extrémité des vecteurs x appartiennent à la droite ()

passant par le point H, tel que 2abaOH ∧

−= et () est parallèle à a .

Exercice 12

( ) ++=++=+ cosV.VVVV.VVVVV 21

2

2

2

121

2

2

2

1

2

21 22

23352925302 21

2

2

2

121 ...cosV.VVVVV ++=++=+ o =7.745

68

b

a

2aba ∧

−

M

H

()

V1

V2

V1+V2

Exercice 13.

La pirogue est déviée d’un angle b de sa direction initiale d’un angle b tel que 21

63

1

2 ===bVV

tn

Exercice 14

Appelons ABCD le parallélogramme, P le point d’intersection de AC et BD , DCABa == , BCADb == .

On a :

baCBCDBD +−=−=)ba(xBP +−=

baBCABAC +=+=)ba(yAP +=

Or

69

A

BC

D

P

b

b

aa

V2: Vitesse du courant

V1 Vitesse de la pirogue

Rives

b

b)xy(a)yx(a

)ba(x)ba(ya

baPBAPAB

−++=

+−−+=

++=

Pour que l’égalité reste vraie, il faut et il suffit que le système suivant reste vraie :x + y = 1 et y – x =0 x = ½ et y=1/2 . P est donc au milieu de BP et de AC.

Exercice 15

Appelons OPQR le losange. PR et OQ les deux diagonales.

Formons le produit scalaire RP.OQ

)QPRQ).(RQOR(RP.OQ ++=

QPRQQP.OR.RQRQ.ORRP.OQ +++=2

)QP,QRcos(RQOROR)RQ,ROcos(.ORRP.OQ2222 +−+=

Les angles )QP,QR(et )RQ,RO( sont

supplémentaires, ils ont des cosinus opposés.

Alors 0=RP.OQ

RPet OQ sont perpendiculaires.

70

O

PQ

R

Exercice 16

BA ∧ est un vecteur perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs A et B

3010

15

134

36

2−=

−∧

−−=∧BA

Le vecteur unitaire parallèle à BA ∧ est BA

BAu∧

∧=

kji)()()(

kjiu76

72

73

301015

301015222

−−=+−+

−−=

Exercice 17c ,b ,a représentent les 3 côtés du triangle ABC et , b, les trois angles.

0=++ cbSi on multiplie vectoriellement cette somme vectorielle par a ou par b ou par c , on obtient

toujours un vecteur nul.Ainsi :

( ) ( ) ( ) 0=++∧=++∧=++∧ c b a cc b a bc b a a

( ) ( ) ( ) 0=+∧=+∧=+∧ b a cc a bc b a

0=∧+∧=∧+∧=∧+∧ bcccbbcbEt on en déduit :

a cc bb a ∧=∧=∧

71

b

A

BC

a

bc

Cette égalité vectorielle conduit à l’égalité des modules : a cc bb a ∧=∧=∧

absin =bcsin=casinb

En divisant cette double égalité par le produit abc, on a :

bsin

asin

csin b

=

=

Exercice 18

( ) 2222

⎟⎠⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞⎜⎝

⎛=+∧ )b,Acos(BA.)b,Asin(BAB.ABA

( ) { })b,A(cos).b,A(sinBAB.ABA 222222

+=+∧

( ) 2222BAB.ABA =+∧

Exercice 19

Soit V’ la vitesse des gouttes de pluie par rapport a (R’).UVV / −=

U est la vitesse d’entraînementLa personne doit incliner son parapluie d’un angle , tel que tan =U/ V.

72

V

x = x’

y

o

( R)

( R’)

U

V

U

V’

Exercice 20cOC ,.bOB , ,aOA === .

acc bba ∧+∧+∧ est un vecteur perpendiculaire au plan ABC.

Soit M un point du plan ABC.Posons rOM = .Le produit mixte ( )( ) 0=−∧−− )ca(ab).ar(

( ) 0=∧−∧−∧− caabcb).ar(

( ) 0=∧+∧+∧− accbba).ar(De cette dernière équation, nous en déduisons que :( )accbba ∧+∧+∧ est perpendiculaire à )ar( − .Donc ( )accbba ∧+∧+∧ est perpendiculaire au plan ABC.,

Activités d’apprentissage

Les apprenants et apprenantes doivent faire tous les exercices. Ils seront organisés en groupe

pour un travail collaboratif. Chaque groupe cherche les exercices proposés et désigne un

rapporteur de groupe qui fera le compte rendu du groupe pour chacun des exercices. Le tuteur

donne un timing pour la recherche de chaque exercice. Après le timing, chaque groupe va

envoyer en fichier attaché ses comptes rendus au Professeur titulaire du cours.

Guide de l’enseignant

Le Professeur corrigera les productions des groupes. Il dépose la correction dans un espace de

travail de accessible aux apprenants et aux apprenantes. La correction est accompagnée d’un

feedback adéquat. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du

groupe et vont compter pour 20% de l’évaluation finale du module.


Titre de l’activité : : Cinématique du point à 1D, 2D et 3D

73



Repérer la position d’un mobile dans un repère donné

Etablir les équations paramétriques d’un mobile

Calculer les coordonnées d’un vecteur dans un repère donné

Déterminer la vitesse d’un mobile

Calculer les coordonnées du vecteur accélération d’un mobile

Calculer l’accélération d’un mobile

Calculer des composantes intrinsèques de l’accélération

Trouver les équations de la trajectoire d’un mobile


Cette activité consiste à :

repérer la position,

trouver la trajectoire,

calculer la vitesse et l’accélération

d’un mobile dans un système de coordonnées cartésiennes, sphériques, cylindriques

ou polaires ainsi que les composantes intrinsèques de l’accélération pour les

mouvements curvilignes.

Concepts clés

Rayon vecteur : Vecteur indiquant la position du mobile à l’instant t

Flèche : Hauteur maximale atteinte par un projectile

74

Portée:Distance maximale atteinte par le projectile à partir de l’endroit du tir

Coordonnées d’un mobile : composantes du rayon vecteur en fonction du temps.

(Coordonnées cartésiennes [ x(t), y(t), z(t)]: coordonnées dans le repère cartésien

Coordonnées cylindriques [ (t), (t), z(t)] : coordonnées dans le repère

cylindrique

Coordonnées sphériques [ (t), (t), (t)] : coordonnées dans le repère

sphériques

Coordonnées polaires [ (t), (t)]) : coordonnées dans le repère polaire

Trajectoire : courbe décrite par le mobile quand le temps t varie.

Binormale : vecteur directement perpendiculaire au vecteur unitaire de la tangente et du

vecteur unitaire de la normale à la trajectoire.

Composantes intrinsèques de l’accélération : Composantes du vecteur accélération sur la

tangente et sur la normale à la trajectoire.

Lectures appropriées


1) RATIARISON, A. (2006). Cinématique du point. Madagascar. Université d’Antanarivo. Cours inédit

2http://abcsite.free.fr/physique/meca/me_ch3.htmlCinématique du point

3) http://www.chez.com/mecasite/Mecanique/cinematsol.htmCinématique du point


- http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/English/waves.htlm

75


http://www.chez.com/mecasite/Mecanique/cinematsol.htm


- http://www.infoline.ru/g23/5495/index.htlm

Liens utiles

http://perso.orange.fr/rmchs/physique_05/cours_physique/cours_mecach5_cinematique.pdfCalculs vectorielsComposition de forcesDérivation vectoriellePEREZ, J. P. (1997), Professeur de Physique – Université Paul Sabatier Toulouse – France. -

Mécanique – Fondements et applications , Edition MASSON, 120 bd St Germain 75 280 Paris Cedex 06http ://www.hazelwood.k12.mo.us/grichert/sciweb/applets.htlm M. CAZIN (1995), Cours de mécanique générale et industrielle– gautier viullars – tome 1, NY

1003 -1995http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/chien_j.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/4mouche_j.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/lissajou_j.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/cycloi_j.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/pndhgs_j.htmlhttp://electronics.free.fr/school/article.phys3?id_article=9 5 http://www.chez.com/Mecanique/cinematipts.htmhttp://www.ucd.ma/fs/modules/meca1/um1./modules3/cin2.htmhttp://perso.orange.fr/rmchs/physique_05/cours_physique/cours_mecach5_cinematique.pdfhttp://www.ucd.ma/fs/modules/meca1/um1./modules3/cin2.htm


L’activité comprend deux parties :

- Première partie : Etude détaillée de la chute libre. Cette partie nous sert non seulement de complément de cours mais aussi de révison de

ce que nous avons déjà vu dans les classes secondaires. Dans cette partie, l’étudiant ou

l’étudiante aura l’occasion de voir :

- La chute libre sans force de frottement,

- La chute libre avec force de frottement proportionnelle à la vitesse de chute,

- La chute libre sur un terrain en pente.

L’apprenant ou l’apprenante se familiarisera à la mise en équation des trajectoires des

projectiles en faisant varier l’angle de tir, en gardant les autres paramètres constants ; il ou elle

en fait de même en variant la vitesse initiale. Il ou elle révisera les méthodes d’intégration des

76








http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/4mouche_j.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/chien_j.html



équations du premier ou du second ordre. En téléchargeant le site ci-dessous il ou elle

s’amusera en vérifiant les calculs de la flèche, de la portée en fonction de l’angle d’inclinaison

du tir et de la vitesse initiale du projectile.

- Deuxième partie : une série de 9 exercices corrigés intégrant la plupart du temps le

calcul des équations paramétriques, de vitesse et d’accélération d’un mobile dans un système de

coordonnées. Dans certains cas, il s’agit de déterminer l’équation d’une trajectoire ; l’apprenant

ou l’apprenante est déjà familiarisé des méthodes d’intégration qu’il ou qu’elle a vu dans la

première partie de cette unité 2.


PREMIERE PARTIE DEL’EVALUATION FORMATIVE DE L’ACTIVITE 2 :ETUDE DETAILLEE DE LA CHUTE LIBRE

http://e.m.c.2.fr_chute-libre.htm\e.m.c.2.free.fr\pj00wdel.htm

A - Situation étudiée:

77

Voir l'animation virtuelle dans le site

http://e.m.c.2.fr_chute-libre.htm\e.m.c.2.free.fr\pj00wdel.htm

On lance avec une vitesse initiale un objet non chargé de masse m constante dans une région

assez petite pour que l'intensité de la pesanteur puisse être considérée comme constante.

On choisit le point O comme étant le point de départ du mobile M. On choisit un plan xOz

contenant et de la façon suivante:

L'axe Ox est horizontal, dans le sens du mouvement initial.

L'axe Oz est vertical et dirigé vers le haut.

On choisit un axe Oy perpendiculaire aux 2 précédents, donc horizontal et tel que le trièdre Ox,

Oy, Oz soit direct ou encore tel que:

On note l'angle orienté

78

B - Système: Le projectile de masse m constante, non chargé.

C - Référentiel:Terrestre supposé galiléen.

D - Bilan des forces:

a- Poids , vertical, dirigé vers le bas, de norme:

b - Résistance de l'air négligée ( c'est notre approximation la moins justifiée ). Elle peut être

importante; c'est en partie pour cela que les avions volent à 30 000 pieds environ. Elle dépend de

la vitesse: F = - k V ( en régime laminaire ), F = - k V 2 ou F = - k V3 ou plus complexe dans les

régimes turbulents. Les derniers km / h gagnés par le T.G.V., par exemple, coûtent cher.

Chute libre d'initiation en tamdem.

Début de chute 3 600 m. Fin de chute 1 500 m. Durée 45 s.

Compétition entre 2 forces: le poids, constant, et la résistance de l'air qui augmente avec la

vitesse et qui s'oppose au poids. On s'attend donc, à plus ou moins longue échéance, à une

égalité entre ses 2 forces, à une résultante nulle, à une accélération nulle et donc à une vitesse

constante. Au cours de ce saut, nous allions, au bout de 8 secondes environ, à 55 m/s soit 200

km/h. Le photographe, parti en même temps, va à la même vitesse.

79

c - Poussée d'Archimède de l'air: négligée car

L'air a une masse volumique au sol d'environ 1,3 kg/m3 alors que les corps dont nous étudions

le mouvement ont des masses volumiques de l'ordre de 1000 kg/m3 ou plus.

E - Relation fondamentale de la Dynamique - L'accélération:

Si le système choisi était le système "Terre + projectile", le poids ne serait pas une force

extérieure.

La masse se simplifie car c'est la même masse qui fait le poids du projectile et son inertie au

mouvement.

On obtient l'équation différentielle vectorielle suivante:

L'accélération est indépendante du temps. Elle est égale à - g ( avec l'orientation de Oz vers le

haut).

Elle dépend donc, comme g, de l'altitude et de la latitude terrestres.

Elle dépend aussi de la masse de l'astre attracteur ( Lune, Soleil, Planète...) et, au voisinage de

cet astre, de l'altitude et de la latitude.

En intégrant , il ne faut pas oublier les constantes qui pourront être déterminées grâce aux

conditions initiales imposées par la situation:

80

F - Première intégration - La vitesse:

Il y a deux invariants dans ce mouvement:

- la vitesse vy suivant l'axe Oy: initialement nulle, elle reste nulle, cela signifie que le projectile

reste dans le plan xOz. On peut maintenant passer sous silence ce qui se passe hors du plan

xOz.

- la vitesse vx (composante horizontale) suivant l'axe Ox est constamment égale à v0 cos .En

effet, la force ( le poids ) a une composante nulle suivant Ox et suivant Oy: il ne peut donc y avoir

de variation de vitesse suivant ces 2 axes.

Par contre la vitesse vz (composante verticale) dépend du temps t. ( le poids a sa composante

verticale non nulle ).

vz est positive Le projectile s'élève puisque Oz est dirigé vers le haut.

81

vz s'annule à l'instant Le projectile culmine.

vz est négative L'altitude du projectile diminue avec le temps

Comportement de la vitesse et de ses composantes vx et vz.

L'angle que fait la direction de la vitesse avec l'axe horizontal Ox vaut à l'instant 0 mais d'une

façon générale, à l'instant générique t:

Bientôt, on comprendra mieux la signification particulière de cet instant. C'est l'instant où le

projectile, parti d'une altitude z0 ( éventuellement 0 ), repasse par la même altitude

z0 ( éventuellement 0 ).

La norme de la vitesse dépend, elle-aussi, du temps:

, date du lancement.

, instant où le projectile a la même altitude qu'au lancement.

82

G - Deuxième intégration - La loi horaire du mouvement - L'équation paramétrique de la

trajectoire:

Reprenons la solution

à l'instant t = 0:

d'où la loi horaire du mouvement:

Mouvement rectiligne et uniforme de la projection orthogonale du projectile sur l'axe Ox.

La trajectoire est plane, contenue dans le plan xOz.

Comportement parabolique de la côte (ou altitude ) z.

83

Cette loi horaire est encore appelée équation paramétrique de la trajectoire ( le paramètre étant

le temps ) car en se donnant t, on peut calculer x et z correspondants et trouver l'ensemble des

points par où passe le projectile.

H - Equation cartésienne z ( x ) de la trajectoire:

Reprenons l'équation paramétrique:

Eliminons le temps t dans la ligne 3 en l'exprimant grâce à la ligne 1:

qui, injectée dans 3, donne l'équation cartésienne de la trajectoire:

C'est une parabole à concavité tournée vers le bas ( coeff. de x2 < 0 et axe Oz vers le haut ).

Le quotient est en mètres: le premier terme du second membre est bien homogène à une

longueur.

Expérience à la maison :

84

Webcam - 25 images par seconde - Pose 1/250 s - Règle de 30 cm.

I - Calcul de la flèche h:

1°) Utilisation de tS :

Elle est maximale pour = 90°.

2°) Utilisation de la dérivée dz / dx:

on exprime d'abord l'abscisse xS du sommet de la parabole.

Il vient:

85

Maximum pour

Ensuite on injecte

J - Calcul de la portée:

Soit C le point où le projectile percute le sol. La portée est OC. C est l'intersection de la

trajectoire du projectile et de la droite z = 0 soit

Maximum pour .

K - Variante 1: Le projectile part de l'altitude z0 différente de zéro. Il faut reprendre à partir de la

condition initiale qui porte sur z.

Tout ce qui précède (accélérations, vitesses, x (t) et y(t) ) reste inchangé. Seule change z (t). A

l'instant t = 0, z n'est plus égal à 0 mais à z0; la constante Cste3 est alors égale à z0 d'où la

nouvelle loi horaire:

L'instant de passage en S est le même. La flèche est augmentée de z0.

Plus difficile est le calcul de la portée. Il faut résoudre l'équation du second degré:

86

avec

soit ici,

L - Variante 2 - Terrain en pente:

Le terrain ( montant ou descendant ) peut être représenté par la droite z = z'0 ± a . x ou

encore z = z'0 ± x . tan

Pas de grosse difficulté supplémentaire, il suffit de résoudre

pour obtenir l'abscisse du point d'impact.

DEUXIEME PARTIE DE L’EVALUATION FORMATIVE DE L’ACTIVITE 2 : SERIE D’EXERCICES

1. a, k et sont des constantes. On donne le vecteur accélération d’un point mobile M

( )zytxtaka 124862 +ω−ω=

Déterminer le vecteur vitesse )M(V et le vecteur position MM 0 . M0 est la position initiale

du mobile M et on notera 0V la vitesse initiale.

87

2. Par rapport à un repère fixe orthonormé ( )z,y,x,OR , on considère un point mobile M dont

la trajectoire est donnée en fonction du temps par les équations paramétriques suivantes:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=

−=

=

3

3

2

33

4

4

ttz

)tt(y

tx

a) Déterminer le vecteur vitesse du mobile M

b) Déterminer la vitesse algébrique

c) Démontrer que la tangente à la trajectoire fait un angle constant avec l’axe ( )z,O

3. Par rapport à un repère orthonormé, un point M est animé d’un mouvement défini en

coordonnées cylindriques par :

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

+=

sinzt

cosr 1

a) Calculer les composantes en coordonnées cylindriques des vecteurs vitesse et

accélération.

b) Soit m la projection orthogonale de M dans le plan xOy. Ecrire l’équation polaire de

m.

4. Un point M décrit la courbe d’équations paramétriques :

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

3

2

tztytx

a) Déterminer les vecteurs unitaires du repère de Frenet à t=1.

b) Former les équations de la tangente, de la normale et de la binormale en un point

M de la trajectoire.

88

5. On considère un point décrivant une courbe (C). Dans un repère orthonormé direct fixe R,

à l’instant t, les composantes du point M sont :

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−=

=

534

4

tztsinytcosx

a) Déterminer les vecteurs unitaires du trièdre de Frenet

b) Déterminer la courbure et la torsion de la courbe (C) en M.

6. Si V , a et S sont respectivement la vitesse, l’accélération et la suraccélération (dérivée

de l’accélération), d’un point M décrivant une courbe (C), montrer que la courbure et la

torsion peuvent s’écrire :

( )23

aV

S,a,V-et V

aV

∧=τ

∧=ρ

7. Dans un repère orthonormé direct R, les coordonnées d’un mobile M sont, à chaque

instant t :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−=

−−

−−

z)ee(ay)ee(ax

tt

tt

02

22

2

a et sont des constantes positives ( a, a la dimension d’une longueur et celle de

l’inverse du temps t).

a) Ecrire l’équation cartésienne de la trajectoire du point M

b) Ecrire le vecteur vitesse du point M

c) Tracer la trajectoire pour t>0

89

d) Déterminer le vecteur accélération a et l’accélération tangentielle Ta

e) Déterminer le chemin parcouru par le mobile et l’aire balayée par OM pour t variant de

0 à .

8. Du haut d’une falaise qui surplombe la mer d’une hauteur h, on tire au canon sur un

bateau qui se trouve à la distance D du pied de la falaise.

a) sous quel angle doit on tirer pour que la vitesse initiale du projectile soit la plus

faible possible.

b) Quelle sera alors cette vitesse v0.

c) Quelle sera la vitesse du projectile au moment de l’impact sur le bateau

d) A quelle date se produira cet impact.

9. Un élément matériel est lancé d’un point fixe O vers l’aval d’un plan incliné d’un angle

par rapport au plan horizontal. La vitesse de lancement fait un angle avec le plan incliné.

a) Le projectile tombe en un point P du plan incliné. Déterminer la distance OP.

b) Déterminer en fonction de pour que OP soit maximum et calculer ce maximum.

CORRIGES DES EXERCICES OU REPONSES CLES DE L’EVALUATION FORMATIVE DE L’ACTIVITE 2

Exercice 1.

90

a) adtVd

= dtaVd = ∫= dtaV ( )∫ +−= dtzytxtakV 12486 222

( ) 032222 12163 VztytxtakV ++ω−ω=

b) Vdt

MMd=0 dtVMMd =0 ∫= dtVMM 0 ( )∫ ++−= dtVztytxtakMM 0

322220 12163

( )tVztytxtakMM 0242322

0 64 ++ω−ω=

Exercice 2.

1) Vecteur vitesse de M

dtOMdV =

)t()t(

tV

2

2

13148

+−=

2) Vitesse algébrique de M

s est l’abscisse curviligne

dtdsV =

On a : 2224

2

222222222

125255025

1911664

)t(ttdtds

)t()t(tdtdz

dtdy

dtdx

dtds

+=++=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛

++−+=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛

22242

222222222

125255025

1911664

)t(ttdtds

)t()t(tdtdz

dtdy

dtdx

dtds

+=++=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛

++−+=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛

En orientant la trajectoire dans le sens du mouvement on a :

( )215 tdtdsV +==

91

3) Angle de la tangente à la trajectoire et l’axe Oz

53

1513

2

2

=++

===)t()t(

dtdsdtdz

dsdz

)V,Oz(Cos

Le cosinus de cet angle est constant donc l’angle que fait la tangente à la trajectoire et l’axe Oz

est constant.

Exercice 3.

a) Les coordonnées cylindriques sont :( r, , z).Les coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées cylindriques sont (équation 71 du cours):

cosdtdzz

)cos(dtdrr

sindtdrr

)M(VR

==

+=

=

−==

=•

•

•

1

Les coordonnées du vecteur accélération sont (équation 72 du cours) :

sinz

sinrr

)cos()cos(cosrr

)M(a

Rc

R

−=

−=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ ++

ϑ+−=+−−=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ −

=

••

••••

•••

2

2

2222

22

211

sin

sin )cos(

)M(a

Rc

R

−−

ϑ+−=

2

2

2

221

b) Equation polaire de m, projection orthogonale de M dans le plan xOy.Les équations paramétriques du point m sont :r=1+cos et = tL’équation polaire de m est r=1+cos qui est une cardioïde.

