Cours 4 (suite)

2.2 PRODUIT SCALAIRE ET

CALCUL D’ANGLES

2

Définition: Soit un espace vectoriel pour lequel on

fixe une base ordonnée . Le produit scalaire de deux vecteurs est l’«opération» définie comme suit:

3

Remarque:

Étant donné que le produit scalaire est défini à partir des composantes de deux vecteurs, le résultat dépend

de la base utilisée.

Nous allons voir que le produit scalaire nous permet d’obtenir

des informations intéressantes si la base est orthonormée.

Malheureusement, si la base n’est pas orthonormée, le produit scalaire est presque sans intérêt.

4

Dans

4

5

Loi des cosinus

6

7

Angle entre deux vecteurs

8

Exemple:

9

Théorème:

Preuve:

Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors

Si alors

et donc,

Si

, mais

donc et

d’où

10

Dans le cas particulier du plan,si on cherche un vecteur perpendiculaire à un vecteur

donné,on a l’embarras du choix!

Aussi bien en prendre un de même longueur.

Mais si on prend

donc,

et

de même pour

On note lui

10

11

Propriétés du produit scalaire

1.

2.

12

3.

4.

13

Faites les exercices suivants

p.67, # 1, 3 à 5

14

Aujourd’hui, nous avons vu

✓ La longueur d’un vecteur.

✓ La distance entre deux points.

✓ Le produit scalaire entre deux

vecteurs.

✓ Comment trouver l’angle entre deux

vecteurs.

15

Devoir: p.67, # 1 à 11

Cours 5

2.2 PRODUIT SCALAIRE ET

CALCUL D’ANGLES (SUITE)

17

Au dernier cours, nous avons vu

✓ La longueur d’un vecteur.

✓ La distance entre deux points.

✓ Le produit scalaire entre deux

vecteurs.

✓ La façon de trouver l’angle entre deux

vecteurs.

Aujourd’hui, nous allons voir

18

✓ Projection

orthogonale

19

Projections orthogonales

Très loinLa projection orthogonale de sur est

Ce vecteur est tel que

1.

2.

19

20

Hum... c’est presque le produit scalaire ça!

Vecteur unitaire

21

Exemple:

22

Si on est dans , on a vu qu’on pouvait trouver un vecteur perpendiculaire à un vecteur donné.

Mais dans , c’est une tout autre histoire.

Il y en a trop!

Il faut donc être un peu plus précis.

22

23

Trouver un vecteur perpendiculaire à

et dans le plan défini par et .

D’où

est à et dans le même plan que et .

24

Faites les exercices suivants

p. 69, # 12 à 15

25

Devoir: p.69, # 12 à 26