Exercice 4.

Détermination des vecteurs unitaires du repère de Frenet.

Dans le référentiel( )k,j,i,O , le vecteur position s’écrit :

92

ktjtitOM 32 ++=

ktjtidtOMd 232 ++=

ktjdtOMd 622

2

+=

Soit ( )BNT e,e,e,M le trièdre de Frenet

Le vecteur Te est tangent à la trajectoire

dtOMd

Vdsdt

dtOMd

dsOMdeT

1===

Si on oriente la trajectoire dans le sens du mouvement

149321 242222 ++=++= tt)t()t(V

Le vecteur Te est donc :

1432

149

32124

2 kji

tt

ktjtidtOMd

VeT

++=

++

++==

La binormale Be est dirigée suivant:

26

6

620

321

−=∧=∧= )M()M(VB

1933

76266 kjikjieB

+−=

+−=

Le vecteur N de la normale à t=1 est :

181622

321

26

6−−

=∧−=∧= TBN

2669811

1064181622 kjikjieN

+−−=

+−−=

93

Pour t=1, x=1, y=1 et z=1

L’équation de la tangente est

31

21

11 −

=−

=− zyx

L’équation de la normale principale est :

91

81

111 −

=−−

=−

− zyx

L’équation de la binormale est :

11

31

31 −

=−−

=− zyx

Exercice 5.

Les vecteurs du trièdre de Frenet sont :

NTBT

NT eee ,dsed

Re ,

dsOMde ∧===

1

534

4

+=−=

==

tztsinytcosx

OM

5125

916162

22

2222

=⇒=

++=

++=

==

⎟⎠⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜⎝

⎛

dsdt

tcostsin

dsdt

xdtOMd

dsOMd

e

dtds

dtdz

dtdy

dtdx

dtds

T

D`autre part, 3

44

tcostsin

dtOMd

−−

= 3

44

51 tcos

tsine , T −

−=

94

Calcul de 0

254

254

111 tsin

tcos

Rdsdt

dted

Rdsed

Re , TT

N

−

===

Avec 254

254 2

=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛==dsed

R T

D’où 00

254

254

425 tsin

tcosetsin

tcos

e , NN

−=⇒

−

=

433

51

0344

51

−−−

=−

∧−−

=∧= tcostsin

tsintcos

tcostsin

eee NTB

Calcul de la torsion

253

0253

51

==t

−===

=t=

dsed

tsintcos

dted

dsdt

dted

dsed

edsed

B

BBB

NB

Exercice 6.

Le vecteur vitesse V est la dérivée du rayon vecteur OM

TeVdtds

dsOMd

dtOMdV ===

L’accélération a est la dérivée de la vitesse

NTT

T eVedtdV

dtds

dsed

VedtdV

dtVda +=+== 2

95

R1

= s’appelle la courbure de la trajectoire

En formant le produit vectoriel

BNTT eVeVedtdVeVaV =⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ +∧=∧ 32

En prenant le module, on a : V

aV3

∧=

La suraccélération est la dérivée de l’accélération.

dtds

dsed

VedtdVV

dtds

dsed

.dtdVe

dtVd

dtadS N

NT

T2

2

2

2 +++==

dsed

VedtdVV

e.

dtdVVe

dtVd

dtadS N

NN

T3

2

2

2 ++

+==

( )TBNN

T eedsdVe

dtdVV

e.

dtdVVe

dtVd

dtadS ∧ρ+ρ+

ρ+== 3

2

2

2

dsed

eVedsed

VedtdVV

e.

dtdVVe

dtVd

dtadS T

BTB

NN

T ∧+∧++

+== 332

2

2

∧+∧t++

+= N

BTNNN

Te

eVeeVedtdVV

e.

dtdVVe

dtVdS 332

2

2

Formons le produit mixte ( )a,VS

( ) 62 Va,V,S τρ−=

D’où

( )2

aV

S,a,V- ∧

=τ

96

Exercice 7.

a) Equation cartésienne de la trajectoire :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−=

−−

−−

z)ee(ay)ee(ax

tt

tt

02

22

2

En posant tef −= , ce système est équivalent à :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−=

z)ff(ay)ff(ax

02

22

2

fay

ax

)ff(ay

)ff(ax

=−⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

−=

22

2

2

2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−=

z)ff(ay)ff(ax

02

22

2

22

2

2

2

fay

ax

)ff(ay

)ff(ax

=−⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

−=

fay

ax

=−2

2fay

ax

=− ⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ −=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ −ay

ax

ay

ax 2

2 ( ) )yx(ayx −=− 42 2

La trajectoire est une branche de parabole.

b) Vecteur vitesse

)ff(ay

)ff(axV2

2

22

2

−−=

−−== •

•

97

b) Tracé de la trajectoire pour t>0

On étudie la variation de la courbe trajectoire comme on fait dans le traçage des courbes paramétriques.Le tableau de variation est ci-dessous.

T 0 F

•

x 0 - 0

X

•

y 2a + 0 - 0

Y

98

a3a/ 4

0

0

a/2

0

11/2

0

d) Vecteur accélération a

)ff(ay

)ff(axa22

22

42

22

−=

−== ••

••

Accélération tangentielle Ta( )22222

5624 fffaV +−ω=En orientant la trajectoire dans le sens du mouvement

( )25622 fffaV +−ω=

Le module de l’accélération tangentielle est :

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

−+−=+−==

2

222

56210925622

ff

fffafffadtd

dtdVa T

e) Chemin parcouru par le mobile et l’aire balayée par OM pour t variant de 0 à .

L’arc ∫∫∞∞∩

+−==0

2

0

5622 dtfffavdtIM

Pour calculer cette primitive, on écrit de façon classique :

99

I(t=0)

x

y

0 (à t=) 3a/4

M

55265

51

51

53

51

51

535265

22

222

2

+−

=

=−

=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ −=+−

dchdf.ff

dchdf

;shf

chfff

La primitive est : ( )+ chsh510

1, avec fonction de f et f fonction de t.

])f(f[Ln

)f(ch

;fsh

13535

351

35

2

2

+−+−=

−+=

−=

Pour t=0, f0=1, ( )520 +=θ Ln , sh0=2, 50 =ch

Pour t=, f=0, ( )310 −=θ∞ Ln , sh=-3, 10=∞ch

L’arc ⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡

++−

+=

∩

10352310

52

55Ln

aIO

Exercice 8.

100

a) Expression de

P désigne la position du bateau, l’angle de tirCherchons l’équation de la trajectoire du projectile.Suivant l’axe Oy, le mouvement est uniforme d’équation : t.cosVy = 0

Suivant l’axe Oz, le mouvement est uniformément varié avec une accélération constante –g,

d’équation horaire : t.sinVgtz +−= 02

21

L’équation de la trajectoire est :

y.tanVcosVygz +

−= 0

2

2202

1

Le bateau qui est à la distance D de la falaise est atteint par le projectile si et seulement si y=D et z= -h

DtancosVDgh +

−=− 22

0

2

21

(1)

Tirons V0 de cette expression et écrivons que V0 est minimum mais il est plus élégant de poser :

20

2

2VgDf −

=

Ce qui donne :

+

=− tanD

cos)(fh 2

En dérivant cette expression par rapport à , on a :

101

y

z

P

h

D

O

+

+

= 222

210cos

sinfcos

Dd

)(dfcos

`

Et écrire que 0=

d)(df

, ce qui donne += tanfD 20 ou bien = tangDV 20 (2)

Portons l’équation (2) dans l’équation (1).Il vient :

DtancostangD

Dgh +

−=− 2

2

21

Après simplification, on trouve : hDtan =2 ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛=

hDtanArc

21

Ou bien 02121

122 22

2 =−−⇒

=−⇒−

== tn

h

tn

h

tntn

tntn

h

tn

On pose sur une équation du second degré en X=tan dont la solution positive est :=−+= tanhDhX 22

b Calcul de V0.La vitesse V0 est telle que ( )hDhgDtangDV −+=α= 222

0

c vitesse du projectile au moment de l’impact sur le bateauLe mouvement est uniformément varié et on peut écrire :

[ ]hDhgVghVV ++=⇒=− 22220

2 2

d Date d’impact du projectile sur le bateau :

A partir de l’équation t.cosVy = 0 , on a : t.cosVD = 0 =

cosVDt

0

On élève au carré et on a : g

Dhsing

DcosVDt

22

220

22 2

22 +

=

=

=

Exercice 9.

102

L’équation de la trajectoire est :

)tan(y)(cosV

ygz −+−

−= 220

2

2On cherche les coordonnées de P sous la forme : yp= rcos et zp= rsin On porte les coordonnées de P dans l’équation de la trajectoire et on obtient

[ ]

−=−+

−

== 2

20

220 22

cossin)cos(

gV

)tan(tancos

)(cosgV

OPr

Pour que r soit maximum, il faut que soit maximum l’expression :)cos(sin −

La valeur maximale de cette expression correspond à celle de qui annule sa dérivée par rapport à .

Il vient :020 =−⇒=−+−− )cos(cos)cos(sin)sin(

22 π

=− 24

+π

=

Dans ces conditions )sin(g

Vr imummax −

=1

20


103

z

y

P

a=-

O








travail accessible aux apprenants et aux apprenantes. La correction est accompagnée d’un




104

Titre de l’activité : Equilibre des solides



se familiariser avec les concepts de l’équilibre d’un solide

distinguer un mouvement de translation d’un mouvement de rotation

rappeler les effets d’un moment résultant et de la résultante de plusieurs forces.

calculer la position du centre de gravité d’un solide ou d’un ensemble de solides

Résumé de l’activité :

La statique est l’étude des conditions pour lesquelles les corps sont immobiles,

relativement à un référentiel R, galiléen ou non, lié à l’observateur. Ces conditions

concernent notamment la répartition des forces qui s’exercent sur ces corps au repos.

Pour cette étude, nous avons introduit la notion de torseur qui se réduit à la

résultante générale et au moment résultant de toutes les forces appliquées à un solide.

L’équilibre d’un solide soumis à un ou plusieurs forces se traduit par un torseur nul

(résultante générale nulle et moment résultant nul)

Concepts clés :

Résultante générale= la somme vectorielle d’un système de vecteurs (forces)

Moment résultant = la somme vectorielle des moments d’un sytème de vecteurs

(forces)

Torseur = un système de vecteurs libres (forces) qui se réduit à la résultante géné-

rale et au moment résultant

Réaction : Force contrant une action

105

Centre de gravité = Point où semble être concentrée toute la masse d’un système

de points matériels.

Lectures appropriées :


1) RATIARISON, A. (2006). Equilibre des solides sur un plan. Madagascar. Université d’Antanarivo. Cours inédit

2) http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique_du_solide

Statique du solide

3) http://www.ac-poitiers.fr/cmrp/cpge/docs/Coursdemodelisationetdestatique.docStatique de solide

Ressources appropriées :

The Free High School Sciences: A Textbook for High School Students Studing physics –

FHSSt Authors- December 9, 2005

ANSERMET, J.-P. ( 2004-2005), La mécanique rationnelle – Formation de base des

Sciences et des ingénieurs – Institut de Physique des nanostructures- Ecole Polytechnique

Fédérale de Lausanne de Lausanne– PHB – Ecublens, 1015 Lausanne

TIPLER, P. A. (1995). Physics for Scientists and Engineers –– Worth Publishers. New

York, NY 1003

PEREZ, J.P. (1997). Mécanique : Fondements et applications. MASSON

106


http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique_du_solide



Liens utiles:


107





108





Cette activité comprend deux parties : Une première partie comprenant un complément de cours sur les forces agissant sur un solide. Les forces peuvent, selon leur intensité :

- maintenir un solide en équilibre, - mettre un solide en mouvement de translation,- mettre un solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe.- déformer un objet.

Pour compléter les connaissances des apprenants ou des apprenantes sur ces faits, il semble utile et nécessaire de faire un rappel de cours sur ces points. Ce complément de cours concerne :

- le poids d’un corps,- la réaction d’un support,- les forces de frottement solide-solide,- l’équilibre d’un solide sur un plan incliné avec des surfaces de contact rugueux,- l’étude de la déformation d’un ressort sous différentes forces.

une deuxième partie comportant huit exercices différents qui se rapportent à des so-lides en équilibre sur un support. Pour chaque exercice le schéma correspondant est don-né. Dans la plupart des exercices, il s’agit de trouver les conditions d’équilibre du solide ou du système considéré

109




PARTIE I : COMPLEMENTS DE COURS SUR LES FORCES AGISSANT

SUR UN SOLIDE

FORCES MACROSCOPIQUES S'EXERCANT SUR UN SOLIDE

RESULTANTE DES FORCES MICROSCOPIQUES

REPARTIES EN VOLUME OU SUR UNE SURFACE

1-1 Le poids d'un corps

Définition : On appelle poids d'un objet ponctuel, situé en un point M donné, la force

s'opposant à la force exercée par un fil qui maintient cet objet ponctuel au repos par rapport au

solide Terre, pris comme référentiel

Dans ce système de référence, le poids de l'objet ponctuel peut se mettre sous la forme :

= m où est, par définition, le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré.

Remarque : Pour un objet de dimensions finies le montage devrait se trouver sous vide afin de

s'affranchir de la poussée d'Archimède. Notons que chaque particule microscopique (atome,

molécule, ion, etc.) de l'objet est soumise à l'attraction gravitationnelle de la Terre, représentée

par le vecteur force . La somme de ces forces réparties dans tout le volume du

corps est notée .

Peut-on confondre le poids d'un objet et la force d'attraction gravitationnelle qu'exerce

la Terre sur cet objet ?

110

En toute rigueur, il faudrait écrire : = + +

- est le poids de l'objet.

- est la force d'attraction gravitationnelle de forte intensité qu'exerce la terre sur cet objet.

- est une force de faible intensité due à l'attraction des astres autres que la terre (lune, soleil,

etc.) sur cet objet.

- est une force de faible intensité due à la rotation de la terre et s'exerçant sur l'objet.

- Dans les problèmes étudiés en 1° S et terminale S on peut négliger et .

On confond alors le poids de l'objet et la force d'attraction gravitationnelle qu'exerce la terre sur

cet objet.

On écrit : =

Remarque :Dans certains problèmes étudiés dans l'enseignement supérieur, on ne peut plus

négliger et . En effet :

La force est responsable du phénomène des marées.

La force explique que la direction du fil à plomb ne passe pas exactement par le centre de la

Terre.

Le vecteur poids d'un objet est caractérisé par :

- son point d'application : le centre de gravité de l'objet, confondu avec le centre d'inertie.

- sa direction : celle du fil à plomb, pratiquement confondue avec la verticale.

- son sens : vers le bas.

- son intensité P = m g (1) où m représente la masse de l'objet (en kg) et g, l'intensité du vecteur

pesanteur (en N/kg).

La valeur de g varie un peu avec la latitude et beaucoup avec l'altitude. En France, au niveau de

la mer, g = 9,81 N/kg.

111

1-2 La réaction d'un support

Considérons un solide S au repos sur une table horizontale.

figure 1

Référentiel d'étude : le solide Terre.

Système étudié : le solide S.

Le solide S est soumis à 2 forces :

- le poids (essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le solide S)

- la force (action verticale de la table sur le solide S)

L'existence de la force s'impose d'après le principe de l’inertie, étudié en classe de seconde

Pour un observateur terrestre, tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement

rectiligne uniforme, si les forces qui s'exercent sur lui se compensent

Ici, pour un observateur terrestre, le solide S est au repos. La somme des forces agissant sur lui

doit donc être nulle.

Pour compenser le poids vertical, dirigé vers le bas, il faut que la table exerce une force de

contact verticale , dirigée vers le haut et telle que :

(2)

112

Remarque : Cette force représente la somme des forces réparties sur toute la surface de

contact entre la table et le solide S. Ces forces sont dues aux interactions électromagnétiques

entre les atomes de la table et du solide.

1-3 Les forces de frottement solide-solide.

Plaçons un solide S sur un plan légèrement incliné. Si le contact est suffisamment rugueux le

solide S reste au repos par rapport au référentiel terrestre. Il ne glisse pas sur le plan incliné.

figure 2

D'après le principe de l'inertie (Pour un observateur terrestre, tout corps persévère dans son état

de repos, ou de mouvement rectiligne uniforme, si les forces qui s'exercent sur lui se

compensent) le poids vertical, dirigé vers le bas, est encore compensé par une force ,

verticale, dirigée vers le haut et telle que :

(3)

113

Cette force de contact exercée par le plan incliné sur le solide S peut être décomposée suivant

deux composantes :

, l'action normale du plan incliné sur le solide, perpendiculaire à ce plan incliné, qui

empêche le solide de pénétrer dans le support.

, l'action tangentielle du plan inclinée sur le solide, sur la tangente parallèle à la ligne de plus

grande pente du plan incliné, qui s'oppose au glissement du solide. Cette force modélise les

forces de frottement qui sont importantes lorsque les surfaces sont rugueuses.

On peut écrire = + (4)

- Portons la relation (4) dans la relation (3) qui traduit, ici, l'équilibre du solide S par

rapport au référentiel terrestre. On obtient :

- + + = (4)

Remarque : D'après le principe de l'inertie, la relation + + = (4), qui équivaut à la

relation (3), est encore satisfaite si le solide glisse à vitesse constante sur la ligne de

plus grande pente du plan incliné.

- Absence de force de frottement : En l'absence de frottement l'action du plan incliné sur le so-

lide se réduit à la composante normale . C'est, par exemple, le cas lorqu'on place le solide sur

une table à coussin d'air.

Sous l'action de et de l'équilibre du solide est alors impossible (la somme + est

différente du vecteur nul ). Le solide, posé sans vitesse initiale sur le plan incliné, prend un

mouvement de translation rectiligne avec une vitesse croissante suivant la ligne de plus grande

pente.

114

figure 3

2- EXEMPLES D'EFFETS PRODUITS PAR DES FORCES S'EXERCANT SUR UN SOLIDE- Les

forces peuvent maintenir un solide en équilibre (voir l'exemple 1 et l'exemple 2).

- Les forces peuvent mettre un solide en mouvement de translation (voir l'exemple 3).

- Les forces peuvent mettre un solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe.

Considérons, par exemple, une porte entr'ouverte et immobile. Une force appliquée sur la

porte la fera généralement tourner autour de l'axe fixe (sauf si la force est parallèle à l'axe ou si

le support de la force rencontre l'axe).

- Les forces peuvent avoir d'autres effets. Nous étudierons avec un peu plus de détails leur

action sur un ressort.

115

Exercice : Etude de la déformation d'un ressort.

Enoncé

On considère un ressort à spires non jointives de longueur à vide Lo = 15 cm et de masse

négligeable. On accroche une de ses extrémités à un support fixe. Lorsqu'on accroche un solide

S (masse marquée m) à son autre extrémité, sa longueur devient L.

On fait varier m et on note les différents longueurs L à l'équilibre :

m (en g) 0 50 100 150 200

L ( en cm) 15,0 15,5 20,0 22,5 25,0

a- Faire le schéma du montage. Représenter les deux forces agissant sur le solide puis sur le

ressort.

b- Construire le graphe représentant la valeur commune T des deux forces agissant sur le

ressort en fonction de l'allongement du ressort.

c- Montrer que l'on peut écrire T = k (L - Lo). Déterminer la valeur de k, appelée coefficient de

raideur du ressort.

On prendra g = 10 N/kg.

116

Solution

Faisons un schéma du montage en représentant, d'abord, les deux forces agissant sur le solide.

Figure 4

117

Représentons maintenant les deux forces agissant sur le ressort de masse négligeable.

figure 5

b- Construisons le graphe représentant la valeur commune T des deux forces agissant sur le

ressort en fonction de l'allongement du ressort.

Au tableau donné par l'énoncé ajoutons deux lignes donnant la valeur de la force T et la valeur

de l'allongement x. On utilise les unités du système international.

M en Kg 0 0,050 0,100 0,150 0,200

L en cm 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250

T=mg=10.m en N 0 0,500 1,000 1,500 2,000

X=L-L0 =L-0,150 en m 0 0,025 0,050 0,075 0,100

118

figure 6

c-Montrons que l'on peut écrire T = k (L - Lo)

Le graphe ci-dessus montre que les points sont sur une droite passant par l'origine.

La force T est donc une fonction linéaire de l'allongement x = L - Lo.

On peut donc écrire T = K (L - Lo).

La tension T du ressort est proportionnelle à son allongement.

Le coefficient K est appelé coefficient de raideur du ressort. Sa valeur est :

K = T / (L - Lo) , K = 2,00 / 0,100 soit : K = 20 N / m

Remarques :

Sous forme vectorielle, on peut écrire :

= K (voir la figure 5).

La relation associée à l'équilibre du solide S dans le référentiel terrestre s'écrit :

119

+ = (voir la figure 4)

m + K = ou encore : m - K =

DEUXIEME PARTIE DE L’EVALUATION FORMATIVE DE L’ACTIVITE 3 : SERIE D’EXERCICES

Exercice 1.

Une planche de 12 m de longueur et pesant P1 = 90 N est soutenue par deux supports A et

B. A 2 m de B, dans le sens du vecteur BA , on place un poids d’intensité P2 = 360 N. Trouver

les forces exercées par les supports A et B

Exercice 2.

Une échelle de longueur L=5m et de poids d’intensité P= 60 N s’appuie sur un sol rugueux

horizontal AB et sur un mur vertical BC. On suppose que le mur n’exerce pas de force de

frottement sur l’échelle. Le pied de l’échelle sur le sol horizontal se trouve à z =3 m du pieds du

mur.

120

L = 10 mL1= 1 m

L2=1 m

L3= 3 m

A BCD EF

WP

Ra Rb

1 Quelles sont les forces mises en jeu pour l’équilibre de l’échelle ?

2 Tracer ces forces sur le schéma.

3 Trouver la distance BC = y,

4 Le centre de gravité de l’échelle est G qui se projette orthogonalement en J sur le sol

horizontal. Trouver la distance AJ=x.

5 L’échelle est en équilibre statique sous l’effet de plusieurs forces non parallèles signifie

que ces forces sont à supports concourants.

121

K

F2

n

F1

x

y

P

z=3m

5 mM

ur v

ertic

al

Sol horizontal

AB

C

/

Quel est le coefficient de friction statique minimum nécessaire entre l’échelle et le sol pour

que l’échelle ne glisse pas.

Exercice 3.

Une échelle AB, de masse m et de

longueur l, est appuyée contre un mur

de hauteur h (voir figure), Les contacts

en A et B étant dépourvus de frottement,

on maintient l’échelle incliné d’un angle

par rapport à la verticale, grâce à un fil

horizontal OA.

Calculer les réaction des supports

en A et D ainsi que la tension du fil.

Exercice 4.

On désire suspendre un tableau, de hauteur h,

sur un mur lisse, de telle sorte que le clou d’attache F,

sur le mur soit au même niveau que le point le plus

haut du tableau (voir figure).

1. Montrer que le point d’attache à l’arrière du ta-

bleau doit être situé à une distance détermi-

née du point le plus bas du tableau.

2. Evaluer, en fonction en fonction de la lon-

gueur du fil et de h, l’angle que fait le tableau

avec la verticale. En déduire que l doit être

122

F T

A

C

g

h

AO

D

B

g C

compris entre deux valeurs que l’on exprimera

en fonction de h.

Exercice 5.

On désire étudier les efforts aux liaisons dans

la console représentée sur la figure ci-contre.

La barre AB de longueur l, est horizontal et la

barre DE, de longueur 4l/3, fait un angle de 30 avec la

verticale.

La barre horizontale supporte une charge

uniformément répartie de valeur P.

On néglige les poids des barres.

Calculer les efforts en A, D et E.

Exercice 6.

Une console mobile ABC, ayant la forme d’un triangle

rectangle isocèle (AB = AC =h), est installée sur un tuyau de

diamètre 2r, comme montre la figure ci-contre. Le facteur de

frottement statique entre la console et le tuyau est mS.

On néglige le poids de la console devant la charge P

placée sur AC.

Calculer la distance x à l’axe du tuyau pour laquelle la

charge mg peut être supportée sans qu’il y ait glissement de la

123

g

A’ A

P

C

x

h

h

BB’

P g

BDA

E

30

console.

Exercice 7.

Une échelle double se compose de deux

échelles simples, AO et BO de même longueur l,

de même poids Mg, articulées sans frottement au

sommet commun O.

Soit 2 l’angle au sommet des deux

échelles et m le facteur de frottement avec le sol.

Un homme H de poids mg monte sur l’échelle AO

à une distance du sommet O.

Montrer que si l’angle augmente, c’est

l’ échelle BO qui glissera la première.

Discuter l’influence de x dans le cas particulier où m=M.

Exercice 8.

124

g

OO

A B

H

x2

Soient trois tiges AD, DB et CH de masse négligeable se trouvant dans un même plan

vertical.

L’ensemble est soumis à la force verticale extérieure 1F .

Trouver la réaction sur chaque articulation, pour que le système soit en équilibre. (Pour des

raisons de commodité du problème, on impose à que la réaction en C soit normale à la tige DB).

Exercice 9.

Déterminer le centre de masse (centre de gravité) d’un quart d’un disque homogène

125

A B x

D

CE30

H

F2a

2b

4a

c

Exercice10.

Déterminer le centre de masse (centre de gravité) d’un demi disque homogène de rayon R

et de masse M.

Exercice11.

Déterminer le centre de masse (centre de gravité) d’une demi sphère homogène de rayon

R et de masse M.

126

y

CORRIGES DE LA SERIE D’EXERCICES DE LA DEUXIEME PARTIE DE L’EVALUATION FORMATIVE

DE L’ACTIVITE 3 :

Exercice 1

Ce système est en équilibre si le torseur des efforts en A ou en B est nul.

La résultante générale des forces appliquées au système est nulle :

0=+++ PWRbR Ra +Rb-W-P=0 Ra+Rb=W+P

127

L = 10 mL1= 1 m

L2=1 m

L3= 3 m

A BCD EF

WP

Ra Rb

Le moment résultant en A est nul

-W.AC - P.AC + Rb.AB=0

=+

=AB

AC.PAC.WRb et Ra=W+P-Rb=

Exercice 2

Les forces s’exerçant sur la planche sont : son poids P , la réaction horizontale 1F du mur et la

réaction 2F du plancher. Ces trois forces doivent être concourantes et soit K le point de

concours des supports de ces trois forces. Les composantes de la force 2F suivant la verticale et

l’horizontal sont respectivement nF et sF .

La condition d’équilibre est le torseur nul :

⎩⎨⎧ ==⇒=−

=⇒=−⇒=++

verticalelasuivant N 60PFn PFhorizontall'suivant FF FF

PFFn

1 ss

00

0 121

Le moment de ces forces en O est nul :

F1.BC – P. x =0 N,,xBCPxF 522

45160

1 ===

Si m est le coefficient de friction du plancher, le plancher ne glisse pas si on a :

Fs mFn ==> 395060

522 ,,FF

n

s ===m

128

Exercice 3

Soient, respectivement DA R ,R ,T la tension du fil, la réaction en A et la réaction en D.

L’échelle étant immobile, on a :

0=+++ A RRTm et

0=∧+∧ RAmAC

En projetant suivant les axes, on a :

-T+RDcos=0

129

K

Fn

FS

F2

F1

x

y

P

z=3m

5 mM

ur v

ertic

al

Sol horizontal

AB

C

/

-mg+ RA + RD .sin=0

mg(l/2)sin=0

mg(l/2)sin-(RDh)/cos=0

Il en résulte: −=== sinRmgetR,cosRT),sin(h

mglR DADD 24

Exercice 4

1. Pour que le torseur associé aux trois forces gm , la réaction R en O et la tension du fil T

soit nul, ils faut qu’elles soient coplanaires et concourantes. Il en résulte que les points F,

A et H soient alignés. Le triangle AFO et AHC sont homothétiques. Par conséquent si

Ao=a, on a :

212 ==

−

OFCH

h

d’où 3ha =

2. Comme −+= 22222 2 cosahacoshl 313

2

22 −=

hλ

cos , et 10 2 ≤≤cos , on en déduit que :

32

3hlh

≤≤

Exercice 5

L’équilibre de la tige AB est réalisé si la résultante générale des forces est nulle et aussi le

moment résultant des forces en A est nul.

Soient (XA,YA) les composantes de la réaction en A,

(XD, YD) celles de la réaction en D

130

(XE, YE) celles de la réaction en E

XA+XD = 0 ; YA+ YD – P = 0 et

032

2=−

llDYP

De même, l’équilibre de DE se traduit en écrivant que la somme et le moment des forces en D

sont nuls :

XE-XD = 0 ; YE - YD = 0 et

0323 =+−l)XY( EE

On en déduit :

PYY ED 43

== ; 43PXXX AED =−== ;

4PYA =

Exercice 6

Sous l’action de la charge, les contacts apparaissent en B et au point A’, symétrique de par

rapport à l’axe du tuyau.

Traduisons les conditions d’équilibre en annulant le torseur des actions extérieures en A’.

Soient (XA’,YA’) les composantes de la réaction en A’,

(XB, YB) celles de la réaction en D

On a : XA’+XB = 0 ; YA’+ YB – P = 0 et

(x+r)P-hXB – 2rYB =0

Comme A’ s’appuie sur le tuyau, XA’ <0 , XB>0, YA’ >0, YB>0 car ces composantes sont

opposées au glissement naissant vers le bas.

131

La résolution de ce système donne :

s

s

s

BsBs'AsB'A

hx

rhrx

XXXYYP

m=

mm+

=+

m=m+m−=+=

2

22

2

Exercice 7

Traduisons l’équilibre du système en annulant le torseur des forces qui s’exercent sur l’ensemble

en O, ainsi que le torseur des forces qui s’exercent sur la tige OBuuur

en O. On a pour l’ensemble :

2 0 0A B A BR R M g mg et OA R OB R OH mg+ + + = Λ + Λ + Λ =ur ur ur ur r uuur ur uuur ur uuuur ur r

et pourOBuuur

:

20 0B a bR R M g et OG M g OB M g→+ + = Λ + Λ =ur ur ur r uuur ur uuur ur r

132

En projetant dans la base ( , )x ye er r

, on obtient : 0, (2 ) 0A B A BX X Y Y M m g+ = + − + = et :

sin sin sin 0 0cos cos cos 0

0 0 0 0 00 0

A B

A B

X Xl l xl Y l Y x mg

− −− Λ + − Λ + − Λ − =

Il en résulte que :

sin cos sin cos sin 0 ( ) 0A A B B B Al Y l X l Y l X mgx soit l Y Y mgx − + + + + = − + =

Puisque

0A BX X+ = . On en déduit que :

(2 ) (1 ) (2 )2 2 2B A Ag g x g xY M m m Mg m et Y M m g Y

l l= + − = + − = + −

Annulons le moments des actions qui s’exercent en O sur OBuuur

:

133

g

OO

A B

H

x2

x

Mg Mgmg

RBRA

y

sin( / 2) 0 sin 0cos( / 2) cos 0

0 0 0 00

B

B

Xl ll Mg l Y

− Λ − + − Λ =

En posant (1 / ) /u m x l M= − , on obtient :

tan tantan ( ) 1 1 (1 )2 2 2A B B

Mg Mg m x MgX X Y uM l

⎡ ⎤⎛ ⎞=− = − + = + − = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

et

(1 ) (1 )2 2B

mg x uY Mg Mgl

= + − = +

La discussion est facilitée à l’aide d’un plan cartésien dans lequel l’abscisse est u et l’ordonnée

les forces en unité Mg (Fig. S23.5). Dans le cas où m M= , on a, en coordonnées réduites :

tan (1 )2

(1 )2

3 22

AA B

BB

AA B

Xx x uMgY uyMgY uy yMg

= =− = +

= = +

= = − = −

134

Pour que l’équilibre soit possible, il faut que la droite | / |A sx m coupe les droites représentant

A By et y dans l’intervalle [0,1] pouru . Plusieurs cas se présentent :

(1) tan( / 2 ) 2 tan 4s ssoit m m> > : Pas d’équilibre possible.

(2)1 tan( / 2 ) 2 2 tan 4s s ssoit m m m< < < < : Les points A et B glissent.

(3) 3 / 4 tan( / 2 ) 1 3 / 2 tan 2s s ssoit m m m< < < < : Le point B glisse avant A.

(4) 0 tan( / 2 ) 3/ 4 0 tan 3 / 2s sou m m< < < < : Pas de glissement.

Exercice 8

135

On a ici un problème à 5 articulations : les articulation en A, en B, en C, en D et en E.

Dans le système de coordonnées sur le schéma les composantes des différentes forces

appliquées au système sont :

YX

R , YX

R , YX

R , YX

R , YX

R , F

F5

55

4

44

3

33

2

22

1

11

11

0

1R est la réaction en A

2R est la réaction en B

3R est la réaction en C

4R est la réaction en D

5R est la réaction en E

L’immobilité de HC donne les équations suivantes :

136

A B x

D

CE30

H

F12a

2b

4a

R1

R2

R3

R4

R5

c

y

⎩⎨⎧

=++−=+

⇒=++−⇒=++(2) YYF

(1) XXYX

YX

FRRF0

0

000

000

00

351

353

3

5

5

1351

Somme des moments par rapport à E nul

F1.HE+Y3.EC=0

F1.c +Y3.a =0 (3)

(3) acF

Y 13 −= (4)

02

23

03030

3

3

03

03

3R

R

sinRcosR

R ==

533 23 XRX −== ou bien

acFRX 3

23

133 −==

23

35 Rx −= (5)

(4) a

cFR 1

32−

= , en module a

cFR 1

32

=

acF

X31

5 −= ,en module acF

X31

5 = (6)

(2) et (4) donnent

⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−=−=

acF

acF

FYFY 1111315 (7)

Immobilité de la tige AD

4 5 1 0R R R+ + =uur uur uur r

137

4 5 1

4 5 1

00

0 0 0 0

X X XY Y Y+ + =

moment

4 1

4 5 1

4 5 1

(8)0 (9)

0 (10)

X XX X X

Y Y Y

=⎧⎪⇒ + + =⎨⎪ + + =⎩

(8) et (9)

1 5 1 5

1 1 5

1 4 1

12 02

3 3(6)2 2

3'2

X X X X

c cX F car X Fa a

cd où X X Fa

⇒ + = ⇒ =−

⇒ = =−

= =

Immobilité de la tige DB

4 3 2 0R R R+ + =uur uur uur r

4 3 2

4 3 2

00

0 0 0 0

X X XY Y Y

−+ + − =

moment par rapport au point B

4 3 0BD R BC R∧ + ∧ =uuur uur uuur uur r

138

4 3

4 3

4 4 3 3

4 sin 30 2 sin 30 04 cos30 2 cos30 0

0 0 0 0 0

4 sin 30 4 cos30 2 sin 30 2 cos30 0

a X a Xa Y a Y

a Y a X a Y a X

− −+ ∧ + + ∧ =

− − − − =

on a la relation

4 3 4 3

34 1 1 3

3 34 1

1 3( 2 ) (2 ) 02 2

32 2

31 3 3' ( 2 ) ( 2 ) 02 2 2 2 2

Y Y X X

Rcor X X F et Ya

R Rcd où Y Fa

+ + + =

= =− =

+ + − + =

4 3 1

4 1 1 4 1 4 1

3 02

2 3 0 02 2 2 2

cY R Fa

c c c cY F F Y F ou bien Y Fa a a a

+ − =

⇒ + − = ⇒ − = =

ensuite

4 3 2

1 1 12 2

0

02 2

Y Y YcF cF cFY Y

a a a

+ − =

− − = ⇒ =−

et 4 3 2

1 1 12 2

0

3 3 302 2

X X X

c F cF c FX Xa a a

+ − =

− + − = ⇒ =−

D’après (10)

139

1 4 5

1 11 1

1 1

0

2312

Y Y YcF cFY F

a acY Fa

=− − =

=− − −

⎛ ⎞=− +⎜ ⎟⎝ ⎠

Exercice 9

Le centre de gravité est défini par ∫=)S(

dmOMOGM

Considérons un secteur de base rd , de rayon r. L’angle est compté a à partir de l’axe Ox

∫π

π=⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ s=

22

34

21

321

0teursecsurfacedu

teursec du gravite de lecentre

Grdrcosr

Mx

43421

48476

∫π

π=⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ s=

22

34

21

321

0teursecsurfacedu

teursec du gravite de lecentre

Grdrsinr

My

43421

48476

140

rd

Exercice 10

Par raison de symétrie le centre de gravité se trouve sur l’axe Oy .

dyrdSdm s=s= 2

22 yRr −=

∫ −s=R

G yRydyMy0

222

On pose uyR =− 22 et on intègre pour U allant de R à 0

∫ π=s−=

02

342

RG

Rduuy

141

dy

y

r

R

Exercice 11

∫∫∫π

=−=π==RRR

GRdz)zR(zdzrzdVzMz

0

422

0

2

0 4

83RzG =

Activités d’apprentissage.

Les apprenants et apprenantes doivent lire attentivement le complément de cours sur les forces

appliquées à un solide. Cette partie les aidera à placer les différentes forces avant d’appliquer le

principe de l’équilibre.

Après, ils doivent faire tous les exercices. Ils seront organisés en groupe pour un travail

collaboratif. Chaque groupe cherche les exercices proposés et désigne un rapporteur de groupe

qui fera le compte rendu du groupe pour chacun des exercices. Le tuteur donne un timing pour la

142

recherche de chaque exercice. Après le timing, chaque groupe envoie en fichier attaché ses

comptes rendus au Professeur titulaire du cours.

Guide de l’enseignant.


travail accessible aux apprenants. La correction est accompagné d’un feedback adéquat. Les

notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter

pour 20% de l’évaluation finale du module.


Titre de l’activité:

Composition des mouvements-

Dynamique du point matériel –

Travail, énergie, puissance –

Oscillateurs



Calculer les caractéristiques cinématiques d’un mobile (vitesses et accélérations)

Calculer l’énergie cinétique

Calculer le travail d’une force

Appliquer les théorèmes de l’énergie

143

Utiliser les lois de compositions des mouvements


Cette actvité permettra aux apprenants et aux apprenantes de :

- maîtiser les calculs des vitesses et des accélérations,

- décrire les différentes forces appliquées à un système donné,

- savoir manipuler les opérateurs vectoriels et les outils mathematiques

Ensuite, connaissant les trois lois de Newton, le travail, le théorème de l’énergie cinétique,

il peut aisément écrire et résoudre les systèmes différentiels régissant les lois du mouvement.

Concepts clés

Travail = Energie concédée par ue force pour déplacer un corps d’un endroit à un autre.

Mouvement absolu = mouvement par rapport à un repère fixe ou absolu

Mouvement relatif = mouvement par rapport à un repère mobile

Mouvement d’entrainement = mouvement qu’aurait un mobile s’il était fixe par rapport au

repère mobile.

Energie cinétique = énergie d’une masse en mouvement

Pendule = tout corps suspendu

Oscillateur = tout corps qui oscille autour d’une position d’équilibre

Période = temps mis par un oscillateur pour faire une oscillation complète

144

Lecture appropriées


1) RATIARISON, A. (2006). Référentiels, Dynamique du point matériel, Travail-Puissance-Energie.-fFaculté des Sciences -Oscillateurs. Université d’Antanarivo. Cours inédit.

2) Papanicola Robert, http://www.sciences-indus-cpge.apinc.org/IMG/pdf/ CIN2_DERIVATION_VECTORIELLE.pdf


3) http://abcsite.free.fr/physique/meca/me_ch3.htmlDynamique du point matérielleTravail, énergie, puissanceOscillateurs

4) RATIARISON, A. (2006). Grandeurs physiques, Opérations vectoriellles. Madagascar.

Université d’Antanarivo. Cours inédit.


*CAZIN, M. (1972). Cours de mécanique générale et industriielle- Gauthier Villars- Tome

1

* PEREZ, J. P. (1995), Mécanique Fondement et applications –MASSON-

* TIPLER, P. A. – Worth Publishers (1995) , Physics for Scientists and Engineers – New

York, NY 1003 –

* The Free High School Sciences: A Textbook for High School Students Studing physics –

FHSSt Authors- December 9, 2005 from http://savannah.nongnu.org/projects/fhsst

* ANSERMET, J. P. (Version 2004-2005), La mécanique rationnelle – Formation de base

des Sciences et des ingénieurs – Institut de Physique des nanostructures- Ecole

Polytechnique Fédérale de Lausanne de Lausanne– PHB – Ecublens, 1015 Lausanne.

* CLAUDE, S. B. Exercices de mécanique from http://www.univ-nantes.fr

145

http://www.univ-nantes.fr/





* MEYER, D. Exercices de mécanique. from http://www.chimix.com/mines/dyna1.htlm

* http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/English/waves.htlm

* http://www.infoline.ru/g23/5495/index.htlm

* SAINT BLANQUET Claude, Exercices de mécanique, http://www.univ-nantes.fr

* D. MEYER, Exercices de mécanique, http://www.chimix.com/mines/dyna1.htlm

* http ://www.hazelwood.k12.mo.us/grichert/sciweb/applets.htlm

Liens utiles

Calculs vectoriels

Cinématiques


Intégraction des fonctions à plusieurs variables

Intégration vectorielle



http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/epiclc.html








http://www.keepschool.com/cours-fiche-les_systèmes_oscillants

http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/prlong.htm


http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/froflu.htm


Cette activité se subdivise en deux grandes parties :

146

http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/froflu.htm


http://www.sciences.univ-nantes.fr/%20physique/perso/cortial/bibliohtm/prlong.htm









http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/epiclc.html



http://www.chimix.com/mines/dyna1.htlm

http://www.univ-nantes.fr/



http://www.chimix.com/mines/dyna1.htlm

Partie I : Un compléments de cours comportant des connaissances fondamentales et des connaissances générales. Dans ce complément de cours, on trouve quatre petits exercices nous montrant des phénomènes physiques vus dans la vie courante tels:

- le champ de pesanteur terrestre,- la déviation vers l’est quand on laisse tomber un objet sans vitesse initiale,- la déviation du pendule de Foucault,- le phénomène des marées.Les apprenants ou apprenantes peuvent télécharger les sites ci-dessous pour voir les

animations.

Partie II : Des exercices dont quatre d’entre eux sont relatifs, aux lois de composition des vitesses et des accélérations, à l’application du principe fondamental de la dynamique dans un référentiel fixe ou dans un référetiel relatif, à celle du théorème de l’énergie cinétique et à celle des oscillateurs mécaniques amortis et non amortis.

Ces exercices sont tous obligatoires. Ils seront résolus individuellement par chaque apprenant et apprenante qui fera son propre compte rendu à envoyer au Professeur par email.


PREMIERE PARTIE DE L’EVALUATION FORMATIVE DE L’ACTIVITE 4

COMPLEMENTS DE COURS

Table des matières

Joindre l'auteur

Quelques phénomènes de dynamique terrestre

Plan

1. Le champ de pesanteur

terrestre

2. La déviation vers l'Est

Les illustrations et animations de Geneviève Tulloue

Rotation de la Terre

Effet Coriolis

147

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/index.html#Menu%20principal

mailto:[email protected]

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/blanquet/synophys/synodex.htm

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/geode.fig

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Geode.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Coriolis.fig

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Coriolis.html

3. Le pendule de Foucault

4. Le phénomène des

marées

Pendule sur un plateau tournant

Pendule de Foucault

Les dépressions

Marées (influence du Soleil)

Marées (influence de la Lune et du Soleil)

Limite de Roche

Les saisons

CABRI

Dans un référentiel lié au sol terrestre, l'équation fondamentale de la dynamique s'écrit :

)(Mar est l’accélération relative de M

m la masse de M

zr

KMMG T

T 2)( −= est le champ d’attraction universelle à une distance r RT , rayon de la terre

W est la vitesse de rotation de la terre

[ ])()( CGMGm AA − est l'attraction universelle des astres autres que la Terre

aF est la force appliquée sur l'objet M

1. Le champ de pesanteur terrestre Le poids d'un corps et le champ de pesanteur

sont définis par la relation :

148

http://www-cabri.imag.fr/index.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Foucault1.fig

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Foucault1.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Foucault.fig

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Foucault.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Depression.fig

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Depressions.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Marees.fig

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Marees1.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Marees1.fig


http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Marees2.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Saisons.fig

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Saisons.html

où est le champ d’attraction

universelle à un distance rayon de la terre

On appelle verticale la direction du vecteur .

Sur le sol terrestre (ou au voisinage), et , aussi

en première approximation on confond assez souvent et .

explique bien les variations du champ de pesanteur terrestre. Souvent, on se

contente de .

2. La déviation vers l'Est

si on néglige l'attraction universelle des astres autres que la Terre et s'il n'y a

pas de forces appliquées sur l'objet.

En projetant sur le repère Oxyz, on obtient :

149

en négligeant le terme

devant

A l'instant , on lâche l'objet, sans vitesse initiale, d'une hauteur par rapport au sol .

Par intégration, en négligeant z devant et devant , on trouve

et .

Ce phénomène est connu sous le nom de déviation à l'est.

est égal à 27 mm pour et . L'effet est donc très

faible et souvent négligé.

Il existe, dans l'hémisphère Nord (Sud), une déviation au Sud (Nord) encore plus négligeable.

3. Le pendule de Foucault

Le pendule simple de longueur reste peu

incliné par rapport à l'axe vertical.

; ;

( )

;

;

150

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/RefTerre/Foucault.fig

Le fil du pendule simple est inextensible et la masse m est soumise à son poids et à la tension

due au fil.

Le vecteur rotation propre de la Terre est égale à : ,

si bien que

Dans la dernière équation, le terme est négligeable (il n’est pas écrit lorsque qu’on néglige la

force de Coriolis), le terme aussi (pendule en permanence peu écarté de la verticale). Ceci permet

d’écrire .

Les équations deviennent

Pour résoudre ce système, on peut le découpler par

dérivation ou, mieux, utiliser la variable

complexe qui conduit

à

En intégrant, on obtient :

151

Cette solution fait apparaître un mouvement tournant dans le plan Oxy à la pulsation

(période où est la période sidérale de la Terre). La rotation s'effectue dans le sens inverse

dans l'hémisphère Nord et dans le sens direct dans l'hémisphère Sud.

Ce phénomène a été étudié par Foucault au siècle dernier à l'aide d'un pendule de 67 m de longueur

suspendu au dôme du Panthéon.

Remarque : Il existe d'autres phénomènes mettant en évidence la rotation de la Terre sur elle-même, les

plus connus sont le mouvement tourbillonnaire de vidange d'un lavabo, l'érosion préférentielle d'une

des rives d'un fleuve s'écoulant vers le Nord ou vers le Sud.

4. Le phénomène des

marées

Si l'on considère la masse d'eau

considérable d'un océan, il n'est

plus possible de négliger le

terme qui est

responsable des marées.

Pour commencer, nous ne

considérons que l'influence de la

Lune.

Aux deux points Z et N, est orienté

vers l'extérieur de la Terre et s'oppose à l'attraction

terrestre tout en restant de même direction.

En un point M quelconque, a une

composant horizontale [maximale si Z(ou N)CM vaut 45°]

produisant une déviation de la verticale.

Il en est de même pour le Soleil.

Les déviations maximales sont de 0,017" pour l'action de la

Lune, de 0,008" pour celle du Soleil.

152


Ces déviations, bien que très faibles, sont mises en évidence par la variation de la surface des océans :

celle-ci se modifie à chaque instant de manière à être constamment perpendiculaire à la verticale.

Les effets dus aux autres astres sont négligeables, de sorte qu'en pratique seuls les effets dus à la Lune

et au Soleil sont à considérer . Ces effets s'ajoutent lorsque le Soleil, la Terre et la Lune sont alignés : ce

sont les marées de vive-eau, ils se compensent lorsque les directions Soleil-Terre et Terre-Lune sont

perpendiculaires : ce sont les marées de morte-eau. Enfin, aux équinoxes de printemps et d'automne,

l'effet dû au Soleil est maximal : ce sont les marées d'équinoxe.

La rotation de la Terre sur elle-même explique l'existence

de deux marées hautes et de deux marées basses chaque

jour.

DEUXIEME PARTIE DE L’EVALUATION FORMATIVE DE L’ACTIVITE 4

153

SERIE D’EXERCICES

Exercice 1.

Un anneau de masse m, de dimensions négligeables glisse et se déplace sur une piste hélicoïdale circulaire d'axe Oz et dont les équations paramétriques sont : x = r cos ; y = r sin ; z= h .

Les forces appliquées sont le poids, une force de frottement d'intensité constante f, colinéaire à la vitesse mais de sens contraire et une réaction de la piste normale au déplacement à chaque instant.

Dans un référentiel terrestre galiléen :

1. Exprimer les composantes cartésiennes de la force de frottement en fonction de f, r, et angle entre la vitesse et le plan horizontal. Pour la suite on admettra que cet angle est constant et on expri-mera tan en fonction de h et r.

2. Calculer le travail de la force de frottement lors du déplacement entre les points B (=4π) et A (=0).

3. Exprimer en fonction des données le travail du poids et de la réaction de la piste entre B et A. 4. En déduire la vitesse de l'anneau au point A sachant que sa vitesse initiale était nulle en B. Discu-

ter.

Exercice II

- Un solide (S) de masse m = 5 kg est mobile sur des rails ABC situés dans un plan vertical. AB= 4,0 m ;

BD est un arc de cercle de rayon R = 10 m. (S) est initialement immobile en A. On exerce entre A et B,

sur (S), une force F parallèle à AB et de valeur constante constante. Le solide monte jusqu’en D puis

revient en arrière. H= 3 m ; g = 9,8 m s–2. Les frottements sont néglileables.

154

1. Exprimer puis calculer la vitesse de (S) en B.

2. Exprimer puis calculer la valeur de F.

3. Exprimer puis calculer la vitesse de (S) en C. ( h = 1,5 m). Montrer que la vitesse en C est la

même à l’aller et au retour.

4. Déterminer l'action R du support au point C.

5. Au point D le solide peut-il être en équilibre ?

6. Comparer la durée des trajets AB et BA.

II- Les frottements ne sont plus négligés. La valeur f des frottements est constante. Le solide s'arrête au

retour en B.

1. Exprimer puis calculer f et F.

2. Comparer à l’aller et au retour :

- les valeurs de la vitesse en un point quelconque de l’arc BD

- la durée des trajets BC et CB.

III On exerce sur le solide (S) une force F' plus faible ; ce dernier atteint D puis s'arrête, au retour, à une

hauteur h' = 0,5 m. Justifier ce comportement du solide.

155

Exercice 3

On s'intéresse à quelques propriétés des oscillateurs à une dimension, c'est à dire dont l'évolution en

fonction du temps peut être analysée par une fonction x(t). On appelle oscillateur harmonique tout

système dont la fonction x(t) correspondante est solution de l'équation différentielle :

0 rad/s,est la pulsation propre de l'oscillateur

le pendule élastique :

On considère un solide (S) de masse m, de centre d'inertie G. Quand S est immobile dans le référentiel

du laboratoire, G est en O, origine de l'axe horizontal x'x. Le solide S a pour seul mouvement possible une

translation rectiligne le long de l'axe x'x.

S est soumis a une seule force, la tension T d'un ressort élastique de constante de raideur k, de masse

négligeable. Il n'y a pas de frottement et le poids du solide est compensé par la réaction du support. La

position de S est repérée par l'abscisse de G.

1. Montrer qu'on a réalisé là un oscillateur harmonique dont l'évolution au cours du temps est régie

par l'équation :

156

Expliciter la fonction x(t) si les conditions initiales du mouvement sont à t=0, x(0)=A, amplitude

positive et v(0) =0.

2. On appelle espace des phases( dans ce cas précis, plan des phases) le plan de coordonnées {x,

dx/dt}. Quel est pour l'oscillateur harmonique, la trajectoire du point P caractéristique de l'état du

système dans l'espace des phases?

3. de quelle fonction énergie potentielle la tension T dérive-t-elle? Retrouver l'équation ci-dessus en

utilisant la conservation de l'énergie mécanique.

Exercice 4

1. Le solide S précédent assimilable à un point matériel, est mobile sans frottement le long de l'axe

des x. Il est soumis à une force F colinéaire à l'axe x'x et dérivant d'une fonction énergie potentielle

Ep(x) qui ne dépend pas explicitement du temps

- deux trajectoires du point P de l'espace des phases, défini à la question précédente, peuvent-

elles se couper?

- Quelles conditions Ep(x) et ses dérivées par rapport à x doivent-elles vérifier pour que le mouve-

ment de M soit, au voisinage d'une position d'équilibre M0, d'abscisse x0 assimilable à celui d'un

oscillateur harmonique.

2. Le champ de force est réalisé de la façon suivante : le point M est mobile sans frottement sur l'axe

x'x par l'intermédiaire d'un ressort de raideur k et de longueur à vide l0. O étant la projection ortho-

gonale de A sur l'axe des x, on posera OA = l qui peut être plus grande ou plus petite que l0.

157

- Exprimer l'énergie potentielle Ep(x) en fonction de x et des paramètres k, l et l0.

- Y a-t-il des positions d'équilibre? Quelles sont les allures de la fonction Ep(x)?

- Au voisinage de ces positions peut-on parler d'oscillateur harmonique?

3. Différents systèmes physiques peuvent être modélisés par un solide S assimilable à un point ma-

tériel de masse m mobile le long d'un axe des x, soumis à une tension d'un ressort et à une force

de frottement visqueux, c'est à dire opposée à la vitesse( - kx'), k constante positive.

4. Etablir l'équation différentielle vérifiée par x(t). Indiquer l'allure des solutions suivant la valeur du

coefficient k.

- Pourquoi un dispositif de feinage à courants de Foucault réalise t-il mieux une telle force de frei-

nage qu'une palettee dans un liquide?

- Que penser du cas<0?

Exercice 5

pendule pesant :

Il est constitué d'un solide de masse m et de centre de gravité G, mobile, sans frottement autour d'un axe

horizontal , perpendiculaire au plan de la figure. Le moment d'inertie du solide par rapport à cet axe est J

158

1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par (t). Montrer que si reste petit, le pendule pesant peut

être assimilé à un oscillateur harmonique de pulsation propre ²0 = mga / J.

2. Etudier briévement le cas d'un pendule simple pour lequel le solide est constitué d'un point maté-

riel de masse m suspendu à un fil tendu, sans masse de longueur l.

Exercice 6

L'énergie potentielle d'interaction entre les atomes d'une molécule diatomique est donnée par l'expression

du potentiel de Morse : E(r) =A(1-exp-a(r-r0) )².

r : distance variable entre les atomes, a : constante positive, r0 et A : paramètres positifs dont il faudra

déterminer la signification physique.

1. Quelle est l'expression des forces d'interaction moléculaires. Déterminer r, pour qu'il y ait

équilibre ? Cet équilibre est-il stable ?

2. Retrouver ces résultats en utilisant l'énergie potentielle.

3. Calculer l'énergie de dissociation de la molécule.

4. L'énergie potentielle d'interaction entre 2 nucléons est donnée par le potentiel de Yukawa soit :

E(r) =-B r0/r exp-r/r0. En déduire les forces d'interaction nucléaires.

5. Représenter les forces précédentes et les comparer.

Exercice 7

Soit une particule ponctuelle M de masse m gravitant à la distance r =OM du centre d'un corps sphérique;

elle est soumise à une force attractive : Le poids de la particule est négligeable.

1. Exprimer son énergie potentielle en fonction de K et de r.

159

2. La trajectoire de la particule étant circulaire de centre O, montrer que le mouvement est uniforme ;

calculer l'énergie cinétique de la particule.

3. Calculer son énergie mécanique.

4. On provoque une diminution relative de 10-4 de l'énergie mécanique. Que deviennent la vitesse et

le rayon de la trajectoire?

5. La distance initiale est OM=r0. Quelles sont l'énergie minimale et la vitesse qu'il faut lui communi-

quer pour l'arracher de l'attraction du corps sphérique.

Exercice 8

Une particule se déplace dans un champ de forces

Suivant la trajectoire définie par les équations paramétriques, dans le système des unités SI:

x=3t ; y=2t2 ; z=t-2

1. Calculer la puissance reçue par la particule à l'instant t.

2. Quelle est la position de la particule lorsque cette puissance est minimale?

3. Calculer le travail fourni par le champ de forces entre les instants t1=0s et t2= 2s?

4. Quel est ce travail si la particule est astreinte à se déplacer en ligne droite de sa position à l'instant

t1=0 à sa position à l'instant t2=2s? Conclusions?

Exercice 9

1. La suspension d'une voiture automobile, de masse M=600kg est schématisé par un ressort de rai-

deur k. On constate que les roues, dont on négligera la masse, quittent le sol lorsque la voiture est

soulevée d'une hauteur h=30cm. Déterminer:

160

2. La raideur k du ressort.

3. L'équation du mouvement verticale, ainsi que la période des oscillations verticales de la voiture à

vide.

4. Que devient la période avec 4 passagers de masse totale m=300kg.

5. On ajoute à la suspension précédente un amortisseur qui crée une force de frottement proportion-

nelle à la vitesse verticale f = -bv.

A vide, le régime d'amortissement est critique. Ecrire l'équation du mouvement vertical. Déterminer

b.

6. Lorsque la voiture contient 4 passagers, quelles sont

- l'équation du mouvement vertical.

- La pseudo-période T', la comparer à la période propre de l'oscillation non amortie.

On donne g=10m.s-2.

Exercice 10

Un pendule élastique A de masse m = 0,1kg, de raideur 2om = 20 N/m, oscille sans frottement

solide le long d’une tige qui fait un angle constant o avec la verticale descendante.

1°/ a) Etablir l’équation différentielle dynamique du mouvement de A le long de la

tige fixe. Trouver la position autour de laquelle s’effectue le mouvement des oscillations et calculer la

période du mouvement.

b) On constate que les oscillations s’amortissent selon une loi exponentielle. A quelle type de force

fait – il attribuer cet amortissement. Au bout de 30 oscillations, l’amplitude est divisée par trois. Calculer le

décrément logarithmique et le facteur qualité du pendule.

161

2°/ On fait tourner la tige uniformément autour de la verticale avec une vitesse angulaire W .

Exprimer dans le référentiel tournant l’énergie cinétique du pendule, son énergie potentielle de pesanteur,

son énergie potentiel élastique et son énergie potentielle centrifuge. Etablir en absence du frottement,

l’équation différentielle du mouvement. En déduire la position d’équilibre et la période des

oscillations sachant que oor 9,0sin =

Exercice 11

On considère deux ressorts de même longueur L et de raideur différents k1 et k2.

1) Les ressorts sont placés verticalement en parallèle. L’extrémité supérieure est fixe et l’autre porte

une masselotte A de masse m. Trouver l’expression de la pulsation de l’oscillation ainsi formée.

Conclure.

2) Même question lorsque les deux ressorts sont placés en série. Conclure.

Exercice 12

Dans tout l'exercice, on prendra g = 10 m / s2. On négligera les frottements. On utilise un ressort de

masse négligeable, à spires non jointives.

1 Etude préalable du ressort

Pour déterminer la raideur k d'un ressort, on accroche une de ses extrémités à un support fixe.

162

Lorsqu'on accroche une masse marquée m = 200 g à son autre extrémité, le ressort s'allonge de

10,0 cm.

a) Vérifier que la raideur du ressort vaut 20,0 N / m.

b) En utilisant le théorème du centre d'inertie, montrer que la raideur peut aussi s'exprimer en kg /

s2.

En quelle unité la quantité s'exprime-t-elle ?

2- Etude d'un oscillateur élastique

a) On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure 2. Le ressort est horizontal, une

de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre extrémité un solide (S) de masse m = 200 g.

Ce solide peut se déplacer sans frottement le long d'un axe horizontal Ox. À l'équilibre, le centre G

du solide coïncide avec l'origine 0 du repère.

- Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement de G.

- Vérifier que, si l'on choisit correctement To, la fonction , de période To, est

solution de l'équation différentielle précédente.

- Calculer numériquement la valeur de la période To.

b) On comprime le ressort vers la gauche. Le point G occupe alors la position Go telle que OGo =

- 0,15 m.

163

http://perso.orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/Physique_16_PROBLEME_RESOLU_16_A.htm#ANCRE_figure_2

A l'instant t = 0, on lâche le solide sans vitesse initiale. Déterminer l'amplitude X M et la phase

odu mouvement, ainsi que l'expression de la vitesse v (t) du solide. En déduire la valeur

maximale de la vitesse.

c) Définir et exprimer l'énergie mécanique de cet oscillateur non amorti. Calculer sa valeur à

l'instant t = 0. (On prendra l'énergie potentielle du ressort nulle lorsque x = 0).

En admettant et en utilisant la conservation de cette énergie mécanique, retrouver la valeur

maximale de la vitesse du solide.

Exercice 13

Les valeurs numériques nécessaires à la résolution sont données à la fin de l'exercice.

Pour modéliser le ressort du système de suspension de voiture, un élève suggère d'utiliser un ressort de

constante de raideur k (valeur indiquée par le fournisseur).

A - Etude des oscillations libres

Cet élève utilise un système d'acquisition de données schématisé figure 1.

164

Deux électrodes A et B, immobiles, plongées dans la solution S, sont reliées aux bornes positive et

négative d'un générateur de tension. Une tige métallique t, recouverte d'un isolant sur toute sa longueur,

est fixée à la masse m. Son extrémité E, légèrement dénudée de son isolant, suit donc exactement le

mouvement de la masse m.

La mesure de la tension entre le point E et la borne 0 V du générateur permet de détecter la position de E

(le dispositif de mesure n'est pas représenté sur le schéma). Ainsi, il est possible de connaître la position

de la masse m au cours des oscillations.

Après réglage des paramètres du logiciel d'acquisition, l'élève écarte la masse m vers le bas, de 1 cm, et

il laisse le système osciller librement.

Le déclenchement de l'acquisition se fait par le passage à la position d'équilibre. La courbe obtenue est

donnée sur la figure a.

165

A-1 Commenter l'allure de la courbe. A quel type d'oscillations correspond-elle ?

A-2 Déterminer graphiquement la période T0 d'oscillations de la masse m suspendue au ressort.

A-3 Cette valeur est-elle en accord avec la valeur théorique

A-4 On ajoute à l'extrémité E de la tige un disque horizontal de volume et de masse négligeables. Des

forces de frottement interviennent alors. Dessiner l'allure de la courbe obtenue après une nouvelle

acquisition.

B - Etude des oscillations forcées

L'élève relie maintenant l'extrémité haute du ressort à un excentrique mu par un moteur (figure 2) et

réalise plusieurs enregistrements pour différentes vitesses de rotation du moteur mesurées par la

fréquence de rotation f en Hertz. A l'extrémité de la tige se trouve toujours le disque horizontal de volume

et de masse négligeables.

166

L'élève relève l'amplitude de chaque courbe enregistrée.

f (Hz) 1,5 2,0 2,5 2,8 3,1 3,2 3,3 3,6 4,0 4,5

xmax (cm) 0,4 0,6 1,0 1,5 2,1 2,3 2,0 1,5 1,0 0,7

B-1 Quel nom donne-t-on au moteur muni de l'excentrique et au système (ressort + masse) ?

B-2 Construire la courbe représentant xmax en fonction de la fréquence f.

Quel phénomène obtient-on à f = 3,2 Hz ?

Comparer la fréquence fR des oscillations à la résonance à la fréquence propre f0 des oscillations libres

non amorties du système (ressort + masse).

B-3 Quel(s) changement(s) observerait-on si on utilisait une solution S' plus visqueuse.

167

C - Suspension d'une automobile

Le système de suspension d'une automobile comprend des ressorts et des amortisseurs.

L'automobile est donc un système mécanique oscillant de fréquence propre f0.

Certaines pistes du désert ont un aspect de "tôle ondulée" : elles comportent une succession régulière de

bosses, distantes de L (quelques dizaines de centimètres).

Pour une vitesse VR, le véhicule subit des oscillations de forte amplitude qui diminuent dangereusement

sa tenue de route.

C-1 Expliquer ce phénomène.

C-2 Exprimer la vitesse VR en fonction de f0 et L.

Calculer cette vitesse en km.h - 1 avec f0 = 5,0 Hz et L = 80 cm.

Données :

k = 40 N.m -1

m = 100 g

π= 3,14

168

Exercice 14

Dans tout l'exercice, on prendra g = 10 m / s2. On négligera les frottements. On utilise un ressort de

masse négligeable, à spires non jointives.

1 Etude préalable du ressort

Pour déterminer la raideur k d'un ressort, on accroche une de ses extrémités à un support fixe.

Lorsqu'on accroche une masse marquée m = 200 g à son autre extrémité, le ressort s'allonge de

10,0 cm.

a) Vérifier que la raideur du ressort vaut 20,0 N / m.

b) En utilisant le théorème du centre d'inertie, montrer que la raideur peut aussi s'exprimer en kg /

s2.

En quelle unité la quantité s'exprime-t-elle ?


a) On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure 2. Le ressort est horizontal, une

de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre extrémité un solide (S) de masse m = 200 g.

Ce solide peut se déplacer sans frottement le long d'un axe horizontal Ox. À l'équilibre, le centre G

du solide coïncide avec l'origine 0 du repère.

- Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement de G.

- Vérifier que, si l'on choisit correctement To, la fonction , de période To, est

solution de l'équation différentielle précédente.

169

http://perso.orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/Physique_16_PROBLEME_RESOLU_16_A.htm#ANCRE_figure_2

- Calculer numériquement la valeur de la période To.

b) On comprime le ressort vers la gauche. Le point G occupe alors la position Go telle que OGo =

- 0,15 m.

A l'instant t = 0, on lâche le solide sans vitesse initiale. Déterminer l'amplitude X M et la phase

odu mouvement, ainsi que l'expression de la vitesse v (t) du solide. En déduire la valeur

maximale de la vitesse.

c) Définir et exprimer l'énergie mécanique de cet oscillateur non amorti. Calculer sa valeur à

l'instant t = 0. (On prendra l'énergie potentielle du ressort nulle lorsque x = 0).

En admettant et en utilisant la conservation de cette énergie mécanique, retrouver la valeur

maximale de la vitesse du solide.

Exercice 15

Un ressort de raideur K est horizontal, une de ses extrémités est fixe On accroche à son autre extrémité

un solide de masse m. Ce solide peut se déplacer le long d'un axe horizontal Ox. Soit O la position du

centre d'inertie du corps à l'équilibre (voir la figure).

Il existe des frottements. On admettra qu'ils se réduisent à une force = - h où désigne la vitesse

instantanée du solide. Le coefficient h est positif.

1- Etablir l'équation différentielle caractéristique du mouvement du solide.

2- Quelle est la nature de ce mouvement ? Donner l'allure de x (t) selon la valeur du coefficient

d'amortissement A = h / m.

3- Energie de l'oscillateur.

170

http://perso.orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/Physique_19_PROBLEME_RESOLU_19_A.htm#fig

a) Donner l'expression de l'énergie mécanique du système solide-ressort.

b) Etablir la relation entre la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps et la puissance de la

force de frottement.

c) Commenter cette relation en termes de transferts d'énergie.

4- A l'aide d'une interface reliée à un ordinateur. on a relevé une tension u proportionnelle à x (t) .

L'ordinateur est programmé de telle sorte qu'à 1 volt corresponde 1 cm.

A partir du graphique ci-dessus :

a) Déterminer les conditions initiales imposées à cet oscillateur

b) Calculer la pseudo-période.

c) Déterminer l'énergie mécanique Em de l'oscillateur à chaque passage par un extremum négatif de x

(se limiter aux quatre premiers).

Que peut-on dire du rapport (Em) i / (Em) i + 1 ? Donnée : k = 10 N / m.

171

d) Déterminer le travail de la force de frottement entre les passages par le 1° puis le 4° extremum

négatif.

Exercice 16

Un point mobile de masse m est repéré par rapport à un repère galiléen ( )zyx e,e,e,OR . On appelle R’

le repère de centre O et de base ( )zr e,e,e θ avec zr ezerOM +=

1 On prend R’ comme repère relatif et repère de projection des résultats vectoriels. Calculer par

composition de mouvement )M(aet )M(V RR , puis les retrouver par calcul direct.

2 Pour la suite du problème, on suppose z=0 ; le point M est mobile sur le plan xoy. En plus de son

poids zemgP −= , il est soumis à 2 forces 2Fet F1 , définies par :

172

r

HH

M

ex

ey

ez

e

er

)M(VemFet eemrF Rzr ∧λ=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ +=

•

21 2 , λ est un scalaire fonction de t.

a) A partir de la relation fondamentale de la dynamique, donner les équations scalaires

du mouvement de M.

b) Ecrire le théorème de l’énergie cinétique et montrer qu’il existe une intégrale pre-

mière de l’énergie qu’on demande d’expliciter.

3 On suppose que λ=0 est que le point M est mobile sans frottement sur un cercle de centre O et de

rayon a qui réagit avec une force de liaison L . On suppose qu’à l’instant t=0, le point M est immobile

avec =0. A l’aide de l’intégrale première de l’énergie, exprimer L en fonction de seul.

Retrouver l’expression différentielle du mouvement de M à partir du théorème du moment cinétique

au point).

Exercice 17

Un point matériel mobile M de masse m est repéré par rapport à un repère galiléen ( )zyx e,e,e,OR par les

paramètres sphériques (r, , f). On appelle R’ le repère de centre O et de base ( ) e,e,e r , avec

rerOM = .

1 On prend R’ comme repère relatif et repère de projection des résultats vectoriels. Calculer par

composition de mouvement )M(aet )M(V RR . Puis les retrouver par calcul direct.

2 Pour la liste du problème, le point M décrit sans sanas frottement le cercle méridien de centre O

et de rayon a du plan Oxz. A position est repéré par l’angle ( )OM,Oz=θ . Par rapport à R. On considère

les coordonnées des points suivants :

A(0,0,-a), B(0,0,a), C(a,0,0)

173

On suppose que le point M est lâché sana vitesse initiale au point B. Au cours de son mouvement, il

est soumis à son poids ,zemgP −= , à la réaction L du support, à la force AMkF = , k une constante

positive.

a) Expliciter la loi fondamentale de la dynamique et en déduire l’équation différentielle du

mouvement ainsi que l’expression de L.

b) Ecrire le théorème de l’énergie cinétique et en déduire une intégrale première du mouvement,

puis l’expression de L en fonction de ; retrouver l’équation différentielle du mouvement.

c) Donner au point C, l’expression de la vitesse linéaire v de M, puis celle de la réaction L.

d) Montrer qu’il existe une valeur de pour lequel L=0. Application numérique a

mgk = .

Exercice 18

On considère un repère

fixe ( )0000 z,y,x,OR et un repère relatif

( )01 z,y,x,OR , tel que ( ) ( ) )t(y,yx,x ψ== 00 .

Soit un point M défini dans le plan (Oyz0) par

ses coordonnées polaires ( ), ) auxquelles

on associe d’une part le vecteur unitaire v de

OM , et le vecteur unitaire w , déduit de v par

rotation d’angle de 2π

dans le plan (Oyz0).

174

w

v

y

z0

x

Les vecteurs wet v,x forme le repère ( )w,v,x,OR , d’origine O.

et sont fonction du temps t.

Dans tout le problème, les résultats sont exprimés dans la base du repère ( )w,v,x,OR .

1) On désigne par )M(vR0 la vitesse de M dans son mouvement par rapport à ( )0000 z,y,x,OR .

Déterminer )M(vR , )M(vR 1 et )M(vR 0

2) On désigne par )RM(vR 10 ∈ la vitesse d’entraînement de M dans son mouvement par rapport

à ( )0000 z,y,x,OR , ( )01 z,y,x,OR étant le repère relatif.

Montrer la relation : )RM(v)RM(v)RM(v RRR 10110 ∈+∈=∈

3) Déterminer les accélérations : )M(a R , )M(a R1 , )M(a c , )RM(a R 10 ∈ .

4)

a) Pour quelles conditions le mouvement relatif de M est t-il à accélération centrale de centre O ?

b) Pour quelles conditions autre que précédemment le mouvement absolu de M est-il aussi à

accélération centrale de centre O.

5) On suppose vraies les trois propositions suivantes :

- = a = Cte

- Le mouvement relatif de M n’est pas à accélération centrale de centre O

- Le mouvement absolu de M est à accélération centrale de centre O.

Trouver •

y et •

En fonction de seulement.

CORRIGES DES EXERCICES DE LA DEUXIEME PARTIE DE L’EVALUATION FORMATIVE DE L’ACTIVITE 4

175

Exercice 1

Dans le repère local (u, t, k) les composantes de la force de frottement sont : (0 ; f cos ; f sin )

composantes de la vitesse, dérivée du vecteur position par rapport au temps :

(-r sin ' ; r cos ' ; h' )

ou dans le repère local (u, t, k) :

(0, r' ; h' )

tan = h' / (r') = h / r.

travail de la force de frottement :

déplacement élémentaire :

dx = -r sind;dy = r cosd;dz = hd;

frottement (-f cos sin ; f cos cos ; f sin)

produit scalaire entre les vecteurs frottement et déplacement

-f r cos sin²d+f r cos cos² + f h sind.

Pour obtenir le travail sur le déplacement B vers A, intégrer entre 4π et 0, et r sont constants

en remarquant que sin²= ½(1-cos(2)) et que cos²= ½(1+cos(2))

W = -4 π f [r cos + h sin ] .

travail du poids de B en A :

travail élémentaire au cours du déplacement élémentaire hd :

dW = mghd

176

Pour obtenir le travail sur le déplacement B vers A, intégrer entre 4π et 0:

W = 4 π mgh .

le travail de la réaction normale est nul ( force perpendiculaire au déplacement)

vitesse en A :

écrire le théorème de l'énergie cinétique entre B et A : (en B la vitesse est nulle)

½mv²A = 4πmgh -4πf [r cos+ h sin].

v²A =8π[gh -f /m[r cos+ h sin]].

cela est possible à condition que les frottements ne soient pas trop importants :

mgh>4πf [r cos+ h sin].

Exercice 2

théorème de l’énergie cinétique :

177

de B en D : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le travail du poids est résistant

( montée) et vaut : WP= - mgH

L'énergie cinétique en D est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B vaut : ½mv² ( v : vitesse en B)

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées au

solide : 0-½mv² = -mgH

v²= 2gH = 2*9,8 * 3 = 58,8 ; v = 7,7 m/s.

de A en B : les forces R et P perpendiculaires à la vitesse, ne travaillent pas. Le travail de la

force F vaut WF=F AB.

L'énergie cinétique en A est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B vaut : ½mv² ( v : vitesse en B)


solide : ½mv² -0= F AB

F= mv²/(2AB) = 5*7,7² / 8 = 36,7 N.

vitesse de (S) en C :

de B en C : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le travail du poids est résistant

( montée) et vaut : WP= - mgh

L'énergie cinétique en C vaut ½mv²C ; l'énergie cinétique en B vaut : ½mv² ( v : vitesse en B)


solide : ½mv²C -½mv² = -mgh

178

v²C = v² -2gh = 58,8 -2*9,8*1,5 =29,4 ; vC = 5,4 m/s.

L'expression de cette vitesse indique que vC ne dépend que de la vitesse en B et de l'altitude h,

peut importe le sens du parcours.

ou bien appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre les deux passages du solide en M

situé sur l'arc BD à l'aller puis au retour :

R ne travaille pas ; le travail du poids est nul ( au même point la différence d'altitude est nulle).

Donc l'énergie cinétique, par suite la valeur de la vitesse ne change pas à l’aller et au retour.

action R du support au point C :

Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe normal à la trajectoire et dirigé vers O :

R est centripète, dirigée vers O et sa valeur est : R= m[v²C/OC + g cos]

cos = (OB-h) / OB = (10 -1,5) / 10 = 0,85 ; = 31,8°.

R= 5(29,4/10+9,8 * 0,85)= 56,3 N.

179

Au point D le solide ne peut pas être en équilibre : la somme vectorielle des forces n'est pas

nulle. durée des parcours AB et BA :

AB : écrire la seconde loi de Newton : F=ma soit a = F/m = constante ; vitesse initiale nulle :

AB=½at² = ½F/mt² soit t² = 2AB m/F = 8*5/36,7 =117,4 ; t = 1,1 s.

BA : solide pseudo-isolé , donc mouvement rectiligne uniforme . AB = vt

soit t = AB/v = 4/7,7=0,52 s.

Les frottements ne sont plus négligés. La valeur f des frottements est constante. Le solide

s'arrète au retour en B.

Exprimer puis calculer f et F : théorème de l’énergie cinétique :

de D en B : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le travail du poids est moteur

( descente) et vaut : WP= mgH

180

Le travail de f ( résistant) vaut : Wf= -f *longueur de l'arc de cercle DB = -f OC ( en radian )

cos = (OB-H) / OB = (10 -3) / 10 = 0,7 ; = 0,795 rad.

L'énergie cinétique en D est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B est nulle ( arrêt)


solide :

0-0= mgH - f *OC d'où f = mgH /(OC ) = 5*9,8*3/(10*0,795)= 18,5 N.

sur le trajet complet : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le poids ne travaille pas

( altitude identique au départ A et à l'arrivée B)

Le travail de f ( résistant) vaut : Wf= -f (AB+2OC ) ; le travail de F vaut WF=F AB

L'énergie cinétique en A est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B est nulle ( arrêt)

0-0 = -f (AB+2OC ) + F AB soit F= f (AB+2OC ) /AB = 18,5(4+20*0,795) / 4 = 92 N.

Comparer à l’aller et au retour :

- les valeurs de la vitesse en un point quelconque de l’arc BD

appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre les deux passages du solide en M situé sur

l'arc BD à l'aller puis au retour :

181

R ne travaille pas ; le travail du poids est nul ( au même point la différence d'altitude est nulle). Le

travail des frottements est négatif, donc la vitesse diminue : la vitesse au retour est plus petite

qu’à l’aller.

- la durée des trajets BC et CB :

La vitesse est plus faible au retour, donc la durée du retour est plus grande que celle de l’aller.

Le solide s'arrête au retour sur l'arc de cercle lorsque la somme vectorielle des forces est nulle.

L'angle vaut alors : cos = (OB-h') / OB = (10-0,5) / 10 = 0,95 ; = 0,318 rad.

A la descente le travail du poids est moteur. La force motrice est

mg sin = 5*9,8*0,312 = 15,3 N, valeur insuffisante pour vaincre les frottements ( 18,5 N).

Par contre la force motrice en D vaut : mg sin = 5*9,8 *0,714 =35 N valeur suffisante pour

vaincre les frottements : le mobile ne reste pas en D.

Exercice 3

Le système étudié est le solide S. Le référentiel est le laboratoire, référentiel supposé galiléen.

On applique le théorème du centre d'inertie , la seule force exercée sur S étant la tension du ressort.

182

avec 02= k/m

fonction solution de cette équation différentielle : x(t) = A cos (0 t + )

à t=0 : A =Acos d'où cos=1soit = 0

x'(t) = -A0sin(0 t)

à t=0 x'(0) = 0

x(t) = A cos ( 0 t ).

plan des phases:

x'(t) = -A0sin((0 t) soit x'² =A²²0sin²(0 t)--> sin²(0 t) = x'² /(A²²0)

x² = A² cos²(0 t)-->cos²(0 t) =x² / A²

or cos²(0 t) +sin²(0 t) =1

la trajectoire dont l'équation est donnée ci-dessus est, dans le plan des phases, une éllipse de demi grand axe A et de demi petit axe A0.

énergie :

La tension dérive d'une énergie potentielle; il existe une fonction Ep telle que :

l'origine de l'énergie potentielle élastique étant choisie à la position d'équilibre (G en O).

En l'absence de frottement il y a conservation de l'énergie mécanique .

E =½mv² +½kx²

dériver par rapport au temps ( la dérivée de u² étant 2 uu')

183

½ m 2 v v' + ½ k 2 x x' = 0

avec v' = x" et x' = v en simplifiant par v, on retrouve : m x" + k x=0

Exercice 4

Le système physique n'a qu' un seul degré de liberté. Ecrire la conservation de l'énergie mécanique, puis dériver :on obtient une équation différentielle du second ordre de la forme x" = f(x, x').

Cette équation admet une solution unique pour des conditions initiales données.

Développons Ep(x) au voisinage de la position d'équilibre x0:

Ep(x) = Ep(x0) + (x-x0) (dEp / dx) x0 + ½(x-x0)² (d²Ep / dx²) x0 + ...

F = - dEp / dx

x0 est une position d'équilibre si F(x0) =0 soit (dEp / dx) x0 = 0

dériver Ep(x) pour étudier la stabilité de l'équilibre :

F= - dEp/dx =-dEp / dx) x0- (x-x0) (d²Ep / dx²) x0= - (x-x0) (d²Ep / dx²) x0

si la dérivée seconde est positive, alors F est du signe opposé à x-x0 ; le point matériel est soumis à une force qui le ramène vers sa position d'équilibre x0. L’équilibre est dit "stable".

Par contre si la dérivée seconde est négative, le point tend à s'éloigner de la position d'équilibre et l'équilibre est dit "instable".

expression de l'énergie potentielle :

Ep(x)= ½ kl²= ½k[ (l²+x²)½-l0]²

La dérivée par rapport à x :

dEp/dx= kx[1- l0(l²+x²)-½ ]

si l >l0, la seule position d'équilibre est x=0

si l <l0, il y a trois positions d'équilibre: x=0; x = (l0²-l²)½; x = -(l0²-l²)½

184

l'allure de Ep est représentée ci-dessous:

stabilité de l'équilibre :

pour x=0 : d²Ep/dx = k(1- l0/l) alors si l>l0 l'équilibre est stable. Si l<l0 l'équilibre est instable.

pour x = (l0²-l²)½ ou x = -(l0²-l²)½ , d²Ep/dx =k((1- l²0/l²) positive; ces positions d'équilibre sont stables.

Au voisinage des positions d'équilibres stables, on a un oscillateur harmonique.

le théorème du centre d'inertie s'écrit : R (action du support)

Les solutions de cette équation différentielle dépendent du signe du discriminant de l'équation caractéristique associée : =λ²-4km

<0 frottement faible, régime pseudo-périodique

=0, régime critique

>0, régime apériodique

185

la force de frottement visqueux n'est pas rigoureusement proportionnelle à la vitesse. La force de freinage par courant de Foucault est proportionnelle à la vitesse.

λ<0 : l'oscillateur reçoit de l'énergie. L'amplitude des oscillations augmente.

Exercice 5

Le système étudié est le pendule ; référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Les forces agissant sur le système sont le poids et la réaction de l'axe. Le moment de la réaction de l'axe par rapport à O est nul.

Le moment du poids par rapport à O est –mg OG sin.

Appliquer le théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe :

Jd²/dt² = -mgOG sin.

si l'angle est petit : sin voisin de radian.

J" + mgOG =0

" + mgOG J =0

186

il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique de pulsation propre [mg OG / J]½.

Pour un pendule simple J= ml² et la pulsation propre est 0² = g / l.

Exercice 6

Référentiel du laboratoire supposé galiléen

La force d'interaction moléculaire est conservative et dérive du potentiel E(r)

Fm(r) = -dE / dr = -2Aa exp(-a(r-r0)) (1-exp(-a(r-r0))).

il y a un équilibre lorsque cette force est nulle, c'est à dire lorsque r = r0.

r0 représente la distance moyenne entre les deux atomes constituants la molécule.

l'équilibre est-il stable ?

-2Aa exp(-a(r-r0)) est négatif.

si r>r0, -a(r-r0)<0 et (1-exp(-a(r-r0))) est posittif : Fm attractive.

si r<r0, -a(r-r0)>0 et (1-exp(-a(r-r0))) est négatif : Fm répulsive.

Fm est donc une force de rappel vers la position d'équilibre : celui ci est stable.

l'énergie potentielle passe t-elle par un extrémum ?

on dérive l'énergie potentielle :

187

dE / dr = 2Aa exp(-a(r-r0)) (1-exp(-a(r-r0)))

cette dérivée s'annule pour :1-exp(-a(r-r0))=0 soit r = r0

L'énergie potentielle passe par un minimum pour r= r0, ce qui correspond à un équilibre stable.

énergie de dissociation

travail fourni par un opérateur extérieur pour séparer les deux atomes constituant cette molécule

dWop = -Fm dr

A représente l'énergie de dissociation de la molécule.

Les forces d'interaction nucléaires sont conservatives et dérivent d'une énergie potentielle.

Fn (r) = -dE / dr

188

les distances au niveau des molécules sont de l'ordre de 10-10m ; les distances au niveau du

noyau sont de l'ordre de 10-15m. A court et moyen rayon d'action les forces nucléaires sont

attractives, intenses lorsque les nucléons sont proches.

Les forces moléculaires sont attractives ou répulsives

Exercice 7

on choisit un référentiel lié au coprs sphérique.

La force ne dépend que de la variable r. Cette force dérive d'une énergie potentielle s'il existe

une fonction E telle que f(r) = - dE/dr.

ou bien dE = -f(r) dr : il suffit de rechercher une primitive de f(r)

E=-K/r + Cte

Lorsque la distance r devient très grande cette force et l'énergie potentielle n'existent plus, la

constante est prise égale à zéro lorsque r tend vers l'infini.

189

la vitesse a une norme constante: le mouvement est uniforme

l'énergie cinétique vaut : Ec =½mv²=K/(2r).

l'énergie mécanique est la somme des énergie potentielle et cinétique:

E= -K/r+K/(2r) =-½ K/r

dérivée logarithmique de l'expression de l'énergie

dE/E = dr /r = -10-4.

dérivée logaritmique de ll'expression de la vitesse : 2 dv/v = -dr/r

dv/v = -½ dr/r = + 0,5 10-4 la vitesse augmente.

arracher la particule de l'attraction du corps sphérique revient à lui fournir de l'énergie afin que

son énergie totale devienne nulle.

énergie apportée par l'opérateur : Eop = ½K/r0

190

énergie cinétique qu'il faut lui fournir

½mv² =½K/r0

d'où v²= K/(mr0)

Exercice 8

puissance :

z-x = t-2 -3t = -2-2t ;

2z²-x = 2(t-2)²-3t = 2t²-11t + 8

vecteur force (25t²/3 ; -2-2t ; 2t²-11t + 8 )

vecteur vitesse : dérivée du vecteur position par rapport au temps

( 3 ; 4t ; 1)

puissance : produit scalaire entre vecteur force et vecteur vitesse

P= 12,5 *2t² + (-2-2t)*4t + 2t²-11t + 8

P= 19t² -19t +8

la puissance passe par une valeur extrème (mini ou maxi) lorsque sa dérivée par rapport au

temps est nulle ; soit 38t-19 =0 ou t= 0,5 s

à t < 0,5 s, la dérivée est négative donc la puissance diminue, passe par un minimum à t=0,5 s

puis croît pour t>0,5 s.

191

position de la particule à t=0,5 s :

x= 3*0,5 = 1,5 ; y= 2*0,5² = 0,5 ; z= 0,5-2 = -1,5.

travail entre t = 0 et t = 2s :

si le déplacement s'effectue suivant un segment de droite AB, le travail est égal à :

coordonnées de A ( position initiale à t=0) : (0 ; 0 ; -2)

coordonnées de B (position finale à t=2) : (6 ; 8 ; 0)

vecteur déplacement : (6 ; 8 ; 2 )

vecteur force (25t²/3 ; -2-2t ; 2t²-11t + 8 )

travail = produit scalaire vecteur force par vecteur déplacement :

50 t²+8(-2-2t)+2*(2t²-11t + 8 ) = 50 t2-38 t

à t= 2 s, ce travail est égal à : 140 J

le travail dépend du chemin suivi, les deux valeurs du travail étant différentes entre

192

t=0 et t=2 s.

La force n'est pas conservative.

Exercice 9

raideur du ressort :

poids du véhicule : 600*10 = 6000 N

hauteur : h=0,3 m

raideur k= 6000 / 0,3 = 2 104 N/m.

période :

l'extrémité supérieure du ressort est soumise au poids du véhicule et à la tension du ressort.

la relation fondamentale de la dynamique s'écrit : mz"= mg -k(l-l0)

l'origine est choisie à la position d'équilibre : l = léqui+ z

193

k(l-l0 )= k(léqui-l0 + z ) = mg + kz

par suite : mz"= -kz ou z" + k/m z =0.

les solutions de cette équation différentielle sont de la forme z = A cos (0t+) et le mouvement est sinusoïdal de pulsation 0= racine carrée (k/m) = (2 104 / 600) 0,5 = 5,77 rad /s.

la période vaut : T0= 2π0 =6,28 /5,77 = 1,088 s.

avec 4 passagers la pulsation devient : (2 104 / 900) 0,5 = 4,714 rad /s. et la période : 1,33 s.

amortissement régime critique:

l'équation différentielle ci dessus s'écrit : z" -b/m z' + k/m z =0

équation caractéristique : r² -b/m r + 0 ² =0

discriminant : =(b/m)²-40 ² ;

régime critique =0 d'où b²= 4km et b=2 racine carrée(20000*600)= 6928 kg /s.

amortissement régime pseudopériodique :

=(b/m)²-40 ² = 4[(b/(2m))²-40 ² ]

le discriminant de l'équation caractéristique est négatif si m est égal à 900kg au lieu de 600kg

le mouvement est sinusoïdal amorti de pseudo pulsation telle que :

² = 0 ² -(b/(2m))² = 4,714²-(6928/1800)² =22,22-14,81 = 7,41

= 2,72 rad/s et la pseudo période T ' vaut 6,28/2,72 = 2,3 s

Exercice 10

194

1°/ a) Par rapport au référentiel galiléen lié à la tige, la relation fondamentale de la dynamique

s’écrit :

RgmTm ++=Γ (I)

rr ererOM &&=Γ⇒=

)(0.

cos.

)(

frottementsanseR

mgegm

elrkekxT

r

or

ror

=

=

−−=−=

La projection suivant la tige (I) donne :

)1(cos)( oo mglrkrm +−−=&&

Position d’équilibre 0/ =e &&

)3(cos)2(0cos)(

oe

ooe

lk

mgr

mglrk

+=⇒

=+−−⇒

)(cos)(cos)()2()1(

e

ooeoo

rrkrmmglrkmglrkrm

−−=⇒−−++−−=⇒−

&&&& θθ

En posant errR −=

rR &&&&=⇒

On a :

)4(02 =+⇔−= RRkRRm o&&&&

Où :

)5(44,022 sTmk

ooo ==⇒=

π

b) le frottement est dû à la résistance de l’air donc, la force de frottement visqueux qui

s’oppose au mouvement du pendule est proportionnelle à la vitesse :

195

)6(Rf &−=

Alors :

0=++⇒−−= xmkR

mRRkRRm &&&&&& αα

Où em t

1= et

mk

o =2

)7(02 =++⇒ RRR oe

t

&&&

La résolution fait intervenir l’équation caractéristique :

22

22

2

410 oe

oe

ststst

sss

esRetseReR

t

t

−=⇒=++⇒

==⇒= &&&

Dans le cas d’oscillation faiblement amorti, on a :

)8(12410410 2222 >⇒<⇒<−⇒< eoeooe

s ttt

Alors :

)14(1422

122

22

2

eoo

eoa

e

oùjst

t

t

−=−===

−=

)4

11(),cos()2

exp(

)(

21

)4

11(2

2

2121

)21

(

2

)21

(

1

21

2

eooaa

em

tjtjt

tjtj

ae

eooa

ttRR

eCeCeR

eCeCR

j

aae

aa

t

t

t

t

t

−=+−=⇒

+=

+=⇒

−=⇒

−=

=

−−

−−+−

décroissance exponentielle des élongations :

196

Figure – 1 : l’allure de la courbe dans le cas d’un mouvement oscillatoire amorti de pseudo –

pulsation a et de période 21

22 )4

11(2 −−==

eoo

TT

tπ

Si à ovRetRaont === &00

On a )cos21sin()0(cos0)0( t

e

mom RvxetRx −−==== &

Car )]cos(21)sin()[

2exp(

t

t+−+−−= tttRR

e

em

&

Il en résulte a

om

vRet

π −==2

ttvR a

ea

o t

sin)2

exπ(−=⇒

Décrément logarithmiqued

Soit )2

exp()(e

mtRtt

−=A la pseudo – sinusoïde est maximal aux temps Ct

π

π

π

22

)cos(1)cos(

aa

aC

a

TkTkt

kt

−=−=⇒

=±=+

Alors

197

O

R

t

)4

exp()4

exp()(

2)2/()2/(

exp[)()(

e

a

e

am

e

aamC

kTTRk

TkTRkt

tπt

tπ

=A⇒

−−=A=A

Le décrément logarithmique du mouvement est la quantité :

)2

exp()cos()

2exp(

])(cos[]2

)(exp[

)()(

)()(

e

a

ae

m

aae

am

a

a

T

ttR

TtTt

R

tRTtR

TtRtRLog

tt

t

d

−=+−

+++

−=

+

+=

e

aTt

d2

=⇒ Le décrément logarithmique caractérise la décroissance des élongations maximale à

chaque période due à l’amortissement du mouvement oscillatoire. On déduit d par la mesure des

élongations du nombre a donc instants séparés par n périodes :

022,035011:.)]([)([1)exp(

)()(

==⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

+−=⇒=+

ΛoRR

Λon

einTtxΛotΛoxn

nnTtxtx

oS

o

dd

Et dt

td

22a

ee

a TT=⇒= ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==≈

022,0

44,02

δω

π sTTo

oa

Alors se 10=t ; et : la durée de relaxation.

En énergie ; c’est la durée au bout de laquelle, l’amplitude est avisée par 5,1)21exp( ≈ .

Comme l’amplitude est nulle après quelque valeurs de et , on doit que et caractérise la durée de

vie des oscillations amorties. C’est ainsi qu’on l’appelle durée de la relaxation en énergie.

Facteur de qualité :

198

C’est un nombre sans dimension Q qui caractérise l’amortissement d’un oscillateur. Il est

défini par eoQ t= (donc lié à la durée de relaxation). Ici, 7,2244,0

10====

o

eeo T

Qt

t

2°/ a) Dans le référentiel tournant (c'est-à-dire lié à la tige) ;

On a 22 )(21;cos;

21

oPEoPPC lrkEmgrmgzErmE −==== &

Energie potentielle centrifuge :

Au cours du mouvement de rotation, le point M est soumis à la force d’inertie centrifuge :

emF Γ−= ; où )( OAe ΛWΛW=Γ

À HAeOHeOAeHAOHOAetOAeecteR zzzzze Λ+Λ=Λ+=ΛΛW=Γ==43421

0

2 ;)(

zeW =−Wur r

2

2 2

2

( )

( . )

:

e z z

z

ie e

e e HA

e HA HA HA

F m m HA force centrifuge

Γ =W Λ Λ

=W − =−W

⇒ =− Γ = W

ur r r uuurr uuur uuur uuur

ur ur uuur

2 2 21( ) . . ( ) . ( ) [ ( ) ]2

ie ie iedW F F d A F d HA m HA d HA d m HA= = = W = Wur ur ur ur uuur uuur uuur uuur

199

2 2 21( ) . . ( ) . ( ) [ ( ) ]2

ie ie ieW F F d A F d HA m HA d HA d m HA⇒ = = = W = Wur ur ur ur uuur uuur uuur uuur

2 2

2 2

2 2 2 2 2

1( ) ( ) ( )2

1 ( ) 021 1( ) sin2 2

C

C

teie ieP

te teP

P o

W F m HA C E W F

E m HA C et C H A

E m HA m r

⇒ = W + ⇒ =−

⇒ =− W + = ⇒ =

⇒ =− W =− W

ur uuur ur

uuur

uuur

b) Le système oscillateur – terre isolée, le référentiel tourne

2 2 2 2 2

( ) ( )

1 1 1cos 2( ) sin ( )2 2 2

R

teR C PP Pe PC

teo o o R

E A C E A E E E

m r mgr k r l m r E A C

⇒ = = + + +

⇒ + + − − W = =&

En décrivant par rapport à t , on a :

2 2

2

2 2

2 2 2

1 1 1cos ( ). sin 02 2 2

cos ( ) (sin ). 0

( sin ) cos

( sin ) cos

o o o

o o o

o o

o o o

m rr mgr k r l r m r r

mr mg k r l m rk kr r l gm m

kr r l gm

+ + − − W =

⇒ + + − − W =

⇒ + −W = −

⇒ + −W = −

&&& & & &

&&

&&

&&

c) Position d’équilibre :

2 2

2 22 22

coscossin

1 sin

oo

te o o o oe

o oo

o

gll gC

−−

W = ⇒ W = =−W ⎛ ⎞W−⎜ ⎟⎝ ⎠

Et la pulsation du mouvement oscillant est :

2 2 20

2sin 0,19 10, 436

oo o o

o

Ts T sπ

′ ′= −W = ⇒ = = ≈′

200

Exercice 11

1°) RFD

Pulsation 2 1 21 2;o

k k k où k k km m

+= = = +

2°)

201

1 2

1 1 2 2( ) ( )m T T mg

mx k x l k x l mgΓ = + +

⇒ =− − − − +

ur ur ur ur

&&Les deux ressorts ont mêmes allongements x

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

( )

' : te

e

mx k k x k l k l mg

position d équilibre x Ck l k l mgx

k k

⇒ + + = + +

⇒ =+ +

⇒ =+

&&

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 2

( ) ( )( ) ( ) 0( ) ( )

o o

e o e o

e e

k x l k x l mg mxk x l k x l mgk x x k x x mx

x x x

− − − − + =− − − − + =− − − − =

= +

&&

&&

22 2

2

22 2

2

22

3

( )

( ) ( )

1( ) 2 . 2

1 ( ) ( )2

R r z r zc cV M re r e re e v rr r

dv d dtr rdr dt drd r rr rdr r

d cv rdr r

= + = + ⇒ = +

=

= =

= −

ur r r r r&& & &

& &

& &&& &&&&&

Référentiel tournant :

202

1 2

1 2

1 2

0

0

o o

T T mg m

T T mg

T T

⎧ + + = Γ⎪⎪ + + =⎨⎪ + =⎪⎩

ur ur ur urur ur ur rur ur r

( , , , )

( , , , )

ooo o

o

R O x y z

R O x y z

⎧ =⎪⎨=⎪⎩

r ur rr ur r

2

2 1

( )0 ( ) ( )

I

I I

mx k x x l mgk x x l k x l=− − − +⎧⎨ = − − − −⎩

&&

2 2 2 1 1

2 1 2

1 2

0 I I

I

k x k l k x k x k lk x k l k lx

k k

= − − − ++ −

⇒ =+

2 1 22

1 2

2 2

22 2 1 2

1 2

22 22 1 2 1 2 1 2 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

20

I

e

k x k l k lmx k x l mgk k

mx k x l k x mgkmx k x l mg k x k l k l

k k

k k k k x k k k k k k lmx mgk k k k

k k k kmx x l mgk k k kk k k kx

k k k k

+ −=− − − +

+=− − + +

=− − + + + −+

− − + + −= + +

+ +

=− + ++ +

=− ++ +

&&

&&

&&

&&

&&

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

( ) 0

01 1 1

e

e

l mg

kkmx x xk k

X x x mX kXkkoùkk k k k k

+

⇒ + − =+= − ⇒ + =

= ⇔ = ++

&&

&&

xOM xe=uuuur r

Exercice 12

1- Etude préalable du ressort

a) Vérifions que le coefficient de raideur du ressort est égal à k = 20,0 N.m - 1.

203

figure 1

Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Système étudié : le solide accroché à l'extrémité libre du ressort.

Forces extérieures appliquées sur le solide :

Le poids (essentiellement action de la Terre sur le solide).

La force exercée par le ressort sur le solide.

La condition d'équilibre s'écrit :

+ = (1)

m + k =

204

D'où, en projection sur Oz :

m - k = 0

k = m /

k = (0,200 x 10) / 0,100 = 2 / 0,100

k = 20 N / m (2)

b) Montrons que la raideur peut aussi s'exprimer en kg/s2.

D'après la deuxième loi de Newton, une force est homogène au produit d'une masse par

une accélération.

L'unité N est équivalente à kg . m / s 2. Par conséquent :

k = 20 N / m = 20 kg . m / s 2 m = 20 kg / s 2 = 20 kg . s - 2

- Le coefficient de raideur du ressort k s'exprime bien en kg / s 2.

- La quantité m / k s'exprime en kg / kg . s - 2 soit en s2.

- La quantité s'exprime en s.

205


a) Equation différentielle du mouvement. Equation horaire du mouvement.

figure 2



Forces appliquées : le solide est maintenant soumis à trois forces :


La force exercée par le ressort sur le solide avec = k = - k (3) .

La force exercée par le support sur le solide (elle est perpendiculaire aux surfaces en contact

car on néglige les frottements)

206

- Appliquons la deuxième loi de Newton (théorème du centre d'inertie) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale

au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ici, on écrit :

+ + = m (4) avec = - k et, par conséquent, Fx = - k x

D'où, en projection sur le vecteur unitaire :

0 + 0 - k x = m

m + k x = 0

L'équation (5) est l'équation différentielle du mouvement du solide.

C'est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

-Vérifions que, si l'on choisit correctement To, alors la fonction (6) est

solution de l'équation différentielle :

(5)

207

Dérivons (6) par rapport au temps :

(7)


(8)

- Formons :

(9)

- Cette expression (9) sera nulle, conformément à = 0 (10), à condition de poser :

(11)

(6) est solution de l'équation différentielle du mouvement = 0 (5), à

condition de poser :

(11)

208

- Calculons la valeur numérique de la période propre T0 = 2 avec m = 200 g = 0,200 kg et

k = 20 N / m

T0 = 0,628 s (12)

b) Etude d'un cas particulier

Conditions initiales : à t = 0 s, on a x (o) = - 0,15 m et v (0) = 0 m/s

- Portons ces valeurs dans les expressions de la position et de la vitesse :

x = X M cos (0 t + )(6) et

(9)

Il vient, à t = 0 s :

- 0,15 = X M cos ()

0 = - (2 π/ To) X M sin ()

Soit :

X M = - 0,15 / cos ()

0 = - sin ()

Il semble y avoir deux solutions :

1 = 0 (modulo 2 π) avec X1M = - 0,15 m

2 = π(modulo 2 π) avec X2 M = 0,15 m

En fait, ces deux solutions sont identiques car, d'après cos (a + π) = - cos (a) :

x1 = - 0,15 cos (10 t) = 0,15 cos (10 t + π) = x2

209

On retiendra :

La position x du centre d'inertie G du solide est, à chaque instant, donnée par :

x = 0,15 cos (10 t + π) (13)

En dérivant x par rapport au temps, on obtient la vitesse du solide en translation rectiligne :

v = - 1,5 sin (10 t + π) (14)

La vitesse varie donc entre - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est la valeur maximale.

Remarque : En dérivant v par rapport au temps, on obtient l'accélération a du solide :

a = - 15 cos (10 t + π)

c) Etude énergétique de l'oscillateur non amorti.

-Rappelons que x = X M cos (10 t + π)(13) et v = - 10 X M sin ( 10 t + π)(14)

-Le système solide-ressort possède, dans le référentiel terrestre Galiléen, l'énergie mécanique :

Em = EP + EC = k x2 + m v2

Em = k Xm2 cos2 (10 t + π)+ m (- 10)2

Xm2 sin2 (10 t + π)

Mais 100 = k / m (4)

Em = k Xm2 cos2 (10 t + π)+ m k/m Xm

2 sin2 (10 t + π)

Em = k Xm2 [cos2 (10 t + π)+sin2 (10 t + π)]

On sait que [cos2 (10 t + π)+sin2 (10 t + π)]= 1

Finalement :

Em = k Xm2 (13)

Cette énergie reste constante lorsque le temps s'écoule (rappelons que nous avons négligé tout frottement).

210

Avec k = 20 N/m et Xm = - 0,15 m, il vient :

Em = 0,225 J (14)

- Nous venons de voir qu'en l'absence de frottement l'énergie mécanique du système ressort-

solide restait constante. Au passage par x = 0 l'énergie potentielle du ressort k x2 est nulle, donc l'énergie cinétique du solide est maximale. Il s'ensuit que :

m v2max = 0,225 soit

0,1 v2max = 0,225

v2max = 2,25 m2 / s2

La vitesse v varie donc entre les valeurs extrêmes - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est bien la valeur maximale déjà trouvée à la question 2-b.

Exercice 13

A - Etude des oscillations libres

A-1 Commentons l'allure de la courbe et précisons le type d'oscillations observés.

L'amplitude des oscillations est constante. Les oscillations, libres, non amorties, sont

périodiques.

211

http://perso.orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/Physique_16_PROBLEME_RESOLU_16_A.htm#ANCRE_s2b

A-2 Déterminons graphiquement la période T0 d'oscillations de la masse m suspendue au

ressort.

La durée de deux oscillations est voisine de 0,63 s. La période propre T0 des oscillations libres

non amorties est donc :

T0 = 0,315 s

A-3 Comparaison avec la valeur théorique .

L'énoncé donne m = 100 g = 0,100 kg et k = 40 N / m. On obtient :

T0 = 0,314 s

212

Le calcul confirme la valeur obtenue expérimentalement. On retiendra :

T0 = 0,32 s

A-4 On ajoute à l'extrémité E de la tige un disque horizontal de volume et de masse

négligeables. Des forces de frottement interviennent alors.

La masse du disque et par conséquent son poids sont négligeables.

La poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le disque est également négligeable puisque son

volume est négligeable.

Par contre l'oscillateur est maintenant amorti par des frottements visqueux

En présence de frottement modéré (disque de petite surface, placé dans un liquide peu visqueux

comme de l'eau salée) l’amplitude des oscillations diminue progressivement (régime pseudo

périodique). La pseudo période T1 est voisine de la période propre T0.

Dessinons l'allure de la courbe obtenue après une nouvelle acquisition :

213

B - Etude des oscillations forcées

B-1 Le moteur muni de l'excentrique est l'excitateur. Le système (ressort + masse) est le

résonateur.

C'est l'excitateur qui impose sa fréquence f au résonateur de fréquence propre f0 = 1 / T0.

B-2 La courbe donnant les variations de l'amplitude xmax des oscillations du résonateur en

fonction de la fréquence f qui lui est imposée par l'excitateur s'appelle courbe de résonance.

f (Hz) 1,5 2,0 2,5 2,8 3,1 3,2 3,3 3,6 4,0 4,5

xmax (cm) 0,4 0,6 1,0 1,5 2,1 2,3 2,0 1,5 1,0 0,7

214

Pour une fréquence de l'excitateur fR = 3,2 Hz on observe que l'amplitude des oscillations du

résonateur est maximale. C'est le phénomène de résonance d'amplitude. Il se produit pour une

fréquence de l'excitateur fR = 3,2 Hz proche de la fréquence propre f0 = 1 / T0 = 3,18 Hz du

résonateur.

B-3 Si on utilisait une solution S' plus visqueuse la force de frottement augmenterait, la

résonance deviendrait floue.

Il n'y aurait plus de résonance si l'amortissement devenait très important.

215

C - Suspension d'une automobile

C-1 Pour une vitesse VR, le véhicule subit des oscillations de forte amplitude qui diminuent

dangereusement sa tenue de route. Expliquons ce phénomène.

La suspension d'une automobile est assimilable à un système mécanique oscillant de fréquence

propre f0. Elle joue le rôle de résonateur, néanmoins amorti.

A chaque passage sur une bosse excitatrice le système reçoit une impulsion quasi verticale. Si

ces impulsions sont périodiques et si leur fréquence f est voisine de f0 alors les oscillations de la

voiture, bien qu'amorties, peuvent atteindre une amplitude importante. La "tenue de route" de la

voiture risque d'être compromise.

C-2 Exprimons la vitesse VR en fonction de f0 et L.

216

Ce phénomène se produit si le temps qui s'écoule entre deux passages sur une bosse, soit L /

VR, est égale à la période propre T0 = 1/ f0 du système mécanique oscillant :

L / VR = 1/ f0

VR = L . f0

Avec f0 = 5,0 Hz et L = 80 cm = 0,80 m, on calcule :

VR = L . f0 = 0,80 5,0 = 4,0 m / s = 14400 m / h

VR = 14,4 km / h

Exercice 14

1- Etude préalable du ressort

a) Vérifions que le coefficient de raideur du ressort est égal à k = 20,0 N.m - 1.



Forces extérieures appliquées sur le solide :


La force exercée par le ressort sur le solide.

La condition d'équilibre s'écrit :

217

+ = (1)

m + k =

D'où, en projection sur Oz :

figure 1

m - k = 0

k = m /

k = (0,200 x 10) / 0,100 = 2 / 0,100

k = 20 N / m (2)

218

b) Montrons que la raideur peut aussi s'exprimer en kg/s2.

D'après la deuxième loi de Newton , une force est homogène au produit d'une masse par

une accélération.

L'unité N est équivalente à kg . m / s 2. Par conséquent :

k = 20 N / m = 20 kg . m / s 2 m = 20 kg / s 2 = 20 kg . s - 2

- Le coefficient de raideur du ressort k s'exprime bien en kg / s 2.

- La quantité m / k s'exprime en kg / kg . s - 2 soit en s2.

- La quantité s'exprime en s.


a) Equation différentielle du mouvement. Equation horaire du mouvement.

219

figure 2



Forces appliquées : le solide est maintenant soumis à trois forces :


La force exercée par le ressort sur le solide avec = k = - k (3) .

La force exercée par le support sur le solide (elle est perpendiculaire aux surfaces en contact

car on néglige les frottements)

- Appliquons la deuxième loi de Newton (théorème du centre d'inertie)

- Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est

égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

220

Ici, on écrit :

+ + = m (4) avec = - k et, par conséquent, Fx = - k x

D'où, en projection sur le vecteur unitaire :

0 + 0 - k x = m

m + k x = 0

L'équation (5) est l'équation différentielle du mouvement du solide.

C'est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

-Vérifions que, si l'on choisit correctement To, alors la fonction (6) est

solution de l'équation différentielle :

(5)


(7)

221


(8)

- Formons :

(9)

- Cette expression (9) sera nulle, conformément à = 0 (10), à condition de poser :

(11)

(6) est solution de l'équation différentielle du mouvement = 0 (5), à

condition de poser :

(11)

- Calculons la valeur numérique de la période propre T0 = 2 avec m = 200 g = 0,200 kg et

k = 20 N / m

222

T0 = 0,628 s (12)

b) Etude d'un cas particulier

Conditions initiales : à t = 0 s, on a x (o) = - 0,15 m et v (0) = 0 m/s

- Portons ces valeurs dans les expressions de la position et de la vitesse :

x = X M cos (0 t + )(6) et

(9)

Il vient, à t = 0 s :

- 0,15 = X M cos ()

0 = - (2 π/ To) X M sin ()

Soit :

X M = - 0,15 / cos ()

0 = - sin ()

Il semble y avoir deux solutions :

1 = 0 (modulo 2 π) avec X1M = - 0,15 m

2 = π(modulo 2 π) avec X2 M = 0,15 m

En fait, ces deux solutions sont identiques car, d'après cos (a + π) = - cos (a) :

x1 = - 0,15 cos (10 t) = 0,15 cos (10 t + π) = x2

On retiendra :

La position x du centre d'inertie G du solide est, à chaque instant, donnée par :

x = 0,15 cos (10 t + π) (13)

223

En dérivant x par rapport au temps, on obtient la vitesse du solide en translation rectiligne :

v = - 1,5 sin (10 t + π) (14)

La vitesse varie donc entre - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est la valeur maximale.

Remarque : En dérivant v par rapport au temps, on obtient l'accélération a du solide :

a = - 15 cos (10 t + π)

c) Etude énergétique de l'oscillateur non amorti.

-Rappelons que x = X M cos (10 t + π)(13) et v = - 10 X M sin ( 10 t + π)(14)

-Le système solide-ressort possède, dans le référentiel terrestre Galiléen, l'énergie mécanique :

Em = EP + EC = k x2 + m v2

Em = k Xm2 cos2 (10 t + π)+ m (- 10)2

Xm2 sin2 (10 t + π)

Mais 100 = k / m (4)

Em = k Xm2 cos2 (10 t + π)+ m k/m Xm

2 sin2 (10 t + π)

Em = k Xm2 [cos2 (10 t + π)+sin2 (10 t + π)]

On sait que [cos2 (10 t + π)+sin2 (10 t + π)]= 1

Finalement :

Em = k Xm2 (13)

Cette énergie reste constante lorsque le temps s'écoule (rappelons que nous avons négligé tout frottement).

Avec k = 20 N/m et Xm = - 0,15 m, il vient :

Em = 0,225 J (14)

224

http://perso.orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/Physique_16_PROBLEME_RESOLU_16_A.htm#ANCRE_s2b

- Nous venons de voir qu'en l'absence de frottement l'énergie mécanique du système ressort-

solide restait constante. Au passage par x = 0 l'énergie potentielle du ressort k x2 est nulle, donc l'énergie cinétique du solide est maximale. Il s'ensuit que :

m v2max = 0,225 soit

0,1 v2max = 0,225

v2max = 2,25 m2 / s2

La vitesse v varie donc entre les valeurs extrêmes - 1,5 m/s et + 1,5 m/s qui est bien la valeur maximale déjà trouvée à la question 2-b.

Exercice 15

1- Etablissons l'équation différentielle du mouvement du solide.

Raisonnons sur le schéma ci-dessous :

225


Repère orthonormé associé : O,

Système étudié : le solide de masse m.

Le solide est soumis à 4 forces :

- : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le mobile

- : action normale de la tige sur le mobile

- : action du ressort sur le mobile

- : force de frottement du fluide sur le mobile

Appliquons la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 11) :

Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale

au produit de la masse m du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ici, cette loi s'écrit :

+ + + = m (1)

Notons que = K = - K (2) et que = - h (3)

226

http://perso.orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/Physique_11_LA_MECANIQUE_DE_NEWTON.htm#Newton_2

+ - K - h = m (1 bis)

Projetons (1 bis) sur l'axe de vecteur unitaire :

0 + 0 - K x - h = m

m + h + K x = 0 (4)

+ (h / m) + (K / m) x = 0 (5)

+ A + (K / m) x = 0 (6) en posant :

A = h / m (7) (A est le coefficient d'amortissement).

L'équation (5) est l'équation différentielle du mouvement du solide de masse m. C'est une

équation différentielle du second ordre à coefficients constants.

Dans cette équation (5) figure le terme A qui correspond à la force de frottement = - h .

2- Nature du mouvement du corps solide.

Si A pouvait être nul le mouvement serait périodique.

Du fait de la présence de la force de frottement, le mouvement ne peut pas être périodique.

Si A est faible le mouvement du solide est pseudo-périodique.

227

Si A est fort le mouvement du solide est apériodique.

Remarque : Il existe un amortissement dit "critique" qui assure un retour vers la position

d'équilibre plus rapide que les régimes apériodiques ou pseudo-périodiques. Son étude est hors

programme.

3- Etudions l'énergie mécanique Em du système (ressort + solide).

a) L'énergie mécanique du système (ressort + solide) est :

Em = Epotentielle du ressort + Ecinétique de la masse m

Em = k x2 + m v2 = ( k x2 + m ) (8)

228

b) Etablissons la relation entre la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps et la

puissance de la force de frottement.

Dérivons Em par rapport au temps :

d Em / dt = k x. + m . = ( k x + m ) (9)

Utilisons la relation m + h + K x = 0 (4)

(10) d Em / dt = ( - h ) = fx vx = . = P (puissance développée par la force de frottement).

c) Commentons cette relation en termes de transferts d'énergie

La puissance développée par la force de frottement P = d Em / dt = - h est toujours négative.

Le système (ressort + solide) perd de l'énergie mécanique. Cette énergie perdue est transformée

en chaleur.

4- Exploitation du graphique.

229

a) Déterminons les conditions initiales imposées à cet oscillateur

A la date t = 0 s, le graphique donné par l'ordinateur permet de relever u(o) = 0 V. On en déduit

qu'à la même date le solide de masse m passe par le point O d'abscisse nulle.

Que vaut alors sa vitesse V(o) ?

On sait que la vitesse est Vx = dx / dt. Sa valeur est donc donnée par la valeur du coefficient

directeur de la tangente à la courbe donnant x en fonction de t.

Le graphe donne du / dt = - 6,6 V/s à la date t = 0 s (à vérifier après avoir tracé la tangente à

l'origine).

L'échelle est telle que 1 volt corresponde à 1 cm, on en déduit que Vx (0) = - 6,6 cm/s = - 0,066

m/s.

A la date t = 0 s, on a :

230

- abscisse initiale x(0) = 0 m

- vitesse initiale V(0) = - 0,066 m/s (11)

b) Calculons la pseudo-période T.

Le graphe montre que 5 oscillations durent 10 s. Donc :

5 T = 10

La pseudo période est T = 2,0 s (12)

c) L'énergie mécanique du système (ressort + solide) est donnée par Em = k x2 + m v2

A chaque extremum i, la vitesse est nulle. L'énergie mécanique s'écrit alors :

(Em) i = k x2i = 5 x2

i (13)

231

Le rapport (Em) i / (Em) i + 1 est quasi constant.

d) Déterminons le travail de la force de frottement entre les passages par le 1° puis le 4°

extremum négatif.

Au passage par le 1° extremum négatif, l'énergie mécanique du système solide-ressort vaut :

Em1 = 0,0054 J (14)

Au passage par le 4° extremum négatif, l'énergie mécanique du système solide-ressort vaut :

Em4 = 0,00018 J (15)

En présence de frottement, l'énergie mécanique du système solide-ressort varie. Ici, elle diminue.

Elle se transforme, progressivement, en énergie calorifique qui échauffe le système et le milieu

extérieur.

La variation de l'énergie mécanique du système solide-ressort est égale au travail de la force de

frottement :

232

Em4 - Em1 = W14 ( )(16)

W14 ( )= Em4 - Em1 = 0,00018 - 0,0054

W14 ( ) = - 0,0052 J = - 5,2 10 - 3 J (17)

Le travail de la force de frottement est négatif car il s'agit d'un travail résistant.

Remarque : Parfois, une force de frottement fournit un travail moteur positif. C'est le cas, par

exemple, lorsqu'un tapis roulant se met en marche en emportant une valise. Le travail de la force

de frottement exercée par le tapis sur la valise est moteur, positif.

Exercice 16

c

. .x y z r z

R '/ Rr z z

( , , , ) et

( , , , )

O e e e OM e eR r z

O e e e eR '•

= +

=W

uur uur uur uuuuuur uur uur

uur uur uur uuuuuuuur uur

R R ' R

R '/ Rr z r zR

a) ( M ) ( M ) ( M R ' )

d ( ) ( )

V V V

r.e z.e r.e z.edt /•

= + ∈

= + + ∧ +

uuuur uuuur uuuur

r r r r

R r zV (M) r e z e r e• • •

= + + uuur uur uur uur

233

a R ' e cb ) (M) (M) (M) (M)= + +Γ Γ Γ Γur ur ur ur

R z r zR '/ Rr z z r zR

z r z

d(M) ( ) ( ) ( )

[ ( )]2 z

.e r.e z.er.e z.e 2. .e r.e z.edt /

e r.e z.e.e( )

• • • • •••= + + ∧ + + ∧ +

•+ ∧ ∧ +

Γ

r r rur r r r r r

r r ruur

234

R 'a R ' R '/ R R '/ R R '/ R R '/ RR ' R '

d d(M) ( (M) ) ( ) OM 2. (M) ( OM )V Vdt / dt /= + ∧ + ∧ + ∧ ∧W W W WΓ

uuuur uuuur uuuurur ur ur ur urur

Rr z r

2r zR

(M) 2

(M) r r e 2 r r e z e

.e .er .e z .e r 2r r .e

••• • • •• ••

••• • ••• ••= + + + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Γ

Γuur uur uur

r rur r r r

ur

2°)

1

2mrmr0

F⎡ ⎤

⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

uur

2 z R(M)VmF e= ∧λ

uur urr

y rmg e mg (sin e cos e )P =− =− + r r rur

a) 1 2 Rm (M)P F F+ + = Γur r r ur

2mg sin 2mr m r m[ r r( ) ] (1)

mg cos mr m r m[ 2 r r ] (2)

• •• • •

• • • ••

− + − λ = −

− + + λ = +

235

ey

xeuur

e

uur

reuur1F

r

2Fr

mgr

r

. .

. .

2

0 r m r

0 r m r

m 0 0F

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− λ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∧ = λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2gsin 2r r r r( ) (3)

g cos r r 2 r r (4)

• •• • •

• • • ••

⎧− + −λ = − ⎪⇒ ⎨

⎪− + +λ = + ⎩b) c 1 2dE (M) dW(P) dW(F ) dW(F )= + +

ur ur uur

21 2R R R

0

r r1 R

1d[ m (M)] d(P.OM) F . (M).dt F . (M).dt2

F . (M) (2mr e mre )(r e r e )

V V V

V• •

= + +

= + +

ur uuuur ur uuuur uur uuuur1 442 4 43

ur uuuur r r r r

2 22m r r mr d(mr )

P.OM mgr sin

• •= + =

= − ur uuuur

2 2 2 21d [ m( r r ) ] d ( mr mgr sin )

2

• •

+ = −

2 2 2 2r r 2r 2gr sin cte (5) (cte cons tan te)• •

⇒ + = − + =

La relation (5) est l’intégrale première de l’énergie

3)

a) 1 R rP F L m (M) où L Le+ + = Γ =ur ur ur uuur ur uur

236

2L2a g sin a (6)m

a g cos a (7)

•

••

⎧ − + =− ⎪⎪⇒ ⎨

⎪− = ⎪⎩

(7) a g cos a (8)••

⇒ + =

(8) : C’est l’équation différentielle dynamique de M

b)

c 10

2 2 2

2

dE (M) dW(P) dW(F ) dW(L)

a 2a 2ga sin cte (9)à t 0 0 ,et la relation (9) nousdonne : cte 0

a 2a 2gsin (10)(6) et (10) L ( 2a 2gsin )m mg sin 2ma

•

•

= + +

⇒ = − += ⇒ = =

⇒ = − ⇒ = − + + −

ur ur ur1 2 3

L 3mgsin 4ma (11)⇒ = −

4)

o o o R rRo

2o z

d L M ( F) où L OM m V (M) a e ma edt /

L ma e

•

•

= = ∧ = ∧

=

∑uur uuur r uur uuuur uuur uur uur

uur uur

o 1

r r r r

r

z

2z z

M ( F) OM ( P F L )

a e [Le 2ma e mae mgsin e mg cos e ]

a e [ma mg cos ]e

ma(a g cos )e

ma e ma(a g cos )e

••

= ∧ + +

= ∧ + + − −

= ∧ −

= −

⇒ = −

∑uuur r uuuur ur ur ur

uur uur uur uur uur uuruur uur

uur

uur uur

a g cos a (8)••

⇒ + =

Exercice 17

237

x y z

r

( ,e )z1x y z z

rR / R z1

( ,e )1 z r

( , , , )

( , , , )

( , , , ) ( , , , )

(cos e sin )

( , , , ) R '( , ,

O e e eRO e e eR '

O e e e O e e eR R

e e

O e e e O e eR

• •

⏐ ⏐ ⏐ →

= = −

⏐ ⏐ ⏐ →

W

uur

uur

uur uur uuruur uur uur

uur uur uur uur uur uur

uuuuuuuuur uur uur uur

uur uur uur uur u

R'/R1

R'/R R'/R R1/R z1

rR'/R

, )

(cos e sin )

ee

e ee e

φ•

φ• •

φ• •

φ θ

=θ

= + =θ +φ

=θ +φ θ − θ

ΩΩ Ω ΩΩ

ur uur

uuuuuuuuur uur

uuuuuuuur uuuuuuuuur uuuuuuuuur uur uur

uuuuuuuur uur uur uur

1°) Par composition de mouvement

a) vecteur vitesse

238

R R ' R

r R '/ RR '

r r r

V (M) V (M) V (M R ')d (re ) OM

dt /

r e r (e e ) r sin (e e )• • •

= + ∈

= +W ∧

= + ∧ − ∧

uuur uuur uuur

uur uuuuuur uuuur

r r r r r

rRV (M) r e r e r sin e• • •

= + + uuur r r r

b) vecteur accélération

R R ' c e

R ' R ' rR '

c R '/ R R '

r r r r

(M) (M) (M) (M)

d(M) V (M) r edt /

(M) 2 V (M)

2 r[ (e e ) cos (e e ) sin (e e )

2 r e 2 r sin e

••

• • • •

• • • •

Γ =Γ +Γ +Γ

Γ = =

Γ = W ∧

= ∧ + ∧ − ∧

= +

uuur uuur uur uur

uuur uuur uur

uur uuuuuur uuur

r r r r r r

r r

R '/ R R '/ R R '/ R

r r R '/ R R '/ R

R '/ R R '/ R

de(M) ( ) OM ( OM)dt / R

e re [ sin cos ] (e e ) ( OM)

c

avec ( OM)

•• •• • •

•

Γ = W ∧ +W ∧ W ∧

= ∧ + − − ∧ + W ∧ W ∧

W ∧ W ∧ =

uur uuuuuur uuuur uuuuuur uuuuuur uuuur

uur uur uur uur uuuuuur uuuuuur uuuur

uuuuuur uuuuuur uuuur2 2 2

2

r sin ros 0

sin r r sin cos

r sin r cos

• •

•• •

• • • •

− φ θ− θθ

−φ θ ∧ θ = − φ θ θ

θ φ θ θφ θ

les vecteurs sont relativement exprimés dans le repère R’

d’où

2 2 2 2re(M) r( sin )e r( sin cos )e r[ sin 2 cos ]e

• • ••• •• • •

Γ =− + + − + + uur uur uur uur

239

2 2 2

2R

r r( sin )

(M) r( sin cos ) 2 r

r[ sin 2 cos ] 2 r sin

• •••

••• • •

•• • • • •

⎛ ⎞⎜ ⎟− + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⇒ Γ = − + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

uuur

composantes du vecteur accélération relativement au repère R’

Par calcul direct

vecteur vitesse

R R '/ RR '

r r r r r

dV (M) (OM) OMdt /

r e r (e e ) r cos (e e ) r sin (e e )• • • •

= +W ∧

= + ∧ + ∧ − ∧

uuur uuuur uuuuuur uuuur

r r r r r r r

rRV (M) r e r e r sin e• • •

= + + uuur r r r

vecteur accélération

R R R R '/ R Rd d(M) V (M) V (M) V (M)

dt / R dt / R '

r cos r

d r sin rdt / R '

r sin r sin

• • •

• • •

• • •

Γ = = +W ∧

= + − ∧

uuur uuur uuur uuuuuur uuur

240

2 2 2

2R

r r( sin )

(M) r( sin cos ) 2 r

r[ sin 2 cos ] 2 r sin

• •••

••• • •

•• • • • •

⎛ ⎞⎜ ⎟− + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⇒ Γ = − + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

uuur

2)

r r

rz

z r

r

L Le OM ae

P mg mge mg (cos e sin e )

F kAM k(AO OM ) k (ae ae )

F k a[(1 cos )e sin e ]

= =

= =− =− −

=− =− + =− +

=− + −

ur uur uuuur uurur r uur r rr uuuur uuur uuuur r rr r r

a)

R

2

L P F m (M)

L mg cos k a(1 cos ) ma (1)

mg sin ka sin ma (2)

•

••

+ + = Γ

⎧− − + =− ⎪⇒ ⎨

⎪ + = ⎩

ur ur r uuur

g k(2) sin (3)a m

•• ⎛ ⎞⇒ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠

L’équation (3) est l’équation différentielle dynamique du mouvement

expression de L

2(1) L (ka mg)cos k a ma (4)•

⇒ = + + −

b) théorème de l’énergie cinétique

241

cdE (M) dW(mg) dW(F) dW(L)= + +uuur r ur

22 2

c R

R

r

1 aE (M) m (m) m ( )2 2

W(mg) mg .OM mga cos

dW(L) L.dM 0

dW( F) F.V (M).dt

k a[(1 cos )e sin e ].[a e a sin e ].dt

V•

• •

= =

= =−

= =

=

=− + − +

r ur uuuurur ur uuurr r uuur

r r r r

2 2 2ka sin dt ka sin d d( ka cos )•

= = = −

22 2

22 2

2

22 2

ad[m ( ) ] d[ (ka mga ) cos ]2am ( ) (ka mga )cos cte2

à t 0 0 et 0 cte ka mga

am ( ) (ka mga )(1 cos )2

•

•

•

•

= − +

⇒ =− + +

= ⇒ = = ⇒ = +

⇒ = + −

d’où l’intégrale première de l’énergie est :

2 2 2ma ( ) 2 (ka mga )(1 cos ) (5)• = + −

(4) et (5) L (ka mg)cos k a 2(ka mg)(1 cos )⇒ = + + − + −

expression de L

L k a (ka mg)(3cos 2) (6)= + + −

équation différentielle du mouvement

242

(5) ma.2. 2(ka mg)(sin )

ka mget 0 sinma

• •• •

• ••

⇒ = +

+ ≠ ⇒ =

on retrouve l’équation (3)

c) au point C, on a

R

2c c

2c

et v (M) a2

2v a et (5) [(ka mga)(1 cos )]ma

2v ka mgam

V•

•

π= = =

= ⇒ + −

⇒ = +

uuuur

et

r

L ka (ka mg)( 2) 2mg ka

L (ka 2mg)e

= + + − =− −

=− +ur uur

d)

kaL 0 alors (6) 3cos 2ka mg

= ⇒ − =−+

1 kacos (2 )3 ka mg

= −+

243

1 kaL 0 existe 1 (2 ) 13 ka mg

2ka ka 2mg3 ( ) 3ka mgka 2mg3 ( ) 3ka mg

ka 2mg 3ka mg

= ⇔ − ≤ − ≤+

− +− ≤ ≤

++

− ≤ ≤+

+≤

+

d 'où ka 2mg 3(ka mg)2ka mg 0 toujours vraie

1 1 1ka mg cos (2 )3 2 2

+ ≤ ++ ≥

= ⇒ = − =

3 3π π

⇒ = ⇒ =

Exercice 18

244

}

0 o o oR / R o1 0

1 o

R / R1

R ( O, x , y , z )z

R (O, x, y, z )

R (O, x, v, w) x

R est un repère de projection

OM v

•

•

⎫⎪ Ω = ψ⎬⎪⎭

Ω = θ

= ρ

uur uur uur uuuuuuuuur uurr r uur

r r uur uuuuuuur r

uuuur r

1°)

R/ R / R

d da) V (M) OM v vdt dt

•= = =

uuur uuuur r r

R R / R1 1/ R / R1

d db) V (M) OM OM OMdt dt

= = +W ∧uuuur uuuur uuuur uuuuuuur uuuur

v x v

v w

• •

• •

= + ∧

= +

r r r

r uur

R R / Roo/ R / Ro

c)d dV (M) OM OM OM

dt dt

v ( x z) v

v w sin ( x)

sin x v w

• • •

• • •

• • •

= = +W ∧

= + ∧y ∧

= + + y −

=−y + +

uuuur uuuur uuuur uuuuuuur uuuur

r r r r

r uur r

r r uur

2°)

245

R R / Ro R / Ro R / Ro 1

R / Ro R / R1

R R 11 o

V (M R) OM ( ) OM

OM OM

V (M R) V (M R )

∈ = W ∧ = W +W ∧

=W ∧ +W ∧

= ∈ + ∈

uuuur uuuuuuur uuuur uuuuuuur uuuuuuur uuuuruuuuuuur uuuur uuuuuuur uuuuruuuur uuuur

3°)

R R/ R

da) (M) V (M) vdt

••Γ = =uuur uuur r

R R R R / R R1 1 1 1 1

/ R / R1

/ R

d db) (M) V (M) V (M) V (M)dt dt

d ( v w) x ( v w)dt

• • • • •

Γ = = +W ∧

= + + ∧ +

uuuur uuuur uuuur uuuuuuur uuuur

r uur r r uur

2

R1

2R1

(M) v ( ) w w v

(M) ( ) v (2 ) w

••• • • •• • •

••• • • ••

Γ = + + + −

Γ = − + +

uuuur r uur uur r

uuuur r uur

c)

c R1/ Ro R o1

c

(M) 2 V (M) 2 z ( v w )

2 cos x 2 sin x

(M) 2 x( sin cos )

• • • •

• • • •

• • •

Γ = W ∧ = y ∧ +

=− y + y

Γ = y −

uur uuuuuuuur uuuur uur r uur

r r

uur r

R 1 R1/ Ro R1/ Ro R1/ Roo/ Ro

o o o

2o

2

d(M R ) ( ) OM ) ( OM)dt

z v z ( z v)

cos x z cos x

cos x cos y

•• • •

•••

•••

Γ ∈ = W ∧ =W ∧ W ∧

=y ∧ + y ∧ y ∧

=−y − y ∧

=−y − y

uuuur uuuuuuuur uuuur uuuuuuuur uuuuuuuur uuuur

uur r uur uur r

r uur r

r r

246

2R 1o

2 2 2R 1o

(M R ) cos x cos (cos v sin w)

(M R ) cos x cos v cos sin w

•••

• •••

Γ ∈ =−y − y −

Γ ∈ =−y − y + y

uuuur r r uur

uuuur r r uur

4°)

a)

2R1

2

d(M) OM 0 2 0 ( )dt

cte (1)

•• • • •

•

Γ ∧ = ⇒ + = =

⇒ =

uuuur uuuur r

Rob) (M) OM 0 (2)Γ ∧ =uuuur uuuur r

R R c eo 1(M) (M) (M) (M)Γ =Γ +Γ +Γuuuur uuuur uur uur

2 2 2

2

cos 2 ( sin cos )

cos

cos sin 2

•• • • •

• •••

• •• • •

−y + y −

= −y + −

−y + +

composantes relatives au repère R

2

( cos 2 sin ) 2 cos 0 (3)(2)

( cos sin ) 2 0 (4)

•• • • • •

• •• • •

⎧ −y + y − y =⎪⇒ ⎨

⎪ y + + =⎩

5°)

247

2

a 0

(3) cos 2 sin 0 (5)

(4) cos sin 0 (6)

• ••

•• • •

• ••

= ⇒ = =

⇒ −y + y =

⇒ y + =

2 21

22 1

4

d(5) ( cos ) 0 cos c (7)dt

(8)cos

c

• •

•

≡ y = ⇒ y =

⇒ y =

2 21 1

3 3

21

3

sin sin0 d d 0

cos cosd(cos )

et dt d d 0cos

c c

c

•• ••

• •• • • • •

⇒ + = ⇔ + =

= ⇒ − =

2 222 21 1

2

22 1

22

22 1

2 2

cos1 1d( ) d( ) 02 2 2 cos

ccos

c (9)cos

c c

c

c

• •−

•

•

− = + =

−

⇒ + =

⇒ = −







248



travail de accessible aux apprenants et aux apprenantes. La correction est accompagnée d’un




Evaluation formative optionnelle à caractère pédagogique

Titre de l’activité : les formes d’évaluation des apprentissages

Temps d’apprentissage : 4 heures

Objectifs spécifiques d’apprentissage :

Etre capable de :

Citer deux formes d’évaluation

Reconnaitre les moments d’évaluation

Identifier les rôles de l’évaluation

Lecture appropriée

DIOUF, S. (2004). L’évaluation des apprentissages. Sénégal. Faculté des Sciences et

Technologies de l’Education et de la Formation (FASTEF). Université Cheikh Anta DIOP

(UCAD) de Dakar

Justification de la lecture appropriée

Le texte sur l’évaluation des apprentissages donne aux lecteurs et lectrices des informations sur

la problèmatique de l’évaluation, les formes d’évaluation et leur rôle, les questions à correction

objective parmi lesquelles les questions courtes, les différents types de feedback, etc.

249


Cette activité consiste à identifier des formes d’évaluation à partir des moments d’évaluation, à

préciser les rôles de l’évaluation et les moments d’évaluation.


Un professeur nouvellement affecté dans un établissement reçoit son emploi du temps.

Il arrive en classe et aussitôt après les présentations, il fait une interrogation écrite d’une durée

d’une heure (1 heure).

La semaine suivante, il commence ses cours et après deux séances de cours sur la mécanique à

une et deux dimensions, il fait une autre interrogation écrite sur ce cours.

1) Dans quelle forme d’évaluation peut on ranger la première interrogation écrite ?

2) Dans quelle forme d’évaluation peut on ranger la deuxième interrogation écrite ?

3) A quel moment a lieu l’évaluation sommative ?

4) Quel rôle joue chacune des deux premières évaluations ?


Les apprenants et apprenantes lisent le texte sur l’évaluation en se focalisant sur les formes

d’évaluation.

Ils respondent aux questions posées et rédigent un compte rendu qu’ils envoient par email au

Professeur titulaire du cours.

Réponses clés

250

1) La première interrogation écrite a lieu avant apprentissage. C’est une évaluation diagnos-

tique ou prédictive .(l’apprenant ou l’apprenante peut répondre par l’une ou l’autre)

2) La deuxième interrogation écrite a lieu pendant l’apprentissage. C’est une évaluation form-

ative.

3) L’évaluation sommative a lieu à la fin de l’apprentissage.

4) L’èvaluation diagnostique a pour rôle : d’identifier les lacunes, les forces, ou les fai-

blesses des apprenant(e)s avant d’aborder une unité d’apprentissage

5) L’évaluation prédictive a pour rôle de prédire les chances de réussite ou d’échec de l’ap-

prenant ou de l’apprenante.

L’évaluation formative a pour rôle : d’améliorer les connaissances des apprenants ou

apprenantes d’effectuer des remédiations.

Autoévaluation

Cette évaluation permet aux apprenants et apprenantes d’etre conscient(e)s de l’importance des

moments d’évaluation et du rôle qu’elle peut jouer. Ceci leur permettra d’être mieux outillé et de

se préparer en conséquence.


Cette évaluation est optionnelle. Elle n’est donc pas obligatoire. Seul(e)s ceux ou celles qui le

désirent la feront. Le Professeur corrigera leurs productions mais la note ne sera pas prise en

compte dans l’évaluation finale.


251

15. Synthèse du module


Le MODULE « mécanique 1 » comprend des prérequis, des objectifs généraux

d’apprentissage et des objectifs spécifiques d’apprentissage. Il se subdivise en quatre UNITES

d’apprentissage. Chaque unité est accompagnée de lectures comprenant des cours inédits, des

liens et des ressources qui sont des aides précieuses aux bénéficiaires de la formation.

L’unité 1 Les grandeurs physiques mesurables - leur classification et leur mesure - les

différentes sources d’erreurs de mesure. Les grandeurs vectorielles- les grandeurs scalaires - les opérateurs vectoriels

L’unité 1 comprend :

- quatre lectures obligatoires ,

- une vingtaine de questions et d’exrcices.

Ce qui facilitera l’assimilation des connaissances pour l’apprenant(e).

Nous avons commencé l’apprentissage par les unités du système international (SI),

basées sur sept unités de base. Ensuite nous avons continué par les mesures physiques, les

erreurs de mesure et les incertitudes. Pour terminer, nous avons parlé des opérations

vectorielles en particulier l’addition et de la soustraction vectorielle.

UNITE 2 :Cinématique du point matériel . Mouvements à 1 D, 2D ou 3D

L’unité 2 comporte :

- trois lectures obligatoires,

- un complément de cours qui étudie de facon minitieuse les mouvements de chute libre,

- et une série de neuf exercices.

Dans la plupart des cas, on cherche les caractéristiques cinématiques d’un mobile :

trajectoire, vitesse, accélération, équations horaire…. Pour compléter les connaissances

des étudiants, nous avons travaillé sur différents systèmes de coordonnéss

( coordonnées sphériques, cylindriques, …).

252

UNITE 3 :Equilibre d’un solide sur un plan horizontalL’unité 3 comporte :

- trois lectures obligatoires,

- un complément de cours qui traite la réaction d’un support, les forces de frottement so-

lide-solide ainsi que l’étude de la déformation d’un ressort.

- Une série de huit exercices basées sur l’application du torseur nul,

UNITE 4 :Composition des mouvements-Dynamique du point matériel – Travail, énergie,

puissance – Oscillateurs

L’unité 4 comporte :

- trois lectures obligatoires se rapportant à la dérivation vectorielle, la dynamique des

points dans un référentiel galiléen et non galiléen , le travail et les oscillateurs.

- Un complément de cours formé par petites exercices traitant les phénomènes phy-

siques vus dans la vie courante

- Dix huit exercices et problèmes résolus.

16. Evaluation sommative/ finale

- Un vecteur vitesse instannée a pour composantes : Vx , Vy, Vz ; sa norme est

alors égale à :

V = Vx +Vy+Vz

253

V = Vz+Vy+Vx

V = Vx2 + Vy

2+Vz2

2z

2y

2x V+V+V=V(M)=V

Entourer la bonne réponse

- Un mobile M se déplace sur une route horizontale. Sa position M aux instants t 1,

t2, t3 a pour abscisses :

X1 = 2t +20 ; y1 = 4t

X2 = 2t ; y2 = 4t

X3 = 2t – 4 ; y3 = 8- 4t

- Le mouvement est rectiligne uniforme

- Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré

- Le mouvement est rectiligne uniformément décéléré

- Le mouvement est rectiligne sinusoidal

Encadrer la bonne réponse.

3. Compléter les phrases suivantes :

a. Un mouvement est hélicoïdal si et seulement si sa trajectoire est portée par…. .

b. Un mouvement hélicoïdal est uniforme si sa vitesse angulaire _¿

est…..

4. Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est un vecteur alors que le moment d’un

vecteur par rapport à un point est un scalaire.

a. Vrai

b. Faux

Encadrer la bonne réponse

254

5. Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est un scalaire alors que le moment d’un

vecteur par rapport à un point est un vecteur.

a.Vrai

b. Faux

6. Un solide de masse m en équilibre sur un plan horizontal lisse est soumis :

a. uniquement à son poids

b. uniquement à la réaction du plan

c. à son poids et à la réaction du plan agissant en sens contraire

d. à son poids et à la réaction du plan agissant dans le même sens

e. ni à son poids ni à la réaction du plan

7. L’équilibre d’un corps est d’autant plus stable que :

a. son poids est grand

b. son poids est faible

c. son centre de gravité est bas

d. son centre de gravité est haut

8. Apparier les deux colonnes suivantes

1. Forces à distance

2. Forces de contact

10. forces de frottement

11. force électrostatique

12. force électromagnétique

13. poids d’un corps

9. Une force est dite conservative si son travail :

255

a. dépend du chemin suivi

b. indépendant du chemin suivi

10. Apparier les deux colonnes suivantes :

1. oscillation pure a. apport d'énergie

2. oscillation amortie b. échange d'énergie

3. oscillation forcée c. dissipation d'énergie.

d. conservation d'énergie.

11. Quand un solide est en équilibre, la résultante générale des forces appliquées au

solide est nulle. Cette condition est elle :

a. nécessaire

b. suffisante

Choisir la bonne réponse.

12. Un couple de forces peut faire tourner un solide. Vrai ou faux

13. L’équilibre d’un solide placé sur un plan incliné est possible si le plan est :

a. rugueux

b.lisse

Cocher la bonne réponse

14. Compléter la phrase suivante :

L’énergie mécanique se conserve lorsque occasionnellement les seules forces qui travaillent

dérivent d’une énergie ……………….

15. Un des avantages d’avoir la conservation de l’énergie mécanique est :

a. une intégrale premier degré

b. une èquation de second degré

256

16. Pour un corps solide, parmi les grandeurs physiques suivantes laquelle varie avec

l’altitude ?

a. sa masse

b. son poids

17. Le moment d’une force par rapport à un point est-il un vecteur car il résulte d’un

produit :

a. vectoriel de deux vecteurs

b. scalaire de deux vecteurs

18. Le moment d’une force par rapport à une droite est-il un scalaire.

a. Vrai

b. Faux

19. Un corps abandonné au sommet du mât vertical d’un bateau, qui est animé d’un

mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel terrestre, tombe

au pied du mât. Pourquoi ?

20. Alors qu’une énergie cinétique est toujours non négative, pourquoi l’énergie

mécanique d’un système peut elle être négative ?

21. Un champ magnétique stationnaire n’augmente pas la norme de la vitesse d’une

particule chargée. Pourquoi est-il si largement utilisé dans les accélérateurs de

particules ?

257

22. Pourquoi l’énergie mécanique d’un système isolé ne se conserve-t-elle pas dans

tous les cas ?

23. Lorsqu’on fait le bilan des forces qui agissent sur un véhicule ou sur une personne

qui marche, le long d’un trajet horizontal, on est amené à conclure que c’est la force de

frottement qui permet le déplacement. Est-ce paradoxal ? Pourquoi ?

Réponses clés

a. Réfléchissez bien avant de répondre

b. Avez-vous pensé aux unités du vecteur vitesse avant votre choix ?

c. L’unité de vitesse dans le système international (SI) n’est pas le (m/s)2

258

d. Bonne réponse. Il faut effectivement faire la racine carrée de la somme des carrés des

coordonnées.

a. Très bien. En effet la vitesse étant constante, le mouvement est rectiligne uniforme.

b. Attention, avez-vous calculé la vitesse du mobile avant de choisir ?

c. Relisez la question et regardez si la vitesse dépend du temps.

d. Pour un mouvement sinusoidal, l’abscisse est une fonction sinusoidale du temps (x = Asin(wt

+Φ)), ce qui n’est pas le cas ici.

a. par une hélice. Bonne réponse, vous avez bien appris votre leçon

b. est constant. Bonne réponse, votre leçon est bien sue

a. Attention relisez attentivement la question

b. Bonne réponse, vous faites bien de distinguer les deux moments

a. Bonne réponse, en effet le moment d’un vecteur par rapport à un axe est bien un

scalaire et non un vecteur

b. Relisez plutôt la question avant de répondre.

6.

a. Attention, il faut plus d’une force pour qu’il y ait équilibre d’un solide sur un plan.

b. Une seule force ne peut maintenir un solide en équilibre sur un plan.

c. Très bien. Vous voyez bien qu’il s’agit du principe de l’action et de la réaction.

259

d. Un corps ne peut être en équilibre sur un plan sous l’action de deux forces ayant même

direction et même sens.

e. Tout corps en équilibre sur un plan est au moins soumis à deux forces

7

a. Attention. la stabilité d’un équilibre ne dépend pas uniquement du poids du corps

b. Réfléchissez encore, la stabilité d’un équilibre ne peut dépendre uniquement d’une force.

c. Très bien, effectivement plus le centre de gravité d’un corps est bas, plus l’équilibre est stable.

d. Relisez la question, et dites vous bien qu’entre deux personnes de même poids et de taille très

différente quelle est la plus stable si elles sont debout.

8.1b ; 1c ; 1d ; 2a ; Bonne réponse, vous savez faire la différence entre forces à distance et

forces de contact.

Pour toute autre réponse telle que (1a, 2b, 2c, 2d) mettre comme feedback, relisez votre cours,

vous avez confondu les deux catégories de forces.

9

a. Avez-vous réellement appris votre leçon pour répondre ainsi ?

b. Bravo. Vous avez bien appris vos leçons. Le travail d’une force conservative est effectivement

indépendant du chemin suivi. Continuez ainsi.

10. 1d ; 2c ; 3a. Bravo. Vous connaissez bien le bilan énergétique des différentes oscillations.

Pour toute autre combinaison (1b, 1c, 1a, 2d, 2b, 2a, 3d, 3b, 3c) : Dommage, revoyez votre cours

sur les oscillations.

11

a. Très bien, cette est nécessaire mais à elle seule elle ne suffit pas.

b. Dommage, cette condition ne saurait suffire à elle seule

260

12. Vrai. Bonne réponse, vous connaissez certainement les applications des couples de forces

13.

a. Bravo. Si le plan incliné est rugueux, il existe un coefficient de friction engendré par une force

de frottement qui maintient le solide en équilibre.

b. Un solide sur un plan incliné lisse va plutôt glisser ; il ne peut donc rester en équilibre.

14. énergie potentielle. Bravo. Vous avez trouvé juste, il s’agit bien d’énergie potentielle.

15.

a. Très bien. En effet l’avantage c’est d’avoir une intégrale première qui est facile dont la solution

est plus facile que les équations provenant du Principe fondamental de la dynamique qui sont du

second ordre.

b. Les équations du second du second degré ne sont pas faciles à solutionner donc ne peuvent

constituer un avantage.

16.

a. Attention la masse d’un corps est un invariant.

b. Bravo. En effet le poids d’un corps varie avec l’altitude et le lieu

17.

a. Bonne réponse. Le moment d’un vecteur par rapport à un point est effectivement un vecteur.

b. Attention vous confondez avec le moment d’un vecteur par rapport à une droite.

18.

a. Bonne réponse. C’est effectivement le moment d’un vecteur par rapport à une droite qui est un

scalaire.

b. Relisez bien votre cours ou réfléchissez avant de répondre.

261

19. Le référentiel R′ lié au bateau est lui aussi galiléen. Par rapport à R′, les lois de la

mécanique et donc de la chute libre s’écrivent de la même façon que dans R . Très bien vous

maîtrisez votre cours

20. Les énergies kE et PE sont définies à une constante additive près. Conventionnellement,

0kE = pour un corps immobile, alors que 0PE = pour des corps infiniment éloignés. Il en résulte

que PE est négatif si l’interaction est attractive ; par conséquent nE peut être négative,

contrairement à kE . Très bonne réponse,

21. Le champ magnétique permet de ramener, grâce à ses propriétés de déviation, toute

particule chargée dans une région où existe un champ électrique, lequel peut seul augmenter la

norme de la vitesse de la particule. Très bonne réponse.

22. L’énergie mécanique ne se conserve pas dans le cas général, en raison des forces

extérieures et intérieures qui ne dérivent pas d’une énergie potentielle ; ce n’est donc pas une

grandeur conservative. En revanche, l’énergie totale, somme de l’énergie cinétique

macroscopique de l’énergie potentielle des forces extérieures et de l’énergie interne, elle, est

conservative : c’est l’énoncé du premier principe de la thermodynamique. Très bien dans

l’ensemble

23. Pour avancer, on doit s’appuyer sur le sol. La force de frottement est un intermédiaire

indispensable. Très bien. Sans les forces de frottement il serait impossible de marcher

correctement.

262


17. Références

Lectures

1. MAGER, R,F. (1975). Comment définir les objectifs pédagogiques. Bordas. Pa-ris

2. RATIARISON, A. (2006). Grandeurs physiques – Mesures-incertitudes- Opérations

vectorielles. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit.

3. CAZIN, M. (1972). Mécanique générale et industriielle Tome 1- Gauthier villars-

4. PEREZ–MASSON J.-P. (1997) Mécanique Fondement et applications

5. Paul, A.T.(1995). Physics for Scientists and Engineers – Worth Publishers – New York, NY

1003

6. The Free High School Sciences : A Textbook for High School Students Studing physics –

FHSSt Authors- December 9, 2005 from http://savannah.nongnu.org/projects/fhsst (consulte

le 15 sptembre 2006)

7. ANSERMET, J.P. ( 2004-2005). La mécanique rationnelle – Formation de base des Sciences

et des ingénieurs. Institut de Physique des nanostructures- Ecole Polytechnique Fédérale de

Lausanne – PHB – Ecublens, 1015 Lausanne.

263



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Cours inédit

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10. DE LANDSHEERE , G (1984). Evaluation continue et examens. Précis de docimologie.

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procédures. Editions Nouvelles.

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13. DEPOVER , C et al .(1994) La conception des logiciels éducatifs (titre provisoire). Inédit

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http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/4mouche_j.html

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35.http://formation.edu-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/Chapitre3/partie3 / titre1res.htm

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37.http://msch2.microsoft.com/fr-fr/library/system.windows.forms.paddings.op_methods.aspx

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40.http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/4mouche_j.html

41.http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/lissajou_j.html

42.http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/corticol/bibliohtml/hyp_ep _j.html

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53. http://perso.orange.fr/rmchs/physique_05/cours_physique/cours_mecach5_cinematique.pdf 54. http://www.keepschool.com/cours-fiche-les_systèmes_oscillants

55. http://www.logitheque.com/fiche.asp?I=18755

56. http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/01/statique.htm

57.http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/prlong.htm

58.http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/prlong.htm l

59.http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/froflu.htm l

18. Notes et résultats d’évaluation des élèves

Nom du fichier EXCEL : Fiche d’évaluation-apprenantsCours de mécanique 1Professeur : Adolphe RATIARISON

fiche-evaluation-apprenants Année académiqueCours de mécanique 1:Professeur: RATIARISON Adolphe

Nom Prénom

Activité1/20

Activité/20

Activité3/20

Activité4/20

Eval.Somm/20

Total/100

Moyen ne/20 Résultat

0 0 0 0 0 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais

267

0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais 0 0 Mauvais

19. Principal auteur du module

Pr Adolphe RATIARISONDépartement de Physique

268

mailto:[email protected]

Faculté des SciencesUniversité d’Antananarivo, MadagascarTel 261 32 04 266 58:E_mail : [email protected]

Titulaire d’une thèse d’Etat en physique, Adolphe RATIARISON enseigne :- en premier cycle, la mécanique générale I et II, - en secod cycle, le transfert thermique et la couche limite turbulente - - en trosième cycle, la Physique de l’atmosphère, l’océanographie physique,

Ses travaux de recheche sont axés sur : - la prévision des trajectoires des cyclones tropicaux

- la prévision des pluies et des non pluies- la prévision des grêles

- l’ensablement des ports et des estuaires) - l’Hydrologie

- l’Imagérie médicale

20. Structure du dossier et des fichiers

Nom du module (dans un fichier WORD) :

Cinématique du point

Equilibre des solides sur un plan

Grandeurs physiques-mesures- Incertitudes- Opérations sur les vecteurs

Référentiels-Dynamique du point matériel-Travail- Puissance-Energie-Oscillateurs

Nom des autres fichiers (WORD, PDF, PPT, etc.) du module.

L’évaluation des apprentissages

269

Documents

COMMISSION PHYSIQUE FRANCOPHONE - exocorriges.com · Web view. ... scalaire représentant le volume engendré par les 3 vecteurs. ... TIPLER, P. A